(浙江专用)2018年高考数学总复习 第五章 平面向量、复数 第4讲 数系的扩充与复数的引入课时作业

一、选择题1．(2016·杭州第二次教学质量检测)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2.若AP →＝16AD →＋56AB →，则|BC →＋tPB →|(t ∈R )的取值范围是( )A ．[55，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[55，1]D ．[1，＋∞)2．(2016·嘉兴市高三教学测试(一))如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →等于( ) A ．1 B ．2C ．tD ．2t3．如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →等于( ) A ．13B ．7C ．5D ．34．(2016·湖北七校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(23，1)C ．(0，13)D ．(13，23)5．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心6．(2016·衢州4月高三教学质量检测)正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝EA ，CF ＝2FB ，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P ，使得PE →·PF →＝λ成立，那么λ的取值范围为( ) A ．(－3，－14)B ．(－3,3)C ．(－14，3)D ．(3,12)二、填空题7．(2016·绍兴高三教学质量检测)在△ABC 中，BC ＝6，M 1，M 2分别为边BC ，AC 的中点，AM 1与BM 2相交于点G ，BC 的垂直平分线与AB 交于点N ，且NG →·NC →－N G →·NB →＝6，则BA →·BC →＝________.8．在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则OC →·(BA →＋2BC →)＝________.9．如图所示，在半径为1的扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．10．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OD →的取值范围是________．11．(2016·湖南师大附中月考四)如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且AC →＝3AE →，P 为BE 上一点，且满足AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则1n ＋3m＋3的最小值为________． 12．(2016·浙江杭州萧山中学期中)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．答案解析1．A2．A [因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AC →|·|AD →|cos ∠CAD －|AC →|·|AB →|cos ∠CAB .又因为AC 为圆的直径，所以∠ADC ＝∠ABC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝|AD →||AC →|，cos ∠CAB ＝|AB →||AC →|，则AC →·BD →＝|AD →|2－|AB →|2＝t ＋2－(t ＋1)＝1，故选A.]3．C [连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.]4．C [因为O 在线段CD 上，且BD →＝2DC →，设BO →＝λBC →，且23<λ<1，则AO →－AB →＝λ(AC →－AB →)，即AO →＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)．故选C.]5．B [OB →＝OA →＋AB →，OC →＝OA →＋AC →. 若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0， 则 (a ＋b ＋c )OA →＋bAB →＋cAC →＝0， 得AO →＝bc a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∵AB →|AB →|与AC →|AC →|分别为AB →和AC →方向上的单位向量，设AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则AP 平分∠BAC .又AO →、AP →共线，∴AO 平分∠BAC .同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，从而O 是△ABC 的内心．]6．C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系如图所示，则设E (－3,3)，F (3,2)，所以EF ＝37，设P (x ，y )，则由λ＝PE →·PF →＝(PE →＋PF →)2－(PE →－PF →)24＝4x 2＋(2y －5)2－|EF →|24，整理得x 2＋(y －52)2＝λ＋374，所以P 在以(0，52)为圆心，半径为λ＋374的圆上运动，要使正方形与圆有6个交点，需满足AB ，BC 与圆相交，CD 与圆相离，所以52<λ＋374，3<λ＋374，72>λ＋374，解得－14<λ<3，故选C.]7．36解析 N G →·NC →－NG →·NB →＝NG →·(NC →－NB →)＝N G →·BC →＝(NM 1→＋M 1G →)·BC →＝NM 1→·BC →＋M 1G →·BC →＝6.因为NM 1⊥BC ，所以NM 1→·BC →＝0，所以M 1G →·BC →＝6.由题意知G 是△ABC 的重心，所以M 1G →＝13M 1A →，则BA →·BC →＝(BM 1→＋M 1A →)·BC→＝BM 1→·BC →＋M 1A →·BC →＝12BC →2＋3M 1G →·BC →＝12×62＋3×6＝36.8．40解析 由OA →＋3OB →＋4OC →＝0，得(OC →＋CA →)＋3(OC →＋CB →)＋4OC →＝0，即得OC →＝－18(CA →＋3CB →)．又BA →＋2BC →＝CA →＋3BC →＝CA →－3CB →，则OC →·(BA →＋2BC →)＝－18(CA →＋3CB →)·(CA →－3CB →)＝18×(9CB →2－CA →2)＝40. 9．－116解析 ∵OP →＝OB →＋BP →，∴OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋|BP →|2.又∵∠AOB ＝60°，OA ＝OB ＝1，∴∠OBA ＝60°.∴OB →·BP →＝|BP →|cos120°＝－12|BP →|，∴OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2 －116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时取等号． 10．[1,3]解析 设∠OBA ＝α，则0°≤α<90°.此时|OA →|＝2sin α，|OB →|＝2cos α，且向量OA →与AD →的夹角为α，向量OB →与BC →的夹角为90°－α. 又OC →＝OB →＋BC →，OD →＝OA →＋AD →，且OA →⊥OB →，AD →＝BC →，则OC →·OD →＝(OB →＋BC →)·(OA →＋AD →)，即OC →·OD →＝OB →·OA →＋OB →·AD →＋BC →·OA →＋BC →·AD →＝OB →·AD →＋BC →·OA →＋1＝OB →·BC →＋AD →·OA →＋1＝|OB →|×|BC →|×cos(90°－α)＋|OA →|×|AD →|×cos α＋1＝2cos α·sin α＋2sin αcos α＋1＝2sin 2α＋1.而0°≤2α<180°，则0≤sin 2α≤1，故1≤2sin 2α＋1≤3，即OC →·OD →的取值范围是[1,3]． 11．15解析 根据题意，得AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →.因为B ，P ，E 三点共线，所以m ＋3n ＝1，从而有1n ＋3m ＝(m ＋3n )·(1n ＋3m )＝3＋3＋m n ＋9n m ≥6＋29＝12，当且仅当m n ＝9n m ，即m ＝12，n＝16时取等号，所以1n ＋3m ＋3的最小值是12＋3＝15. 12．3解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)，AP →＝(x －1，y ＋1)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ， 解得⎩⎨⎧λ＝23x －13y －1，μ＝－13x ＋23y ＋1.∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴点P 的坐标满足不等式组⎩⎨⎧1≤23x －13y －1≤2，0≤－13x ＋23y ＋1≤1.作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的平行四边形CDEF 及其内部，其中C (4,2)，D (6,3)，E (5,1)，F (3,0)． ∵|CF →|＝(3－4)2＋(0－2)2＝5，点E (5,1)到直线CF ：2x －y －6＝0的距离为d ＝|2×5－1－6|5＝355，∴平行四边形CDEF 的面积为S ＝|C F →|×d ＝5×355＝3，即动点P 构成的平面区域D 的面积为3.。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第1课时 平面向量在几何中的应用教师用书1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·浙江名校协作体联考)若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A. 3 B ．－ 3 C. 6 D ．－ 6答案 B解析 由题意得|2a ＋b |2＝4|a |2＋4|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝16＋8|b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝4，则cos 〈a ，b 〉＝－|b |2－128|b |＝－(|b |8＋32|b |)≤－2|b |8·32|b |＝－32，当且仅当|b |＝23时等号成立，所以向量a 在向量b 方向上投影的最大值是|a |cos 〈a ，b 〉＝－ 3. 4．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.第1课时 平面向量在几何中的应用题型一 向量在平面几何中的应用 命题点1 向量和平面几何知识的综合例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)12(2)5解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2取最小值25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 命题点2 三角形的“四心”例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 A解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？ 答案 D解析 由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，从而AP →·BC →＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C )＝λ·|AB →|·|BC →－B|AB →|cos B ＋λ·|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP → ⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心． 命题点3 平面向量数量积与余弦定理例3 (2016·杭州二模)在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →＝6，则BC 等于( )A ．213B ．10C ．237D ．14答案 A解析 由题意，知DE ＝AE ，DF ＝AF ， ∵DE →·DF →＝|DE →|·|DF →|·cos∠EDF ＝|DE →|·|DF →|·|DE →|2＋|DF →|2－|EF →|22|DE →|·|DF →|＝|AE →|2＋|AF →|2－|EF →|22＝16＋9－|EF →|22＝6，∴|EF →|＝13，∴BC ＝213.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形(2)(2016·宁波八校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．答案 (1)A (2)1－32解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的角平分线．因为(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)cos∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝2＋615， ∴sin∠BAC ＝2－315，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin∠BAC ＝1－32.题型二 向量在解析几何中的应用 命题点1 向量与解析几何知识的综合例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即yx＝± 3. 命题点2 轨迹问题例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1. (2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝x 2＋(y －1)2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19， 当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19；PE ·PF 的最小值为12－4 3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(1)(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________．(2)(2016·温州一模)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P →|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±55x B ．y ＝±12xC ．y ＝±32x D ．y ＝±33x 答案 (1)－92(2)B解析 (1)∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，PO →·PC →最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.(2)由(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，可得|F 1P →|＝|F 1F 2→|＝2c ，则点P (x ，y )(x >0，y >0)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋c 2＋y 2＝4c 2，x －c2＋y 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c －a 24c，y ＝a 16c 2－a24c.又F 2P →＝5F 2Q →，解得Q (c －a 220c ，a 16c 2－a 220c)，又Q 在双曲线C 上，代入双曲线方程化简得80c 4－168a 2c 2＋85a 4＝0，则(4c 2－5a 2)(20c 2－17a 2)＝0，又c >a ，所以4c 2－5a 2＝0,4(a 2＋b 2)－5a 2＝0，则a ＝2b ，则双曲线C 的渐近线方程为y＝±b a x ＝±12x ，故选B.11．函数与方程思想在向量中的应用典例 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______．(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.思想方法指导 求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解． 解析 (1)因为b ≠0，所以b ＝x e 1＋y e 2，x ≠0或y ≠0. 当x ＝0，y ≠0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋3xy ， |x |2|b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝1y 2x 2＋3·yx＋1， 不妨设y x ＝t ，则|x |2|b |2＝1t 2＋3t ＋1，当t ＝－32时，t 2＋3t ＋1取得最小值14， 此时|x |2|b |2取得最大值4，所以|x ||b |的最大值为2.综上，|x ||b |的最大值为2.(2)由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)AC →＝0，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)(AD →＋12AB →)＝0，得(14λ＋34μ－1)AB →＋(λ＋μ2)AD →＝0.又因为AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案 (1)2 (2)451．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3. 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．5．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积等于12m |a －b |＝|a －b |＝|a ＋2a |，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和等于|98a |＋|2a |≥2 98|a |×2|a |＝3，当且仅当98|a |＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B.6. 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析 分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D (43，43)，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)与△ABC 的重心D (43，43)共线，所以4343＋x ＝43－－x 43－4，解得x ＝43.7．(2016·杭州模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.8．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD的面积为________． 答案 4解析 由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →， 所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)， 即BD →＝4DC →.所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|， 所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.9．已知直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和上顶点D ，若BF 1→·AD →＝0，则该椭圆的离心率e ＝________.答案255解析 因为直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ， 所以A (－1,0)，B (0，－2)，易知F 1(－c,0)，D (0，b )， 所以BF 1→＝(－c,2)，AD →＝(1，b )． 因为BF 1→·AD →＝0，所以－c ＋2b ＝0，所以b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12， 所以a 2c 2＝54，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝255.10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，因为|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到线段AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为[π6，5π6]．11．(2016·嘉兴第二次教学测试) 如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为R (12<R <33)，点A在BD 下方的圆弧上，则(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →的最小值为________．答案 －12解析 因为(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →＝(AO →－AC →|AC →|)·AC →＝12|AC →|2－|AC →|＝12(|AC →|－1)2－12，因为3R ≤|AC →|≤2R ，而12<R <33，所以当|AC →|＝1时，取到最小值－12.12. 如图，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．解 设AB →＝a ，BC →＝b 为一组基底， 则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 与D ，P ，C 分别共线， 所以存在λ和μ使AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又AP →＝AD →＋DP →＝(23＋13μ)a ＋μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.所以S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47＝8(cm 2)，S △PBC ＝(1－67)·S △ABC ＝14×17＝2(cm 2)，于是S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2)．13．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a ,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数5.5 复数教师用书1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 A解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A.2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 答案 C解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3．(2016·嘉兴一模)设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角，故选B. 4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一 复数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3D ．－1,4(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 (1)A (2)A (3)1解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2，故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i＝1－i ，∴其实部为1. 引申探究1．若将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值． 解 (1＋i)(2－3i)＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ， 所以a ＝5，b ＝－1.2．若将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部． 解 z ＝2＋3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)(2016·苏北四市调研二)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 (1)A (2)2i解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i1－2i＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i. 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 (1)C (2)B (3)B解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)C (2)A (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i. (3)原式＝[＋22]6＋2＋33＋232＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 (1)B (2)D (3)D解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.(2)z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i 解析 (1)z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选A. (2)(1＋i 1－i)2 017＝[1＋2－＋]2 017＝i2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 017＝＋231＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三 复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2) 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．12．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， [4分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[6分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－a 2＋b 2＝－6，[8分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. [10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]1．(2016·绍兴二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4.2．(2016·杭州质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4答案 D解析 ∵2i－a 1－i＝2i －a＋－＋＝2i －a 2－a 2i ＝(2－a 2)i －a2，a ∈R ，∴2－a2＝0，∴a ＝4. 3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2016·杭州模拟)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.5．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个答案 C解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．(2016·台州五校联考一)集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．3答案 D解析 由题意可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，经检验符合题意．*7.若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定答案 A解析 ∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝＋＋2＝12＋32i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2， ∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．8．(2016·温州高三8月模拟)已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 ∵z －i ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝5＋i ，∴复数z 在复平面上对应点在第一象限．9．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，23) 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 10．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．11．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i )2 017＝________. 答案 i解析 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，所以(m ＋n i m －n i )2 017＝(1＋i 1－i)2 017＝i 2 017＝i. 12．已知i 为虚数单位，则5－i 1＋i ＝________. 答案 2－3i解析 5－i 1＋i ＝－－＋－＝5－6i －12＝2－3i. 13．(2016·金华、丽水、衢州十二校高三8月联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i 1＋i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z |＝________.答案 0 22 解析a ＋i 1＋i ＝a ＋－2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由a ＋12＝1－a 2，可得a ＝0，∴z ＝12＋12i ，z ＝12－12i ，∴|z |＝22. 14．(2016·浙江名校高三第二次联考)已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z2＋az ＝0，则实数a ＝________，|z ＋a |＝________.答案 2 2 3 解析 z ＝1＋3i ，由z 2＋az ＝0，得(1＋3i)2＋a (1－3i)＝0，∴－2＋a ＋(23－3a )i ＝0，∴a ＝2，∴z ＋2＝3－3i ，∴|z ＋a |＝2 3. *15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知， ⎩⎨⎧ ＋2＋－2＝－b ，＋2－2＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.。

第4讲 数系的扩充与复数的引入[基础题组练]1．(2020·某某七校联考)复数1（1＋i ）i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.1（1＋i ）i ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－12i ，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2020·某某十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1 C ．1 D.2＋12解析：选 A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 3．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25B.35 C.105D.10 解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.4．如果复数z 满足|z ＋1－i|＝2，那么|z －2＋i|的最大值是( ) A.13＋2 B ．2＋3i C.13＋ 2D.13＋4解析：选A.复数z 满足|z ＋1－i|＝2， 表示以C (－1，1)为圆心，2为半径的圆． |z －2＋i|表示圆上的点与点M (2，－1)的距离． 因为|CM |＝32＋22＝13. 所以|z －2＋i|的最大值是13＋2. 故选A.5．(2020·某某市学军中学联考)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，故选D.6．(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z ＝x ＋(x －a )i ，若对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|，则实数a 的取值X 围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：选C.因为z ＝x ＋(x －a )i ，且对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|， 所以x 2＋（x －a ）2>x 2＋（x －a ＋1）2对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 即2(x －a )＋1<0对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 所以a >x ＋12(1<x <2)．因为x ＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，所以a ≥52.所以实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.故选C.7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34.答案：－348．(2020·某某市学军中学联考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则|(1－z )·z －|＝________．解析：因为z ＝－1－i ，所以z －＝－1＋i ， 所以(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，所以|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝10. 答案：109．(2020·某某南三县六校联考)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________． 解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－110．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i ＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34i.12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.[综合题组练]1．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，下列结论正确的是( ) A ．|z －z －|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z －|≥2x D ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D.依次判断各选项，其中A ，C 错，应为|z －z －|＝2|y i|；B 错，应为z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，D 正确，因为|z |＝x 2＋y 2≤|x |2＋|y |2＋2|x |·|y |＝（|x |＋|y |）2＝|x |＋|y |.2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是 ( ) A.32B.33C.12D. 3 解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0， 又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.由图的几何意义得，y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3，所以y x的最大值为 3.3．若复数z 1.z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝23，则|z 1－z 2|＝________． 解析：由已知z 1，z 2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z 1－z 2|为另一对角线长，如图，易知∠Z 1OZ 2＝60°，所以|z 1－z 2|＝2.答案：24．已知复数z ＝22a 1＋i ，当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则实数t 的取值X 围是________．解析：当a ≥2时，复数z ＝22a 1＋i ＝22a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2a －2a i ，|z |＝（2a ）2＋（－2a ）2＝2a .当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则4a 2＋2at ＋4>0，化为：t >－2－2a 2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .令f (a )＝a ＋1a (a ≥2)，f ′(a )＝1－1a2>0，所以f (a )在a ≥2时单调递增，所以a ＝2时取得最小值52.所以t >－5.答案：(－5，＋∞)5．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第1课时 平面向量在几何中的应用教师用书1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·浙江名校协作体联考)若向量a ，b 满足|a |＝|2a ＋b |＝2，则a 在b 方向上投影的最大值是( ) A.3B ．－ 3 C.6D ．－ 6 答案 B解析 由题意得|2a ＋b |2＝4|a |2＋4|a||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝16＋8|b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝4，则cos 〈a ，b 〉＝－|b |2－128|b |＝－(|b |8＋32|b |)≤－2|b |8·32|b |＝－32，当且仅当|b |＝23时等号成立，所以向量a 在向量b 方向上投影的最大值是|a |cos 〈a ，b 〉＝－ 3. 4．(2016·武汉模拟)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.第1课时 平面向量在几何中的应用题型一 向量在平面几何中的应用 命题点1 向量和平面几何知识的综合例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)12(2)5解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )， PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2取最小值25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 命题点2 三角形的“四心”例2 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究1．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案 A解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．2．在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？ 答案 D解析 由条件，得AP →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，从而AP →·BC →＝λ(AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C )＝λ·|AB →|·|BC →－B|AB →|cos B ＋λ·|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP → ⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心． 命题点3 平面向量数量积与余弦定理例3 (2016·杭州二模)在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 垂直BC 于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，若DE →·DF →＝6，则BC 等于( )A ．213B ．10C ．237D ．14 答案 A解析 由题意，知DE ＝AE ，DF ＝AF ， ∵DE →·DF →＝|DE →|·|DF →|·cos∠EDF ＝|DE →|·|DF →|·|DE →|2＋|DF →|2－|EF →|22|DE →|·|DF →|＝|AE →|2＋|AF →|2－|EF →|22＝16＋9－|EF →|22＝6，∴|EF →|＝13，∴BC ＝213.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形(2)(2016·宁波八校联考)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．答案 (1)A (2)1－32解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的角平分线．因为(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)cos∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝2＋615， ∴sin∠BAC ＝2－315，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin∠BAC ＝1－32.题型二 向量在解析几何中的应用 命题点1 向量与解析几何知识的综合例4 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即yx＝± 3. 命题点2 轨迹问题例5 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1. (2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝x 2＋(y －1)2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19， 当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19；PE ·PF 的最小值为12－4 3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(1)(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________．(2)(2016·温州一模)如图，已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P →|＝a ，(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →＝5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±55xB ．y ＝±12xC ．y ＝±32x D ．y ＝±33x 答案 (1)－92(2)B解析 (1)∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，PO →·PC →最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.(2)由(F 1P →＋F 1F 2→)·F 2P →＝0，可得|F 1P →|＝|F 1F 2→|＝2c ，则点P (x ，y )(x >0，y >0)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋c 2＋y 2＝4c 2，x －c2＋y 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c －a 24c，y ＝a 16c 2－a24c.又F 2P →＝5F 2Q →，解得Q (c －a 220c ，a 16c 2－a 220c)，又Q 在双曲线C 上，代入双曲线方程化简得80c 4－168a 2c 2＋85a 4＝0，则(4c 2－5a 2)(20c 2－17a 2)＝0，又c >a ，所以4c 2－5a 2＝0,4(a 2＋b 2)－5a 2＝0，则a ＝2b ，则双曲线C 的渐近线方程为y＝±b a x ＝±12x ，故选B.11．函数与方程思想在向量中的应用典例 (1)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于______．(2)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.思想方法指导 求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解． 解析 (1)因为b ≠0，所以b ＝x e 1＋y e 2，x ≠0或y ≠0. 当x ＝0，y ≠0时，|x ||b |＝0；当x ≠0时，|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋3xy ， |x |2|b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝1y 2x 2＋3·yx＋1， 不妨设y x ＝t ，则|x |2|b |2＝1t 2＋3t ＋1，当t ＝－32时，t 2＋3t ＋1取得最小值14， 此时|x |2|b |2取得最大值4，所以|x ||b |的最大值为2.综上，|x ||b |的最大值为2.(2)由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)AC →＝0，得(μ2－1)AB →＋λ2AD →＋(λ2＋μ2)(AD →＋12AB →)＝0，得(14λ＋34μ－1)AB →＋(λ＋μ2)AD →＝0.又因为AB →，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案 (1)2 (2)451．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC →答案 D解析 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3. 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b答案 D解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．5．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积等于12m |a －b |＝|a －b |＝|a ＋2a |，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和等于|98a |＋|2a |≥2 98|a |×2|a |＝3，当且仅当98|a |＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B.6. 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43 答案 D解析 分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D (43，43)，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)与△ABC 的重心D (43，43)共线，所以4343＋x ＝43－－x 43－4，解得x ＝43.7．(2016·杭州模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.8．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD的面积为________． 答案 4解析 由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →， 所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)， 即BD →＝4DC →.所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|， 所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.9．已知直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和上顶点D ，若BF 1→·AD →＝0，则该椭圆的离心率e ＝________.答案255解析 因为直线2x ＋y ＋2＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ， 所以A (－1,0)，B (0，－2)，易知F 1(－c,0)，D (0，b )， 所以BF 1→＝(－c,2)，AD →＝(1，b )． 因为BF 1→·AD →＝0，所以－c ＋2b ＝0，所以b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12， 所以a 2c 2＝54，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝255.10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 [π6，5π6]解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，因为|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到线段AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为[π6，5π6]．11．(2016·嘉兴第二次教学测试) 如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为R (12<R <33)，点A在BD 下方的圆弧上，则(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →的最小值为________．答案 －12解析 因为(AO →－AB →|AB →|－AD →|AD →|)·AC →＝(AO →－AC →|AC →|)·AC →＝12|AC →|2－|AC →|＝12(|AC →|－1)2－12，因为3R ≤|AC →|≤2R ，而12<R <33，所以当|AC →|＝1时，取到最小值－12.12. 如图，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．解 设AB →＝a ，BC →＝b 为一组基底， 则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 与D ，P ，C 分别共线， 所以存在λ和μ使AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又AP →＝AD →＋DP →＝(23＋13μ)a ＋μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.所以S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47＝8(cm 2)，S △PBC ＝(1－67)·S △ABC ＝14×17＝2(cm 2)，于是S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2)．13．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a ,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．。

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A2.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0B.2C.2iD.2＋2i解析 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，故选C. 答案 C3.(2016·山东卷)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 ∵z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.答案 B4.(2015·安徽卷)设i 为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝3＋i. 答案 C5.复数1－i 2－i 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 复数1－i 2－i ＝（1－i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝35－15i ，∴其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限，故选D. 答案 D6.(2017·北京东城综合测试)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2解析 因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1，故选C.答案 C7.已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.－1B.0C.1D.i解析 ∵z ＝1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i5＝i ，故虚部为1.答案 C8.设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若z 2≥0，则z 是实数 B.若z 2＜0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2≥0D.若z 是纯虚数，则z 2＜0解析 举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1＜0，故选C. 答案 C9.(2015·全国Ⅰ卷)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案 C10.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B.若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立.B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立.C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确.D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.答案 D11.(2017·浙江省三市联考)若复数z ＝a ＋3ii＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( ) A.－4 B.－3C.1D.2解析 因为z ＝a ＋3ii＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以a <－3，选A. 答案 A12.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1B. 2C. 3D.2解析 由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B. 答案 B 二、填空题13.(2016·江苏卷改编)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________；z 的虚部是________.解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5，虚部为5. 答案 5 514.(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i －1i ＝________.解析 i －1i ＝i －ii 2＝2i.答案 2i15.(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________.解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4(a ，b ∈R )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 答案 516.(2017·丽水质测)若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＝________；b＝________.解析3＋b i 1－i ＝（3＋b i ）（1＋i ）2＝12＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案 0 3能力提升题组 (建议用时：20分钟)17.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( ) A.E B.F C.GD.H解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i 的点为H .答案 D18. z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i解析 法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 答案 D19.(2014·全国Ⅰ卷)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12B.22C.32D.2解析 ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B. 答案 B20.(2017·温州月考)已知复数z ＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A.θ＝π4B.θ＝π2C.θ＝3π4D.θ＝5π4解析 因为z ＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i ，所以当θ＝3π4时，z ＝－2i为纯虚数，当z 为纯虚数时，θ＝k π－π4.故选C.答案 C21.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( ) A.－12iB.12i C.－12D.12解析 i·z ＝－12(1＋i)⇒z ＝－12（1＋i ）i ＝－12（1＋i ）·i i·i ＝12(－1＋i)，则z 的共轭复数z ＝12(－1－i)，其虚部是－12.答案 C22.(2017·绍兴月考)i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A.－2B.－1C.0D.12解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0.答案 C23.下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i; p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A.p 2，p 3B.p 1，p 2C.p 2，p 4D.p 3，p 4解析 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p 1是假命题； ∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题.其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 答案 C24.(2017·广州综合测试)若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝( ) A.－3B.－1C.1D.3解析 依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得p＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1，故选C. 答案 C25.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________. 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2326.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________.解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素. 答案 327.(2017·杭州调研)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________；最小值为________.解析 ∵|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝－ 3.答案3 － 328.定义运算)＝ad －bc .若复数x ＝1－i1＋i，y ＝))，则y ＝________.解析 因为x ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）22＝－i.所以y ＝))＝))＝－2.答案 －2。

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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入测试题班级_____＿____ 姓名____＿_＿＿＿_＿__ 学号______＿____ 得分＿______＿_＿ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

)1.已知向量(2,1)a =-,(1,7)b =,则下列结论正确的是( )A ．a b ⊥B ．//a bC ．()a a b ⊥+D ．()a a b ⊥- 【答案】Ｃ 【解析】因)6,3(=+b a ,)8,1(-=-b a ，故066)(=-=+⋅b a a ．所以应选C 。

2.【201７浙江杭州４月二模】设1iz i =-(为虚数单位），则1z=（ ） A.22B 。

2C 。

12 Ｄ。

2【答案】B3．已知向量,a b 的夹角为12０°，且2,3a b ==,则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为（ )Ａ1913 Ｂ613 C 56 D 83【答案】A 【解析】123()32a b ⋅=⨯⨯-=-，向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为(23)(2)44398(3)19191313|2|4494(3)13a b a b a b +⋅+⨯+⨯+⨯-===+⨯++⨯-,选A.4。

第4讲 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应平面向量OZ →． 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －adc ＋d i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2­2P106B 组T1改编)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝________．解析：1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i ＝－（1－i ）22＝i ，所以|z |＝|i|＝1. 答案：12．(选修2­2P112A 组T2改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是________．解析：CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i3．(选修2­2P116A 组T2改编)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，所以x ＝－1.答案：－1 [易错纠偏](1)复数的几何意义不清致误； (2)复数的运算方法不当致使出错； (3)z 与z 的不清致误．1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C.因为A (6，5)，B (－2，3)，所以线段AB 的中点C (2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.故选C.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝________．解析：由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.答案：43．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________．解析：因为z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.答案：2＋i复数的有关概念(1)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(2)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________． 【解析】 (1)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(2)因为(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 【答案】 (1)B (2)5 2解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)设复数z ＝2－i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12－32i B.12＋32i C ．1－3iD ．1＋3i解析：选B.z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i.2．(2020·浙江省高中学科基础测试)已知复数a ＋2i1＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选A.a ＋2i 1＋i＝a ＋22＋2－a2i ，由a ＋2i1＋i是纯虚数得a ＋22＝0，所以a ＝－2，故选A.复数的几何意义(1)(2020·台州模拟)复数z ＝3＋i1＋i＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i(3)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3【解析】 (1)z ＝3＋i 1＋i ＋3i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋3i ＝4－2i2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2，1)，因此点A (－2，1)对应的复数为－2＋i.(3)由题图可知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，则z 1＋z 2＝－2，所以|z 1＋z 2|＝2. 【答案】 (1)A (2)C (3)A复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 A.z －i ＝|3＋4i|＝32＋42＝5，z ＝5＋i ，对应点(5，1)，在第一象限，故选A.2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选 A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.复数代数形式的运算(高频考点)复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．主要命题角度有：(1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； (3)利用复数相等求参数． 角度一 复数的乘法运算(2020·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z＋z 2＋…＋z2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 C角度二 复数的除法运算计算下列各式的值．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i ＋i 3. 【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i2（1＋i ）2＝－42i ＝2i. (2)2＋4i （1＋i ）2＝2＋4i 2i＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0. 角度三 利用复数相等求参数已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4【解析】 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A. 【答案】 A(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．1．(2018·高考浙江卷)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ，故选B.2．(2020·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253B ．2 C.553D. 5 解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i ＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22[基础题组练]1．(2020·温州七校联考)复数1（1＋i ）i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.1（1＋i ）i ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－12－12i ，其在复平面上对应的点位于第三象限．2．(2020·金华十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1 D.2＋12解析：选 A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 3．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.4．如果复数z 满足|z ＋1－i|＝2，那么|z －2＋i|的最大值是( ) A.13＋2 B ．2＋3i C.13＋ 2D.13＋4解析：选A.复数z 满足|z ＋1－i|＝2， 表示以C (－1，1)为圆心，2为半径的圆． |z －2＋i|表示圆上的点与点M (2，－1)的距离． 因为|CM |＝32＋22＝13. 所以|z －2＋i|的最大值是13＋2. 故选A.5．(2020·杭州市学军中学联考)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，故选D.6．(2020·金丽衢十二校联考)已知复数z ＝x ＋(x －a )i ，若对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：选C.因为z ＝x ＋(x －a )i ，且对任意实数x ∈(1，2)，恒有|z |>|z ＋i|， 所以x 2＋（x －a ）2>x 2＋（x －a ＋1）2对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 即2(x －a )＋1<0对任意实数x ∈(1，2)恒成立． 所以a >x ＋12(1<x <2)．因为x ＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，所以a ≥52.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.故选C.7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34.答案：－348．(2020·杭州市学军中学联考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________．解析：因为z ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ， 所以(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ， 所以|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10. 答案：109．(2020·宁波南三县六校联考)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________． 解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－110．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－511．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i ＝（－i ）（3－i ）4 ＝－14－34i.12．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方． 解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.[综合题组练]1．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D.依次判断各选项，其中A ，C 错，应为|z －z |＝2|y i|；B 错，应为z 2＝x2－y 2＋2xy i ，D 正确，因为|z |＝x 2＋y 2≤|x |2＋|y |2＋2|x |·|y |＝（|x |＋|y |）2＝|x |＋|y |.2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值是 ( ) A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0， 又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.由图的几何意义得，yx是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3，所以y x的最大值为 3.3．若复数z 1.z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝23，则|z 1－z 2|＝________． 解析：由已知z 1，z 2均在以原点为圆心、以2为半径的圆上，|z 1－z 2|为另一对角线长，如图，易知∠Z 1OZ 2＝60°，所以|z 1－z 2|＝2.答案：24．已知复数z ＝22a 1＋i ，当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：当a ≥2时，复数z ＝22a 1＋i ＝22a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2a －2a i ，|z |＝（2a ）2＋（－2a ）2＝2a .当a ≥2时，|z |2＋t |z |＋4>0恒成立，则4a 2＋2at ＋4>0，化为：t >－2－2a 2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .令f (a )＝a ＋1a (a ≥2)，f ′(a )＝1－1a2>0，所以f (a )在a ≥2时单调递增，所以a ＝2时取得最小值52.所以t >－5.答案：(－5，＋∞)5．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。