宁夏银川一中2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试 )★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1 B ．-1 C ．3D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,aA B x x a A ===∈，则AB =A ．{0,1,2} B. {0,1,23}， C. {0,1,24}， D. {1,24}，3. 向量)3,1(),,2(-==b t ，若b,的夹角为钝角，则t 的范围是 A ．t<32 B ．t>32 C ．t<32且t≠-6 D ．t<-6 4．直线kx-2y+1=0与圆x 2+(y-1)2=1的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组， 则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中 标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 A．16B．12+C．18+D．16+7. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3对称的函数是A ．y=2sin(2x+3π)B ．y=2sin(2x-6π)C ．y=2sin(32π+x )D ．y=2sin(2x-3π) 8．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,i S S ,i 2120=-=< B ．i i ,iS S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,S S ,i D ． 1220+==≤i i ,S S ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为A. B. C. D.11．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1， ③11FB A ∠=2π，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为xxxxA ．1B ．2C ．3D ． 412．已知函数ax x e x f x-=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立，则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e -∞D ．]2,(e -∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为_______.14．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为_______. 15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f (n )，则f (n )＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0B0，0），C （0，1，0），D1为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

银川一中届高三年级第二次模拟考试理科数学试题卷注意事项：. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设集合，，则（）. . . .【答案】【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可得到结果.【详解】由题意可得，又∴故选：【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．.复数，则（）. . -2 . .【答案】【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，，故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次天）分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）. ，，…，的平均数. ，，…，的标准差. ，，…，的最大值. ，，…，的中位数【答案】【解析】【分析】平均数反应的是水平,而方差和标准差反映的是稳定性.【详解】标准差能反映一个数据集的离散程度,因此可以用来评估共享单车使用量的稳定性,故选.【点睛】本道题目考查了平均数和标准差的概念和意义,注意两者反映总体的水平不同..已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（）. . 52 . .【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为，∵，∴≠，解得＝，数列是等差数列，且．∴故选：．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）. . . .【答案】【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到（﹣），从而由向量分解的唯一性得出关于的方程，求出的值.【详解】由题意及图，，又，，所以，∴（﹣），又，所以，解得，，故选：．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题..学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则A ．M NB ．N M =C ．N MD ．φ=⋂N M 2．复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为 A ．32B ．12C ．12-D ．12i - 3．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+ 的最小值是 A ．12 B ．－12C ．－2D ．4⊂≠ ⊂ ≠4．若随机变量2~(,)X N μσ（0σ>），则有如下结论： ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布， 平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为 A ．19 B ．12 C ．6 D ．5 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A ．21B ．53 C ．65 D ．766．某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的7名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为 A ．21 B ．31C ．61D ．41 7．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()1232100,3sin 1004y t y t πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的声波的振幅为A ．62B ．332+C ．32D ．538．2017年“元旦”期间，银川某游乐园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入游乐园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时园内的人数是A ．212－57B ．211－47C ．210－38D ．29－30 9．如图，网格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个 几何体的三视图，则这个几何体的体积为A ．25 B ．27 C ．432+ D ．333+ 10．已知向量b a ,的夹角为ο120，且||1a =r，||2b =r ，则向量+在向量方向上的投影是A ．0B ．23C ．-1D ．12成绩 5 26 5 11．函数193cos 3-=x x xy 的图象大致为A B C D12．对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k倍值函数.若x x x f +=ln )(是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．10,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.11,1e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．()1,1e +D ．()21,1e + 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = . 14．由直线52y x =-+和曲线1y x =围成的封闭图形的面积为 .15．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤,1,1,y y x x y 且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则=-n m .16．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设坐标原点为O ，若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，且29mn =，则该双曲线的离心率为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）已知函数())62sin(cos 22π-+=x x x f（1）求函数()x f 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合； （2）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2,23=+=c b A f ，求实数a 的取值范围。

宁夏银川一中2019届高三上学期第二次月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件{1，2，3}⊆M ⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．若z=1+2i ，则=（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i3．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数f （x ）=log（x 2﹣2x ﹣3），给定区间E ，对任意x 1，x 2∈E ，当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2），则下列区间可作为E 的是（ ） A ．（﹣3，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（1，2）D ．（3，6）5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．若a=2，b=log π3，c=log 2sin，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a 7．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0无实数根，则m ≤0”B ．“”是“”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0，则¬p：∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥08．A 在塔底D 的正西面，在A 处测得塔顶C 的仰角为45°，B 在塔底D 的南偏东60°处，在塔顶C 处测得到B 的俯角为30°，AB 间距84米，则塔高为（ ）A ．24米B ．米 C ．米 D ．36米9．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③10．函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移个单位而得到的，则函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积为（）A．πB．1 C．2 D．311．已知函数y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（cosC）＞f（sinB）D．f （sinC）＞f（cosB）12．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y ﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e] B．C．（1，e] D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数y=f（x+2）的定义域为（0，2），则函数y=的定义域为．14．已知sinα+cosα=，则 sin2α的值为．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f （x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则a+c的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．18．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．19．已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间和极值．20．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3﹣x2﹣ax．（Ⅰ）若为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=﹣1使，方程有实根，求实数b的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．宁夏银川一中2019届高三上学期第二次月考理科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件{1，2，3}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】子集与真子集．【分析】根据集合子集和真子集的定义确定集合M即可．【解答】解：因为{1，2，3}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}，所以集合M中至少含有元素1，2，3．且M≠{1，2，3，4，5，6}，所以M={1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，}，{1，2，3，6}，{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，6}，{1，2，3，5，6}．共7个．故选A．2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．3．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】扇形面积公式；弧长公式．【分析】先根据扇形面积公式S=lr，求出r=2，再根据求出α．【解答】解：设扇形的半径为r，中心角为α，根据扇形面积公式S=lr得6=，∴r=2，又扇形弧长公式l=r•α，∴．故选C4．已知函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3），给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2），则下列区间可作为E的是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（3，6）【考点】函数恒成立问题．【分析】求出函数f（x）的定义域，根据复合函数单调性的判断方法求出函数f（x）的减区间，由题意知区间E为f（x）减区间的子集，据此可得答案．【解答】解：给定区间E，对任意x1，x2∈E，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2），函数是增函数．由x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），因为y=递减函数，而t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）上递减，在（3，+∞）上递增，所以函数f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（3，+∞），由题意知，函数f（x）在区间E上单调递增，则E⊆（﹣∞，﹣1），而（﹣3，﹣1）⊆（﹣∞，﹣1），故选：A．5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【考点】正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．6．若a=2，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2sin＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．7．下列命题错误的是（）A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”B．“”是“”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，命题的逆否命题，既要交换条件、结论，又要否定条件及结论；B，sin（θ+2k π）=，不能推出θ=；C，p∧q为假命题，则p，q有一个为假命题即可；D，命题的否定先换量词，再否定结论．【解答】解：对于A，命题的逆否命题，既要交换条件、结论，又要否定条件及结论，所以‘命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”，故正确；对于B，“”⇒“”但 sin（θ+2kπ）=，不能推出θ=，故正确；对于C，p∧q为假命题，则p，q有一个为假命题即可，故错误；对于D，命题的否定先换量词，再否定结论，故正确．故选：C．8．A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得到B的俯角为30°，AB间距84米，则塔高为（）A．24米B．米 C．米 D．36米【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意画出图象，由图求出∠CDB和∠ADB的值，设CD=h，由条件在直角三角形求出边AD、BD，由余弦定理列出方程求出CD的值．【解答】解：由题意画出图象：则∠CDB=30°，∠ADB=90°+60°=150°，且AB=84，设CD=h，则在RT△ADC中，AD=CD=h，在RT△BDC中，BD===，在△ABD中，由余弦定理得，AB2=AD2+BD2﹣2•AD•BD•cos∠ADB，则，化简得，7h2=842，解得h=（米），故选C．9．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④③②B．③④②①C．④①②③D．①④②③【考点】函数的图象．【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【解答】解：根据①y=x•sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；根据②y=x•cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，在（，π）上的值为负数，故第三个图象满足；根据③y=x•|cosx|为奇函数，当x＞0时，f（x）≥0，故第四个图象满足；④y=x•2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D．10．函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sinx﹣cosx的图象向左平移个单位而得到的，则函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积为（）A．πB．1 C．2 D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据两角和差的正弦公式，化简f（x），再根据图象的平移求出g（x），最后根据定积分计算即可．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），又y=g（x）的图象是由函数f（x）的图象向左平移个单位而得到的，∴g（x）=2sin[（x+）﹣]=2sinx，∴函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=，x轴围成的封闭图形的面积S=∫2sinxdx=﹣2cosx|=﹣2（cos﹣cos0）=3．故选：D．11．已知函数y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（cosC）＞f（sinB）D．f （sinC）＞f（cosB）【考点】奇偶性与单调性的综合；解三角形．【分析】由于f（x）定义在（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上单调递增，可得f （x）在（0，1）上是减函数．而锐角三角形中，任意一个角的正弦要大于另外角的余弦，由此对题中各个选项依此加以判断，可得本题的答案．【解答】解：对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，可得A不正确；对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴A+B＞，得A＞﹣B注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，得sinA＞sin（﹣B），即sinA＞cosB∵f（x）定义在（﹣1，1）上的偶函数，且在区间（﹣1，0）上单调递增∴f（x）在（0，1）上是减函数由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴B+C＞，得C＞﹣B注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，得cosC＜cos（﹣B），即cosC＜sinB∵f（x）在（0，1）上是减函数由cosC＜sinB，可得f（cosC）＞f（sinB），得C正确；对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确故选：C12．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y ﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，e] B．C．（1，e] D．【考点】全称命题．【分析】由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，根据题意可得：a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．【解答】解：由x+y2e y﹣a=0成立，解得y2e y=a﹣x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2e y﹣a=0成立，∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得≤a≤e，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数y=f（x+2）的定义域为（0，2），则函数y=的定义域为（2，4）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由已知函数定义域求得y=f（x）的定义域，再结合分母不为0得答案．【解答】解：∵y=f（x+2）的定义域为（0，2），即0＜x＜2，∴2＜x+2＜4，即y=f（x）的定义域为（2，4），由，得2＜x＜4．∴函数y=的定义域为（2，4）．故答案为：（2，4）．14．已知sinα+cosα=，则 sin2α的值为．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】把所给的条件平方，再利用二倍角公式求得 sin2α的值．【解答】解：∵已知sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，解得 sin2α=﹣，故答案为﹣．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则a+c的最大值为8 ．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，即可求得a+c的最大值．【解答】解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，可得：（a+c）2=16+3ac≤64，解得a+c≤8，当且仅当a=c时取等号．故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．【分析】（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．18．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，解得AD，过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=．由正弦定理得：，即==2．（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，整理得AD2+2AD﹣24=0，解得AD=4．过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．∵AB∥CD，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°=2．即梯形ABCD的高为．19．已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），得到关于a，b的方程组，求出a，b 的值，从而求出f（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．【解答】解：（1）求导f′（x）=+2x+b，由题意得：则，解得，所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1；（2）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15，f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20．20．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为所以A=，由图知y=Asinϖx的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=|MP|=（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）由正弦定理得，所以NP=，MN=设使折线段赛道MNP为L则L===所以当角θ=30°时L的最大值是．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3﹣x2﹣ax．（Ⅰ）若为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=﹣1使，方程有实根，求实数b的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（I）根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导，则的极值点，则有从而求得结果．（II）由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．（III）将a=﹣1代入，方程，可转化为b=xlnx+x2﹣x3，x＞0上有解，只要求得函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域即可．【解答】解：（I）=∵的极值点，∴，∴，解得a=0又当a=0时，f'（x）=x（3x﹣2），从而的极值点成立．（II）因为f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以上恒成立．若a=0，则f'（x）=x（3x﹣2），此时f（x）在[1，+∞）上为增函数成立，故a=0符合题意若a≠0，由ax+1＞0对x＞1恒成立知a＞0．所以3ax2+（3﹣2a）x﹣（a2+2）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立．令g（x）=3ax2+（3﹣2a）x﹣（a2+2），其对称轴为，因为，从而g（x）在[1，+∞）上为增函数．所以只要g（1）≥0即可，即﹣a2+a+1≥0成立解得又因为．综上可得即为所求（III）若a=﹣1时，方程可得即b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在x＞0上有解即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．法一：b=x（lnx+x﹣x2）令h（x）=lnx+x﹣x2由∵x＞0∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（﹣∞，0]法二：g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2当，所以上递增；当，所以上递减；又g'（1）=0，∴∴当0＜x ＜x 0时，g'（x ）＜0，所以g （x ）在0＜x ＜x 0上递减；当x 0＜x ＜1时，g'（x ）＞0，所以g （x ）在x 0＜x ＜1上递增；当x ＞0时，g （x ）＜0，所以g （x ）在x ＞1上递减；又当x →+∞时，g （x ）→﹣∞，当x →0时，，则g （x ）＜0，且g （1）=0所以b 的取值范围为（﹣∞，0]请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C 1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sin θ． （1）写出C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知点M 1、M 2的极坐标分别为和（2，0），直线M 1M 2与曲线C 2相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线C 1相交于点A ，射线OQ 与曲线C 1相交于点B ，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1，即可曲线C 1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C 2的直角坐标方程；（2）由点M 1、M 2的极坐标可得直角坐标：M 1（0，1），M 2（2，0），可得直线M 1M 2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ 是圆x 2+（y ﹣1）2=1的一条直径，可得得OA ⊥OB ，A ，B 是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．【解答】解：（1）曲线C 1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2sin θ，化为ρ2=2ρsin θ，可得：曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2y ，配方为x 2+（y ﹣1）2=1．（2）由点M 1、M 2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M 1（0，1），M 2（2，0），∴直线M 1M 2的方程为，化为x+2y ﹣2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ 是圆x 2+（y ﹣1）2=1的一条直径， ∴∠POQ=90°， 由OP ⊥OQ 得OA ⊥OB ，A ，B 是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=+．（1）求f （x ）≥f （4）的解集；（2）设函数g （x ）=k （x ﹣3），k ∈R ，若f （x ）＞g （x ）对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）函数f （x ）=|x ﹣3|+|x+4|，不等式 f （x ）≥f （4）即|x ﹣3|+|x+4|≥9．可得①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，由KPB =2，A（﹣4，7），可得 KPA=﹣1，数形结合求得实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+=+=|x﹣3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）=|x﹣3|+|x+4|=．由于函数g（x）=k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，其中，KPB=2，A（﹣4，7），∴KPA=﹣1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．。

2019年宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．73．（5分）已知f（x）是定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．14．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥l”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为（）A．4B．6C．8D．107．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，且|q|＞1，则其前4项的和为（）A．5B．10C．﹣5D．﹣108．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则＝（）A．B．1C．D．39．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．611．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，则g （x）在下列那个区间上单调递减（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）＝e x﹣1在（1，1）处切线方程是．14．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值是．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，则数列的前n项和为．16．（5分）已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：K2＝参考数据：19．（12分）已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0的左右顶点，直线BP交C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．（1）求C的方程；（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的上一点．（1）证明：当点D是AA1的中点时，DC1⊥平面BCD；（2）若二面角D﹣BC1﹣C的余弦值为，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0处取得极小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝xf（x）+b（b＞0），讨论函数g（x）的零点个数．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B 在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+|x+1|，设m＞0，n＞0且满足+t＝0，求证：g（m+2）+g （2n）≥4．2019年宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝＝＝1﹣i．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，∴x＝1，2，3，y＝1，2，3．当x＝1时，x﹣y＝0，﹣1，﹣2；当x＝2时，x﹣y＝1，0，﹣1；当x＝3时，x﹣y＝2，1，0．即x﹣y＝﹣2，﹣1，0，1，2．即B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．3．（5分）已知f（x）是定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（3）＝log24＝2，又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣2；故选：A．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行知，双曲线的渐近线方程为x﹣2y＝0，即y＝x，∵双曲线的渐近线为y＝±，即＝，离心率e＝＝＝＝＝＝，故选：B．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥l”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由面面垂直的性质得当a⊥l，则a⊥β，则a⊥b成立，即充分性成立，反之当b⊥l时，满足a⊥b，但此时a⊥l不一定成立，即必要性不成立，即“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝1，S＝1不满足条件n＞k，n＝4，S＝6不满足条件n＞k，n＝7，S＝19不满足条件n＞k，n＝10，S＝48由题意，此时应该满足条件n＝10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，且|q|＞1，则其前4项的和为（）A．5B．10C．﹣5D．﹣10【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，∴+4q＝﹣10，解得q＝﹣（舍去），或q＝﹣2，∴a1＝＝1，∴S4＝＝﹣5，故选：C．8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则＝（）A．B．1C．D．3【解答】解：由，可得点P为线段BC的三等分点且靠近点C，设，的夹角为θ，由||cosθ的几何意义为在方向上的投影，则有：＝||||cosθ＝||2＝（）2＝3，故选：D．9．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n＝＝36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m＝＝6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p＝＝．故选：A．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y＝﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝﹣3+2×4＝5．故选：C．11．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，则g（x）在下列那个区间上单调递减（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的图象向左平移个单位得到g（x）＝sin（2x+）＝cos2x的图象，在区间[0，]上，则2x∈[0，π]，g（x）单调递减，故C满足条件，在区间[﹣，0]上，则2x∈[﹣π，0]，g（x）单调递增，故A不满足条件；在区间[，]上，则2x∈[，]，g（x）没有单调性，故B不满足条件；在区间[0，]上，则2x∈[0，π]，g（x）单调递减，故C满足条件；在区间[，π]上，则2x∈[π，2π]，g（x）没有单调性，故D不满足条件，故选：C．12．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，3）【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x）+x2，则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g （x+2），若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g （x）为偶函数，又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|⇒（x+1）2＞（x+2）2，解可得x＞﹣，即不等式的解集为（﹣，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）＝e x﹣1在（1，1）处切线方程是y＝x．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1的导数为f′（x）＝e x﹣1，∴切线的斜率k＝f′（1）＝1，切点坐标为（1，1），∴切线方程为y﹣1＝x，即y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值是2．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值，就是PF的距离减去y轴与准线方程的距离，可得最小值为：﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，则数列的前n项和为．【解答】解：点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，∴a n＝2n．∴S n＝＝n（n+1）．∴＝＝﹣．则数列的前n项和＝1﹣+……+﹣＝1﹣＝．故答案为：．16．（5分）已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．【解答】解：由圆锥体积为，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R，可得方程：R2﹣（R﹣2）2＝1，解得R＝，∴＝，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，，解得，∴．（2）∵，∴，∴＝＝在△ABC中，，∴，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝，∴．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：K2＝参考数据：【解答】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取100×＝40（人），从非示范性高中抽取100×＝60（人）；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：（60×0.005+80×0.018+100×0.02+120×0.005+140×0.002）×20＝92.4，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有100×0.002×20＝4（人），且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算K2＝＝42.982＞6.635，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0的左右顶点，直线BP交C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．（1）求C的方程；（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意△ABP是等腰直角三角形，则a＝2，B（2，0），设点Q（x0，y0），由＝，则x0＝，y0＝，代入椭圆方程解得b2＝1，∴椭圆方程为+y2＝1．（2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y＝kx+2，则M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理可得（1+4k2）x+16kx+12＝0，∴△＝（16k）2﹣48×（1+4k2）＞0，解得k2＞，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，当∠MON为直角时，k OM•k ON＝﹣1，∴x1x2+y1y2＝0，则x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝（1+k2）•+2k（﹣）+4＝0，解得k2＝4，即k＝±2，故存在直线l的斜率为±2，使得∠MON为直角．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的上一点．（1）证明：当点D是AA1的中点时，DC1⊥平面BCD；（2）若二面角D﹣BC1﹣C的余弦值为，求AD的长．【解答】解：（1）证明：由题意：BC⊥AC且BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，则BC⊥DC1．又∵D是AA1的中点，AC＝AD，且∠CDA＝90°，∴∠ADC＝45°，同理∠A1DC1＝45°．∴∠C1DC＝90°，则DC1⊥DC，∴DC1⊥平面BCD；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AD＝h，则D（1，0，h），B（0，1，0），C1（0，0，2）．由条件易知CA⊥平面BC1C，故取＝（1，0，0）为平面BC1C的法向量．设平面DBC1的法向量为＝（x，y，z），则且，∵，，∴，取z＝1，得．由|cos＜＞|＝＝，解得h＝，即AD＝．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0处取得极小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝xf（x）+b（b＞0），讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+1+a，∵函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0}处取得极小值﹣1，∴，得当a＝﹣1时，f'（x）＝lnx，则x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数f（x）取得极小值﹣1，∴a＝﹣1（2）由（1）知，函数g（x）＝xf（x）+b＝x2lnx﹣x2+b（b＞0），定义域为（0，+∞），g'（x）＝2x（lnx﹣），令g'（x）＜0，得0＜x＜，令g'（x）＞0，得x＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当x＝时，函数g（x）取得最小值b﹣，当b﹣＞0，即b＞时，函数g（x）没有零点；当b﹣＝0，即b＝时，函数g（x）有一个零点；当b﹣＜0，即0＜b＜时，g（e）＝b＞0，∴g（）g（e）＜0存在x1∈（，e），使g（x1）＝0，∴g（x）在（，e）上有一个零点x1设h（x）＝lnx+﹣1，则h'（x）＝﹣＝，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即当x∈（0，1）时，lnx＞1﹣，当x∈（0，1）时，g（x）＝x2lnx﹣x2+b＞x2（1﹣）﹣x2}+b＝b﹣x，取x m＝min{b，1}，则g（x m）＞0，∴g（）g（x m）＜0，∴存在x2∈（x m，），使得g（x2）＝0，∴g（x）在（x m，）上有一个零点x2，∴g（x）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，综上可得，当b＞时，函数g（x）没有零点；当b＝时，函数g（x）有一个零点；当0＜b＜时时，函数g（x）有两个零点．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B 在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．设B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，∵|OA||OB|＝8，∴ρ•ρ0＝8，∴＝2cosθ，ρcosθ＝4，∴C2的极坐标方程为ρcosθ＝4（2）由题意知|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC＝|OC||ρB cosθ|＝|4﹣2cos2θ|，当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+|x+1|，设m＞0，n＞0且满足+t＝0，求证：g（m+2）+g （2n）≥4．【解答】解：（1）f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|＝，显然，f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴t＝﹣2，证明（2）g（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|+|x+1|＝2|x﹣1|，∴g（m+2）+g（2n）＝2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，由于m＞0，n＞0，且＝2，∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝（m+2n）（）＝2++≥4，当且仅当＝，即当n＝，m＝1时取“＝”，故g（m+2）+g（2n）≥4。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第二次模拟考试 )注意事项:1.答卷前,考生务必将自己得姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得.1.如果复数(,为虚数单位)得实部与虚部相等,则得值为 A.1 B.1 C.3D.32.若,则A. B 、 C 、 D 、 3. 向量,若得夹角为钝角,则t 得范围就是A.t<B.t>C.t< 且t≠6D.t<6 4.直线kx2y+1=0与圆x+(y1)=1得位置关系就是 A.相交 B.相切 C .相离D.不确定5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同得选法共有 A.60种B.70种C.75种D.150种6.已知某个几何体得三视图如下,根据图中 标出得尺寸,可得这个几何体得表面积就是 A. B. C. D.7、 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线x=对称得函数就是 A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x) C.y=2sin D.y=2sin(2x)8.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰, 日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺得木棍,每天截 取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图 所示得程序框图得功能就就是计算截取20天后所剩木棍得 长度(单位:尺),则①②③处可分别填入得就是2422A. B.C. D.9.已知就是第二象限角,且sin(,则tan2得值为 A. B. C. D. 10.已知函数,则得图像大致为A 、B 、C 、D 、11.已知抛物线x=4y 焦点为F,经过F 得直线交抛物线于A(x,y),B(x,y),点A,B 在抛物线准线上得射影分别为A,B,以下四个结论:①xx=, ②=y+y+1, ③=,④AB 得中点到抛物线得准线得距离得最小值为2 其中正确得个数为A.1B.2C.3D. 4 12.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数得取值范围为A ． B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(x+y)(2xy)5得展开式中x 3y 3得系数为_______、 14.在锐角三角形ABC 中,分别为角A 、B 、C 所对得边,且c=,且ΔABC 得面积为,得值为_______、15.如图所示,有三根针与套在一根针上得n 个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片;(2)在每次移动过程中,每根针上较大得金属片不能放在 较小得金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动得次数记为f (n ),则f (n )＝________、16.一个四面体得顶点在空间直角坐标系Oxyz 中得坐标分别就是A(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),D(,1,),则该四面体得外接球得体积 为______、三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

银川一中2019届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、选择题：(每小题5分，共60分)二、填空题：(每小题5分，共20分)13. 40 14.5 15. 21n- 16. 92π三、解答题：17：解：（1） 2311+=+n n a a ，41=a∴)3(3131-=-+n n a a ，故{}3-n a 是首项为1，公比为31的等比数列，（2）由（1）知1313-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a 故n T=3n+）（110313131-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n =3n+31-131-1n⎪⎭⎫⎝⎛=3n+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 31-123 18. 解：19.解：如图，取PD 中点E ，连接EN,AE.(1) 证明：M,N,E 为中点，∴EN AM, EN=AM=12AB, ∴AMNE 是平行四边形，MN AE又CD ⊥AD,CD ⊥PA∴CD ⊥面PAD, ∴面P CD ⊥面PAD PA=AD,E 为中点，AE ⊥面P CD ∴MN ⊥面PCD,（2）建立如图所示坐标系，设PA=AD=2，AB=2t,则A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(t,0,0),N(t,1,1). 由（1）知MN ⊥面PCD,∴(2,0,2),(0,1,1)PB t MN =-=直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为10, ∴由10PB MN PB MN∙=得t=2. 设(,,),m x y z m =⊥平面NMD ，则(2,2,0),(0,1,1)DM MN =-=由00DM m MN m ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得(1,1,1),3,m m =-= AP ⊥面CMD, (0,0,2)AP =,设二面角N-MD-C 为θ，θ为锐角则3cos sin APm AP m θθ==∴=20.解（1）解:M 点的轨迹是以(22,0),(-22,0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为1922=+y x ()2解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由=λ得y 1=λ-y 2......①由1<λ<2得k ≠0由y=kx-22k 得x=k k y 22+代入1922=+y x 整理(1+9k 2)y 2+42ky-k 2=0......② 显然②的判别式∆>0恒成立由根与系数的关系得y 1+y 2=219k-+......③ y 1y 2=2219k k-+......④ 由①③得)91)(1(2421k k y +-=λλ， )91)(1(2422k ky +--=λ代入④ 整理得 2132)1(329122-+=-=+λλλλk 设f(λ)=21-+λλ,则利用导数可以证明f(λ)在（1,2）上为增函数故得0< f(λ)<21所以291k +>64即k 的取值范围是k>7或k<7-21解：（1）：由题意可知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，2ln )(xxx f -='， 当)1,0(∈x 时：0)(>'x f ，所以)(x f 单调递增； 当),1(+∞∈x 时：0)(<'x f ，所以)(x f 单调递减；（2）：由题意得：01ln )(=-+='ax x x g 有两个不同的零点，即a xx =+1ln 有两个不同的根设为21x x <；由(1)得xx x f 1ln )(+=，当)1,0(∈x 时)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时)(x f 单调递减； 有0)1(=ef ，1)1(=f 当),1(+∞∈x 时0)(>x f ，所以)1,0(∈a 时有2110x x <<<使a x x =+111ln ，a x x =+221ln 且函数)(x g 在)(),0(21∞+，，x x 单调递减，在),(21x x 单调递增， 现只需比较)(1x g ，)(2x g 的正负进而确定零点个数。

银川一中2019届高三年级第二次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{},6|≤∈=x N x A {},03|2>-∈=x x R x B 则B A ⋂=A ．{}5,4,3B ．{}6,5,4C ．{}63|≤<x xD ．{}63|<≤x x 2．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为A ．042,2≥+-∈∀x x R xB ．042,0200>+-∈∃x x R xC ．042,2≤+-∉∀x x R x D ．042,0200>+-∉∃x x R x 3．已知α的终边与单位圆的交点)23,(x P ,则αtan =A ．3B ．3±C ．33D ．33±4．⎰-+4223)30(dx x x =A ．56B ．28C ．356D ．145． 已知α为锐角，且03)tan(=+-απ，则αsin 等于 A ．31B ．10103 C ．773 D ．553 6．已知函数x xx f 2log 6)(-=,在下列区间中,包含f (x )的零点的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,+∞)7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 A ．5 kmB ．25 kmC ．35kmD ．10 km8．已知偶函数)(x f 对任意R x ∈，都有),()1(x f x f -=+且)(x f 在区间[0,1]上是递减的，则)1(),0(),3.8(--f f f 的大小关系是A ．)1()3.8()0(-<-<f f fB ．)1()0()3.8(-<<-f f fC ．)0()3.8()1(f f f <-<-D ．)3.8()0()1(-<<-f f f9．函数x x x y 2)(3-=的图象大致是10．已知71cos =α,1411cos -=+）（βα,且），（20πα∈,），（ππβα2∈+,则βcos 的值为 A ．23-B ．23C ．21D ．21-11．设方程)lg(10x x -=的两个根分别为21,x x 则A ．021<x xB ．021=x xC ．121>x xD ．1021<<x x12．已知函数)ln 2()(2x x k xe xf x +-=,若x =2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为A ．(-∞,e]B ．[0,e]C ．(-∞,e)D ．[0,e)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分, 13．函数1-=x xy 的值域为_______． 14．若x <m -1或x >m +1是x 2-2x -3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是_______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是______．16．已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的图象过点)3,0(-B ，且在)3,18(ππ上单调，同时f (x )的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合，当），，3234(21ππ--∈x x ，且21x x ≠时，)()(21x f x f =，则=+)(21x x f ______________.三、解答题:本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝b a ⋅ (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边且f (C)＝1，c ＝1，ab ＝32，a >b ，求a 、b 的值．18．（本题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.19．（本小题满分12分）已知3)1(21ln )(2++++=x a x x a x f (1)当1-=a 时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间），（∞+0上是增函数，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）设函数)2sin()6sin()(πωπω-+-=x x x f ,其中0<ω<3,已知0)6(=πf ,(1)求ω．(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数y =g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数cx bx x x f ++=23)(的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为)(',0126x f y x =--为)(x f 的导函数，),,()(R c b a ae x g x ∈=． （1）求b ,c 的值；（2）讨论方程)(')(x f x g =解的个数.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

2019年宁夏省银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2019•银川校级一模）已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（C U B）=（）A．[1，2] B．（1，2）C．（1，2] D．[1，2）【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：由题意求出A，求出C U B，然后求出A∩（C U B）．【解析】：解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}={x|x＞1}，C U B={x|x＜2}，A∩（C U B）=）}={x|x＞1}∩{x|x＜2}={x|1＜x＜2}，故选B．【点评】：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意补集的运算，是解题的关键．2．（5分）（2019•银川校级一模）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥α C．m∥α且n⊂α D．m∥α且n∥α【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解析】：解：A．若m∥n，则m、n与α成等角，当m、n与α成等角是，m∥n不一定成立，故m、n与α成等角是m∥n的必要非充分条件，B．若m∥n，则m⊥α且n⊥α，反之也成立，故m⊥α且n⊥α是充要条件．C．若m∥n，则m∥α且n⊂α不一定成立，D．若m∥n，则m∥α且n∥α不一定成立，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的性质和判定是解决本题的关键．3．（5分）（2019•银川校级一模）若等比数列{a n}的前n项和，则a2=（）A． 4 B．12 C．24 D．36【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：由，和{a n}为等比数列，解得a=2，由此能求出a2．【解析】：解：∵，∴，a2=S2﹣S1=（9a﹣2）﹣（3a﹣2）=6a，a3=S3﹣S2=（27a﹣2）﹣（9a﹣2）=18a，∵{a n}为等比数列，∴（6a）2=（3a﹣2）×18a，解得a=2，或a=0（舍），∴a=2，∴a2=S2﹣S1=6a=12，故选B．【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式的简单应用，数列版块在新课标的背景下要求降低，只强调等差、等比数列通项、前n项和，题干比较新鲜．4．（5分）（2019•银川校级一模）已知复数（1+i）（a+bi）=2+4i（a，b∈R），函数f（x）=2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）【考点】：正弦函数的图象；复数代数形式的乘除运算．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由（1+i）（a+bi）=2+4i可得（a﹣b）+（a+b）i=2+4i，即可解得a，b的值，从而可得函数f（x）的解析式，从而得到答案．【解析】：解：∵复数2+4i=（1+i）（a+bi）=（a﹣b）+（a+b）i，∴，解得a=3，b=1．故函数f（x）=2sin（ax+）+b=2sin（3x+）+1，∵3x=kπ，k∈Z，∴x=，k∈Z，当k=1时，x=，故函数f（x）=2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）．故选：D．【点评】：本题考查复数相等的充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意正弦函数图象的性质和应用．5．（5分）（2019•许昌二模）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+2【考点】：循环结构．【专题】：图表型．【分析】：写出前三次循环的结果，观察归纳出和的最后一项的分母i的关系，得到判断框中的条件．【解析】：解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母=2（i﹣1）令2（i﹣1）=100解得i=51即需要i=51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n=n+2故选C【点评】：本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目，常采用写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）（2019•漳州二模）设a=，则二项式展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160【考点】：二项式定理；微积分基本定理．【专题】：计算题．【分析】：计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．【解析】：解：由于a==（sinx+cosx）=﹣2，则二项式展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•=（﹣2）r••x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20=﹣160，故选C．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7．（5分）（2019•银川校级一模）给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4【考点】：两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解析】：解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．【点评】：本题考查命题的真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．8．（5分）（2019•银川校级一模）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．π B．3π C．4π D．6π【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．【点评】：本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．9．（5分）（2019•合肥一模）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】：数形结合．【分析】：我们可以画出满足条件，的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数a的方程，即可得到a的取值．【解析】：解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选B．【点评】：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），即可求出参数的值．10．（5分）（2019•北海四模）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列{x n}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2019+x2019的值为（）A．7549 B．7545 C．7539 D．7535【考点】：数列的求和；函数解析式的求解及常用方法．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意知数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6=15，所以x1+x2+x3+x4+…+x2019+x2019=503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2．【解析】：解：∵数列{x n}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，∴x n+1=f（x n）∴x1=1，x2=3，x3=5，x4=6，x5=1，x6=3，x7=5，x8=6，…∴数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6=15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2019+x2019=503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2=503×15+1+3=7549．故选：A．【点评】：本题考查数列的前2019项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性的合理运用．11．（5分）（2019•甘肃一模）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A． 3 B．C． 2 D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解析】：解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【点评】：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2019•湖北校级模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】：特称命题．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：将不等式进行转化，利用不等式有解，利用导数求函数的最值即可得到结论．【解析】：解：若若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]，时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F min（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．【点评】：本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2019•银川校级一模）等差数列{a n}中，a4+a8+a12=6，则a9﹣a11=．【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求得a8=2，再由a9﹣a11=（3a9﹣a11）转化为含有a8的代数式得答案．【解析】：解：在等差数列{a n}中，由a4+a8+a12=6，得3a8=6，a8=2．则a9﹣a11=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）=a8=．故答案为：．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．14．（5分）（2019•银川校级一模）若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【考点】：二倍角的正弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由题意可得3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=，分类讨论求得sin2α 的值．【解析】：解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．【点评】：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．15．（5分）（2019•银川校级一模）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：基本事件总数为=17×16×3，选出火炬编号为a n=a1+3（n﹣1），根据分类计算原理可得共有12种选法，由经能求出所求概率．【解析】：解：基本事件总数m==17×16×3，选出火炬编号为a n=a1+3（n﹣1），当n=1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法，当n=2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法，当n=3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法，根据分类计算原理可得共有12种选法，∴所求概率为P===．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．16．（5分）（2019•河南模拟）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为x2=2y．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知条件推导出点Q到抛物线C的准线的距离为=，由此能求出抛物线C 的方程．【解析】：解：抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），设M（x0，），x0＞0，Q（a，b），由题意知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，∴抛物线C的方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】：本题考查抛物线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2019•银川校级一模）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．【考点】：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题．【分析】：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解析】：解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（6分）（Ⅱ）当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．…（12分）【点评】：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）（2019•银川校级一模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间角．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…（4分），∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）（Ⅱ）依题意，…（6分），由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…（9分）设面DAE的法向量为，，即，∴，…（10分）设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…（12分）∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2019•安徽模拟）前不久，省社科院发布了2019年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．【解析】：解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ=．【点评】：本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．20．（12分）（2009•河北区二模）已知A，B，C是椭圆m：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．【分析】：（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由•=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得=；这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则﹣2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标，由=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得等式②；由①②可得t的范围．【解析】：解（1）如图所示，∵=2，且BC过点O（0，0），则；又•=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C，由a=，可设椭圆的方程m：；将C点坐标代入方程m，得，解得c2=8，b2=4；∴椭圆m的方程为：；（2）如图所示，由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），∴1°当k=0时，显然﹣2＜t＜2，2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0；由△＞0，可得t2＜4+12k2 ①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0==﹣，y0=kx0+t=，∴H；由，∴DH⊥PQ，则k DH=﹣，∴=﹣；∴t=1+3k2 ②∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．【点评】：本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果．21．（12分）（2019•宿州一模）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明+++…+＜（n∈N*且n＞1）【解析】：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）=当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜=即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．【点评】：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）（2019•葫芦岛二模）如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．【解析】：（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】：本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程．23．（2019•洛阳模拟）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】：计算题．【分析】：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P 到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可．【解析】：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【点评】：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．选修4-5；不等式选讲．24．（2019•包头一模）选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h=max，求证：h≥2．【考点】：平均值不等式；不等式比较大小；绝对值不等式的解法．【专题】：压轴题；不等式的解法及应用．【分析】：（I）解绝对值不等式求出M=（0，1），可得0＜a＜1，0＜b＜1，再由（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0可得ab+1与a+b的大小．（II）由题意可得h≥，h≥，h≥，可得h3≥=≥8，从而证得h≥2．【解析】：解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M=（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h=max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥=≥8，故h≥2．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．。

2019年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U＝R，集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x+1＜0}，那么集合∁U（A∪B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）＝3x（x＜﹣1）的值域为M，在区间（﹣1，1）上随机取一个数x，则x∈M的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，，则a5+a7+a9＝（）A．45B．51C．63D．815．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．（5分）的常数项为（）A．28B．56C．112D．2247．（5分）我国数学名著＜＜九章算术．商宫＞＞记载：“斜解立方，得两堑堵．其一为阳马，一为鳖臑．”其中的阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．已知网格中的网格是由边长为1的小正方形组成，某阳马的三视图如图中的粗实线所示，则该阳马的表面积为（）A．4+8+8B．8+8+8C．8+16+4D．4+8+16 8．（5分）某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为（）A．[15，60）B．（15，60]C．[12，48）D．（12，48] 9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称10．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．311．（5分）已知函数在区间内有极值，则整数n的值为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝（1﹣t），||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为．14．（5分）已知x，y满足，则z＝x+2y的最大值是．15．（5分）若直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）与圆M：x2+y2﹣4y＝0相交于A、B两点，若∠ABM的平分线过线段MA的中点，则实数a＝．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1＝a （a＞3），M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B＝a sin A+（c﹣a）sin C．（1）求B；（2）若3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为，求b．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC ＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若P A与平面ABC所成的角为，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角．19．（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若0＜x＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6≤x≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8＜x≤1，则认定该户为“低收入户”；若y≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）．20．（12分）已知O为坐标原点，点M为圆O：x2+y2＝4内一动点，定点F（1，0），以线段FM为直径的圆内切与圆O．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设点A（4，0），直线l经过点F（1，0）与动点M的轨迹C交于P，Q两点，求△OAP与△OAQ的面积之差的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0且a≠1），（Ⅰ）若f（x）为定义域上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）令a＝e，设函数g（x）＝f（x）﹣，且g（x1）+g（x2）＝0，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知直线与曲线相交于A，B两点．（1）写出曲线C顶点的极坐标；（2）求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣2）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对任意的x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2019年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}，B＝{x|x+1＜0}＝{x|x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x≥2或x＜﹣1}，则∁U（A∪B）＝{x|﹣1≤x＜2}，故选：B．2．【解答】解：∵＝，∴在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝3x（x＜﹣1）的值域为M＝（0，），则在区间（﹣1，1）上随机取一个数x，x∈M的概率为P＝．故选：D．4．【解答】解：∵，∴a7＝S7﹣S6＝72+2×7﹣62﹣2×6＝15，∴a5+a7+a9＝3a7＝45，故选：A．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜﹣f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2﹣x+2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．6．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•2r•x8﹣4r，令8﹣4r＝0，求得r ＝2，可得常数项为•22＝112，故选：C．7．【解答】解：由三视图知，该几何体为四棱锥，且底面是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD，如图所示；则该几何体的表面积为：S＝S正方形ABCD+2S△P AD+2S△P AB＝+2××2×4+2××2×＝8+8+8．故选：B．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：当k＝2时，x＝﹣k＞3，继续循环，当k＝3时，x＝（﹣2）﹣3≤3，退出循环，输出k的值为3．由不等式组，解得：15＜x≤60．故选：B．9．【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T＝π，所以ω＝＝4，所以f（x）＝sin（4x+φ）；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝sin（4x﹣），令4x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；k＝0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．10．【解答】解：∵不妨设双曲线右支上存在一点P，使PF1⊥PF2，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2，∴|PF1|•|PF2|＝2b2，∴△PF1F2的面积为|PF2|•|PF2|＝b2＝3，即m2﹣1＝3，∴a2＝m2＝4，c2＝7．则该双曲线的离心率为e＝．故选：B．11．【解答】解：f（x）＝xlnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞）；则f′（x）＝lnx+1+x﹣3＝lnx+x﹣2，令h（x）＝lnx+x﹣2，则h′（x）＝+1，又x＞0时，h'（x）＞0恒成立，所以h（x）在（0，+∞）为单调递增函数，且h（）＝ln﹣＝ln﹣ln＝ln＜0，h（2）＝ln2＞0，∴h（x）在区间（，2）上有零点x0，即函数f（x）在区间（，2）内有极值．所以整数n的值为2．故选：B．12．【解答】解：由题意可得•＝2×1×cosθ＝2cosθ，＝﹣═（1﹣t）﹣t，∴＝（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）＝（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ＝（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，由题意可得0＜＜，求得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：，当且仅当x＝4y＝时取等号．故应填．14．【解答】解：画出x，y满足，表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y＝﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝﹣3+2×4＝5．故答案为：5．15．【解答】解：如图，由圆M：x2+y2﹣4y＝0，得x2+（y﹣2）2＝4，圆心M（0，2），半径为2，直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）过定点A（0，4），要使∠ABM的平分线过线段MA的中点，则AM＝BM，∴B为（，3）或（，3），∴，即a＝．故答案为：．16．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴＝2，即PD＝2PC，作PO⊥CD，设DO＝x，PO＝h，∴，化简得：3h2＝﹣3x2+24x﹣36，0≤x≤3，根据函数单调性判断：x＝3时，3h2最大值为9，h最大值＝，∵在正方体中，PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：V＝×3×3×＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b sin B＝a sin A+（c ﹣a）sin C．所以：b2＝a2+（c﹣a）c，整理得：cos B＝＝，由于：0＜B＜π，故：B＝．（2）∵3sin C＝2sin A，∴由正弦定理可得：3c＝2a，①∵△ABC的面积为＝ac sin B＝ac，解得：ac＝24，②∴由①②解得：a＝6，c＝4，∴由余弦定理可得：b＝＝＝2．18．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）连接DE，由题意知AD＝4，BD＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∠ACB＝90°，…………………………………………………（2分）cos∠ABC＝＝，∴CD2＝﹣2×＝8，∴CD＝2，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AB，…………………………………（4分）又∵平面P AB⊥平面ABC，∴CD⊥平面P AB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，AC、CD都在平面ABC内，∴PD⊥平面ABC．……………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知PD，CD，AB两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，且P A与平面ABC所成的角为，有PD＝4，……………………………………………（7分）则A（0，﹣4，0），C（，0，0），B（0，2，0），P（0，0，4），∴＝（﹣2，2，0），＝（2，4，0），＝（0，﹣4，﹣4），∵AB＝2DB，CE＝2EB，∴DE∥AC，………………………………（8分）由（1）知AC⊥BC，PD⊥平面ABC，∴CB⊥平面DEP．∴＝（﹣2，2，0）为平面DEP的一个法向量．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，则x＝，∴＝（）为平面P AC的一个法向量．……………………………（10分）∴cos＜＞＝＝﹣，…………………………（11分）∴平面P AC与平面PDE的锐二面角的余弦值为，∴平面P AC与平面PDE的锐二面角为30°．…………………………（12分）19．【解答】解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3．，，，．所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望．（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．20．【解答】，整理得．（2）显然直线不与x轴重合．设直线l：x＝my+1，依题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立．整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立，，，不妨设m＜0，令，所以，此时．成立．故△OAP与△OAQ的面积之差的最大值为：．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x2﹣3x+，由f（x）是增函数得f′（x）≥0恒成立，由2x2﹣3x+≥0得2x3﹣3x2≥﹣，设m（x）＝2x3﹣3x2，则m′（x）＝6x2﹣6x，令m′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故m（x）min＝m（1）＝﹣1，故﹣1≥﹣，当a＞1时，易知a≤e，当0＜a＜1时，则＜0，这与1≤矛盾，从而不能使得f′（x）≥0恒成立，故1＜a≤e；（Ⅱ）证明：g（x）＝﹣x2﹣3lnx+6x，∵g（x1）+g（x2）＝0，∴﹣﹣3lnx1+6x1+（﹣﹣3lnx2+6x2）＝0，故﹣﹣3lnx1+6x1+（﹣﹣3lnx2+6x2）＝0，∴﹣（+）﹣3ln（x1x2）+6（x1+x2）＝0，即﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣ln（x1x2）+2（x1+x2）＝0，则﹣（x1+x2）2+x1x2﹣ln（x1x2）+2（x1+x2）＝0∴﹣（x1+x2）2+2（x1+x2）＝ln（x1x2）﹣x1x2，令x1x2＝t，g（t）＝lnt﹣t，则g′（t）＝﹣1＝，g（t）在（0，1）上增，在（1，+∞）上减，g（t）≤g（1）＝﹣1，∴﹣（x1+x2）2+2（x1+x2）≤﹣1，整理得（x1+x2）2﹣4（x1+x2）﹣2≥0，解得x1+x2≥2+或x1+x2≤2﹣（舍），∴x1+x2≥2+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】解：（1）由消去θ得+＝1，其四个顶点的直角坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，），（0，﹣），根据互化公式可得四个顶点的极坐标为；（2，π），（2，0），（，），（，﹣）．（2）把代入+＝1并整理得：t2﹣t﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣，所以|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】23，（1）f（1）+f（﹣2）＝|a﹣1|﹣2|a﹣2|＞1，故或或，解得：﹣4＜a≤2，即a∈（﹣4，2]（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f（x）]max≤[|y+|+|y﹣a|]min，当x∈（﹣∞，a]时，f（x）＝﹣x2+ax，[f（x）]max＝f（）＝，因为|y+|+|y﹣a|≥|a+|，所以当y∈[﹣，a]时，[|y+|+|y﹣a|]min＝|a+|＝a+，即≤a+，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。

银川一中届高三第二次模拟数学（理科）试卷参考答答案一、选择题：二、填空题：13．1 16. 1 三、解答题： 17. 18..19．20.解：（1）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF FF PF 、、构成等差数列， ∴1122224a PF PF F F =+==， 2a =．又1c = ，23b ∴=．∴椭圆C 的方程为22143x y +=．(2) 将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 化简得：2243m k =+． …………………………7分 设11d F M ==22d F M ==， …………………………9分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则1d 12d d MN k-∴=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+ mm m m 1814322+=+-=，……11分2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，334331=+>+m m ，32<S ．当0=k 时，四边形12F MNF 是矩形，S =． …………………………13分 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为 ……………………………14分（法二） 222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++， 222122233311m k k d d k k -+====++．MN ∴===四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………11分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ． …………………………………………13分当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S 的最大值为21.解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ,且ax xxx f -=ln )(. …1分 （Ⅰ）函数22)(ln 1ln )(ln 1ln )(x x x x x x x g -=⋅-=', 当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g .所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,增区间是),e (+∞. ………………3分（Ⅱ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立．所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． …………………………6分（Ⅲ）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………8分01当14a ≥时，由（Ⅱ），()f x 在2[e,e ]上为减函数， 则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124e a ≥-．02当0<14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数，故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4xf x ax x =-≤，20(e,e )x ∈．所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．综上，得21124e a ≥-． …………………………13分。