唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}02A x x =<<{}21B x x =<A B = A. B. C. D.()0,1()1,2-()1,1-(][),12,-∞-+∞ 2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）i ()11z i i -=+z A. B. C. D.i-i2i2i-3.某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ）A.10B.12C.16D.184.若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）,x y 1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩2z x y =+A.4 B. C. D.1-2-3-5.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）2y =x A.或 B. C.1或 D.1-21±21-26.已知平面平面，则“直线平面”是“直线平面”的（ ）α⊥βm ⊥αm ∥βA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.等差数列的前11项和，则（ ）{}n a 1188S =369a a a ++=A.18B.24C.30D.328.函数（）的最小正周期为，则满足（ ）()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>π()f xA.在上单调递增B.图象关于直线对称0,3π⎛⎫⎪⎝⎭6x π=C. D.当时有最小值33f π⎛⎫=⎪⎝⎭512x π=1-9.函数的图象大致为（ ）()2ln f x x x =A B C D10.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.D.438311.在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存xOy O 224x y +=l ()2y k x =+O 在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（ ）l kA. B. C. D.⎡⎢⎣33⎡⎢⎣11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10,2⎡⎤⎢⎣⎦12.已知函数有两个极值点，且，若，函数，()32f x x ax bx =++12,x x 12x x <1022x x x +=()()()0g x f x f x =-则（ ）()g x A.仅有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至少两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则 ．()4,x =-a ()1,2=b ⊥a b x =14.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为Γ(32214x y -=Γ．15.直线的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则球心到平面ABC △O 2AB AC ==O 12πO 的距离等于 ．ABC16.是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，，则数列{}n a {}n b 111a b ==43a b =84a b =的前项和等于 ．{}n n a b n 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.ABC △A B C a b c cos a b b C -=（1）求证：；sin tan C B =（2）若，，求.1a =2b =c 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i ）共有多少种不同的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.19.如图，平行四边形中，，，平面，，，分别为ABCD 24BC AB ==60ABC ∠=︒PA ⊥ABCD 2PA =E F ，的中点.BC PE（1）求证：平面；AF ⊥PED （2）求点到平面的距离.C PED 20.已知椭圆经过点.()2222:10x y a b a b Γ+=>>13,2M ⎫⎪⎭3（1）求椭圆的方程；Γ（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直M x N N l ΓA B 30NB NA +=线的方程.l 21.已知函数，.()x f x e =()ln g x x a =+（1）设，求的最小值；()()h x xf x =()h x （2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，()y f x =()y g x =P ()y f x =()y g x =P 且.52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P ()221:24C x y -+=O x极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.O P 90︒Q Q 2C （1）求曲线，的极坐标方程；1C 2C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.()03πθρ=>1C 2C A B ()2,0M MAB △23.已知函数.()21f x x a x =++-（1）若，解不等式；1a =()5f x ≤（2）当时，，求满足的的取值范围.0a ≠()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()4g a ≤a唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：ABBDC DCADD CB B 卷：ADBBC DDACD CB 二．填空题：（13）2（14）（15）1（16）22128y x -=()121n n -+三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由根据正弦定理得，cos a b b C -=sin sin sin cos A B B C -=即，()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =得．sin tan C B =（Ⅱ）由，且，，得，cos a b b C -=1a =2b =1cos 2C =-由余弦定理，，22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以 c =（18）解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 730900x=210x =所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为35a 38a 41a ，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，34b 36b 38b 40b 则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：，，，，，，，，()3534,a b ()3536,a b ()3538,a b ()3540,a b ()3834,a b ()3836,a b ()3838,a b ()3840,a b ，，，，()4134,a b ()4136,a b ()4138,a b ()4140,a b 所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，则事件A 包含，，，，，()3534,a b ()3536,a b ()3836,a b ()3838,a b ()3840,a b ()4140,a b 6个基本事件， 所以所求概率．()61122P A ==（19）解：（Ⅰ）连接，在平行四边形中，AE ABCD PF DCBA，，24BC AB ==60ABC ∠=︒∴，，从而有，2AE =23ED =222AE ED AD +=∴．AE ED ⊥∵平面，平面，∴，PA ⊥ABCD ED ⊂ABCD PA ED ⊥又∵，∴平面，平面PA AE A = ED ⊥PAE AF ⊂PAE 从而有．ED AF ⊥又∵，为的中点，2PA AE ==F PE ∴，又∵，AF PE ⊥PE ED E = ∴平面．AF ⊥PED （Ⅱ）设点到平面的距离为，C PED d 在中，，，∴．Rt PED △2PE =23ED =26PED S =△在中，，，∴ECD △2EC CD ==120ECD ∠∠=︒3ECD S =△由得，，C PED P ECD V V --=1133PEDECDS d S PA ⋅=⋅△△∴．2ECD PED S PA d S ⋅==△△所以点到平面．C PED 2（20）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，，223114a b+=223a b -=2a =1b =所以椭圆Γ的方程为．2214x y +=（Ⅱ）由已知N 的坐标为，()3,0当直线斜率为0时，直线为轴，易知不成立．l l x 30NB NA +=当直线斜率不为0时，设直线的方程为，l l 3x my =+代入，整理得，2214x y +=，()2242310m ymy ++-=设，则，①，②()11,A x y ()22,B x y 1223my y -+=12214y y m -=+由，得，③30NB NA +=213y y =-由①②③解得．2m =所以直线的方程为，即．l 23x y =+23y x =±-（21）解：（Ⅰ），()()'1x h x x e =+当时，，单调递减；1x <-()'0h x <()h x 当时，，单调递增，1x >-()'0h x >()h x 故时，取得最小值．1x =-()h x 1e-（Ⅱ）设，则，()()()ln xt x f x g x e x a =-=--()()11'0x xxe t x e x x x-=-=>由（Ⅰ）得在单调递增，又，，()1x T x xe =-()0,+∞102T ⎛⎫< ⎪⎝⎭()10T >所以存在使得，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00T x =所以当时，，单调递减；()00,x x ∈()'0t x <()t x 当时，，单调递增，()0,x x ∈+∞()'0t x >()t x 所以)的最小值为，()t x ()000ln 0x t x e x a =--=由得，所以曲线与在点处有相同的切线，()00T x =001x e x =()y f x =()y g x =P 又，所以，00ln x a e x =-001a x x =+因为，所以．01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭52,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（22）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．1C 4cos ρθ=设，则，则有．(),Q ρθ,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，曲线的极坐标方程为． 2C 4sin ρθ=（Ⅱ）到射线的距离为M 3πθ=2sin33d π==，()4sin cos 23133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则1332S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）,()21f x x x =++-所以表示数轴上的点到和1的距离之和，x 2-因为或2时，3x =-()5f x =依据绝对值的几何意义可得的解集为． ()5f x ≤{}32x x -≤≤（Ⅱ），()1121g a a a a=++-当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；0a <()2215g a a a=--+≥1a =-()4g a ≤当时，，01a <≤()221g a a a=+-由得，解得，又因为，所以；()4g a ≤22520a a -+≤122a ≤≤01a <≤112a ≤≤当时，，解得，1a >()214g a a =+≤312a <≤综上，的取值范围是．a 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
