2019年攻读硕士学位研究生入学考试试题(参考解析)

姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题 科目名称：电子技术（√A 卷□B 卷）科目代码：825 考试时间：3小时 满分 150 分 可使用的常用工具：□无 √计算器 √直尺 □圆规（请在使用工具前打√） 注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。

一、单项选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1. 某放大电路在负载开路时的输出电压为4V ，接入12kΩ的负载电阻后，输出电压降为3V ，这说明放大电路的输出电阻为（ ）。

A.10kΩ B.2kΩ C.4kΩ D.3kΩ 2. 下图1所示电路的基本参数计算中，错误的是（ ） A. 输出电阻R O →+∞ B. 输入电阻R I =R 1 C. 反向端电压v n =0 D. 电压增益A v =−R 2R 1⁄ -+v O v I R 2R 1v n v p i 1i 2 图1 图2 3. 在上图2所示电路中，稳压管D Z 的稳定电压V Z =6V ，最小稳定电流I Zmix =5mA ，输入电压V I =12V ，电阻R =100Ω，在稳定条件下I L 的数值最大不应超过（ ）mA 。

A ．45mA B ．55mA C ．60mA D ．65mA 4. 选择（ ）可以抑制频率范围为2KHz~1MHz 的信号。

A. 低通滤波电路 B.高通滤波电路C. 带通滤波电路D. 带阻滤波电路5. 在整流电路中，设整流电路的输出电流平均值为I O ，如果流过每只二极管的电流平均值I D =I O /2，每只二极管的最高反压为√2U ，则这种电路是（ ）。

A. 单相半波整流电路B. 单相全波整流电路。

2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（A卷）
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招生专业与代码：食品科学、粮食油脂及蛋白质工程、食品工程
考试科目名称及代码：食品化学（826）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。

一、名词解释（每题2.5分，共10分）
1、氨基酸等电点
2、淀粉的老化
3、乳化剂
4、胶凝作用
二、选择题（1-6题，多选，每题2分；7-24题，单选，每题1分，共30分）
1、结合水的作用力有（）。

A.配位键
B.氢键
C.部分离子键
D.毛细管力
2、维持蛋白质三级结构的化学键为( )。

A. 肽键
B. 二硫键
C. 氢键
D. 疏水键
3、高于冰点时，影响水分活度A
的因素有（）。

w
A.食品的重量
B.颜色
C.食品组成
D.温度
4、蛋白质变性后( )。

A.溶解度下降
B. 粘度下降
C.失去结晶能力
D.消化率提高
5、淀粉糊化后( )。

A.结晶结构被破坏
B.粘度降低
C.易于消化
D.粘度增大
6、下列元素属于必需微量元素的有( )。

A.钾
B.钠
C.铁
D.锌
7、一块蛋糕和一块饼干同时放在一个密闭容器中，一段时间后饼干的水分含量（）。

A.不变
B.增加
C.降低
D.无法直接预计
考试科目：食品化学共 3 页。

2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题******************************************************************************************** 招生专业及代码：080501 材料物理与化学、080502材料学、080503 材料加工工程、0805Z1 生物材料、085204材料工程（专业学位）考试科目级代码：821材料综合考生请注意：《材料综合》满分150分，考卷包括A《基础化学》、B《材料科学基础》两项内容。

请根据自己的专业背景和未来拟从事的专业研究方向，只能从A、B两项中任选其中一项作答，如果两项都做，仅记A项的成绩。

A、基础化学考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。

一、选择题(选择一个正确答案，共20题，每小题2分，共40分)1. 以下哪一个离子半径最小？(A) Li+(B) Na+(C) Be2+(D) Mg2+2．以下哪一个元素的第一电离能最低：(A) Sr (B) As (C) Xe (D) F3．下列分子中，具有偶极矩的是：(A) PCl5(B) H2Se (C) CO2(D) BCl34. 下列分子中，哪一个分子的键级最大：(A) BN (B) Ne2(C) F2(D) N25. 下列哪一种物质的酸性最强：(A) HBr (B) H2Te (C) H2Se (D) PH36. 在酸性溶液中，下列各对离子能共存的是：(A) Fe2+和Ag+(B) SO32-和MnO4-(C) Hg2+和Sn2+(D) Fe2+和Sn2+7. 下列哪一种弱酸的盐最易水解？(A) HA：K a= 1×10-8(B) HB：K a= 2×10-6(C) HC：K a= 3×10-8(D) HD：K a= 4×10-108. 浓度为1.0×10-4 mol/L，K a = 1.0×10-5的某酸性指示剂在变色点时的pH值为：(A) 3.00 (B) 5.00 (C) 7.00 (D) 9.009. 下列说法中，哪个是不正确的：(A) 氢键具有饱和性和方向性(B) 氢键强弱与元素电负性有关四.综合题（共1小题，共25分）请根据下图所示的二元共晶相图分析和解答以下问题（1）分析合金Ⅰ、Ⅱ的平衡结晶过程，并绘制冷却曲线。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分150, 做题时间180分钟)选择题每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.当x →0 时，若x-tanx与x k是同阶无穷小，则 k=SSS_SINGLE_SELA1B2C3D4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.已知方程 x5-5x + k = 0 有个不同的实根，则 k 的取值范围SSS_SINGLE_SELA（-∞，-4）B（4，+∞）C[-4，4]D（-4，4)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D3.已知微分方程y''+ay'+by=ce x的通解为y=（C1+C2x）e-x+e x，则a，b，c依次为SSS_SINGLE_SELA1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由题干分析出-1为特征方程r2+ar+b=0的二重根，即（r+1）2=0 故a=2，b=1；又e x为y''+ay'+by=ce x的解，代入方程得c=44.SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B5.设A是四阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则A*的秩是SSS_SINGLE_SELAB1C2D3该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A由于 AX = 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 - R(A) = 2可得R(A) - 2 < 3，故R(A* ) = 0。

6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型x T Ax的规范形为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴X T Ax的规范形为y12-y22-y327.设 A,B 为随机事件，则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELAP(A∪B) = P(A) + P(B)BP(AB) = P(A)P(B)CD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:CA选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项⇔ P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}SSS_SINGLE_SELA与μ无关，而与σ2有关B与μ有关，而与σ2无关C与μ,σ2都有关D与μ,σ2都无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A填空题每小题4分，共24分。

2019年全国硕士研究生入学统一考试英语（一）试题及答案解析供稿：万学海文教研中心英语教研室【答案及解析】Section I Use of English1、[答案]C。

Few [试题考点]词义辨析和上下文语境[解析]此题词义辨析和上下文语境。

首句为主题句：今天，我们生活在一个GPS系统，数字地图和其他导航应用程序都在我们的智能手机上唾手可得的世界。

空格所在句指出：我们中_____在没有电话，个人GPS或其他导航工具的情况下直接走进树林。

本句有without与few构成双重否定表肯定，根据语义应该填入few（几乎没有人），符合文意。

2、[答案]C。

run [试题考点]词组搭配[解析]此题考查词组搭配。

run on battery表示手机用电池发动，运行。

其他选项：Put on （穿上；使运转）；take on （承担；呈现）；come on （快点；开始），语义不通顺。

故正确答案为[C] run。

3、[答案]B。

If [试题考点]逻辑关系[解析]此题考查逻辑关系。

空格所在句译文：____你在没有电话或指南针的情况下迷路，____找不到北方，我们有一些技巧可以帮助你导航____文明。

此处为假设的情况，故填入if （如果）符合上下文的表达。

其余选项：Since （因为；自从），though （虽然），until （直到）带入后，语义不通顺。

故正确答案为[B] If。

4、[答案]D。

literally [试题考点]词义辨析[解析]空格所在句译文：____你在没有电话或指南针的情况下迷路，____找不到北方，我们有一些技巧可以帮助你导航____文明。

此处literally表示确实地，真正地，带入原文语义通顺：你的确找不到北方。

其余选项：Formally （正式地），relatively（相对地），gradually（逐渐地）带入后，语义不通顺。

故正确答案为[D] literally。

5、[答案]A。

back [试题考点]词义辨析和上下文语境[解析]空格所在句译文：____你在没有电话或指南针的情况下迷路，____找不到北方，我们有一些技巧可以帮助你导航____文明。

2019年全国硕士研究生入学统一考试真题管理类综合能力一、问题求解：第1—15小题，每小题3分，共45分。

下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1、某车间计划10天完成一项任务，工作了3天后因故停工2天，若要按原计划完成任务，则工作效率需要提高（）A.20%B.30%C.40%D.50%E.60%【答案】C11571-2345、设圆A.(x-C.22(3)(4)2x y-++= D.22(3)(4)2x y+++=E.22(3)(4)2x y++-=【答案】E【解析】看图，不需要计算，直接观察坐标位置即可。

6、在分别记了数字1、2、3、4、5、6的6张卡片中，甲随机抽取1张后，乙从余下的卡片中再随机抽取2张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）。

A.1160B.1360C.4360D.4760E.4960【答案】D【解析】一共有种选取方法1265C C =60种，作为分母。

分子有以下几种情形。

甲取1，乙有25C =10种，甲取2；乙有25C =10种；甲取3，乙有25C -1=9种；甲取4，乙有25C -2=8种；甲取5，乙有25C -4=6种；甲取6，乙有2+5、3+4、3+5、4+5=4种，一种有47种。

7、将一批树苗种在一个正方形花园的边上，四角都种，如果每隔3米种一颗，那么剩余10颗树苗，如果每隔2米种一颗那么恰好种满正方形的3边，则这批树苗有（）。

A.54颗B.60颗C.70颗D.82颗E.94颗 【答案】D8、10A. E 1＞E 2C. E 1＞E 2E. E 1＜E 2【答案】9【答案】，10【答案】【解析】依照海伦公式可求出整个三角形面积为，设AD =x ，三角形ABD 为整个面积的一半，代入海伦公式可得，11、某单位要铺设草坪，若甲、乙两公司合作需6天完成，工时费共计2.4万元；若甲公司单独做4天后由乙公司接着做9天完成，工时费共计2.35万元，若由甲公司单独完成该项目，则工时费共计（） A.2.25万元 B.2.35万元 C.2.4万元 D.2.45万元 E.2.5万元 【答案】E【解析】依据题意，甲乙各做6天可完成，甲4天、乙9天也可完成，相当于甲少做的2天等于乙多做的3天，故把乙6天折合成甲的天数，为4天，所以甲单独做需10天完成。

2019 全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题 1. 当 时， 与 是同阶无穷小，则 =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】C由于，则可得2. 已知方程 有 3 个不同的实根，则 的取值范围（）B.C.【解析】D 令，有可得，当，则可得：极大值为 ；极小值为 .同时若要由 3 个不同的实根，则必须满足：，即，则.3. 已知微分方程的通解为，则 依次为（）A. 1，0，1B.1，0，2C. 2，1，3D. 2，1，4【解析】D 由题设条件可得： ① 的两个解，即 为重根，则原微分方程对应特征方程有重根-1，则.② 为的特解，即为的特解，将代入可得，则.4. 若绝对收敛，条件收敛，则（）A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 收敛D. 发 散【解析】B条件收敛，则存在，使得 ，，由于 绝对收敛，则 绝对收敛.对于选项A 和C ，取可排除；对于选项 D ，取可排除.5. 设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有 2个向量，则 的秩是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】A的基础解系中只有 2 个向量，则，可得，因此.6.设是阶实对称矩阵，是阶单位矩阵，若，且型规范形为（）A.B.，则二次C. D.【解析】C由得，则或.又由，故，则规范形为：.7.设为随机事件，则的充分必要条件是（）A. B.C.D.【解析】C，则对于选项A 和D，取可排除；对于选项B，若互斥，可排除.8.设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，则（）A. 与无关，而与有关B. 与有关，而与无关C. 与都有关D. 与都无关【解析】A由于，和相互独立，则，可得，此概率值与无关，而与有关.二、填空题9. = .10. 曲线的拐点坐标为.【解析】，或当，则不为拐点；当，则为拐点.11. 已知，则=.【解析】，则12.A、B 两商品的价格分别为, ，需求函数，，求 A 商品对自身价格的需求弹性= （）【解析】0.4故时，.13.，，有无穷多解，求= .【解析】1当时，，有无穷多解.14.设随机变量的概率密度为，为的分布函数，为的数学期望，则= .【解析】.三、解答题15. ,求，并求 的极值.【解析】当，当；又；故，令可得 ，16. 已知具有 2 阶连续偏导数，且，求【解析】 ，故.17.已知满足微分方程，且有.（1）求；（2）转体体积.，求平面区域绕轴旋转一周成的旋【解析】（1）一阶线性微分方程，通解为：（2）.18.求曲线与轴之间图形的面积.【解析】根据定积分定义可得其面积为其中可得则故其面积为.19.设（1）证明单调减少，且；（2）求.【解析】（1）由于，则，则，由定积分的保号性可得：，故单调递减；可得，即.（2）由于单调递减，则可得：且，根据夹逼定理得.20.已知向量组（I），（II），若向量组（I）和向量组（II）等价，求的取值，并将用线性表示.【解析】（1）若，则，向量组（I）与（II）等价，设，记，则常数；，，其中为任意若，，向量组（I）与（II）不等价；若，，向量组（I）与（II）等价，，.21.已知矩阵与相似，（1）求；（2）求可逆矩阵使得.【解析】（1）由相似矩阵的性质可得：可得：（2）由可得的特征值分别为，则的特征值也为.对于：当的基础解系为：；当的基础解系为：；当的基础解系为：；则存在对于：当的基础解系为：；当的基础解系为：；当的基础解系为：；则存在，则22.设随机变量与相互独立，服从参数为1 的指数分布，的概率分布为，令.（1）求的概率密度；（2）为何值时，与不相关；（3）与是否相互独立？【解析】（1）由于与相互独立，且的分布函数为，则的分布函数为当当所以，的概率密度为.（2）由条件可得由，可得当时，.即时，与不相关（3）由（2）知当，与相关，从而不独立；当时，且显然，即不独立.综上可得，不独立.23.设总体的概率密度为，是已知参数，是未知参数，是常数. 是来自总体简单随机样本.（1）求;（2）求的最大似然估计量.【解析】（1）由密度函数的规范性可知，即得.（2）设似然函数，取对数求导数令导数为解得：，故的最大似然估计量为.。

x ⎰ ⎰ 2 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.【答案】C3 【解析】 x - tan x ~ - ，所以选C. 32、设函数 y = x sin x + 2 cos x (- π x 3π) 的拐点π πA. ( , ).2 22 2 B. (0, 2). C. (π, -2).【答案】C.D. (3π , - 3π). 2 2【解析】令 y '' = -x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，- 2）. 3、下列反常积分发散的是A.+∞x e - xd xB.+∞x e - x 2d x 0 C. +∞ arctan x d xD. +∞ x d x⎰0 【答案】D 1+ x 2⎰1+ x 2+∞【解析】xd x = +∞ln(x 2 +1)= +∞ ，其他的都收敛，选D. 0 1+ x 2 04、已知微分方程 y '' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A 、1,0,1B 、 1,0, 2C 、2,1, 3D 、2,1, 4【答案】 D.+ C x )e- x+ e x ，则 a 、b 、c 依次为 【解析】由通解形式知， λ = λ = -1 ， 故特征方程为（λ +1）2=λ 2+ 2λ +1=0 ， 所以12a = 2,b = 1 ，又由于 y = e x 是 y '+2 y ' + y = ce x 的特解，代入得c = 4 .5 、 已 知 积 分 区 域D = {(x , y ) | x + y， I 1 = ⎰⎰D x 2 + y 2 d x d y ，2 π} 21 ⎰ 1D1 2 31 2 3 1 2 3I 2 = ⎰⎰D x d y ， I 3 = ⎰⎰ (1-x d y ，试比较 I , I , I 的大小A. I 3 < I 2 < I 1C. I 2 < I 1 < I 3B. I 1 < I 2 < I 3D. I 2 < I 3 < I 1【答案】C【解析】在区域D 上0 ≤ x2+ y 2≤ π2 4,∴，进而 I 2 < I 1 < I 3.6 、已知 f (x ), g (x ) 的 二 阶导 数 在 x = a 处 连 续， 则 limx →af (x ) - g(x )(x - a )2= 0 是曲线y = f (x ), y = g (x ) 在 x = a 处相切及曲率相等的A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有limf (x ) - g(x ) = lim f '(x ) -g '(x ) = lim f '(x ) - g '(x ) = 0.x →a(x - a )2 x →a 2(x - a ) x →a 2从而有 f (a ) = g (a ), f '(a ) = g '(a ), f '(a ) = g '(a ) ,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 K =f '(a ) = -g '(a ) ;选 A.3(1+ y '2 )2,其分子部分带有绝对值,因此 f '(a ) = g '(a ) 或7、设 A 是四阶矩阵， A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则r ( A ) = 2 ， r ( A ) < 3 ， r ( A *) = 0 .8、设 A 是3 阶实对称矩阵， E 是3 阶单位矩阵. 若 A 2+ A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型x T Ax 规范形为A. y 2 + y 2 + y 2.B. y 2 + y 2 - y 2. y ''1 2 3 1 2 3⎩ C. y 2 - y 2 - y 2. D. - y 2 - y 2 - y 2.【答案】C【解答】由 A 2+ A = 2E ，可知矩阵的特征值满足方程 λ 2+ λ - 2 = 0 ，解得， λ = 1 或λ = -2 . 再由 A = 4 ，可知λ = 1, λ = λ = -2 ，所以规范形为 y 2 - y 2 - y 2 . 故答案选C.123123二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 29. lim(x + 2x) x= .x →02 2 x x lim ln(x +2 ) 【解析】lim(x + 2 ) x = e x →0 xx →02 x x + 2x -1 x其中lim ln(x + 2 ) = 2 l im = 2 lim(1+ 2 ln 2) = 2(1+ ln 2)x →0 x x →0 xx →02所以lim(x + 2x) x= e2+2ln 2= 4e 2x →0⎧x = t - sin t 310. 曲线 ⎨y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距 .【解析】d y= d x sin t 1- cos t 当t = 3 π 时， x = 3 π +1, y = 1, d y= -12 2 d x所以在t = 3 π 对应点处切线方程为 y = -x + 3π + 22 2所以切线在 y 轴上的截距为 3π + 22 y 2 ∂z ∂z11. 设函数 f (u ) 可导， z = yf ( x )，则2x ∂x + y ∂y= .∂z 【解析】 =' y 2- y 2= - y 3 ' y 2∂x yf ( )( x x 2) f ( ) x 2 x∂z = y 2' y 2 2 y y 2 2 y 2 ' y 2f ( ) + yf ∂y x ( )( x ) = f ( ) + x x xf ( )x∂z ∂z y 2 所以2x ∂x + y ∂y = yf ( x)12. 设函数 y = ln cos x (0 xπ) 的弧长为.66 ⎝ ⎭ ⎩πππ 1【解析】弧长 s =⎰61+ ( y ')2d x = ⎰61+ tan 2x d x = ⎰ 6d x0 cos x= ln |1 cos xπ+ tan x | = ln 0= 1 ln 3 2xsin t 2113. 已知函数 f (x ) = x⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x =.xsin t 211【解析】设 F (x ) =⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x = ⎰0 xF (x )d x = 1 1 F (x )d x 2 = 1 [x 2F (x )] 1 - 11 x 2d F (x )2 ⎰22 ⎰0= - 1 ⎰1 x 2 F '(x )d x = - 1 ⎰1 x 2 sin x 2 d x2 0 2 0 x = - 1 1 x sin x 2d x = 1 cos x 21 = 1 (cos1-1)2 ⎰04 04⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -11 ⎪14. 已知矩阵 A =⎪ ， A 表示 | A | 中 (i , j ) 元的代数余子式， 则3 -2 2 -1⎪ ij0 0 3 4 ⎪A 11 - A 12 = .1 -1 0 0 1 0 0 0 -2 1-1 1-2 -1 -1 1【解析】 A 11 - A 12 =| A |= 3-2 2 -1 =3 1 2 -1 0 03 4 03 4-1 -1 1 -1 -1 1= 1 2 -1 = 0 1 0 = -4 0 3 4 0 3 4三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 x , x > 0, 已知 f (x ) = ⎨⎪x e x +1, x 0, 求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.解: x > 0 时, f '(0) = (e2 x ln x)' = e 2 x ln x (2 ln x + 2) ;x < 0 时, f '(x ) = (x +1)e x ;3e xe + ⎩ ⎰ ⎰' f (x ) - f (0)e 2 x ln x -1又 f (0) = lim x →0+x - 0 = limx →0+x= lim 2x ln x = lim 2 l n x = -∞ ,x →0+xx →0+所以 f '(0) 不存在,因此'⎪⎧2x 2 x(1+ ln x ),x > 0,f (x ) = ⎨⎪(x +1)e x , x < 0. 令 f '(x ) = 0 ,得驻点 x = -1, x = 1;另外 f (x ) 还有一个不可导点 x = 0 ;1 3 e2又(-∞, -1) 为单调递减区间, (-1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1, +∞) 为单e e 1 1- 2 调递增区间;因此有极小值 f (-1) = 1- 和极小值 f ( ) = e e ,极大值 f (0) = 1.e e16、（本题满分 10 分） 3x + 6求不定积分(x -1)2(x 2+ x +1) d x .3x + 6232x +1解:⎰ (x -1)2(x 2+ x +1) d x = ⎰[- x -1 + (x -1)2+ x 2+ x + ]d x117、（本题满分 10 分）= -2 ln x -1 -3x -1+ ln(x 2 + x +1) + Cy = y (x ) 是微分方程 y ' - xy =x 2e 2 满足 y (1) = 的特解.（1） 求 y (x ) ；（2） 设平面区域 D = {(x , y }|1 x 2, 0 y y (x )} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.x 2解(1) y (x ) = e ⎰x d x[ e ⎰- x d x⋅1e 2 d x + C ] 2x 2= e 2 (⎰ x 2 d x + C ) = e 2(+ C ) ;又由 y (0) = 得C = 0 ,最终有2 x 2 x x 1 1sin 2 θ 2⎰π⎰πn n1 1(2)所求体积y (x ) = x 2 x e 2.V = ⎰ π( x 2x e 2 )2 d x = π⎰2x e x 2 d x= π e x 2 2 1 = π (e 4- e) . 218、已知平面区域 D 满足 xy ,(x 2+ y 2 )3y 4，求 ⎰⎰x d y .解:由 x y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,π θ3π;将 x = r cos θ , y = r sin θ代入(x 2+ y 2 )3由奇偶对称性,有44y 4 得 r ;x + yyπsin 2 θr sin θ ⎰⎰D x d y = ⎰⎰x d y = 2 2 d θ 04r d r rππ 43 2 = 2 sin 5 θ d θ = - 2 (1- cos 2 θ )2 dcos θ =1204419、设n 为正整数，记 S 为曲线 y = e - xsin x (0求lim S . n →∞x n π) 与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并解:设在区间[k π,(k +1)π] (k = 0,1, 2,L , n -1) 上所围的面积记为u k ,则u k =(k +1) π e - x| sin x | d x = (-1)kk π(k +1) π e - xsin x d x ;k π记 I = ⎰e- xsin x d x ,则 I = -⎰e - x d cos x = -(e - x cos x - ⎰ cos x de - x )= -e - x cos x - ⎰e - x dsin x = -e - x cos x - (e - x sin x - ⎰sin x de - x ) = -e - x (cos x + sin x ) - I ,所以 I = - 1e - x(cos x + sin x ) + C ;2因此u k= (-1)k(-1 )e -k (cos x + sin x )2 (k +1) πk π= 1(e -(k +1) π + e -k π ) ; 2(这里需要注意cos k π = (-1)k)x 2+ y 2x 2 + y 2x 2+ y 2⎰π ⎰⎰2⎰xx x 1因此n -11n-k π1 e -π - e -(n +1) πS n = ∑u k = 2 + ∑e = 2 + 1- e -π ;k =0k =11 e -π - e -(n +1) π1e -π 1 1 lim S n = + lim -π= + -π = + π n →∞2 n →∞ 1- e2 1- e 2 e -120 、已知函数 u (x , y ) 满足 2 ∂2u ∂x 2∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u∂y = 0 ，求 a , b 的值， 使得在变换u (x , y ) = v (x , y )e ax +by 下，上述等式可化为v (x , y ) 不含一阶偏导数的等式.解: ∂u = v 'e ax +by + va e ax +by ,∂x ∂2u =x ' ax +by' ax +by ' ax +by2 ax +by ∂x 2v xx e + v x a e + v x a e + va e= v ' eax +by + 2av 'e ax +by + a 2v e ax +by∂u'ax +by ax +by ∂2u' ax +by ' ax +by 2 ax +by同理,可得 ∂y = v y e + bv e , ∂y 2= v yye + 2bv y e + b v e ;将所求偏导数代入原方程,有eax +by[2v ' - 2v ' + (4a + 3)v ' + (3 - 4b )v ' + (2a 2 - 2b 2+ 3a + 3b )v ] = 0 , xx yy x y从而4a + 3 = 0, 3 - 4b = 0 ,因此a = - 3 , b = 3.4 4121、已知函数 f (x , y ) 在[0,1] 上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, ⎰f (x )d x = 1 ，证明：（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f '(ξ ) = 0 ；（2）存在η ∈(0,1) ，使得 f ''(η) < -2 .证明:(1)由积分中值定理可知,存在c ∈(0,1) ,使得⎰f (x )d x = (1- 0) f (c ) ,即 f (c ) = 1 .因此 f (c ) = f (1) = 1,由罗尔定理知存在ξ ∈(c ,1)(⊂ (0,1)) ,使得 f '(ξ ) = 0 .(2)设 F (x ) = f (x ) + x 2,则有 F (0) = 0, F (c ) = 1+ c 2, F (1) = 2 ;由拉格朗日中值定理可得:存在η ∈(0, c ) ,使得 F '(η = F (c ) - F (0) =c 2 +11 1 ) c - 0 c ;存在η ∈(c ,1) ,使得 F '(η = F (1) - F (c ) = 1- c 2 = +2 2 ) 1- c 1- c1 c ;-⎝ ⎭⎝ ⎭对于函数 F '(x ) ,由拉格朗然中值定理同样可得,存在η ∈ (η1,η2 (⊂ (0,1)) ,使得c 2 +1 1'' F '(η ) - F '(η ) (c +1) - 1- cc F (η) = 2 1 = = < 0 ,η2 -η1 η2 -η1 η2 -η1即 f ''(η) + 2 < 0 ;结论得证.⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤22. 已知向量组（Ⅰ） α = ⎢1 ⎥，α = ⎢0⎥ , α = ⎢ 2 ⎥，1 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦3 ⎢ ⎥⎢⎣a 2+ 3⎥⎦⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤（Ⅱ） β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β =⎢ 3 ⎥ , ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，1 ⎢ ⎥2 ⎢⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣a + 3⎦⎥ ⎣⎢1- a ⎦⎥ ⎢⎣a 2+ 3⎥⎦求a 的取值，并将β3 用α1 , α2 , α3 线性表示.【解析】令 A = (α , α , α ) , B = ( β , β , β ) ，所以， A = 1- a 2 ， B = 2(a 2-1) .123123因向量组 I 与 II 等价，故r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) ，对矩阵( A , B ) 作初等行变换.因为⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ( A , B ) =1 02 1 23 ⎪ → 0 -1 1 0 2 2 ⎪.⎪ ⎪ 4 4 a 2 + 3 a + 3 1- a a 2 + 3⎪ 0 0 a 2 -1 a -1 1- a a 2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当 a = 1时，r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 2 ；当a = -1 时，r ( A ) = r (B ) = 2 ，但r ( A , B ) = 3 ； 当 a ≠ ±1时， r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 3 . 综上，只需a ≠ -1即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.⎛ 1 0 2 3 ⎫ ①当a = 1时，(α , α , α , β ) → 0 1 -1 -2 ⎪，故 β = x α + x α + x α 的等价方程1 2 3 3 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ 3 1 1 2 2 3 3⎧ x 1 = 3 - 2x 3 , 组为 故 β = (3 - k )α + (-2 + k )α + k α （ k 为任意常数）； ⎨x = -2 + x . 3 1 2 3⎩ 23⎛ 1 0 0 1 ⎫ ②当a ≠ ±1时，(α , α , α , β ) →0 1 0 -1⎪ ，所以 β = α - α + α . 1 2 3 3 ⎪ 0 0 1 1 ⎪ 3 1 2 3⎩⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡-2 -2 1 ⎤ ⎡2 1 0⎤ 23.已知矩阵 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥ ⎢ ⎥（Ⅰ）求 x , y ；⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP = B⎧⎪-2 + x - 2 = 2 -1+ y ,解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有⎨⎪ A = B ,又 A = -2(4 - 2x ) , B = -2 y ,所以 x = 3, y = -2 . (2)易知 B 的特征值为2, -1, -2 ;因此⎛ 2 1 0 ⎫ A - 2E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-1, 2, 0)T ,⎪1 0 0 0 ⎪ ⎛ 12 0 ⎫ A+ E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-2,1, 0)T ,⎪2 0 0 0 ⎪ ⎛ 4 0 1 ⎫ A+ 2E ↓r↓→0 2 -1⎪ ,取ξ = (-1, 2, 4)T⎪ 0 0 0 ⎪3⎛ 2 0 0 ⎫ 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) ,则有 P -1AP = 0 -1 0 ⎪;1 123 1 1 ⎪ 0 0 -2⎝ ⎭⎛ 1 -1 0 ⎫ ⎛ 2 0 0 ⎫ 同理可得,对于矩阵 B ,有矩阵 P = 0 3 0 ⎪ , P -1BP = 0 -1 0 ⎪ ,所以2 ⎪ 2 2 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ P -1 AP = P -1BP ,即 B = P P -1 APP -1 ,所以11222 11 2⎛ -1 -1-1⎫ P = PP-1 =2 1 2 ⎪ . 1 2⎪ 0 0 4 ⎪。

2222019 年全国硕士研究生入学统一考试真题管理类综合能力一、问题求解： 第 1— 15 小题，每小题 3 分，共 45 分。

下列每题给出的 A 、B 、C 、D 、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1、某车间计划 10 天完成一项任务，工作了 3 天后因故停工 2 天，若要按原计划完成任务， 则工作效率需要提高（） A.20%B.30%C.40%D.50%E.60%【解析】 7 天工作量由 5 天完成，工作效率由17提高到 1，提高的百分比为 51 15 7 1 7 =40%2、设函数 f (x) 2xa 2 （a ＞0）在（ 0， +∞）内的最小值为f (x 0) 12 ， 则 x0=（）。

xA.5B.4C.3D.2E.13、某影城统计了一季度的观众人数，如图，则一季度的男、女观众人数之比为（） 。

A.3:4B.5:6C.12:13D.13:12E.4:3女性观 众 3月份人 1月份数2月份 单位：万人4、设实数 a ， b 满 足 ab=6， a b a b 6 ，则 ab1 01男性观众人数A.10B.11C.12D.13E.14( x 5、设圆 C 与圆5) 2 y 22 关于直线 y=2x 对称，则圆 C 的方程为（） 。

A. ( x 3)2( y 4)22 B. ( x 4)2( y 3)22 C. ( x3)2( y 4)22 D. ( x3)2( y 4)22E. ( x 3)( y 4)226、在分别记了数字1、2、3、4、5、6 的6 张卡片中，甲随机抽取 1 张后，乙从余下的卡片中再随机抽取 2 张，乙的卡片数字之和大于甲的卡片数字的概率为（）。

11 13A. B. C.60 60 43 47 49D. E.60 60 607、将一批树苗种在一个正方形花园的边上，四角都种，如果每隔 3 米种一颗，那么剩余10 颗树苗，如果每隔 2 米种一颗那么恰好种满正方形的 3 边，则这批树苗有（）。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1 B.2 C.3D.42.曲线y=xsinx+2cosx （-＜x ＜2π）的拐点是A.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.()2,πD.⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x⎰+∞-0B.dx xe x ⎰+∞-02C.dx xx⎰+∞+021arctan D.dx x x ⎰+∞+0214.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,45.已知积分区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，dxdy y x I D⎰⎰+=222sin，(dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小A.123I I I <<B.321I I I <<C.312I I I <<D.132I I I <<6.设函数ƒ(x)，g(x)的2阶导函数在x=a 处连续，则0)()()(lim 2=--→a x x g x f ax 是两条曲线y= ƒ(x)，y= g(x)在x=a 对应的点处相切及曲率相等的A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则r(*A )的秩是 A.0 B.1 C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。

2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题********************************************************************************************学科、专业名称：汉语国际教育硕士（专业学位）研究方向：汉语国际教育考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。

一、文学及文化部分基础知识（50分）（一）填空题（13小题，每题1分，共13分）1.《孟子》《庄子》《韩非子》《战国策》都善于用的形式说明道理。

2.谢灵运的诗歌，扭转了当时的玄言诗风，开创了文学史上的派。

3.“清水出芙蓉，天然去雕饰”是对韦良宰文章的评价，后人常以此形容其诗歌语言艺术。

4.“原来姹紫嫣红开遍，似这般都付与断井颓垣，良辰美景奈何天，赏心乐事谁家院……”，这脍炙人口的曲子，出自汤显祖《》。

5.《三国演义》塑造了一批具有的艺术典型，如曹操、刘备、诸葛亮。

6.“伤痕小说”因卢新华的《伤痕》而得名，而最早的“伤痕小说”是的《班主任》。

7.“蒸不烂、煮不熟、捶不扁、炒不爆、响当当一粒铜豌豆”，形容的是田汉《》话剧中的主人公。

8.《等待戈多》是爱尔兰作家贝克特的代表作，它是派戏剧的经典作品，表现了“什么也没有发生，谁也没有来，谁也没有去”的悲剧。

9.苏格拉底在批判智者学派的相对主义时，提出了“即知识”的命题。

10.莫里哀在他的喜剧里塑造了达尔杜弗这个典型形象。

11.今文经是对汉代师生口耳相传，并最终用通行字体写定的儒家经典的总称。

12.《儒林外史》描写的“范进中举”，所说的考试是。

13.儒家提出的实践途径是“格物—致知—诚意—正心—修身—齐家—治国—平天下”，此出自《》。

（二）术语解释题（4小题，每题5分，共20分）1.建安文学2.新月派3.多余人形象4.低语境文化（三）简答题（2小题，共17分）1.苏轼词在词史上的贡献（9分）。

2.谈谈你对“君子和而不同，小人同而不和”的理解。

2019年全国硕士入学统考数学（一）试题及解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，那么x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与平面042=-+z y x 平行，因此有 11422200-=-=-y x ， 可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行可能，可依照)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此，依照95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个，而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可马上排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可马上排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕，因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y=-x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).〔4〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关. (C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)≥秩(B)； ②假设秩(A)≥秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； ③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； ④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，因此21XY ==122U n V U n V =，那个地方)1(~22χU ，依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算，为了关心理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ，那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形。

硕士入学考试：2019年[数学一]考试真题与答案解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当时，若与是同阶无穷小，则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 0=x )(x f A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B...1∑∞=n n nunn nu 1)1(1∑∞=-C.. D..∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u ()∑∞=+-1221n n n u u 4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都有2),(yxy x Q =0>y C ，那么函数可取为⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(),(y x P A..B..32y x y -321yx y -C..D..yx 11-yx 1-5.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵.若，且，则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A.. B..232221y y y ++232221y y y -+C..D..232221y y y --232221y y y ---6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则A A ,A. B..3)(,2)(==A r A r .2)(,2)(==A r A r C.D..2(,1)(==A r A r .1)(,1)(==A r A r 7.设为随机事件，则的充分必要条件是B A ,)()(B P A P =A. B.).()()(B P A P B A P += ).()()(B P A P AB P =C.D.).()(A B P B A P =).()(B A P AB P =8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ),(2σμN {}1<-Y X P A.与无关，而与有关. B.与有关，而与无关.μ2σμ2σC.与都有关.D.与都无关.2,σμ2,σμ二、填空题9.设函数可导，则= .)(u f ,)sin (sin xy x y f z +-=yzcosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅1110.微分方程满足条件的特解 .02'22=--y y y 1)0(=y =y11.幂级数在内的和函数 .nn n x n ∑∞=-0)!2()1()0∞+，（=)(x S 12.设为曲面的上侧，则=.∑)0(44222≥=++z z y x dxdy z x z⎰⎰--224413.设为3阶矩阵.若 线性无关，且，则线性方），，（321αααA =21αα，2132ααα+-=程组的通解为 .0=x A 14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数，为X ⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F X X E 的数学期望，则 .X {}=->1X X F P E ）（三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解.)(x y 2'2x e xy y -=+0)0(=y （1）求；)(x y （2）求曲线的凹凸区间及拐点.)(x y y =16.（本题满分10分）设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向b a ,222by ax z ++=j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求；b a ,（2）求曲面（）的面积.222by ax z ++=0≥z 17.求曲线与x 轴之间图形的面积.)0(sin ≥=-x x e y x 18.设，n =（0，1，2…）dx x x a n n ⎰-=1021（1）证明数列单调减少，且（n =2，3…）{}n a 221-+-=n n a n n a （2）求.1lim-∞→n nn a a 19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形心坐标.Ω())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 0=z Ω20.设向量组，为的一个基，在这个基T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα3R T)1,1,1(=β下的坐标为.T c b )1,,(（1）求.c b a ,,（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.32,a a β3R ,,32a a β321,,a a a 21.已知矩阵与相似⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012（1）求.y x ,（2）求可可逆矩阵，使得P .1B AP P =-22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为X Y X Y 令{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P XYZ =（1）求的概率密度.z （2）为何值时，与不相关.p X Z （3）与是否相互独立?X Z 23.（本题满分11分）设总体的概率密度为X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中是已知参数，是未知参数，是常数，来自总体的简单μ0>σA n X …X X ，，21X 随机样本.（1）求；A （2）求的最大似然估计量2σ答案解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.10.yxx y cos cos +23-x e 11. 12.x cos 33213.为任意常数.，T )1,2,1(-k k 14.3215.解：（1），又，)()()(2222c x e c dx e e e x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰0)0(=y 故，因此0=c .)(221x xe x y -=（2），22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''令得0=''y 3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和,拐点)(x y y =)0,3(-),3(+∞)3,(--∞)3,0(为，，.)0,0()3,3(23---e )3,3(23-e16.解：（1），，)2,2(by ax z =grad )8,6()4,3(b a z =grad 由题设可得，，即，又，4836-=-ba b a =()()108622=+=b a z grad 所以，.1-==b a （2）=dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1====dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441ρρρθπd d ⎰⎰+20224120232)41(1212ρπ+⋅.313π17.略18.略19.由对称性，，2,0==y x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）即，123=b c βααα++11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得.322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩（2），所以，则可()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，()233r ααβ=，，23ααβ，，为的一个基.3R ()()12323=Pαααααβ，，，，则.()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，21.（1）与相似，则，，即，解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩（2）的特征值与对应的特征向量分别为A ，；，；，.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ，；，；，.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：（I ）的分布函数Z (){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当时，；当时，0z ≤()z F z pe =0z >()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则的概率密度为.Z ()(),01,0z zpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩（II ）由条件可得，又()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，从而当时，，即不相关.()()1,12D X E Y p ==-12p =(),0Cov X Z =,X Z （III ）由上知当时，相关，从而不独立；当时，12p ≠,X Z 12p =而121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，显然12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，即不独立. 从而不独立.1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,X Z ,X Z 23. 解：（I ）由，()2221xAedx μσμσ--+∞=⎰t=201t e dt +∞-==⎰从而A =（II ）构造似然函数，当()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得，求导并令其为零，()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑可得，解得的最大似然估计量为.()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑2σ()211n i i x n μ=-∑。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]当x→0时，x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=( )．A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因，若要x一tanx与x‘是同阶无穷小，则k=3，故选C项．2 [单选题]A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点，非极值点正确答案：B参考解析：因为不存在，所以x=0是f(x)的不可导点；又因为f(x)连续，当x<0时,f’(x)=-2x>0，当0<x<e-1时,f’(x)=lnx+1<0，所以x=0是f(x)的极值点．3 [单选题]设{u n}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由单调有界收敛定理知{u n}极限存在，由有界性知了C>0满足|u n|≤C，绝对收敛．4 [单选题]，如果对上半平面(y>O)内的任意有向光滑封闭曲线C都有Q(x，y)dy=0，那么函数P(x，y)可取为( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：由题意知，积分与路径无关，则，故只需选择在上半平面有连续偏导数，且满足的P函数只有D项．5 [单选题]设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型x T Ax的规范形为( )．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：设λ是A的特征值，根据A2+A=2E，得λ2+λ=2，解得λ=1或-2，所以A的特征值是1或-2．因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，从而二次型x T Ax的规范形为；，故选c项．6 [单选题]如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i1x+a i2y+a i3z=d i(i=1，2，3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A，，则( )．A.r(A)=2，r()=3B.r(A)=2，r()=2C.r(A)=1，r()=2D.r(A)=1，r()=1正确答案：A参考解析：由题意知3张平面无公共交点，且交线相互平行，所以r(A)≠r()，故排除B和D选项；又因为它们两两相交于一条直线，故其中任意两个平面不平行，所以2=r(A)，r()=3，故选A项．7 [单选题]设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是( )．A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=P(B)D.P(AB)=P()正确答案：C参考解析：因为P(A)=P(A)-P(AB)，P(B)=P(B)-P(AB)，所以P(A)=P(B)(A)=P(B)，故选C项．8 [单选题]设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ2)，则P{|X-Y|<1}( )．A.与μ无关，而与σ2有关B.与μ有关，而与σ2无关C.与μ，σ2都有关D.与μ，σ2都无关正确答案：A参考解析：X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)，且X与Y相互独立，则E(X—Y)=0，D(X—Y)=D(X)+D(Y)=2σ2，与μ无关，而与σ2有关．故选A项．9 [填空题]设函数f(u)可导，z=f(siny-sinx)+xy，则参考解析：【解析】10 [填空题]微分方程2yy’-y2-2=0满足条件y(0)=1的特解为______．参考解析：【解析】11 [填空题]幂级数内的和函数S(x)=______．参考解析：【解析】12 [填空题]设∑为曲面x2+y2+4z2=4(z≥0)的上侧，则参考解析：【解析】将曲面方程代入积分表达式，原积分为13 [填空题]设A=1，2，3为三阶矩阵，若1，2线性无关，且3=-1+22，则线性方程组Ax=0的通解为_______．参考解析：【解析】∵1，2线性无关，∴r(A)≥2．∵3=-1+22，∴r(A)<3，∴r(A)=2，∴Ax=0的基础解系中有n-r(A)=3-2=1个线性无关的解向量．∵1-22+3=0，14 [填空题]设随机变量x的概率密度为F(X)为X的分布函数，E(X)为X的数学期望，则P{F(X)>E(X)-1}=．参考解析：【解析】方法一方法二易知Y=F(X)~U(0，1)，15 [简答题]设函数y(x)是微分方程满足条件y(0)=0的特解．(I)求y(x)；(Ⅱ)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点．参考解析：(I)16 [简答题]设a，b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3，4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10．(I)求a，b；(11)求曲面z=2+ax2+by2(z≥0)的面积．参考解析：(I)函数梯度为▽=(2ax，2by)，则函数在点(3，4)处的梯度为(6a，8b)，则可知沿方向(-3，-4)的最大方向导数为17 [简答题]求曲线y=e-x sinx(x≥0)与x轴之间所成图形的面积．参考解析：18 [简答题](Ⅰ)证明：数列{a n}单调递减，且(Ⅱ)参考解析：证明：19 [简答题]设Ω是由锥面x2+(y-z)2=(1-z)2(0≤z≤1)与平面z=0围成的锥体，求Ω的形心坐标．参考解析：设力的形心坐标为，根据对称性可知=0．对于0≤z≤1，记D z={(x，y)|x2+(y-z)2≤(1-z)2}，则20 [简答题]设向量组1=(1，2，1)T，2=(1，3，2)T，3=(1，a，3)T为R3的一个基，β=(1，1，1)T，在这组基下的坐标为(b，c，1)T．(I)求a，b，c；(Ⅱ)证明2，3，β为R3的一个基，并求2，3，β到1，2，3的过渡矩阵．参考解析：21 [简答题]已知矩阵(I)求x，y；(II)求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．参考解析：(Ⅱ)A的特征值与对应的特征向量分别为B的特征值与对应的特征向量分别为22 [简答题]设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=p，P{Y=1}=1-p，(0<p<1)，令Z=XY．(I)求Z的概率密度；(Ⅱ)p为何值时，X与Z不相关?(Ⅲ)X与Z是否相互独立?参考解析：23 [简答题]设总体x的概率密度为其中μ是已知参数，σ>0是未知参数，A是常数，X1，X2，…，X n是来自总体X的简单随机样本．(I)求A；(Ⅱ)求σ2的最大似然估计量．参考解析：。