线性代数卷子A
- 格式:doc
- 大小:268.00 KB
- 文档页数:3
线性代数试题(A )一、选择题:(每小题3分,共18分)2、2、A 、B 均为n 阶方阵,则以下表达正确的是__ _ (A ) AB=BA (B ) AB=0,则A=0或B=0 (C ) ()111---=B A AB (D ) ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则(A )A 中没有等于零的1-r 阶子式 (B )A 中至少有一个r 阶子式不等于零 (C )A 中有不等于零的1+r 阶子式 (D )A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ,且b a T A = 则4A =(A ) 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211(B )÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 (C )9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题:(每小题4分,共20分)1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时,向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
线性代数(A 卷)一﹑选择题(每小题3分,共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A )AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D )A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C ) n s - (D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ (B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭(D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A ) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B )A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D )A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ;2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5。
设A 为正交矩阵,则A = ;6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ; 7。
《线性代数A 》试题(A 卷)试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数考试时间:学号:姓名:3的一组标准正交基,=___________《线性代数A》参考答案(A卷)一、单项选择题(每小题3分,共30分)二、填空题(每小题3分,共18分)1、 256;2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭; 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭; 4、; 5、 4; 6、 2 。
三. 解:因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法:231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――(6分)所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――(8分)四.解:对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得:1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――(5分)从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα,故秩12345{,,,,}ααααα=2(8分)且3122ααα=-,4123ααα=+,5122ααα=--――――(10分) 五.解:对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换:221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――(5分) (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――(6分)(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭(分)故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――(12分)六.解:(1)由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-(二重特征值),36λ=。
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间(120分钟)一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。
每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1、设A ,B 为n 阶方阵,满足等式0=AB,则必有( ) (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ; (C )0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B +=++,则必有( ) (A) A E =; (B)B E =; (C ) A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵,齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( )(A) A 的列向量线性无关; (B) A 的列向量线性相关; (C ) A 的行向量线性无关; (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是( ) (A) A 的秩小于n ; (B) 0A ≠;(C) A 的特征值都等于零; (D) A 的特征值都不等于零; 二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-,A *是A 的伴随矩阵,则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵,且220A A E --=,则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解,则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是 。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题(A卷)试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数学号:______ 姓名:______题号得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分,共30分)1.设A经过初等行变换变为B,则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B);(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=,则(C)。
A) A中有一行元素全为零;(B) A中必有一行为其余行的线性组合;(C) A有两行(列)元素对应成比例;(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是(A)A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O;(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s;(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为()。
11;(C) -1;(D)。
(A) 1;(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于()。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4;(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4);(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4;(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b,则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O,In为n阶单位矩阵,则A=−A−3In。
(C)9.设A,B是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
海南大学2012-2013学年度第二学期试卷科目:(工科类)《线性代数》试题(A 卷)姓名: 学 号: 学院: 专业班级:时限: 120 分钟 考试形式:闭卷笔试所有试卷均配有答题纸,考生应将答案写在答题纸上,写在试卷上一律无效大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题:(每题3分,共15分)1.行列式0100002000034000=_____-24_____2. 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵A *的行列式为0___3. 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,若m n >,则AB =____0___4.若n 元齐次线性方程组AX O =有n 个线性无关的解向量,则A =O5. 设三阶方阵A 有三个特征值1232,3,λλλ==,若 A =24,则3λ=4二、填空题(每题3分,共15分)1. 设A 为n 阶方阵,且AX O =有非零解,则矩阵A 必有一个特征值为( C )(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 无法确定得分 阅卷教师得分 阅卷教师2. 设矩阵A 、B 都为n 阶方阵A =2,B =-3,则13A B *-=( D )(A) 6 (B) 6n (C) -6 (D) 16n --3.若可逆方阵A 满足2A A = ,则 A =( A )(A)1 (B) 0 (C) -1 (D)无法确定4. 设三阶行列式D 的第三行元素依次是1、-1、1,它们的代数余子式依次是2、8、-5,则D =( B ) (A ) 11 (B) -11 (C) 5 (D)-55. n 元非齐次线性方程组AX β=有解,其中A 为(1)n n +⨯的矩阵,则A β=( A )(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 无法确定三 、计算题(14分)求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。
线性代数试题(A 卷)一、单项选择题1.如果将n 阶行列式中所有元素都变号,该行列式的值的变化情况为( ) (A) 不变; (B)变号;(C)若n 为奇数,行列式变号;若n 为偶数,行列式不变; (D)若n 为奇数,行列式不变;若n 为偶数,行列式变号. 2.设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则( ) (A)0λ可以是任意一个数; (B)00>λ; (C)00≠λ; (D) 00<λ.3.设Ax=b 是一非齐次线性方程组,1η和2η是其任意2个解,则下列结论错误的是( )(A) 12ηη+是Ax=0的一个解; (B) 121122ηη+是Ax=b 的一个解;(C) 12ηη-是Ax=0的一个解;(D) 122ηη-是Ax=b 的一个解.4. 若1112α=-(,,),2764α=(,,),3000α=(,,),则向量组123,,ααα是( )(A) 线性相关; (B) 线性无关;(C) 可能线性相关,可能线性无关; (D) 秩123(,,)3ααα=.5.设100020004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值为 ( )(A) 1,1,2 ; (B) 1,2,2 ; (C) 1,2,4 ; (D) 2,4,4.二、填空题(每小题4分,本大题共20分) 1. 排列32514的逆序数为 .2. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A ,则矩阵=3A . 3. 设3阶方阵A 的元素全为1,则秩(A )为 .4.二次型12(,)f x x =22112264x x x x ++的矩阵是 .5.实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值全是 .三、(本题10分)计算行列式ef cf bf de cd bd aeac ab ---.四、(本题10分)求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵.五、(本题12分) 求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.六、(本题12分)求三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值及特征向量,并判断A 是否与对角形矩阵相似?七、(本题8分)设321,,ααα线性无关,证明3213221,,ααααααα++++也线性无关. 八、(本题8分)证明:若A 为n n ⨯阶非零矩阵,则秩(A )=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.参考答案和评分标准一、单项选择题(每小题4分,本大题共20分) 1.C ; 2.C ; 3. A ; 4. A ; 5. C 二、填空题(每小题4分,本大题共20分)1. 5 ;2、4444⎛⎫⎪⎝⎭;3. 1 ;4.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4331 ;5.正数. 三、(本题10分)计算行列式efcf bf de cdbd aeacab ---.解:ef cfbf de cdbd aeac ab ---=ec b e c bec b adf ---……….…….…..…………(3分) =111111111---adfbce ……………………………………………………………………………….(6分) =abcdef 4……….………………………………………………………....……(10分)四、(本题10分)求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025的逆矩阵. 解:,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..(3分) ,5221111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………(5分),8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…(7分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 8 5-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…(10分) 五、(本题12分) 求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-211117847246373542432143214321x x x x x x x x x x x x 通解.解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000175100172021211117847246373542A ………………………..(4分) 于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ,42,x x 为自由未知量……………………..………..(8分) 所以方程组的通解为:21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….(12分) 六、(本题12分)解:A 的特征方程为2134011||----+=-λλλλA E =0)1)(2(2=--λλ,……………..………....(2分)故A 的特征值为21=λ,132==λλ. ……………..………………….……..(5分)(1) 对于特征值21=λ,得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-0040312121x x x x x ,它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100, 所以属于特征值2的全部特征向量为,100⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k (0≠k ).………..…….(7分)(2) 对于特征值132==λλ,得到齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-002402312121x x x x x x ,它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121,所以属于特征值1的全部特征向量为,121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k (0≠k ).………...(9分)因此A 不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….(12分) 七、(本题8分)设321,,ααα线性无关,证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明:设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ,………..…….(2分) 则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k , ……………….(4分)321,,ααα 线性无关,⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ,0321===∴k k k ……….….(6分)所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….(8分) 八、(本题8分) 证明:若A 为n n ⨯阶非零矩阵,则秩(A )=1的充分必要条件是A 可写为一列向量与一行向量的积.证明:必要性:因为秩(A )=1,所以存在可逆矩阵P 和Q ,使得10010000(100)0000PAQ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.……………………..….(2分)得到11)001(001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A=)(2121n n b b b a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011 P ,)(21n b b b =1)001(-Q 。
线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇:线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一.填空题(本题满分12分,每小题3分)⎛1-20 0 -25 -111、1;2、-3;3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪;4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题(本题满分12分,每小题3分,.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1.C;2.C;3.A;4、B 三.计算行列式(本题满分6分)解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四.(本题满分12分)解:⑴ 由等式A+B=AB,得A+B-AB+E=E,即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆,而且(A-E)=B-E.2分-1⑵ 由⑴知,A-E=(B-E),即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五.(本题满分14分)解:110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以,⑴ 当a≠1时,rA=r(A)=4,此时线性方程组有唯一解.2分⑵ 当a=1,b≠-1时,r(A)=2,rA=3,此时线性方程组无解.2分⑶ 当a=1,b=-1时,rA=r(A)=2,此时线性方程组有无穷多组解.2分此时,原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此,原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六.(本题满分12分)3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ),2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2,解方程组(A-2E)x=0,由A-2E=-101⎪,得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3,解方程组(A-3E)x=0,由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪,⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量,所以不能对角化.2分七.(本题满分12分)⎛1λ解:f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪.…………2分 4⎪⎭因此,二次型f为正定二次型.⇔矩阵A为正定矩阵.⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零.…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0,D2=1λ=4-λ2,…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2).…………2分 44-12所以,二次型f 为正定二次型.⇔D2=4-λ2>0,且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0,得-2<λ<2 .由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0,得-2<λ<1 .因此,得-2<λ<1 .即,二次型f为正定二次型.⇔-2<λ<1…………4分八.(本题满分8分)已知三维向量空间的一组基为α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1)求向量β=(2,0,0)在上述基下的坐标.解:设向量β在基(α1,α2,α3)下的坐标为(x1,x2,x3),则有x1α1+x2α2+x3α3=β,2分写成线性方程组的形式,有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0,⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1,x2=1,x3=-1,3分,1,-1).1分因此所求坐标为(1九.(本题满分12分)证法1:记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β),显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关,知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关,知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m,1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
线性代数a期末考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 以下哪个矩阵是可逆的?A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案:B2. 矩阵的秩是指:A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案:C3. 如果一个矩阵A的行列式为0,则:A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案:B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质?A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案:迹2. 如果一个向量组线性无关,则该向量组的________等于向量的个数。
答案:秩3. 对于一个n阶方阵A,如果存在一个非零向量x使得Ax=0,则称x为矩阵A的________。
答案:零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案:秩三、解答题(每题10分,共60分)1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\],求A的行列式。
答案:\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\],B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\],求AB。
答案:\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\],求A的特征值。
线性代数A卷试卷+答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《线性代数》期末考试题A 题一、 填空题 (将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分) 1、设1D =3512, 2D =345510200,则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、,已知A =116,且=B ()1-12A 2A --,则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,且32B=A -5A ,则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =,若其中E 是单位阵,那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=,()21,2,3α=,()31,3,t α=线性相关,则t=_____________。
二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案的番号填入下表内,1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立,则x 是(A )-2或3; (B )-3或2; (C )-2或-3; (D )3或2; 2、设A 、B 均为n 阶方阵,则下列正确的公式为(A )()332233A B+3AB +B A B A +=+; (B )()()22A B A+B =A B --; (C )()()2A E=A E A+E --; (D )()222AB =A B 3、设A 为可逆n 阶方阵,则()**A =(A )A E ; (B )A ;(C )n A A ; (D )2n A A -;4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵(A )100002⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B )100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭; (C )011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (D )010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;5、下列命题正确的是(A )如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=,则1,α2α,,m α 线性无关;(B )向量组1,α2α,,m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示,则1,α2α,,m α线性相关;(C )向量组1,α2α,,m α 的一个部分组线性相关,则原向量组本身线性相关;(D )向量组1,α2α,,m α线性相关,则每一个向量都可由其余向量线性表示。
2011-2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 (A )评阅人:_____________ 总分人:______________一、单项选择题。
(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.设1111011x x x xx x++=+,则实数x =A .1 ;B .-1;C .0;D .4. 2.设A 为n 阶方阵,则kA =A .A k n; B. A k ; C. A k ; D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵,且AB =O ,则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ; B. A ,B 都不可逆;C. A +B =O ;D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A .()456; B.123456⎛⎫⎪⎝⎭; C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( ) A. A 2必为1; B. A 必为1; C. T A A=-1; D. A 的行(列)向量组是正交单位向量组.6.设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0,则下列结论中正确的是( )A.若Ax =0仅有零解,则Ax =b 有唯一解;B.若Ax =0有非零解,则Ax =b 有无穷多解;C.若Ax =b 有无穷多解,则Ax =0仅有零解;D.若Ax =b 有唯一解,则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………(密)………………………………(封)………………………………(线)………………………………27.已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值,则1-A 有一特征值是( )A.49; B. 94; C. 13; D. 19 .8.设n 维向量α与β满足α,β()=0,则有( )A. α,β 全为零向量;B. α,β中至少有一个是零向量;C. α与β的对应分量成比例;D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价,则有( )A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵,()()R A s s n =<,则此方程组基础解系的秩为A .m s - ; B. s n - ; C. n s - ; D. m n -.二、填空题。
河南工业大学成教学院课程 线性代数 试卷专业班级: 卷A姓 名: 学 号:注:(1)不得在密封线以下书写班级、姓名。
(2)必须在密封线以下答题,不得另外加纸。
………………………………………密 封 线 ………………………………………………………一 .单项选择题(每题3分)1.若 111221226a a a a =,则 121122212020021a a a a -- 的值为( A )(A )12 (B) –12 (C) 18 (D) 02.设A 、B 都是n 阶矩阵,且AB=0,则下列一定成立的是( C )(A )A=0或B=0 (B) A 、B 都不可逆(C )A 、B 中至少有一个不可逆 (D )A+B=03. 若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩仅有零解,则( B )(A) 4k =或1K =- (B) K= 4-或K=1(C) 4K ≠且1K ≠- (D) 4K ≠-且1k ≠4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵,则AB 的伴随矩阵()*AB =( D )(A) A B ** (B) 11||AB A B -- (C) 11B A -- (D) B A **5.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是(D )(A )r n = (B ) r n ≥ (C ) r n > (D )r n <二 .填空题(每题3分)1.行列式 12342345_______32005000= 1602.若n n ⨯阶矩阵A 的行列式|A|=3,A *是A 的伴随矩阵,则A *__3^n-1____3. A 为n n ⨯阶矩阵,且2320A A E -+=,则1A -=______4. n1100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦___1__(n 为正整数)5. 设1101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则1(2A)________=-三.计算题(共63分)1. 计算行列式12n12n 12nb a a a a b a a a a b a +++(12分)解:r2-r1、r3=r1、...ri-r1、...rn-r1D=|b+a1 a2 a3 ....................... an|-b b 0 0-b 0 b 0.............................-b 0 0 .......................... bc1+c2+c3+...+cj+...+cn=|b+a1+a2+...+an a2 ............... an|0 b ................. 0 ......................................0 0 .................... b=(b+Σai)*[b^(n-1)]=b^n+[b^(n-1)]*(a1+a2+...+an)2.3411231100250013A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求1A-(12分)3 41 12 5解:令B= ,C= ,D= ,则原矩阵可以写为分块2 3 -1 1 1 3B C B ^-1 -B ^-1CD^-1 矩阵的形式A= ,它的逆矩阵易得为A^-1=0 D 0 D ^-1而利用伴随矩阵与逆矩阵的关系可以直接得到3 -4 3 -4B^-1=1/ B B *=1×=-2 3 -2 32 -53 -5D^-1=1/ D D *=1×=-1 3 -1 2-15 38计算可得-B^-1CD^-1=11 -283 -4 -22 37-2 3 16 -27所以A^-1= 0 0 3 -50 0 -1 23.求解齐次线性方程组1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩.(15分)解:基础解系为:1 2 2 1 2 2 1 0 -2 -5/32 1 -2 -2 -3 -6 -4 1 2 4/3 1 -1 -4 -3 0 0 0 0 0 0通解为:X12k1+5/3k2 2 5/3X=k1ξ1+ k2ξ2= X2 = -2k1-4/3k2 =k1 -2 +k2 -4/3X3 k1 1 0X4 k2 0 14.设211210111A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,311342B⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦求解矩阵方程XA B=(12分)解:5. 计算矩阵3112322140511135524aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为3,求a (12分)解:r4-r2,r1-r3,r2-2r30 1 1 a-1 -20 2 1 -1 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r1-r4,r2-2r40 0 -1 a-5 -20 0 -3 -9 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r3*(-1/3), r1+r20 0 0 a-2 00 0 1 3 21 0 1 1 50 1 2 4 0交换行1 0 1 1 50 1 2 4 00 0 1 3 20 0 0 a-2 0因为 r(A)=3, 所以 a = 2.四.证明题(7分)设32=,证明5A E+可逆,并求1A E+(7分)A E-(5)解:(A+5E)【1/127(A^2-5A+25E)】=1/127(A+5E)(A^2-5A+25E)=1/127(A^3+5A^2-5A^2-25A+25A+125E)=1/127(A^3+125E)由于A^3=2E,所以1/127(A^3+125E)=1/127(127E)=E,所以(A+5E)可逆,且(A+5E)^-1=1/127(A^2-5A+25E)。
(线性代数) ( A 卷)专业年级: 学号: 姓名:一、单项选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件;(D) 无关条件。
2.已知为四维列向量组,且行列式 ,32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ,则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ;(B) ;(C) ;(D) 。
4016-3-40-3.设向量组线性无关,且可由向量组线s ααα,,, 21)2(≥s s βββ,,, 21性表示,则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关;s βββ,,, 21(B) 对任一个,向量组线性相关;j αs j ββα,,, 2(C) 存在一个,向量组线性无关;j αs j ββα,,, 2(D) 向量组与向量组等价。
s ααα,,, 21s βββ,,, 214.对于元齐次线性方程组,以下命题中,正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关,则有非零解;A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关,则有非零解;A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关,则有非零解;A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关,则有非零解。
A 0=Ax 5.设为阶非奇异矩阵,为的伴随矩阵,则A n )2(>n *A A 题 号一二三总 分总分人复分人得 分得分评卷人√√(A) ;(B) ;A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ;(D) 。
111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)请在每小题的空格中填上正确答案。
(线性代数) ( A 卷)专业年级: 学号: 姓名:一、单项选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件。
2.已知32121,,,,αααββ为四维列向量组,且行列式 4,,,1321-==βαααA ,1,,,2321-==βαααB ,则行列式 =+B A(A) 40; (B) 16-; (C) 3-; (D) 40-。
3.设向量组s ααα,,,21)2(≥s 线性无关,且可由向量组s βββ,,, 21线 性表示,则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ,,,21线性无关; (B) 对任一个j α,向量组s j ββα,,,2线性相关; (C) 存在一个j α,向量组s j ββα,,,2线性无关; (D) 向量组s ααα,,,21与向量组s βββ,,, 21等价。
4.对于n 元齐次线性方程组0=Ax ,以下命题中,正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (B) 若A 的行向量组线性无关,则0=Ax 有非零解; (C) 若A 的列向量组线性相关,则0=Ax 有非零解; (D) 若A 的行向量组线性相关,则0=Ax 有非零解。
5.设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ,*A 为A 的伴随矩阵,则√√(A) A A A 11||)(-*-=; (B) A A A ||)(1=*-;(C) 111||)(--*-=A A A ; (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ= ,a = ,b = 。
《线性代数》期末试卷 (综合卷)一、填空与选择题(本题满分30分,每空3分)1. 如果矩阵1232636A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭正定,则x 的取值范围是( 9x > ).2. 设3阶方阵11133112k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,若存在3阶非零方阵B ,使得=0AB ,则k =( 3- ),方阵B 的秩()R =B ( 1 ),=B ( 0 ).3. 行列式10010010a bab a b ab a b aba b++=++( 432234a a b a b ab b ++++ ).4. 已知线性方程组()12312312321232320x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩无解,则=a ( -1 ).5. 设3阶方阵A 相似于方阵B ,若A 有特征值1,1,2,-,则+=B E ( -4 ).6. 已知123,,ααα线性相关,而234,,ααα线性无关,则1234,,,αααα中 (4α )不能用另外3个向量线性表示.7. 如果123,,ξξξ是向量组A 的极大无关组,则:( A )也是向量组A 的极大无关组. (A )122331,,ξξξξξξ+++ (B )1223321,,2ξξξξξξξ++++ (C )1213321,,23ξξξξξξξ++++ (D )1323321,,32ξξξξξξξ++++ 8. 123,,,αααβ线性无关,而123,,,αααγ线性相关,则( D ).(A) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (B) 123,,,αααβγ+c 线性无关. (C) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (D)123,,,αααβγ+c 线性无关.二、 (本题满分10分) 已知矩阵430210001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,3阶方阵B 满足()1*--=-B E A E ,求1-B . 解:()()()()1*---=--B E B E B E A E ,()()**---=B A E E A E E ,()**-=B A E A ,()**-=B A A EA A A ,()-=B A E A A E ,又2=A ,于是()22-=B E A E ,()122-=BE A E ,从而 ()131021112102223002-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B E A E A =。
河海大学2018-2019学年第一学期期末考试《线性代数》试题(A)卷姓名:_______班级:_______学号:_______成绩:_______一、填空题(每空4分,共20分)1、已知A 为3阶方阵,且2A =-,则2A -=。
2、方阵A 的特征值为λ,方阵E A A B 322-+=,则B 的特征值为。
3、设A 为n 阶方阵,满足2A A E -=,则1A -=。
4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解,且A 的秩()R A 1=-n ,则Ax b =的通解x =。
5、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为,正定性为。
二、判断题(每小题2分,共10分)1、B A ,为n 阶方阵则BA AB =()2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵,则b Ax =有无穷多解。
()3、向量组1A 是向量组A 的一部分,向量组1A 线性无关,则向量组A 一定线性相关;()4、设21,λλ是方阵A 的特征值,则21λλ+也是方阵A 的特征值。
()5、4个3维向量一定线性相关。
()三、计算:(每小题8分,共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ,求4131211122A A A A +++.2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试判断A 是否可逆。
若可逆,求1-A ,若不可逆,求A 的伴随矩阵A *四、计算:(每小题10分,共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。
2、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解,求a ,并求全部解。
五、(10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα的线性相关性,并求它的一个最大无关组,并用最大无关组表示该组中其它向量。
《线性代数 A 》试题( A 卷)试卷类型:闭卷考试时间: 120 分钟考试科目:线性代数考试时间:学号:姓名:题号一二三四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每题 3 分,共30 分)1.设A 经过初等行变换变成 B ,则() .(下边的r (A), r (B) 分别表示矩阵A, B 的秩)。
( A)r ( A)r (B) ;(B)r ( A)r (B);(C )r ( A)r (B) ;(D )没法判断r (A)与 r (B)之间的关系。
2 .设A 为n ( n2) 阶方阵且| A |0,则()。
(A) A 中有一行元素全为零;( B) A 有两行(列)元素对应成比率;(C )3. 设A, B A 中必有一行为其他行的线性组合;( D ) A 的任一行为其他行的线性组合。
是 n 阶矩阵(n 2 ),AB O ,则以下结论必定正确的选项是: ()(A)A O或BO;(B)(C )(D )B的每个行向量都是齐次线性方程组BA O;R( A) R(B)n.AX =O的解 .4 .以下不是n维向量组1, 2 ,...,s线性没关的充足必需条件是()( A)存在一组不全为零的数k 1 ,k 2 ,..., k s 使得 k 1 1 k 22... k ssO ;( B) 不存在一组不全为零的数k 1 ,k 2 ,..., k s 使得 k 11k2 2...ks sO(C ) 1,2 ,..., s 的秩等于 s ; (D )1,2 ,...,s中随意一个向量都不可以用其他向量线性表示1 a a ... aa 1 a ... a5 .设 n 阶矩阵 (n3) A . . .. . ,若矩阵 A 的秩为 n1,则 a 必为()。
. . . . .a a a (1)( A)1;( B)1 ; (C );( D )1 .1 n 1n 1a 1 0 0b 16 .四阶队列式0 a 2 b 2 0 的值等于( )。
A 卷
一、选择题 (每题3分,共30分)
1、2≥n 时,n 个数码组成的所有n 级排列中,偶排列的个数有 【 】
A 、
2
!
n B 、!n C 、n D 、2
)
1(-n n
2、设A ,B ,C 均为n 阶矩阵,则必有 【 】 A 、AC AB = 则 C B = B 、0=AB ,则0=A 或0=B
C 、T
T
T
B A AB =)( D 、2
2
))((B A B A B A -=-+
3、设A 为n 阶矩阵,且2A =,*A 是A 的伴随矩阵,则*A 是 【 】
A 、2
B 、1
2
C 、12n -
D 、2n
4、向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关的充要条件是 【 】
A 、s ααα,,,21 中至少有一个零向量
B 、s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例
C 、s ααα,,,21 中有一个向量是其余向量的线性组合
D 、s ααα,,,21 中任意一个向量都不是其余向量的线性组合
5、设A 为n 阶矩阵,P 为可逆矩阵,B PA =,则 【 】 A 、)()(A r B r < B 、)()(A r B r = C 、)()(A r B r > D 、n B r =)(
6、A 为m n ⨯矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是
【 】
A 、(,)R A b m <
B 、()R A m <
C 、()(,)R A R A b n ==
D 、()(,)R A R A b n =<
7、如果13332
31232221
13
1211
==a a a a a a a a a D ,11
11121312121222331
3132
33
463463463a a a a D a a a a a a a a -=--, 则1D 等于 【 】
A 、8
B 、-12
C 、24
D 、-24
8、设矩阵A 的秩为r ,则A 中 【 】
A 、 所有1r -阶子式都不为0
B 、 所有r 阶子式都不为0
C 、 所有r 阶子式都为0
D 、 至少有一个r 阶子式不为0 9、设齐次线性方程组0Ax =的任意两个解为1η和2η,则下列结论正确的是 【 】
A 、21ηη+是0=Ax 的解
B 、 21ηη+是b Ax =的解
C 、 12k ηη+是Ax b =的解
D 、 21ηη-是b Ax =的解
10、设向量组A 能由向量组B 线性表示,则 【 】
A 、)()(A R
B R ≤ B 、)()(A R B R <
C 、)()(A R B R =
D 、)()(A R B R ≥
二、填空题 (每题3分,共24分)
1、排列6573412的逆序数是_________________。
2、多项式21
1
()12
x
f x x x
x x
-=--中,2x 的系数是_________________。
3、设A 为3阶矩阵,且4=A ,则=--12A _________________。
4、n 元齐次线性方程组0=⨯x A n m 只有零解的充要条件是__________。
5、设1
121021003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
,则_________A *= 。
6、设向量(1,2,1)T
α=--,β=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22λ正交,则λ= 。
7、已知矩阵=A 112213101⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,则A 的秩=)(A r _________________。
8、向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0112α,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1323α的一个极大无关组是_____________。
三、1、(10分)计算n 阶行列式:
22221
=
D 2222
2
22322
21
2
22
-n
n 2
222
2、(10分).已知矩阵方程AX A X =+,求矩阵X ,其中
220213010A ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭ 3、(10分)设矩阵⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=023
010852-35-70
3-2738
12A ,求矩阵A 的秩,并求一个最高阶非零子式.
4、(10分)用基础解系表示线性方程组12341234
12342342323883295234
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩的全部解.
5、(6分)设11b a =, 212b a a =+ , , 12r r b a a a =+++ , 且向量组r a a a ,,,21 线性无关,
证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.。