概率论与数理统计的题目

一.填空题（每空题2分，共计60分）

1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,

=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、

第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、

乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，

Y X 与的协方差为: - 0.2 ，

2Y X Z +=的分布律为:

6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，

概率论与数理统计 练习题1答案

题目局部，〔卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分〕 一、选择题〔10小题，共30分〕

1、假设P(A)，()0.1P AB =，那么P(AB)=__________. 答案：0.2

2、设()0, ()0,P A P B >>那么以下公式正确的选项是( )。

A 、[]()()

1()P A B P A P B -=-

B 、( )()()P A B P A P B =⋅

C 、(|)(|)P AB A P B A =

D 、()(|)P A B P B A =

答案：C

3、设I 是一个区间，sin

()0

x I

x x I

ϕ∈⎧=⎨∈⎩，是一个概率密度函数，那么I 是( )。 A 、[

,)2

π

π B 、(0,]π C 、3(,

]2

ππ D 、(,0]2

π

-

答案：A

4、将一枚硬币抛掷三次，设头两次抛掷中出现正面的次数为ξ，第三次抛掷出现正面的次数为η，二维随机变量(,)ξη所有可能取值的数对有( )。 A 、2对 B 、6对 C 、3对 D 、8对 答案：B

5、设2~(, ),~(0, 1)N a N ξση那么η与ξ的关系为( )。 A 、2

a

ξησ

-=

B 、a a ηξ=+

C 、a ξησ-=

D 、a ξ

ησ

=- 答案：C

6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。

答案：D

7、设独立随机变量12100,,,ξξξ⋅⋅⋅均服从参数为4λ=的泊松分布，试用中心极限定理确定

概率1001420i i P ξ=⎧⎫

<=⎨⎬⎩⎭

∑____________。

概率论与数理统计练习题集及答案

一、选择题：

1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A

2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A

365 B 364 C 363 D 36

2 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则

A )(1)(

B P A P -= B )()()(B P A P AB P =

C 1)(=+B A P

D 1)(=AB P

4．随机变量X 的概率密度为⎩

⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EX

A 21

B1 C2 D 4

1

5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是

A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(2

1 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0

01)(2

x x x x x F

C +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3

D +∞<<∞-+

=x x x F ,arctan 21

43)(4π

6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度

)(y f Y 为

A )2(2y f X -

B )2(y f X -

C )2

(21y f X -- D )2

(2

1y f X -

7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表

h

g p f

e d x c b a x p y y y X Y Y j X

概率论和数理统计试题及答案概率论和数理统计试题及答案

⼀、填空题:

1、设A 与B 相互独⽴，P(A) =

31, P(B) =21

, 则P (B-A) = . 解：111

()()[1()](1)233

P B A P B P A -=-=?-=

2、设~[1,3]X U （均匀分布），则2

()E X = ，(2)D X = ．

(52)E X -= ，

解：()2;()1/3E X D X ==

2

2

()()()13/3E X D X E X =+= (2)4()4/3D X D X ==

(52)5()21028E X E X -=-=-=

3、设随机变量X 服从指数分布，即 ~(2),X E 定义随机变量

2,3

1,31,3X Y X X >??

==??-

则 Y 的分布列为。

解：

3322620

()()(1)(3)21Y x x

F Y P Y y P Y P X e dx e e σσσ

-----+=≤=≤-=<==-=-?

33226

()()

(11)(3)

21Y x x

F Y P Y y P Y P X e dx e e ---=≤=-<≤=≤==-=-?

3322620

()()(12)(3)21Y x

x F Y P Y y P Y P X e

dx e

e σ

σ

σ

++----=≤=<≤=>==-=-?

其中σ是与y ⽆关的量

4、设~(200,0.1)X B ~(3)Y P ,2

~(3,2)Z N ，且X ，,Y Z 相互独⽴, 则

(235)E X Y Z --+= , (235)D X Y Z --+=

概率论与数理统计习题（含解答,答案）

概率论与数理统计复习题（1）

⼀．填空.

1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。2．)()(B A p AB p =且

2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=

=>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则

=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P

6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），

=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的

长度愈愈好。但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：

概率论与数理统计题库及答案

一、单选题

1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．

(A) 51

,41,31

,21 (B) 81

,81,41,21 (C) 21

,21,

2

1,21- (D) 16

1,81,41,21

2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．

(A) 41

414121

(B)

161

814121

(C)

163

161412

1 (D)

8

1

834121-

3. 设连续型随机变量X 的密度函数

⎩⎨

⎧<<=,

,0,

10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）．

(A) X P (≥1)1=- (B) 2

1

)21(==

X P (C) 21)21(=<X P (D) 2

1

)21(=>X P

4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成

立．

(A) X a P <(≤⎰∞

+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=b

a

x x F b d )()

(C) X a P <(≤⎰

=

b

a

x x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞

-=x x f b d )()

5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有

X a P <(≤=)b （ ）． (A)

⎰

b

a

x x F d )( (B)

⎰

b

a

x x f d )(

(C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -

练习题

[D (X )]2

1、设随机变量X ~b(10,0.6)，那么

=；2

[E (X)]2、假设随机变量X 的分布未知，但

2

EX =μ,DX =σ,那么X 落在区间

(μ-2σ,μ+2σ)的概率必不小于_________ˆ3、设θ

ˆ(X ,X ......X )是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________=θn 12

ˆ是θ的无偏估计。那么称θ

4.设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7,D(X)=4,D(Y)=1，那么相关系数ρXY =

5.设随机变量X 1

,X 2

,

,X n

相互独立，且X i

(i =1,2,

1n n

,n )都服从区间[0，1]上的均匀分

布，那么当n 充分大时，Y n

=i =1

∑X i

近似服从〔写出具体分布与参数〕

6．设(X ,Y )服从区域G :x 2+y 2≤R 2上的均匀分布，其概率密度为：

⎧C f (x ,y )=⎨

⎩0

2x 2+y 2≤R 2

其它

，那么C=〔〕；

(A)

πR ；

(B)

7．设

1

1

2πR ；(C)；(D)。2πR

πR 2X 1,X 2......X n 为相互独立的随机变量，且E (X )=μ,D (X )=σ

i i 2

1n

∑X i ，那么DX =〔〕

〔i =1,2......n 〕，X =

n i =1

(A)

σ

2(B)

n

n σ

(C)

2

σ

n

(D)

2

2

n

σ

8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次那么正确的选项是：〔〕

(A)E (X )=p (1-p )；(B)2

E (X )=np ；(C)

2

DX =np (1-p )；

《概率论与数理统计》最全题库

班级： 姓名: 号数 第一部分 基本题

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）

1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2

服从 ( )

(A) 自由度为1的2分布 (B) 自由度为2的2

分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布

答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2

分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)

答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

《概率论与数理统计》典型例题

第一章 随机事件与概率

例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。

分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。

解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有

()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪

而，故可得。

()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。

例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。

分析：这是古典概型的问题。另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。

解：设A ：

“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010

P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。 注：这是加法公式的一个应用。 本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。 再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。

例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。

概率论与数理统计 第一部份 习题

第一章 概率论基本概念

一、填空题

1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率

为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率

为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A

{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

大学概率论与数理统计基础题概率论与数理统计是大学数学系列中重要的基础课程之一，它涉及

到随机现象的描述、分析以及概率和统计推断等方面的内容。下面将

介绍几个概率论与数理统计的基础题目，帮助读者更好地理解和应用

相关知识。

1. 掷骰子问题

假设有一个六面骰子，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5和6。现在，我们重复投掷这个骰子5次，每次记录下投掷结果。请问，所

有投掷结果的和为21的概率是多少？

解答：

首先，我们可以通过枚举的方式列举出所有可能出现的结果。然后，计算满足条件的结果个数，最后除以总的可能结果个数即可得到概率。

2. 条件概率问题

某班级有40%的学生喜欢数学，35%的学生喜欢英语，同时有25%

的学生既喜欢数学又喜欢英语。现在，从该班级中随机选取一名学生，请问他喜欢英语的概率是多少？

解答：

根据条件概率公式，我们可以用已知信息计算所需的概率。设A表

示喜欢英语的事件，B表示喜欢数学的事件，根据已知条件可得

P(A∩B) = 25%，P(B) = 40%。那么概率可以通过P(A) = P(A∩B) / P(B)计算得出。

3. 离散型随机变量问题

设随机变量X的概率分布为P(X=x) = 1/2^x，其中x=1,2,3,…。求该随机变量的期望。

解答：

期望可以通过求和的方式计算。设E(X)表示X的期望，根据期望的定义可得E(X) = ∑(x * p(x))，其中p(x)表示X取某一值的概率。在本题中，我们可以将每个x与其对应的概率代入求和公式，然后进行计算即可得到答案。

4. 连续型随机变量问题

假设X为一连续型随机变量，其概率密度函数为f(x) = 2x，其中0 ≤ x ≤ 1。求该随机变量的期望。

概率论与数理统计试题

武汉大学数学与统计学院《概率论与数理统计》试题

姓名：学号：学院：专业：

说明：一共九道题目，第一至第七题每题10分，第八、第九题各15分.

一、1）已知事件A 、B 、C 均为事件D 的子事件，试证：

P(D)≥P(A)＋P(B)＋P(C)－2 .

2）口袋中装有外形相同的球共M 只，其中白色者K 只，黑色者N 只，余为红球. 按不放

回方式从袋中取球，并记录其颜色，问黑球比白球先出现的概率为何？

二、1）已知函数F 1(x) 和F 2(x)均为分布函数，a 和b 均为非负实数，且a ＋b=1,则：F(x)=aF 1(x)+bF 2(x)是否为分布函数？请述理由.

2）设 X ～f(x )=2)2(2

21

--x e π,记F(x )为X 的分布函数,Ф(x )为标准的正态分布函数，

若已知F(0)=λ,求：Ф(2)、Ф(-2)及 F(4).

三、某人对某目标进行射击，其每次的命中率为0.01，连续射击800次，试求至少击中两

次的概率.

四、公共汽车每隔5分钟通过某个汽车站点，乘客随机到站侯车. 假定侯车时间T 服从均匀分布，试求：

1） T 的分布函数F(t)及某乘客侯车不超过2分钟的概率；

2）欲将乘客侯车的平均时间控制在3分钟内，则公共汽车到站的时间间隔至多为几分钟？

五、1）请你给出自由度为n 的2χ(n)分布的定义，同时给出E(2χ(n)).

2）设X 1,X 2,X 3,… X 10为来自N(0,0.32)的一个样本，求P ｛

∑=≥101i 2i 1.44X ｝. 参考数据：P ｛2χ(10)＞15.987｝=0.1 , P ｛2χ(9)＞16.919｝=0.05 ,

《概率论与数理统计》练习题（含答案）

一、单项选择题

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.

答案：（D ）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.

事实上由图 可见A 与C 不独立.

2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.

答案：（A ）

解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.

3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.

S

A

B

C

答案：（B ）

解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=）

，（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.

4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

数理统计练习题

一、填空题

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.8，则P (A +B )=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为

8180，则此射手的命中率3

2。 3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则

=2

)]([)

(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(−−X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(2

22

121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(2

11σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,

01

0,20,23),(2

y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=

EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；

)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2

ˆθ有效。 1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。 2、设X ∼B (2,p )，Y ∼B (3,p )，且P {X ≥ 1}=

概率论与数理统计练习题

一、填空题

1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ

()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是：

⎩⎨

⎧<<=其他

103)(2

x x x f ，且{}784

.0=≥αX P ，则α=0.6 。

6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他

,

010,20,

2

3

),(2y x xy y x f ，

则E (Y )= 3/4 。

7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N

(2, 13) 。

8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。

9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2X P 0.6247 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1

22

1)(-+-=

x x

e x

f π

，则E (X )= 1 。