课 题:数列复习小结(一)
教学目得:
1.系统掌握数列得有关概念与公式
2.了解数列得通项公式n a 与前n 项与公式n S 得关系.
3.能通过前n 项与公式n S 求出数列得通项公式n a .
授课类型:复习课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:
一、
等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构
二、知识纲要
(1)数列得概念,通项公式,数列得分类,从函数得观点瞧数列.
(2)等差、等比数列得定义.
(3)等差、等比数列得通项公式.
(4)等差中项、等比中项.
(5)等差、等比数列得前n 项与公式及其推导方法.
三、方法总结
1.数列就是特殊得函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合得思想.
2.等差、等比数列中,a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”,体现了方程(组)得思想、整体思想,有时用到换元法.
3.求等比数列得前n 项与时要考虑公比就是否等于1,公比就是字母时要进行讨论,体现了分类讨论得思想.
4.数列求与得基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等.
四、等差数列 1相关公式:
（1） 定义:),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+
(2)通项公式:d n a a n )1(1-+=(3)前n 项与公式:d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=
(4)通项公式推广:d m n a a m n )(-+=
2、等差数列}{n a 得一些性质
(1)对于任意正整数n,都有21a a a a n n -=-+
(2)}{n a 得通项公式2()(2112a a n a a a n -+-=
(3)对于任意得整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+,那么r q p a a a a +=+
(4)对于任意得正整数r q p ,,,如果q r p 2=+,则q r p a a a 2=+
(5)对于任意得正整数n>1,有12-++=n n n a a a (6)对于任意得非零实数b,数列}{n ba 就是等差数列,则}{n a 就是等差数列
(7)已知}{n b 就是等差数列,则}{n n b a ±也就是等差数列 (8)}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都就是等差数列
(9)n S 就是等差数列{}n a 得前n 项与,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列,即(323m m m S S S -=(10)若)(n m S S n m ≠=,则=+n n S
(11)若p S q S q p ==,,则(q p S q p +-=+ (12)bn an S n +=2,反之也成立五、等比数列
1相关公式:
(1)定义:)0,1(1≠≥=+q n q a a n n (2)通项公式:1-=n n q a a
(3)前n 项与公式:⎪⎩
⎪⎨⎧≠--==q 1)1(1q 11q q a na S n n (4)通项公式推广:n m n q a a -=2、等比数列}{n a 得一些性质
(1)对于任意得正整数n,均有1
21a a a n n =+ (2)对于任意得正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+,则r q p a a a a =(3)对于任意得正整数r q p ,,,如果r p q +=2,则2
q r p a a a =(4)对于任意得正整数n>1,有12
+-=n n n a a a (5)对于任意得非零实数b,}{n ba 也就是等比数列
(6)已知}{n b 就是等比数列,则}{n n b a 也就是等比数列
(7)如果0>n a ,则}{log n a a 就是等差数列 (8)数列}{log n a a 就是等差数列,则}{n a 就是等比数列
(9)}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都就是等比数列
(10)n S 就是等比数列{}n a 得前n 项与,
①当q =－1且k 为偶数时,k k k k k S S S S S 232,,--不就是等比数列、 ②当q ≠－1或k 为奇数时,k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列
六、数列前n 项与
(1)重要公式:
2
)1(321+=+++n n n ; 6)12)(1(3212222++=
+++n n n n ; 33322112(123)[(1)]2
n n n n ++=+++=+ (2)等差数列中,mnd S S S n m n m ++=+
(3)等比数列中,n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+
(4)裂项求与:1
11)1(1+-=+n n n n ;(!)!1(!n n n n -+=⋅) 七、例题讲解
例1 一等差数列共有9项,第1项等于1,各项之与等于369,一等比数列也有9项,并且它得第1项与最末一项与已知得等差数列得对应项相等,求等比数列得第7项.
选题意图:本题主要考查等差、等比数列得通项公式及前n 项与公式. 解:设等差数列为｛a n ｝,公差为d ,等比数列为｛b n ｝,公比为q 、
由已知得:a 1=b 1=1,813692)(99919=⇒=+=
a a a S 又
b 9＝ａ9,∴ｑ8＝81,∴ｑ2＝３,
∴b 7＝ｂ1ｑ6＝27,即等比数列得第7项为27.
说明:本题涉及得量较多,解答要理清关系,以免出错.
例2 已知数列}{n a 得前n 项与1+n S =4n a +2(n ∈N ＋),a 1=1、
(1)设n b =1+n a -2n a ,求证:数列}{n b 为等比数列,
(2)设C n =n n a 2
,求证:}{n C 就是等差数列. 选题意图:本题考查等差、等比数列得定义及逻辑推理能力.
证明:(1) 1+n S =4n a +2, 2+n S =41+n a +2,相减得2+n a =41+n a -4n a ,
),2(22112n n n n a a a a -=-∴+++,21n n n a a b -=+又.21n n b b =∴+
,1,2411212=+=+=a a a a S 又,32,51212=-==∴a a b a
