1 2 n
因此可用算术平均值作为μ的估计 辛钦大数定律是Bernoulli大数定律推广
§5.2
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理3（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…，则
设nA是n次独立重复试验中事件 A发生的 次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任给的ε> 0,有
贝努利
nA lim P{| p | } 1 n n
贝努利大数定律表明：当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率nA/n几乎等于 事件A的概率p。因此可用事件发生的频率 作为相应概率的估计。
ε> 0，
或
Sn lim P{| p | } 1 n n Sn lim P{| p | } 0 n n
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 定理一（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…, 则对任给 >0,
由题给条件知，诸Xi独立，
E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16只元件的寿命的总和为 Y X k
k 1 16
依题意，所求为P(Y>1920)
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知,诸Xi独立, E(Xi)=100,D(Xi)=10000
16只元件的寿命的总和为 Y X k
lim P{
n
X
i 1
n
i
n x}
n
x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
■独立同分布中心极限定理 Linderberg-Levy
设随机变量X1,X2, …, Xn , …是独立同分 布,且具有有限数学期望和方差: E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2≠0，i=1,2,…，则
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
下面给出的贝努里大数定律， 是定理1的一种特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率，
1， 如第i次试验A发生 引入 X i 否则 0，
贝努里
i=1,2,…,n
则
Sn X i
i 1 n
n
Sn 1 X i 是事件A发生的频率 n n i 1
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似 N (0,1), np(1 p)
这里 np=120, np(1-p)=48
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
N 120 120 ( ) ( ) 48 48 N 120 ( ) 48
由3σ准则， 此项为0。
N 120 ) ≥0.999， 查正态分布函数表得 由 ( 48 (3.1) 0.999 N 120 故 ≥ 3.1, 48
1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
■辛钦大数定律(平均值的稳定性)
设随机变量X1,X2, …, Xn , …是独立同分布,且具
有有限数学期望和方差: E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2， i=1,2, …,n则对任意的ε>0，有 1 n lim P(| X i | ) 1 n n i 1 辛钦大数定律表明：当n无限增大时，n个独立 同分布的随机变量算术平均值 X ( X X X ) / n 几乎等于常数
频率稳定性 指的是：当各轮试验次数 n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现 的频率总在一个定值附近摆动. 而且，试验次数 越多，一般来说摆动越小. 频率
m1 n1 m2 n2 ms ns
稳定在某个值 附近 频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小 是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观 规律，这正是随机现象的统计规律性。
lim P{
n
X
i 1
n
i
n x}
n
x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布 . 现随机地取 16只，设 它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命 的总和大于1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
定义1.2.1 概率的统计定义
在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A 出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A 的概率，记为P(A). P=P(A)≈fn(A)=m/n
■切比雪夫不等式
定理
设 r.v. X有有限期望E(X) 和 方差 2，则对于 任给 >0, 2
P{| X E ( X ) | } 2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小， 则事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X
集中在期望附近的可能性越大.
给出了在r.v.X的分布未知下，P({|X-E(X)|< })的 估计方法.
■贝努利大数定律(频率的稳定性)
Sn p | } 0 任给ε>0， lim P{| n n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小. 请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
于是有下面的定理：
贝努里
定理2（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
例5.2.1 做加法时，对每个加数四舍五入取， 各个加数的取整误差可认为是相互独立的， 都服从(-0.5,0.5)上均匀分布。若现在有1200 个数相加，问：取整误差总和的绝对值超过 12的概率是多少？
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
依题意，所求为P(Y>1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000
k 1
16
Y 1600 由中心极限定理, 近似N(0,1) 400
1920 1600 ) P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- ( 400 =1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
n 1 1 X i 与其数学期望 E ( X i )偏差很小的 n i 1 n i 1 n
概率接近于1.
1 n 即当n充分大时， X i 差不多不再是 n i 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1.
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
x
1 e 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
■二项分布中心定理(De Moivre-Laplace定理)
解：对每台车床的观察作为一次试验， 每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验.
用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： 设需N千瓦车床工作， 求满足 P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦， N台工作所需电力即N千瓦.）
第五章
大数定律 中心极限定理
第一节
大数定律
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律
频率
在n次重复实验中，事件A出现m次，则 n次实验中，事件A出现的频率 fn(A)=m/n 抛硬币实验
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
x
1 Байду номын сангаас 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
从中解得N≥141.5,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以 99.9% 的概率保证该车间不会因供电不 足而影响生产.
例5.2.2 设在独立重复试验序列中，每次试验时 事件A发生的概率为0.75.分别用切比雪夫不等式 和 De Moivre-Laplace 中心极限定理估计试验次 数 n 需要多大，才能使事件 A 发生的频率落在 0.74～0.76之间的概率至少为0.90.
例2. 某互联网站有10000个相互独立的用 户，已知每个用户在平时任一时刻 访问网站的概率为0.2。求： (1)在任一时刻，有1900~2100个用 户访问该网站的概率； (2)在任一时刻，有2100个以上用户 访问该网站的概率。
例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期 间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调 换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每 台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1 千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保 证该车间不会因供电不足而影响生产?
