2020人教版九年级数学下册 小专题1

专题05 反比例函数中的等腰直角三角形1．如图，在平面直角坐标系中，将直线3y x =-向上平移3个单位，与y 轴、x 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ．若反比例函数ky x=(0)x >的图象经过点C ，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6⊥CE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，2．如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，90ACO ADB∠=∠=︒，反比例函数yx=在第一象限的图象经过点B，则OAC与BAD的面积差为（）．A．32B．16C．8D．4⊥⊥OAC 和⊥BAD 都是等腰直角三角形， 3．如图，11122233…是分别以123…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点111222333(,),(,),(,),C x y C x y C x y …均在反比例函数4y x=（x ＞0）的图象上，则12100y y y +++的值为（ ）A ．B ．20C ．D ．【答案】B【分析】作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出1234C C C C 、、、点的纵坐标，找到规律，再求和即可．4100=2+y ++．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、方程的解法等知识，熟练掌握相关知识、找到规律是解题的关键．4．如图，一次函数15y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，⊥ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中，直角顶点C 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，则k 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【详解】解：作CD OB ⊥于D ，AE CD ⊥于E ，1），点C 在反比例函数ky x=上，则k 的值为（ ）A ．22B． C ．4- D ．2-A 点坐标BD OG ∴=3AG ∴=，ABC ∠=ABG ∴∠+ABG ∠+CBE ∴∠=在ABG ∆和CBE BEC BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩点【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，利用了数形结合思想．求得点C的坐标是解题的关键．6．如图，⊥OA1B1，⊥A1A2B2，⊥A2A3B3，…是分别以B1，B2，B3，…为直角顶点，斜边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函数y＝4x（x＞0）的图象上，则y1+y2+y3+…+y10的值为（）A．B．6C．D．则90OD B OD B OD B∠=∠=∠=︒，⊥7．如图，点A 在反比例函数()0=>y x x的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中⊥OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．4则90,OMA AHB 证明,AOM BAH ≌ 可得,,AH AMBH 设2,,A m m则222,,,,AMm OMMH mBD m mmm可得 22,,B mm m m 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．【详解】解：如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为，则90,OMA AHB90,MOA MAO,,AOAB AOAB 90,MAOBAH,MOABAH,AOM BAH ≌,,OMAH AM BH设2,,A m m则222,,,,AM m OMMH mBD m mmm∴ 22,,B mm m m22222282,OBmm m mmm0,m > 而当0,0a b >>时，则2,a b ab +≥2222882228,m m m m⊥2282mm 的最小值是8， ⊥OB 的最小值是82 2.= 故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性．如图，OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点1(0)y x x=>的图象上，则经过点A 的反比例函数表达式为____________．1【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 关于原点O 对称，以线段AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点C 在第四象限，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点C ，若点B 的坐标为(－1，－3)，则k 的值为___．【答案】-3【分析】利用等腰直角三角形，构造全等三角形，如图，ACD CBE ≌，然后得到对应边31k BE a a=-=+，，，然后根据对应边相等，建立方程组，即可求解． 轴的垂线交于点D ，与过点ABC 是等腰直角三角形ABC ，90ACB ∴∠=ACD ∴∠+∠AD DE ⊥，ACD ∴∠+∠CAD ∴∠=∠在ACD △ADC CAD AC ∠=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩()ACD CBE AAS ∴≌AD CE CD BE ∴==，设()k C a a，， (13)B --，，点A 、点(13)A ∴，，3DC ∴=33k a k ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，D 是BC 的中点，过点D 的反比例函数()0k y x x=>的图象交AB 于点E ，连接DE ．若5OD =，3cos 5COD ∠=．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点P 在x 轴上，且以P ，A ，E 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出P 点坐标．y＝kx（x＞0）的图象交于B（m，2）．（1）求k和b的值；（2）在双曲线y＝kx（x＞0）上是否存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）．【分析】（1）将点A坐标代入直线y=x+b中求出b，进而求出点B坐标，最后代入反比例函数解析式中，求出k；（2）先求出AB的长，再分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，判断即可得出结论．12．如图，反比例y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内交于A（4，a）．x（1）求一次函数的解析式；（2）若直线x=n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若⊥ABC是等腰直角三角形，求n的值．（2）由题意可知，点B、C的坐标分别为（n，4n），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，如图，当x=0时，y=﹣3；当y=0时，x=3，13．如图，已知反比例函数y＝1的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象交于A，B两点，Ax，－2)．点横坐标为1，B(－12(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使⊥AOP为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，过点()1,3A 作//AB x 轴、交反比例的数y x=()0x >的图象于点B ，连接OA ，以A 为顶点，OA 为直角边作等腰直角三角形OAC ．点C 恰好落在反比例函数图象上．（1）求反比例函数()0k y x x=>的解析式；（2）连接BC ，求ABC ∆的面积．，求证AOD⊥CAE的长度也可求得，ABC⊥A点坐标为(1,3)，⊥AOC在AOD和CAE⊥AOD⊥CAE．如图，AOB 为等腰直角三角形，斜边A ，交y 轴于点C ，反比例函数k y x=（0x >）的图像也经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）过O 点作OD AC ⊥于D 点，求22CD AD -的值；（3）若点P 是x 轴上的动点，点Q 在反比例函数的图像上使得PAQ △为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点Q 的坐标． 根据题意AOB 为等腰直角三角形，，根据一次函数即可求得反比例函数解析式；Rt COD 中，2CD =即可求得；分三种情况讨论①若PAQ ∠OB ，从而求得作AC x ⊥轴于Rt ADQ≌Rt PEQ，设APQ=︒90Rt ACP≌Rt PDQ，设+=，可得2CP PD OD的坐标．【详解】（1）过点A分别作∴四边形AMON是矩形，△AOB是等腰直角三角形，∴∠AON∴=ON NA∴四边形∴=AM AN∴设(,A a点反比例函数A）(2,2)Rt COD 中，AOD △中，②,得2CD ）①若PAQ ∠在AOP 与ABQ △中，,AO AB =AOP ∴△≌△ABQ ∴∠=∠又45ABO ∠=90OBQ ∴∠=即QB OB ⊥(2,2)A ，(4,0)B ∴把4x =代入1(4,1)Q ∴②若AQP ∠在Rt ADQ 与Rt PEQ ，AQ PQ AQD PQE ==∠∴Rt ADQ ≌Rt PEQ ，AD PE EQ ∴==，设4(,Q m m ,OE m CE =由OC CE +，， 0m >，1m ∴=+2(5Q ∴+③若APQ ∠在Rt ACP 与Rt PDQ 中，,PA PQ APC PQD =∠=∠∴Rt ACP ≌Rt PDQ ，,AC PD CP DQ ∴==，设4(,)Q n n ，则,OD n CP =0n >，22n ∴=+3(22Q ∴综上所述，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键．16．如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数y x=-的图象交于(2,)A m -、(6,)B n 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称．（1）求一次函数的解析式以及点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使得2PD PA +的值最小？若存在，求出点P 的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由．（3）将ADC ∠沿x 轴左右平移，顶点D 的对应点为D '．在平移过程中，将该角绕点D '旋转，使它的一边始终经过点A ，另一边与直线AC 交于点C '，若AD C ''∆为等腰直角三角形，求此时点C '的坐标． 663，P 点坐标为）或（−5，的坐标，然后利用待定系数法可求出一23，PA=43，33 DP ，3343333，即的最小值为663，P点坐标为（；（3）当边AD经过点A时有两种情形：⊥⊥AD′C′＝45°，⊥直线AC的解析式为y＝3x＋12，⊥D′（16，0），设C′（m，3m＋12），17．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABO的底边OA在x轴上，顶点B在反比例函数y= 12x（x＞0）的图象上．当底边OA上的点A在x的正半轴上自左向右移动时，顶点B也随之在反比例函数y= 12x（x＞0）的图象上滑动，但点O始终位于原点．①②（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标；（2）当点A移动到什么位置时，三角形ABO变成等腰直角三角形，请说明理由；（3）在（2）中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y= 12x（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标（2）点移动到（，0）时，△变成等腰直角三角形．顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F 四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．⊥⊥CHB=⊥BOA=90°，⊥2222(3)23b b -+=+，当P（6-，1）；-+3，0）时，同理得Q（6当EQ为对角线时，则EF=PF，即22=，EF PE当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；7。

专题1.7 有理数的应用【典例1】2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．星期一二三四五六日超减产量/个+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量；（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.25元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.8元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.2元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.25元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元？（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量；（3）根据每周计件工资制，列出算式可以解答本题；（4）根据日计件工资制，列出算式可以解答本题．解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.8+11×（0.8+0.2）＝1680+11×1＝1680+11＝1691（元），答：小王这一周的工资总额是1691元；（4）第一天：300×0.8+5×（0.8+0.2）＝245（元）；第二天：（300﹣2）×0.8﹣2×0.25＝237.9（元）；第三天：（300﹣4）×0.8﹣4×0.25＝235.8（元）；第四天：300×0.8+13×（0.8+0.2）＝253（元）；第五天：（300﹣9）×0.8﹣9×0.25＝230.55（元）；第六天：300×0.8+16×（0.8+0.2）＝256（元）；第七天：（300﹣8）×0.8﹣8×0.25＝231.6（元）；共245+237.9+235.8+253+230.55+256+231.6＝1689.85（元）．答：小王这一周的工资总额是1689.85元．1．（2021秋•台州期末）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山时，每登高1000米气温的变化量为﹣6℃．今年元旦、七（2）班几位同学约好去登山，同一时间，得知山顶气温为﹣1℃，山脚的气温为2.5℃．问这座山的高度有多少米？（结果精确到1米）【思路点拨】根据题意列出算式[2.5﹣（﹣1）]÷6×1000，依此计算即可求出值．【解题过程】解：根据题意得：[2.5﹣（﹣1）]÷6×1000＝3.5÷6×1000＝3500÷6＝583（米）．故这座山的高度大约有583米．2．（2021秋•晋江市校级期末）某七年级（1）班抽查了10名同学的体重，以40kg为标准，超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，记录情况如下（单位：kg）：+5、﹣3、+10、﹣4、﹣5、﹣3、﹣8、+1、+5、+15．（1）这10名同学中，最重体重是55kg，比体重最轻的重了23kg．（2）这10名同学的平均体重是多少？【思路点拨】（1）根据正负数的意义记录最大的正数为最重，最小的负数为最轻；（2）把记录相加除以10，再加上以40kg基准计算即可得解．【解题过程】解：（1）这10名同学中，最重体重是：40+15＝55（kg），最重体重比体重最轻的重了：15﹣（﹣8）＝15+8＝23（kg），故答案为：55；23；（2）110×（5﹣3+10﹣4﹣5﹣3﹣8+1+5+15）+40=110×13+40＝1.3+40＝41.3（kg），答：这10名同学的平均体重是41.3kg．3．（2021秋•仁怀市期末）某散酒销售商有10桶散酒准备销售，称得质量如下（单位：千克）：199，198，198.5，201，199.5，202，197，200.5，203，201.5．（1）每桶散酒超过200千克的千克数记正数，不足的千克数记为负数．请用正、负数表示这10桶散酒的质量；（2）计算这10桶散酒的总质量；（3）若这种散酒的售价为每千克80元，则这10桶散酒能卖多少元？【思路点拨】（1）以200千克为基准数，把相应数分别减去200即可；（2）求出（1）中的数的和，再加上2000×10即可；（3）10桶散酒的总金额＝10桶散酒的质量×单价．【解题过程】解：（1）以200千克为基准数，用正、负数表示这10桶散酒的质量分别为：﹣1，﹣2，﹣1.5，+1，﹣0.5，+2，﹣3，+0.5，+3，+1.5；（2）﹣1﹣2﹣1.5+1﹣0.5+2﹣3+0.5+3+1.5＝0，0+200×10＝2000（千克），答：这10桶散酒的总质量为2000千克；（3）2000×80＝160000（元），答：这10桶散酒能卖160000元．4．（2022春•泾阳县月考）登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米）+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．（1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？（2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？【思路点拨】（1）直接根据有理数的加减运算法则进行计算即可得出答案．（2）先计算出上升和下降的距离，再根据有理数乘法可得答案．【解题过程】解：（1）260﹣50+90﹣20+80﹣25+105＝440（米）．500﹣440＝60（米）．℃这次登山王叔叔没有登上顶峰，最终矩顶峰还有60米．（2）|+260|+|﹣50|+|+90|+|﹣20|+|+80|+|﹣25|+|+105|＝630（米），630×8＝5040（千卡）．所以王叔叔这次登山过程中共消耗5040千卡的能量．5．（2021秋•建昌县期末）目前白菜货源不足，市场价格高于往年同期，白菜销售紧俏．现有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下（单位：千克）：与标准质量的差值﹣3﹣2﹣1012筐数142328（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多5千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价3.4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？【思路点拨】（1）根据最大数减最小数，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得标准的重量，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得总重量，根据单价乘以数量，可得答案．【解题过程】解：（1）最重的一筐比最轻的一筐多重2﹣（﹣3）＝2+3＝5（千克），故答案为：5；（2）根据题意，得：（﹣3）×1+（﹣2）×4+（﹣1）×2+0×3+1×2+2×8＝5（千克），答：与标准重量比较，20筐白菜总计超过5千克；（3）根据题意，得：（20×25+5）×3.4＝1717（元），答：出售这20筐白菜可卖出1717元．6．（2021秋•义乌市期末）小明原有生活费50元，现靠勤工俭学的收入支付生活费，下面是小明一周内每天生活费的增减情况表（增加为正，减少为负，单位：元）：星期一二三四五六日增减+7﹣2+12﹣60﹣1+6（1）求星期二结束时，小明有生活费多少元？（2）在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多多少元？【思路点拨】（1）用原有生活费50元，加星期一、二的生活费收支数字之和；（2）求出每天的生活费并进行大小比较后，再计算最大值与最小值的差即可．【解题过程】解：（1）50+7﹣2＝55（元）；答：星期二结束时，小明有生活费55元；（2）℃50+7＝57（元），57﹣2＝55（元），55+12＝67（元），67﹣6＝61（元），61+0＝61（元），61﹣1＝60（元），60+6＝66（元），且55＜57＜60＜61＜66＜67，℃67﹣55＝12（元），答：在这一周内，小明的生活费最多的一天比最少的一天多12元．7．（2021秋•淇县期末）在今年720特大洪水自然灾害中，一辆物资配送车从仓库O出发，向东走了4千米到达学校A，又继续走了1千米到达学校B．然后向西走了9千米到达学校C，最后回到仓库O．解决下列问题：（1）以仓库O为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴．并在数轴上表示A、B、C的位置；（2）结合数轴计算：学校C在学校A的什么方向，距学校A多远？（3）若该配送车每千米耗油0.1升，在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？【思路点拨】（1）根据题意画出数轴，如图所示；（2）根据数轴上点C和点A的位置解答即可；（3）根据列算式求出行驶的总路程，再乘每千米耗油量即可得到结果．【解题过程】解：（1）如图，（2）4﹣（﹣4）＝8（千米），答：学校C在学校A的西边，距学校A8千米；（3）4+1+9+4＝18（千米），18×0.1＝1.8（升），答：共耗油1.8升．8．（2021秋•西青区期末）一粮库一周内发生粮食进出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）．+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20，+25（℃）经过这一周，库里的粮食是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？（℃）这一周后仓库管理员结算发现库里还存260吨粮食，那么一周前库里存粮多少吨？（℃）如果进出库的装卸费都是每吨8元，那么这一周要付多少装卸费？【思路点拨】（℃）根据有理数的加法，可得答案；（℃）根据剩余的量加上减少的量，可得答案；（℃）根据装卸单价乘以装卸的数量，可得答案．【解题过程】解：（℃）26+（﹣32）+（﹣15）+（+34）+（﹣38）+（﹣20）+（+25）＝﹣20（吨），答：经过这一周，粮库里的粮食是减少20吨；（℃）260﹣（﹣20）＝280（吨），答：一周前粮库里存粮是280吨；（℃）（26+32+15+34+38+20+25）×8＝190×8＝1520（元），答：这一周要付装卸费1520元．9．（2021秋•济源期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；星期一二三四五六日与计划量的差值+4﹣3﹣5+14﹣8+21﹣6（1）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤；（2）本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由；（3）若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣需要小明支付的平均运费是3元，那么小明本周销售冬枣实际共得多少元？【思路点拨】（1）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；（2）先将各数相加求得正负即可求解；（3）将总数量乘以价格差解答即可．【解题过程】解：（1）21﹣（﹣8）＝21+8＝29（斤）．所以根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤．故答案为：29；（2）+4﹣3﹣5+14﹣8+21﹣6＝17＞0，故本周实际销量达到了计划数量；（3）（17+100×7）×（8﹣3）＝717×5＝3585（元）．答：小明本周一共收入3585元．10．（2022春•南岗区期末）某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖200kg脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售与计划量相比有出人，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：kg）．星期一二三四五六日+6+3﹣2+12﹣7+19﹣11与计划量的差值（1）根据表中的数据可知前三天共卖出607kg脐橙；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售30kg脐橙；（3）若电商以1.5元/kg的价格购进脐橙，又按3.5元/kg出售脐橙，且电商需为买家按0.5元/kg的价格支付脐橙的运费，则电商本周一共赚了多少元？【思路点拨】（1）前三天共卖出的脐橙为200×3+（6+3﹣2）千克，计算即可；（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售19﹣（﹣11）＝30（千克）；（3）先计算脐橙的总量，然后根据：总量×（售价﹣进价﹣运费）代入数据计算，结果就是赚的钱数．【解题过程】解：（1）前三天共卖出的脐橙为200×3+（6+3﹣2）＝600+7＝607（千克）；（2）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售19﹣（﹣11）＝30（千克）；（3）200×7+（6+3﹣2+12﹣7+19﹣11）＝1420（千克），1420×（3.5﹣1.5﹣0.5）＝2130（元），答：电商本周一共赚了2130元．11．（2021秋•濮阳期末）如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元/斤）．星期一二三四五六日与前一天的价格涨跌情况（元）+0.2﹣0.3+0.5+0.2﹣0.3+0.4﹣0.1注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元/斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元/斤？（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？【思路点拨】（1）根据有理数的加法，可得每天的价格，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）求出本周末的价格即可．【解题过程】解：（1）星期一的价格：2.7+（+0.2）＝2.9（元）；星期二的价格：2.9+（﹣0.3）＝2.6（元）；星期三的价格：2.6+（+0.5）＝3.1（元）；星期四的价格：3.1+（+0.2）＝3.3（元）；星期五的价格：3.3+（﹣0.3）＝3（元）；星期六的价格：3+（+0.4）＝3.4（元）；星期日的价格：3.4+（﹣0.1）＝3.3（元）；故本周星期六，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元；本周星期二，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.6元．（2）由（1）可知，星期日的价格为3.3元，3.3＞2.7，3.3﹣2.7＝0.6（元），答：与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了，上升了0.6元．12．（2021秋•高新区校级期末）新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前五天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．文具店记录了这五天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：第1天第2天第3天第4天第5天每支价格相对标准价格（元）+3+2+1﹣1﹣2售出支数（支）712153234（1）这五天中赚钱最多的是第4天，这天赚钱96元．（2）新华文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了多少钱？【思路点拨】（1）先根据正数和负数的定义将相对标准价格转化为实际价格，再根据单支利润×售出支数来计算当天利润，再进行比较即可．（2）将这5天每天的利润相加即可得到总利润．【解题过程】解：（1）第1天到第5天的每支钢笔的相对标准价格（元）分别为+3，+2，+1，﹣1，﹣2，则每支钢笔的实际价格（元）分别为13，12，11，10，9，8，第1天的利润为：（13﹣6）×7＝49（元）；第2天的利润为：（12﹣6）×12＝72（元）；第3天的利润为：（11﹣6）×15＝75（元）；第4天的利润为：（9﹣6）×32＝96（元）；第5天的利润为：（8﹣6）×34＝68（元）；49＜68＜72＜75＜96，故这五天中赚钱最多的是第4天，这天赚钱96元．（2）49+72+75+96+68＝360（元）故新华文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了360元钱．13．（2021秋•沐川县期末）小虫在一条水平直线上从点O出发，沿直线来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，连续爬行的路程依次记为（单位：厘米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10，最终停下．（1）求小虫爬行结束后停在直线上的位置？（2）在爬行过程中，小虫一共爬行了多少厘米？（3）小虫爬行过程中离开出发点O最远是多少厘米？【思路点拨】（1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答；（2）求出所有爬行记录的绝对值的和即可．（3）根据正负数的意义分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可．【解题过程】解：（1）由题意可知：+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，故小虫回到原点O；（2）小虫共爬行的路程为：5+|﹣3|+10+|﹣8|+|﹣6|+12+|10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54（厘米），答：小虫一共爬行了54厘米．（3）第一次爬行，此时离开原点5厘米，第二次爬行，此时离开原点5﹣3＝2（厘米），第三次爬行，此时离开原点5﹣3+10＝12（厘米），第四次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8＝4（厘米），第五次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6＝﹣2（厘米），第六次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6+12＝10（厘米），第七次爬行，此时离开原点5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0（厘米），故小虫离开出发点最远是12（厘米）．14．（2021秋•秦都区期末）有一批试剂，每瓶标准剂量为250毫升，现抽取8瓶样品进行检测，超过或不足标准剂量的部分分别用正、负数表示，记录结果如下（单位：毫升）：+6，﹣2，+3，+10，﹣6，+5，﹣15，﹣8．（1）这8瓶样品试剂的总剂量是多少？（2）若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费为10元/毫升，求将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量需要多少人工费？【思路点拨】（1）利用基准数求和，可根据和＝基准数×个数+浮动数，来得出8瓶样品的总重量．（2）计算8瓶样品的增加和减少总量，乘人工费10元/毫升即可．【解题过程】解：（1）250×8+（+6﹣2+3+10﹣6+5﹣15﹣8）＝2000﹣7＝1993（毫升）．答：这8瓶样品试剂的总剂量1993毫升．（2）|+6|+|﹣2|+|+3|+|+10|+|﹣6|+|+5|+|﹣15|+|﹣8|＝6+2+3+10+6+5+15+8＝55（毫升）55×10＝550（元）答：8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量需要550元人工费．15．（2021秋•漳州期末）某路公交车从起点站出发经过A，B，C，D站到达终点站，各站上下乘客的人数（单位：人）记录如表所示（上车记为正，下车记为负）．起点站A站B站C站D站终点站+30+12+5+6+200﹣2﹣8﹣9m﹣20（1）若乘坐该车的票价为每人都为2元，则这趟公交车票款总共多少元；（2）求m的值，并说明行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多．【思路点拨】（1）根据各站之间的人数，乘以票价2元，然后计算即可得解；（2）计算各站车上的乘客人数解答即可．【解题过程】解：（1）2×（30+12+5+6+2）＝2×55＝110（元），答：这趟公交车票款总共110元；（2）起点到A站，车上人数：30，A站到B站，车上人数：30+12﹣2＝40，B站到C站，车上人数，40+5﹣8＝37，C站到D点，37+6﹣9＝34，D站到终点站，34+2+m＝20，解得：m＝﹣16，℃答：表格中m的值是﹣16，A站与B站之间，车上的人数最多，最多乘客人数是40人．16．（2022春•道外区期末）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：﹣0.2500.250.30.5与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量：（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元．【思路点拨】（1）根据总箱数和已知箱数求出n，求出新数的和再加200千克即可；（2）根据销售额＝销售单价×总数量计算即可；（3）根据销售额＝销售单价×总数量×销售比例计算即可．【解题过程】解：（1）n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱），10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2＝203（千克）；答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克；（2）25×203﹣200×20＝1075（元）；答：全部售出可获利1075元；（3）25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20＝466（元）．答：是盈利的，盈利466元．17．（2021秋•乳山市期末）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产220辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过220辆记为正，不足220辆记为负）星期一二三四五六日增减（辆）+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知，前三天共生产了659辆；（2）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了26辆；（3）该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元．【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出前三天共生产了多少辆自行车；（2）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少辆自行车；（3）根据题意，可以列出算式，然后计算即可．【解题过程】解：（1）由表格可得，（220+5）+（220﹣2）+（220﹣4）＝225+218+216＝659（辆），即前三天共生产了659辆，故答案为：659；（2）由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了16﹣（﹣10）＝16+10＝26（辆），故答案为：26；（3）220×7×100+[5+（﹣2）+（﹣4）+13+（﹣10）+16+（﹣9）]×120＝154000+9×120＝154000+1080＝155080（元），答：工人这一周的工资总额是155080元．18．（2021秋•汝阳县期末）某批发商于上周日买进某产品10000kg，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．如表为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元）星期一二三四五与前一天相比价格的涨跌情况/元+0.3﹣0.1+0.25+0.2﹣0.5当天的交易量/kg25002000300015001000（1）星期四该产品价格为每千克多少元？（2）本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？（3）该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？【思路点拨】（1）根据价格的涨跌情况即可作出判断；（2）计算出每天的价格即可作出判断；（3）根据售价﹣进价﹣摊位费用＝收益，即可进行计算．【解题过程】解：（1）2.4+0.3﹣0.1+0.25+0.2＝3.05（元）；答：星期四该产品价格为每千克3.05元；（2）星期一的价格是：2.4+0.3＝2.7（元）；星期二的价格是：2.7﹣0.1＝2.6（元）；星期三的价格是：2.6+0.25＝2.85（元）；星期四是：2.85+0.2＝3.05（元）；星期五是：3.05﹣0.5＝2.55（元）；因而本周内该农产品的最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元；（3）（2500×2.7﹣5×20）+（2000×2.6﹣4×20）+（3000×2.85﹣3×20）+（1500×3.05﹣2×20）+（1000×2.55﹣20）﹣10000×2.4＝6650+5120+8490+4535+2530﹣24000＝27325﹣24000＝3325（元）．答：他在本周的买卖中共赚了3325元钱．19．（2021秋•沙河口区期末）如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：﹣4，+3，﹣6，﹣1，+9，﹣2，﹣5，+4．（1）请通过计算说明A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？【思路点拨】（1）通过计算各数据的代数和，依据题意可得A站的站名；通过依次计算每相邻两站的代数和，找出绝对值最大的数即为距离西安路站最远的站；（2）计算各个数据的绝对值的和即可得到行走的总站数，再乘以1.8即可得出结论． 【解题过程】解：（1）℃﹣4+3﹣6﹣1+9﹣2﹣5+4＝﹣2，东行驶为正，向西为负， ℃A 站在西安路站向西两站即辽师大站；℃﹣4+3＝﹣1，﹣1﹣6＝﹣7，﹣7﹣1＝﹣8，﹣8+9＝1，1﹣2＝﹣1，﹣1﹣5＝﹣6，﹣6+4＝﹣2， ℃﹣8的绝对值最大，可知小王服务期间距离西安路站最远在西安路站西侧8站，即机场站； （2）℃|﹣4|+|3|+|﹣6|+|﹣1|+|+9|+|﹣2|+|﹣5|+|+4|＝34， ℃小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进34站． ℃相邻两站之间的平均距离为1.8千米， ℃34×1.8＝61.2（千米）．答：小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是61.2千米．20．（2022春•香坊区期末）如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，某天，小明参加该线路上的志愿者服务活动，从C 站出发，最后在某站结束服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，﹣3，+4，﹣5，+8，﹣2，+1，﹣3，﹣4，+1．（1）请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？（3）已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若小明开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？ 【思路点拨】（1）用原点表示起点位置，再利用有理数的和求解； （2）先用绝对值求共几个站，再求里程数； （3）列方程求解． 【解题过程】解：（1）设C 站为原点，则）：+5﹣3+4﹣5+8﹣2+1﹣3﹣4+1＝+2，表示原点右侧第二个站，即E 站． （2））|+5|+|﹣3|+|+4|+|﹣5|+|+8|+|﹣2|+|+1|+|﹣3|+|﹣4|+|+1|＝5+3+4+5+8+2+1+3+4+1＝36， 36×2.5＝90（千米）．（3）设该汽车油箱能存储油x 升， 依题意得：1170x ﹣0.2×90＝0.1x ，解得：x ＝315，答：该汽车油箱能存储油315升，。

专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C （6，m ）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC ，在x 轴上找一点P ，使S △POC ＝2S △AOC ，请求出点P 的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ≠）的图象与反比例函数2y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．【答案】(1)8n =- (2)4m =或4-【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B 点坐标计算求值即可； （2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令0∆=，4．一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝x的图象交于点A (4，1)．(1)画出反比例函数y ＝m x 的图象，并写出﹣12x +3＞m x的x 取值范围； (2)将y ＝﹣12x +3沿y 轴平移n 个单位后得到直线l ，当l 与反比例函数的图象只有一个交点时，求n 的值．1m则()26=--解得12n =-当l 与反比例函数的图像只有一个交点时，则【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．5．如图：一次函数的图象与反比例函数y x=的图象交于()2,6A -和点()4,B n ．（1）求点B 的坐标；（2）根据图象回答，当x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值． ）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．47．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2my x=分别交于点C ，D ，作CE x ⊥轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式； (2)在y 轴上存在一点P ，使ABPCEOS S=，请求出P 的坐标．12ABPCEOSSCE ==243a ⨯-⨯=，解出S=CEOS=3ABPP(0，BP=S=ABPa-22解得：a=交于A，B两点，其中A的坐标为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线yx（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与∵C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的x图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且∵OCB与∵OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将∵OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．y x=-+y∴=时，(5,0)B∴OCB∆与C∴为AB(1,6)A-(2,3)C∴．如图，过点将OBC∆C'在第二象限，(3,2)C∴'-∴点C'是落在函数【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=x（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD∵x轴于点D，连接OP，若∵POD的面积为S，求S的最大值和最小值．）一次函数）一次函数14n≤≤S12 =-1 2a=-11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数y x=．(1)当函数my x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ． (2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x m ⎧>⎪⎨⎪<--⎩（m <0），求m 的取值范围．（2）12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，xn）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．A，(1,2)∴△的ACPACP的面积是13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（∵）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10∵时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？20x小时，蔬菜才能避免受到伤害．本题考查一次函数和反比例函数的应用，．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． (1)求当02x ≤≤时，y 与x 的函数关系式； (2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =8k ， 与x 的函数关系式为第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x 时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？5100x 时，设经过点(5,0)，(100,19)019b =+= 0.21k b =⎧⎨=-⎩解析式为0.2y x =经过点堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段，当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析（2）温y （∵）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100∵时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （∵）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20∵时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ≤≤时，求水温y （∵）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少∵？x时，20小丽散步70【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．。

专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。

专题28 投影与视图最新中考真题与模拟精练1．（2022·安徽·定远县育才学校一模）学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m 的小明(AB )的影子BC 长是3 m,而小颖(EH )刚好在路灯灯泡的正下方H 点,并测得HB=6 m . (1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G ; (2)求路灯灯泡的垂直高度GH ;(3)如果小明沿线段BH 向小颖(点H )走去,当小明走到BH 的中点B 1处时,其影子长为B 1C 1;当小明继续走剩下路程的13到B 2处时,其影子长为B 2C 2;当小明继续走剩下路程的14到B 3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的11n +到Bn 处时,其影子BnCn 的长为 m .(直接用含n 的代数式表示)【答案】(1)详见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH 是4.8 m ；（3）BnCn=31n +. 【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH 可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC△△GHC 由它们对应成比例可以求出GH ；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.(2)根据题意,得△ABC △△GHC ,∴AB BC GH HC =,∴1.6363GH =+,解得GH=4.8 m . 答:路灯灯泡的垂直高度GH 是4.8 m .(3)提示:同理可得△A 1B 1C 1△△GHC 1,∴11111A B B C GH HC=, 设B 1C 1长为x m,则1.64.83xx =+, 解得x=1.5,即B 1C 1=1.5 m . 同理22221.64.82B C B C =+,解得B 2C 2=1 m,∴1.614.861n n n n B C B C n =+⨯+,解得BnCn=31n +. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．2．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l 1、l 2,点A 、B 在直线l 2上，过点A 、B 两点分别作直线l 1的垂线，垂足分别为A 1、B 1，我们把线段A 1B 1叫做线段AB 在直线l 2上的正投影，其长度可记作T （AB ，CD ）或T （AB ，l 2）,特别地，线段AC 在直线l 2上的正投影就是线段A 1C ，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC 中，AB=5，T （AC ，AB ）=3，则T （BC ，AB ）= ；（2）如图2，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，T （AC ，AB ）=4，T （BC ，AB ）=9，求△ABC 的面积； （3）如图3，在钝角△ABC 中，△A=60°，点D 在AB 边上，△ACD=90°，T （AD ，AC ）=2，T （BC ，AB ）=6，求T （BC ，CD ）.【答案】（1）2 ；（2）△ABC 的面积=39；（3）T （BC ，CD ）=732【分析】(1)如图1，过C 作CH△AB ，根据正投影的定义求出BH 的长即可；(2)如图2，过点C 作CH△AB 于H ，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH 的长即可解决问题；(3)如图3，过C 作CH△AB 于H ，过B 作BK△CD 于K ，求出CD 、DK 即可得答案. 【详解】(1)如图1，过C 作CH△AB ，垂足为H ， △T (AC ，AB)=3， △AH=3， △AB=5， △BH=AB-AH=2， △T (BC ，AB)=BH=2， 故答案为2；(2)如图2，过点C 作CH△AB 于H ， 则△AHC=△CHB=90°， △△B+△HCB=90°， △△ACB=90°， △△B+△A=90°△△A=△HCB，△△ACH△△CBH，△CH：BH=AH：CH，△CH2=AH·BH，△T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，△AH=4，BH=9，△AB=AH+BH=13，CH=6，△S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；(3)如图3，过C作CH△AB于H，过B作BK△CD于K，△△ACD=90°，T(AD，AC)=2，△AC=2，△△A=60°，△△ADC=△BDK=30°，△CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12AC=1，△DH=4-1=3，△T(BC，AB)=6，CH△AB，△BH=6，△DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，△K=90°，BD=3，△BDK=30°，△DK=BD·cos30°=332，△T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+332=73 2.【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键. 3．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i=，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG△CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH△AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：90150 72x=，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，△高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG△CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，△斜坡坡度1:0.75i=，△140.753DE FG CE CG ===， △设FG=4m ，CG=3m ，在△CFG 中，()()22243100m m +=，解得：m=20， △CG=60，FG=80， △BG=BC+CG=160， 过点F 作FH△AB 于点H ，△同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ， FG△BE ，AB△BE ，FH△AB ， 可知四边形HBGF 为矩形， △9072AH AH HF BG==， △AH=90901607272BG ⨯=⨯=200，△AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．4．（2011·全国·中考模拟）如图所给的A 、B 、C 三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A 、B 、C 三个几何体的主视图分别是A 1、B 1、C 1；左视图分别是A 2、B 2、C 2；俯视图分别是A3、B3、C3．（1）请你分别写出A 1、A 2、A 3、B 1、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3图形的名称；（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A 1、A 2、A 3的三张卡片放在甲口袋中，画有B 1、B 2、B 3的三张卡片放在乙口袋中，画有C 1、C 2、C 3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片． ①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】(1)见解析；（2）①49;②不公平，详见解析.【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可； （2）按照题意画出树状图，获胜的概率相同游戏就公平．【详解】（1）由已知可得A 1、A 2是矩形，A 3是圆；B 1、B 2、B 3都是矩形；C 1是三角形，C 2、C 3是矩形；（2）①补全树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，△三张卡片上的图形名称都相同的概率是124=279；②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是124=279，即P （小刚获胜）=49，三张卡片上的图形名称完全不同的概率是31=279，即P （小亮获胜）=19，△49＞19， △这个游戏对双方不公平．【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．还考查了通过画树状图求随机事件的概率．用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比．5．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO △OD ，EF △FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．【答案】旗杆的高AB 为3米．【分析】证明△AOD △△EFG ，利用相似比计算出AO 的长，再证明△BOC △△AOD ，然后利用相似比计算OB 的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：△AD △EG ， △△ADO =△EGF ． 又△△AOD =△EFG =90°， △△AOD △△EFG ． △AO ODEF FG=． △ 1.820152.4EF OD AO FG ⋅⨯===． 同理，△BOC △△AOD ． △BO OC AO OD=． △15161220AO OC BO OD ⋅⨯===． △AB =OA −OB =3（米）． △旗杆的高AB 为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．6．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A 可在BD 上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，AE EF =，90cm AC BC CE ===，70cm DF '=．(1)BD 的长为______． (2)如图2，当54cm AB =时．①求ACB ∠的度数；（参考数据：sin17.50.30︒≈，tan16.70.30︒≈，sin36.90.60︒≈，tan31.00.60︒≈）②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 【答案】(1)250cm (2)①35°；②29484π【分析】（1）根据题意可得BD BF F D ''=+，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，可得BF EF AC CE '==+，代入数据求解即可；（2）①过点C 作CG AG ⊥，根据BC AC =，可得127cm 2AG GB ACG ACB ==∠=∠，，根据sin 0.3ACG ∠=，sin17.50.30︒≈，即可求解；②根据题意可知CG AF ∥，则17.5EAH ∠=︒，根据sin17.5EH AE =︒⋅求得EH ，根据勾股定理可得222AH AE EH =-，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可． （1）解：△BD BF F D ''=+当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，可得BF EF AC CE '==+△BD BF F D ''=+909070250EF F D AC CE F D ''=+=++=++=cm （2）①如图，过点C 作CG AG ⊥90BC AC ==cm ，54cm AB =27AG GB ∴==cm ，12ACG ACB ∠=∠273sin 0.39010AG ACG AC ∠===≈17.5ACG ∴∠=︒ 235ACB ACG ∴∠=∠=︒②如图，连接AF ，过点E 作EH AF ⊥，AE EF =AH HF ∴=根据题意可知CG AF ∥ 17.5EAH ∴∠=︒ 180cm AE =sin17.50.318054EH AE ∴=︒⋅=⨯=222221280598444AH AE EH ∴=-=-= ∴伞能遮雨的面积为29484π【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．7．（2018·江苏扬州·中考模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P (1x , 1y ) ，Q (2x , 2y ) 是图形 W 上的任意两点，若12x x -的最大值为 m ，则图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx = m ；若12y y -的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的投影长度为 ly = n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx =40- = 4 ；在 y 轴上的 投影长度为 ly =30-= 3 ．（1）已知点 A (1, 2) ， B (2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ， 则 lx = ， ly = ；（2）已知点 C (-32, 0) ，点 D 在直线 y =12x - 1(x < 0) 上，若图形 W 为 ∆OCD ，当 lx =ly时，求点 D 的坐标；（3 ）若图形 W 为函数 y = x 2(a ≤ x ≤ b ) 的图象，其中 (0 ≤ a < b ) ，当该图形满足 lx = ly ≤ 1时，请直接写出 a 的取值范围．图 1 图 2【答案】（1）4,3;(2)（-23，143）或（-10，-14）;(3) 102a ≤<.【分析】（1）确定出点A 在y 轴的投影的坐标、点B 在x 轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P 作PD△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l x =l y ，列方程求解即可；（3）设A （a ，a 2）、B （b ，b 2）．分别求得图形在y 轴和x 轴上的投影，由l x =l y 可得到b+a=1，然后根据0≤a ＜b 可求得a 的取值范围． 【详解】解：（1）△A （3，3），△点A 在y 轴上的正投影的坐标为（0，3）． △△OAB 在y 轴上的投影长度l y =3． △B （4，1），△点B 在x 轴上的正投影的坐标为（4，0）． △△OAB 在x 轴上的投影长度l x =4． 故答案为4；3．（2）如图1所示；过点P 作PD△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=2x+6．△PD△x 轴，△P （x ，0）．△PC=4-x ．△l x =l y ，△2x+6=4-x ，解得；x=-23．△D （-23，143）． 如图2所示：过点D 作DP△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=-2x-6．△PD△x 轴，△P （x ，0）．△PC=4-x ．△l x =l y ，△-2x-6=4-x ，解得；x=-10．△D （-10，-14）．综上所述，点D 的坐标为（-23，143）或（-10，-14）． （3）如图3所示：设A （a ，a 2）、B （b ，b 2）．则CE=b-a ，DF=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）．△l x =l y ，△（b+a ）（b-a ）=b-a ，即（b+a-1）（b-a ）=0．△b≠a ，△b+a=1．又△0≤a ＜b ，△a+a ＜1，△0≤a ＜12. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W 在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l x =l y 列出关于x 的方程和不等式是解题的关键．8．（2022·江苏无锡·模拟预测）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥S ABCD -，点O 是正方形ABCD 的中心SO 垂直于地面，是正四棱锥S ABCD -的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子PBC 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S ABCD -表示．（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD 的边长为80m ，金字塔甲的影子是50m PBC PC PB ==，，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m ．（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD 边长为80m ，金字塔乙的影子是PBC ，75,402m PCB PC ∠=︒=，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．【答案】（1）100；（2）506．【分析】（1）如图2中，连接OP 交BC 于T ，勾股定理求得OP ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得OS ；（2）如图1中，连接OP ，OC ,过点O 作OR PC ⊥交PC 的延长线于R ,勾股定理求得OP ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得OS ．【详解】（1）如图2中，连接OP 交BC 于T ，四边形ABCD 是正方形，,OC OB AC BD ∴=⊥，80BC CD == ，50PC PB ==，OP ∴垂直平分BC ，1140,4022OT CD TC TB BC ∴=====， 2222504030PT PC CT ∴=-=-=，403070OP OT PT ∴=+=+=，设金子塔的高度为h ，物体的长度与影子的长度成比例，10.7h OP =， 100h ∴=，故答案为：100．（2）如图，根据图1作出俯视图，连接OP ，OC ,过点O 作OR PC ⊥交PC 的延长线于R ,4575120OCP OCB PCB∠=∠+∠=︒+︒=︒，60OCR∴∠=︒，80BC=，四边形ABCD是正方形，22221118080402222OC AC AB BC∴==+=+=，cos60202CR OC∴=⨯︒=，3sin604022062OR OC=⨯︒=⨯=，402202602PR PC CR∴=+=+=，2222(206)(602)406OP OR PR∴=+=+=，10.8SOOP=，506SO∴=．∴乙金字塔的高度为506．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．【答案】（1）320；（2）见详解【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，△荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-12×2×1=3，△站在监控盲区的概率=3÷20=320；（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2×12×1×2=2，若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=12×(CM+2)×2＞2．【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．10．（2019·陕西西安·中考模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【答案】（1）18米；（2）3.6米【分析】（1）如图1，先证明△APM△△ABD，利用相似比可得AP＝16AB，即得BQ＝16AB，则16AB+12+16AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM△△NAC，利用相似三角形的性质得1.6189.6BNBN=+，然后利用比例性质求出BN即可．【详解】解：（1）如图1，△PM△BD，△△APM△△ABD，AP PMAB BD=，即1.69.6APAB=，△AP＝16AB，△QB=AP，△BQ＝16AB，而AP+PQ+BQ＝AB，△16AB+12+16AB＝AB，△AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，△BM△AC，△△NBM△△NAC，△BN BMAN AC=，即1.6189.6BNBN=+，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．11．（2021·全国·九年级专题练习）小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC 的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C ，并在点C 处安装了测倾器CD ，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B ，顶部作为点A ，现测得古树的项端A 的仰角为37°，再在BC 的延长线上确定一点F ，使CF ＝5米，小华站在F 处，测得小华的身高EF ＝1.8米，小华在太阳光下的影长FG ＝3米，此时，大树AB 在太阳光下的影子为BF ．已知测倾器的高度CD ＝1.5米，点G 、F 、C 、B 在同一水平直线上，且EF 、CD 、AB 均垂直于BG ，求小河的宽度BC ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75）【答案】10米【分析】过点D 作DH △AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x ，在Rt △ADH 中，用x 表示出AH ，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC ．【详解】解：如图，过点D 作DH △AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，△BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x ，根据题意可知：在Rt △ADH 中，△ADH ＝37°，△AH ＝DH •tan 37°≈0.75x ，△AB ＝AH ＋BH ＝0.75x ＋1.5，BF ＝FC ＋CB ＝5＋x ，根据同一时刻物高与影长的比相等，△EF AB FG BF=， △1.80.75 1.535x x+=+，解得x＝10，所以BC＝10（米），答：小河的宽度BC为10米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用同一时刻物高与影长的比相等建立方程．12．（2021·全国·九年级专题练习）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．（1）你认为小玲和小强的说法对吗？（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；（2）根据题意可得DEEH＝10.6，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；（3）结合（2）即可得树的影长．【详解】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得； （2）根据题意画出图形，如图所示，根据平行投影可知：DEEH＝10.6，DE＝0.3，∴EH＝0.3×0.6＝0.18，∵四边形DGFH是平行四边形，∴FH＝DG＝0.2，∵AE＝4.42，∴AF＝AE+EH +FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，∵ABAF ＝10.6，∴AB＝4.80.6＝8（米）．答：树的高度为8米．（3）由（2）可知：AF＝4.8（米），答：树的影子长度是4.8米．【点睛】考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．13．（2021·全国·九年级专题练习）为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？【答案】线条示意图见解析，新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m.【分析】利用同一时刻投影的性质得出1.51 4.6AB ABBE==,进而得出答案．【详解】解:如图所示:过点E作EB△AC于点B,由题意可得:DC=BE=4．6m ，DE=BC=2. 5m,△同一时刻身高1．5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米,1.51 4.6AB AB BE == 解得: AB=6.9,△AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4 (m),答:新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m ．【点睛】此题主要考查了投影的应用，利用同一时刻影子与高度的关系得出比例式是解题关键．14．（2011·四川达州·中考模拟）已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．【答案】（1）答案见解析；（2）7.5m【详解】解：（1）作法：连接AC ，过点D 作DF△AC ，交直线BE 于F ，则EF 就是DE 的投影．（2）△太阳光线是平行的，△AC△DF ．△△ACB=△DFE ．又△△ABC=△DEF=90°，△△ABC△△DEF ．△AB BC DE EF=， △AB=5m ，BC=4m ，EF=6m ，△546DE =， △DE=7.5(m) ．【点睛】本题难度中等，主要考查学生对投影问题与相似三角形相结合解决实际问题的能力．15．（2021·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB 的影长AC 为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案】（1）树AB 的高约为43m ；（2）83m ．【分析】（1）在直角△ABC 中，已知△ACB =30°，AC =12米．利用三角函数即可求得AB 的长；（2）在△AB 1C 1中，已知AB 1的长，即AB 的长，△B 1AC 1=45°，△B 1C 1A =30°．过B 1作AC 1的垂线，在直角△AB 1N 中根据三角函数求得AN ，BN ；再在直角△B 1NC 1中，根据三角函数求得NC 1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．【详解】解：（1）AB =AC tan30°=12× 33= 43（米）．答：树高约为43 米．（2）如图（2），B 1N =AN =AB 1sin45°=43×22=26（米）．NC 1=NB 1tan60°=26 ×3 =62 （米）．AC 1=AN +NC 1=26 +62 ．当树与地面成60°角时影长最大AC 2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的△A 相切时影长最大）AC 2=2AB 2=83 ；16．（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A ，B 两地相距12米，小明从点A 出发沿AB 方向匀速前进，2秒后到达点D ，此时他（CD ）在某一灯光下的影长为AD ，继续按原速行走2秒到达点F ，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H ，此时他（GH ）在同一灯光下的影长为BH （点C ，E ，G 在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O 点的位置，并画出他位于点F 时在这个灯光下的影长FM （不写画法）；（2）求小明原来的速度．【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m /s ．【分析】（1）利用中心投影的定义作图；（2）设小明原来的速度为xm /s ，则CE =2xm ，AM =（4x ﹣1.2）m ，EG =3xm ，BM =13.2﹣4x ，由△OCE △△OAM ，△OEG △△OMB ，得到CE EG AM BM，即代入解方程即可． 【详解】解：（1）如图，（2）设小明原来的速度为xm /s ，则CE =2xm ，AM =AF ﹣MF =（4x ﹣1.2）m ，EG =2×1.5x =3xm ，BM =AB ﹣AM =12﹣（4x ﹣1.2）=13.2﹣4x ，△点C ，E ，G 在一条直线上，CG △AB ，△△OCE △△OAM ，△OEG △△OMB ，△CE OE AM OM =，EG OE BM OM=， △CE EG AM BM =，即234 1.213.24x x x x=--， 解得x =1.5，经检验x =1.5为方程的解，△小明原来的速度为 1.5m /s ．答：小明原来的速度为1.5m /s ．【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键．17．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB 和一根高度未知的电线杆CD ，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF 的长度为2米，落在地面上的影子BF 的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH 的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米．【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影；（2）连接AM 、CG ，过点E 作EN△AB 于点N ，过点G 作GM△CD 于点M ，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度．【详解】（1）平行；（2）连接AM 、CG ，过点E 作EN△AB 于点N ，过点G 作GM△CD 于点M ，则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5所以AN=10-2=8，由平行投影可知：即解得CD=7所以电线杆的高度为7m．18．（2020·甘肃白银·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量,折断部分AB与地面的夹角33α︒=,树干BC在某一时刻阳光下的影长6CD=米，而在同时刻身高1.8米的人的影子长为2.7米．求大树未折断前的高度(精确到0.1米)．(参考数据：330. 54,330. 84,330.65sin cos tan︒︒︒≈≈≈)【答案】11.4米【分析】利用比例式求得BC的长，然后在Rt△ACB中求得AB的长，两者相加即可得到铁塔的高度．【详解】解：依题意，得1.82.7BCCD=即263BC=4BC∴=在Rt ACB∆中，47.4sin0.54BCABα==≈（米）47.411.4∴+=（米）答：大树未折断前的高度为11.4米【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并求解．19．（2019·台湾·中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ （2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．【答案】（1）敏敏的影长为100公分；（2）高圆柱的高度为330公分．【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）如图，连接AE ，作//FB EA ．分别求出AB ，BC 的长即可解决问题．【详解】解：（1）设敏敏的影长为x 公分．由题意：1509060x =， 解得100x =（公分），经检验：100x =是分式方程的解．△敏敏的影长为100公分．（2）如图，连接AE ，作//FB EA ．//AB EF ，△四边形ABFE 是平行四边形，150AB EF ∴==公分，设BC y =公分，由题意BC 落在地面上的影从为120公分．9012060y ∴=， 180y ∴=（公分），150180330AC AB BC ∴=+=+=（公分），答：高圆柱的高度为330公分．。

专题26.8反比例函数与面积问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，若POM 的面积等于3，则k 的值等于（）A ．6-B ．6C ．3-D ．32．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝t （t 为常数）与反比例函数y 14x=，y 21x =-的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，则△OAB 的面积为（）A ．5tB ．52tC ．52D ．53．如图：点A 、B 是双曲线y ＝6x上的点，分别过点A 、B 做x 轴和y 轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，这两个空白矩形的面积和为（）A ．12B ．10C ．9D ．84．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，四边形OABC 为矩形，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数14(0)y x x=>的图象上，边AB 与函数22(0)y x x =>的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，点P 是反比例函数()0,0ky k x x=≠<的图象上一点，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，点B 是点A 关于x 轴的对称点，连接PB ，若△PAB 的面积为6，则k 的值为（）A ．－3B ．6C ．－6D ．－126．如图，正方形ABCD 的相邻两个顶点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，且满足BD ∥x 轴，反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过正方形的中心E ，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（）A ．y ＝4xB ．y ＝－4xC ．y ＝8xD ．y ＝－8x7．如图，反比例函数()0k y x x=>的图象上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，PAB △的面积为6，则k 的值为（）A ．12-B ．12C ．6D ．6-8．如图，在平面直角坐标系中，点P 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，其纵坐标为2，过点P 作PQ //y 轴，交x 轴于点Q ，将线段QP 绕点Q 顺时针旋转60°得到线段QM ．若点M 也在该反比例函数的图象上，则k 的值为（）AB C ．D ．49.如图，点A 在反比例函数ay x=第一象限内的图象上，点B 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ，△AOB 的面积为2，则a 的值为（）A ．12-B ．12C ．2D ．110．如图，反比例函数()0k y x x=>的图象与矩形OABC 的边分别交于点E 、F ，且AE ＝BE ，点A 、C 分别在x 、y 轴上，若△OEF 的面积为3，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．如图，点A 是反比例函数3y x=图像上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为B ，C ，则四边形ABOC 的面积为______．12．如图，OAB 是等边三角形，点A 在x 轴的正半轴上12y x=0x >）的图象上，则OAB 的面积为______．13．如图，点A 是反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象上的任意一点，过点A 作垂直x 轴交反比例函数y ＝1x（x ＞0）的图象于点B ，连接AO ，BO ，若ΔABO 的面积为1.5，则k 的值为____________14．如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．15．如图，已知点P 是y 轴正半轴上一点，过点P 作EF ∥x 轴，分别交反比例函数3y x=（x ＞0）和(0)ky x x=<图象的于点E 和点F ，以EF 为对角线作平行四边形EMFN ．若点N 在x 轴上，平行四边形EMFN 的面积为8，则k 的值为_____．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 和正方形DOFE 的顶点B ，F 在x 轴上，顶点C ，D 在y 轴上，且3ADF S = ，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点E ，则k =______________．17．如图，A 、B 是双曲线ky x=上的两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，交OB 于点D ，且D 为AC 的中点，若AOD △的面积为2，点B 的坐标为(,1)m ，则m 的值为________．18．如图，函数()0ky x x=>的图象过矩形OBCD 一边的中点，且图象过矩形OAPE 的顶点P ，若阴影部分面积为6，则k 的值为______．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6，4），斜边OA 的中点D 在反比例函数y kx=（x ＞0）的图象上，AB 交该图象于点C ，连接OC ．(1)求k 的值；(2)求△OAC 的面积．20．如图，过反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足为','A B ，连接OA ，OB ，'AA 与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形''PA B B 的面积分别为12,S S ，试比较12,S S 的大小．21．如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=1k x (k 1>0)交于点A ，与双曲线y=2k x(k 2<0)交于点B ，连接OA ，OB ．(1)当k 1、k 2分别为某一确定值时，随t 值的增大，△AOB 的面积_______(填增大、不变、或减小)(2)当k 1+k 2=0，S △AOB =8时，求k 1、k 2的值.22．如图，正比例函数y1=﹣3x 的图象与反比例函数y2=kx的图象交于A 、B 两点．点C 在x 轴负半轴上，AC=AO ，△ACO 的面积为12．（1）求k 的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x 的取值范围．23．如图，是反比例函数1k y x=和2ky x =（k 1＞k 2）在第一象限的图象，直线A B ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点．（1）若点A 的纵坐标是3，则可得点B 的纵坐标是．（2）若4AOB S ∆=，则1k 与2k 之间的关系是．24．如图，反比例函数的图象过点A （2，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过A 点作AC ⊥x 轴，垂足为C ．若P 是反比例函数图象上的一点，求当△PAC 的面积等于6时，点P 的坐标．参考答案1．A【分析】根据12P P POM x y =⋅ 即可求得答案．解：由题意得，132POM S PM OM =⋅= ，则6PM OM ⋅=，=P PM y ，P OM x =，点P 在第三象限，0P y ∴>，0P x <6P P k x y ∴=⋅=-，故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握k 的几何意义是解题的关键．2．C【分析】由反比例函数ky x=中的k 的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案.解：如图，记直线y ＝t 与y 轴交于点,M 由反比例函数的系数k 的几何意义可得：1111,42,222OBM OAM S S =⨯-==⨯= 152,22AOB S ∴=+= 故选：.C 【点拨】本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义，掌握反比例函数的系数k 与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键.3．D【分析】根据反比例函数k 值得几何意义,转变成矩形面积代入求解即可.解：∵点A 、B 是双曲线y ＝6x上的点，∴S 矩形ACOG ＝S 矩形BEOF ＝6，∵S 阴影DGOF ＝2，∴S 矩形ACDF +S 矩形BDGE ＝6+6﹣2﹣2＝8，故选：D ．【点拨】本题考查反比例函数k 值的几何意义,关键在于牢记相关性质.4．B【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOD 的面积为1，矩形ABCO 的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC 的面积．解：∵D 是反比例函数22y x=(x ＞0)图象上一点，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOD 的面积为12×2=1．∵点B 在函数14(0)y x x=>的图象上，四边形OABC 为矩形，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为4．∴阴影部分ODBC 的面积=ABCO 的面积-△AOD 的面积=4-1=3．故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义．5．C【分析】过点P 作PD ⊥x 轴交点D ，PB 与x 轴的交点记为E ，推出S △OBE =S △PDE ，得到6PDOA S k ==四边形，于是得到结论．解：如图，过点P 作PD ⊥x 轴交点D ，PB 与x 轴的交点记为E ，∵点B 是点A 关于x 轴的对称点，∴OA =OB ，∴PD =OB ，又∵∠PED =∠BEO ，PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴△OBE ≌△DPE （AAS ），∴S △OBE =S △PDE ，∴6PAB PDOA S S k === 四边形,∵反比例函数的图象在第二象限，∴k =-6，故选：C ．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，把三角形的面积转化为四边形的面积是解题的关键．6．B【分析】根据正方形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可求得S △CDE =12|k |=2，解得即可．解：∵正方形的面积为8，∴S △CDE =2，∵正方形ABCD 的相邻两个顶点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，BD ∥x 轴，∴S △CDE =12|k |，∴|k |=4，∵k ＜0，∴k =-4，∴该反比例函数的解析式为y =-4x ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k 的几何意义，得到关于k 的方程是解题的关键．7．A【分析】设P 的坐标是（m ，n ），则mn =k ，PA =-n ，△ABP 中，AP 边上的高是|m |=m ，根据△PAB 的面积即可求解．解：设P 的坐标是（m ，n ），则mn =k ，PA =-n ，△ABP 中，AP 边上的高是m ，∵△PAB 的面积为6，∴12m ⋅(-n )=6，∴12mn =-，∴k =mn =-12．故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k |．8．C【分析】作MN ⊥x 轴交于点N ，分别表示出ON 、MN ，利用k 值的几何意义列式即可求出结果．解：作MN ⊥x 轴交于点N ，如图所示，∵P 点纵坐标为：2，∴P 点坐标表示为：（2k ，2），PQ =2，由旋转可知：QM =PQ =2，∠PQM =60°，∴∠MQN =30°，∴MN =112QM =，QN ∴ON MN k = ，即：2k k =，解得：k =故选：C ．【点拨】本题主要考查的是k 的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．9．C【分析】过点A 作AC OB ⊥于点C ，设点A 的坐标为(),A m n ，则,OC m AC n ==，先根据等腰三角形的三线合一可得22OB OC m ==，再根据三角形的面积公式可得2mn =，由此即可得．【详解】解：如图，过点A 作AC OB ⊥于点C ，设点A 的坐标为(),A m n ，则,OC m AC n ==，OA AB = ，22OB OC m ∴==，△AOB 的面积为2，112222OB AC m n ∴⋅=⨯⋅=，整理得：2mn =，将点(),A m n 代入反比例函数a y x =得：2a mn ==，故选：C ．【点睛】本题考查了求反比例函数的系数、等腰三角形的三线合一，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．10．B【分析】连接OB ．先根据反比例函数的比例系数的几何意义得出S △AOE =S △COF=2k ，然后由三角形任意一边上的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F 是BC 的中点，则124BEF BOF k S S == ，最后由S △OEF =S 矩形AOCB ﹣S △AOE ﹣S △COF ﹣S △BEF =3，代入即可求得k =4．解：如图，连接OB ．∵E 、F 是反比例函数()0k y x x =>的图象上的点，EA ⊥x 轴于A ，FC ⊥y 轴于C ，∴S △AOE =S △COF=2k ，∵AE=BE ，∴S △BOE =S △AOE =2k ，S △BOC =S △AOB =k ，∴S △BOF =S △BOC ﹣S △COF =k －2k ＝2k ，∴F 是BC 的中点，∴124BEF BOF k S S == ，∴S △OEF =S 矩形AOCB ﹣S △AOE ﹣S △COF ﹣S △BEF =23224k k k k ---=，解得k =4，故选：B ．【点拨】此题考查了反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与远点所连的线段、坐标轴向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即2k S =，得出F 是BC 的中点是解题的关键．11．3【分析】根据反比例函数解析式中比例系数k 的几何意义即可解决．解：由反比例函数解析式中比例系数k 的几何意义知，四边形ABOC 的面积为33k ==，故答案为：3．【点拨】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，掌握它是解决问题的关键．12．12【分析】过点A 作AH ⊥OB 于点H ，根据反比例函数的几何意义，得到6AOH S = ，再根据等边三角形的性质，可得到2OAB AOH S S = ，即可求解．解：如图，过点A 作AH ⊥OB 于点H ，∵点A 在x 轴的正半轴上12y x=（0x >）的图象上，∴11262AOH S =⨯= ，∵OAB 是等边三角形，AH ⊥OB ∴12OH BH OB ==，∴22612OAB AOH S S ==⨯= ．故答案为：12．【点拨】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数()0k y k x=≠中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积等于k 是解题的关键．13．-2【分析】设AB 交x 轴于点C 解：设AB 交x 轴于点C ，如图，根据题意得：12BOC S ∆=，12AOC S k ∆=，∵ΔABO 的面积为1.5，∴ 1.5BOC AOC S S ∆∆+=，∴11 1.522k +=，解得：2k =，∵反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象位于第四象限，∴0k <，∴2k =-．故答案为：-2【点拨】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．14．3【分析】由图得，x 轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即3C C x y ⋅=，又由于点C 在反比例函数图象上，则可求得答案．解：x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6，632C C x y ∴⋅==，3C C k x y ∴=⋅=，故答案为3．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握k x y =⋅是解题的关键．15．-5【分析】连接OE 、OF ，利用反比例函数系数k 的几何意义可得S △FOP ＝12|k |，S △EOP ＝3322=，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S △EFN ＝S △EFO ，由平行四边形的面积为8可求出S △EFN ＝12S ▱FNEM ＝4，进而求出答案．解：连接OF 、OE ，∵EF ∥x 轴，∴S △EFN ＝S △EFO ，又∵四边形FNEM 是平行四边形，EF 为对角线，∴S △EFN ＝12S ▱FNEM ＝12×8＝4，由反比例函数系数k 的几何意义得，S △FOP ＝12|k |，S △EOP ＝3322=，又∵S △EFO ＝S △FOP +S △EOP ＝12|k |+32＝4，解得k ＝﹣5，k ＝5＞0（舍去），故答案为：﹣5．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，理解反比例函数系数k 的几何意义是正确应用的前提．16．6【分析】设正方形ABOC 的边长为a ，正方形DOFE 的边长为b ，利用面积法得：()()221113222b a b a b a b a +⋅+=⋅+++，所以26a =，然后利用k 的几何意义得到k 的值．解：如图，设正方形ABOC 的边长为a ，正方形DOFE 的边长为b ，∴AB BO a ==，DE DO OF EF b ====，90ABO BOC ∠=∠=︒，90DEF ∠=︒，ED y ⊥轴，EF x ⊥轴，∵ABF ADF DEF DOFE ABOD S S S S S +=++△△△正方形梯形，∴()()221113222b a b a b a b a +⋅+=⋅+++，∴26a =，∴26k a ==，∴6k =或6k =-（负值不合题意，舍去）故答案为：6．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数k y x=图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ．本题涉及正方形的性质和等积变换等知识点．理解和掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．17．8【分析】由D 为AC 的中点，可得出24AOC AOD S S == ，再由反比例函数系k 的几何意义，可得出k =8，进而得出双曲线的表达式8y x =，把点B 的坐标代入双曲线的表达式，即可得出m =8．解：设点A 的坐标为（b ，d ），∵D 为AC 的中点，∴AC =2AD ，∵△AOD 的面积为2，142AD OC ∴∙=，∴AD ·OC =4，11124222AOC S bd AC OC AD OC ∴==∙=⨯∙= ，∴bd =8，∵A 是双曲线k y x =上的点，∴k d b=，∴8k bd ==，∴双曲线k y x =的表达式为8y x=，∵B 是双曲线k y x =上的点，点B 的坐标为（m ，1），∴81m=，∴m =8．故答案为：8【点拨】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，关键是由D 为AC 的中点，可得出24AOC AOD S S == ．18．6【分析】分两种情况讨论，设函数图象过BC 的中点，中点坐标为（m ，k m），则C （m ，2k m），根据阴影的面积可以求出k 的值；若函数图象过CD 的中点，同理可以求出k 的值．解：设函数图象过BC 的中点，中点坐标为（m ，k m ），则C （m ，2k m ），∴S 阴影=S 矩形OBCD -S 矩形OAPE =2k -k =6，∴k =6；若函数图象过CD 的中点，中点坐标为（m ，k m ），则C （2m ，k m），∴S 阴影=S 矩形OBCD -S 矩形OAPE =2k -k =6，∴k =6．综上，k 的值为6．故答案为：6．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．19．(1)6(2)9【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点D 的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k ；（2）由反比例函数解析式求出点C 的纵坐标，进而求出AC 的长，再根据三角形的面积公式计算即可．（1）解： 点A 的坐标为(6,4)，点D 为OA 的中点，∴点D 的坐标为(3,2)， 点D 在反比例函数k y x =的图象上，326k ∴=⨯=；（2）解：由题意得，点C 的横坐标为6，∴点C 的纵坐标为：616=，413AC ∴=-=，OAC ∴∆的面积16392=⨯⨯=．【点拨】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出AC 的长度．20．12S S =【分析】利用图形面积关系可得：,,AOP AOA A OP BOB A OP A PBB S S S S S S ''''''=-=- 梯形再利用反比例函数的k 的几何意义可得：1,AOA BOB S S ''== 从而可得答案.解：12S S =【点拨】本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k 与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系.21．（1）不变；（2）k 1＝8，k 2＝﹣8．【分析】（1）根据反比例函数系数k 的几何意义即可得出答案；（2）由题意可知S△AOB＝12k1﹣12k2，然后与k1+k2＝0构成方程组，解之即可．解：（1）不变.∵S△AOC＝12|k1|，S△BOC＝12|k2|，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12（|k1|+|k2|），∵k1，k2分别为某一确定值，∴△AOB的面积不变.故答案为：不变；（2）由题意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝12k1﹣12k2＝8，∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．22．（1）k=-12；（2）x＜﹣2或0＜x＜2．解：(1)过点A作AD垂直于OC,由,得到,确定出△ADO与△ACO面积,即可求出k的值;(2)根据函数图象,找出满足题意x的范围即可.解：（1）如图，过点A作AD⊥OC，∵AC=AO，∴CD=DO，∴S△ADO=S△ACD=6，∴k=-12；（2）根据图象得：当y1＞y2时，x的范围为x＜﹣2或0＜x＜2．k k-=．23．（1）3，（2）128解：（1）平行线间的距离处处相等，B到x轴的距离也是3．（2）由图像知1k与2k都大于0，延长AB交y轴于C,△AOC的面积等于二分之一乘以K1，△BOC的面积二分之一乘以K 2，这两个三角形面积相减等于△AOB 的面积=4，解得128k k -=．考点：反比例函数图像性质24．(1)y ＝6x；(2)（6，1），（﹣2，﹣3）.【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m 的方程，通过解方程来求m 的值；（2）设点P 的坐标是（a ，6x），然后根据三角形的面积公式来求点P 的坐标．解：（1）设反比例函数为y ＝m x，∵反比例函数的图象过点A （2，3）．则2m ＝3，解得m ＝6．故该反比例函数的解析式为y ＝6x ；（2）设点P 的坐标是（a ，6x）．∵A （2，3），∴AC ＝3，OC ＝2．∵△PAC 的面积等于6，∴12×AC ×|a ﹣2|＝6，解得：|a ﹣2|＝4，∴a 1＝6，a 2＝﹣2，∴点P 的坐标是（6，1），（﹣2，﹣3）．【点拨】本题考查了反比例函数的面积问题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，坐标和图形性质，以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键。

专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题【典例讲解】Rt△ABC中，△A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且△ACP=30°，则PB的长为_______．【详解】分两种情况考虑：当△ABC=60°时，如图所示：△△CAB=90°，△△BCA=30°．又△△PCA=30°，△△PCB=△PCA+△ACB=60°．又△△ABC=60°，△△PCB为等边三角形．又△BC=4，△PB=4．当△ABC=30°时，（i）当P在A的右边时，如图所示：△△PCA=30°，△ACB=60°，△△PCB=90°．又△B=30°，BC=4，△BCcosBPB=，即2BC448PB===3cosB cos30332=．（ii）当P在A的左边时，如图所示：△△PCA=30°，△ACB=60°，△△BCP=30°．又△B=30°，△△BCP=△B．△CP=BP．在Rt△ABC中，△B=30°，BC=4，△AC=12BC=2．根据勾股定理得：2222AB BC AC4223=-=-=，△AP=AB－PB=23－PB．在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（23－PB）2=BP2，解得：BP=433．综上所述，BP的长为4或433或833．【综合演练】1．在△ABC中，BC31，△B＝45°，△C＝30°，则△ABC的面积为（）B1C D1A在Rt△ABD中，△B＝45°，．如图，在ABC中，连接BP AP PB+的最小值是（）AB C D ．2 为斜边向ABC 外作等腰直角三角形，得PD PB =+Rt ABD 中，为斜边向ABC 外作等腰直角三角形， 22PD AP = 在同一直线上时，取得最小值. 中，90D ，AB =sin 60BD AB︒=， 3. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到22PD AP =是解题的关键. 3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2【答案】B【详解】解：延长BA，过C作CD△BA的延长线于点D，A．42B．43C．44D．45ADA ．13B ．4C ．11D ．【答案】C1△AE=2×2cos30°=2×2×． 1在Rt△AEP 中，． 故选C ．6．已知在ABC 中，A ∠、B ∠是锐角，且sin 13B =，tan 2A =，44cm AB =，则ABC 的面积等于 __2cm ．过点C作AB的垂线，垂足为点D．5sin13B=设CD=tanCD AAD =可设CD2AD y∴=BD∴=AB AD∴=△AC＝5，△ABC的面积为53，Rt ABD中，＝60°．是钝角时，如图，过点B作△AC＝5，△ABC的面积为53，的值为__________．∠tanAB BAE故答案为：27【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件．10．如图，在ABC ∆中，8AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为__________．【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.AC=米，3020BC=米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号）【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.在Rt△ACD中，△A＝30°，AC＝23，的面积是__.△等腰直角△ABC的面积为16,，则AC边上的中线长是_____________．2作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．．在ABC中，(1)求ABC 的面积；(2)求AB 的值；(3)求cos ABC ∠的值． ，最后利用三角形的面积公式算出ABC 的面积；中利用勾股定理求出的余弦值．△90ADC ADB ∠=∠=︒，Rt ACD ，AD C AC=，sin4AC C=1BC AD=⨯62△ABC的面积为12．（2）DC AD=，=6BC，==-=64BD BC DC△中，在Rt ABD=AB AD【答案】10.5【分析】作AD△BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据△B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值．【详解】解：过点A作AD△BC，垂足为D．＝2，DE S△DEB＝4，求四边形ACDE的面积．DH求BD的长．【答案】BD的长是5．【分析】过D作DE△AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示出tan△ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.【详解】解：过D作DE△AB于点E，如图所示，△△BAD＝45°，．如图，ABC的角平分线c=时，求a的值；（1）当2（2）求ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；（3）求证：a，c之和等于a，c之积.1Rt ABE 中，BD =，△点2c =.）答案不唯一可能情形1：过点1Rt ABF 中，CBG △中，ABC ABD S =+△12BD AF ⨯+求△DCB的度数．【答案】△DCB=30°.。

部编人教版九年级数学下册中考热点微专题汇编（含解答）目录一、反比例函数的图象与性质二、反比例函数与方程（组）和不等式（组）三、反比例函数与面积问题四、反比例函数与数形结合思想五、反比例函数与一元二次方程根的判别式六、反比例函数与图象变换七、反比例函数与特殊三角形八、相似形中比例式的证明技巧九、圆中的相似问题十、抛物线中的相似问题十一、三角函数与几何结合十二、三角函数在生活中的应用题十三、三视图与几何体实物转换识别、计算部编人教版九年级数学下册中考热点微专题一反比例函数的图象与性质重点强化一与一次函数或二次函数综合进行图象分布1.（2019•广西贺州•3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（）A．B．C．D．2.（2019•山东省德州市•4分）若函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（）A．B．C．D．重点强化二 k=xy 的运用3.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）点（﹣1，4）在反比例函数y ＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（4，﹣1） B ．（﹣，1） C ．（﹣4，﹣1） D ．（，2）重点强化三 增减性的运用→ 比较坐标大小4.（2019•广西北部湾经济区•3分）若点（-1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在反比例函数y =（k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A. 132y y y 〉〉 B 321y y y 〉〉. C.123y y y 〉〉 D. 231y y y 〉〉重点强化四 确定k 的范围或值5..（2019•海南•3分）如果反比例函数y ＝（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜2 D ．a ＞2参考答案1.解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y ＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A正确；故选：A．2.解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，∴函数y＝kx+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C．3.解：将点（﹣1，4）代入y＝，∴k＝﹣4，∴y＝，∴点（4，﹣1）在函数图象上，故选：A．4.解：∵k＜0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=-1时，y1＞0，∵2＜3，∴y2＜y3＜y1故选：C．k＜0，y随x值的增大而增大，（-1，y1）在第二象限，（2，y2），（3，y3）在第四象限，即可解题；5.解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，∴a﹣2＞0，∴a＞2．故选：D．部编人教版九年级数学下册中考热点微专题二反比例函数与方程（组）和不等式（组）重点强化一反比例函数与方程（组）的结合1.（2019•贵阳•10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C．（1）切点C的坐标是（2，4）；（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m ＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．重点强化二反比例函数与不等式（组）的结合2.（2019•湖南衡阳•3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2重点强化二反比例函数与方程和不等式综合题3.（2019•铜仁•12分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．参考答案1.解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝的图象相切于点C ∴﹣2x+8＝∴x＝2，∴点C坐标为（2，4）故答案为：（2，4）；（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，∴点B（4，0）∵点M为线段BC的中点，∴点M（3，2）∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）∴m＝1∴k＝42.解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2故选：C．3.解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，∴3＝﹣，解得：x＝﹣4，y＝﹣＝﹣4，故B（﹣4，3），A（3，﹣4），把A，B点代入y＝kx+b得：，解得：，故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，故C点坐标为：（﹣1，0），则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；（3）不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．部编人教版九年级数学下册中考热点微专题三反比例函数与面积问题【方法技巧】利用21=∆S |k|解题，并能将矩形、四边形进行转化，注意k 符号。

北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册复习试卷毕业班综合练习一数学一模创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．6-的绝对值是（ ）． A ．6-B ．6C ．16D ．16-2．已知△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°，则∠C =（ ）．A ． 50°B ．60°C ．70°D ． 80°3．如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是( ). 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）.A ．15B ．0.5C ．5D ．505．己知△ABC 和△DEF 的相似比是1：2，则△ABC 和△DEF 的面积比是（ ）．A.2：1B.1：2C.4：1D.1：46．下列计算正确的是（ ）．A. a 2＋a 3＝a 5B. a 6÷a 3＝a 2C. 4x 2－3x 2＝1 D. (－2x 2y )3＝－8 x 6y 37．下列各点中，在函数21y x =-图象上的是（ ）． A. 5(,4)2--B. (1,3)C. 5(,4)2D. (1,3)-8．五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（ ）． A. 19和20 B. 20和19 C. 20和20 D. 20和219．抛物线223y x =-的对称轴是（ ）．A. y 轴B. 直线2x =C. 直线34=x D.直线3x =-10．如果△+△=＊，○=□+□，△=○+○+○+○，则＊÷□=（ ）.A. 2B. 4C. 8D. 16第5题第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．命题“如果0a b +>，那么0,0a b >>”是命题（填“真”或“假”）． 12．9的算术平方根是． 13．因式分解:21x -= ．14．等腰三角形的两边长分别为4和8，则第三边的长度是．15．将点A （2，1）向右平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是． 16．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.三、解答题（本大题共9小题，共102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分）解不等式2(1)34x x +>-，并在数轴上表示它的解集. 18．（本小题满分9分）同时投掷两个正方体骰子，请用列举法求出点数的和小于5的概率. 19．（本小题满分10分）先化简式子231111x x x x x -÷--+-，然后从22x -<≤中选择一个合适的整数x 代入求值.20．（本小题满分10分）如图，ABC ∆的三个顶点都在55⨯的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上.（1）在网格中画出将ABC ∆绕点B 顺时针旋转90°后的 △A ′BC ′的图形.（2）求点A 在旋转中经过的路线的长度.（结果保留π） 21．（本小题满分12分）如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，且交BF 于点C ，在AE 上取一点D ，使得AD=BC ，连接CD 和BD ,BD 交AC 于点O .（1）求证：△AOD ≌△COB （2）求证：四边形ABCD 是菱形. 22．（本小题满分12分）某班将开展“阳光体育”活动，班长在班里募捐了80元给体育委员小明去购买体育用品.小明买了5个毽子和8根跳绳，毽子每个2元，共花了34元.买回后班长觉得用品不第20题 第21题第16题够，还需再次购买，下面两图是小明再次买回用品时与班长的对话情境，请根据所给的信息，解决问题：（1）试计算每根跳绳多少元？（2）试计算第二次买了毽子和跳绳各多少件？ （3）请你解释：为什么不可能找回33元？ 23．（本小题满分12分）如图，直线l 经过点A （1，0），且与曲线m y x=（x ＞0）交于点B （2，1）．过点P （p ，p －1）（p ≥2）作x 轴的平行线分 别交曲线m y x =（x ＞0）和my x=-（x ＜0）于M ，N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）是否存在实数p ，使得S △AMN =4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由． 24．（本小题满分14分）如图（1），AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ， 若8,6==OC OB ，（1）求BC 和OF 的长；（2）求证：E O G 、、三点共线；（3）小叶从第（1）小题的计算中发现：等式222111OB OF +=成立，于是她得到这样的结论： 如图（2），在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥， 垂足为D ，设,BC a AC b ==，CD h =，则有等式222111h b a =+成立．请你判断小叶的结论是否正确， 若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由. 25．（本小题满分14分）x第23题yAOBl第22题第24题图DOF第24题图h ba DCA使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1-=x y ，令0=y ，可得1=x ，我们就说1是函数1-=x y 的零点．请根据零点的定义解决下列问题：已知函数)3(222+--=m mx x y （m 为常数）． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且411121-=+x x ，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B （点A 在点B 左侧），点M 在直线10-=x y 上，当MA +MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．参考答案说明：1、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各题组可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D D C C A D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 题号11 12 13 1415 16答案假 3 (1)(1)x x +-8 （4，1）55三、解答题（本题有9个小题, 共102分。

专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF.∴DF ＝FA2FE ＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB ∥PD ，∴OD ⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD ＋∠CAD ＝180°，∠DBC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAD ＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA ＝∠BCD ＝45°，∴△PAD ∽△DBC.5．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°.∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BCP ＝∠CAN.∵∠BCP ＝∠BAN ，∴∠BAN ＝∠CAN.又∵AN ⊥BC ，∴AB ＝AC.∴△ABC 为等腰三角形．(2)连接MN ∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠PBC ＋∠ABC ＝∠AMN ＋∠ACN ＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN.由(1)知∠BCP ＝∠BAN ，∴△BPC ∽△MNA.∴CB AM ＝CP AN，即AM ·CP ＝AN ·CB. 6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC.又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。

第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理第3讲分式二、知识清单梳理第4讲二次根式三、知识清单梳理第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组) 四、知识清单梳理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理第7讲分式方程六、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲平面直角坐标系与函数八、知识清单梳理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O九、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值y=k2x+b y=k1x+b（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE ＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质十一、知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-. x=2ba-，y最大＝244ac ba-.3.系数a、a决定抛物线的开口方当a＞0时，抛物线开口向上；某些特殊形式代数式的符号：第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. 7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示 如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形十五、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例 线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a cb d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b+=85.3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB OD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCBAFEDC BAFE DC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；。