镇江强化班联考高二数学试题参考答案及评分标准

2023-2024学年江苏省镇江市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线10x +=的斜率为（）AB ．C ．3D ．3-【正确答案】C10x +=可化为3333y x =+，即可得出斜率.【详解】10x +=可化为33y x =+，则k =故选：C本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题.2．设复数z 的共轭复数z ，若(1i)i(C)z z +=∈，则z 对应的点位于复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，再得到共轭复数z 对应的点的坐标得答案．【详解】依题意有()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-，∴z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于复平面内的第四象限.故选：D3．若两条直线126:0l x y +-=与2:70l x ay +-=平行，则1l 与2l 间的距离是（）A B ．CD ．5【正确答案】C【分析】通过平行的条件求出a ,然后利用平行线直接的距离公式求解即可.【详解】两条直线126:0l x y +-=与2l :70x ay +-=平行,可得2a =,则1l 与2l 间的距离是:=故选:C.4．在数列{}n a 中，已知11a =且12n n a a n ++=，则其前27项和27S 的值为（）A ．56B ．365C ．481D ．666【正确答案】B【分析】利用分组求和和等差数列求和公式即可求解．【详解】依题意得()()()27123452627=12224226S a a a a a a a +++++++=+⨯+⨯++⨯ ()()13226122426123652⨯+=+⨯+++=+⨯= ．故选：B ．5．已知圆221:(1)2C x y -+=与圆222:(1)(2)4C x y ++-=交于,A B 两点，则线段AB 的中垂线方程为（）A ．10x y +-=B ．4410x y -+=C ．10x y --=D ．210x y +-=【正确答案】A【分析】根据圆的标准方程得圆心坐标，然后分析出线段AB 的中垂线就是直线12C C ，再根据两点式求出方程，化为一般式可得结果.【详解】依题意可得1(1,0)C ，2(1,2)C -，因为11||||C A C B =，22||||C A C B =，所以直线12C C 是线段AB 的垂直平分线，所以直线12C C 的方程为：012011y x --=---，即10x y +-=.故选：A6．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程：0x -=，则其离心率为（）AB ．2CD 【正确答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程得出a 与b 的关系，即可求解出离心率.【详解】 双曲线的一条渐近线方程：0,3x y x ==，3b a ∴=，∴双曲线的离心率为：c e a ===，故选：A.7．函数2(1)(2)(3)(4)1y x x x x x =+++++在0x =处的导数为（）A ．1B ．24C ．37D ．48【正确答案】D【分析】利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导函数值的定义即可求解.【详解】设()(1)(2)(3)(4)g x x x x x =++++，则()21y xg x =+，()()()()()22122y x g x xg x g x xg x '''''=++=+，所以()0(01)(02)(03)(04)24g =+⨯+⨯+⨯+=，所以()()02020022448x y g g =''=⨯+⨯⨯=⨯=.故函数2(1)(2)(3)(4)1y x x x x x =+++++在0x =处的导数为48.故选：D.8．已知(8.5,)D t =数列{}n a 满足22112(1)(1)1,N n n n n a a a a n *+++=+-+∈，若对任意正实数λ，总存在1a D ∈和相邻两项1,k k a a +，使得10k k a a λ++=成立，则实数t 的最小值为（）A ．9B ．9.5C ．10.5D ．17【正确答案】B【分析】根据数列的递推关系化简可得11n n a a +-=-，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.【详解】由22112(1)(1)1,n n n n a a a a +++=+-+得221112212n n n n n n a a a a a a +++-+=-+，2211122210n n n n n n a a a a a a ++++-+-+=，即()()211210n n n n a a a a ++--+=+，于是有()2110n n a a +-+=，所以110+-+=n n a a ，即11n n a a +-=-，所以}{n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，所以()()11111n a a n a n =+-⨯-=-+，由10k k a a λ++=，得10k k a a λ-+=，所以11k a λ=+，由于0λ>，则11λ+>，所以1011λ<<+，可得01k a <<，因为11k a a k =-+，所以1011a k <-+<，即11k a k -<<，因为总存在1(8.5,)a t ∈，使得10k k a a λ++=成立，即()1,(8.5,)k k t ⊆-，所以18.5k -≥，即9.5k ≥.又t k ≥，所以实数t 的最小值为9.5.故选：B.解决此题的关键是根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.二、多选题9．若方程22142x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（）A ．若24t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为双曲线，则2t <或4t >C ．若曲线C 为椭圆，则椭圆的焦距为2tD ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则23t <<【正确答案】BD【分析】根据t 的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A ，当402042t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩时，即23t <<或34t <<，此时曲线C 为椭圆，故A 错；对于B ，若曲线C 为双曲线，则(4)(2)0t t -⋅-<，即2t <或4t >，故B 对；对于C ，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆的焦距为=，若曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，则椭圆的焦距为=，故C 错；对于D ，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则420t t ->->，解得23t <<，故D 对.故选：BD.10．若数列{}n a 满足12121,1,(3,N )n n n a a a a a n n *--===+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（）A ．713a =B ．135********a a a a a ++++=C ．733S =D ．62420202021a a a a a ++++= 【正确答案】ABC【分析】根据已知条件及数列的项的定义，结合数列的前n 和的定义即可求解.【详解】对于A ，由121,1,a a ==得3212a a a =+=，4323,a a a =+=5435,a a a =+=6548,a a a =+=76513,a a a =+=故A 正确；对于B ，2111212334n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++--------=+=+++=+++++1n S ==+L ，所以202020181232018352019111a S a a a a a a a =+=+++++=++++ 1352019a a a a =++++ ,故B 正确；对于C ，由121,1,a a ==32a =，43,a =55,a =68,a =713,a =得7123456733S a a a a a a a =++++++=，故C 正确；对于D ，24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 123420182019201920211a a a a a a S a =++++++==-L ,故D 错误.故选：ABC.11．已知复数111i z a b =+，222i z a b =+（1a ，1b ，2a ，2b 均为实数），下列说法正确的是（）A ．若122z z =，则12z z >B ．1z 的虚部为1b C ．若12=z z ，则2212z z =D ．2211z z =【正确答案】BD【分析】根据复数和复数的模的概念，判断选项正误.【详解】对于A ，复数不等比较大小，A 项错误；对于B ，复数111i z a b =+，1a 是实部，1b 是虚部，B 项正确；对于C ，12=z z =222111112i z a b a b =-+，222222222i z a b a b =-+，不能得到2212z z =，所以C 项错误；对于D ，222111z a b ==+，222111112i z a b a b =-+，222111z a b ==+，所以2211z z =，D 项正确；故选：BD.12．已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为21,4y x E =的焦点为F ，直线l 与E 交于,A B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．AB 的最大值为6B ．E 的焦点坐标为1(0,16C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为14y =±+D ．若OA OB ⊥,则AOB 面积的最小值为16【正确答案】ACD【分析】对于A ：利用抛物线定义，三角形三边关系即可求解；对于B ：根据抛物线的焦点性质即可求解；对于C ：联立直线方程与抛物线方程，消元后利用韦达定理，利用给定的条件即可求解；对于D ：先求出直线所过的定点，利用面积公式即可求解.【详解】对于A ：如图：设AB 的中点为M ，分别过,,A B M 作准线的垂线，垂足分别为,,C D N ，因为M 到x 轴的距离为2，所以213MN =+=，由抛物线的定义知AC AF =，BD BF =,所以26MN AC BD AF BF =+=+=，因为AF BF AB +≥，所以6AB ≤，所以AB 的最大值为6.故选项A 正确；对于B ：由题知，抛物线E 的标准方程为24x y =，所以焦点坐标为()0,1.故选项B 错误；对于C ：由2AF FB =得直线AB 过点()0,1F ，直线的斜率存在，设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程得214y kx x y=+⎧⎨=⎩，化简得2440x kx --=，则有4A B x x =-.由于2AF FB =，所以()(),12,1A A B B x y x y --=-，可得2A B x x =-，解得A x =±2124A A y x ==，所以4k =±，直线AB的方程为14y =±+.故选项C 正确；对于D ：设()11,A x y ，()22,B x y ，由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，又21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()212121016x x x x +=，由题知，120x x ≠，所以1216x x =-，又221221122121444ABx x y y x x kx x x x --+===--，故直线AB 的方程为()12114x x y y x x +-=-，又2114x y =，所以1212124444x x x x x x y x x ++=-=+，则有直线AB 恒过点()0,4，所以1214162ABC S x x =⨯⨯-=，所以ABC 面积的最小值为16.故选项D 正确；故选：ACD.三、填空题13．函数()225y f x x ==-+在区间[]2,2x +∆内的平均变化率为______．【正确答案】82x --∆【分析】先求y x ∆∆,再求x ∆趋于0时，y x∆∆的值.【详解】∵()()()()2222225225y f x f x ∆=+∆-=-+∆+--⨯+()282x x =-∆-∆，∴82yx x∆=--∆∆，即平均变化率为82x --∆.本题考查平均变化率定义及其求法,考查基本求解能力,属基础题.14．若抛物线24y x =的准线与圆22:()1C x a y -+=相切，则=a ___________.【正确答案】2-或0【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得a .【详解】抛物线24y x =的准线方程为=1x -，圆22:()1C x a y -+=的圆心为(),0a ，半径1r =，由于圆C 与准线=1x -相切，所以11a --=，解得2a =-或0.故2-或015．有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的S 型；感染病毒尚未康复的I 型；感染病毒后康复的R 型（所有康复者都对病毒免疫）.根据统计数据，每隔一周，S 型人群有95%仍为S 型，5%成为I 型；I 型人群中有65%仍为I 型，35%成为R 型；R 型人群仍为R 型，若人口数为A 的人群在病毒爆发前全部是S 型，记病毒爆发n 周后的S 型人数为n S ，I 型人数为n I ，则=n I _____________（用A 和n 表示，其中N n *∈）【正确答案】0.950.656n nA-【分析】根据题意得到195n n S S +=%，1565n n n I S I +%=+%，然后分别利用等比数列的定义及通项公式求解.【详解】解：由题意得：195n n S S +=%，则{}n S 是以95%为公比，以95A %⋅为首项的等比数列，所以()()1959595n nn S A -%⋅=%=%⋅，又1565n n n I S I +%=+%，即()195565n n nI I A +=+%⋅%%，则()()1110595595910631553n n n n I A I A ++⎛⎫%=⋅%⋅%⋅%-⎭-⎪⎝+⋅%%⋅ ，()10559563n n A I ⎥%⋅%⎡⎤=-⎢⎣⋅⎦%，所以()105953n n I A ⎧⎫⋅%⋅-%⎨⎬⎩⎭是以65%为公比，以1055953A A -%⋅⋅%⋅%为首项的等比数列，所以()()()11101013595559565565336n n n n I A -----%⎛⎫⋅%⋅%=%⋅⋅%⋅%=⋅%⋅%⋅ ⎪⎝⎭，所以()()1101359556536n n n I A A -=⋅%⋅%⋅%⋅%⋅=-0.950.656n nA -，故0.950.656n n A-16．过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左焦点F 作直线l 与双曲线交,A B 两点，使得3AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是______________.【正确答案】)⋃+∞【分析】求出直线l 垂直于x 轴时线段AB 长，再根据这样的直线有且仅有两条列出不等式，求出ba的范围作答.【详解】令双曲线半焦距为c ，则(,0)F c -，由22221x c x yab =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2||b y a =，即双曲线的通径长为22b a ，而双曲线实轴长为2a ，由于过左焦点F 作直线l 与双曲线交,A B 两点，使得3AB b =的直线有且仅有两条，则当直线l 与双曲线两支相交时，23223b ab b a>⎧⎪⎨>⎪⎩，解得32b a >，2c e a a ==>，当直线l 与双曲线左支相交于两点时，22323b b a a b⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得203b a <<，1e <=<，所以离心率e的取值范围是)⋃+∞.故)⋃+∞双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222c a b =+转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．四、解答题17．在“①1n n a a +>，2951a a =，4720a a +=；②5125S a =，23a =；③2n S n =”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且___________，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+.【分析】（1）若选择①，根据等差数列的性质可知2920a a +=，联立方程，求2a 和9a ，再根据等差数列通项公式，列首项和公差的方程组，即可求得通项公式；若选择②，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列式求首项和公式，即可求得通项公式；若选择③，利用数列n a 与n S 的关系，求数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）若选择①，由2951a a =与472920a a a a +=+=解得：29317a a =⎧⎨=⎩或29173a a =⎧⎨=⎩（由于1n n a a +>，舍去）设公差为d ，则21913817a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-若选择②，设公差为d ，由5125S a =，得31525a a =；213a a d =+=则111253a d a a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-若选择③，因为11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得1,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-（2）由题意得：()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- -+-+⎝⎭所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+111111111111233557212122121n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭18．已知圆22:2440C x y x y ++-+=，点(0,4)P .(1)求过点P 的圆的切线方程；(2)求224x y x y ++-的最小值.【正确答案】(1)0x =或34160x y -+=(2)4-【分析】（1）根据已知条件及点与圆的位置关系的判断方法，利用直线的点斜式方程及直线与圆的相切的条件，结合点到直线的距离公式即可求解；（2）根据圆的方程求出x 范围，利用代入法和不等式的性质即可求解.【详解】（1）由222440x y x y ++-+=，得()()22121x y ++-=，所以圆C 的圆心坐标为()1,2C -，半径1r =，所以1CP =>,所以点P 在圆C 外，当切线的斜率不存在时，切线方程为0x =，圆心()1,2C -到切线0x =的距离为101d =--=，所以d r =，符合题意，当切线的斜率为k ，则切线的方程为()40y k x -=-，即40kx y -+=，由圆心()1,2C -到切线的距离等于圆的半径1，得1=，解得34k =，所以34160x y -+=，故过点P 的圆的切线方程为0x =或34160x y -+=.（2）由（1），得()()22121x y ++-=，即()()221121x y +=-≤-，解得20x -≤≤，由222440x y x y ++-+=，得22424y y x x -=---，所以22224244x y x y x x x x x ++-=+---=--，因为20x -≤≤，所以244x -≤--≤-，故224x y x y ++-的最小值为4-.19．已知函数()ln ,()tan f x x g x x ==.(1)求曲线()y g x =在3x π=处切线方程；(2)若直线l 过坐标原点且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程.【正确答案】(1)4403x y π-+=(2)e 0x y -=【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；（2）设切点坐标()00,ln x x ，然后利用导数的几何意义得到斜率01k x =，进而得到直线l 的方程.【详解】（1）()sin tan cos x g x x x ==，所以()2222cos sin 1cos cos x x g x x x+'==，所以43g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以切线方程为：43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得4403x y π-+=.（2）()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，所以切线斜率为01k x =，则切线方程为：()0001ln y x x x x -=-，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001ln x x x -=⋅-，解得0e x =，所以切线方程为：()11e e y x -=-，整理得e 0x y -=.20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点(1,0)A，其渐近线方程为y =.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点A 的直线AP AQ ，与曲线C 分别交于点P 和Q （点P 和Q 都异于点A ），若满足AP AQ ⊥，求证：直线PQ 过定点.【正确答案】(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】（1）由渐近线方程和双曲线过点(1,0)A ，求出,a b 的值，求出双曲线方程；（2）先考虑直线PQ 斜率存在时，设出其方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用0AP AQ ⋅= 得到b k =-或3b k =，排除不合要求的情况，求出所过定点，再考虑直线PQ 斜率不存在时，设(),P m n ，则(),Q m n -，由0AP AQ ⋅= 求出3m =-或1，去掉不合要求的情况，证明出结论.【详解】（1）由题意得：1a =，渐近线方程为b y x a =±，故b ==2212y x -=；（2）当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y kx b =+，联立双曲线方程得：()()2222220k x kbx b ---+=，则要满足22k -≠0，且()()222244220k b k b ∆=+-+>，解得：222b k >-且22k ≠，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222kb x x k +=-，212222b x x k +=--，()()()11221212121,1,10AP AQ x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++= ，其中()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，即()()()2212121110k x x kb x x b ++-+++=，所以()()()2222212211022k b kb kb b k k++-+-⋅++=--，整理得：22230b kb k --=，解得：b k =-或3b k =，当b k =-时，直线:PQ y kx k =-，此时过点()1,0，则,P Q 两点有一点与A 重合，不合题意，舍去；当3b k =时，此时直线:3PQ y kx k =+，恒过点()3,0-，满足要求，当直线PQ 斜率不存在时，设(),P m n ，则(),Q m n -，且2222m n -=，此时()()22221,1,212212AP AQ m n m n m m n m m m ⋅=-⋅--=-+-=-++- 2230m m -+-==，解得：3m =-或1，因为点P 和Q 都异于点A ，故1m =时不合要求，舍去，故3m =-，此时直线PQ 经过点()3,0-，综上：直线PQ 过定点，定点坐标为()3,0-.处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.21．已知数列{}n a 满足111(N ),122n n n a a n a a *+=∈=+.(1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若记n b 为满足不等式111()()(N )22n n k a n -*<≤∈的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式4032n S <的最大正整数解.【正确答案】(1)证明见解析，21n a n =+(2)8【分析】（1）根据等差数列的定义，证明111n n a a +-为常数，由等差数列通项公式得1n a ，从而求得n a ；（2）不等式11122k n n a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为11222n n k -+≤<，从而可确定k 的个数，即n b ，然后由错位相减法求得n S ，结合{}n S 是递增数列，通过估值法得出不等式4032n S <的最大正数解．【详解】（1）由1122n n n a a a +=+取倒数得11221112n n n n n a a a a a +++=⇔=+，即11112n n a a +-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为12的等差数列，()1111121221n n n n a a a n +=+-⋅=⇒=+.（2）当11122n n k a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1112221212n n n n k k -++≤<⇔-≤<-，所以这样k 有2n 个,故2n n b =，()112n n nb n a -=+⋅，()21213242+12n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()2122232212n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减得：()()2122222212=21212nn nn n S n n ---=+++⋅⋅⋅+-+⋅+-+⋅-2n n =-⋅，所以2n n S n =⋅,又因为2n n S n =⋅为递增数列.又因为82048S =，94608S =，8940328S S n <<⇒≤，所以最大正整数解为8.22．如图，已知点12,F F 分别是椭圆22:143x y C +=的左右焦点，,A B 是椭圆C 上不同的两点，且12F A F B λ→→=（0λ>），连接2AF ，1BF 且2AF ，1BF 交于点Q.(1)当2λ=时，求点B 的横坐标；(2)若ABQ 的面积为12，试比较1λλ+与2的大小，说明理由.【正确答案】(1)74(2)12λλ+>，理由见解析【分析】（1）设点A 、B 的坐标，利用122F A F B →→=和点A 、B 均在椭圆上建立方程，然后解出方程即可；（2）先利用基本不等式得出12λλ+≥（0λ>），再检验当1λ=时是否满足题意，进而求出点A 、B 、Q 的坐标，最后求出ABQ S △即可【详解】（1）易知()11,0F -，()21,0F ，设点()11,A x y ，()22,B x y 可得：()1111,F A x y →=+，()2221,F B x y →=-2λ=，可得：()12121212x x y y ⎧+=-⎨=⎩又点,A B 在椭圆C 上，可得：2211143x y +=，2222143x y +=解得：274x =故点B 的横坐标为74（2）由基本不等式，可得：12λλ+≥（0λ>）当且仅当1λ=时，取得等号设点()11,A x y ，()22,B x y ，当1λ=时，可得：12F A F B →→=可得：()121211x x y y ⎧+=-⎨=⎩又点,A B 在椭圆C 上，可得：2211143x y +=，2222143x y +=解得：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭不妨设31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得：30,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得：133122442ABQ S =⨯⨯=≠△同理，当31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，也有：133122442ABQ S =⨯⨯=≠△故1λ≠，可得：12λλ+>解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

2025届高二年级下学期见面考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知抛物线24C x y =：的焦点为F ，准线为l ，则焦点F 到准线l 的距离为（ ）4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．25．设(2,1)A −，(4,1)B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）则球O 的表面积为（ ）8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线 二、多选题9．为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（ ）A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．骑车时间的众数的估计值是21分钟C ．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟D ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，100S =，1525S =，则（ ）11．已知ABC 中，其内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 下列命题正确的有（ ）三、填空题四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{}n a 的通项公式；（2）若01>a ，求使得n n a S ≥的n 的取值范围．18．直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；参考答案：7．Bf x为偶函数，则【详解】因为()22由①②可知1171,2F M F N ⋅∈− .。

江苏省镇江市界牌中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，，若有极大值点，则实数的取值范围（）A．B．C．D．参考答案：A2. 命题“若，则”的逆否命题是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则参考答案：A3. 数列的通项公式，则数列的前9项和为（）A． B． C． D．参考答案：A4. 如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86参考答案：A 【考点】BA：茎叶图．【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选A．5. 若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28yB．x2=28yC．y2=﹣28xD．y2=28x参考答案：D【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据准线方程求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选D．6. 设在区间可导，其导数为，给出下列四组条件（）①是奇函数，是偶函数②是以T为周期的函数，是以T为周期的函数③在区间上为增函数，在恒成立④在处取得极值，A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④参考答案：B7. 椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（）A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍参考答案：A8. 如图已知圆的半径为，其内接的内角分别为和，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在内的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B9. 读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为()图21－3A．a＝5，i＝1 B．a＝5，i＝2 C．a＝15，i＝3 D．a＝30，i＝6参考答案：D10. 等差数列中，，，则的值为（）(A) 15 (B)23 (C)25 (D)37参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，若向量，那么?????。

高 二 数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 命题:＂x ∃∈R ,使得20x >＂的否定是 ．2. 抛物线24x y =的准线方程为 ．3. 若圆锥底面半径为1，高为3，则其侧面积为 ．4. 若方程22113x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为 ．5. 已知双曲线22221x y a b -=的右焦点到右准线的距离等于焦距的13,则离心率为 ．6．圆221:1C x y +=与圆222:4210C x y x y +-++=的位置关系为 ． 7. 函数ln y x x =-的减区间为 ．8. 过点(0,1)P 向圆2246120x y x y +--+=引切线，则切线长为 ． 9. 圆心在x 轴上，且与直线y x =相切于点(1,1)的圆的方程为 ． 10. 已知,l m 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面.给出下列命题： ①若l ∥m ,m α⊂,则l ∥α； ②若,l l α⊥∥m ,则m α⊥； ③若,l αβα⊥⊥且l β⊄，则l ∥β； ④若α∥,,l m βαβ⊂⊂,则l ∥m . 其中正确命题的序号为 （请写出所有你认为正确命题的序号）． 11.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是 ． 12. 若直线y x b =+与24y x =-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围为 .13.设曲线2(2)(02)y x x =-<< 上动点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，则 △AOB 面积的最大值为 ．14.已知e 是自然对数的底，若函数()x f x e bx =-有且只有一个零点，则实数b 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分)已知2:01x p x -≤+, 22:210 (0)q x x m m -+-≤>,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.16. （本小题满分14分) （1）若1,1x y <<，证明：11x yxy-<- （2）某高级中学共有2013名学生, 他们毕业于10所不同的初级中学,证明:该高级中学至少有202名学生毕业于同一所初级中学.棱长为a 的正方体1111A B C D ABCD -中，O 为面ABCD 的中心. （1）求证：1AC ⊥平面11B CD ； （2）求四面体11OBC D 的体积；（3）线段AC 上是否存在P 点(不与A 点重合)，使得1A P ∥面11CC D D ？如果存在，请确定P 点位置，如果不存在，请说明理由．1如果函数()f x 在0x x =处取得极值，则点00(,())x f x 称为函数()f x 的一个极值点．已知函数32()f x ax bx cx d =+++(0,,,,a a b c d ≠∈R )的一个极值点恰为坐标系原点, 且()y f x =在1x =处的切线方程为310x y +-=. （1）求函数()f x 的解析式;（2）求函数()f x 在[]2,2-上的值域.19. （本小题满分16分)如图, 有一块半径为R 的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE ,其中O 为圆心, A , B 在圆的直径上，C ,D , E 在圆周上.（1）设BOC θ∠=,征地面积记为()f θ,求()f θ的表达式;（2）当θ为何值时,征地面积最大?20．（本小题满分16分)椭圆1C 的焦点在x 轴上,中心是坐标原点O ,且与椭圆222:1124x y C +=的离心率相同,长轴长是2C 长轴长的一半. (3,1)A 为2C 上一点, OA 交1C 于P 点, P 关于x 轴的对称点为Q 点, 过A 作2C 的两条互相垂直的动弦,AB AC ,分别交2C 于,B C 两点,如图. （1）求椭圆1C 的标准方程; （2）求Q 点坐标;（3）求证:,,B Q C 三点共线.高二数学期末检测答案及评分标准一、填空题（每题5分）1. x ∀∈R , 20x ≤2. 1y =-3. 2π4. (1,2) 56．相交 7. (0,1]（填(0,1)也对） 89. 22(2)2x y -+= 10. ②③ 11.ACDBCDS AE EB S ∆∆=12. 13. 6427 14. (,0)-∞∪{e} 二、解答题15. 解： p 的真值集合为(1,2]P =-,……3分q 的真值集合为[1,1]Q m m =-+,……6分由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，q 是p 的必要不充分条件，……9分P ∴是Q 的真子集……11分 1112m m -≤-⎧∴⎨+≥⎩，解得m ≥2. ……14分【说明】本题考查命题和简易逻辑、不等式的解法、集合运算；考查转化思想.16. 证明：（1）由1,1x y <<得10xy ->，0x y -≥,……1分要证11x yxy-<-，只要证1x y xy -<-，……3分 只要证22()(1)x y xy -<-，即22221x y x y +<+，……4分 只要证22(1)(1)0x y -->①，……6分由1,1x y <<，从而①式成立，故原不等式成立.……8分（2）假设该高级中学的学生中，毕业于同一所初级中学的学生数都不超过201人，…10分则总人数102012010≤⨯=，……12分 与共有2013名学生矛盾！……13分 故假设不成立，即原命题成立.……14分 【说明】本题分析法和反证法的证明书写步骤.17．证明（1）正方体中，11AB BCC B ⊥面,111B C BCC B ⊂面,1AB B C ∴⊥.……1分1111BCC B BC B C ⊥正方形中，,1111,BC B C ABC D ⊂面1AB BC B ⋂= ,111B C ABC D ∴⊥面,……2分 111AC ABC D ⊂面,11B C AC ⊥,……3分 111AC B D ⊥ 同理,……4分 1111B C B D B ⋂= ,11,B C B D ⊂11B CD 平面, 111AC B CD ∴⊥平面……5分（2）O 为正方形ABCD 的中心，1CC ∥面1OBD ,……6分点C 到平面1BOD 的距离等于点1C 到平面1BOD 的距离， ……7分111111231113322212O BC D C BOD C BOD BOD a V V V S OC ---∆===⋅=⋅⋅=.……9分 （3）假设线段AC 上是否存在P 点(不与A 点重合)，使得1A P ∥面11CC D D ， ……10分1A P ∥11,CC D D 面11111111,,A P A ACC CC D D A ACC CC ⊂⋂=面面面1A P ∥1CC ,……12分 又1AA ∥1CC ，∴1A P ∥1AA ，又111A P AA A ⋂=，矛盾！……13分故假设不成立，线段AC 上不存在除A 点外的P 点，使得1A P ∥面11CC D D .……14分【说明】本题平行和垂直的判定证明；考察锥体体积求法；考查反证法；考查逻辑推理能力.18.解：（1）()232f x ax bx c '=++,……2分 由()00,0f d =∴=.……3分()00,0f c '=∴=.……4分 ()12,2f a b =-∴+=-,……5分 ()13,323f a b '=-∴+=-,……6分 可得3,1-==b a .()233x x x f -=∴.……8分（2）()()236320.f x x x x x '=-=-=0,2x ∴=.……9分令()00f x x '>∴<或2>x ,∴函数()x f 在[]0,2-内递增，......11分 令()002f x x '<∴<<, ∴函数()x f 在[]0,2内递减，......13分 ∴()max ()00f x f ==,......14分 ()()min 220;24()20f f f x -=-=-∴=-. (15)分∴函数在该区间值域是[]0,20-.……16分 【说明】本题考查导数的运算和应用；考查运算能力.19. 解：（1）连接OE ,可得,OE R =cos ,sin OB R BC R θθ==；0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.……4分∴()()22sin cos cos OBCE f S R θθθθ==+梯形.……8分（2）()2(2sin 1)(sin 1)f R θθθ'=--+.……10分令()0f θ'= ∴01sin =+θ（舍）或者21sin =θ ∵⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ,……12分 ∴当(0,)6πθ∈,()0f θ'>,(,)62ππθ∈,()0f θ'<,……14分3πθ∴=时,()f θ取得最大. ……15分 答:3πθ=时,征地面积最大. ……16分【说明】本题考查导数的应用;考查函数思想;考查阅读理解能力和建模能力;考查运算能力以及运用数学解决问题的能力.20．解：（1）由椭圆2C 标准方程可得：长轴长是34，离心率是36.……2分 ∴椭圆:1C 1,2,3===b c a ,……3分∴椭圆1C 的标准方程：1322=+y x .……4分（2）设1:3OA l y x =,221,31,3y x x y ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩第一象限点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P ,∴31,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.……6分（3）当AB ∥x 轴，⊥AC x 轴时，()()1,3,1,3--C B .9331,,,32222QB QC QB QC =-=-∴=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴,,B Q C 三点共线. ……7分当直线AC 存在斜率时，可设:13AC l y kx k =+-,由()()()2222213,3161393210312,y kx k k x k k x k k x y =+-⎧⇒++-+--=⎨+=⎩.……9分得22963,31C k k x k --+=……10分 229631331C C k k y kx k k --=+-=+,……11分2222223611413129633343312CQk k k k k k k k k k k --++--++==-----+，……12分 同理,以1k-替换上式中的k ，得2222113()6()11123()1119()6()33123()1BQ k k k k k k k----++-+=------+，……14分 22221441343343k k k k k k k k -++--+==+---.……15分 故CQ BQ k k =，即C Q B ,,三点共线 . 综上：C Q B ,,三点共线. ……16分 【说明】本题考查椭圆方程的求法、两直线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题的处理方法；考查整体思想；考查运算能力.理 科 附 加 题21．解：()22cos 26f x x π⎛⎫'=⨯+ ⎪⎝⎭，……4分()22cos 26k f πππ⎛⎫'==⨯+=- ⎪⎝⎭……8分方程为0)2y x π-=--，即0y +=,……10分22．解：设(,)Q x y ，由中点坐标公式得(26,24)A x y -+,……3分点A 在曲线22:20C x y x +-=上，22(26)(24)2(26)0x y x ∴-++--=，……7分化简得：2274160x y x y +-++=.……10分23．解：当1x =时,不等式为(1)2kf >,即2(1ln 2)k <+,满足此不等式的最大正整数为3. 下面证明3k =满足题意，即有1ln(1)31x x x ++>+，……4分 0x >，上式可化为()(1)ln(1)210g x x x x =++-+>，……5分11 / 11 ln(1)0'()1g x x +-==，解得e 1x =-，……7分易知当(0,e 1)x ∈-时，'()0g x <；当(e 1,)x ∈-+∞时，'()0g x >，……8分 ()g x ∴在(0,e 1)-上递减，在(e 1,)-+∞上递增，min ()(e 1)3e 0g x g ∴=-=->,……9分()0g x ∴>，即1ln(1)31x x x ++>+对于0x >恒成立. 综上，正整数k 的最大值为3.……10分24．解：当0n =时，232212nn n ++==；……1分 当1,2,3n =时，计算可得23222n n n ++<；……4分 当4n =时, 23222n n n ++>.……5分 下面用数学归纳法证明:当4,N n n ≥∈时，有23222n n n ++>. ①当4n =时，已证.……6分 ②假设当(4,)N n k k k =≥∈时，满足23222kk k ++>，……7分 则当1n k =+时， 12232222226422k kk k k k ++++==⨯+⨯>,……8分 4k ≥，222264(1)3(1)220222k k k k k k +++++++-∴-=>, 22264(1)3(1)222k k k k ++++++∴> . ……9分 即当1n k =+时，有23222nn n ++>成立. 综合①②，当4,N n n ≥∈时，有23222n n n ++>.……10分友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

2023-2024学年江苏省镇江市高二上册期末模拟数学模拟试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A．1B．1C．3+D．3-【正确答案】C【详解】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a的各项均为正，所以1q =+，2229107878783a a a q a q q a a a a ++===+++C ．等差数列与等比数列的性质．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，且319S S =，则21S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】方法一：∵319S S =∴()193451941980S S a a a a a -=+++=+= ∴4190a a +=∴()2112345192021S a a a a a a a a =+++++++ ()12320211419122a a a a a a a a a =++++=++==，方法二：由于2n S An Bn =+是二次函数2()f x Ax Bx =+,当x n =时的函数值()n S f n =，根据二次函数的对称性，由319S S =可知，n S 的关于11n =对称，因此21112S S a ===，故选:B3．若曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则a b +=A ．1-B ．0C ．2D ．1【正确答案】D【详解】分析：由曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 出有公切线，根据斜率相等，求解0b =，根据点(0,)m 在曲线()g x 上，求得1m =，进而求得a 的值，即可求解．详解：由曲线()cos f x a x =，得()sin f x a x =-'，则(0)sin 00f a '=-=，由曲线2()1g x x bx =++，得()2g x x b =+'，则(0)g b '=，因为曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 出有公切线，所以(0)(0)f g ''=，解得0b =，又由(0)1g =，即交点为(0,1)，将(0,1)代入曲线()cos f x a x =，得cos01a a ==，所以1a b +=，故选D ．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点(0,)m 处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．4．过抛物线216y x =焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆与直线13x =相切，则直线l 的方程为（）A ．y =-或y =-+B ．416y x =-或416y x =-+C ．28y x =-或28y x =-+D ．4y x =-或4y x =-+【正确答案】B当直线l 垂直与x 轴时，2164y x x ⎧=⎨=⎩解得8y =±，以AB 为直径的圆为22(4)64x y -+=与直线13x =相离不符题意，当直线l 的斜率存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为(4)(0)y k x k =-≠，联立圆的方程，结合直线和圆的位置关系，即可得解；另解：过A ，B 分别作准线4x =-的垂线．垂足分别为A '，B '，则||,||AF AA BF BB ''==，所以以AB 为直径的圆与直线4x =-相切，又以AB 为直径的圆与13x =相切，故圆的直径为17，所以17AB =．设直线:4AB x my =+，与抛物线方程联立，结合焦点弦公式以及直线和圆的位置关系，即可得解.【详解】当直线l 垂直与x 轴时，2164y x x ⎧=⎨=⎩解得8y =±，以AB 为直径的圆为22(4)64x y -+=与直线13x =相离，故直线4x =不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为(4)(0)y k x k =-≠，则2(4),16,y k x y x =-⎧⎨=⎩化简得()22221212216816160,8,16k x k x k x x x x k -++=+=+=．圆的半径为122||88222AB x x p k+=+=+，圆心到直线13x =的距离为12228813982x x k k+-=-=+，解得4k =±，故直线l 的方程为416y x =-或416y x =-+．故选：B ．另解：过A ，B 分别作准线4x =-的垂线．垂足分别为A '，B '，则||,||AF AA BF BB ''==，所以以AB 为直径的圆与直线4x =-相切，又以AB 为直径的圆与13x =相切，故圆的直径为17，所以17AB =．设直线:4AB x my =+与抛物线联立得216640y my --=．记()()1122,,,A x y B x y ，则1216y y m +=，∴212168x x m +=+．又21212||8161617AB p x x x x m =++=++=+=．∴14m =±．故选：B ．本题考查了焦点弦公式，考查了直线和圆的位置关系，同时考查了利用韦达定理构建基本量之间的关系，有一定的计算量，属于较难题.5．设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．5B 3C ．53D ．4【正确答案】A【分析】根据几何关系，可知12PF PF ⊥，再结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.【详解】点,O M 分别是线段12F F 和2PF 的中点，所以1//OM PF ，因为2OM PF ⊥，所以12PF PF ⊥，因为122PF PF a -=，1234PF PF =，解得：18PF a =，26PF a =，222124PF PF c +=，即221004a c =，解得.5c e a==故选：A6．已知函数2()ln f x a x x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-，则实数a 的最小值为（）A ．14B ．12C ．32D ．2【正确答案】B【分析】不妨设120x x >>，由题意，可得1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()()2g x f x x =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，从而有()0g x '≥在()0,∞+上恒成立，分离参数转化为最值即可求解.【详解】解：由题意，不妨设120x x >>，因为对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-，所以1212()()22f x f x x x ->-，即1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()2()()22n 0l a x x g x f x x x x ==-+>-，则12()()g x g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以20(2)ax xg x +'=-≥在()0,∞+上恒成立，即222a x x ≥-+在()0,∞+上恒成立，当0x >时，因为22111222222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以()max 22122x x -=+，所以12a ≥，实数a 的最小值为12.故选：B.7．已知函数()1e xf x x =，函数()2ln x f x x =，函数()3cos xf x x =，函数()4sin 2x x f x =，四个函数的图象如图所示，则()()()()1234f x f x f x f x ，，，的图象依次为（）A ．①②③④B ．①②④③C ．②①③④D ．②①④③【正确答案】A【分析】根据定义域、对称性与奇偶性，结合三角函数的图象性质判断即可.【详解】由定义域()2ln xf x x=中0x >可知，图②为()2f x .由()()()33cos cos x xf x f x x x--==-=--可知()3f x 为奇函数，图③为()3f x .()()()()44sin sin 22x x x x f x f x ---===可得()4f x 为偶函数，图④为()4f x .故而图①为()1f x ．故选：A8．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形1P ，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线2P ；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，34,,,,n P P P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．设雪花曲线n P 的边长为n a ，边数为n b ，周长为n l ，面积为n S ，若13a =，则下列说法正确的是（）A ．35513,9272a l ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭B ．13185S S S ≤<C ．{}{}{}{},,,n n n n a b l S 均构成等比数列D ．211134n n n n S S a ---=【正确答案】B【分析】根据已知写出n a 、n b 、n l 的通项公式且2n ≥时21134n n n n S S b a --⎫-=⋅⎪⎪⎝⎭，应用累加法求n S 通项，进而判断各选项的正误.【详解】据题意知：1211111114,434,9333n n n n n n n n n n a a b b l a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅=⋅==⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴551256,279a l ==，A 错误；211193sin 6024S a =⨯⋅︒=，当2n ≥时，2222113313343444949n n n n n n n S S b -----⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅=⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误；∴()()()221213219333444144999n n n n S S S S S S S S --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦13345209n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由111933273445209S -⎛⎫==- ⎪⎝⎭也满足上式，则1183********n n S -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以{}n S 不构成等比数列，C 错误；由上，3138183355S S ==，则13185S S S ≤<，B 正确.故选：B ．二、多选题9．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(3,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在0x =处取得极大值【正确答案】ABC【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．【详解】解：由函数()y f x =导函数的图象可知：当1x <-及35x <<时，()0f x '<，即()f x 在(),1-∞-和()3,5上单调递减；当13x -<<及5x >时，()0f x '>，即()f x 在()1,3-和()5,+∞上单调递增．所以()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(3,5)，单调增区间为(1,3)-，(5,)+∞，()f x 在=1x -，5x =处取得极小值，在3x =处取得极大值，故选：ABC ．10．下列说法中正确的有（）A ．设,AB 为两个定点，k 为非零常数，||-=PA PB k ，则动点P 的轨迹为双曲线B ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C ．双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点D ．过(0,1)作直线，使它与抛物线24y x =有且仅有一个公共点，这样的直线有2条【正确答案】BC【分析】对于A ，根据双曲线定义判断即可；对于B ，解方程，根据椭圆和双曲线离心率范围判断即可；对于C ，根据椭圆和双曲线焦点求法判断即可；对于D ，画图判断即可.【详解】对于A ，设,A B 为两个定点，k 为非零常数，||-=PA PB k ，且AB k >，则动点P 的轨迹为双曲线，故A 错误；对于B ，方程22520x x -+=，即(2)(21)0x x --=的两根解得12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B 正确；对于C ，双曲线221259x y -=的焦点在x 轴上，c (，椭圆22135x y +=的焦点在x 轴上，c ，所以焦点为(，故C 正确；对于D ，抛物线24y x =开口向右，2p =，过(0,1)作直线，如图过(0,1)作直线，使它与抛物线24y x =有且仅有一个公共点的直线有0x =和,l m 三条直线；故D 错误；故选：BC11．下列结论正确的是（）A ．已知点(,)P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，则2y x +的最小值是43B ．已知直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322k -≤≤C ．已知点(,)P a b 是圆222x y r +=外一点，直线l 的方程是2ax by r +=，则l 与圆相交D ．若圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>上恰有两点到点(1,0)N 的距离为1，则r 的取值范围是(4,6)【正确答案】CD【分析】A.令2y k x +=，即20kx y --=，根据题意，由圆心到直线的距离d =求解判断；B.根据直线10kx y k ---=恒过定点（1,-1），求得,PM PN k k 判断；C.由点(,)P a b 是圆222x y r +=外一点，得到222x y r +>判断；D.由圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>与圆22:(1)1N x y -+=相交求解判断.【详解】A.令2y k x+=，即20kx y --=，因为点(,)P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，则圆心到直线的距离d =2670k k +-≥，解得1k ≥或7k ≤-，所以无最小值，故错误；B.因为直线10kx y k ---=恒过定点（1,-1），则111123,132132PM PN k k ----==-==+-，因为以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，所以32k ≥或12k ≤-，故错误；C.因为点(,)P a b 是圆222x y r +=外一点，所以222x y r +>，圆心到直线l的2d r =<，则l与圆相交，故正确；D.圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>，圆22:(1)1N x y -+=，圆心距为5d MN ==，因为圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>上恰有两点到点(1,0)N 的距离为1，所以两圆相交，则151r r -<<+，解得46r <<，故正确；故选：AC12．数列{}n a 满足11,121nn naa a a +==+，则下列说法正确的是（）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n=C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列【正确答案】ABD 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：()112121nn n a =+-=-数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误.对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确.故选：ABD本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.三、填空题13．两平行直线1:3450l x y ++=与2:60l x by c ++=间的距离为3，则b c +=___________.【正确答案】12-或48【分析】根据两条直线平行求出b ,进而通过两条平行线间的距离求出c ，最后求出答案.【详解】∵12l l //，∴8,10b c =≠，∴2:3402cl x y ++=.∴3=20c =-或40c =.∴12b c +=-或48b c +=.故-12或48.14．已知A ，B 为椭圆22195x y +=上两个不同的点，F 为右焦点，4AF BF +=，若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，则F T =__________．【正确答案】43【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,利用焦半径公式得到123x x +=,设()0,0T x ，写出垂直平分线方程121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭，代入()0,0T x ，化简得到0x 值，最终求出FT 的值.【详解】取椭圆方程为22221x y a b +=，c =2a x a c=>（椭圆右准线），椭圆上点()00,P x y ，右焦点(),0F c ，设点()00,P x y 到直线的距离为d ，则200a d x cPF=-020c c a x c a a c x a⎛⎫⎪-- ⎝⎭==，所以200c a x a c PF a ex ⎛⎫- =⎪-⎝⎭=，因为本题椭圆离心率:23e =，设()()1122,,,A x y B x y 由焦半径公式:122233433x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得:123x x +=,即AB 中点()123,,,022y y T m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，1212ABy y k x x -=-，则AB 垂直平分线斜率为1212x x y y ---根据点,A B 在椭圆上，则有2211195x y +=，2222195x y +=，作差化简得()2222122159y y x x =--，则线段AB 的垂直平分线方程为121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭,代入(),0T m 得:()()()()2222211212121255359922226x x x x y y m x x x x -+--===-=---,即023x =,则24||233FT =-=.故答案为.43椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，10PF ex a =+，20PF a ex =-，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.15．若曲线e x y =在点()00,e x A x 00x >处的切线也是曲线ln y x =的切线，则004xx +e 的最小值为_____．【正确答案】542+【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到0x 与0e x 满足的关系式，将原式中的0e x 替换，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】曲线e x y =在点A 处的切线可写作000()xxy x x =-+e e 设该切线在曲线ln y x =上的切点为(,ln )t t ，则有0000ln e ()e 1ex x x t t x t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去t 得0001e 1xx x +=-则0000000112441)44(511x x x x x x x ++=+=-+≥+++--e当且仅当00421)1(x x --=，即01x =+时取得该最小值.故答案为.5+四、双空题16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.【正确答案】956620122【分析】由题分析设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，进而求得等差数列基本量，最后带入前n 项和求和公式求得九节总容量.【详解】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+=故9566；20122本题考查在数学文化中的等差数列求通项公式的基本量与前n 项和，属于基础题.五、解答题17．在ABC 中，已知()2,4A ，()2,1B -，()8,4C -，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点， AH BC ⊥于点H .(1)求直线DE 的方程；(2)求直线AH 的方程.【正确答案】(1)250x y +-=；(2)20x y -=.【分析】(1)根据给定条件求出点D ，E 坐标，再求出直线DE 方程作答.(2)求出直线AH 的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【详解】（1）在ABC 中，()2,4A ，()2,1B -，()8,4C -，则边AB 中点5(0,)2D ，边AC 的中点(5,0)E ，直线DE 的斜率512052k -==--，于是得1522y x =-+，即250x y +-=，所以直线DE 的方程是.250x y +-=（2）依题意，//BC DE ，则直线BC 的斜率为12-，又AH BC ⊥，因此，直线AH 的斜率为2，所以直线AH 的方程为：42(2)y x -=-，即20x y -=.18．已知函数321()22f x x x x =+-．(1)求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =在[2,1]-上的最大值与最小值．【正确答案】(1)4250x y --=；(2)最大值是32，最小值是2-.【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出在1x =处的切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）利用导数求出函数的单调区间，从而得到函数的极值，再与区间端点处的函数值比较，即可得到函数在闭区间上的最值.【详解】（1）3221()2,()322f x x x x f x x x '=+-∴=+- ，1(1),(1)22f f '∴=-=．∴函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程为：12(1)2y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即4250x y --=．（2）令2()320f x x x +-'==，得11x =-与223x =，当x 变化时，()()f x f x '、的变化如下表：x(2,1)--1-21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-+()f x 322227-所以，11x =-与223x =是函数在(2,1)-上的两个极值点，而32221(2)2,(1),,(1)23272f f f f ⎛⎫-=--==-=-⎪⎝⎭．∴函数()y f x =在[2,1]-上的最大值是3(1)2f -=，最小值是(2)2f -=-.19．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，424S S =，()*221n n a a n =+∈N ；数列{}n b 是等比数列，且12b =，24b ，32b ，4b 成等差数列.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列(){}1nn n a b -⋅的前n 项和为n T ，求()1962n n T n ++⨯-的表达式.【正确答案】(1)21n a n =-；2nn b =；(2)n 为偶数时，1196(2)22n n n T n +++⋅-=-；n 为奇数时，1196(2)22n n n T n +++⋅-=+．【分析】(1)设{}n a 公差为d ，设{}n b 公比为q ，根据已知条件列出方程求出d 、1a 和q 即可得到两个数列的通项公式；(2)分n 为偶数和奇数时，利用错位相减法求出数列(){}1nn n a b -⋅的前n 项和为n T ，从而求出()1962n n T n ++⨯-的表达式．【详解】（1）设{}n a 公差为d ，424S S =()()11144144222a d a d d a -⇒+=+⇒=，()()2111212121110n n a a a n d a n d a d ⎡⎤=+⇒+-=+-+⇒-+=⎣⎦，联立解得：11a =，2d =，21n a n ∴=-；设{}n b 公比为q ，24b 、32b 、4b 成等差数列222434444(2)02b b b q q q q ⇒+=⇒+=⇒-=⇒=，1222-∴=⋅=n n n b ．故21n a n =-，2nn b =．（2）令()(1)(1)212n n n n n n a b n c -=--⋅=，则()21221412n n n c c n --+=+⋅，当n 为偶数时，12n n T c c c =+++ ，()1315292212n n T n -=⋅+⋅+++⋅ ，①()()311452232212n n n T n n -+=⋅++-⋅++⋅ ，②①－②得：()3511352424242212n n n T n -+-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅ ，()()121181461223104212149n n n n n n T n T -++⎛⎫⋅- ⎪-⋅+⎝⎭-=+⋅-+⋅⇒=-，当n 为奇数时，()()167222129n n n n n n T T c n --⋅+=+=--⋅，n ∴为偶数时，()111196(2)61226222n n n n n T n n n +++++⋅-=-⋅+-⋅=-，n 为奇数时，()()11196(2)672292126222n n n n n n T n n n n ++++⋅-=-⋅+-⋅-⋅+⋅=+．20．已知圆22:(4)1M x y +-=，直线:20l x y -=，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．(1)若点P 的坐标为(1,2)，过P 作直线与圆M 交于C 、D两点，当CD CD 的方程；(2)求证：经过A 、P 、M 三点的圆与圆M 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．【正确答案】(1)30x y +-=或790x y +-=(2)证明见解析，115(,)24【分析】(1)根据条件得出圆心到直线CD的距离2d =，设出直线CD 的方程，解出k 的值即可求出直线方程；(2)由题意可知过点A 、P 、M 三点的圆即以PM 为直径的圆，利用0PA MA =得出圆的方程，将其与圆M 的方程相减可得公共弦所在直线方程，整理解出定点坐标即可.【详解】（1）因为CD CD的距离2d =，直线CD 的斜率必存在，设方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，由点到直线的距离公式可得：圆心到直线CD=，解得7k =-或1k =-所以直线CD 的方程为30x y +-=或790x y +-=.（2）因为点P 在直线:20l x y -=上，设(,2)P a a ，(,)A x y ，过A 、P 、M 三点的圆即以PM 为直径的圆，PA AM ⊥，则0PA MA =，因为(,2)PA x a y a =-- ，(,4)MA x y =-，所以()(4)(2)0x x a y y a -+--=整理得224280x y ax y ay a +---+=，所以经过A 、P 、M 三点的圆方程为：224280x y ax y ay a +---+=，将方程224280x y ax y ay a +---+=与22(4)1x y +-=相减得两圆的公共弦方程：(42)8150a y ax a --+-=，即(28)4150x y a y --++-=，由2804150x y y --+=⎧⎨-=⎩，解得：12154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两圆的公共弦过定点115(,)24.21．已知函数()21ln 2f x x ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【正确答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）10a e<<.（1）求出函数的导数，分为0a ≤和0a >两种情形，得出导数与0的关系，进而可得单调性；（2）由（1）知0a ≤显然不满足，当0a >时，可得max 1()(ln 1)2f x a =-+，分为1a e ≥和10a e<<两种情形，判断其与0的关系，结合零点存在性定理可得结果.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，且()21axf x x-'=，当0a ≤时，()0f x ¢>，此时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()00f x x '>⇒<<()0f x x '<⇒>即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，综上可知：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，()f x 在0,a ⎛ ⎝⎭上单调递增，在a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.（2）由（1）知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不合题意，当0a >时，()f x 在0,a ⎛ ⎝⎭上单调递增，在a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，2max 11()(ln 1)22f x f a a ===-+，当1ae ≥时，max 1()(ln 1)02f x f a ==-+≤，函数()f x 至多有一个零点，不合题意；当10ae <<时，max 1()(ln 1)02f x f a ==-+>由于1⎛∈ ⎝，且211(1)ln11022f a a =-⋅⋅=-<，由零点存在性定理知：()f x 在⎛ ⎝上存在唯一零点，由于2a >222122222ln ln 02f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（由于ln x x <）由零点存在性定理知：()f x 在⎫+∞⎪⎭上存在唯一零点，所以实数a 的取值范围是10a e<<.利用导数研究函数的零点常见方法：（1）求出函数的导数，结合单调性得到函数的大致图象，研究其与x 轴的交点；（2）利用分离参数思想，分离参数研究函数的单调性.22．如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ，直线1MB 与直线2NB 交于点T ，试讨论点T 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定直线方程为3y =.【分析】（1）由题意可得出关于a 、c 的方程组，求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线1MB 、2NB 的方程，求出交点T 的纵坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩，解得2a =，1c =，223b a c ∴=-=因此，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=，()()22264324396210k k k ∆=++=+>，由韦达定理得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.易知点(13B 、(20,3B -，直线1MB 的斜率为(11111133kx y k x +-=，直线1MB 的方程为13y k x =+直线2NB 的斜率为(22222133kx y k x +++=，直线2NB 的方程为23y k x =由1y k x =，2y k x =(112212211kx kx x x k x k x +-+-==，其中12122843kkx x x x k=-=++，121221222122x x x x x x x ⎡⎤++++=3y =.因此，点T 在定直线3y =上.本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.。

江苏省镇江中学高二年级期中学情检测（数学）命题人：高一数学学科中心组第二小组 审题人：高一数学学科中心组第一小组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（ ）A．B ．C ．D ．2．等差数列中，若，，则等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．已知直线：，：且，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．5或D ．55．已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）A ．B ．7C ．D ．26．若实数，，，成等比数列，则下列三个数列：（1），，，；（2），，；（3），，，必成等比数列的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．c ．D ．8．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ）A ．B ．c ．D ．10x +-=π32π3π65π6{}n a 234a a +=345a a +=910a a +1C ()2211x y -+=2C ()22416x y -+=1C 2C 1l ()410x a y +-+=2l 550ax y ++=12l l ∥a 1-1-l 210x y --=C ()22610x y x ay a +-++=∈R ()4,P a -C A PA =a b c d 2a 2b 2c 2d ab bc cd a b -b c -c d -()2,3A -A l x l '()()22321x y -+-=l 43,,034⎛⎤⎡⎫-∞-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭340,43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭43,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦{}n a 12a =122n n na a a +=+()()1121nn n n b n a a +=-+{}n b n n S 100S =400101-400101408101408101-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则点在圆外B ．圆与轴相切C ．若圆截轴所得弦长为D ．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为10．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）A ．数列的通项公式B ．C ．数列的通项公式为D ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ）A ．圆的方程是B ．过点向圆引切线，两条切线的夹角为C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为D ．过直线上的一点向圆引切线，，切点为，，则四边形的面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．xOy C ()222420x y x ay a a +--+=∈R 0a ≠O C C x C x 1a =O C 2a {}n a n n S 12a =214S a ={}nb 1nn n n a b S S +=⋅{}n b n n T {}n a 123n n a -=⨯31n n S =-{}n b ()()1233131nn nn b +⨯=--1186n T ≤<A B ()1λλ≠()4,2A -()2,2B P 2PA PB=P C C ()()224216x y -+-=A C π3A l C l 3460x y +=Q C QM QN M N QMCN12．已知点，，，则的外接圆的标准方程为_________．13．已知数列满足，，则数列的通项公式为_________．14．已知实数，，，满足，，，则的取值范围是_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．本小题13分在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上．（1）若是边上的高，求直线的方程；（2）若是边上的中线，求直线的方程．16．本小题15分等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；（2）求数列的前16项的和．17．本小题15分已知，直线：与圆：交于，两点．（1）求证直线过定点；（2）若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程；（3）求面积的最大值．18．本小题17分数列的前项和记为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由．19．本小题17分在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相()2,0A ()0,0O ()0,4B -AOB △{}n a 11a =()11123n n na n a n +-+=++++ {}n a 1x 2x 1y 2y 221116x y +=222216x y +=12120x x y y +=1212x x y y +++xoy ABC △AB 20x y +=AC 30x y -+=()2,0M BC AM BC BC AM BC BC {}n a n n S 315S =-1a 3a 4a -{}n a n S n {}n a 16T m ∈R l ()1360x m y m +-+-=C 228230x y x y +-+-=A B l P l C 12l ABC △{}n a n n S 213n n a S =+{}n a 3log nn na b a ={}n b n n T {}n b k 1b 22b k kb k xoy C y 4340x y ++=C切．（1）求圆的方程；（2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点．①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围；②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上．江苏省镇江中学高二年级期中学情检测（数学）答案命题人：高一数学学科中心组第二小组审题人：高一数学学科中心组第一小组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．9．【答案】AD 10．【答案】ABD11．【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】13．【答案】14．【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）由得，所以得斜率为，因为，所以得斜率为，的方程为，即（2）点在直线上，设，点关于的对称点为在直线上所以，解得，所以的方程，即方程为16．【解】（1）由得解得，，所以，C ()0,1D D k l C P Q ()1,0M PQ k A B C y A B AP BQ ()()22125x y -++=()12n n n a +=⎡⎤⎣⎦2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩12x y =-⎧⎨=⎩()1,2A -AM 202123-=---BC AM ⊥BC 32BC ()322y x =-3260x y --=B 20x y +=(),2B x x -B M ()4,2C x x -30x y -+=()4230x x --+=73x =714,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭BC BM 14280x y +-=()123314152a a a a a a ++=-⎧⎨=+-⎩()()11113315223a d a d a a d +=-⎧⎨+=-+⎩17a =-2d =29n a n =-由于得，解得，因为，所以，当取得最小值时，（2）17．【解】（1）由：，得，，解得所以直线过定点．（2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．直线与圆交于，两点，则．圆：，圆心到．，整理得．解得，所以，直线的方程为．（3）当时，圆心到的距离所以的取值范围为，线段面积为当时，所以，求面积的最大值为．18．【解】（1）因为，所以所以当时，，所以，当时，所以，100n n a a +≤⎧⎨≥⎩290270n n -≤⎧⎨-≥⎩7922n ≤≤*n ∈N 4n=n S 4n =()()167531132316144160T =+++++++=+= l ()1360x m y m +-+-=()()630x y m y --++=6030x y y --=⎧⎨+=⎩33x y =⎧⎨=-⎩l ()3,3P -l C 12l C A B 120ACB ∠=︒ C ()()224120x y -++=∴()4,1C -l 2690m m -+=3m =l 230x y ++=l CP ⊥C l d d ⎡⎣AB ==ABC △12S AB d d =⋅===[]20,5d ∈25d =max S ==ABC △213n n a S =+3322n n S a =-1n =111332a S S ==-13a =2n ≥113322n n S a --=-111333333222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．（2）（3）结合（2），，令，即，即，设，则，当时，，数列为递减数列，，故对所有正整数，所以，不存在正整数，使得，，成等差数列．19．【解】（1）设圆心为，，则圆的方程为，，，圆的方程为；（2）设的方程为，，代入，并整理得则，，且因为点在以为直径的圆内，所以即由于，，所以13nn a a -={}n a 3n n a =123343n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭3n n nb =1222k b kb b +=⨯218339k k +=2539k k =()23k k f k =()()()2221112211333k k k k k k k f k f k +++-+++-=-=2k ≥()()10f k f k +-<23k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()15139f =<()45299f =<k ()59f k <k 1b 22b k kb ()0,a 0a >()224x y a +-=2d ∴3410a +=02a a >∴= ∴C ()2224x y +-=l 1y kx =+()11,P x y ()22,Q x y ()2224x y +-=()221230k x kx +--=12221k x x k +=+12231x x k ⋅=-+()()2224310k k ∆=-+⨯+>M PQ 0MP MQ ⋅<()()1212110x x y y --+⋅<111y kx =+221y kx =+()()()212121120k x x k x x ++-++<所以，解得所以的取值范围是．由圆方程知，其与轴的两个交点为，方程为，方程为消去得：所以，即有与的交点在定直线上．()2213201k k k --++<+11k <<+k (1+y ()0,4A ()0,0B AP 11440y y x x -=+-BQ 220y y x x -=-x ()12221122121211232343411331k k x x y kx x x y k k k y x y kx x x x k -⎛⎫-- ⎪---++⎝⎭====-+++2y =-AP BQ 2y =-。

江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知数列2，，是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项C. 第22项D. 第19项【答案】A 【解析】，解出即可得.，解得20n =，20项. 故选：A.2. 已知等差数列{aa nn }的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A. 2−B. 73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ×=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法的不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3. 设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，259,,a a a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（ ）A.1011B.1110C.34 D.43【答案】A 【解析】【分析】由题意可得18d a =，根据135331474433a a a a a a a a a a ++==++求解即可. 【详解】因为公差0d ≠的等差数列{aa nn }中，259,,a a a 成等比数列，所以2529a a a =⋅，即()()()211148a d a d a d +=+⋅+，解得18d a =，所以135331147441328210338311a a a a a a d d d a a a a a a d d d ++++=====++++. 故选：A.4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nS n n =+，1)n b n n ∗=∈≥N ,，则数列{}n b 的前n 项和为n T =（ ）A. −B. 1−C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用,n n a S 的关系求出n a ，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列{}n a 的前n 项和22nS n n =+， 当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n −=−=+−−+−=+，而113a S ==满足上式， 因此21na n =+，n b =−，所以n T =++++ .故选：D5. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则SS nn =nnaa 1+nn (nn−1)2dd ,SS nn nn=aa 1+nn−12dd =dd 2nn +aa 1−dd 2,SS nn+1nn+1−SS nn nn=dd2，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =nnSS nn+1−(nn+1)SS nn nn (nn+1)=nnaa nn+1−SSnn nn (nn+1)为常数，设为t ， 即nnaa nn+1−SS nn nn (nn+1)=tt ，则SS nn =nnaa nn+1−tt ⋅nn (nn +1)，有SS nn−1=(nn −1)aa nn −tt ⋅nn (nn −1),nn ≥2，两式相减得：aa nn =nnaa nn+1−(nn −1)aa nn −2ttnn ，即aa nn+1−aa nn =2tt ，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2nn n S na d −=+， 则SS nnnn=aa 1+(nn−1)2dd =dd 2nn +aa 1−dd2，因此{}nS n为等差数列，即甲是乙充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =DD ,SSnn nn =SS 1+(nn −1)DD ，即SS nn =nnSS 1+nn (nn −1)DD ，SS nn−1=(nn −1)SS 1+(nn −1)(nn −2)DD ，当2n ≥时，上两式相减得：SS nn −SS nn−1=SS 1+2(nn −1)DD ，当1n =时，上式成立， 于是aa nn =aa 1+2(nn −1)DD ，又aa nn+1−aa nn =aa 1+2nnDD −[aa 1+2(nn −1)DD ]=2DD 为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.的故选：C6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，则8S =（ ） A. 48 B. 50C. 52D. 54【答案】C 【解析】【分析】根据125n n a a n ++=+得到127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=，相加得到答案.【详解】因为125n n a a n ++=+，所以127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=， 所以8711151952S =+++= 故选：C7. 已知函数()()633,7,7x a x x f x a x − −−≤= > ，若数列{}n a 满足*()(N )n a f n n =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9(,3)4B. 9[,3)4C. (2,3)D. [2,3)【答案】C 【解析】【分析】()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出23a <<.【详解】由题意可知，()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，由于()33y a x =−−和6x y a −=均为单调函数，故()86301733a a a a − −>> −−<，解得23a <<. 故选：C8. 在正项等比数列{}n a 中，4561,32a a a =+=．则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为（ ）A. 12B. 11C. 9D. 10【答案】D 【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，可得数列的通项公式和12n a a a +++ 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 公比为q ，则0q >，由题意可得()31411213a q a q q =+=， 解之可得1116a =，2q ，故其通项公式为1512216n n n a −−=×=． 记()1241122116122n n n nT a a a −−+++===− ， ()943542235122222n n n n n n a S a a −−−−−−−+−××× ．由题意可得n n T S >，即()9242122n n n−−>，化简得()942212n n n−+−>，由*N n ∈且1n >，因此只须()942n n n >−+，即21180n n −+<，n <<， 由于n 为正整数，因此n的整数部分，也就是10． 故选：D.二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若{}n a 是等差数列，且22n S n n k =++，则0k =B. 若{}n a 是等比数列，且213n n S k +=+，则3k =−C. 若2321n S n n =−+，则{}n a 是等差数列 D. 若{}n a 是公比大于1的等比数列，则22n n S S >【答案】AB 【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用3221a a a a −≠−判断选项C ；通过举例2n n a =−，判断选项D.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，则()2111222n n n d d d S na n a n −=+=+−， 且22n S n n k =++，故 0k =，故A 正确；对于B ，若{}n a 是等比数列，则当1q ≠时，()1111111n n n a q a aS q q q q−==−+−−−，且21339n n n S k k +=+=×+，则3k =−；当1q =时，2113n n S na k +=≠+，舍去，故B 正确；对于C ，若2321n S n n =−+，则112a S ==，221927a S S −=−==， 33222715a S S −−===，故3221a a a a −≠−，所以{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，若2nn a =−，则()21246,2224S S =−−=−=×−=−,此时212S S <，不满足22n n S S >，故D 错误. 故选：AB10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*111,2n n a a S n +==∈N ，则有（ ）A. 13n n S −=B. {}n a 为等比数列C. 28nn a =⋅D. {}n S 为等比数列【答案】AD 【解析】【分析】BC 选项，根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 得到21,123,2n n n a n −= = ×≥ ，从而得到BC 错误；A 选项，结合等比数列求和公式得到A 正确；D 选项，计算出13n nS S +=，得到D 正确. 【详解】BC 选项，12n n a S +=①，当1n =时，211222a S a ===， 当2n ≥时，12n n a S −=②，①-②得11222n n n n n a a S S a +−−−，故13n n a a +=，故{}n a 从第二项开始，为公比为3的等比数列，B 错误； 故21,123,2n n n a n −= =×≥，C 错误； A 选项，121223126231313n n n n S −−−−×=++++×=+=− ，A 正确；D 选项，11333nn n nS S +−==，故{}n S 为等比数列，D 正确. 故选：AD11. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：11a >，202420251,a a >20242025101a a −<−，下列结论正确的是（ ）A. 20242025S S <B. 202420261a a <C. 2024T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值 【答案】ABC 【解析】【分析】根据条件202420251a a >判断0q >，分1q ≥和01q <<两情况讨论20242025101a a −<−得成立与否得出01q <<，即可判断A ；对于B ，利用A 的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C ，D ，由前面推得的202420251,01a a ><<即可判断.【详解】对于A ，由20242025101a a −<−可得，20242025(1)(1)0a a −−<（*），由20242024202251,a a q a >=可得0q >.当1q ≥时，因11a >，则202420251,1a a >>，即（*）不成立；当01q <<时，202420251,01a a ><<，（*）成立，故20242025S S <，即A 正确；对于B ，因2202420262025110a a a −=−<，故B 正确； 对于C,D ，由上分析202420251,01a a ><<，且01q <<，则2024T 是数列{}n T 中的最大值，故C 正确，D 错误. 故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 是公比为12的等比数列，若14797100a a a a ++++=，则36999a a a a ++++= ______. 【答案】25 【解析】【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为3699942971714a a a a a a a a q ++++++=++=所以3699925a a a a ++++=故答案为：2513. 数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______． 【答案】2n n ⋅ 【解析】【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将1112122n nn n aa +++=+，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得.【详解】由题意知1122n n n a a ++=+将等式两边同时除以12n +， 可得11122n n n na a ++=+，因为12a =，所以可知112a =， 则数列2n n a是以12a 为首项，1为公差的等差数列， 所以()112nna n n =+−=，所以2n n a n =⋅. 故答案为：2n n ⋅14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为24dm 20dm ×的长方形纸，对折1次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm ××两种规格的图形，它们的面积之和21480dm S =，对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，它们的面积之和22360dm S =，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm ．【答案】 ①. 6 ②. 515(3)14402n n −+− 【解析】分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】第一空：由对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，所以对折三次的结果有：3dm 20dm ×，6dm 10dm ×，512dm 5dm,24dm dm 2××共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：3dm 20dm 2×，3dm 10dm ×，6dm 5dm ×，5512dm dm,24dm dm 24××，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：3dm 20dm 4×，3dm 10dm 2×，3dm 5dm ×，56dm dm 2×，5512dm dm,24dm dm 48××，共6种不同规格；第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为2240dm , 第n 次对折后的图形面积为12402n n S −=，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数为1n +种， 则01211240224032404240(1)2222k n nk S n S −==××=××+++++∑ ， 1232124022403404240(1)22222n S n ×=×××+++++ ， 两式作差得：12312122402402402402400(1)242282n nS n −=×+++++−+ 11112(1)240224240(1)240(1)240(3)70720280240122212n n nn n n n n −−−+×−−×+××+−=−+−=， 因此515(3)14402n n S −=−+. 【故答案为：①6；②515(3)14402n n −+−.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法； （4）对于11{}n n a a +结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()d d ≠0，则111111()n n n n a a d a a ++=−，利用裂项相消法求和.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知{aa nn }}是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{aa nn }的通项公式； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ．【答案】（1）212n na −=（2）21223n n S +−=【解析】【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前n 项和公式，即可求解.小问1详解】因为数列{aa nn }是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{aa nn }的公比为q ()0q >，22312a a qq ==，212a a q q ==， 所以22416q q =+，解得2q =−（舍去）或4，所以数列{aa nn }是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a −−=×=．【小问2详解】 因为212n n a −=，求和可得：()2121422143n n n S +−−==−． 【16. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）152na n =− （2）2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ 【解析】分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果； （2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d ， 由题意可得211011*********a a d S a d =+= ×=+=，即1111298a d a d += += ，解得1132a d = =− ， 所以()1321152n a n n =−−=−，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +−==−， 令1520n a n =−>，解得152n <，且*n ∈N ， 当7n ≤时，则0n a >，可得2121214nn n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==−； 当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n −−−×−−−−+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ .17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a =是公差为13的等差数列． 【（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++< ． 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+−=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,进而得：111n n a n a n −+=−，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n +++=− + ，进而证得. 【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a是公差为13的等差数列， ∴()121133n n S n n a +=+−=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S −−+=， ∴()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,整理得：()()111n n n a n a −−=+, 即111n n a n a n −+=−, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=×××…×× ()1341112212n n n n n n ++=×××…××=−−，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； 【小问2详解】 ()12112,11n a n n n n ==− ++ ∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n =−+−+−=−< ++18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n nn S a a =+−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,2n n n n a a b T =为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +−≤对任意的*n ∈N 恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1n a n =+（2）5,8 +∞【解析】【分析】（1）运用公式，已知n S 求n a 即可；（2）求出n b ，后运用错位相减求出n T ，后结合函数单调性可解．【小问1详解】222n n n S a a =+−①，且0n a >， 当1n =时，代入①得12a =；当2n ≥时，211122n n n S a a −−−=+−.②①-②得22112n n n n n a a a a a −−=−+−，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−+=−=−+， 因为0n a >，所以()112n n a a n −−=≥，所以数列{aa nn }为等差数列，公差为1，所以1n a n =+.【小问2详解】112n n n b ++=，()2341111123412222n n T n +=×+×+×+++ ，③ ()345121111112341222222n n n T n n ++=×+×+×++×++ ，④ ③-④得()2341211111121222222n n n T n ++=×++++−+ ， 所以13322n n n T ++=−，所以()332n n k n T S +−≤，且()32n n n S +=，化简得()232n n n k ++≥， 令()212334,22n n n n n n n n n c c c ++++−−=−=，所以1234c c c c <>>> ， 所以n c 的最大值为258c =，所以58k ≥. 所以k 的取值范围为5,8∞ +. 19. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn n b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和． （1）若2133333,21a a a S T =++=，（ⅰ）求{}n a 的通项公式；（ⅱ）若,,n n na n cb n = 为奇数为偶数数列{}nc 的前n 项和为n T ，求20T ． （2）若{}n b 为等差数列，且191919S T −=，求d ． 【答案】（1）（ⅰ）3n a n =；（ⅱ）20340T = （2）1110d =【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及,n n S T 的定义即可求解； （2）由等差数列前n 项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.【小问1详解】 （ⅰ）由21333a a a =+，得132d a d =+，解得1a d =， 则()321336S a a d d ==+=，又31232612923T b b b dd d d=++=++=， 有339621S T d d +=+=，即22730d d −+=，解得3d =或12d =（舍去），所以()113n a a n d n =+−⋅=.（ⅱ）3n a n =，则22133n n n n n n n b a n +++===， 则()()201234192013192420T a b a b a b a a a b b b =++++++=+++++++ ()357213135193403++++=+++++= . 【小问2详解】 若{bb nn }为等差数列，则有2132b b b =+，即21312212a a a =+， 得2323111616d a a a a a −== ，即2211320a a d d −+=，解得1a d =或12a d =， 由1d >，则0n a >，又191919S T −=，，由等差数列性质知，1010191919a b −=， 即10101a b −=，得10101101a a −=， 即100211100a a −−=，解得1011a =或1010a =−（舍去），当12a d =时，10111119a a d d=+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解； 当1a d =时，10110119a a d d=+==，解得1110d =. 11110a d ==时，1110n a n =，()10111n n b +=，符合题意， 所以等差数列{aa nn }的公差1110d =.。

高二（下）数学一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（）A ．30种B ．90种C ．120种D ．150种2．已知(2,1,3),(1,4,2),(4,5,)a b c λ=-=--= ，如,,a b c三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为（）A ．0B ．9C ．5D ．33．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为234,,345，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（）A ．110B ．12C ．34D ．454．在()()()239111x x x ++++++ 展开式中，含2x 项的系数是（）A ．120B ．56C ．84D ．355．一箱凤梨共有10个，其中有8个是优果，从这箱凤梨中随机抽取2个，恰有1个优果的概率为1p .某果园刺梨单果的质量M （单位：g ）服从正态分布()232,N σ，且()30340.8P M <<=，()234P M p ≥=，则（）A ．12p p =B ．12p p <C ．120.5p p +<D ．120.5p p +>6．下列命题错误的是（）A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设~(,)B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则90n =C ．线性回归直线ˆˆy bxa =+一定经过样本点的中心()x y D ．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X 表示样本中黄球的个数，则X 服从二项分布，且()8E X =7．在二项式n的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A ．57B ．512C ．14D ．168．在空间直角坐标系Oxyz 中，Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面把空间分成了八个部分．在空间直角坐标系Oxyz 中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合{}2,5,9-，这样的点共有n 个，从这n 个点中任选2个，则这2个点在同一个部分的概率为（）A ．50351B ．49351C ．17117D ．16117二、多项选择题：本题共3题，每题6分，共18分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9．已知()62601262a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，则下列结论正确的是（）A ．(6612622a a a ++⋅⋅⋅+=--B ．()()2202461351a a a a a a a +++-++=C ．3360a =-D ．展开式中最大的系数为2a 10．在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（）A ．若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况B ．若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况C ．若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况D ．若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122QC AD AB AA =++ B ．异面直线CQ 与1AD 所成角正弦值为346C ．点P 到直线CQ 的距离是193D ．M 为线段CQ 上的一个动点，则ME MC ⋅的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12．随机变量X 的分布列是X -212Pab12若()1E X =，则()D X =．13．已知()()()()882801223222x a a x a x a x -=+-+-++- ，则3a =.14．三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一"“三分益一"两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度313-⨯=生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度313+⨯=生得长度，两种方法可以交替运用､连续运用，各音律就得以辗转相生，假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为12，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为.四、解答题：共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤.15．已知在二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，第5项为常数项.(1)求n ；(2)求22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；(3)在()3221nx x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，求含6x 的项.16．已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点.(1)求证：1//D N 平面1CB M ；(2)求点B 到平面1CB M 的距离.17．学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；(2)记参加活动的女生人数为X ，求X 的分布列及期望()E X ；(3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y ，求Y 的期望()E Y .18．如图甲所示，在平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，60DCA ∠=︒，AB BC ==现将平面ADC 沿AC 向上翻折，使得DB ，M 为AC 的中点，如图乙.(1)证明：BM DC ⊥；(2)若点Q 在线段DC 上，且直线BQ 与平面ADB 5求平面ADB 与平面BQM 所成角的余弦值.19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．1．D【分析】根据分步乘法计数原理，结合插空法，即可求解．【详解】人物传记有5种放法，这样五本书之间有6个空，将两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有265A 150=种方法，故选：D ．2．C【分析】根据题意，得到存在实数,x y 使得c xa yb =+，列出方程组，即可求解.【详解】因为向量(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，可得a 与b不共线，又因为向量(4,5,)c λ= 且,,a b c不能构成空间直角坐标系的一组基底，则存在实数,x y 使得c xa yb =+ ，即244532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得3,2,5x y λ===，所以实数λ的值为5.故选：C.3．C【分析】根据全概率公式计算可得；【详解】记服用金花清感颗粒为事件A ，服用莲花清瘟胶囊为事件B ，服用清开灵颗粒为事件C ，感冒被治愈为事件C ，依题意可得()310P A =，()21105P B ==，()51102P C ==，()2|3P D A =，()3|4P D B =，()45|P D C =，所以()()()()()()()|||P D P A P D A P B P D B P C P D C =++321314310354254=⨯+⨯+⨯=.故选：C 4．A【分析】依题意可得含2x 项的系数是22222349C C C C ++++ ，再由组合数的性质计算可得.【详解】因为()1nx +展开式的通项为1C r rr n T x +=（0r n ≤≤且N r ∈），所以()()()239111x x x ++++++ 的展开式中，含2x 项的系数是2222322223493349C C C C C C C C ++++=++++ 3223244959C C C C C =+++=++= 3239910C C C 120=+==，故选：A.5．C【分析】利用超几何分布和正态分布的对称性求解出答案.【详解】由超几何分布可得11281210C C 160.36C 45p ==≈，由正态分布可得()2130340.12P M p -<<==，所以12p p >，120.5p p +<.故选：C.6．D【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的定义依次判断选项即可.【详解】A ：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A 正确；B ：由(,),()30,()20B n p E D ξξξ== ，得30(1)20np np p =⎧⎨-=⎩，解得90n =，故B 正确；C ：线性回归直线ˆˆy bxa =+一定经过样本点的中心(x y ，故C 正确；D ：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义知X 服从超几何分布，得()4020=8100E X ⨯=，故D 错误；故选：D 7．A【分析】根据二项式系数和求得n ，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】在二项式n展开式中，二项式系数的和为62642==n ，所以6n =.则n+即6，通项公式为33416,0,1,2,,61C 2rr r r T r x -+⎛⎫=⋅⋅⎝= ⎪⎭ ，故展开式共有7项，当0,4r =时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有5256A A 种,故有理项都互不相邻的概率为525677A A 5A 7P ==,故选：A 8．B【分析】利用排列组合及古典概型的概率的知识计算即可.【详解】由题意得3327n ==，从这n 个点中任选2个，共有227C 种选法，在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同，所以八个部分中的点的个数分别为32，22，22，22，2，2，2，1，故所求的概率为222842227873631C 3C 3C 4922726C 3512⨯+⨯+⨯++==⨯．故选：B.9．ABD【分析】利用赋值法判断AB ，根据通项公式法判断C ，根据列举的方法判断D.【详解】A.令0x =，得602a =，令1x =，得(60126...2a a a a ++++=，所以(66126...22a a a +++=-，故A 正确；B.令=1x -，则(601234562a a a a a a a -+-+-+=，所以()()220246135a a a a a a a +++-++，()()01234560123456a a a a a a a a a a a a a a =++++++-+-+-+，((()66622431==-=，故B 正确；C.3a 是3x的系数，()62-中3x的系数为(33362C 4⋅⋅=-C 错误；D.展开式中()62601262a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，x 得到奇数次幂的项的系数都是负数，偶数次幂的项的系数都是正数，正数项有2460246,,,a a x a x a x ，其中60264a ==，(22426C 2720a =⋅⋅=,(44246C 2540a =⋅⋅=，(6627a ==，所以展开式中的最大的系数是2a ，故D 正确.故选：ABD 10．ACD【分析】将4个奖项分给4个人的全排列数判断A ；按另两个奖项由1人获得、2人获得分类计算判断B ；将4个奖项按2:2平均分组，再分配判断C ；取2个奖项一组，分3组分给3人判断D.【详解】对于A ，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有44A 24=种不同的获奖情况，A 正确．对于B ，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，共有1233A A 9+=种不同的获奖情况，B 错误．对于C ，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有22242422C C A 36A =种不同的获奖情况，C 正确．对于D ，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有2344C A 144=种不同的获奖情况，D 正确．故选：ACD 11．BD【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算可判断A ；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，可判断B ；根据点到直线的向量公式可判断C ；利用坐标表示出ME MC ⋅，即可判断D ；【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()()()111,0,2,0,2,0,1,1,0,1,2,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,2,0,1Q C A B D A D P ，故()()()()()11,2,2,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,2,2QC AD AB AA BQ =--=-===-，()()()11,1,0,1,0,1,1,0,1BD QP AD =--=-=-，对于A ，所以()()()()1221,0,020,1,020,0,11,2,2AD AB AA QC ++=-++=-≠ ，A 错误；对于B ，记异面直线CQ 与1AD 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则111cos cos ,QC AD QC AD QC AD θ⋅==⋅ ，所以sin θ=B 正确.对于C ，记()1,2,2QC =-- 同向的单位向量为122,,333QC a QC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则点P 到直线CQ的距离3d =，故C 错误；对于D ，设点(),,M x y z ，使QM tQC =，01t ≤≤，()()()1,0,2,2,0,0,0,2,0,Q E C 则()()1,,21,2,2x y z t --=--，故()1,2,22M t t t -+-+，则()()2221,2,221,22,229123913ME MC t t t t t t t t t ⎛⎫⋅=+--⋅---=-+=-- ⎪⎝⎭，因01t ≤≤，则0=t 时，即点M 与点Q 重合时，ME MC ⋅取得最大值3，故D 项正确；故选：BD.【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有：（1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析；（2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算；（3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得.12．2【分析】由于分布列的概率之和为1，以及()1E X =，列出关于,a b 的方程，再根据方差公式即可求出()D X ．【详解】解：由题意可知112211a b a b ⎧++=⎪⎨⎪-++=⎩，∴1613a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()()()2221112111212632D X =--⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：2．13．448-【分析】利用换元法，结合二项式定理求出3a 即可.【详解】令2x t -=，即2x t =-，因此原等式为8882012(12)t a a t a t a t -=++++ ，3t 项为33338C (2)856448t t t -=-⨯=-，所以3448a =-.故答案为：448-14．516【分析】设5次三分损益中有k 次三分损一，解方程52424312833kk-⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得k 的值，即得解.【详解】设5次三分损益中有k 次三分损一，所以52424312833kk-⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 3.k =故所求概率为5351105C 23216⎛⎫⨯==⎪⎝⎭.故答案为：516【点睛】方法点睛：求概率常用的方法有：先定性（古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率），后定量.15．(1)6n =；(2)32；(3)6100x .【分析】（1）写出展开式的第5项，再令x 的指数为0，即可求出n ；（2）根据二项式系数的性质计算可得；（3）由()666323222221x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】（1）由题意得第5项为()4442442122C 2C n n nn x xx --⨯⎪⎛⎫= ⎝⎭，则2120n -=，解得6n =.（2）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所有奇数项的二项式系数之和为612322⨯=.（3）由（1）知()666323222221x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()621231662C 2C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭（06r ≤≤且N r ∈），则622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项为333362C 160x x ⨯=，含6x 的项为226662C 60x x ⨯=，所以在()63221x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含6x 的项为336616060100x x x x ⋅-=.16．(1)证明见解析【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，利用1//D M NP 、1D M NP =得四边形1D MPN 是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面1CB M 的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可.【详解】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；（2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 的法向量分别为()111,,m x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()1,3,1m = ，则有11111191BB m m ⋅==++，即点B 到平面1CB M 211.17．(1)89(2)分布列见解析，()23E X =(3)13个工时【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A ，”恰有一名女生参加活动“为事件B .则()()11112424222266C C C C C 83,C 15C 5P AB P A +====，所以()()()8815|395P AB P B A P A ===.（2）依题意知X 服从超几何分布，且22426C C ()C k kP X k -==(0,1,2)k =，()()()21124422222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X ⋅=========，所以X 的分布列为：X012P25815115()2812012515153E X =⨯+⨯+⨯=；（3）设一名女生参加活动可获得工时数为1X ，一名男生参加活动可获得工时数为2X ，则1X 的所有可能取值为36,，2X 的所有可能取值为6,9，111(3)(6)2P X P X ====，1119()36222E X =⨯+⨯=，221(6)(9)2P X P X ====，21115()69222E X =⨯+⨯=，有X 名女生参加活动，则男生有()2X -名参加活动.()915215322Y X X X =+-=-，所以()()()2153153153133E Y E X E X=-=-=-⨯=.即两人工时之和的期望为13个工时.18．(1)详见解析(2)35【分析】（1）根据△ABC 为等腰三角形，可得BM AC ⊥，利用长度可得222DM BM DB +=，可得BM DM ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可得BM ⊥平面ADC ，最后可得结果.（2）建立空间直角坐标系，首先根据直线BQ 与平面ADB 所成角的正弦值为10确定Q 点位置，再利用平面与平面所成角的空间向量解法求平面ADB 与平面BQM 所成角的余弦值；【详解】（1）证明：如图，连接DM ，因为2AB BC ==90ABC ADC ∠=∠= ，M 为AC 的中点，所以BM AC ⊥，21AC DM BM ===，，又因为2DB =222DM BM DB +=，所以BM DM ⊥，DM AC M ⋂=，所以BM ⊥平面ADC ，而DC ⊂平面ADC ，所以BM DC ⊥；（2）取MC 的中点为O ，BC 的中点为E ，连接DO ，OE ，则//BM OE ，因为60DCA ∠= 所以1DC MC DM ===，又因为O 为MC 的中点，所以DO AC ⊥，由(1)知BM ⊥平面ADC ，DO ⊂平面ADC ，所以BM DO ⊥，又BM AC M ⋂=所以DO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x ，y ，z轴建立如图所示坐标系，由题意知3131,0,0,1,00,0,,0,02222A B D C ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1313,,1,1,0,,0,2222BD BA DC ⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面DAB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则130220n BD x y n BA x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令1x =，得(3n = ，设[]01,DQ DC λλ=∈ ，则BQ BD DQ BD DC λ=+=+ ，所以()()131,1,122BQ λλ⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭，25cos ,52n BQ BQ n BQ πλλ⋅===⋅⋅-+，化简得21520λλ+-=，解得1212,35λλ==-(舍去)，所以点Q 是DC 上靠近D 的三等分点，所以2,3BQ ⎛=-- ⎝⎭设平面BQM 的一个法向量为(),,m a b c = ，(0,1,0)MB =则2030m BQ a b m MB b ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令a =)2m =，cos 35n m mn n m⋅===⋅，故平面ADB 与平面BQM.19．(1)（i ）()3364P X ==；（ii ）1k =(2)该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分【分析】（1）（i ）易知X 服从二项分布，据此计算()3P X =；（ii ）令()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得k 的取值范围，再由k 为整数确定取值；（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.【详解】（1）（i ）因为14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3341333C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．（ii ）因为()4413C ,0,1,,444k kk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．依题意()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即4131444151441313C C 44441313C C 4444k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1544k ≤≤，又k 为整数，所以1k =，即1k =时()P X k =取最大值.（2）由题知，B,D 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB,AC,BC,AD,CD ，每种情况出现的概率均为1112510⨯=．正确答案是三选项的可能情况为ABC,ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=．若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：()()1112A C 33231045E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），()()1127B D 321310420E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：()()()()1127AB AD BC CD 6310420E E E E ====⨯+⨯=（分），()1121AC 62310410E =⨯+⨯⨯=（分）．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：()()13ABC ACD 642E E ==⨯=（分）．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分.【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.。

高二数学期终试卷（强化班）一． 选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有是一项符合题目要求的。

1． 设集合P={}Z k k x x ∈-=,12，集合Q ={}Z n n y y ∈=,2，若P x ∈0，Q y ∈0，0000,y x b y x a ⋅=+=，则 （ ）A ．Q b P a ∈∈,B ．P b Q a ∈∈,C ．P b P a ∈∈,D ．Q b Q a ∈∈, 2． 已知：命题p ：“1-x ≥2”，命题q ：“Z x ∈”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x的值为（ ）A ．{}Z x x x x ∉-≤≥,13或B ．{}Z x x x ∉≤≤-,31 C ．{}3,2,1,0,1- D {},2,1,0 3．等差数列{}n a 的前n 项和记为S n , 已知1542a a a ++的值是一个确定的常数，则下列各数中，必定是确定的常数的是 （ ） A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 144．在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则=⋅ （ ） A ． 48 B ． 48- C ．36 D ． 36-5．如果把圆C ：122=+y x 沿向量=（1，m ）平移到C '，且C '与直线043=-y x 相切，则m 的值为 （ ） A ．2或21-B ．2或21C ．―2或21D ．―2或21-6．函数)2cos(3)2sin()(αα+++=x x x f 的图象关于原点对称的充要条件是（ ） A ．62ππα-=k B ．6ππα-=k C ．32ππα-=k D ．3ππα-=k7．数列{}n a 中，a 1=1, a 2=2+3, a 3=4+5+6, a 4=7+8+9+10,……，则a 10等于 （ ） A ．505 B ．510 C ．610 D ．7508．平面向量),(y x =，),(22y x =，)1,1(=，若1=⋅=a ，则这样的向量的个数有 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若不等式122-++a x x ≥y y 22--对任意的实数y x ,都成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≥1 B ．a ≥2 C ．a ≥3 D ．a ≥410．点P 在曲线23+-=x x y 上运动，则过P 点的曲线的切线倾斜角的范围是 （ ）A ．)[π,0B ．)πππ,432,0⎢⎣⎡⋃ ⎝⎛⎪⎭⎫ C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎢⎣⎡⎪⎭⎫43,22,0πππD ．)πππ,432,0⎢⎣⎡⋃⎢⎣⎡⎪⎭⎫ 11．已知21,F F 是两个定点，椭圆1C 和等轴双曲线2C 都以21,F F 为焦点。

江苏省镇江六所重点中学高二数学上联考试卷(命题人：吴问舟 )本试卷分第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分．满分为160分。

考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

2．答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷 填空题 共70分一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的横线上） 1．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么d 等于 。

2. 若1＋2＋22＋……＋2n >128，n ∈N*，则n 的最小值为 。

3．把直线10x y -+-=绕点(1,逆时针方向旋转15︒度后所得的直线的方程为 ． 4．已知12=+y x ，则yx42+的最小值为 。

5．若直线 1：2x-5y+20=0和直线 2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m 的值等于 ___ __.6．在A B C ∆中，60A = ，1b =sin sin sin a b c A B C++=++ 。

7. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _. 8．过点M （3，-4）且与A （-1，3）、B （2，2）两点等距离的直线方程是_ 。

9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有z 的最小值为 。

10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是 。

11．A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2B A C =+，2b =，则a c +的取值范围是 。

江苏省镇江市第十一中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点且平行于直线的直线的方程为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设与直线平行的直线方程为：，把点代入即可得出．【详解】解：设与直线平行的直线方程为：，把点代入可得：，解得．∴要求的直线方程为：．故选：A．【点睛】本题考查了平行线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 直线y=2x与曲线围成的封闭图形的面积是A. 1B. 2C.D. 4 参考答案：B3. 焦点为，经过点的双曲线标准方程为A. B. C. D.参考答案：A4. 设集合，，，则=（）A． B． C． D．参考答案：B5. （15分）已知等差数列{a n}满足（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．参考答案：6. 复数的共轭复数为（）。

A．B．C．D．参考答案：B7. 已知点,且,则实数的值是( )A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：D8. 已知函数，若实数是方程的解，且，则的值( )A．等于零 B．恒为负 C．恒为正 D．不大于零参考答案：B9. 中，若，则这个三角形是A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形参考答案：B10. 已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1 B．2C．3 D．4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为_________；值域为_______．参考答案：(1,+∞)(0,+∞).【分析】根据根式及分式的要求即可求得定义域；由函数解析式即可求得值域。

【详解】函数所以定义域为，即所以定义域为因为所以，即值域为【点睛】本题考查了二次根式及分式的定义域和值域问题，属于基础题。

12. 若椭圆+=1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设过点（1，）的圆x 2+y 2=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x2+y2=1相切于点A（1，0）和B（0，2）．然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y 轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．【解答】解：设过点（1，）的圆x2+y2=1的切线为l：y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x2+y2=1相切于点A（1，0）；②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d==1，解之得k=﹣，此时直线l的方程为y=﹣x+，l切圆x2+y2=1相切于点B（，）；因此，直线AB斜率为k1==﹣2，直线AB方程为y=﹣2（x﹣1）∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．椭圆+=1的右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）∴c=1，b=2，可得a2=b2+c2=5，椭圆方程为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质、圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a2=b2+c2．13. 已知点则下列说法正确的是①②③④当参考答案：③④14. 计算：______.参考答案：【分析】应用复数除法运算法则进行运算即可.【详解】.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.15. 直线被曲线所截得的弦长等于__________．参考答案：曲线为圆，圆心到直线的距离，∴弦长为：．16. 以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆方程为_______________.参考答案：17. 已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是．参考答案：x+3y﹣5=0【考点】相交弦所在直线的方程．【分析】把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程．【解答】解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y﹣5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y﹣5=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2022-2023学年江苏省镇江市高二下学期期中校际联考数学试题一、单选题1．已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=- ,所以与AB同方向的单位向量为134(3,4)(,)555AB e AB ==-=-，故选A.【解析】向量运算及相关概念.2．已知21sin cos ,cos sin 33αβαβ-=-+=，则sin()αβ-的值为（）A ．56-B ．1318-C ．56D ．1318【答案】D【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角差的正弦公式可求得结果.【详解】因为21sin cos ,cos sin 33αβαβ-=-+=，所以()()2241sin cos ,cos sin 99αβαβ-=+=，所以224sin 2sin cos cos 9ααββ-+=，221cos 2cos sin sin 9ααββ++=，所以22225sin 2sin cos cos cos 2cos sin sin 9ααββααββ-++++=，所以522sin cos 2cos sin 9αβαβ-+=()522sin cos cos sin 9αβαβ--=，所以()522sin 9αβ--=，解得()13sin 18αβ-=，故选：D3．在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若5,15,30a b A === ，则边c =（）A ．5B ．25C ．25或15D ．5或25【答案】D【分析】先根据正弦定理算出B ，从而得到C ，继续用正弦定理求c .【详解】依题意，由正弦定理：sin sin a b A B =得5151sin 2B =,解得3sin 2B =，故120B = 或60B = ，经检验均符合题意.当60B =时，则90C =，由正弦定理，sin sin c a C A =得5112c =，解得25c =；当120B = 时，则30C A == ，此时ABC 为等腰三角形满足5c a ==.综上，5c =或25.故选：D4．已知tan 3θ=，则sin 21sin 2cos 2θθθ++的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．43【答案】C【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化简可得2sin cos sin cos cos θθθθθ+，分子分母同时除以2cos α，代入即可得出答案.【详解】2sin 22sin cos 1sin 2cos 212sin cos 2cos 1θθθθθθθθ=++++-22sin cos tan 32sin cos 2cos tan 14θθθθθθθ===++故选：C.5．已知1,3,(3,1)a b a b ==+=r r r r ，则a b + 与a b -的夹角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【分析】根据已知求得||2a b += ，平方可得0a b ⋅=，继而求出||2a b -= ，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由()3,1a b +=可得22||(3)12a b +=+=，则222||4,24a b a a b b +=∴+⋅+= ，即得1234a b +⋅+= ，故0a b ⋅= ，则222||24,||2a b a a b b a b -=-⋅+=∴-=，故22()()21cos ,222||||||||a b a b a b a b a b a b a b a b a b +⋅---〈+-〉====-⨯+-+- ，由于0,180a b a b ︒≤〈+-〉≤︒ ，故,120a b a b 〈+-〉=︒，故选：C.6．在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos cos ,2cos C Ab Ac a c==，则ABC 的形状是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰钝角三角形C ．等边三角形D ．以上结论均不正确【答案】C【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.【详解】由于2cos 0b A c =>，所以A 为锐角，由余弦定理得222222,,2b c a b c b a a b bc +-⨯===，则B 为锐角.由cos cos C Aa c=以及余弦定理得2222222222222222,a b c b c a a b c b c a ab bc a c a c +-+-+-+-==，222222b c b a a c--=，由于220b a -=，所以220b c -=，即b c =，所以a b c ==，所以三角形ABC 是等边三角形.故选：C7．函数π()cos (sin 3cos ),[0,]4f x x x x x =+∈的最大值与最小值的和为（）A ．132+B ．3232+C ．3332+D ．3【答案】B【分析】化简()f x ，得()π3sin 232f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.【详解】2()cos (sin 3cos )cos sin 3cos f x x x x x x=+=+133π3sin 2cos 2sin 222232x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭因为π[0,]4x ∈，所以ππ5π2[,]336x +∈，所以1πsin 2123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即13π33sin 2122322x ⎛⎫+≤++≤+ ⎪⎝⎭，所以当π5π236x +=，即π4x =时，min 13()22f x =+，当ππ232x +=，即π12x =时，max 3()12f x =+，所以min max 133323()()12222f x f x ⎛⎫++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B8．如图，梯形ABCD 顶点,B C 在以AD 为直径的半圆上，2AD =米，若电热丝由三条线段,,AB BC CD 这三部分组成，在,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，当电热丝辐射的总热量最大时，BC 的长度为（）A ．7m6B ．7m4C ．5m3D ．11m 6【答案】B【分析】根据圆的对称性和余弦定理以及倍角公式化简即可求解.【详解】取AD 中点O ，连接OB ，连接OC ，根据圆的对称性知AOB COD ∠=∠，设，=AOB COD θ∠=∠，则有，=π2BOC θ∠-，由余弦定理得222=1+1211cos 22cos ,AB θθ-⨯⨯=-同理222=1+1211cos 22cos ,CD θθ-⨯⨯=-()222=1+1211cos π222cos2,BC θθ-⨯⨯-=+所以2=22cos 2(1cos )21(12sin)2sin ,22AB θθθθ⎡⎤-=-=--=⎢⎥⎣⎦同理2=22cos 2(1cos )21(12sin )2sin ,22CD θθθθ⎡⎤-=-=--=⎢⎥⎣⎦2=22cos22(1cos2)2(2cos )2cos ,BC θθθθ+=+==电热丝辐射的总热量为12sin 12sin22cos 22θθθ⨯+⨯+⨯，令()12sin 12sin22cos 22f θθθθ=⨯+⨯+⨯，所以()4sin 4cos 2f θθθ=+，即2()4(sin 12sin )22f θθθ=+-，令sin2t θ=，则2()4(21)f t t θ=-++是关于t 的二次函数，当电热丝辐射的总热量最大时，14t =，即sin2t θ=，此时272cos 2(12sin )24BC θθ==-=.故选：B.二、多选题9．下列等式成立的有（）A ．223sin 75cos 752-=B ．132sin15cos15222+=C ．3sin15cos15sin15cos 531-+=-D ．25πtan24235π1tan 24=+-【答案】AC【分析】对于A ，逆用倍角余弦公式即可判断；对于B ，利用辅助角公式即可判断；对于C ，利用辅助角公式即可判断；对于D ，逆用倍角正切公式可得25πtan15π24tan 5π2121tan 24=-，再用和角正切公式即可判断.【详解】对于A ，223sin 75cos 75cos150cos302-=-︒=︒=，A 正确；对于B ，132sin15cos15cos 60sin15sin 60cos15sin 75222+=︒+︒=︒≠ ，B 错误；对于C ，()()12sin 1545sin 3032sin 6032sin 1545sin15cos15sin15cos 5321=-︒-︒︒==-=--︒︒+︒+，C 正确；对于D ，25πtan15π15π1ππ24tan 2tan tan 5π2242122461tan 24⎛⎫⎛⎫=⨯==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-ππ3tantan 11123463ππ22231tan tan 1463+++=⨯=⨯=-⨯-，D 错误.故选：AC10．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A ．若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点B ．若2AM AB AC =-，则点M 是边BC 的三等分C ．若AM BM CM -=-，则点M 是边ABC 的重心D ．若AM xAB y AC =+ ，且13x y +=，则MBC 的面积是ABC 面积的13【答案】AC【分析】对A ，根据中点的性质即可判断；对B ，根据向量的运算得到2AM MD =，即可判断；对C ，根据重心的性质即可判断；对D ，根据三点共线的性质即可求解.【详解】对于A ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222AM AB AC AM -=-，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故A 正确；对于B ，2AM AB AC =- ，,AM AB AB AC BM CB -=-∴=，则点M 在边CB 的延长线上，所以B不正确；对于C ，设BC 中点D ，则AM BM CM -=- ,2AM BM CM MB MC MD =--=+=，由重心性质可知C 正确；对于D ，AM xAB y AC =+ 且13x y +=333,331AM x AB y AC x y ⇒=++= ’设3AE AM =，所以33,331AE x AB y AC x y =++= ，可知,,B C E 三点共线，所以MBC 的面积是ABC 面积的23，故D 不正确.故选：AC.11．下列说法正确的有（）A ．α∃，β，使sin()sin sin αβαβ+=+B ．α∀，β，有22sin()sin()sin sin +-=-αβαβαβC ．α∃，β，使cos()cos cos αβαβ+=+D ．α∀，β，有22cos()cos()cos cos αβαβαβ+-=-【答案】ABC【分析】根据取特值法，易知A ，C 正确，D 错误；根据两角和与差的正弦公式展开可知B 正确．【详解】取0αβ==，易知A 正确D 错误；取3πα=，3πβ=-，C 正确；因为sin()sin()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )αβαβαβαβαβαβ+-=+-()()22222222sin cos cos sin sin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ=-=---22sin sin αβ=-，故B 正确，故选：ABC ．【点睛】本题主要考查两角和与差的正弦公式，余弦公式的理解和应用，属于基础题．12．在ABC 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（）A ．若CD 是高，则1514CD =B ．若CD 是中线，则192CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若3CD =，则D 是线段AB 的三等分点【答案】BC【分析】分别求CD 为高线，中线，角平分线及等分线时CD 的长.【详解】由题，2222223571cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，所以2π3C =，若CD 是高，112π735sin 223ABC S CD =⨯⨯=⨯⨯⨯△，得15314CD =，故A 错误；若CD 是中线，1()2CD CA CB =+ ，所以21119259253()424CD ⎡⎤=⨯++⨯⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦，所以192CD =，故B 正确；若CD 是角平分线，则+= ACD BCD ABC S S S ，即1π1π12π5sin 3sin 53sin 232323CD CD ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，得158CD =，故C 正确；若D 为线段AB 的三等分点，2133CD CA CB =+ 或1233CD CA CB =+，2414110625953()99929CD =⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，或214413125953()99929CD =⨯+⨯+⨯⨯⨯-=，所以1063CD =或313，故D 错误.故选：BC.【点睛】根据D 在AB 的位置，可用CA ，CB表示CD ，用向量方法解决平面几何问题是常用思路.三、填空题13．已知(3,4)a =- ，(5,2)b = ，则23a b -=r r_________.【答案】()21,2-【分析】利用平面向量的坐标运算法则计算即可.【详解】解：已知(3,4)a =-，(5,2)b = ，则2(6,8)a =-r ，3(15,6)b =r，所以()2321,2a b -=-r r，故答案为：()21,2-.14．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B ．则a 的值为_______【答案】23【详解】在ABC 中，231a bA B b c sinA sinB，＝，，，===可得3,2a sinBcosB sinB ＝整理得6a cosB =，∴由余弦定理可得21962 3.2a a a a+-=⨯∴=，，故答案为23.15．已知0k >，在直角三角形ABC 中，()2,3AB =，()1,= AC k ，则实数k 的值是________.【答案】113或3132+【分析】先求出()1,3BC k =--uuu r.然后分为A 为直角，B 为直角，C 为直角，三种情况，分别根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出k 的值，舍去不满足的k 值，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()()1,2,31,3BC AC AB k k =-=-=--uuu r uuu r uuu r.若A 为直角，则有()()2,31,230AB AC k k ⋅=⋅=+=uuu r uuu r ，解得203k =-<，舍去；若B 为直角，则有()()2,31,32390AB BC k k ⋅=⋅--=-+-=uuu r uuu r ，解得113k =；若C 为直角，则有()()21,1,3130AC BC k k k k ⋅=⋅--=-+-=uuu r uuu r ，解得3132k ±=（舍去负值），所以3132k +=.综上所述，113k =或3132k +=.故答案为：113k =或3132k +=.四、双空题16．已知,(0,π)αβ∈，且tan ,tan αβ是方程2560x x -+=的两根，则αβ+的值是___________；cos()αβ-的值是________.【答案】34π/34π7210/7210【分析】根据韦达定理，两角和的正切公式、两角差的余弦公式化简求解即可.【详解】由题意，tan tan 5,tan tan 6αβαβ+=⋅=，tan tan 5tan()11tan tan 16αβαβαβ+∴+===---，又tan 0,tan 0αβ>>，故ππ0,022αβ<<<<，故0παβ<+<，3π4αβ∴+=.由tan tan 6sin sin 6cos cos αβαβαβ⋅=⇒=，3π2cos()coscos cos sin sin 42αβαβαβ+==-=-，两式联立可得，32sin sin 5αβ=，2cos cos 10αβ=，所以23272cos cos sin sin 10510cos()αβαβαβ+=+=-=.故答案为：3π4；7210五、解答题17．已知,αβ都是锐角，53cos(),sin()135αβαβ+=-=.(1)求cos 2α的值；(2)求cos2αβ-的值.【答案】(1)1665-(2)31010【分析】（1）先确定,αβαβ-+的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得()cos αβ-和sin()αβ+的值，然后根据2()()ααβαβ=-++，并结合两角和的余弦公式，得解；（2）由()4cos 5αβ-=，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【详解】（1）解：因为α与β都是锐角，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()0,παβ+∈，又53cos(),sin()135αβαβ+=-=，所以π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()()24cos 1sin 5αβαβ-=--=，212sin()1sin ()13αβαβ+=-+=，所以()()cos2cos ααβαβ⎡⎤=-++=⎣⎦453121651351365⨯-⨯=-；（2）因为()4cos 5αβ-=，π0,2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π0,24αβ-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()24cos 2cos 125αβαβ-⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，解得：cos 2αβ-=31010(负值舍去).18．从①4B π=；②32sin a B =这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边且222sin sin sin sin sin A B C B C =++.(1)求角A 的大小；(2)若6b =，且，求sin C 的值及ABC ∆的面积.【答案】(1)2π3(2)62933,44--【分析】(1)由已知条件结合正弦定理可得222a b c bc =++,再利用余弦定理可求出角A ；(2)若选①,则可求出角,再利用正弦定理求出sin C 的值,然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出sin B 的值,然后利用三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A B C B C =++,由正弦定理得222a b c bc =++,即222122b c a bc +-=-,得1cos 2A =-,又0πA <<,所以2π3A =.（2）选择①时:π2,π43B A ==,故()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=,根据正弦定理sin sin a b A B =,故3a =,故1933sin 24S ab C -==.若选②:由32sin a B =及正弦定理sin sin a b A B =,得32sin 6sin 32B B =,解得2sin 2B =,所以()sin sin sin cos cos sinC A B A B A B =+=+=624-.根据正弦定理sin sin a b A B=,得3a =,故1933sin 24S ab C -==.19．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，6AB =，且2AE EB = .M 是线段CE 上一动点.(1)M 是线段CE 的中点，求AM AB ⋅ 的值；(2)若28CA CE ⋅= ，求(2)MA MB MC +⋅ 的最小值.【答案】(1)30(2)15-【分析】（1）根据向量的线性运算结合数量积的运算律，即可求得答案.（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，(6,),0C m m >，利用28CA CE ⋅= ，求得m 的值，即可求得(2)MA MB MC +⋅ 的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）因为2AE EB = ，故23AE AB = ，所以2121()3232AM A AB EC AB EB BC E EM =+=+=++ 21151()32362AB AB AD AB AD =++=+ ,又在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅= ,故2251515()63062626A AB A B M D A AB A A AB B D =+⋅=+⋅=⨯⋅= .（2）如图，以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(4,0),(6.0)A E B ，设(6,),0C m m >,则()(),,62,CA m CE m =--=-- ，故由28CA CE ⋅= 得，21228,4m m +=∴=，即(6,4)C ，由于M 点在CE 上，设(),,,01CM CE M x y λλ=≤≤ ，则()()6,424,,CM x y CE =--=-- ，则6244x y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，即6244x y λλ=-⎧⎨=-⎩，故),(6244M λλ--，所以()()2644244,,,MA MB λλλλ=--=- ，()()2661212,2,,4MA MB MC λλλλ+=--= ，所以2221(2)121248486015012,MA MB MC λλλλλλ⎛⎫+⋅=-+-=--≤≤ ⎪⎝⎭ ，当且仅当12λ=时，(2)MA MB MC +⋅ 取得最小值15-.20．已知向量()cos ,sin a αα= ，()cos ,sin b ββ= ，255a b -= .(1)求cos()αβ-的值；(2)若π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，求2πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)35(2)56333130+【分析】（1）先求出()cos cos ,sin sin a b αβαβ-=-- ，求出()22cos 2a b αβ-=--+r r ，结合已知即可得出答案；（2）先求出0παβ<-<，然后根据正余弦关系求得12cos 13β=，()4sins 5αβ-=，进而根据两角的正余弦公式，求得sin α以及cos α的值.最后根据两角差的正弦公式，展开代入计算，即可得出答案.【详解】（1）因为()cos cos ,sin sin a b αβαβ-=-- ，所以()()222cos cos sin sin a b αβαβ-=-+-r r 2222cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαβαβαβ=+-++-()2cos 2αβ=--+.因为2225455a b ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭r r ，所以()42cos 25αβ--+=，所以()3cos 5αβ-=.（2）因为π02α<<，π02β-<<，所以0παβ<-<.因为5sin 13β=-，()3cos 5αβ-=，所以212cos 1sin 13ββ=-=，()()24sin 1cos 5αβαβ-=--=，所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365-=⨯+⨯=，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=-+=---⎡⎤⎣⎦312455651351365-=⨯-⨯=，所以2π2π2πsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭35613356333265265130+⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭.21．在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若(3)cos cos 0b c A a C --=.(1)求cos A ；(2)若23a =，且ABC 的面积32ABC S = ，求BA BC ⋅ 的值；(3)若3b =，且2sin sinC 3B =，求ABC 的周长.【答案】(1)13(2)6(3)623+【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式及余弦定理化简，解得3==b c ，由数量积公式计算即可得解；（3）根据三角恒等变换求出1cos cos 3B C =，再由两角差的余弦公式求出B C =，再由余弦定理求a 即可得解.【详解】（1）(3)cos cos 0b c A a C --= 222222(3)022b c a a b c b c a bc ab+-+-∴-⨯-⨯=，22232b c a bc ∴+-=，22221cos 2233bc b c a A bc bc +-∴===.（2）由1cos 3A =，可得22sin 3A =，1sin 322ABC S bc A ∴==△，9bc ∴=，2222cos a b c bc A =+- ，2218b c ∴+=，解得3==b c ，2223cos 23a c b B ac +-∴==，3cos 23363BA BC ac B ∴⋅==⨯⨯= .（3）1cos cos()sin sin cos cos 3A B C B C B C =-+=-= ，2sin sinC 3B =，1cos cos 3B C ∴=，21cos()sin sin cos cos 133B C B C B C ∴-=+=+=，由0π,0πB C <<<<知，ππB C -<-<,0B C ∴-=，即3==b c ，由余弦定理，2221cos 23b c a A bc +-==，解得23a =，623a b c ∴++=+，即ABC 的周长为623+.22．如图，四边形OACB 中，2,1OA OB ==，三角形ABC 为正三角形.(1)当π3AOB ∠=时，设OC xOA yOB =+ ，求x y ，的值；(2)设(0π)AOB θθ∠=<<，则当θ为多少时.①四边形OACB 的面积S 最大，最大值是多少？②线段OC 的长最大，最大值是多少？【答案】(1)1,22x y ==(2)①5324+；②3【分析】（1）过点C 作//CD OB 交OA 于点D ,在ACD 中，3,AC =π2OAC ∠=，2,1,1CD DA OD ===，122OC OD D A OB C O +=+= ，可求出x y ，的值；（2）在AOB 中，由余弦定理可得54cos AB θ=-，①表示出面积即可求得四边形OACB 的面积S 最大，②利用正弦定理、余弦定理，三角恒等变换求最值.【详解】（1）在AOB 中，2,1OA OB == π3AOB ∠=，3,AB ∴=π6OAB ∠=，π2OBA ∠=，π2OAC ∠=，5π6OBC ∠=，过点C 作//CD OB 交OA 于点D ,在ACD 中，3,AC =π2OAC ∠=，2,1,1CD DA OD ∴==∴=，122OC OD D OA OB C +∴=+= ，1,22x y ∴==.（2）在AOB 中，由余弦定理可得54cos AB θ=-，sin AOB S θ∴= ，()23354cos 44ABC S AB θ==- ，53π53sin 3cos 2sin 434S θθθ⎛⎫-+=∴+ ⎪⎭=-⎝，因为(0,π)θ∈，max 5342S ∴=+，此时5π6θ=.②由正弦定理得sin sin AB OB OAB θ=∠，即sin sin sin 54cos OB OAB AB θθθ∠==-，所以2cos cos 54cos OAB θθ-∠=-，所以πcos cos()3OAC OAB ∠=∠+ππcos cos sin sin 33OAB OAB =∠-∠，2cos 1sin 32254cos 54cos θθθθ-=⨯-⨯--2cos 3sin 254cos θθθ--=-，由余弦定理得22cos 3sin 454cos 2254cos 254cos OC θθθθθ--=+--⨯⨯-⨯-523sin 2cos θθ=+-π54sin()6θ=+-，因为(0,π)θ∈，所以当2π3θ=时，OC 取得最大值3.。

镇江市2020-2021学年高二上学期12月校际联考数学试题2020.12一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的．1．已知命题:0,21xp x ∀≥≥，则命题p 的否定是（ ）A ．0,21x x ∃≥<B ．0,21x x ∀≥<C ．0,21x x ∃<<D ．0,21x x ∀<< 2．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A ．2,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．6,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．(3,0) 3．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到 S 圆及 S 环两截面，可以证明 S S =环圆总成立．据此，短轴长为6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（ ）3cmA ．24πB ．48πC ．192πD ．384π4．正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则1AB 与1C B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90° C ．45° D ．120°5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若5624a a +=，848S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．86．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同．（已知lg20.3010=，lg30.4771=，结果精确到0.1）（ ）A ．3.5B ．3.6C ．3.7D ．3.87．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为22(010)x y y =≤≤，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 8．如图，四棱柱ABCD A B C D '-'''中，底面ABCD 为正方形，侧棱'AA ⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A 96B 93C 96D 93二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的3分．9．若m 、n 是两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，下列说法正确的有（ ） A ．若//,//m n m α，则//n α B ．若//,/,//m n m n αβ，则//αβ C ．若//,m n n α⊥，则m α⊥ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥10．设椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=（其中0a b >>）的离心率分别为12,e e ，下列结论中正确的是（ ）A ．121e e <B ．22122e e += C ．121e e > D ．122e e +<11．已知点()00,P x y 是椭圆上22:1716x y C +=一点（异于椭圆的项点），1F 、2F 分别为C 的两个焦点，A 、B 是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（ ） A ．12PF F 周长为16 B ．1PF 的最大值为7 C ．准线方程为73y =±D ．直线 PA 与PB 的斜率的乘积为167- 12．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项和为n T ，下列说法正确的有（ ）A ．若10,0a d ><，则存在正整数n 使得0n a >且10n a +<B ．若1,00a a <>，则n S 有最小值无最大值C ．数列{}n b 是单调递增数列的一个充分不必要的条件是10,1b q >>D ．()()2232n n n n n T T T T T -=-对于任意正整数n 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，若三个向量,,a b c 共面，则a 可用b 和c 表示为______． 14．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12310b b b b a a a a ++++=________．15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线2a x c=-上一点，O 为坐标原点，已知OP OF OM =+，且||||OM OF =，则双曲线C 的离心率为________．16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得．阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究．之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线．其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在下表的同一列． 第一列 第二行 第三行 第一列 第二行 4 6 9 第三行1287请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题．（1）（4分）直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列{}n a 的通项公式； （2（6分）设数列{}n b 满足232n a n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为22的直线交抛物线于两点()11,A x y 、()22,B x y ，其中12x x <，且||9AB =．（1）（6分）求该抛物线的方程；（2）（6分）设O 为坐标原点，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，证明：B 、O 、C 三点共线．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，90ACB∠=，30BAC∠=，1BC=，16A A=，M是1CC的中点．（1）（6分）求证：1A B AM⊥；（2）（6分）求二面角B AM C--的平面角的大小．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a满足122nnnaaa+=+，且12a=，数列{}n b满足1n n n nb b a b+-=，且12b=，()n N*∈．（1）（5分）求证：数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（2）（7分）解关于n的不等式：22n anb<．21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为正方形，已知PA⊥平面ABCD，2AB=，2PA=．（1）（6分）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（2）（6分）在棱PC上存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP，求PEPC的值．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点F ，B 分别是椭圆的右焦点与上项点，O 为坐标原点，记OBF 的周长与面积分别为C 和S ．（1）（4分）求S的最小值； （2）（8分）如图，过点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点过点F 作l 的垂线，交直线3x b =于点R ，当S取最小值时，求||FR PQ ∣∣的最小值．镇江市高二第一学期12月份九校联考参考答案一、单项选择题1 2 3 4 8 6 7 8 ACBBCBBA二、多项选择题9 10 11 12 CDABDBDBCD三、填空题13．1()2a a c =+ 14．1033 15．2 16317．解析：（1）将②①③分别填入第一、二、三列第一行表格中 满足题意的1231,4,7a a a ===因为{}n a 是等差数列，设公差为d则322113(1)32n d a a a a a a n d n =-=-=⇒=+-=- （2）232(32)2n a n n n b a n +=⋅=-⋅123n n T b b b b =++++123124272(32)2n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412124272(35)2(32)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②-①②2312323232(32)2n n n T n +⇒-=+⋅+⋅++⋅--⋅1(35)210n n T n +⇒=-⋅+18．解析：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为y =-，联立22y y px⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得22450x px p -+=．∵12x x <，0p >，222251690p p p ∆=-=>，解得12,4px x p ==． ∴经过抛物线焦点的弦129||94AB x x p p =++==，解得4p =． ∴抛物线方程为28y x =；（2）由（1）知A 点的坐标为(1,- B 点的坐标为过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，则C 点的坐标为(2,--BO CO k k == 直线BO 与直线CO 有一个公共点O所以B 、O 、C 三点共线19．解析：（1）证明：以C 为原点，CB ，CA ，1CC 所在直线为x ，y ，z 二轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，A ，1A ，0,0,2M ⎛ ⎝⎭，1(1,A B =，0,2AM ⎛= ⎝⎭， ∵10330A B AM ⋅=+-=，∴1AB AM ⊥．（2）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴1CC BC ⊥， ∵90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又1AC CC C ⋂=，∴BC ⊥平面1ACC ，即BC ⊥平面AMC ， ∴1(1,0,0)CB =是平面AMC 的一个法向量， 设(,,)n x y z =是平面BAM 的法向量，(BA =-，2BM ⎛=- ⎝⎭，∴002n BA x n BM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取2z =，得(6,2,2)n =，∴2cos ,||||CB n CB n CB n ⋅⨯=⋅． ∴二面角B AM C --的平面角的大小为45°． 20．解析：（1）证：由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a >将原式取到数得：11112n n a a +-=，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．又∵1112a =，12d =，∴2n a n =． （2）由1n n n n b b a b +-=得121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+， 则代入原不等式，化为2(1)nn n <+即(1)12n n n +>，令(1)2n nn n c +=，*n N ∈， 逐一检验，1n =不满足，2,3,4n =时满足题意，5n =时515116c =<， 而5n 时，11(1)(2)02n n n n n c c +++--=<，综述，解集为{2,3,4}．21．（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则P ，(2,2,0)C ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =，设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，则2020n PB x n PD y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得(1,1,2)n =，设PC 与平面PBD 所成角为θ，则||sin 10||||10PC nPC n θ⋅===⋅⋅． ∴PC 与平面PBD 所成角的正弦值为10． （2）设在棱PC 上存在一点(,,)Ea b c，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，则(,,(2,2,)a b c λλ-=，∴(2,2)E λλ，(2,2,0)BD =-，(22,2)BEλλ=--，设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则220(22)2)0m BD x y m BE x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得1,1,2m ⎛= ⎝，∵平面BDE ⊥平面BDP ， ∴42201m n λλ-⋅=+=-，解得23λ=． ∴棱PC上存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，且23PE PC =． 22．解：（Ⅰ）OBF 的周长C b c =+．OBF 的面积12S bc =．22bb==⋅=+当且仅当b c =的最小值为2+ （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当b c =2+ 此时椭圆方程可化为222212x y c c+=依题意可得过点F 的直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为x my c =+．联立22222x my cx y c=+⎧⎨+=⎩，整理得：()222220m y mcy c ++-=． 12222mc y y m -+=+，21222c y y m -=+2212m PQ m +===⨯+． 当0m =时，PQ 垂直横轴，FR 与横轴重合，此时||PQ =，||32FR b c c =-=，||||FR PQ == 当0m ≠时，设直线:()FR y m x c =--，令3x c =得(3,2)R c mc -22FR c m +∣22||22||FR PQ ===>=综上所述：当且仅当0m =时，||||FR PQ ．。

2021-2022学年江苏省镇江市云阳中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在首项为21，公比为的等比数列中，最接近1的项是（）.A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第六项参考答案：C2. 设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C． D．参考答案：B略3. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.参考答案：D4. 数列－1，3，－5，7，－9，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．参考答案：C 首先是符号规律：，再是奇数规律：，因此，故选C．5. 一个盒子里有5只好晶体管，3只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只好的，则第二只也是好的的概率为（）A、B、C、D、参考答案：D6. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）A．B．C D．参考答案：D7. 在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则的大小为（）参考答案：A8. △ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形参考答案：B9. 函数是定义域为的函数，对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．参考答案：A因为对任意实数都有成立，所以函数的图象关于对称，又由于若当时，不等式成立，所以函数在上单调递减，所以10. 当时，函数和的图象只可能是 （ ）参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的渐近线与右准线围成的三角形面积为____▲__________.参考答案：12. 已知为偶函数，且，则______参考答案： 16 略13. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．参考答案：15 【分析】根据红球的概率和个数求出总球数，从而求出篮球的个数.【详解】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.所以本题答案为15.【点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题. 14. （5分）（2014秋?郑州期末）设x ，y 均为正数，且+=，则xy 的最小值为 ．参考答案：9【考点】： 基本不等式．【专题】： 不等式的解法及应用．【分析】： 由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．解：∵x，y 均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3， 整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y 时取等号， 故答案为：9【点评】： 本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．15. 对于椭圆和双曲线有下列命题：①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中真命题的序号是 ____。

2022～2023学年5月联合质量测评试题高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.C2.A3.A4.B5.D6.B7.D8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.CD 10.ABC 11.ABD 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.-15.312 16.813.2 14.1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.所以26320=++⨯n m ，即263=+n m ．① ………-2分 因为121=++n m ，所以21=+n m ．② (3)联立①，②解得61,31==n m ． ………4分(2)1(0)2P X >=，依题意知13,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………5分 故()311028P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， (6)()2131131228P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………7分()2231132228P Y C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， ………8分()311328P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭． ………9分故Y 的概率分布列为………10分Y 的数学期望为()13313012388882E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………11分Y 的方差为3113)(=⨯⨯=Y D . ………12分 ）函数f x=）解：()log22.解:(1)设七月份这种饮品的日需求量为X ，则X 的可能取值有300,200,100， 由题意知()3000.6P X ==，()2000.2P X ==，()1000.2P X ==， ………2分 所以()3000.62000.21000.2240E X =⨯+⨯+⨯=， ………3分 故七月份这种饮品一天的平均需求量为240瓶. ………4分 (2)当30C 35C T ≤<时，日利润()()420020012600200300y n n n n =⨯+-⨯-=-≤≤； 当35C T ≥时，日利润()523200300y n n n n =-=≤≤. ………5分 由题意知七月份某一天的最高气温30C T ≥的概率10.20.8p =-=， 所以30C 35C T ≤<的概率10.210.84p ==，35C T ≥的概率20.630.84p == ………6分 设这三天销售这种饮品的总利润为Y ，若这三天的最高气温都满足35C T ≥，则9Y n =，()3323279464P Y n p ⎛⎫==== ⎪⎝⎭； ………7分若这三天中有两天的最高气温满足35C T ≥，一天的最高气温满足30C 35C T ≤<，则236005600Y n n n =⨯+-=+，()22232131275600C 34464P Y n p p ⎛⎫=+=⋅⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭； ………8分若这三天中有一天的最高气温满足35C T ≥，两天的最高气温满足30C 35C T ≤<， 则()326001200Y n n n =+-=+，()212132133191200C C 4464P Y n p p ⎛⎫=+=⋅⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭； ………9分若这三天的最高气温都满足30C 35C T ≤<，则18003Y n =-，()3311118003464P Y n p ⎛⎫=-===⎪⎝⎭. ………10分 所以Y 的分布列如下表所示：………11分故()()()()27279195600120018003645064646464E Y n n n n n =⨯++⨯++⨯+-⨯=+，其中200300n ≤≤. ………12分。

2022-2023学年江苏省镇江市高二下学期期末数学试题一、单选题1．复数17i34iz +=-，则z 的虚部为（）A ．1B ．i-C ．1-D ．i【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解.【详解】由17i34iz +=-得()()()()17i 34i 2525i 1i 34i 34i 25z ++-+===-+-+，所以1i z =--，故z 的虚部为为1-，故选：C2．82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数是（）A ．338C 2-⨯B ．338C 2⨯C ．38C -D ．38C 【答案】A【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出2x 项的系数作答.【详解】二项式82()x x -展开式的通项公式为：8821882C ()(2)C ,N,8r r r r r rr T x x r r x--+=-=-∈≤，令822r -=，解得3r =，于是332332488(2)C C 2T x x =-=-⨯，所以所求系数为338C 2-⨯.故选：A3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3274a a a +=+，则11S =（）A ．44B ．48C ．55D ．72【答案】A【分析】利用基本量法可得154a d +=，故可求11S 的值.【详解】设{}n a 的公差为d ，则112427a d a d ++=+，即154a d +=，则111115544S a d =+=，故选：A.4．3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，则第一名同学抽到奖券的概率和最后一名同学抽到奖券的概率分别是（）A ．11,32B ．11,33C ．11,23D ．11,22【答案】B【分析】根据组合数求条件概率以及分步乘法原理即可求解.【详解】第一名抽到奖券的概率是1113C 1=C 3，第三名抽到奖券的概率是111211111321C C C 1=C C C 3⨯⨯，故选：B.5．若函数()22ln 2f x x x ax a =+-+区间[]2,4上不存在单调增区间，则a 的取值范围是（）A ．33,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．933,48⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．933,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】分析可知，[]2,4x ∀∈，()1220f x x a x '=+-≤，由参变量分离法可得出122a x x≥+，求出函数()12g x x x=+在[]2,4上的最大值，即可求得实数a 的取值范围.【详解】因为()22ln 2f x x x ax a =+-+，则()122f x x a x'=+-，因为函数()f x 在区间[]2,4上不存在单调递增区间，所以，[]2,4x ∀∈，()1220f x x a x '=+-≤，则122a x x≥+，因为函数()12g x x x=+在[]2,4上单调递增，故当[]2,4x ∈时，()()max 3344g x g ==，则3324a ≥，解得338a ≥，因此，实数a 的取值范围是33,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.6．如图，二面角A EF C --的大小为45 ，四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（）A ．2B ．3C ．32-D ．32+【答案】C【分析】利用二面角的定义可得出45AED ∠= ，由空间向量的线性运算可得出DB EA ED AB =-+，利用空间向量数量积的运算性质可求得DB ，即为所求.【详解】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥，又因为二面角A EF C --的大小为45，即45AED ∠=，则,45EA ED =，因为DB DE EA AB EA ED AB =++=-+ ，由图易知AB EA ⊥ ，AB ED ⊥，所以，()2222222DB EA ED AB EA ED AB EA ED EA AB ED AB=-+=++-⋅+⋅-⋅111211cos 450032=++-⨯⨯⨯+-=- .故选：C.7．已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B ．23C ．23-D ．23-【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0∆>，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 的方程，解出即可.【详解】将直线y x m =+与椭圆联立2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2246330x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()223604433m m -⨯-∆=>，解得22m -<<，设1F 到AB 的距离12,d F 到AB 距离2d ，易知()()122,0,2,0F F -，则1|2|2m d -+=，2|2|2m d +=，12|2||2|22|2||2|2F AB F ABm S m S m m -+-+===++ ，解得23m =-或32-（舍去），故选：C.8．某批产品来自A ，B 两条生产线，A 生产线占60%，次品率为4%；B 生产线占40%，次品率为5%，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A 生产线的概率是（）A ．12B ．611C ．35D ．59【答案】B【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.【详解】因为抽到的次品可能来自于A ，B 两条生产线，设A =“抽到的产品来自A 生产线”，B =“抽到的产品来自B 生产线”，C =“抽到的一件产品是次品”，则()0.6,()0.4,(|)0.04,(|)0.05P A P B P C A P C B ====，由全概率公式得()()()()()0.60.040.40.050.044P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，所以它来自A 生产线的概率是()()()()()()0.60.0460.04411P A P C A P AC P A C P C P C ⨯====.故选：B二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．数据1,1,2,4,5,6,8,9-的第25百分位数是1B ．若事件M N ､的概率满足()()()()0,1,0,1P M P N ∈∈且()()1P NM P N +=∣，则M N ､相互独立C ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()215D X +=，则5n =D ．若随机变量()23,,(2)0.62X N P X σ~>=，则(34)0.12P X <<=【答案】BCD【分析】对于A ：根据百分位数分析运算；对于B ：根据条件概率和独立事件分析判断；对于C ：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D ：根据正态分布的性质分析判断.【详解】对于选项A ：8个数据从小到大排列，由于80.252⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数12322+=，故A 错误；对于选项B ：由()()1P NM P N +=∣，可得()()()1∣P N M P N P N =-=，即()()()P MN P N P M =，可得()()()P MN P M P N =，所以M N ､相互独立，故B 正确；对于选项C ：因为1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()112144522D X D X n n +==⨯⨯⨯==，故C 正确；对于选项D ：因为随机变量()23,X N σ ，由正态曲线的对称性可得：(4)(2)10.620.38P X P X >=<=-=，则(24)120.380.24P X <<=-⨯=，所以(34)0.12P X <<=，故D 正确；故选：BCD.10．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm ），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是（）A ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4B ．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C ．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D ．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61【答案】ACD【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为1756416536171.46436⨯+⨯=+，总样本的方差为()()22643636175171.436165171.459.04100100⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故A 正确，B 错误；若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为17550165501705050⨯+⨯=+，总样本的方差为()()225050361751703616517061100100⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，故C 、D 正确；故选：ACD.11．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的是（）A ．若n n S a =，则{}n a 是等差数列B ．若12a =，123n n a a +=+，则{}3n a +是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列D ．若{}n a 是等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列【答案】ABC【分析】求出通项公式判断AB ；利用数列前n 项和的意义、结合等差数列推理判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】对于A ，n n S a =，2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-，解得10n a -=，因此N n *∈，0n a =，{}n a 是等差数列，A 正确；对于B ，12a =，123n n a a +=+，则132(3)n n a a ++=+，而135a +=，{}3n a +是等比数列，B 正确；对于C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，首项是112,n n a S a a a =+++ ，()()()2212212+n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=+++++=+ ，232212231222()()()()n n n n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S S n d ++++-=+++=++++++=-+ ，因此2322()()n n n n n S S S S S -=+-，则n S ，232,n n n n S S S S --成等差数列，C 正确；对于D ，若等比数列{}n a 的公比1q =-，则242640,0,0S S S S S =-=-=不成等比数列，D 错误.故选：ABC12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱111,A D AA 的中点，G 为线段1B C 上一个动点，则（）A ．存在点G ，使直线1CB ⊥平面EFGB ．存在点G ，使平面EFG ∥平面1BDC C ．三棱锥1A EFG -的体积为定值D ．平面EFG 截正方体所得截面的最大面积为334【答案】ACD【分析】对于A 项，可以通过取111B C B B 、的中点H 、I ，连接HI 交1B C 于G 点，判定即可；对于B 项，通过反证，利用面A 1DCB 1与面EFG 和面1BDC 的交线PG 、DH 是否能平行来判定；对于C 项，通过等体积法转化即可判定；对于D 项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可.【详解】对于A 项，如图所示，取111B C B B 、的中点H 、I ，连接HI 交1B C 于G 点，此时EH ∥11A B ，由正方体的性质可得1EH B C ⊥，1HI B C ⊥，所以1B C ⊥平面EFG ，故A 正确；对于B 项，如图所示，连接1A D EF P = ，H 为侧面CB 1的中心，则面A 1DCB 1与面EFG 和面1BDC 分别交于线PG 、DH ，若存在G 点使平面EFG ∥平面1BDC ，则PG ∥DH ，又A 1D ∥CB 1，则四边形PGHD 为平行四边形，即PD =GH ，而PD ＞122B H =，此时G 应在CB 1延长线上，故B 错误；对于C 项，随着G 移动但G 到面1A EF 的距离始终不变即11A B ，故1111111324A EFG G A EF A EF V V AB S --==⨯⨯= 是定值，即C 正确；对于D 项，若G 点靠C 远，如图一所示，过G 作QR ∥EF ，即截面为四边形EFQR ，显然该截面在G 为侧面CB 1的中心时取得最大，最大值为98，若G 靠C 近时，如图二所示，G 作KJ ∥EF ，延长EF 交DD 1、DA 延长线于M 、H ，连接MK 、HJ 交D 1C 1、AB 于L 、I ，则截面为六边形EFIJKL ，当KG 为中点时取得最大值，最大值为334，33948>，即D 正确；故选：ACD三、填空题13．高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有种．（用数字作答）【答案】35【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、组合应用问题列式计算作答.【详解】不同的选人方案有3类，既能唱歌又会跳舞的人不选有2252C C 种，既能唱歌又会跳舞的人选去唱歌有1252C C 种，既能唱歌又会跳舞的人选去跳舞有2152C C 种，由分类加法计数原理得：221221525252C C C C C C 35++=，所以不同的选人方案共有35种.故答案为：3514．直线20ax y ++=与圆C ：222220x y x y +---=相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则=a ．【答案】43-/113-【分析】求得圆心和半径r ，在ABC 中，由余弦定理计算可得AB ，由圆和直线相交的弦长公式可得C 到直线的距离d ，再由点到直线的距离公式，解方程可得a 的值．【详解】222220x y x y +---=，即()()22114x y -+-=，所以圆C 的圆心C （1，1），半径为r ＝2.由ABC 中，2CA CB ==，120ACB ︒∠=，可得144222232AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.设圆心C 到直线的距离为d ，可得23=222r d -=224d -，即d ＝1，则231a a +=+1，解得a 43=-.故答案为：43-．15．设函数()()()ln R f x x x ax a =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是．【答案】ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求得()ln 12f x x ax '=+-，根据题意转化为ln 12x a x+=在()0,2上有两个不等的实数根，转化为()ln 1x g x x +=和2y a =的图象有两个交点，求得()2ln x g x x-'=，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】()1ln ln 12f x x ax x a x ax x⎛⎫'=-+-=+- ⎪⎝⎭，由题意知ln 120x ax +-=在()0,2上有两个不相等的实根，将其变形为ln 12x a x +=，设()ln 1x g x x+=，则()221ln 1ln x x g x x x --'==-.当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当12x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的极大值为()11g =，又1ln 21()0,(2)0e 2g g +==>，画出函数()g x 的大致图象如图，∴ln 21212a +<<，即ln 21142a +<<.故答案为：ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭.16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右支上有一点M ，满足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与y 轴相切，则双曲线C 的离心率为．【答案】31+/13+【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式12122F M F M F F a +-=，122F M F M a -=，从而解出1F M 、2F M ，利用勾股定理可解.【详解】内切圆Q 分别与1F M ，2F M ，12F F ，y 轴切于点S ，T ，N ，P 则四边形QSMT 、OPQN 都为正方形，设内切圆半径为r ，由圆的切线性质，则ON MT r ==，则221212F M F O F F ==，①又因为12122F M F M F F r +-=，②且双曲线定义得，122F M F M a -=，③由①、②、③得r a =，所以12122F M F M F F a +-=，从而12F M c a =+，2F M c=由勾股定理，22222(2)(2)22c a c c c a ac ++=⇒=+，所以222e e =+，解得31e =+．故答案为：31+四、解答题17．已知数列{}n a 满足：25216,0,2n n n a a a a a ++=-=+=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列123,,,,,n k k k a a a 是等比数列，且18k =，求n k 关于n 的表达式.【答案】(1)210n a n =-(2)1325n n k -=⨯+【分析】（1）根据等差数列的定义判断得数列{}n a 是等差数列，计算公差d ，再写出通项公式即可；（2）根据（1）写出数列{}n k a 的通项公式，再根据等比数列计算公比，写出等比数列{}n k a 的通项公式，两式相等即可得n k 关于n 的表达式.【详解】（1）212112,++++++=∴-=-n n n n n n n a a a a a a a 所以数列{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则5223a a d -==，()22210n a a n d n ∴=+-=-.所以数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（2）由（1）知210,210n n k n a n a k =-∴=-.因为数列123,,,,,n k k k a a a 是等比数列，且18k =，∴数列123,,,,,n k k k a a a 的公比81610233a q -===，由等比数列的通项公式可得32=⨯n nk a21032∴-=⨯n n k ，1325-∴=⨯+n n k 18．小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1∼5．年份代码x 12345市场规模y0.91.21.51.41.6(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）；(2)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表，请将列联表补充完整，并回答：依据0.001α=的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电与年龄有关？青少年中老年合计喜欢购买智能小家电80不喜欢购买智能小家电60合计110200参考数据及公式：1.32y =，5121.4i i i x y ==∑，ˆˆˆybx a =+中1221ˆniii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx=-$$()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++附：临界值表α0.100.0100.001x α2.7066.63510.828【答案】(1)ˆˆ0.160.84yx =+(2)能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关【分析】（1）利用已知数据计算相关系数，从而可判断y 与x 的线性相关程度，再利用公式计算相关量即可得回归方程；（2）完成列联表，根据给定数据判断得出结论．【详解】（1）由已知得1234535x ++++==， 1.32y =，()52110ii x x =-=∑，()5210.55ii yy =-≈∑，()()5511521.4531.32 1.6iii ii i x x y y x y xy ==--=-=-⨯⨯=∑∑，所以 1.60.923.160.55r ≈≈⨯，因为y 与x 的相关系数近似为0.92，说明y 与x 的线性相关程度较高，所以可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．由题可得5121.4i i i x y ==∑，522222211234555i i x ==++++=∑，()()51522211.6ˆ0.1655535iii ii x x y y bxx ==--===-⨯-∑∑，1.320.ˆ1630.8ˆ4ay bx =-=-⨯=，故y 与x 的经验回归方程为ˆˆ0.160.84yx =+．（2）由题意可得如下2×2列联表：青少年中老年合计喜欢购买智能小家电8030110不喜欢购买智能小家电306090合计11090200所以22200(80603030)31.03810.8281109011090χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关．19．已知函数()2e 1x f x x =--(1)判断()f x 在定义域上是否存在极值？若存在求出其极值，若不存在说明理由．(2)若()f x ax ≥在[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)不存在，理由见解析(2)(],e 2-∞-【分析】（1）求导，先判断单调性，再求出判断极值是否存在即可；（2）分离参数，构造函数2e 1()x x g x x--=，利用导数求出函数()g x 的单调区间，再求出()g x 最值即可.【详解】（1） 2()e 1x f x x =--，()e 2xf x x '∴=-，记()()e 2e 2xx h x x h x =-∴='-，，则当()ln2,0x h x >'>；当()ln2,0x h x <'<,即()f x '在ln 2-∞（，）单调递减，在ln 2+∞（，）单调递增，∴()()min ln222ln20f x fⅱ==->，()f x ∴在R 上单调递增，即在定义域R 上极值不存在.（2）因为()2e 1xf x x ax =--³在[0,)x ∈+∞恒成立，所以2e 10x x ax ---≥在[0,)x ∈+∞恒成立.显然当0x =不等式成立，当0x >时，2e 1x x a x--≤在()0,x ∈+∞上恒成立，令2e 1()x x g x x --=，则()()()()22221e 1e 11xx x x x x g x x x x ¢-----=-=,记()()=e 1,e 1x xF x x F x '--∴=-，当0x >时，()()0F x ,F x ¢>\单调递增，故()()00F x F >=，故当0x >时，e 1x x >+，即e 10x x -->，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以当1x =时，min ()e 2g x =-，所以e 2a ≤-.综上，实数a 的取值范围是(],e 2-∞-．20．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM BN ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅ 112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠121=52520255-⨯⨯⨯+⨯⨯=，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅ 2622214a a =⨯-+232214a a =-+．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ取最大值为363272=．所以()2min63sin 133θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，此时112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11AC 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT =，即1211(2)B H s s =+-，所以121(2)s B H s =+-．所以2211DH B H B D =+2221(2)s t s =++-2229225t t t t =+-+．则11sin B D DHB DH∠=2229225t t t t t =+-+219119222t =+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以，当12t =时，()1min 3sin 3DHB ∠=．[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ=．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F 中，222115DF B D B F t =+=+．在Rt ECF 中，223EF EC FC =+=，过D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，2225(1)DE QD EQ t =+=+-．在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅()22315(1)35t t t ++=+，()222214sin 35t t DFE t -+∠=+，1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ 2122142t t =-+，13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ=232214t t =-+，()29sin 127t t θ=--+，当12t =，即112B D =，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，最小值为33．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．21．《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为23；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12.(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P .假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.【答案】(1)1027(2)14331556-⨯，甲队开球的概率大于乙队开球的概率【分析】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，求三种情况的概率之和即可.（2）由1i P +与i P 的关系式求得i P 的通项公式，进而得15P ，比较15P 与12即可.【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，对应的概率分别记为：1P 、2P 、3P ，1221433327P =⨯⨯=；221113329P =⨯⨯=；311213239P =⨯⨯=，所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率41110279927P =++=.（2）由全概率公式可得，()1211113262i i i i P P P P +=+-=+，即1313565i i P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.易知10P =，所以35i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以35-为首项，16为公比的等比数列，所以1331556i i P -=-⨯，故1514331556P =-⨯.又因为14151414113166021056106P --=-⨯=>⨯，所以1512P >.而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知(),R m n 是椭圆C ：221189x y+=上一点，从原点O 向圆R ：()()226x m y n -+-=作两条切线，分别交椭圆C 于P 、Q 两点．(1)若点R 在第一象限，且直线OP OQ ⊥，求圆R 的方程；(2)若直线OP 、OQ 的斜率存在，并分别记为1k 、2k ，求12k k ⋅的值；(3)试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】(1)()()22666x y -+-=(2)12-(3)22OP OQ +为定值27【分析】（1）首先求出12OR =，即2212m n +=，结合221189m n +=，解出,m n 值，则得到圆的方程.（2）设直线OP ：1y k x =和OQ ：2y k x =，根据相切得到()()2226260m k mnk n --+-=，则212266n k k m -=-，再利用221189m n +=，进行代换得到斜率之积定值.（3）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由（2）知12210k k +=，所以1212210y y x x +=，故2222121214y y x x =，再利用点在椭圆上，代入化简得221218x x +=，而222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后求出22OP OQ +为定值.【详解】（1）由圆R 的方程知圆R 的半径6r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以212OR r ==，即2212m n +=①又点R 在椭圆C 上，所以221189m n +=②联立①②，解得6m n ==，所以，所求圆R 的方程为()()22666x y -+-=；（2）因为直线OP ：1y k x =和OQ ：2y k x =都与圆R 相切，所以12161k m n k -=+，22261k m n k -=+，即1k ，2k 为2||61km n k -=+两根，两边平方261km n k -=+，可得()()2226260mk mnk n --+-=所以212266n k k m -=-，因为点(),R m n 在椭圆C 上，所以221189m n +=，即22192n m =-，所以22122211963122662m m k k m m ---===---；（3）①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由（2）知12210k k +=，所以1212210y y x x +=，故2222121214y y x x =，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，所以，22111189x y +=，22221189x y +=，即2211192y x =-，2222192y x =-，所以2222121211199224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221218x x +=，所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()222222222211221212||27OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=．②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，以R 点在第一象限为例，若直线OP 落在x 轴上，令6y =，则()2261189x +=，解得6x =，此时R 点距离y 轴距离等于半径r ,故y 轴与圆相切，故此时直线OQ 与y 轴重合，则当直线OP 落在x 轴上，直线OQ 落在y 轴上，此时P 点为椭圆右顶点，Q 为椭圆上顶点，显然有2218927OP OQ +=+=，由椭圆对称性知，直线OP 在x 轴上，OQ 必在y 轴上，且2227OP OQ +=，综上可得，22OP OQ +为定值27．【点睛】思路点睛：定值问题，运用了构建一元二次方程来求斜率之积，而第三小问并没有使用设线法，而是设点法，利用了第二问的结论，同时运用了消元代换，得到关键的221218x x +=，再利用点在椭圆上得到222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而最后得到定值，同时对于特殊情况要单独讨论.。

8 - 12度第一学期期末联考高二数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 AB C C B D A B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.9 10 11 12 BC AD CD BCD5 分，共 20 分.13. (1, 2,6) ， 3 (前一空 2 分，后一空 3 分) 14. 915. - 2316. 478四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）解：（1） D , E 分别是 AB , PB 的中点∴DE ∥ PA ┈┈┈┈┈┈2 分 又∴PA ⊂ 平面PAC , DE ⊄ 平面PAC , ∴ DE ∥ 平面PAC ;┈┈┈┈┈┈4 分 ┈┈┈┈┈┈5 分(2) PC ⊥ 底面ABC , AB ⊂ 底面ABC , ∴PC ⊥ AB , ┈┈┈┈┈┈7 分AB ⊥ BC , PC BC = C , PC ⊂ 平面PBC , BC ⊂ 平面PBC , ∴AB ⊥ 平面PBC PB ⊂ 平面PBC ，∴ A B ⊥ PB . 18．（本小题满分 12 分） ┈┈┈┈┈9 分┈┈┈┈┈┈10 分 解：（1）当α = 135︒ 时，直线l 的方程为： y - 2 = -(x +1) 即 x + y -1 = 0 ， ┈┈┈┈┈┈2 分 圆心(0, 0) 到直线l 的距离d == 1 + 1 2 ，┈┈┈┈┈┈4 分 2所以| AB |= 230 ． ┈┈┈┈┈┈6 分（2）当弦 AB 被 P (-1, 2) 平分时， OP ⊥ l ， k = -2 ，∴ k = 1 ，┈┈┈┈┈┈9 分OPl2∴直线l 的方程为： y - 2 = 1(x + 1) ，即 x - 2y + 5 = 02. ┈┈┈┈┈┈12 分19.（本小题满分 12 分）1 + 1 k2 ( y + y )2 - 4 y y 1 2 1 2 10 11解：（1） V= V= 1S h┈┈┈┈┈┈3 分C -C 1DEC 1 -CDE3 CDE在正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,∴CC 1 ⊥ 平面ABCD ，即CC 1为点C 1到平面CDE 的高┈┈┈┈4 分∴V C -C DE = ┈┈┈┈┈┈6 分 (2)取 AD 的中点Q ，连接 NQ , BQ ∵ N 为 AD 的中点，∴ NQ ∥ AA ,且NQ = 1AA ,1∵ M 为 BB 的中点,∴ MB ∥ AA ,且MB = 1AA12 11 12 1∴ NQ ∥ MB ,且NQ = MB ∴四边形 MNQB 是平行四边形, ∴ MN ∥ BQ ,且MN = BQ同理可证 DE ∥ BQ ,且DE = BQ ∴ MN ∥ DE ,且MN = DE ∴∠C 1DE 为异面直线 MN 与C 1D 所成角(或其补角)． ┈┈┈┈┈┈9 分在正方形ABCD 中，AB = 2，E 为BC 中点∴DE = DE 2 + DC 2 - C D 2∴cos ∠C 1DE = 1 1 =5,C 1E = 10,C 1D = 2 ⋅ DC 1 ⋅ DE 85所以异面直线MN 与C D 所成角的余弦值为 4 85 . ┈┈┈┈┈┈12 分8520．（本小题满分12 分） ⎧ 解：（1）由方程组 ⎪ y 2 = -x ，消去 x 后整理得 y 2 + 2 y -1 = 0 ， ┈┈┈┈┈┈2 分⎨ y = 1( x + 1)⎩⎪ 2设 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由韦达定理，得 y 1 + y 2 = -2, y 1 ⋅ y 2 = -1 ，┈┈┈┈┈┈4 分可得 AB = = 2 .┈┈┈┈┈┈6 分⎧ （2）由方程组⎨y 2 = -x ，消去 x 后整理得ky 2 + y - k = 0 ， ┈┈┈┈┈┈8 分 ⎩ y = k (x + 1)设 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，由韦达定理，得 y 1y 2 = -1，┈┈┈┈┈┈9 分由 A , B 在抛物线 y 2 = -x 上，∴ y 2 = -x , y 2 = -x , y 2 y 2 = x x． ┈┈┈┈┈┈10 分k k =y 1y 2 =1= -1 1 1 2 2 1 2 1 2┈┈┈┈┈┈11 分OA OB∴OA ⊥ O B . x 1 x 2 y 1 y 2┈┈┈┈┈12 分1 1D CE CC = 1 3 2C 1 134 85⎨⎪+ 21．（本小题满分12 分） 解：（1）在等腰梯形 ABCD 中, AM ⊥ DM , 又平面 AMD ⊥ 平面 MDCB ，平面 AMD 平面MDCB = MD ， AM ⊂ 平面 AMD ，所以 AM ⊥ 平面MDCB ． ┈┈┈┈┈┈1 分又在等腰梯形 ABCD 中， DM ⊥ BM ；所以以 M 为原点， MD 为 x 轴， MB 为 y 轴， MA 为 z 轴建立空间直角坐标系． 则 A (0 ， 0 ， 2) ， B (0 ， 4 ， 0) ， C (2 ，2， 0) ， D (2 ，0， 0) ； 所以 AB = (0, 4, -2) ，易证： BC ⊥ 平面 AMC ，所以 BC = (2, -2,0) 为平面 AMC 的法向量， ┈┈┈┈┈3 分sin <所以 AB 与平面 AMC 所成角的正弦值为10 5. ┈┈┈┈┈6 分(2) AP = 1 AB , AB = (0 ，4， -2) ，所以 P (0, 4 , 4)3 3 3 ⎧2a + 2b = 0设平面 PMC 的法向量为m = (a ， b ， c ) ，则 ⎪4 4 b + ⎩ 3 3 c = 0 所以取m = (1, -1,1) ,平面MCB 的法向量n = (0 ，0， 2) ， ┈┈┈┈┈┈9 分因为二面角 P - MC - B 的余弦值为cos θ =∴二面角P - MC - B 的余弦值为 3 .┈┈┈┈┈12 分3 22．（本小题满分12 分）解：（1）易知椭圆过点( 2 6,1) ，┈┈┈┈┈┈1 分3 81 所以 3a2 b 2= 1 ，①┈┈┈┈┈┈2 分又 c = 1，② a 2 a 2 = b 2 + c 2 ，③AB , BC >=AB BC 10 | AB || BC | = 5| m n | = 3 | m || n | 33 1 + m 212 1 + m 2 3m 2 + 422 1= 1 所以由①②③得a = 2,b = ，所以椭圆C 的方程为 x + y 2=┈┈┈┈┈┈4 分4 3（2）设直线l 1 的方程为 x = my -1 ，它与椭圆C 的另一个交点为 D . 将直线l 1 与椭圆C 的方程联立，消去 x ， 得(3m 2 + 4) y 2 - 6my - 9 = 0 ， ┈┈┈┈┈┈6 分显然∆ = 144(m 2 +1) > 0 ，则 AD = ，又 F 到l 的距离d = 2，2所以 S 1∆ADF 2=.┈┈┈┈┈┈9 分S =12 令t = ≥ 1 ，则 ∆ADF 23t + 1 ，t因为 y = 3t + 1在[1, +∞) 上单调递增，t所以当t = 1 时， S ∆ADF 取得最大值 3.又 S 四边形ABF F （ BF 2 + AF 1 ) 2所以四边形 ABF 2 F 1 面积的最大值为 3. ┈┈┈┈┈┈12 分1 + m 21 2 AD d =12 1 + m 2 3m 2 + 4 1+ m 2 d = 2 （ DF + AF ) d = 1 AD d = S 1 1 2 ∆ADF 2 12。