2020届山东省潍坊市临朐县高三10月阶段性模块监测数学试题(解析版)

高三数学教学质量监测试题考试时间：90分钟；满分：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题（本题共计10道小题，每题5分，共50分) 1．（5分）全称命题“21x R,x x 04∀∈-+≥”的否定是（ ） A ．21,04x R x x ∀∉-+< B ．21,04x R x x ∃∈-+< C ．21,04x R x x ∃∈-+≥D ．21,04x R x x ∀∈-+<2．（5分）设集合{}24A x N x =∈-<<，集合}{220B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．}{24x x -≤< B ．{}2,1,0,1,2,3-- C ．}{21x x -<≤D ．}{0,13．（5分）若，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．（5分）已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f =（ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255．（5分）函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设,x y R +∈,且191x y+=,则x y +的最小值为（ ）A ．6B ．12C ．14D ．167．（5分）函数()232=||f x x x -+的单调递增区间是( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞8．（5分）若函数(),y f x =的定义域是[0,4]，则函数()g x =的定义域是（ ）。

A ．(1,8)B ．(1,2)C ．(1,8]D ．(1,2]9．（5分）若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b > B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>10．（5分）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共计4道小题，每题5分，共20分)11．（5分）已知集合{}2,1,0M =--，122xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN =________．12．（5分）已知函数()()2231lg 11x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦________，()f x 的最小值是________.13．（5分）若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21xf x -=-，则当0x <时，()f x =______.14．（5分）若0a >，0b >，()lg lg lg a b a b +=+，则+a b 的最小值为_________．三、解答题（本题共计3道小题，每题10分，共30分) 15．（10分）已知关于x 的不等式ax 2+5x-2>0的解集是{x|12<x<2}。

1 绝密★启用前
山东省临朐县普通高中
2020届高三年级上学期阶段性模块质量监测(期中)
数学试题参考答案
2019年10月
一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5 CDABC
6-10 ADDBB
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项
中,有多项符合题目要求的.全部选对的得4分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
11.AD 12.ABC 13.ABCD
三、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.
14. 2000,0x R x x π∃∈-< 15.x y -= 16.13
17. 2
；
四、解答题：本大题共6小题,共82分,解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
18．解：(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数,
∴00(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--= …… 2分
∴2k =. …… 4分 （2）()(>01)x x f x a a a a -=-≠且
10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-∴<a a a a
a f 且又Θ, ……6分 而x y a =在R 上单调递减,x y a -=在R 上单调递增,
故判断()x x f x a a -=-在R 上单调递减, ……8分。

2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试数学试题（一)A ．2B ．4C ．8D ．16 2．己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z i z i-+为纯虚数，则z =（ ）A ．2BC ．1 D3．设p ：a ，b 是正实数，q ：a b +> ）A ．p 是q 的充分条件但不是必要条件B ．p 是q 的必要条件但不是充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ） A ．1910 B ．3910 C ．3455 D ．44555．已知a r ，b r 是两个相互垂直的单位向量，且c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，则b c +=r r （ ）AB C ．D ．2 6．在611x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6- B ．6 C ．24- D ．247．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．28．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 11．实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1y x -的判断正确的是（ ）A ．1y x - B ．1y x -的最小值为C ．1y x -D ．1y x -的最小值为-12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F BD ⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且13A E EF= D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°13．已知3cos 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______. 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为______．15．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C的焦点的距离是______.16．三棱锥P ABC -的4的球面上，PA ⊥平面ABC ，V ABC 是的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______．17．在①21n n S b =-，②14n n b b --=（2n ≥），③12n n b b -=+（2n ≥）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}nb 的首项11b =，其前n 项和为n S ，______，是否存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3c a =，且ABC ∆的面积ABC S ∆=c 的值.19．已知ABC ∆的各边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12CE EA =，D 为AB 的三等分点（靠近点A ），（如图（1）），将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --的平面角为90︒，连接1A B ，1A C （如图（2））.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.20．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈； ②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点12⎛ ⎝⎭，，且离心率2e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=．22．已知函数()()ln m f x m x x m R x =-+∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，不等式()()122212f x f x a x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】先求出集合A ，集合B ，由此求出A B I ，从而能求出集合A B I 子集个数.【详解】∵集合{}{}20log 16{|04}1,2,3A x N x x N x =∈<<=∈<<=， 集合{}{}2201x B x x x =->=， {2,3}A B ∴=I .∴集合A B I 子集个数是22＝4.故选：B.【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．C【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b ai z i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3．D【解析】【分析】举例并结合充分必要条件的判断得答案.【详解】解：由a ，b是正实数，不一定得到a b +>，如1a b ==；反之，由a b +>a ，b 是正实数，如1,0a b ==.∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.4．D【解析】【分析】所有的基本事件个数315C ，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数315C ，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个， ∴这三个数为勾股数的概率为：31544455P C ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题． 5．A【解析】【分析】根据题意可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===r r r，然后根据c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r即可得出c =r ，这样即可得出b c +r r 的坐标，从而可求出b c +r r 的值.【详解】解：a b ⊥Q r r ，且a r ，b r都是单位向量，∴设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===r r r ，且c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，1x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴c =r，2)b c ∴+=r r ，||b c ∴+=r r 故选：A.【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题. 6．B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出.【详解】 解：通项公式为：161k k k T C x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式211(1)(1)rr r k r r r k r r k k T C x x x C --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令25k r -=，则5,0k r ==.∴含5x 项的系数为05566C C ⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7．C【解析】【分析】 先求双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ⨯-=-，代入e =即可. 【详解】 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，Q 渐近线b y x a = 与直线230x y ++=垂直，得()21b a ⨯-=-，即12b a =，代入2e === 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.8．B【解析】【分析】 根据题意，设()()cos f x g x x =，结合题意求导分析可得函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数()g x 为偶函数，进而将不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭转化为()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得||4x π>，解可得x 的取值范围，即可得答案.【详解】 根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<， 则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的偶函数，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，则函数()g x 为偶函数，()()4()cos ()4cos 4cos 4cos 4f f x f x f x xg x g x x πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由()g x 为偶函数且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且其定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则有||4x π>，解得：24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数()()cos f x g x x=，并分析其单调性. 9．ABC 【解析】 【分析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误. 【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确.B.月跑步平均里程不是逐月增加，因此B 不正确；C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 10．AD 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 11．CD 【解析】 【分析】1yx -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1yx -的最值. 【详解】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆， 由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值， 设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得3k =±，所以[1y x ∈-，即1y x - 故选：CD . 【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．BD 【解析】 【分析】A ，当F 为1BC 中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断；B ，通过1B D ⊥面11A BC ，可判断；C ，设1A F 和1BD 相交于点E ，则11~DE A E FB V V ，根据相似比可判断； D ，F 为1BC 中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断. 【详解】解：对于A 选项，当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为1A 在平面1BDC 上的投影，1O A F ∠为直线1A F 与平面1BDC 所成角，11cos OFO FA F A =∠，当F 为1BC 中点时，1A F 最小，则最大角的余弦值为11132OF A F ==<， 最大角大于60°，即A 错误；对于B 选项，在正方体中，1B D ⊥面11A BC ，又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即B 正确；对于C 选项，当点F 为1BC 中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接1A D 和1B F ，如图所示，因为11~DE A E FB V V，所以1112A EDA EF B F==，即C 错误； 对于D 选项，当F 从B 移至1C 时，异面直线1A F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为1BC 中点时，最小角的正切值为223223=>，最小角大于30°，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题. 13．725【解析】 【分析】 由3cos sin ,cos 225ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得sin θ，从而可求得cos2θ. 【详解】 解：3cos sin 25πθθ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭Q ，3sin 5θ∴=-，27cos 212sin 25θθ∴=-=. 故答案为：725. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题. 14．2- 【解析】 【分析】先判断()f x 的周期为4，结合()f x 是奇函数，可得()()()()78111f f f f =-=-=-，从而可得结果. 【详解】因为()()4f x f x +=， 所以()f x 的周期为4. 又因为()f x 是奇函数，所以()()()()78111f f f f =-=-=-，因为()0,2x ∈时，()21f x x =+，所以()21112f =+=，()()712f f =-=-，故答案为-2.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 15．2 2 【解析】 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为2,2 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题. 16．65【解析】 【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离 【详解】△ABC2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R ==,解得h=2,又PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --=知'113?2=?33 ，得'65d = 故点A 到平面PBC 的距离为65故答案为65． 【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题 17．见解析 【解析】 【分析】由数列{}n a 为等比数列可得23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①通过1n n n S S b --=，整理可得12n n b b -=，进而可求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；②由14n n b b --=可得数列{}n b 为等比数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；③由12n n b b -=+知数列{}n b 是等差数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用作差法求最大项即可判断.. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123a =，所以312a a a =， 所以3223a q a ==， 故23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 若选择①，则21n n S b =-，则1121n n S b --=-（2n ≥），两式相减整理得12nn b b -=（2n ≥），又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=所以12142323n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由指数函数的性质知，数列{}n n a b 单调递增，没有最大值， 所以不存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择②，则由14n n b b --=（2n ≥），11b =，知数列{}n b 是首项为1，公比为14-的等比数列，所以114n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()12114346nn nn n a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()11124446663nnn n a b ⎛⎫⎛⎫=-⨯-≤⨯≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1n =时取得最大值23. 所以存在1k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择③，则由12n n b b -=+（2n ≥）知数列{}n b 是公差为2的等差数列. 又11b =，所以21n b n =-.设()2213nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()112252221213333n n nn n n c c n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以当2n ≤时，1n n c c +>，当3n ≥时，1n n c c +<. 即12345c c c c c <<>>>L所以存在3k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18．（1）tan A =；（2）c =【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出b =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故222b c a +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即b =，Q ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．（1）见解析；（2）存在，52PB = 【解析】 【分析】（1）等边ABC ∆中，由已知得到2AE =，1AD =，由余弦定理算出DE ，从而得到222AD DE AE +=，则AD DE ⊥.结合题意得1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出1A D 平面BCED ； （2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1A BD 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可. 【详解】（1）证明：由图（1）可得：2AE =，1AD =，60A =︒.从而DE ==故得222AD DE AE +=，∴AD DE ⊥，BD DE ⊥. ∴1A DDE ⊥，BD DE ⊥，∴1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角，∴190A DB ∠=︒，即1A D DB ⊥， ∵DE DB D ⋂=且DE ，DB ⊂平面BCED ， ∴1A D ⊥平面BCED ；（2）存在，由（1）知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，过P 作PH DE P 交BD 于点H ，设2PB a =（023a ≤≤），则BH a =，PH =，2DH a =-，易知()10,0,1A，()2,0P a -，()E，所以()12,,1PAa =-u u u r. 因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD的一个法向量为()DE =u u u r因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，所以11sin 60PA DE PA DE ⋅︒===u u u v u u u v u u u v u u u v 54a =.∴522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =. 【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.20．（1）26.5（2）①0.6826②见解析 【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布()2,N μσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=． 21．（1）22182x y +=（2）详见解析【解析】 【分析】(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论. 【详解】（1）由题意得2271412a b e ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪==⎩，解得2282a b ==，，所以椭圆的方程为22182x y C +=：．（2）设直线12l y x m =+：，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>， 解得22m -<<．设()()1122A x y B x y ，，，，则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2παβ≠，．设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，， 则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-， 只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212y k x -=-，故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=，∴120k k +=，αβπ+=． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．(1)见解析；(2)[ln 2,)a ∈+∞【解析】 【分析】(1)根据m 的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可. (2)根据题意，需求()()122212f x f x x x ++的最值，结合(1)可得1212,x x m x x m +==且4m >，于是此式可转化为关于m 的函数，再利用导数求其最值即可. 【详解】（1）由题意得()0,x ∈+∞，()2221m m x mx mf x x x x-+'=--=-， 令()()22,44g x x mx m m m m m =-+∆=-=-.①当04m ≤≤时，()0,0g x ∆≤≥恒成立，则()()0,f x f x '≤在()0+∞，上单调递减. ②当0m <时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=<=<则120,0x x <>，所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '<>单调递增；当2m x ⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '><单调递减. ③当4m >时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=>=>则120,0x x >>，所以x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递减；22m m x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增；,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.综上所述：当04m ≤≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减.当0m <时，x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递增；,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.当4m >时，0,2m x ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；x ∈⎝⎭时，()f x 单调递增；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.（2）由（1）知：4m >时()f x 有两个极值点12,x x ， 且12,x x 为方程20x mx m -+=的两根，1212,.x x m x x m +==()()12112212ln ln m mf x f x m x x m x x x x +=-++-+ ()()12121212ln ln ln m x x m x x x x m m m m m m x x +=-++=-+=.()222212121222x x x x x x m m +=+-=-.所以()()1222212ln ln 22f x f x m m mx x m m m +==+--. 所以ln 2ma m >-在()4,m ∈+∞时恒成立. 令()()ln 42mh m m m =>-，则()()221ln 2m m h m m --'=-. 令()21ln ,m m mϕ=--则()222120mm m m m ϕ-'=-=<， 所以()m ϕ在()4+∞，上单调递减.又()14=12ln 202ϕ--<，所以()0m ϕ<在()4+∞，上恒成立，即2ln 0m m1--<.所以()0h m ¢<. 所以()h m 在()4+∞，上为减函数.所以()()4ln 2h m h <=. 所以ln 2a ≥，即a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.。

2020届高三数学上学期10月阶段检测试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，其中1-10题是单选题，11-13题是多选题）1. 设集合，则（）A. B. C. D.2. 复数（i为虚数单位）的虚部是（）A. B.1 C.-1 D.i3. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4..函数的定义域为（）A. B. C. D.5.定义在R上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. - D. -6.函数图像的对称轴方程可能是（）山东中学联盟A．B．C．D．7. 函数（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）8.若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围为（）A. B. C . D.sdzxlmA.向右平移单位长度得到B.向右平移单位长度得到C.向左平移单位长度得到D.向左平移单位长度得到10.函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在D内是单调函数；（2）存在,使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）以下是多选题11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A. 在上的最小值为B. 在上的最小值为-1C. 在上的最大值为D. 在上的最大值为1 ,12.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数13. 设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14.已知为第二象限的角，，则________.15.曲线在点处的切线方程为____________.16.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.17.若函数则的极大值点为，极大值为三、解答题（本大题共6小题。

第18题10分、第19-21题14分、第22-23题15分，共82分）18.（本小题满分10分）. 山东中学联盟已知函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．（1）当时，求；（2）若，求a的值．19. （本小题满分14分）已知（1）求的最小正周期；（2）当时求的单调递减区间。

山东省潍坊市临朐县2020届高三综合模拟考试数学试题（二）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设z =1−i3+i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．曲线y ＝ln （ax +1）在点（0，0）处的切线过点（4，8），则a ＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ） A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升4．已知a ＝（13）23，b ＝（12）23，c ＝log 3π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a5．已知向量m →=（a ，﹣1），n →=（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），若m →∥n →，则2a +1b 的最小值为（ ） A ．12B ．8+4√3C ．15D ．10+2√36．若sinαcosα1−cos2α=14，tan （α﹣β）＝2，则tan （β﹣2α）＝（ ） A ．−43B ．3C ．﹣3D ．437．已知二面角α﹣l﹣β为60°，点A∈α，点B∈β，异面直线AB与l所成的角为60°，AB＝4．若A 到β的距离为√3，则B到α的距离为（）A．2√3B．√3C．√6D．38．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占14C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好10．已知函数f（x）＝sin x•sin（x+π3）−14的定义域为[m，n]（m＞n），值域为[−12，14]，则n﹣m的值可能是（）A．5π12B．7π12C．3π4D．11π1211．下列有关说法正确的是（）A．（12X﹣2Y）5的展开式中含X2Y3项的二项式系数为20B．事件A∪B为必然事件，则事件A、B是互为对立事件C．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞4），则μ与Dξ的值分别为μ＝3，Dξ＝7D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P（A|B）=2912．已知函数f（x）＝xlnx+x2，x0是函数f（x）的极值点，以下几个结论中正确的是（）A．0＜x0＜1e B．x0＞1eC．f（x0）+2x0＜0D．f（x0）+2x0＞0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝．14．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是．15．已知双曲线C过点（3，√2）且渐近线方程是y＝±√33x，则双曲线C的方程为，又点N（0，4），若F为双曲线C的右焦点，M是双曲线C的左支上一点，则△FMN周长的最小值为16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是．交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD=π3四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c=a sin B；③cos2A﹣3cos（B+C）＝1；这三个条件中任选一个完成下列内﹣b）sin C；②b sin B+C2容：（1）求A的大小；（2）若△ABC的面积S＝5√3，b＝5，求sin B sin C值．18．（12分）在各项均不相等的等差数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{b n}的前n 项和S n＝2n+1﹣2．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n＝2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图（1），五边形ABCDE中，ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°．如图（2），将△EAD沿AD折到△P AD的位置，得到四棱锥P﹣ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．（1）求证：平面P AD⊥平面ABCD；，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．（2）若直线PC与AB所成角的正切值为1220．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到F（1，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求直线l的方程．21．（12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅰ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝alnx ﹣x ． （1）若f （x ）无零点，求实数a 的取值范围；（2）当a ＝1时，关于x 的方程2x ﹣f （x ）＝x 2+b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．；（3）求证：当n ≥2，n ∈N *时（1+122）（1+132） (1)1n 2）＜e ．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．∵z =1−i3+i =(1−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−4i 10=15−25i ，∴z =15+25i ，∴在复平面内z 对应的点的坐标为（15，25），位于第一象限． 故选：A ．2．y ＝ln （ax +1）的导数为y ′=aax+1， 可得曲线在x ＝0处的切线的斜率为a ， 由切线经过（4，8）可得a =8−04−0=2， 故选：C ．3．由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8； 故选：B ．4．(13)23＜(12)23＜(12)0=1，log 3π＞log 33＝1；∴c ＞b ＞a ． 故选：D ．5．∵m →=（a ，﹣1），n →=（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m →∥n →， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1， ∴2a+1b=（2a+1b）（3a +2b ）＝8+4b a+3a b≥8+2√4b a ⋅3a b＝8+4√3，当且仅当4b a=3a b，即a =3−√36，b =√3−14，时取等号， ∴2a +1b 的最小值为：8+4√3． 故选：B ． 6．若sinαcosα1−cos2α=sinαcosα2sin 2α=cosα2sinα=14，∴tanα＝2．∵tan （α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαanβ=2，∴tanβ＝0，tan （β﹣α）＝﹣tan （α﹣β）＝﹣2， 则tan （β﹣2α）＝tan[（β﹣α）﹣α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)tanα=−2−21−2×2=43，故选：D ． 7．如图所示，过A 点作AC ⊥β，垂足C ，过点C 作CE ⊥l ，垂足为点E ，连接CE ． 则AE ⊥l ，∴∠AEC ＝60°．又AC=√3，∴AE＝2．过A点作AD∥l，过B点作BF⊥l，垂足为点F．过F点作FD∥AE，则四边形ADFE为矩形，∴DF＝2．∠BAD＝60°，AD⊥DB．∵AB＝4，∴BD＝2√3，∠BFD＝60°，在△BFD中，设BF＝x，由余弦定理可得：(2√3)2=22+x2﹣2x×2×cos60°，可得：x2﹣2x﹣8＝0，解得x＝4．∴BD2+DF2＝BF2，∴BD⊥DF，∴BD⊥α．∴B到α的距离为2√3．故选：A．8．由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果，根据分步计数原理知共有4×3×2×2＝48种结果，故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．对于A，20天中AQI指数值有10个低于100，10个高于100，其中位数略高于100，A正确；对于B，20天中AQI指数值高于150的天数为4，即占总天数的14，B正确；对于C，该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天，空气质量越来越差，C 错误；对于D，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D正确．故选：C．10．f（x）＝sin x•sin（x+π3）−14＝sin x（12sinx+√32cosx）−14=14(1−cos2x)+√34sin2x−14=12(√32sin2x−12cos2x)=12sin(2x−π6)，值域为[−12，14]，sin（2x−π6）∈[﹣1，12]，所以2x−π6∈[2kπ−7π6，2kπ+π6]，故x ∈[k π−π2，k π+π6]，k ∈Z ， k π+π6−（k π−π2）=2π3，所以n ﹣m 最大为2π3， 故选：AB ．11．对于A ，由二项式定理得：（12X ﹣2Y ）5的展开式中含X 2Y 3项的二项式系数为∁53=10，故A 错误； 对于B ，事件A ∪B 为必然事件，若A ，B 互斥，则事件A 、B 是互为对立事件；若A ，B 不互斥，则事件A 、B 不是互为对立事件，故B 错误对于C ，设随机变量ξ服从正态分布N （μ，7），若P （ξ＜2）＝P （ξ＞4），则曲线关于x ＝3对称，则μ与D ξ的值分别为μ＝3，D ξ＝7．故C 正确．对于D ，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“甲独自去一个景点”，则P （A ）=4!44，P （B ）=4⋅3344=2764，P （AB ）=4×3!44=332，则P （A |B ）=P(AB)P(B)=29，故D 正确；故选：CD ．12．∵f （x ）＝xlnx +x 2，∴f ′（x ）＝lnx +1+2x 在x ＞0时单调递增， ∵x 0是函数f （x ）的极值点， ∴lnx 0+1+2x 0＝0，且x 0＞0，又f′(1e)=2e＞0，x →0时，f ′（x ）＜0，根据零点判定定理可知，0＜x 0 ＜1e ，又f （x 0）+2x 0=x 0lnx 0+x 02+2x 0=−x 02+x 0，x 0∈(0，1e )， 结合二次函数的性质可知，f （x 0）+2x 0＞0．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，所以有{a=2ab=b2a≠b或{a=b2b=2aa≠b，解得{a=0b=1或{a=14b=12，故a＝0或14．答案：0或1414．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是：P＝0.6×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.6×0.5+0.4×0.5×0.6×0.5＝0.21．故答案为：0.21．15．由渐近线的方程设双曲线的方程为：x23−y2＝λ，由双曲线C过点（3，√2）可得：93−2＝λ，即λ＝1，所以双曲线的方程为：x 23−y2＝1；设左焦点F'（﹣2，0），右焦点F（2，0）△FMN周长为NF+MF+MN＝NF+MN+2a+MF'≥NF+NF'+2a＝2NF+2√3，当且仅当F'，N，M三点共线时取等号，而NF=√22+42=2√5，所以△FMN周长为：2√5+2√3，故答案分别为：x 23−y2＝1，2√5+2√3．16．如图，∵底面ABCD为菱形，∴OA⊥OB，∴AB中点N为△AOB的外心，取P A中点M，则MN∥PB，∵PB⊥底面ABCD，∴MN⊥底面ABCD，∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，∵PB＝1，∠APB=π3，∴AP＝2，∴外接球半径为1，体积为43π，故答案为：4π3．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）选①（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ； 由正弦定理可得，（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ， 整理可得，c 2+b 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理可得，cos A =12，即A =13π， （2）∵S =12bcsinA =12×5c ×√32=5√3，∴c ＝4，有c 2+b 2﹣a 2＝bc ，可得a =√21， ∴√21√32=5sinB =4sinC ，故sin B sin C =27×27=57． 18．（1）在各项均不相等的等差数列{a n }的公差设为d ，d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列， 可得a 1a 5＝a 22即1（1+4d ）＝（1+d ）2，解得d ＝2，则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；数列{b n }的前n 项和S n ＝2n +1﹣2，可得b 1＝S 1＝2；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n +1﹣2﹣2n +2＝2n ，对n ＝1也成立， 则b n ＝2n ，n ∈N *； （2）c n ＝2a n+log 2b n ＝22n ﹣1+n ，则前n项和T n＝（2+8+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）=2(1−4n)1−4+12n（n+1）=23（4n﹣1）+12（n2+n）．19．1）证明：取PD的中点N，连接AN，MN，则MN∥CD，MN=12CD，又AB∥CD，AB=12CD，所以MN∥AB，MN＝AB，则四边形ABMN为平行四边形，所以AN∥BM，又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD．由ED＝EA即PD＝P A，及N为PD的中点，∴P A＝AD，可得△P AD为等边三角形，∴∠PDA＝60°，又∠EDC＝150°，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，CD⊂平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD．（2）解：AB∥CD，∴∠PCD为直线PC与AB所成的角，由（1）可得∠PDC＝90°，∴tan∠PCD=PDCD =12，∴CD＝2PD，设PD＝1，则CD＝2，P A＝AD＝AB＝1，取AD的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则D(−12，0，0)，B(12，1，0)，C(−12，2，0)，P(0，0，√32)，∴M(−14，1，√34)， 所以DB →=(1，1，0)，PB →=(12，1，−√32)，BM →=(−34，0，√34)， 设n →=（x ，y ，z ）为平面PBD 的法向量，则{n →⋅DB →=0n →⋅PB →=0，即{x +y =012x +y −√32z =0， 取x ＝3，则n →=(3，3，−√3)为平面PBD 的一个法向量，∵cos ＜n →，BM →＞=n →⋅BM →|n →||BM →|=√21×√32=−2√77， 则直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．20．（1）依题意，设曲线C 上的的坐标为（x ，y ），则x ＞0， 所以√(x −1)2+y 2−x ＝1， 化简得：y 2＝4x ，（x ＞0）；（2）根据题意，直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），联立直线l 和曲线C 的方程{y =k(x −1)y 2=4x 得，k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）所以{x 1+x 2=2k 2+4k 2x 1x 2=1，所以|AB |＝8＝x 1+x 2+2，即2k 2+4k 2=6，解得k＝±1，所以直线l方程为：x+y﹣1＝0或者x﹣y﹣1＝0．21．本小题满分12分）解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．P(X=0)=110×110=1100，P(X=1)=110×15×2=125，P(X=2)=15×15+25×110×2=325，P(X=3)=110×310×2+15×25×2=1150，P(X=4)=25×25+310×15×2=725，P(X=5)=25×310×2=625，P(X=6)=310×310=9100，∴X的分布列为X0123456P110012532511507256259100（Ⅰ）选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P1710011507256259100EY1=17100×7000+1150×9000+725×11000+625×13000+9100×15000=10720（元）．选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P671006259100EY2=67100×10000+625×11000+9100×12000=10420（元）．∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．22．（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ax −1=a−xx，当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，x→0时，f（x）→+∞，而f（1）＝0，故a＜0时，f（x）存在零点，a＝0时，f（x）＝﹣x，（x＞0），显然无零点，a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，故f（x）max＝f（a）＝a（lna﹣1），若f（x）无零点，只需a（lna﹣1）＜0，解得：a＜e，综上，0≤a＜e时，f（x）无零点；（2）a＝1时，f（x）＝lnx﹣x，关于x的方程2x﹣f（x）＝x2+b化为x2﹣3x+lnx+b＝0，令g（x）＝x2﹣3x+lnx+b，（x∈[12，2]），∴g′（x）＝2x﹣3+1x =(2x−1)(x−1)x，令g′（x）＝0，解得x=12或1，令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此时函数g（x）单调递增，令g′（x）＜0，解得12≤x＜1，此时函数g（x）单调递减，∵关于x的方程2x﹣f（x）＝x2+b在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，则{g(12)≥0g(1)＜0g(2)，即{b−54−ln2≥0b−2＜0b−2+ln2≥0，解得：54+ln2≤b＜2，∴实数b的取值范围是[54+ln2，2）证明（3）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x，而f（1）＝﹣1，f（x）﹣f（1）＝lnx﹣x﹣1，由y＝lnx﹣x﹣1，得y′=1−xx，令y′＝0，解得：x＝1，故y＝lnx﹣x﹣1在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故x＝1时，y最大，故f（x）﹣f（1）≤0，即lnx≤x﹣1，∴当x＞1时，lnx＜x﹣1，令x＝1+1n2（n≥2，n∈N*）．则ln（1+1n2）≤1n2依次取n＝2，3，…，n．累加求和可得ln（1+122）+ln（1+132）+…+ln（1+1n2）＜122+132+⋯+1n2，当n≥2时，1n ＜1n(n−1)=1n−1−1n，∴122+132+⋯+1n2＜11×2+12×3+⋯+1n(n−1)=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n＜1，∴ln（1+122）+ln（1+132）+…+ln（1+1n2）＜1＝lne，∴当n≥2，n∈N*时（1+12）（1+13）…（1+1n）＜e．。

2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试数学试题（一)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}20log 16A x N x =∈<<，集合{}220x B x =->，则集合A B I 子集个数是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 2．己知z 为复数，i 为虚数单位，若复数z i z i-+为纯虚数，则z =（ ）A ．2BC ．1D ．23．设p ：a ，b 是正实数，q ：a b +> ）A ．p 是q 的充分条件但不是必要条件B ．p 是q 的必要条件但不是充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ）A ．1910B ．3910C ．3455D ．44555．已知a r ，b r 是两个相互垂直的单位向量，且c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，则b c +=r r （ ）AB C ．D ．2 6．在611x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6- B ．6 C ．24- D ．247．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y ++=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．28．已知奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1C ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1 11．实数x ，y 满足2220x y x ++=，则下列关于1y x -的判断正确的是（ ）A ．1y x -B ．1y x -的最小值为C ．1y x -D ．1y x -的最小值为-12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F BD ⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且13A E EF= D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°13．已知3cos 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______. 14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f 的值为______．15．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C的焦点的距离是______.16．三棱锥P ABC -的4的球面上，PA ⊥平面ABC ，V ABC 是的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______．17．在①21n n S b =-，②14n n b b --=（2n ≥），③12n n b b -=+（2n ≥）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}nb 的首项11b =，其前n 项和为n S ，______，是否存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3sin c B a A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=c 的值. 19．已知ABC ∆的各边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12CE EA =，D 为AB 的三等分点（靠近点A ），（如图（1）），将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --的平面角为90︒，连接1A B ，1A C （如图（2））.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.20．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为11.95σ=≈；②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点12⎛ ⎝⎭，，且离心率e = （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点A B ，，点P 的坐标为()21，，设直线PA 与PB 的倾斜角分别为αβ，，证明：αβπ+=．22．已知函数()()ln m f x m x x m R x=-+∈. (1)讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个极值点12,x x ，不等式()()122212f x f x a x x +<+恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】先求出集合A ，集合B ，由此求出A B I ，从而能求出集合A B I 子集个数.【详解】∵集合{}{}20log 16{|04}1,2,3A x N x x N x =∈<<=∈<<=， 集合{}{}2201x B x x x =->=， {2,3}A B ∴=I .∴集合A B I 子集个数是22＝4.故选：B.【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．C【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，∴复数222222(1)[(1)][(1)]12(1)(1)(1)z i a b i a b i a b i a b ai z i a b i a b a b -+-+--++--===+++++++为纯虚数， 221,0a b a ∴+=≠.||1z ∴==.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3．D【解析】【分析】举例并结合充分必要条件的判断得答案.【详解】解：由a ，b是正实数，不一定得到a b +>，如1a b ==；反之，由a b +>a ，b 是正实数，如1,0a b ==.∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 必要条件.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.4．D【解析】【分析】所有的基本事件个数315C ，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数315C ，其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个， ∴这三个数为勾股数的概率为：31544455P C ==． 故选D ．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题． 5．A【解析】【分析】根据题意可设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===r r r，然后根据c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r即可得出c =r ，这样即可得出b c +r r 的坐标，从而可求出b c +r r 的值.【详解】解：a b ⊥Q r r ，且a r ，b r都是单位向量，∴设(1,0),(0,1),(,)a b c x y ===r r r ，且c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，1x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴c =r，2)b c ∴+=r r ，||b c ∴+=r r 故选：A.【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题. 6．B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出.【详解】 解：通项公式为：161k k k T C x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式211(1)(1)rr r k r r r k r r k k T C x x x C --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令25k r -=，则5,0k r ==.∴含5x 项的系数为05566C C ⋅=. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7．C【解析】【分析】 先求双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，再利用直线互相垂直得()21b a ⨯-=-，代入e =即可. 【详解】 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =，Q 渐近线b y x a = 与直线230x y ++=垂直，得()21b a ⨯-=-，即12b a =，代入2e === 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.8．B【解析】【分析】 根据题意，设()()cos f x g x x =，结合题意求导分析可得函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数()g x 为偶函数，进而将不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭转化为()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得||4x π>，解可得x 的取值范围，即可得答案.【详解】 根据题意，设()()cos f x g x x =，其导数为''2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x+=，又由02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<， 则函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 又由()f x 为定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的偶函数，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-，则函数()g x 为偶函数，()()4()cos ()4cos 4cos 4cos 4f f x f x f x xg x g x x πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇒<⇒<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由()g x 为偶函数且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且其定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则有||4x π>，解得：24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数()()cos f x g x x=，并分析其单调性. 9．ABC 【解析】 【分析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误. 【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确.B.月跑步平均里程不是逐月增加，因此B 不正确；C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 10．AD 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2)3g x x π=+，结合正弦函数的图像和性质可求最值.【详解】将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin(2)3g x x π=+, 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,42333x πππ∴≤+≤sin(2)13x π≤+≤ 故选AD. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题. 11．CD 【解析】 【分析】1yx -的值相当于曲线上的点与定点(1,0)的斜率的最值问题，当过(1,0)的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心(1,0)，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线1yx -的最值. 【详解】由题意可得方程2220x y x ++=为圆心是(1,0)C -，半径为1的圆， 由1yx -为圆上的点与定点(1,0)P 的斜率的值， 设过(1,0)P 点的直线为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心到到直线的距离d r =1=，整理可得231k =解得3k =±，所以[1y x ∈-，即1y x - 故选：CD . 【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．BD 【解析】 【分析】A ，当F 为1BC 中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断；B ，通过1B D ⊥面11A BC ，可判断；C ，设1A F 和1BD 相交于点E ，则11~DE A E FB V V ，根据相似比可判断； D ，F 为1BC 中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断. 【详解】解：对于A 选项，当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为1A 在平面1BDC 上的投影，1O A F ∠为直线1A F 与平面1BDC 所成角，11cos OFO FA F A =∠，当F 为1BC 中点时，1A F 最小，则最大角的余弦值为11132OF A F ==<， 最大角大于60°，即A 错误；对于B 选项，在正方体中，1B D ⊥面11A BC ，又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即B 正确；对于C 选项，当点F 为1BC 中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接1A D 和1B F ，如图所示，因为11~DE A E FB V V，所以1112A EDA EF B F==，即C 错误； 对于D 选项，当F 从B 移至1C 时，异面直线1A F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为1BC 中点时，最小角的正切值为223223=>，最小角大于30°，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题. 13．725【解析】 【分析】 由3cos sin ,cos 225ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得sin θ，从而可求得cos2θ. 【详解】 解：3cos sin 25πθθ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭Q ，3sin 5θ∴=-，27cos 212sin 25θθ∴=-=. 故答案为：725. 【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题. 14．2- 【解析】 【分析】先判断()f x 的周期为4，结合()f x 是奇函数，可得()()()()78111f f f f =-=-=-，从而可得结果. 【详解】因为()()4f x f x +=， 所以()f x 的周期为4. 又因为()f x 是奇函数，所以()()()()78111f f f f =-=-=-，因为()0,2x ∈时，()21f x x =+，所以()21112f =+=，()()712f f =-=-，故答案为-2.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 15．2 2 【解析】 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为2,2 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题. 16．65【解析】 【分析】由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA 的一半，求出PA,，然后利用等体积求点A 到平面PBC 的距离 【详解】△ABC2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R ==,解得h=2,又PBC S ∆=由P ABC A PBC V V --=知'113?2=?33 ，得'65d = 故点A 到平面PBC 的距离为65故答案为65． 【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题 17．见解析 【解析】 【分析】由数列{}n a 为等比数列可得23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①通过1n n n S S b --=，整理可得12n n b b -=，进而可求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；②由14n n b b --=可得数列{}n b 为等比数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；③由12n n b b -=+知数列{}n b 是等差数列，求出数列{}n b 的通项公式，求出n n a b ，利用作差法求最大项即可判断.. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123a =，所以312a a a =， 所以3223a q a ==， 故23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 若选择①，则21n n S b =-，则1121n n S b --=-（2n ≥），两式相减整理得12nn b b -=（2n ≥），又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=所以12142323n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由指数函数的性质知，数列{}n n a b 单调递增，没有最大值， 所以不存在k *∈N ，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择②，则由14n n b b --=（2n ≥），11b =，知数列{}n b 是首项为1，公比为14-的等比数列，所以114n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()12114346nn nn n a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()11124446663nnn n a b ⎛⎫⎛⎫=-⨯-≤⨯≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1n =时取得最大值23. 所以存在1k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立.若选择③，则由12n n b b -=+（2n ≥）知数列{}n b 是公差为2的等差数列. 又11b =，所以21n b n =-.设()2213nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()()112252221213333n n nn n n c c n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以当2n ≤时，1n n c c +>，当3n ≥时，1n n c c +<. 即12345c c c c c <<>>>L所以存在3k =，使得对任意n *∈N ，n n k k a b a b ≤恒成立. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18．（1）tan A =；（2）c =【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出b =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故222b c a +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即b =，Q ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．（1）见解析；（2）存在，52PB = 【解析】 【分析】（1）等边ABC ∆中，由已知得到2AE =，1AD =，由余弦定理算出DE ，从而得到222AD DE AE +=，则AD DE ⊥.结合题意得1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出1A D 平面BCED ； （2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面1A BD 的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可. 【详解】（1）证明：由图（1）可得：2AE =，1AD =，60A =︒.从而DE ==故得222AD DE AE +=，∴AD DE ⊥，BD DE ⊥. ∴1A DDE ⊥，BD DE ⊥，∴1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，又二面角1A DE B --为直二面角，∴190A DB ∠=︒，即1A D DB ⊥， ∵DE DB D ⋂=且DE ，DB ⊂平面BCED ， ∴1A D ⊥平面BCED ；（2）存在，由（1）知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，过P 作PH DE P 交BD 于点H ，设2PB a =（023a ≤≤），则BH a =，PH =，2DH a =-，易知()10,0,1A，()2,0P a -，()E，所以()12,,1PAa =-u u u r. 因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD的一个法向量为()DE =u u u r因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，所以11sin 60PA DE PA DE ⋅︒===u u u v u u u v u u u v u u u v 54a =.∴522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =. 【点睛】本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.20．（1）26.5（2）①0.6826②见解析 【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据Z 服从正态分布()2,N μσ，从而求出(14.5538.45)P Z <<；②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得X 的数学期望.试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布()2,N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．②根据题意得1~4,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为∴()1422E X =⨯=． 21．（1）22182x y +=（2）详见解析【解析】 【分析】(1)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论. 【详解】（1）由题意得2271412a b e ⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪==⎩，解得2282a b ==，，所以椭圆的方程为22182x y C +=：．（2）设直线12l y x m =+：，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去y 得222240x mx m ++-=，2248160m m ∆=-+>， 解得22m -<<．设()()1122A x y B x y ，，，，则21212224x m x m +=-⋅=-x ，x ，由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以2παβ≠，．设直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ，， 则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan B απβ=-=-， 只需证120k k +=， ∵11112y k x -=-，21212y k x -=-，故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+，又1112y x m =+，2212y x m =+， 所以()()()()()()12211221111212121222y x y x x m x x m x ⎛⎫⎛⎫--+--=+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()212122412422410x x m x x m m m m m =⋅+-+--=-+----=，∴120k k +=，αβπ+=． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．(1)见解析；(2)[ln 2,)a ∈+∞【解析】 【分析】(1)根据m 的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可. (2)根据题意，需求()()122212f x f x x x ++的最值，结合(1)可得1212,x x m x x m +==且4m >，于是此式可转化为关于m 的函数，再利用导数求其最值即可. 【详解】（1）由题意得()0,x ∈+∞，()2221m m x mx mf x x x x-+'=--=-， 令()()22,44g x x mx m m m m m =-+∆=-=-.①当04m ≤≤时，()0,0g x ∆≤≥恒成立，则()()0,f x f x '≤在()0+∞，上单调递减. ②当0m <时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=<=<则120,0x x <>，所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '<>单调递增；当2m x ⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()()()0,0,g x f x f x '><单调递减. ③当4m >时，>0∆，函数()g x 与x 轴有两个不同的交点()1212,x x x x <，12120,0,x x m x x m +=>=>则120,0x x >>，所以x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递减；22m m x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增；,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.综上所述：当04m ≤≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减.当0m <时，x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递增；,2m x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.当4m >时，0,2m x ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；x ∈⎝⎭时，()f x 单调递增；x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.（2）由（1）知：4m >时()f x 有两个极值点12,x x ， 且12,x x 为方程20x mx m -+=的两根，1212,.x x m x x m +==()()12112212ln ln m mf x f x m x x m x x x x +=-++-+ ()()12121212ln ln ln m x x m x x x x m m m m m m x x +=-++=-+=.()222212121222x x x x x x m m +=+-=-.所以()()1222212ln ln 22f x f x m m mx x m m m +==+--. 所以ln 2ma m >-在()4,m ∈+∞时恒成立. 令()()ln 42mh m m m =>-，则()()221ln 2m m h m m --'=-. 令()21ln ,m m mϕ=--则()222120mm m m m ϕ-'=-=<， 所以()m ϕ在()4+∞，上单调递减.又()14=12ln 202ϕ--<，所以()0m ϕ<在()4+∞，上恒成立，即2ln 0m m1--<.所以()0h m ¢<. 所以()h m 在()4+∞，上为减函数.所以()()4ln 2h m h <=. 所以ln 2a ≥，即a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.。

高三数学教学质量监测试题考试时间：90分钟；满分：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题（本题共计10道小题，每题5分，共50分) 1．（5分）全称命题“21x R,x x 04∀∈-+≥”的否定是（ ） A ．21,04x R x x ∀∉-+< B ．21,04x R x x ∃∈-+< C ．21,04x R x x ∃∈-+≥D ．21,04x R x x ∀∈-+<2．（5分）设集合{}24A x N x =∈-<<，集合}{220B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．}{24x x -≤< B ．{}2,1,0,1,2,3-- C ．}{21x x -<≤D ．}{0,13．（5分）若，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．（5分）已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f =（ ）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255．（5分）函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设,x y R +∈,且191x y+=,则x y +的最小值为（ ）A ．6B ．12C ．14D ．167．（5分）函数()232=||f x x x -+的单调递增区间是( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞8．（5分）若函数(),y f x =的定义域是[0,4]，则函数()g x =的定义域是（ ）。

A ．(1,8)B ．(1,2)C ．(1,8]D ．(1,2]9．（5分）若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b > B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>10．（5分）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共计4道小题，每题5分，共20分)11．（5分）已知集合{}2,1,0M =--，122xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN =________．12．（5分）已知函数()()2231lg 11x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦________，()f x 的最小值是________.13．（5分）若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21xf x -=-，则当0x <时，()f x =______.14．（5分）若0a >，0b >，()lg lg lg a b a b +=+，则+a b 的最小值为_________．三、解答题（本题共计3道小题，每题10分，共30分) 15．（10分）已知关于x 的不等式ax 2+5x-2>0的解集是{x|12<x<2}。

2020届山东省潍坊市临朐县上学期10月月考高三数学（文）试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}xB y y x ==-≥，则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．[0,1)(3,)+∞ C ．A D ．B2.对于正整数,,,m n p q ，若数列{}n a 为等差数列，则m n p q +=+是m n p q a a a a +=+的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．3()(3,3)f x x x =∈-， B ．()tan f x x = C ．()||f x x x = D ．()ln 2x xe ef x --=4.已知3sin 22cos 2παπαα<<=，，则cos()πα-的值为（ ）A ．13 B ．13-．5.已知x y ，满足约束条件2(1)y xx y x a a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥<⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．3B ．1 C.- 1 D ．不存在 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ）A ．3B ．303 C. -3 D ． -303 7.将函数())f x x π=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象 上所有的点向右平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（ ） A ．[21,22]()k k k Z -+∈ B ．[21,23]()k k k Z ++∈ C. [41,43]()k k k Z ++∈ D ．[42,44]()k k k Z ++∈ 8.在下列区间中函数()243xf x x =-+的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．1(0,)2 C. 3(1,)2 D ．1(,1)29.若101a b c >><<，，则下列不等式错误的是（ ）A ．c c a b >B ．c c ab ba > C. log log a b c c > D ．log log b a a c b c > 10.已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“理想集合”.给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x==；②{(,)|sin }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|lg }M x y y x ==．其中所有“理想集合”的序号是（ ）A.①③ B ．②③ C. ②④ D ．③④第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________ b =__________. 12.已知曲线3ln y x x =-，则其在点(1,3)处的切线方程是_________. 13.若a 为正实数，则当12()a a+的最小值为m 时，不等式2231x x m +-<解集为_________.14.已知数列{}na n是公差为2的等差数列，且18a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时， n 的值为__________.15.已知R 上的不间断函数()g x 满足：①当0x >时，'()0g x <恒成立；②对任意的x R ∈都有()()g x g x -=-.函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有)()f x f x =-成立，当x ∈时，3()3f x x x =-,若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≥-+，对于[3,3]x ∈-恒成立，则a 的取值范围为 ____________.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知命题:p 指数函数(01)xy a a a =>≠且单调递增；命题:q x R ∃∈，2(34)10x a x --+=.若命题 “p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.已知函数()cos (cos )f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()1f C =，433=∆ABC S ,7=c ，求ABC ∆ 的周长.18.（本小题满分12分） 设函数31()2log 1x f x x ax-=+-为奇函数，a 为常数. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性，并写出单调区间；19.（本小题满分12分）设数列{}n a 为递增的等比数列，且123{,,}{-8,-3,-2,0,1,4,9,16,-27}a a a ⊆，数列{}n b 是等差数列，且2n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令2n n n c a b =，求数列{}n c 得前项和数列n S .某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品.根据经验知 道，每台机器产生的次品数p 万件与每台机器的日产量x 万件(412)x ≤≤之间满足关系：20.1125 3.6ln 1p x x =-+.已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.（Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润y 表示为x 的函数； （Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？21.（本小题满分12分） 已知函数2()1(0)1axf x a x =+≠+. （Ⅰ）若函数()f x 图象在点(0,1)处的切线方程为210x y -+=，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）若0a >，2()(1)mxg x x e m =≥-，且对任意的12[0,2]x x ∈，，12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的 取值范围.2020届山东省潍坊市临朐县上学期10月月考高三数学（文）试题参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}xB y y x ==-≥，则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．[0,1)(3,)+∞C ．AD ．B【答案】C考点：1.集合的交并集运算；2.一元二次不等式；3.指数函数的性质.2.对于正整数,,,m n p q ，若数列{}n a 为等差数列，则m n p q +=+是m n p q a a a a +=+的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：充分性：当q p n m +=+时，d n m a d n a d m a a a n m )2(2)1()1(111-++=-++-+=+，而d q p a d q a d p a a a q p )2(2)1()1(111-++=-++-+=+，左右两边相等，即充分条件成立，必要性：但当数列{}n a 为常数数列时，令1=n a 时，5431a a a a +=+，但5431+≠+，故必要条件不成立，综合选B.考点：1.等差数列的性质；2.充分条件和必要条件的定义.【易错点晴】本题主要考查的是等差数列的性质和充分条件和必要条件的定义结合，属于基础易错题，没有考虑等差数列中的一些特殊数列而致错，当等差数列是常数列时，任意两项之和都会相等与下标无关，所以必要性不成立；只要是等差数列，下标之后相等，对应项之和也一定会相等，充分性成立，没有考虑常数数列这一特殊性况是本题易错的主要原因. 3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．3()(3,3)f x x x =∈-， B ．()tan f x x = C ．()||f x x x = D ．()ln 2x xe ef x --=【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，A,B,C,D 都满足为奇函数，但A,B,C 在定义域中都为增函数而不是减函数，故通过排除法，选D ，对D 进行分析，对内层函数x xe ex g -=-)(进行求导可得，0)('>+=-x x e e x g 恒成立，那么内层函数)(x g 在定义域内单调递增，根据复合函数的单调性法则，)(x f 在定义域内为单调递增函数，综合选D.考点：1.复合函数的单调性法则；2.奇函数的定义.【易错点晴】本题主要考查的是函数单调性和奇偶性的判定方法，属于基础易错题，奇偶性的判定首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再判断)(x f 与)(x f -之间的关系，面对复合函数问题，有两种做法：一种是直接对函数进行求导判断其单调性，另一种做法就是已知外层函数的单调性的前提下，判断内层函数的单调性，然后由复合函数的单调性法则最终判断函数的单调性；熟记基本初等函数的性质是解决问题的关键. 4.已知3sin 22cos 2παπαα<<=，，则cos()πα-的值为（ ）A ．13 B ．13-．【答案】C考点：1.二倍角公式的应用；2.三角函数中诱导公式的应用.5.已知x y ，满足约束条件2(1)y xx y x a a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥<⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．3B ．1 C.- 1 D ．不存在 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组对应的平面区域，由y x z +=2得z x y +-=2，平移直线zx y +-=2由图象可知，因为1<a ，所以直线a x =在点)1,1(的左侧，故当直线z x y +-=2经过点)1,1(（直线x y =和2=+y x 的交点），此时z 最大，为3,故选A.考点：线性归划最值问题.6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ）A ．3B ．303 C. -3 D ． -303 【答案】A考点：1.等比数列性质；2.等比数列的前n 项和.7.将函数())f x x π=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象 上所有的点向右平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（ ） A ．[21,22]()k k k Z -+∈ B ．[21,23]()k k k Z ++∈ C. [41,43]()k k k Z ++∈ D ．[42,44]()k k k Z ++∈ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，())f x x π=图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，)2sin(3)22cos(3)(xx x g πππ=-=，由)(232222Z k k xk ∈+≤≤+πππππ,则[41,43]()x k k k Z ∈++∈，故选C ．考点：1.三角函数的拉伸变换；2.三角函数的平移变换；3.三角函数的单调性. 8.在下列区间中函数()243xf x x =-+的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．1(0,)2 C. 3(1,)2 D ．1(,1)2【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，因为x x2,3在其定义域内都为增函数，因此)(x f 在R 上为增函数，通过观察发现01)1(,033)21(>=<-=f f ，那么)(x f 在区间1(,1)2必有零点，故选D ． 考点：1.函数的单调性；2.函数的零点.9.若101a b c >><<，，则下列不等式错误的是（ ）A ．c c a b >B ．c c ab ba > C. log log a b c c > D ．log log b a a c b c > 【答案】D考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.特殊值法.【思路点晴】本题主要考查的是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算），能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案.10.已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“理想集合”.给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x==；②{(,)|sin }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-；④{(,)|lg }M x y y x ==．其中所有“理想集合”的序号是（ ）A.①③ B ．②③ C. ②④ D ．③④ 【答案】B考点：1.平面向量数量积的应用；2.元素与集合的关系；3.数形结合的思想；4.新定义问题的分析能力. 【方法点晴】本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系，数形结合的思想，推理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实质是什么，对于此题而言，通过12120x x y y +=可得出就是在函数的曲线上找任意一个点A 都能找到一个点B ,使得OA OB ⊥成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________ b =__________.1 【解析】试题分析：由题意得，1)42sin(212sin 2cos 2sin cos 22++=++=+πx x x x x ,所以1,2==b A ．考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.14.已知曲线3ln y x x =-，则其在点(1,3)处的切线方程是_________. 【答案】210x y -+=【解析】试题分析：由题意得，xy 13'-=，那么切线的斜率2'1===x y k ，由点斜式可得切线方程为210x y -+=.考点：1.导数的几何意义；2.点斜式求直线方程.15.若a 为正实数，则当12()a a+的最小值为m 时，不等式2231x x m +-<解集为_________.【答案】(3,1)-考点：1.基本不等式的应用；2.指数的性质；3.二元一次不等式的求解. 14.已知数列{}na n是公差为2的等差数列，且18a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时， n 的值为__________.【答案】4或5 【解析】试题分析：由题意得，102)1(28-=-+-=n n na n，则)5(21022-=-=n n n n a n ，当51<<n 时，0<n a ，当0,5==n a n ，当5>n 时，0>n a ，因此当4=n 或5时，n S 取最小值. 考点：1.等差数列的性质；2.数列前n 项和求最小值.【思路点晴】本题主要考查的是等差数列的性质和数列前n 项和求最小值，属于中档题，此类题目的核心思想就是找到值为0的那一项，或者找到符号开始变化的那一项，对于本题首先得根据条件将数列的通项公式{}n a 求出，再观察通项公式{}n a ，发现5,0n n a ==，那么当4n =或5时，n S 取最小值，因此这类题目正确求出数列{}n a 的通项公式，找到值为的那一项是解本题的关键.15.已知R 上的不间断函数()g x 满足：①当0x >时，'()0g x <恒成立；②对任意的x R ∈都有()()g x g x -=-.函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有)()f x f x =-成立，当x ∈时，3()3f x x x =-,若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≥-+，对于[3,3]x ∈-恒成立，则a 的取值范围为 ____________.【答案】(,0][1,)-∞⋃+∞考点：1.利用导数研究函数的单调性，最值；2.函数的奇偶性，周期性；3.函数不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，最值，函数的奇偶性，周期性，函数不等式恒成立问题，属于难题，此类复合函数的问题，主要是要将内层函数和外层函数的性质均弄清楚，由题意可知，()g x 在0x >为单调递减的偶函数，而)(x f 则是周期为T =的周期函数，由三次函数的求导可知，)(x f 在]3,3[-∈x 的最值，结合外层函数的性质，即可得到222a a ≤-+，解出即可，结合函数的单调性将不等式具体化是解此类题目的关键.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知命题:p 指数函数(01)x y a a a =>≠且单调递增；命题:q x R ∃∈，2(34)10x a x --+=.若命题 “p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】)2,1(]32,(⋃-∞．【解析】试题分析：由题意得，命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，得到命题q p ,，一定有一个是真命题，一个为假命题，因此分命题p 为真，命题q 为假和命题q 为真，命题p 为假两种进行讨论，分别利用指数函数和一元二次方程的性质求出命题q p ,成立时的a 的范围求交并集运算即可.试题解析：命题p 为真命题，则1a >.……………………2分命题q 为真命题则2(34)40a --≥，解得23a ≤或2a ≥.………………4分由命题p 或q 为真命题，命题p q 且为假命题，可知命题p q 、恰好一真一假.………………5分考点：1.复合命题的真假；2.指数函数的单调性；3.一元二次方程根的判别式的应用.17.（本小题满分12分）已知函数()cos (cos )f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()1f C =，433=∆ABC S ,7=c ，求ABC ∆ 的周长.【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）74+．【解析】 试题分析：（Ⅰ）使用二倍角公式对()cos (cos )f x x x x =+进行化简即可求出答案；（Ⅱ）利用1)(=C f 可将C 的度数求出，再利用433=∆ABC S 和C 的余弦定理结合，可求出)(b a +的值，进而可求ABC ∆的周长.试题解析：（Ⅰ）2()cos (cos )cos cos f x x x x x x x =+=+…………………1分1cos 12sin(2)222x x x π+=+=++.………………4分 当sin(2)12x π+=-时，()f x 取最小值为12-.………………6分考点：1.余弦定理；2.三角函数的恒等变换；3.解三角形；4.二倍角公式的应用.18.（本小题满分12分） 设函数31()2log 1x f x x ax -=+-为奇函数，a 为常数. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性，并写出单调区间；【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）)1,(--∞，),1(+∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用)()(x f x f -=-即可求解出a 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知31()2log 1x f x x x -=++利用单调性的定义法证明在定义区间)1,(--∞上为单调递增，又因为为奇函数，所以在其对称区间),1(+∞为单调递增.试题解析：（Ⅰ）31()2log 1x f x x ax -=+-为奇函数，∴()()0f x f x -+=对定义域内的任意x 都成立. 即33112log 2log 011x x x x ax ax ----+++=+-对定义域内的任意x 都成立.………………2分 ∴3311log log 11x x ax ax ---=-+-，∴1111x ax ax x ---=+-，∴22211x a x -=-，∴21a =，………………3分解得1a =-或1a =（舍去），所以1a =-.………………6分考点：1.函数奇偶性性质；2.对数函数性质.19.（本小题满分12分）设数列{}n a 为递增的等比数列，且123{,,}{-8,-3,-2,0,1,4,9,16,-27}a a a ⊆，数列{}n b 是等差数列，且 2n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令2n n n c a b =，求数列{}n c 得前项和数列n S .【答案】（Ⅰ）14-=n n a ,)53(21-=n b n ；（Ⅱ）24)2(+∙-=n n n S .试题解析：（Ⅰ）数列{}n a 为递增的等比数列，则其公比为正数， 又123{,,}{-8,-3,-2,0,1,4,9,16,-27}a a a ⊆，∴1231416a a a ===，，，∴14()n n a n N -+=∈，………………3分 设数列{}n b 的公差为d ，由113224a b b a b b =+⎧⎨=+⎩得11221,244,b d b d +=⎧⎨+=⎩，∴13,21,d b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以1(35)2n b n =-.………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1112(35)4(35)42n n n c n n --=-=-，………………7分 又12n n S c c L c =+++，∴0121(2)41444(35)4n n S L n -=-++++-，1234(2)41444(35)4nn S L n =-++++-，………………8分两式相减得01213(2)4343434(35)4n nn S L n --=-++++--14(14)23(35)414n nn --=-+---………………11分 (63)46n n =--.(2)42n n S n =-+．………………12分考点：1.集合的性质；2.等比数列性质；3.等差数列性质；4.利用错位相消的方法求数列前n 项和.20.（本小题满分12分）某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品.根据经验知 道，每台机器产生的次品数p 万件与每台机器的日产量x 万件(412)x ≤≤之间满足关系：20.1125 3.6ln 1p x x =-+.已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏 损1万元.（Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润y 表示为x 的函数；（Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？【答案】（Ⅰ）)124(80609ln 2882≤≤-+-=x x x x y ；（Ⅱ）6=x ,利润最大，最大为446ln 288-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22886018288'6018x x y x x x -+=-+=………………6分26(31048)6(38)(6)x x x x x x ----+-==.令'0y =，可得6x =或83x =-.………………8分从而当46x <<时，'0y >，函数在(4,6)上为增函数；当612x <<时，'0y <，函数在(6,12)上为减函数.………………9分所以当6x =时函数取得极大值即为最大值，当6x =时，2min 60696288ln 680288ln 644y =⨯-⨯+-=-，………………11分所以每台机器的日产量为6万件时，该企业的利润最大，最大利润为288ln 644-（万元）.…………12分考点：导数的实际应用.【方法点晴】本题主要考查的是导数的实际应用求函数的单调区间，进而求最值问题，属于中难度题，对于实际应用题，第一步是读懂题意，抓住题中的等量关系，建立起正确的函数关系，此时函数的定义域要求出来，第二步是对建立起来的函数进行求导，找到导函数的零点，再结合定义域求出函数的最小值或最大值，即为实际应用题的最值，正确建立函数关系式是解此类问题的关键.21.（本小题满分12分） 已知函数2()1(0)1ax f x a x=+≠+. （Ⅰ）若函数()f x 图象在点(0,1)处的切线方程为210x y -+=，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）若0a >，2()(1)mxg x x e m =≥-，且对任意的12[0,2]x x ∈，，12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的 取值范围. 【答案】（Ⅰ）21；（Ⅱ）21)(,2-1)(a x f a x f +==极小极大；（Ⅲ）(,ln 2]-∞-. 试题解析：（Ⅰ）222222(1)2'()(1)(1)a x ax x a ax f x x x +--==++，∴'(0)f a =.………………3分函数()f x 图象在点(0,1)处的切线方程为210x y -+=∴12a =.………………4分（Ⅱ）由题意可知，函数()f x 的定义域为R ， 22222222(1)2(1)(1)(1)'()(1)(1)(1)a x ax x a x a x x f x x x x +---+===+++.………………6分当0a >时，(1,1)x ∈-，'()0f x >，()f x 为增函数(,1)(1,)x ∈-∞-+∞，，'()0f x <，()f x 为减函数，所以()(1)12a f x f =-=-极小，()(1)12a f x f ==+极大.当0a <时，(1,1)x ∈-，'()0f x <，()f x 为减函数，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞，，'()0f x >，()f x 为增函数，所以()(1)12a f x f =-=-极大， ()(1)12a f x f ==+极小.………………8分（Ⅲ）“对任意的12[0,2]x x ∈，，12()()f x g x ≥恒成立”等价于“当0a >时，对任意的12[0,2]x x ∈，，min max ()()f x g x ≥成立”，当0a >时，由（Ⅱ）可知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而()tan f x x =，所以()f x 的最小值为(0)1f =，22'()2(2)mx mx mx g x xe x e m mx x e =+=+，当0m =时，2()g x x =，[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，………………10分当0m ≠时，令'()0g x =得，10x =，22x m =-， （ⅰ）当22m -≥，即10m -≤<时，在[0,2]上'()0g x ≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4mg x g e ==，只需241m e ≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤-.………………11分考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求最值，极值；3.函数不等式恒成立问题；4.分类讨论思想.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义，利用导数求最值，极值，函数不等式恒成立问题，分类讨论思想运用的综合，属于难题，此题（Ⅰ）（Ⅱ）利用导数的几何意义和利用导数求最值，极值，属于基础类题目，按正常思路求导，再分类讨论即可，（Ⅲ）相对而言比较难，对于两个函数不等式恒成立问题，一般有两种思路：一种是一个函数在定义域的值的最大值或最小值与另一个函数在这个定义域的最大值和最小值进行比较，相当于分两个函数求解（注意存在性问题与恒成立问题的不同），另一种思路是将两个函数看成一个函数，构造出一个新的函数利用参变分离的方法求解，一般而言，前一种方法用得比较多，相对比较简单，此类题目，找到正确分类标准是解题的关键.。

山东省潍坊市临朐县2020届高三数学10月阶段性模块监测试题（含解析）2019.10一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3aA =，{},B a b =，若13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A. 11,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,1,3b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】由13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，求出1a =-，13b =，由此能求出A B ． 【详解】集合{1A =，3}a ，{B a =，}b ，13A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，1a ∴=-，13b =， {1A ∴=，1}3，{1B =-，1}3， {1A B ∴=-，1，1}3．故选：C ．【点睛】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题．2.若实数x y >，则（ ） A. 0.50.5log log x y > B. x y >C. 2x xy >D. 22x y >【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性可知x y <，并且x 、y 都大于0，A 选项不成立；当x 、y 都是负数的时候，绝对值符号是相反的，可判断B 错误；举反例，0x =的时候选项C 就不成立了；根据指数函数的单调性可判断选项D 中x y >成立．【详解】A ．对数函数的底数是在0到1之间，所以是减函数，因此x y <，并且要保证真数0>，因此不成立；B ．取1x =-，4y =-，显然不成立；C ．当0x =时，式子不成立；D ．指数函数的底数大于1，所以是增函数，即有x y <，因此成立；故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，结合了对数函数、指数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 3.设随机变量(),7XN μ，若()()24P X P X <=>，则（ ）A. 3μ=，7DX =B. 6μ=，DX =C. 3μ=，7DX =D. 6μ=，7DX =【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布列的性质即可得出． 【详解】随机变量~(,7)X N μ，若(2)(4)P X P X <=>，则3μ=，7DX =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正态分布列的性质，属于容易题． 4.设x ∈R ，则“12x +<”是“lg 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件， 故选：B .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.5.设0x y >>，1x y +=，若1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xy b xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log y c x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质直接求解． 【详解】0x y >>，1x y +=，∴11x>，01xy <<，1111xy y x >>>，∴011()()1y a x x=>=，1()log10xyb xy ==-<，11101log log 1yyylog c x y =>=>=-，∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．故选：C ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．6.设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则下列命题中真命题是（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥B. 若l m ⊥，则αβ⊥C. 若αβ⊥，则l m ⊥D. 若//αβ，则//l m【答案】A 【解析】 【分析】利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可． 【详解】由α，β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，知： 在A 中，l β⊥，则αβ⊥，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A 正确；在B 中，若l m ⊥，不能得到l β⊥，也不能得到m α⊥，所以得不到αβ⊥，故B 错误； 在C 中，若αβ⊥，则l 与m 可能相交、平行或异面，故C 不正确；在D 中，若//αβ，则由面面平行的性质定理得l β//，不一定有//l m ，也可能异面，故D 错误． 故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

山东省潍坊市临朐县2016届高三10月份考试数学（文）一、选择题：共10题1．已知全集U=R,集合A={x|y=log3(x−1)},B={y|y=2x},则(∁U A)∩B=A. B.(0,1] C.(1,+∞) D.(1,2)【答案】B【解析】本题主要考查指对数函数的定义域值域和集合的运算.,∁U A={x|x≤1}，所以(∁U A)∩B={x|0<x≤1},故选B.【备注】注意集合元素是x还是y.2．下列关于命题的说法正确的是A.命题“若x2=1则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件C.命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b都不是有理数”D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】本题主要考查简易逻辑.命题“若p则q”的否定为“若非p则非q”,故选项A不对；当x=−1时x2−5x−6=0成立，故选项B不对；“都是”的否定是“不都是”，故选项C不对，故选D. 【备注】注意“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.3．若a=0.32,b=20.3,c=log0.32,则a,b,c由大到小的关系是A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【答案】B【解析】本题主要考查指对数函数的值域.∵0<0.32<1,.故选B.【备注】多个数量比较大小时经常采用中间值0和1.4．给出下列图象,其中可能为函数f(x)=x4+ax3+cx2+bx+d(a,b,c,d∈R)的图象是A.①③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】本题主要考查导数的应用.∵f(x)=x4+ax3+cx2+bx+d(a,b,c,d∈R)，∴f′(x)=4x3+3a x2+2c x+b,函数f′(x)的零点可能有三个或两个或一个，若有一个零点，如a，b，c都为0时，f'(x)=0的根只有一个，故函数值先负后正，故函数的图象是先减后增，符合条件的只有①,若有两个零点，函数有两个极值点，函数图象必是先减后增再减型，与题意不符，若有三个零点，则函数有三个极值点，函数的单调性是先减后增再减再增型，③符合条件.故选A.【备注】高考必考题，需熟练掌握.5．已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)为偶函数；②在[1,+∞)上为增函数,若x1<0,x2>0,且x1+x2<−2,则f(−x1)与f(−x2)的大小关系是A.f(−x1)=f(−x2)B.f(−x1)<f(−x2)C.f(−x1)>f(−x2)D.无法确定【答案】C【解析】本题主要考查函数的图像和性质.由y=f(x+1)为偶函数可知，f(x+1)的图像关于y 轴对称，函数f(x)的图像关于直线x=1对称，即f(x+2)=f(−x)；因为x1<0,x2>0,且x1+ x2<−2,所以2<2+x2<−x1,所以.f(2+x2)<f(−x1)，即f(−x1)>f(−x2).故选C. 【备注】注意函数性质的综合应用.6．将函数y=cos(2x +φ)的图像沿x 轴向左平移π6个单位后,得到一个奇函数的图像,则φ的取值可能为 A.−π3B.−π6C.π6D.π3【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图像.函数y =cos(2x +φ)的图像沿x 轴向左平移π6个单位后得到函数y =cos(2x +π3+φ)的图像，因为是奇函数，所以π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,当φ=π6时符合题意.故选C.【备注】需熟练掌握函数y =Asin(ωx +φ)的奇偶性的规律.7．已知a =(1,2),b =(0,1),c =(－2,k ),若(a +2b)⊥c ,则k =A.12B.2C.−12D.−2【答案】A【解析】本题主要考查向量的运算.由已知(a +2b )∙c = +2b ∙c =-2+2 + =0，所以k =12，故选A.【备注】难度不大，需熟练掌握.8．已知函数则f(2−log 123)=A.124B.112C.18D.38【答案】A【解析】本题主要考查分段函数和对数的性质.因为-2<log 123<-1,所以3<2−log 123<4,所以f(2−log 123)=f(3−log 123)=(12)3−log 123=183=124.故选A.【备注】需熟练判定对数值的范围.9．函数f(x)=x 3−3bx +3b 在(0,1)内有极小值,则A.b >0B.b <1C.b <12D.0<b <1【答案】D【解析】本题主要考查导数的应用.f ′(x )=3x 2−3b,令f ′(x )=0，得x =0或x =b ,因为函数f(x)=x 3−3bx +3b 在(0,1)内有极小值,所以0<b <1.故选D. 【备注】高考必考题，需熟练掌握.10．设函数y =f (x )在区间D 上的导函数为f ′(x ),f ′(x )在区间D 上的导函数为g (x ).若在区间D上,g (x )＜0恒成立,则称函数f (x )在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 是常数,f(x)=x 412−mx 36−3x 22.若y =f (x )在区间[0,3]上为“凸函数”,则m 的取值范围为A.m >0B.m >2C.m ≤3D.m ≥2【答案】B【解析】本题主要考查导数的定义和应用.f ′(x )=,g (x )=x 2−mx −3,若y =f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”,则x 2−mx −3＜0在区间[0,3]上恒成立,即{−3<0,9−3m −3<0,解得m >2.故选B.【备注】二次函数为高考重点考查内容，需熟练掌握.二、填空题：共5题11．设θ为第四象限角,若tan(θ+π4)=12,则sinθ+2cosθ=________. 【答案】√102【解析】本题主要考查同角三角函数关系式.∵tan (θ+π4)=1+tanθ1−tanθ=12， ∴tanθ=−13；∵θ为第四象限角，∴cosθ =3√1010，sinθ=−√1010，∴sinθ+2cosθ=√102. 【备注】求三角函数值时一定要注意值的符号.12．若函数f(x)={−x +6,x ≤2,3+log a x,x >2,(a >0且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2【解析】本题主要考查分段函数和对数函数的值域.当x ≤2时−x +6≥4，而f(x)的值域是[4,+∞),所以当x >2时，3+log a x ≥4，即log a x ≥1,可知1<a ≤2.【备注】函数是高考重点考查内容，需重视13．如图,已知Rt △ABC 中,点O 为斜边BC 的中点,且AB =8,AC =6,点E 为边AC 上一点,且AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−20,则λ=________.【答案】23【解析】本题主要考查向量的基本运算.=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(36λ−64)=−20,解得λ=23.【备注】难度不大，需熟练掌握.14．设x ,y 均为正数,且1x+1+1y+1=12,则xy 的最小值为___________.【答案】9【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值.由1x+1+1y+1=12整理得xy =x +y +3≥2√xy +3,令t =√xy,则t 2−2t −3≥0,解得t ≥3,即xy ≥9，则xy 的最小值为9.【备注】注意基本不等式中等号成立的条件.15．设函数f(x)的定义域为D ,若任取x 1∈D ,存在唯一的x 2∈D 满足f(x 1)+f(x 2)2=C ,则称C 为y =f(x)在D 上的均值.给出下列五个函数：①y =x ；②y =x 2；③y =4sinx ；④y =lgx ；⑤y =2x . 则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为___________. 【答案】①④【解析】本题主要考查函数的相关知识.对于函数①，对于任意的x 1，有唯一的x 2=4−x 1满足题意，故①对；对于函数②，对于任意的x 1有x 12+x 222=2,x 2=±√4−x 12，不唯一，故②不对；对于函数③，若sinx 1+sinx 22=2,则sinx 2=4−sinx 1，根据三角函数的定义，对于唯一的值sinx 2，有无数x 2与之对应，故③不对；对于函数④，lgx 2=4-，因为对数函数在定义域内是单调函数，所以有唯一的x 2与之对应，故④对；对于函数⑤，若x 1=3，则f (x 1)=8，要使f(x 1)+f(x 2)2=2成立，需要f(x 2)=-4，不成立，故⑤不对. 【备注】函数是高考重点考查内容，需重视. 三、解答题：共6题16．已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2a+b c=cos(A+C)cosC(1)求角C 的大小；(2)若c =2,求使△ABC 面积最大时,a ,b 的值.【答案】(1)∵A +B +C =π，∴cos(A +C)=cos(π−B)=−cosB , 由正弦定理得2a+b c=2sinA+sinBsinC=−cosB cosC,化简得2sinAcosC =−(sinBcosC +cosBsinC)=−sin(B +C)=−sinA , ,.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC ,∴ 4=a 2+b 2−2ab ⋅(−12),即4=a 2+b 2+ab ,又∵a 2+b 2≥2ab,∴4=a 2+b 2+ab ≥2ab +ab =3ab ,∴ ab ≤43 (当且仅当a =b 时成立), ∵ S △ABC =12absinC =√34ab , ∴当 a =b 时,△ABC 面积最大为√33,此时 a =b =2√33, 故当a =b =2√33时,△ABC 的面积最大为√33. 【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形.(1)先利用正弦定理边化角，然后利用三角恒等变形即可求出角C 的值.(2)利用余弦定理即可得到关于边a ,b 的关系式，然后利用基本不等式求出面积最大时a ,b 的值.【备注】利用均值不等式一定要注意等号成立条件.17．设命题p：函数f(x)=lg(ax2−x+116a)的定义域为R,命题q：不等式3x−9x<a对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围；(2)如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围；【答案】(1)若命题p为真,即ax2−x+116a>0恒成立,当a=0时,−x>0不恒成立；当a≠0时,可得{a>0Δ=1−14a2<0,解得a>2.∴实数a的取值范围是(2，+∞).(2)令y=3x−9x=−(3x−12)2+14,由x>0得3x>1,所以3x−9x<0，若命题q为真,则a≥0,由命题“p或q”为真且“p且q”为假,得命题p、q一真一假,当p真q假时,a不存在,当p假q真时,0≤a≤2,综上所述,a的取值范围是[0,2].【解析】本题主要考查简易逻辑和不等式恒成立问题.(1)先把和对数函数有关的定义域问题转化成不等式恒成立问题，分情况讨论即可得到a的取值范围；(2)结合命题“p或q”“p且q”的真假规律即可得到a的取值范围.【备注】(1)中一定要讨论不等式不是二次不等式的情况.18．设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1−2a)x−2>0.【答案】原不等式等价于(ax+1)(x−2)>0,(1)当a=0时,则不等式可化为x−2>0,解得x>2,(2)若a≠0,则方程(ax+1)(x−2)=0的两根分别为2和−1a ,①当a<−12时−1a<2,解不等式得−1a<x<2,②当a=−12时不等式可化为(x−2)2<0,解集为空集,③当−12<a<0时−1a>2,解不等式得2<x<−1a,④当a>0时−1a<2,解不等式得x<−1a或x>2,综上所述,当a<−12时,不等式的解集为{x|−1a<x<2},当a=−12时,不等式的解集为空集,当−12<a<0时,不等式解集{x|2<x<−1a},当a=0时,不等式的解集{x|x>2},当a>0时,不等式的解集{x|x<−1a或x>2}.【解析】本题主要考查解不等式中的分情况讨论.通过对a进行分情况讨论得出两根的大小从而得出不等式的解集.【备注】分情况讨论时一定要做到不重不漏.19．已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.(1)求a的值；(2)记g(x)＝bx2－1,若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素,求b的取值范围.【答案】(1)f'(x)＝4x3－12x2＋2ax,因为f(x)在[0,1]上递增,在[1,2]上递减,所以x＝1是f(x)的极值点,所以f'(1)＝0,即4×13－12×12＋2a×1＝0,解得a＝4,经检验满足题意,所以a＝4.(2)由f(x)＝g(x)可得x2(x2－4x＋4－b)＝0,因为方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素,所以方程x2(x2－4x＋4－b)＝0有三个不相等的实数根,此时x＝0为方程的一实数根,则方程x2－4x＋4－b＝0应有两个不相等的非零实根,所以Δ>0,且4－b≠0,即(－4)2－4(4－b)>0且b≠4,解得b>0且b≠4,所以b的取值范围是(0,4)∪(4,＋∞).【解析】本题主要考查导数的应用.(1)先根据已知得到x＝1是f(x)的极值点,再根据f'(1)＝0得到a的值；(2)根据已知得到一个二次方程，利用Δ即可求出b的取值范围.【备注】高考必考题，需熟练掌握.20．经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2015年“双十一”购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3−2x+1(其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品P万件还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+ 20P)元／件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?【答案】(1)由题意知y=(4+20p)p−x−(10+2p),将p=3−2x+1代入化简得y=16−4x+1−x(0≤x≤a).(2)y′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2.当a≥1时,x∈(0,1)时,y′>0,所以函数y=16−x−4x+1在(0,1)上单调递增,x∈(1,a)时,y′<0,所以函数y=16−x−4x+1在(1,a)上单调递减, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;当a<1时,因为函数y=16−x−4x+1在(0,1)上单调递增,y=16−x−4x+1在[0,a]上单调递增,所以x=a时,函数有最大值.即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大. 综上,当a≥1时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;当a<1时,促销费用投入a万元,厂家的利润最大.(注：当a≥1时,也可：y=17−(4x+1+x+1)≤17−2√4x+1×(x+1)=13,当且仅当4x+1=x+1,即x=1时,上式取等号)注意：厂家盈利是a有应该最大值.【解析】本题主要考查函数与导数的实际应用.(1)可直接列出利润的函数解析式；(2)利用导数分析函数的单调性，可求出利润最大的时刻.【备注】高考常考题，需熟练掌握.21．已知函数f(x)=(ax2+x−1)e x,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a<0,求f(x)的单调区间;(3)若a=−1,函数f(x)的图象与函数g(x)=13x3+12x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围.【答案】(1)当a=1时f(x)=(x2+x−1)e x,所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x−1)e x=(x2+3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e,又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y−e=4e(x−1),即4ex−y−3e=0.(2)f′(x)=(2ax+1)e x+(ax2+x−1)e x=[ax2+(2a+1)x]e x, 当f′(x)=0时x=0或−2a+1a，若−12<a<0,则−2a+1a>0，当x<0或x>−2a+1a时,f′(x)<0,当0<x<−2a+1a时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为[0,−2a+1a],若a=−12,f′(x)=−12x2e x≤0,所以f(x)的单调递减区间为(−∞,+∞).若a<−12,则−2a+1a<0，当x<−2a+1a或x>0时,f′(x)<0,当−2a+1a<a<0时,f′(x)>0.-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为[−2a+1a ,0].(3)由(2)知当a =−1时f(x)=(−x 2+x −1)e x 在(−∞,−1]，[0,+∞)上单调递减,在[−1,0]单调递增,所以f(x)在x =−1处取得极小值f(−1)=−3e , 在x =0处取得极大值f(0)=−1.由g(x)=13x 3+12x 2+m ,得g ′(x)=x 2+x . 当x <−1或x >0时,g ′(x)>0,当−1<x <0时,g ′(x )<0.所以g(x)在(−∞,−1]上单调递增,在[−1,0]单调递减,在[0,+∞)上单调递增.故g(x)在x =−1处取得极大值g(−1)=16+m ,在x =0处取得极小值g(0)=m .因为函数f(x)与函数g(x)的图象有3个不同的交点,所以{f(−1)<g(−1)f (0)>g (0),即{−3e <16+m −1>m, 所以−3e −16<m <−1.【解析】本题主要考查导数的几何意义及在研究函数中的应用.(1)先求f ′(1)为切线斜率，再求即可得到切点坐标，最后代入直线方程的点斜式即可得到切线方程；(2)解方程f ′(x)=0，分情况讨论两根的大小，即可得到不同情况下函数f(x)的单调区间；(3)通过对函数f(x)与函数g(x)的极值的分析即可.【备注】高考重点考查内容，需要熟练掌握.。

2020届山东省新高考质量测评联盟高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log 2B x x =≤，则A B 等于（ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1,2C.{}1,2D.{}0,1【答案】C【解析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{}{}2|log 2|04=≤=<≤B x x x x ，{}1,0,1,2A =-， 所以{}1,2A B =.故选C 【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．命题“1x ∃>，2x x e +≥”的否定形式是（ ） A.1x ∀≤，2x x e +< B.1x ∀>，2x x e +< C.1x ∃>，2x x e +< D.x ∃≤1，2x x e +<【答案】B【解析】根据特称命题的否定是特称命题，可直接写出结果. 【详解】命题“1x ∃>，2x x e +≥”的否定是“1x ∀>，2x x e +<”. 故选B 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，熟记含有一个量词的命题的否定即可，通常只需改写量词和结论即可，属于基础题型.3．总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ） 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A.3 B.19 C.38 D.20【答案】B【解析】根据题意，直接从所给随机数表中读取，即可得出结果. 【详解】由题意，编号为01~50的才是需要的个体； 由随机数表依次可得：41，48，28，19，16，20…… 故第四个个体的编号为19. 故选B 【点睛】本题主要考查随机数表法确定抽取的样本，熟记随机数表法的抽取原则即可，属于基础题型.4．下列函数中是偶函数，且在区间()0,∞+上是减函数的是（ ） A.1y x =+ B.12y x =C.1y x x=+D.3x y -=【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义，排除BC ，由函数单调性，排除A ，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为11-+=+x x ，所以1y x =+是偶函数；又0x >时，1y x =+显然单调递增，不满足题意，排除A ；B 选项，12y x =的定义域为[)0,+∞，所以12y x =是非奇非偶函数，排除B ； C 选项，因为11⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭x x x x ，所以1y x x =+是奇函数，排除C ； D 选项，因为33---=xx，所以3xy -=是偶函数；当又0x >时，3331--⎛⎫== =⎪⎝⎭xxxy ，单调递减，满足题意，D 正确. 故选D 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性判定函数解析式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.5．在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩()286,X N σ~，若已知()80860.36P X <≤=，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（ ） A.0.86 B.0.64C.0.36D.0.14【答案】D【解析】由正态分布的特征，得到()1(8092)922-<≤>=P X P X ，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】 因为()286,X N σ~，()80860.36P X <≤=，所以()1(8092)12(8086)10.72920.14222-<≤-<≤->====P X P X P X .故答案为D 【点睛】本题主要考查正态分布中求指定区间的概率问题，熟记正态分布的特征即可，属于常考题型.6．已知α是第一象限的角，且5cos 13α=，求()sin 4cos 23πααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值为（ ）B.D. 【答案】A【解析】根据题中条件，先求出sin α，再将所求式子化简整理，即可求出结果. 【详解】因为α是第一象限的角，且5cos 13α=，所以12sin 13α==，因此()22sin cos )cos )422cos 23cos 2sin cos πααααααπααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭==+--2217sin cos 3413αα===+. 故选A 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 7．设函数()()()321f x x ax a x a R =++-∈为奇函数，则曲线2()=f x y x在点()1,0处的切线方程为（ ） A.22y x =-+ B.1y x =-+ C.22y x =- D.1y x =-【答案】C【解析】先由函数奇偶性，求出0a =，得到()3f x x x =-，进而得到2()1==-f x y x x x ，对其求导，计算曲线2()=f x y x 在点()1,0处的切线斜率，从而可求出切线方程. 【详解】因为函数()()()321f x x ax a x a R =++-∈为奇函数，所以()()()(1)1111120+=-+-++++-==-f f a a a a a ，故0a =； 所以()3f x x x =-，因此322()1-===-f x x x y x x x x, 所以211'=+y x ， 因此曲线2()=f x y x 在点()1,0处的切线斜率为12x k y ='==， 所以曲线2()=f x y x在点()1,0处的切线方程为2(1),22y x y x =-=-. 故选C 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 8．在空间中，已知l ，m ，n 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（ ） A.若l αβ=，m α，m β⊥，则αβ⊥ B .若m α，n β，αβ∥，则m nC.若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥D.若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn【答案】A【解析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，结合线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A 选项，因为m α，m β⊥，根据面面平行的判定定理，即可得出αβ⊥；A 正确；对于B 选项，若m α，n β，αβ∥，则m n 或mn 、异面；B 错误； 对于C 选项，若m α⊥，αβ⊥，则m β或m β⊂，又n β，所以m n 或m n 、异面或mn 、相交；C 错误； 对于D 选项，若m αβ=，m γ⊥，n m ⊥，则∥γn 或γ⊂n ；D 错误.故选A 【点睛】本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的真假性判断，熟记线线、线面、面面位置关系，以及判定定理与性质定理即可，属于常考题型.9．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为1314cm ~，径粗0.20.3cm ~，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（ ）A.13B.14C.15D.16【答案】D【解析】根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果. 【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数； 因此，用这6根算筹能表示的两位数的个数为16个. 故选D 【点睛】本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型. 10．函数()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】先由函数奇偶性，排除BD ；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】 因为()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，x ∈R 所以()222111111-⎛⎫--⎛⎫-=--=--=-⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭x x x x x xe e ef x x x x e e e 1122211()1111-+-⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅=--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭x x x x xx e e x x x x f x e e ee ， 所以()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭是偶函数，排除BD ；又当0x >时，22110111-<-=++xe ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭x f x x e ， 当0x <时，22110111->-=++x e ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭xf x x e ， 故排除D ，选C. 故答案为C 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型.11．在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 中点，将ADE ∆和BCE ∆分别沿若DE 、EC 翻折，使得A 、B 两点重合，则所形成的立体图形的外接球的表面积是（ ）A.283πB.193πC.9πD.4π【答案】B【解析】根据题意，作出翻折后的几何体，取CD 中点M ，记A C D ∆外接圆圆心为G ，过点G 作⊥NG 平面ACD ，由题中条件得到//NG AE ，记几何体外接球球心为O ，连接,OA OE ，得到12=OG AE ，再由题中数据，即可求出外接球半径，从而可得出球的表面积. 【详解】由题意，作出翻折后的几何体如图所示： 取CD 中点M ，记ACD ∆外接圆圆心为G ，因为在正方形ABCD 中，2===BC AD CD ，所以翻折后，ACD ∆为等边三角形， 则ACD ∆外接圆圆心即是ACD ∆重心，所以、、A G M 三点共线，且23===AG AM ； 过点G 作⊥NG 平面ACD ，记所求几何体外接球球心为O ，外接球半径为r ， 则球心在直线NG 上，连接,OA OE ，则==OA OE r又AE AD ⊥，BE BC ⊥，所以翻折后，EA AD ⊥，EA AC ⊥， 所以EA ⊥平面ACD ，因此//EA NG ， 又==OA OE r ，所以OAE ∆是等腰三角形， 易得111242===OG AE AB ，所以====r OA故所求外接球表面积为21943ππ==S r . 故选B【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积问题，熟记三棱锥的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.12．函数()2321,0log ,0x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数是（ ） A.7 B.5 C.3 D.1【答案】A【解析】根据题意，分别讨论()0f x >，和()0f x ≤两种情况，根据函数解析式，即可求出结果. 【详解】因为()1f f x ⎡⎤=⎣⎦（1）当()0f x >时，由()3log ()1⎡⎤==⎣⎦f f x f x ，解得()3f x =或1()3f x =， 若0x >，则3lo g 3=x 或31log 3=x ，解得27x =或127=x ；或13x 3=或133-=x ； 若0x ≤，则2213-++=x x 或21213-++=x x，解得32-=x ； （2）当()0f x ≤时，由()[]2()2()11⎡⎤=-++=⎣⎦f f x f x f x ，解得()0f x =或()2f x =（舍），所以()0f x =.若0x >，则3log 0=x ，解得1x =； 若0x ≤，则2210-++=x x，解得1x =-综上，方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数是7个.故选A 【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题13．已知函数()2xf x a =-（0a >且1a ≠），则()y f x =的图象恒过的定点的坐标为______. 【答案】()0,1-【解析】由指数函数恒过定点的坐标，即可得出结果. 【详解】因为指数函数xy a =恒过定点(0,1)， 所以()2xf x a =-恒过定点(0,1)-.故答案为()0,1- 【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型. 14．若2x >，则函数342y x x =+-的最小值为______.【答案】8+【解析】根据题意，由基本不等式，即可求出最小值. 【详解】因为3344888822=+=-++≥=+--y x x x x当且仅当3482-=-x x ，即2=x即函数342y x x =+-为8+故答案为8+【点睛】本题主要考查由基本不等式求最小值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.15．如图，在圆柱的轴截面ABCD 中，4AB =，2BC =，1O ，2O 分别为圆柱上下底面的中心，M 为12O O 的中点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为______.【解析】由题意，以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设(,,0)P x y ，用向量的方法，确定点P 形成的轨迹是底面的一条弦，根据圆的弦长公式，即可求出结果. 【详解】以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为4AB =，2BC =，所以(0,2,0)A -，(0,0,1)M ，设(,,0)P x y ， 所以(0,2,1)=AM ，(,,1)=-MP x y ，又AM MP ⊥，所以210⋅=-=AM MP y u u u r u u u r，所以12y =， 即点P 形成的轨迹是，底面上与x 轴平行，且过2O B 靠近点2O 的四等分点的线段（也是底面圆的一条弦）；所以形成的轨迹长度为==【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.16．关于二项式)20201及其展开式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是-1；②该二项展开式中第六项为610072020C x ；③该二项展开式中不含有理项；④当100x =时，)20201除以100的余数是1.其中，正确命题的序号为______.【答案】①④【解析】根据二项展开式的通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为二项式)20201的展开式的第1r +项为()20202120201-+=-r r r rTCx，对于①，当2020=r 时，得到常数项为20211=T ；又二项式)20201的展开式的各项系数和为)202010= ，所以该二项展开式中非常数项的系数和是1-；故①正确； 对于②，因为该二项展开式中第六项为()20205526202051-=-T C x，故②错误；对于③，当20202()-=∈r n n N 时，对应的各项均为有理项；故③错误；对于④，当100x =时，)20220200(1011)-=0202001201912018220182019120192020020202020202020202020202010(1)10(1)...10(1)10(1)10(1)=-+-++-+-+-C C C C C 因为02020012019120173201720202020202010(1)10(1)...10(1)-+-++-C C C 显然是100的倍数，能被100整除，而20182201820191201920200202020202020202010(1)10(1)10(1)-+-+-C C C 1010201910020200110102018100101000202001=⨯⨯-+=⨯⨯+-+10102018100808011001=⨯⨯+=⋅+m ，m N ∈，所以)20201除以100的余数是1. ④正确；故答案为①④ 【点睛】本题主要考查二项展开式的有理项，系数和，以及整除问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.三、解答题17．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<. （1）求实数a ，b 的值； （2）求关于x 的不等式0ax bx c->+（c 为实数）的解集. 【答案】（1）1a =，3b =；（2）①当3c =-时，不等式的解集为{}|3x x ≠；②当3c >-时，不等式的解集为{|x x c <-或}3x >；③当3c <-时，不等式的解集为{|3x x <或}x c >-.【解析】（1）根据题意得到1和b 是方程2430ax x -+=的两个实数根，由韦达定理列出方程组，求解，即可求出结果；（2）先由题意，将不等式化为()()30x x c -+>，分别讨论3c -=，3c -<和3c ->三种情况，即可得出结果. 【详解】（1）因为不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<， 所以1和b 是方程2430ax x -+=的两个实数根，且0a >， 由韦达定理可得41b a =+，且31b a=⨯， 且16120a α=->，0a >， 解得1a =，3b =. （2）关于x 的不等式0ax bx c->+等价于()()0ax b x c -+>， 即()()30x x c -+>，①当3c -=，即3c =-时3x ≠；②当3c -<，即3c >-时x c <-或3x >；③当3c ->，即3c <-时3x <或x c >-， 综上：①当3c =-时，不等式的解集为{}|3x x ≠；②当3c >-时，不等式的解集为{|x x c <-或}3x >； ③当3c <-时，不等式的解集为{|3x x <或}x c >-. 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，以及含参数的不等式的解法，熟记三个二次之间的关系，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 18．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32. 【解析】（1）先将函数化简整理，得到()3cos 2=-f x x ，从而可得出最小正周期； （2）由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）()222sin 4cos 1f x x x =-+()1cos221cos21x x =--++ 3cos2x =-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 于是1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()33,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是-3，最大值是32.【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.19．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩；（2）13k <-.【解析】（1）0x <时，0x ->，由题意，得到()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭，再由奇函数的性质，即可得出结果；（2）先由题意得到()f x 在[)0,+∞上单调递减，根据函数奇偶性，推出()f x 在(),-∞+∞上单调递减，再将不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，转化为2320t t k -->在t R ∈上恒成立，进而可得出结果.【详解】（1）当0x <时，0x ->，则()1332233xx x x f x --+-⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭， 又因为()f x 为奇函数，所以()323xx f x --=+， 所以()323xx f x -=-+，所以()13,02332,03x x x x f x x x ⎧+⎛⎫-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎪-+<⎪⎩. （2）因为当0x ≥时，()1323xx f x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，33+=-x y 也单调递减，因此()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在(],0-∞上单调递减， 所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减，因为()()22220f t t f t k -+-<在t R ∈上恒成立， 所以()()2222f t t f t k -<--，又因为()f x 为奇函数，所以()()2222f t t f k t-<-，所以2222t t k t ->-在t R ∈上恒成立， 即2320t t k -->在t R ∈上恒成立， 所以4120k ∆=+<，即13k <-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及由不等式恒成立求出参数的问题，熟记函数奇偶性的定义，以及函数单调性解不等式即可，属于常考题型. 20．甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立.（1）用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）7144. 【解析】（1）先由题意，得到X 服从二项分布，以及X 的所有可能的取值，求出对应的概率，即可得出分布列与数学期望；（2）先设Y 为乙连续3次答题中答对的次数，由题意得到Y 服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意知2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，()030321103327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1213212121333399P X C ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()2123214142333939P X C ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()33321833327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为数学期望()2323E X =⨯=. （或()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.） （2）设Y 为乙连续3次答题中答对的次数， 由题意知33,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()030331104464P Y C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121331914464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()P M P =（3X =且1Y =）P +（2X =且Y 0=）894172764964144=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列与数学期望，熟记二项分布与分布列的概念，以及二项分布的数学期望即可，属于常考题型.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为3.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为10？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）假设存在点E 满足题意，根据题中条件，先求出AD 的长，再以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，得到()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，分别表示出平面PEB 与平面SAD 的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出13λ=，即可得出结果. 【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()11100n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =u u r，所以121212cos ,7n n n n n n ⋅==10=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【点睛】本题主要考查证明面面平行，以及由二面角的大小求其它量的问题，熟记面面平行的判定定理以及空间向量的方法求二面角的大小即可，属于常考题型.22．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii i i x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-$$.【答案】（1）分布列见解析，252；（2）（i ）13102ˆz x =+；（ii ）20.【解析】（1）根据题意，确定抽样比，得到a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5；所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望；（2）（i ）由最小二乘法，结合题中数据，求出a ，b 的估计值，从而可得回归直线方程；（ii ）由（i ）得到1001313102102yz e x =+=+，所以100ln y x =，设()100ln 4040y x g x x x ==++，用导数的方法求其最值即可.【详解】（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为2511004=， 所以a ，b ，c ，d 的值分别为5，6，9，5.所以这两数和ξ的所有可能的取值为10，11，14，15. 于是()2411106P C ξ===，()2421113P C ξ===， ()2421143P C ξ===，()2411156P C ξ===， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1111251011141563362E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.第 21 页 共 21 页 （2）（i ）因为25x =，4z =，()721700i i x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑， 所以()()()717217017010ˆ0i ii i i x x z z b x x ==--===-∑∑， 即13425ˆ102ˆa z bx =-=-⨯=， 所以z 与x 之间的回归直线方程为13102ˆzx =+. （ii ）因为1001313102102y z e x =+=+， 所以100ln y x =，设()100ln 4040y x g x x x ==++， 则()()2401ln '10040x x g x x +-=+，令()401ln h x x x =+-，()2401'0h x x x=--<在()0,∞+恒成立， 则()y h x =在()0,∞+为减函数，又()200h =，所以当()0,20x ∈时，()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,20上单调递增， 当()20,x ∈+∞时，()0h x <，()'0g x <，所以()g x 在()20,+∞上单调递减， 所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值为20.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，回归直线方程的求法，以及导数的方法求函数的最值问题，熟记离散型随机变量分布列与期望的概念，会用最小二乘法求回归直线系数的估计值，以及导数的应用即可，属于常考题型.。