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博弈论基础吉本斯课后习题答案

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博弈论各章节课后习题答案 (3)

博弈论各章节课后习题答案 (3)

E( π 2 ) = θq2( aH − q1H − q2 − c2 ) + (1−θ )q2( aL − q1L − q2 − c2 )
由此得：
1 q2 = 2 [θaH + (1−θ )aL − (θq1H + (1−θ )q1L ) − c2 ]
在均衡时，q1，q2 应满足
1
⎪⎪⎧q1
=
1 2
+ c1
− 2c2
]
企业 2 的策略为：
q*2
=
1 3
[
θaH
+ (1− θ
)aL
+ c1
− 2c2
]
因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当 a=aH 时，企业 1 生产 q1*H ；当 a=aL 时，企业 1 生产 q1*L ，
企业 2 生产 q*2 。
5. 在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。 (1) 自然决定收益情况是由博弈 1 给出，还是由博弈 2 给出，选择每一博弈的概率相等； (2) 局中人 1 了解到自然选择了博弈 1，还是选择了博弈 2，但局中人 2 不知道； (3) 局中人 1 选择行动 T 或 B，同时局中人 2 选择行动 L 或 R； (4) 根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。
的定价,qi是企业i的需求量。假设企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,c<a.假定博弃 重复无穷多次,每次的价格都立即被观察到,企业使用触发策略。求使垄断价格可以作为完美 均衡结果出现的最低贴现因子δ,并解释δ与n的关系。
分以下几个步骤进行。
1)计算纳什均衡 当企业 i 选择价格 pi,其它企业选择价格 pj(j=1,2,…,n,j≠i)时,企业 i 的利润为: πi = (pi − c)qi = (pi − c)(a − pi + b(p1 + p2 + ⋯ + pi−1 + pi+1 + ⋯ + pn )) ,i=1,2,…,n

博弈论与信息经济学答案

博弈论与信息经济学答案

O 巫旳假谟可知各厂刊的利调函数为=一丈 <7=一’ 心将弄TJ 汹函故対仏求导幷令苴刃Q 得上B — 0, Vj 一 w — K 供亠 °•根掠 盟仔厂翻之阳」旳对榦性.可知亦 —x 代入卜述反应圍敏可鮒得飞因此该頁密的負可M ■均卿址所有 « 个厂倉杵怎生产产車:二n 个企业，其中的一个方程：n1 = q 1 ( a -( q 1 + q2 + q3 ••…q n ) - c )，其他的类似就可以了 ，然后求 导数，结果为每个值都相等，q 仁q 2= q n=(a-c)/(n+1)。

或者先求出2个企业的然后3个企业的推一下就好了。

6.假定消费者从价格低的厂商购买产品 ，如果两企业价格相同，就平分市场，如果企业i 的价格高于另一企业，则企业i 的需求量为0，反之，其它企业的需求量为 0。

因此，企业i 的需求函数由下式给出：从上述需求函数的可以看岀，企业i 绝不会将其价格定得高于其它企业；由于对称性，其它企业也不会将价格定的高于企业i ，因此，博弈的均衡结果只可能是每家企业的价格都相同，即p i = p j 。

但是如果p iP i —c=P j >c 那么每家企业的利润 二i- q i 0，因此，企业i 只要将其价格略微低于其它企业就将获得整个市场的需求，而且利润也会上升至 卫cQ(P j _ ；).卫匚c Q(p i )，:, —； 0。

同样，其它企业也会采取相同的策略 ，如果此下去，直到每家厂商都不会选择降价策略 ，此时的均衡结果只a — c可能是P i =p j = c 。

此时，企业i 的需求函数为q j2在静态的情况下，没有一个企业愿意冒险将定价高于自己的单位成本C ，最终P=C ，利润为0。

因为每个参与人都能预测到万一自己的定价高于 C ，其他人定价为C 那么自己的利益就是负的 (考虑到生产的 成本无法回收)。

就算两个企业之间有交流也是不可信的 ，最终将趋于P=C 。

博弈论基础吉本斯课后答案

博弈论基础吉本斯课后答案

博弈论基础吉本斯课后答案
一、原题
1. 什么是博弈论？
答：博弈论是一门研究决策者之间的竞争性行为的学科，它研究的是如何在竞争性环境中获得最佳结果。

它涉及到决策者之间的博弈，以及如何利用策略来获得最佳结果。

2. 什么是吉本斯博弈论？
答：吉本斯博弈论是一种研究两个或多个决策者之间的博弈的学科，它研究的是如何在竞争性环境中获得最佳结果。

它是由美国经济学家约翰·吉本斯在20世纪50年代提出的，他提出了一种新的方法来研究博弈，即使用数学模型来分析博弈的结果。

3. 吉本斯博弈论的基本概念是什么？
答：吉本斯博弈论的基本概念是博弈矩阵，它是一个表格，用来描述两个或多个决策者之间的博弈。

它由行和列组成，每一行代表一个决策者，每一列代表另一个决策者，每个单元格中的数字代表每个决策者在每种可能的结果下的收益。

4. 吉本斯博弈论中的均衡点是什么？
答：吉本斯博弈论中的均衡点是指当两个或多个决策者之间的博弈结果达到一种平衡时，每个决策者都不会有更多的收益。

这种平衡可以是一个纳什均衡，也可以是一个非纳什均衡，具体取决于博弈的结构。

博弈论课后习题

博弈论课后习题

第一章导论1、什么是博弈？博弈论的主要研究内容是什么？2、设定一个博弈模型必须确定哪几个方面？3、举出烟草、餐饮、股市、房地产、广告、电视等行业的竞争中策略相互依存的例子。

4、“囚徒的困境”的内在根源是什么？举出现实中囚徒的困境的具体例子。

5、博弈有哪些分类方法，有哪些主要的类型？6、你正在考虑是否投资100万元开设一家饭店。

假设情况是这样的：你决定开，则0.35的概率你讲收益300万元（包括投资），而0.65的概率你将全部亏损；如果你不开，则你能保住本钱但也不会有利润，请你（a）用得益矩阵和扩展形式表示该博弈；（b）如果你是风险中性的，你会怎样选择？（c）如果你是风险规避的，且期望得益的折扣系数为0.9，你的策略选择是什么？(d)如果你是风险偏好的，期望得益折算系数为1.2，你的选择又是什么？7、一逃犯从关押他的监狱中逃走，一看守奉命追捕。

如果逃犯逃跑有两条可选择的路线，看守只要追捕方向正确就一定能抓住逃犯。

逃犯逃脱可以少坐10年牢，但一旦被抓住则要加刑10年；看守抓住逃犯能得到1000元奖金。

请分别用得益矩阵和扩展形式表示该博弈，并作简单分析。

第二章完全信息静态博弈1、上策均衡、严格下策反复消去法和纳什均衡相互之间的关系是什么？2、为什么说纳什均衡是博弈分析中最重要的概念？3、找出现实经济或生活中可以用帕累托上策均衡、风险上策均衡分析的例子。

4、多重纳什均衡是否会影响纳什均衡的一致预测性质，对博弈分析有什么不利影响？5、下面的得益矩阵表示两博弈方之间的一个静态博弈。

该博弈有没有纯策略纳什均衡？博弈的结果是什么？6、求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡。

7、博弈方1和2就如何分10000元进行讨价还价。

假设确定了以下规则：双方同时提出自己要求的数额S1和S2，,如果s1+s2≤10000，则两博弈方的要求都得到满足，即分别得到s1和s2，但如果是s1+s2＞10000,则该笔钱就被没收。

博弈论习题答案

博弈论习题答案

博弈论习题答案博弈论习题答案博弈论是一门研究决策和策略的数学分支，它通过分析参与者之间的互动，揭示他们的利益和行为模式。

在博弈论中，常常会遇到各种各样的习题，这些习题旨在让我们思考和解决实际生活中的决策问题。

本文将给出一些常见的博弈论习题的答案，帮助读者更好地理解和应用博弈论的概念。

1. 零和博弈问题零和博弈是指参与者的利益完全相反，一方的收益等于另一方的损失。

考虑以下情景：两个商人A和B在市场上销售相同的产品，他们的利润取决于他们的定价策略。

如果A的定价高于B，那么B将失去一部分市场份额，反之亦然。

假设A和B的收益函数分别为R_A(p_A, p_B)和R_B(p_A, p_B)，其中p_A和p_B分别是A和B的定价。

问题是，A和B应该如何定价以最大化自己的利润？答案：由于这是一个零和博弈问题，A和B的利益完全相反。

因此，他们的最佳策略是采取纳什均衡策略。

纳什均衡是指在互动中，没有参与者能够通过改变自己的策略来提高自己的收益。

在这个例子中，纳什均衡定价是使得A和B的利润最大化的定价组合。

通过求解收益函数的偏导数，我们可以找到纳什均衡定价。

2. 合作与背叛在博弈论中，合作与背叛是一个经典的主题。

考虑以下情景：两个犯罪团伙A和B同时被捕，他们面临着与检察官合作还是背叛的选择。

如果两个团伙都选择合作，那么他们将面临较轻的刑罚；如果一个团伙选择合作而另一个团伙选择背叛，那么合作的团伙将面临较重的刑罚，而背叛的团伙将面临较轻的刑罚；如果两个团伙都选择背叛，那么他们将面临较重的刑罚。

问题是，A和B应该如何决策以最大化自己的利益？答案：这是一个经典的囚徒困境问题，合作是最佳策略。

在囚徒困境中，纳什均衡是使得参与者无法通过改变自己的策略来提高自己的收益。

在这个例子中，如果A和B都选择合作，他们将获得较轻的刑罚。

然而，如果一个团伙选择背叛而另一个团伙选择合作，背叛的团伙将获得更轻的刑罚，而合作的团伙将获得更重的刑罚。

博弈论基础吉本斯 答案

博弈论基础吉本斯 答案
RV 2*(1R/ V) 1博弈在第二阶段结束，(c 1 ,c 2 ) (R V ,V )( 1 , 2 ) (V R 2 ,0 )
工人
o
S
企业 企业
E
D
E
WE y EO -W E
W D -C y DS -W D
W E -C y ES -W E
若工人在第一阶段投资于工作技能，则需要 满足以下条件：
c 1 < R 合伙人2
c1 +c2 <R
0
0
合伙人1
c1 +c2 =R *V c12 V (Rc1 )2
c1= R V -R 2 V
1.若博弈在第一阶段结束
V R2
V R2 0
*V c12 V R2
由于 是贴现因子，所以 0 1
c1 c1
R2 R
*V
V
所以 c1 R2*VV 成立

2 * (1 R / V ) 1
V /2R
V *V R
综上，V R 2 0 1博弈在第一阶段结束，(c 1,c 2) (R ,0 )( 1 , 2) (V R 2,V )
VR V/2 2*(1R/ V)1博弈在第二阶段结束，(c 1 ,c 2 ) (0 ,R )( 1 , 2 ) (* V ,V R 2 )
不投
投
衡。
2.买方最大化收益
接
不接
不 max v+i-i^2-p
受 V-P
接受 受 0
V+I-I^2-P
接 受
可得，I=2. 所以，买方要么I=2（投资），要
-I^2 么I=0（不投资）。
买方：P=V+2;P=V
V+2 2 V+2-(V+2)-4=-4, V+2 0 V-(V+2)=-2,V+2

博弈论基础 (罗伯特.吉本斯 著) 中国社会科学出版社 课后答案

博弈论基础 (罗伯特.吉本斯 著) 中国社会科学出版社 课后答案

+
B)i V
′′(I
p
V ′′(I p − B)
−
B)
+
kU
′′
2
(S
*
+
B)
+
U
′
2
(S
*
+
B)i V
′′(I
p
kU
′′
2
(S
*
+
B)
−
B
)
+
kU
′′
2
(
S
*
+
B)
hda =
U
′
2
(S
*
+
B)i V
′′(I
p
kU
′′
2
(S
*
+
B)
−
B)
+
kU
′′
2
(
S
*
+
B)
.k > 0 = f (S′)
www So S* < S′ . If child save more, i.e. S′ , both the parent’s and child’s payoffs could be
)2
+
(1 −
π
)
1 i( 2
aL − 2
c
)2
)
.
22
1−δ
In
period
with
demand aH , payoff from deviating is
(aH − c)2 ; 2
in period with
demand

博弈论习题集及解答9_sol

博弈论习题集及解答9_sol
Problem Set 9 Solution
Econ 159a/MGT522a, Yale University
M.Chen momotocmx@
1. War of Attrition.
f(2) F(2) q(2)
(-c-c,-c-c) (-c+v,-c+0)
A
f(1) F(1) q(1) Q(2)
B
f(2) q(2)
(-c+0,-c+v) (-c+0,-c+0)
(v,0) A
Q(1) q(1)
B
f(1)
(0,v)
(0,0)
First we calculate the pure SPEs in this game. • Second sub-game
f(2) F(2) q(2)
(-c,-c)
F(2)
f(2) q(2)
v, 0 0, 0 1-p p 1-p
-c +
F(2) Q(2)
-c,-c 0, v p
− cp + v (1 − p) = 0 · p + 0 · (1 − p) v c ⇒p= , 1−p= c+v c+v
v c v c Mixed NE is [( c+ v , c+v ), ( c+v , c+v )], and the payoff is (0, 0). Back to first stage, we have following payoff matrix

SPE of mixed strategy in first stage and pure strategy in second stage We already compute the pure NE in second stage {(F (2), q (2)), (Q(2), f (2))}. Back to the first stage: • For (F (2), q (2)) in second stage, we have the following payoff matrix

博弈论基础吉本斯课后习题答案

博弈论基础吉本斯课后习题答案

当 n 趋 近 于 无 穷 时 ， p* 趋 近 于 边 际 成 本 c， 市 场 趋 近 于 完 全 竞 争 市 场 。
1.5
双 方 都 生 产 qm / 2 时 ， 每 一 方 的 利 润 都 为 π1 = (a − c)2 / 8 ； 一 方 生 产 qm / 2 ， 另 一 方 生 产 qc
Gibbons《博弈论基础》第二章习题解答（部分）
2.1 采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定孩子的行动 A，来选择自己的行动 B,
MaxV B
(I
p
−
B)
+
k(Ic
+
B)
一阶条件： V ' (I p − B) = k , ⇒ B* = I p ( A) −V '−1(k)
接着最大化孩子的收益，给定家长的反应函数 B* ，来选 A：
∴ U2 (S + B) 会增加，因为（*）式，U2 (S + B) 增加的幅度比U1(I1 − S ) 减小的幅度大，所以
孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。
2.3 根据Shaked和Sutton的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见Gibbons教材55页），首先分
析前三阶段： 假设在第三阶段参与人1提出S，参与人2接受1-S，则解决方案为（S，1-S）。
MaxV B
(I
p
−
B)
+
k[U1 ( I c
−
S)
+U2
(S
+
B)]
一阶条件：
V
'(I
p
−
B)
=
kU
' 2
(S
+

博弈论各章节课后习题答案 (2)

博弈论各章节课后习题答案 (2)
乙企业
高质量
低质量
甲企业
高质量 低质量
50,50 900,600
100,800 -20,-30
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡
Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得 x = 12 , y = 63 97 138
因此该问题的混合纳什均衡为 ((12 , 85), ( 63 , 75 )) 。 97 97 138 138
i =1 j=1
i =1 j=1
4
q
* i
=0，p*=c，
说明此时各厂商的产品价格等于边际成本，这时的市场已是完全竞争市场。
9. 对于下列的威慑进入博弈，首先计算垄断情况下的产量与价格组合，再计算存在竞争的
情况下两企业的产量与价格组合，并对这两种情况下的结果作比较分析。假定进入者相信垄
断在位者在随后的阶段将会维持它的产量水平。市场需求曲线由方程 p=10-2Q 给出，其中 p
并设企业 i 生产产量 qi 的总成本 Ci(qi)=cqi,这里 c 是常数，并假设 c<a。企业同时就产量进 行决策。求出该博弈的纳什均衡。当 n 趋于无穷大时，会发生什么情况？
解：厂商 i 的利润为：πi=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi
令 ∂πi ∂q i
=
0
，则有：q
* i
=a-c-Q*
由表达式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
将这些数据代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略 Nash 均衡(( 1 , 8 ),( 4 , 3 )) 99 77

博弈论习题解答.doc

博弈论习题解答.doc

博弈论习题解答一、判断题1.X,只要任一博弈方单独改变策略不会增加得益，策略组合就是纳什均衡了。

2.V3.V4.X,某些情况下参与者具有先动优势，例如进入市场的博弈。

5.V6.X,逆向归纳法最基本的特征就是能排除扩展式博弈中所有不可信行为，包括不可信威胁和不可信承诺。

7.V8.X,对于零和博弈或者不满足合作条件的其他博弈来说，无限次重复博弈并不意味着效率的提局，得益不一定同。

9.V10.X,有些是故意隐瞒自己的行为。

11.X,在一个子博弈中出现的必须是完整的信息集，由于多节点信息集开始的博弈必然分割一个信息集，因此不可能是个子博弈。

12.X,不完美信息是指没有完美信息而非完全没有信息。

13.X,是因为其他参与者必然会考虑这些行为选择并作为他们自己选择行为的依据。

即使参与者自己不设定针对自己所有类型的行为选择，其他参与者也会替他考虑，弄清楚其他参与者对自己策略的判断。

14.X,仍然可能后悔，因为古玩交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价，还取决于对方的估价和愿意接受的成交价格，因此仅仅自己做出正确的估价并不等于实现了最大的潜在利益。

15.X,不一定，因为可能消息的发送方的类型与接收方利益无关，或者消息接收方的行为与发送方的利益无关。

16.X,经济学并没有证明；教育是作为重要的信号，反映劳动力的素质。

17.V18.V19.X,纳什均衡是指在给定的别人策略情况下，博弈方总是选择利益相对较大的策略，并不保证结果是最好的。

20.X,参与者总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标。

参与者A参与者A参与人1二、计算题1.纯策略均衡解为(D, R) 参与者B设3以y的概率执行L策略，对A来说选择混合策略则有1XY +2X(1— Y)=4XY +6X(1— Y)得/ = 4〉1,这是不可能的，故无混合战略均衡。

2.由奇数定理，若使它先有两个纯战略均衡，则很可能就有另一个混合战略均衡。

博弈论 习题答案

博弈论 习题答案

博弈论习题答案博弈论习题答案博弈论是一门研究决策制定和策略选择的学科，它通常应用于经济学、政治学和生物学等领域。

在博弈论中，人们通过分析参与者之间的相互作用和利益冲突来预测他们的行为。

下面是一些常见的博弈论习题及其答案，希望能对读者有所帮助。

1. 零和游戏零和游戏是一种博弈论中的基本概念，指的是参与者的利益完全相反，一方的利益的增加必然导致另一方的利益减少。

一个经典的例子是赌博，赌徒的损失就是庄家的收益，反之亦然。

2. 囚徒困境囚徒困境是博弈论中的一个重要概念，描述了两个囚徒面临的决策问题。

假设两个囚徒被警察逮捕，警察缺乏直接证据，但有足够的证据定罪他们。

如果两个囚徒都保持沉默，他们只会被判轻罪；如果一个人供认而另一个人保持沉默，供认者将获得减刑而沉默者将被判重罪；如果两人都供认，他们将被判重罪。

在这种情况下，最理性的策略是保持沉默，但由于彼此之间的信任缺失，往往导致两人都供认，结果双输。

3. 纳什均衡纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在参与者选择最佳策略的情况下，没有人可以通过单方面改变策略来获得更好的结果。

简单来说，就是每个人都在给定其他人的策略时，选择了自己的最佳策略。

纳什均衡在博弈论中具有重要的理论和实践意义。

4. 合作博弈与非合作博弈合作博弈是指参与者之间可以通过合作来获得更好结果的博弈情形，而非合作博弈则指的是参与者之间没有合作的情况。

在合作博弈中，参与者可以通过协商和合作来达成最优解，而在非合作博弈中，参与者通常会采取自私的策略，追求个人最大利益。

5. 混合策略混合策略是指在博弈中，参与者以一定的概率选择不同的策略。

通过采取混合策略，参与者可以增加对手的不确定性，从而获得更好的结果。

混合策略在博弈论中被广泛应用，例如在扑克牌游戏中，玩家可以通过随机选择不同的策略来增加对手的不确定性。

以上是一些常见的博弈论习题及其答案，博弈论作为一门复杂而有趣的学科，可以帮助我们更好地理解人类行为和决策制定过程。

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MaxV B
(I
p
−
B)
+
k[U1 ( I c
−
S)
+U2
(S
+
B)]
一阶条件：
V
'(I
p
−

B)
=
kU
' 2
(S
+
B)
，
反应函数满足：
−1 <
dB*
/
dS
=
kU
" 2
/(−kU
" 2
−V")
<
0
即，孩子储蓄减少，家
长给予更高的赠与。
接着最大化孩子的收益：给定反应函数 B* ，来选 S：
Max S
U1
c1 < c2 < a 且 2c2 > a + c1 时 ， 纳 什 均 衡 解 为 角 点 解 ， 即 q1* = (a − c1) / 2 ， q2* = 0 。 此 题 目
说明：当厂商的生产成本有较大差异时，具有成本优势的厂商将垄断整个市场，而处于成 本劣势的厂商将退出市场。
1.7 简 单 证 明 (c,c)为 唯 一 的 纳 什 均 衡 。 首 先 ， 给 定 对 方 定 价 c， 己 方 定 价 c 时 ， 利 润 为 0。 而 己 方 定 价 高 于 c 时 ， 利 润 为 0， 低 于 c 时 ， 利 润 为 负 。 所 以 给 定 对 方 定 价 c， 己 方 定 价 c 是 最 优 反 应 ， 这 对 于 双 方 都 成 立 ， 也 即 (c,c) 是纳什均衡。 其 次 ， 由 于 不 存 在 固 定 成 本 ， 所 以 市 场 中 企 业 的 定 价 不 可 能 低 于 c。 而 双 方 定 价 都 高 于 c 时 ， 每一方理论上都倾向于定价低于对方但无限接近对方，从而占据整个市场，从而此时没有 稳 定 的 均 衡 ； 而 一 方 定 价 高 于 c、 另 一 方 定 价 为 c 同 样 不 够 成 稳 定 均 衡 ， 因 为 定 价 为 c 的 企 业 更 倾 向 于 定 价 高 于 c 但 低 于 另 一 方 的 定 价 。 由 此 ， 可 以 证 明 纳 什 均 衡 (c,c)的 唯 一 性 。 1.8
对于参与人
1来 说 ，
s1*
=
max{ max 0≤s1 ≤1−s*2
s1
,
max
1−s*2 <s1 ≤1
s1}
=
max{1−
s2* , 0} = 1−
s2*
；
同 理 ， s2* = 1− s1* 。
也 即 ， 此 博 弈 的 纯 战 略 纳 什 均 衡 为 （ s1* , s2* ）， 且 满 足 s1* + s2* = 1， 0 ≤ s1*, s2* ≤ 1。
∴ U2 (S + B) 会增加，因为（*）式，U2 (S + B) 增加的幅度比U1(I1 − S ) 减小的幅度大，所以
孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。
2.3 根据Shaked和Sutton的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见Gibbons教材55页），首先分
析前三阶段： 假设在第三阶段参与人1提出S，参与人2接受1-S，则解决方案为（S，1-S）。
则 原 博 弈 的 混 合 战 略 纳 什 均 衡 为 ： { (1/3, 2/3, 0), (2/3, 0, 1/3) }。 1.12 按 照 1.11 的 解 法 ， 可 得 混 合 战 略 纳 什 均 衡 为 ： { (2/3, 1/3), (3/4, 1/4) }。 过 程 略 。 1.13 此博弈有两个纯战略纳什均衡、一个混合战略纳什均衡。 纯 战 略 纳 什 均 衡 为 ：（ 向 企 业 1 申 请 ， 向 企 业 2 申 请 ）；（ 向 企 业 2 申 请 ， 向 企 业 1 申 请 ）。 混合战略纳什均衡为：
（ 1） 式 两 端 乘 以 2， 再 减 qi* ， 可 得 ： qi* = a − Q* − c … … （ 2）， 对 于 任 意 的 i 都 成 立 。
∑ 所 以 所 有 的 qi* 都 相 等 。 由 此 ， 将 Q* = qi* = nqi* 代 入 （ 2） 式 ， 可 得 ： i
qi* = (a − c) /(n +1) ， Q* = n(a − c) /(n +1) ， p* = (a + nc) /(n +1) 。
一 个 被 剔 除 ， 那 么 ui (sij , p−*i ) < ui (sik , p−*i ) 必 然 成 立 。
构 建 参 与 人 i 的 另 一 个 混 合 战 略 pi ' ， 其 中 pij ' = 0 ， pik ' = pi*k + pi*j ， 其 他 纯 战 略 的 选 择 概
4， 2 2， 3
针 对 上 面 的 博 弈 ， 设 参 与 人 1 的 战 略 为 （ p,1-p）， 参 与 人 2 的 战 略 为 （ q,1-q）。
则 对 于 1 来 说 ， 2q* + 4(1− q* ) = 3q* + 2(1− q* ) ， 得 ： q* = 2 / 3 ；
对 于 2 来 说 ， 4(1− p*) = 2 p* + 3(1− p*) ， 得 p* = 1/ 3 。
目 要 求 ， 即 ( qc , qc )是 唯 一 的 纳 什 均 衡 ， 并 且 在 纳 什 均 衡 下 ， 每 一 企 业 的 福 利 都 要 比 他 们 相
互合作时低，但两个企业都没有严格劣战略。 1.6
当 0 < c1, c2 < a / 2 时 ， 易 求 均 衡 产 量 q1* = (a + c2 − 2c1) / 3 ， q2* = (a + c1 − 2c2 ) / 3 。 而 当
Max A
U
(
I
c
(
A)
+
I
p
(
A)
−
V
'−1
(k
))
一阶条件：
U
'(Ic
+
B*
)[
I
' c
( A)
+
I
' p
(
A)]
=
0
由于 U 是递增又严格凹的，U ' (Ic + B*) ≠ 0
这与孩子的选择可是全家的收入最大化的一阶条件相同：
I
' c
(
A)
+
I
' p
(
A)
=
0
2.2 采用逆向归纳法，先最大化家长的收益：给定的孩子的行动 S，来选择自己的行动 B,
(Ic
−
S
)
+
U
2
(S
+
B*
)
一阶条件：
U1'
(Ic
−
S)
=
U
' 2
(S
+
B* )(1 +
dB*
/
dS
)
，由此可得：
0
<
U1' (Ic
−
S)
/
U
' 2
(S
+
B* )
=
(1 +
dB*
/
dS )
<
1
（*）
因 此 当 增 加 S 时 ， U1(Ic − S) 会 减 小 ， 同 时 ， d (S + B) / dS > 0 ， ∴ S + B 会 增 加 ，
时 ， 生 产 qm / 2 的 一 方 的 利 润 为 π 2 = 5(a − c)2 / 48 ， 生 产 qc 的 一 方 的 利 润 为
π3 = 5(a − c)2 / 36 ； 双 方 都 生 产 qc 时 ， 每 一 方 的 利 润 都 为 π 4 = (a − c)2 / 9 。 以 标 准 式 表 示
率 不 变 。 因 为 ui (sij , p−*i ) < ui (sik , p−*i ) ， 所 以 ui ( pi*, p−*i ) < ui ( pi ', p−*i ) ， 而 这 与 ( pi*, p−*i ) 为
混合战略纳什均衡矛盾，假设不成立，原命题得证。
猪头非整理
3
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猪头非整理
2
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Gibbons《 博 弈 论 基 础 》 习 题 解 答 （ CENET）
第一章
1.9 略
1.10 按照求解混合战略纳什均衡的方法去解这些博弈，发现不存在混合战略纳什均衡，也就证 明了。过程略。
1.11 首先重复剔除严格劣战略，可得下面的博弈：
L
R
T
2， 0
M
3， 4
1.4 对 于 第 i个 厂 商 ， 其 目 标 为 最 大 化 自 己 的 利 润 ， 即 ：
max πi
=
max( p qi ≥0
− c)qi
=
max qi ≥0
(
a
−
qi
−
q−*i
− c)qi
；
由 一 阶 条 件 ∂π i / ∂qi = 0 ， 可 得 ： qi* = (a − q−*i − c) / 2 … … （ 1）
Gibbons《 博 弈 论 基 础 》 习 题 解 答 （ CENET）
第一章
1.1 略
1.2 不 会 被 重 复 剔 除 严 格 劣 战 略 剔 除 的 战 略 是 ： T, M, L, R； 纯 战 略 纳 什 均 衡 是 (T, R)和 (M, L)。 1.3

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