试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k P x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t T k T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为：12111eq t t k k k =+两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&一简谐运动，振幅为，周期为，求最大速度和加速度。
解：简谐运动的22(/)0.15nrad sTππω==，振幅为3510m-⨯；即：333222510cos()()0.1522510sin()(/)0.150.1522510()cos()(/)0.150.15x t mx t t m sx t t m sπππππ---⎧=⨯⎪⎪⎪=-⨯⨯⎨⎪⎪=-⨯⨯⎪⎩&&&所以：3max322 max2510(/)0.152510()(/)0.15x m sx m sππ--⎧=⨯⨯⎪⎪⎨⎪=⨯⨯⎪⎩&&&一加速度计指示出结构振动频率为82Hz ，并具有最大加速度50g ，求振动的振幅。
解：由 2max n x A ω=⨯&&可知：2max max 22222509.8/9.8(2)(225)1/50n x x m s A m f s ωπππ⨯====⨯&&&&证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即：)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论0=ϕ,2/π，π三种特例。
证明：cos cos()cos cos cos sin sin (cos )cos sin sin ))cos()A tB t A t B t B t A B t B tt t C t ωωϕωωϕωϕϕωϕωωθωθωθ+-=++=++=-=-=-其中：sin ()cos B arctg A B C ϕθϕ⎧=⎪+⎨⎪=⎩1)当0ϕ=时：0;C A B θ==+；2)当2πϕ=时：(/);arctg B A C θ=3)当ϕπ=时：0;C A B θ==-；把复数4+5i 表示为指数形式。
解：i 4+5i=Ae θ，其中：A =，5()4arctg θ=证明：一个复向量用i相乘，等于把它旋转2/π。
证明：i ii i22 Ae Ae e Aeiππθθθ+⨯=⨯=证明：梯度算子∇是线性微分算子，即),,(),,()],,(),,([z y x g b z y x f a z y x bg z y x af ∇+∇=+∇这里，a ,b 是与x 、y 、z 无关的常数。
求函数t q B t p A t g ωωcos cos )(+=的均方值。
考虑p 与q 之间的如下三种关系：① np q =，这里n 为正整数；② p q /为有理数；③ p q /为无理数。
汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T —所示。
其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。
试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。
图 T —汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T —所示。
其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。
试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律，并与前题比较。
图 T —弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则： mg k δ=，即：n ω== 取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为：δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩& （参考教材P14）所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mgF kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：2121()2T E m m x=+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&&即：n ω=系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪⎩&20012m gx x （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&）因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==⎪⎩&2001n m gA x x A即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有：2222111()()222T E I m r I mr θθθ=+=+&&& 21()2U k r θ=由()0T d E U +=可知：22()0I mr kr θθ++=&&即：n ω= （rad/s ）均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。
求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,k k k k ==。
解：取m 的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：212T E mx =& 22211115226U kx k x k x =+= （其中：1212k k k k k =+）由()0T d E U +=可知：1503mx k x +=&&即：n ω=rad/s ），2T =（s ）如图所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。
解：设物体重量W ，摆角坐标θ如图所示，逆时针为正，当系统有θ摆角时，则： θθ=--≈-2()(1cos )()2U W R r W R r设ϕ&为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度： ()c R r r υθϕ=-=&&，即：()R r rϕθ-=&& 记圆柱体绕瞬时接触点A 的转动惯量为A I ，则：=+=+22212A C W W W I I r r r g g gϕθθ-===-&&&222221133()()()2224T A W R r W E I r R r g r g（或者理解为：ϕθ=+-&&22211()22T c W E I R r g ，转动和平动的动能） 由()0T d E U +=可知：θθ-+-=&&23()()02W R r W R r g即：ω=n rad/s ）横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为γ的液体中。
设从平衡位置压低距离x (见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。
解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x =，由牛顿第二定律得：()0mx Ax g γ+=&&，即：n ω=有初始条件为：{==&000x x x所以浮子的响应为：()sin()2x t x π=+求如图所示系统微幅扭振的周期。
图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O 1A 与O 2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。
摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m 1，m 2。
解：两轮的质量分别为12,m m ，因此轮的半径比为：12r r = 由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：121212r r θθθθ==&&取系统静平衡时10θ=，则有：222222111222121111111()()()22224T E m r m r m m r θθθ=+=+&&& 2221112221211111()()()()222U k r k r k k r θθθ=+=+由()0T d E U +=可知：222121112111()()02m m r k k r θθ+++=&&即：n ω=rad/s ），=2T （s ）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。
