试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明：
1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=
2)它们串联时的总刚度eq k 满足：2
1111k k k eq +=
解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：
1122P k x
P k x
=⎧⎨=⎩
由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+
故等效刚度为：12eq P
k k k x ==+
2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122
P
x k P x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：1212
11
()
x x x P k k =+=
+
故等效刚度为：122112
111
eq k k P k x k k k k ===++
求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t T k T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
系统的总转角为：
1212
11()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为：
12111eq t t k k k =+
两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c
1)在两只减振器并联时，
2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：
1122
P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&
故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12
11eq P c x c c ==+&
一简谐运动，振幅为，周期为，求最大速度和加速度。
解：简谐运动的
22
(/)
0.15
n
rad s
T
ππ
ω==，振幅为3
510m
-
⨯；
即：
3
3
322
2
510cos()()
0.15
22
510sin()(/)
0.150.15
22
510()cos()(/)
0.150.15
x t m
x t t m s
x t t m s
π
ππ
ππ
-
-
-
⎧
=⨯
⎪
⎪
⎪
=-⨯⨯
⎨
⎪
⎪
=-⨯⨯
⎪
⎩
&
&&
所以：
3
max
322 max
2
510(/)
0.15
2
510()(/)
0.15
x m s
x m s
π
π
-
-
⎧
=⨯⨯
⎪⎪
⎨
⎪=⨯⨯
⎪⎩
&
&&
一加速度计指示出结构振动频率为82Hz ，并具有最大加速度50g ，求振动的振幅。
解：由 2max n x A ω=⨯&&可知：
2max max 22222
509.8/9.8(2)(225)1/50n x x m s A m f s ωπππ⨯=
===⨯&&&&
证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即：)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论0=ϕ,2/π，π三种特例。
证明：
cos cos()
cos cos cos sin sin (cos )cos sin sin )
)
cos()
A t
B t A t B t B t A B t B t
t t C t ωωϕωωϕωϕ
ϕωϕωωθωθωθ+-=++=++=-=-=-
其中：sin ()cos B arctg A B C ϕθϕ⎧=⎪+⎨⎪=⎩
1)当0ϕ=时：0;C A B θ==+；
2)当2πϕ=
时：(/);arctg B A C θ=
3)当ϕπ=时：0;C A B θ==-；
把复数4+5i 表示为指数形式。
解：i 4+5i=Ae θ，其中：A =，5()4
arctg θ=
证明：一个复向量用i相乘，等于把它旋转2/
π。
证明：
i i
i i22 Ae Ae e Ae
i
ππ
θθθ+
⨯=⨯=
