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信号与线性系统,矿大课件§5.1 拉普拉斯变换

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《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

《信号与系统》第二版第五章：拉普拉斯变换

《信号与系统》第二版第五章：拉普拉斯变换

∫ =
1 2π j
( ) ( ) σ +j∞
σ -j∞ F1 z F2 s − z dz
f1 (t )
f1 (t ) ⋅ f2 (t )
拓扑性质（微/积分性质）： 9 微分：
f2 (t)
图 5-3
3
（5-12）
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
L
⎧d
⎨ ⎩
dt
f
(t )⎫⎬
⎭
=
s
L
{f
(t )} −
⎡⎣
y
(
t
)
−
v
(
t
)⎤⎦
=
0
⇔
e
(
∞
)
=
0
e
(
∞
)
=
lim
s→0
sE
(
s
)
=
lim
s→0
s
1
+
1 W
(
s
)
为稳态误差／系统误差。
6
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
2） s → 0, s = σ + jω,σ → 0,ω → 0 （慢变信号） 3）
图 5-7
定理条件：
sF
(
s
)
在除原点外的
π
+ r
∫ lim sF (s) =
s→0
f
(0+
)
+
lim
s→0
∞ 0+
f (1) (t ) e−stdt
∫ =
f (0+ ) +
∞d 0+ dt
f (t ) dt

信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换

信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换

其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。

信号与系统拉普拉斯变换分析法二课件

信号与系统拉普拉斯变换分析法二课件
商的规则表明对两个函数的商进行拉普拉斯变换，等于被除 数的拉普拉斯变换除以除数的拉普拉斯变换。
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词

拉普拉斯变换及其性质课件

拉普拉斯变换及其性质课件
信号重建
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都

《拉普拉斯变换 》课件

《拉普拉斯变换 》课件
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
REPORT
《拉普拉斯变换》 PPT课件
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。

拉普拉斯变换-信号与系统

拉普拉斯变换-信号与系统

0
s2 2
0
L[eat cos t]
sa
0 (s a)2 2
0
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
五、 时域微分特性（1）
若 L[ f (t)] F(s)
则 L[df (t)] sF (s) f (0 )
dt
dn L[
f
(t)]
s n F (s) s n1
f
(0 ) s n2
f
(1) (0 )
✓ 物理意义 信号f(t)可分解成复指数est的线性组合
F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数，称为复频率，F(s)称复频谱。
5.1 拉普拉斯变换的定义和收敛域 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换（5）
➢单边拉普拉斯变换
F(s) 0 f (t) est dt
f
(t)
1 2πj
j
F (s) e2 e2s s1
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
三、 时移特性（3）
[例] 求图示信号的拉氏变换。
解:
f (t) tu(t)
1 s2
f1(t) (t t0 )u(t t0 )
1 s2
e st 0
f2 (t) (t t0 )u(t)
1 s2
t0
1 s
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
1
s
F (s) 2 (1 2es /2 es ) 2 (1 es /2 )2
s2
s 2
5.3 拉普拉斯变换的基本性质
六、 时域积分特性
若 L[ f (t)] F(s)
则
L[ t
0
f
( )d ]
F (s) s
L[ t

信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件

信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件

80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。

信号与系统 拉普拉斯变换ppt课件

信号与系统 拉普拉斯变换ppt课件
s1 s1
所 f(0 以 ) l s is m (F s ) k s l s i s m 2 s 2 1 2 s
2s
2
lim lim 2
ss1
s 1 1
所f以 (0)2
.
s
35
4.4 拉普拉斯逆变换
• 由象函数求原函数的三种方法 • 部分分式法求拉氏逆变换 • 两种特殊情况
ftL1ft
1
σj
Fs
estds
2πj σj
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
.
14
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu(t) 1esd t t 1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
Leαt eαtesd t t eα st
0
αs
1 α s
σα
3.单位冲激信号
dt
lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
终值存在的条件:
sF s在右j 半 ω 轴 (原 平点 面 )上 除 和 无 外
证明： 根据初值定理证明时得到的公式
sF (s)f00 dd ft(t)esd t t
ls i0s m ( F s)f0 ls i0m 0 d d ft(t)e sd tt
0
L t0 tesd t t1 全s域平面收敛
Lt t00 t t0.e sd tt e s0t15
4．tnu(t)
Ltn tnesd t t 0
1stest 0 0esd t t
Байду номын сангаас
t n e st s
n 0s
tn1estdt
0
1s1sest 0s12

信号与线性系统分析 第5章 课件

信号与线性系统分析 第5章 课件
←→ F1(s)， Re[s]>σ1 ， σ f2(t) ←→ F2(s)， Re[s]>σ2 ， σ 且有常数a 且有常数 1，a2，则 a1f1(t)＋a2f2(t) ←→ a1F1(s)＋a2F2(s)，Re[s]>max(σ1,σ2) (t)＋ (s)＋ (s)， σ σ
9
• 拉普拉斯变换的收敛定理：如果f(t)满足 拉普拉斯变换的收敛定理：如果 满足 (1) f(t)在有限区间 ≤a<t<b<∞内可积； 在有限区间0≤ 在有限区间 ∞内可积； (2) 对于某个σ0有 对于某个σ
lim | f (t ) | e − σt = 0,
t →∞
σ > σ0
则对于Re[s]=σ>σ0，拉氏积分式绝对且一致收敛，收 σ σ 拉氏积分式绝对且一致收敛， 则对于 敛域为σ 右边部分。 敛域为σ0右边部分。 平面内收敛坐标， 称为指数阶 σ0为s平面内收敛坐标，满足条件 的f(t)称为指数阶 平面内收敛坐标 满足条件(2)的 称为 函数。 函数。 矩形脉冲信号
F(s) = ∫−∞ f ( t )ε( t )e dt = ∫0 f ( t )e −stdt
−∞ ∞ −st ∞
σ
这样的变换称为单边拉氏变换， 这样的变换称为单边拉氏变换，以下只讨论单边拉氏 单边拉氏变换 变换。 变换。 单边拉氏变换的f(t)和 总是一对一的， 单边拉氏变换的 和F(s)总是一对一的，与收敛域无 总是一对一的 有时就不标收敛域。 关，有时就不标收敛域。
1 jβt − jβt 1 1 jβt L [sin(βt)ε(t)] = L [ (e − e )ε(t)] = L [e ε(t)]− L [e− jβtε(t)] 2j 2j 2j

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)

5-1拉普拉斯变换 《信号与系统》课件

5-1拉普拉斯变换 《信号与系统》课件

t
f (t) e( j)td t F ( j)
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
F s f t es t dt
2．拉氏逆变换
F j f t e j t dt F s f t es t dt
对于f t e t 是F j 的傅里叶逆变换
f
(t) e t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3.lim tne t 0 0 t
4.lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增 长快，找不到收敛坐标，
为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范 围。
f t e t 1 F j ejtd
2 π
两边同乘 以 e t f t 1 F j e jt d
2 π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 :
对s :
j
j
f t 1
j
F
s
estd s
2 π j j
例题及说明
1.满足 lim t
号与系统 信
§5.1 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的收敛域
哈尔滨理工大学
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子 e t ( 为任意实数)后容易满足
绝对可积条件,依傅氏变换定义 :
F1
F f (t) e t
f
(t
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
t
e
j
td
例题
例题
例题
例题

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式

信号与系统 信拉普拉斯变换

信号与系统 信拉普拉斯变换

•缺点： •物理概念不如傅氏变换那样清楚。
信号与系统
一．拉普拉斯变换的定义
1. 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 信号 f (t) 乘以衰减因子
e t ( 为任意实数)后容易满足绝
t
对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 ( ) F f (t ) e

f (t ) e t e j t d t
•收敛域
Re[s] > 0
Re[s] > 0
信号与系统
三．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L [e
t
cos(0t )u (t )]
L [e t sin(0t )u (t )]
1 ( j0 )t ( j0 )t L (e e )u (t ) 2 j
t
收敛坐标
所以，单边拉氏变换的的收敛域 可表示为：
σ0
O
σ
σ σ0
或
Re[s] σ0
信号与系统
二．拉氏变换的收敛域
说明：
1. 满足 lim f (t ) e t 0(σ σ 0 ) 的信号称为指数阶信号；
t
2. 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在； 3. lim t e

0
1 st 1 e d t e s
st
0
1 s

(σ 0)
L e
α t
e 0


α t st
1 e e dt sα (α s ) 0
全 s 域平面收敛
(αs )t
(σ α )
3.单位冲激信号
L (t ) (t ) e st d t 1
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Re[s]= > – 2 Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。
▲ ■ 第 9页
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
F ( s) f (t ) e
0
0 0
s cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→ 2 2 s 0
常用拉普拉斯变换表p.215
▲ ■ 第 12 页
■
第 1页
§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • 拉普拉斯变换(单边) • 常见函数的拉普拉斯变换
§5.1～ §5.4
▲ ■ 第 2页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
Fb(+j)= ℱ[ f(t)
e-t]=



f (t ) e
tBiblioteka e j td t f (t ) e ( j )t d t


相应的傅里叶逆变换 为 1 j t t F ( j ) e d f(t) e = 2 b
1 f (t ) 2
第五章
连续时间系统的复频域分析
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); （2）只能求系统的零状态响应。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为复频 域(s域)分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
jω
0
α
σ
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
收敛边界
▲
收敛域
■ 第 6页
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
解
e ( s )t F2b ( s) e e d t (s )
0
t st
0
β
σ
▲
■
第 7页
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
def
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)] 或 f(t)←→ F(s)
▲ ■ 第 11 页
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数es0t
1 ←→ s s0
> Re[s0]
0 j t -j t sin0t = (e – e )/2j ←→ 2 2 s 0

st
dt
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
▲
■
第 10 页
三、单边拉氏变换
F ( s) f (t ) e st d t
0 def
1 j st f (t ) F ( s) e d s (t ) 2 j j



Fb ( j ) e ( j )t d
令s = + j,d =ds/j，有
▲ ■ 第 3页
定义
双边拉普拉斯变换对
Fb ( s) f (t )e
st
dt
f (t )
2 j j
1
j
Fb ( s) e st d s
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
▲
■
第 4页
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。
▲
■
第 5页
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F ( s) 1b 0
α
0
β
σ
▲
■
第 8页
例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解
1 1 f1 (t ) F1 ( s) s3 s2 1 1 f 2 (t ) F2 ( s) s3 s2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s) s3 s2
0

1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
jω
, Re[ s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
( s ) t e et e st d t (s ) 0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
1 s , Re[ s ] 不定 ， 无界 ，

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