2014届高考数学一轮复习 第60讲《直线与圆锥曲线的位置关系》热点针对训练 理

第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。

解析几何直线与圆锥曲线的位置关系近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为～左右考试要求：1 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等数学思想方法（2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”题型一直线与圆锥曲线的交点问题OAy xB图631--例1 在平面直角坐标系y x 0中,经过点)2,0且斜率k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点k x y k Q O P O +B A k 2+=kx y k k k k l 2+=kx y 1)2(222=++kx x 0122)21(22=+++kx x k l 024)21(48222>-=+-k k k .2222>-<k k 或k ).,22()22,(+∞⋃--∞),(),,2211y x Q y x QO P O+),(2121y y x x ++,2124221k kx x +=+22)(2121++=+x x k y y ),1,2(),1,0(),0,2(-=B A B QO P O +BA )(22121y y x x +-=+,22=k .2222>-<k k 或k k)0,0(12222>>=-b a by a x 060])2,1()),2(+∞A 1()x b ，B 2()x b ，2214x b +=21221x b =±-，2121x x b S -=212b b -2211b b +-=≤22b =S 1⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x b kx y 22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭2241k b ∆=-+211||1||AB k x x =+-2222411214k b kk -+=+=+O AB d 21||Sd AB ==2||1b d k =+221b k =+42104k k -+=212k =232b =0∆>AB 2622y x =+2622y x =-2622y x =-+2622y x =--122=+by ax 01=-+y x ,22=AB ,22.1322=-y x ),(),,(222211y x P y x P .13,1322222121=-=-y x y x .03))(())((21212121=-+--+y y y y x x x x 21P P 2,42121=+=+y y x x .3)(2)(42121y y x x -=-621=p p k 21P P 0116),2(61=---=-y x x y 即.023=--y x ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0231322y x y x .071262=+-x x ,0764122<⨯⨯-)0,7(1-=x y ，N两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 题型四 有关对称问题解：（1）因为点6221=+=PF PF a 3=a 5221222121=-=∆PF PF F F F PF Rt 中，54222=-=c a b 14922=+y x ()()51222=-++y x ()1,2-M ()().,,,2211y x B y x A21x x ≠1492121=+y x 且1492222=+yx ()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x 对称，所以2,42121=+-=+y y x x 代人错误!得982121=--x x y y 即直线L 的斜率为98，所以直线L 的方程为()即,2981+=-x y 02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意） 法二：()().,,,2211y x B y x A ()()51222=-++y x ()1,2-M ()12++=x k y ()()02736361836942222=-+++++k k x k kx k ,B 关于点M 对称，所以98,29491822221=-=++-=+k kk k x x 解得，所以直线L 的方程为02598=+-y x （经检验，所求直线方程符合题意）易错点：单独求解A,B 两点运算量很大，容易出错采用“设而不求”简单方便 变式与引申4 在平面直角坐标系xOy 中，过定点()p C ,0作直线与抛物线()022>=p py x两点1若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；2是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由本节主要考查：1()0,0==++y x f C C By Ax L ：与圆锥曲线：直线的位置关系可分为，相交，相离，相切对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件2直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍习题6-31 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线=1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为A45 B 5 C 25 D 2 已知P 1,1为椭圆12422=+y x 内一定点，经过P 引一弦，使此弦在P （1，1）点被平分，此弦所在的直线方程3．直线L ：=1,抛物线C:x y 42=，当为何值时L 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点4 直线=1与双曲线32-2=1相交于A 、B 两点（1）当为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上； （2）当为何值时，A 、B 两点在双曲线的两支上； （3）当为何值时，以A 、B 为直径的圆过坐标原点 5．（2022年高考重庆卷·文）如图6-3-3，椭圆的中心为原点0，离心率e=22，一条准线的方程是22x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点2OP OM ON =+、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在定点F，使得与点210x =060ab 060tan ab <060tan ab ≤3C a b a b a ac e 故选,23112222=+≥⎪⎭⎫⎝⎛+=+==()()2211,,,y x B y x ⎩⎨⎧=-+=+01122y x by ax .1,122222121=+=+by ax by ax ()()()()021212121=-++-+y y y y b x x x x a12121-=--x x y y bax x y y =++∴2121bay y c c =2222==b a x y c ca b 2=∴()0122=-+-+b bx x b a ()2242121221212=-+=-+=x x x x x x k AB ()414244221221=+-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+∴b a b b a b x x x x 即31=a 32=b 132322=+y x 72=c 222ba c +=172222=--a y a x ()(),,,,2211y x N y x 17221221=--a y a x 17222222=--a y a x ()()()()2121221212711y y y y a x x x x a -+-=-+,221x x x =+y y y 221=+32-=x 351-=-=x y 12121=--=x x y y k 22=a 15222=-y x 6-3-1N (0)N p -，1122()()A x y B x y ，，，AB y kx p =+22x py =22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．y 22220x pkx p --=122x x pk +=2122x x p =-12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·2121212()4p x x p x x x x =-=+-222224822p p k p p k =+=+∴k =2min ()22ABN S p =△l y a =6-3-2AC O 'l AC P Q PQ ，H O H PQ '⊥Q '1122x y p +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222111111()222O P AC x y p y p '==+-=+∵111222y p O H a a y p +'=-=--222PH O P O H''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦02p a -=2p a =PQ p =l 2py =12AB x =-==2=d =112222ABN S d AB p ===△···∴k=2min ()ABN S =△l y a =AC11(0)()()()0x x x y p y y -----=y a=211()()0x x x a p a y -+--=21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△lAC3344()()P x y Q x y ，，，34PQ x x =-==02pa -=2p a =PQ p =l 2p y =12222=-b y a x x a b y =21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩210b x x a -+=2()40b a -=2b a=2c e a a ====)1(1-=-x k y 11,y x 22,(y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)1(122y x x k y y)12(2)1(4)12222=--+--+k k x k k x k 212)1(421221=++-=+x x k k k x x 又21212)1(42-==+-k k k k 得)1(211--=-x y 032=-+y x k11,y x 22,(y x 124,12422222121=+=+yx y x 02))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x 2,22121=+=+y y x x 0)(22121=-+-y y x x 212121-=--=x x y y k 032),1(211=-+--=-y x x y 即l214y kx y x=+⎧⎨=⎩01)42(22=+-+x k x k 14x =1y =l1,41l)1(1616164)42(22--=+-=--k k k k 0∆>l l 0∆=l l 0∆<l l l l l y kx x y =+-=⎧⎨⎩13122()322022---=k x kx 302-≠k ∆=+->⇒-<<4830662()k k k ≠±3x x k 1220230>-->即∴<-k 3k >3-<<66k ∴∈--⋃k ()6336，（，）x x 120<∴∈-k ()33，),(11y x A ),(22y x B 22132k kx x -=+22132k x x --=OBOA ⊥02121=+y y x x 01)()1(21212=++++x x k x x k 1±=k 22,22,2c a e a c===2222,2,2a cb ac ===-=221.42x y +=1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y 2OP OM ON=+112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222121212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-。

第十单元 解析几何第60讲 直线与圆锥曲线的位置关系1.过点(0,2)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条解析：易知y 轴与抛物线切于原点满足条件；直线y ＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x 轴上方，故这样的直线有3条．选C .2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( A ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定3.(2013·湖北省武昌区元月调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( A )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即b a <tan 60°＝3， 所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b a2<2， 即1＜e ＜2，故选A . 4.(2012·安徽卷)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( C )A .22B . 2C .322D ．2 2 解析：设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13. 又m ＝2＋m cos (π－θ)⇔m ＝21＋cos θ＝32， △AOB 的面积为S ＝12·|OF|·|AB|sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322，故选C . 5.(2012·长春市第四次调研)若椭圆x 23＋y 2m＝1与直线x ＋2y －2＝0有两个不同的交点，则m 的取值范围是 (14，3)∪(3，＋∞) .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 2m＝1x ＋2y －2＝0消去x 并整理得 (3＋4m)y 2－8my ＋m ＝0，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m≠3m>0Δ＝64m 2－4m 4m ＋3>0，解得14<m<3或m>3. 6.(2012·浙江省杭州市5月份押题)过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，|AB|＝3，且AB 中点的纵坐标为12，则p 的值为 3±54. 解析：设直线方程为x ＝my ＋p 2， 代入抛物线方程得y 2－2mpy －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝2mp ＝1y A y B ＝－p 2， 又|AB|＝1＋m 2·y A ＋y B2－4y A ·y B＝1＋m 2·1＋4p 2， 即⎩⎨⎧ 2mp ＝11＋m 2·1＋4p 2＝3⇒p ＝3±54. 7.(2012·安徽省蚌埠市3月第二次质检)已知两定点M(－2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y＝x ＋1；②y＝3x ＋2；③y＝－x ＋3；④y＝－2x.其中是“A 型直线”的序号是 ①③ .解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.8.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，C 是线段AB 的中点．若|AB|＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入椭圆的方程并作差，得a(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a.又|AB|＝2|x 2－x 1|＝22，即|x 2－x 1|＝2，其中x 1、x 2是方程(a ＋b)x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，则|x 2－x 1|2＝(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入，得a ＝13，b ＝23， 所以所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.9.(2013·西城二模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解析：(1)依题意F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2，② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24， 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ，因为2S △AOB ＝2×12·|OF|·|y 1－y 2| ＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2.所以m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。

第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,3弦长问题6,9,10,12中点弦问题2,4,11 直线与圆锥曲线的综合问题5,7,8,13,14,15基础对点练(建议用时:25分钟)1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( D )(A)1 (B)1或3(C)0 (D)1或0解析:由得k2x2+(4k-8)x+4=0,若k=0,则x=,y=2,符合题意,若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1.所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1.故选D.2.直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是( A )(A)(B)(C)(D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,作差得+=0,即+=0,两边同时除以x1-x2,即+·=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,=-,代入得+=0,所以=,所以e=.故选A.3.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( C )(A)(1,) (B)(1,](C)(,+∞) (D)[,+∞)解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2,所以e==>=.故选C.4.已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A,B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-,则的值为( A ) (A)-(B)-(C)-(D)-解析:由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有a+b=0,①a+b=0,②由①-②得,a(-)=-b(-).即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2),由题意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,所以·=-.设AB的中点为M(x0,y0),则k OM====-,又知k AB=-1,所以-×(-1)=-,所以=-.故选A.5.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k等于( D )(A)(B)(C) (D)2解析:由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4,①由⇒因为·=0,所以(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0.所以(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④由①②③④解得k=2.故选D.6.(2018·石家庄市重点班摸底)已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l:y=(x-1),l与C交于A,B两点,若|AB|=,则p= .解析:由消去y,得3x2-(2p+6)x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|=2=2=,解得p=2.答案:27.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为. 解析:c=5,设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y=(x-5),即4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程,求得y B=-,则S=×(5-3)×=.答案:8.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是.解析:抛物线x2=2py是关于x的二次函数y=x2,其导函数为y′=,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则切线MA的方程是y-y 1=(x-x1),即y=x-.又点M(2,-2p)位于直线MA上,于是有-2p=×2-,即-4x 1-4p2=0;同理有-4x 2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,则x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得,y1+y2=12,即==12,=12,解得p=1或p=2.答案:1或2能力提升练(建议用时:25分钟)9. F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x 轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于( A ) (A) (B)(C) (D)解析:因为MF⊥x轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M(2,),设l MN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到l MN的距离d==1,解得k=(负值舍去).又因为⇒即N(,-),所以|NF|==.故选A.10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于A,B 两点,过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=,则|AB|为( D )(A)2 (B)3 (C)5 (D)6解析:抛物线C的焦点F(1,0),准线为x=-1,由题意可知直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=.设点P的坐标为(x0,y0),可得y0===(k·-2k)=,x0==,可得P(,),因为|PF|=,所以=,解得k2=2,因此x1+x2=4,根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=4+2=6.故选D.11.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且线段MN的中点在抛物线y2=18x上,则实数m的值为.解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为P(x0,y0),则由②-①得(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),显然x1≠x2,所以·=3,即k MN·=3.因为M,N关于直线y=x+m对称,所以k MN=-1,所以y0=-3x0.又y 0=x0+m,所以P(-,),将其代入抛物线方程,得m2=18×(-), 解得m=0或m=-8,经检验都符合题意.答案:0或-812.(2018·辽宁省辽南协作校模拟)已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|<|BF|,则|AF|= .解析:法一由题意可得直线AB的斜率一定存在,设为k,则直线AB:y=k(x-2),代入抛物线方程整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|<|BF|,得x1<x2,则|AB|=x1+x2+p=+8=16,k2=1,则x2-12x+4=0,x 1=6-4,则|AF|=x 1+=6-4+2=8-4.法二p=4,由|AB|=16,即|AF|+|BF|=16,得|BF|=16-|AF|,又+=,所以+=,所以|AF|2-16|AF|+32=0,解得|AF|=8-4或|AF|=8+4(舍去).答案:8-413.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点(1,),离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当△F2AB的面积为时,求直线的方程.解:(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点(1,),所以+=1,①又因为离心率为,所以=,所以=.②解①②得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为+=1.(2)当直线的倾斜角为时,A(-1,),B(-1,-),=|AB|·|F 1F2|=×3×2=3≠.当直线的倾斜角不为时,设直线方程为y=k(x+1), 代入+=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以=|y 1-y2|×|F1F2|=|k|=|k|==,所以17k4+k2-18=0,解得k2=1(k2=-舍去),所以k=±1,所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.14.(2018·山西省八校联考)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使得PB2⊥QB2,求直线l的方程. 解:(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因为△AB1B2是直角三角形,且|AB1|=|AB2|,所以∠B1AB2=90°,因此|OA|=|OB 2|,得b=.由c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故=·|B 1B2|·|OA|=|OB 2|·|OA|=·b=b2.由题设条件=4得b2=4,所以a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程并整理得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1·y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=--+16=-,由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线l有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.15.(2018·广州市普高综合测试)已知O为坐标原点,点R(0,2),F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,|RF|=3|OF|.(1)求抛物线C的方程;(2)过点R的直线l与抛物线C相交于A,B两点,与直线y=-2交于点M,抛物线C在点A,B处的切线分别记为l1,l2,l1与l2交于点N,若△MON 是等腰三角形,求直线l的方程.解:(1)因为F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,所以点F的坐标为(0,).因为点R(0,2),|RF|=3|OF|,所以|2-|=3×,解得p=1或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为x2=2y.(2)法一依题意,设直线l的方程为y=kx+2(k≠0),由解得所以点M(-,-2).由消去y得x2-2kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k,x1x2=-4.由y=,得y′=x,则抛物线C在点A处的切线l1的方程为y-y1=x1(x-x1),由于点A在抛物线C上,则y1=,所以l1的方程为y=x1x-.①同理可得l2的方程为y=x2x-.②由①②及根与系数的关系得即点N的坐标为(k,-2).所以k OM·k ON=×(-)=-1,则OM⊥ON.又△MON是等腰三角形,所以|OM|=|ON|,即+4=k2+4,解得k=±2.所以直线l的方程为y=2x+2或y=-2x+2.法二由于点A,B在抛物线C上,设A(x1,),B(x2,), 由题易知|x1|≠|x2|,则直线l的方程为y=x+2=x+2.令y=-2,得x=-,所以点M(-,-2).由消去y,得x2-(x1+x2)x-4=0,则x1x2=-4,由y=,得y′=x,则抛物线C在点A处的切线l1的方程为y-=x1(x-x1),所以l1的方程为y=x1x-.①同理可得l2的方程为y=x2x-.②由①②及根与系数的关系得x=,y=-2, 所以点N(,-2),所以·=-×+(-2)×(-2)=0, 则OM⊥ON.又△MON是等腰三角形,所以|OM|=|ON|,即(-)2+4=()2+4,解得x1+x2=±4,所以直线l的方程为y=2x+2或y=-2x+2.好题天天练(建议用时:10分钟)1.抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则△ABM的周长为( B )(A)+ (B)9+(C)9+(D)+解析:令y=1,得x=,即A(,1).由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F,设直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则x A x B=1,所以x B==4.|AB|=x A+x B+p=.将x=4代入y2=4x得y=±4,故B(4,-4).故|MB|==.故△ABM的周长为|MA|+|MB|+|AB|=(3-)++=9+.故选B.2.(2018·辽宁省辽南协作校模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,顶点(0,-b)到直线+=1的距离为,椭圆E内接四边形ABCD(点A,B,C,D在椭圆上)的对角线AC,BD相交于点P(2-,1-),且=,=.(1)求椭圆E的标准方程;(2)求△ABC的面积.解:(1)由题意,知解得所以椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)设点A(x 1,y1),有+=1.①因为=,且P(2-,1-),所以点C的坐标为(1-x1,-y1).因为点C在椭圆E上,所以将点C的坐标代入+y2=1中,得+4-2x 1-4y1-4=0.②由①,②得x1+2y1=0.设点B(x2,y2),同理可得x2+2y2=0.因为A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程x+2y=0, 所以直线AB的方程为x+2y=0.设点C(x,y),解得代入x1+2y1=0得x+2y-2=0,同理点D也满足方程x+2y-2=0,所以直线CD的方程为x+2y-2=0,联立得x2=2,y2=,则可得|AB|=,显然CD∥AB,则C到直线AB的距离为, 所以△ABC2。

9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一 直线与圆锥曲线交点问题【例1】若曲线y2＝ax 与直线y ＝（a ＋1）x －1恰有一个公共点，求实数a 的值。

【解析】联立方程组⎩⎨⎧=-+=,,1)1(2ax y x a y（1)当a ＝0时,方程组恰有一组解为⎩⎨⎧==;0,1y x (2)当a≠0时，消去x 得错误!y2－y －1＝0，①若错误!＝0，即a ＝－1,方程变为一元一次方程－y －1＝0,方程组恰有一组解⎩⎨⎧-=-=;1,1y x②若错误!≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋错误!＝0，解得a ＝－错误!，这时直线与曲线相切,只有一个公共点.综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－错误!。

【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a ≠0,解答过程中的失误就是不讨论二次项系数a a 1+＝0，即a ＝－1的可能性,从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下:①当a ＝0时，曲线y2＝ax,即直线y ＝0，此时与已知直线y ＝x －1 恰有交点(1，0）；②当a ＝－1时，直线y ＝－1与抛物线的对称轴平行,恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零）；③当a ＝－45时直线与抛物线相切。

【变式训练1】若直线y ＝kx －1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A 。

｛1，－1，错误!，－错误!} B.（－∞,－错误!]∪[错误!，＋∞）C 。

（－∞，－1］∪［1，＋∞)D 。

（－∞，－1）∪[错误!，＋∞)【解析】由⎩⎨⎧=--=4,122y x kx y ⇒（1－k2)x2－2kx －5＝0， ⎩⎨⎧=≠-0,112Δk ⇒k ＝±错误!，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题【例2】(2013辽宁模拟)设椭圆C:错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,直线l 的倾斜角为60°，AF ＝2FB 。