算法枚举法
枚举法是一种常用的算法思想，它通过逐个列举可能的解来解决问题。在本文中，我们将介绍枚举法的基本原理、应用场景以及一些注意事项。
一、枚举法的基本原理
枚举法是一种简单直接的解决问题的方法，其基本原理是通过逐个尝试所有可能的解，然后判断每个解是否满足问题的要求。具体步骤如下：
1. 确定问题的解空间，即问题可能的解集合。
2. 逐个枚举解空间中的元素，对每个元素进行判断。
3. 如果满足问题的要求，则将该元素作为问题的解；否则，继续枚举下一个元素。
4. 当找到满足要求的解时，停止枚举；如果枚举完所有元素仍未找到解，则表示该问题无解。
二、枚举法的应用场景
枚举法适用于一些问题的解空间较小、问题规模较小的情况。以下是一些常见的应用场景：
1. 寻找问题的所有可能解，如密码破解、穷举搜索等。
2. 判断问题是否存在解，如判断一个数是否为质数、判断某一年是否为闰年等。
3. 寻找问题的最优解，在解空间较小的情况下可以通过枚举法逐个
尝试，找到最优解。
三、枚举法的注意事项
1. 确定解空间时要考虑问题的约束条件，避免无效的尝试。
2. 在枚举过程中，可以使用剪枝技术来减少不必要的尝试，提高算法效率。
3. 在解空间较大或问题规模较大的情况下，枚举法可能会导致计算量过大，无法在合理时间内得到解。此时可以考虑其他更高效的算法。
4. 枚举法通常是一种暴力穷举的方法，因此在问题规模较大时，需要权衡计算时间和结果准确性的关系。
枚举法是一种常用的算法思想，适用于问题规模较小、解空间较小的情况。它通过逐个尝试所有可能的解来解决问题，具有简单直接的特点。然而，在使用枚举法时需要注意问题的约束条件、剪枝技术以及计算时间的限制，以确保问题能够得到准确且高效的解决。
实验五常用算法-----枚举法、递推法、迭代法一.实验目的
掌握枚举法、递推法、迭代法这3个常用的算法
二.实验内容
1、范例：由0到4五个数字，组成5位数，每个数字用一次，但十位和百位不能为3（当然万位不能为0），输出所有可能的五位数。
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int i,j,k,l,m,count=0;
for(i=1;i<=4;i++){
for(j=0;j<=4;j++){
if(j==i)continue;
for(k=0;k<=4;k++){
if(k==3||k==i||k==j)continue;
for(l=0;l<=4;l++){
if(l==3||l==i||l==j||l==k)continue;
for(m=0;m<=4;m++){
if(m==i||m==j||m==k||m==l)continue;
cout<<i<<j<<k<<l<<m<<'\t';
count++;
if(count%5==0)cout<<endl;}}}}}
return 0;
}
2、编程求和：s=a+aa+aaa+aaaa+ ……+aaaa…aaa(n个)，其中a为1～9中的一个数字。
【提示】若第一项为a , 以后每一项由前一项乘以10加上a递推得到，然后求和。
#include <iostream>
using namespace std;
8算法策略之枚举法
蛮⼒法
蛮⼒法是基于计算机运算速度快这⼀特性，在解决问题时采取的⼀种“懒惰”的策略。这种策略不经过（或者说是经过很少的）思考，把问题的所有情况或所有过程交给计算机去⼀⼀尝试，从中找出问题的解。蛮⼒策略的应⽤很⼴，具体表现形式各异，数据结构课程中学习的：选择排序、冒泡排序、插⼊排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等，都是蛮⼒策略具体应⽤。⽐较常⽤还有枚举法、盲⽬搜索算法等。
枚举法
枚举（ enumerate）法（穷举法）是蛮⼒策略的⼀种表现形式，也是⼀种使⽤⾮常普遍的思维⽅法。它是根据问题中的条件将可能的情况⼀⼀列举出来，逐⼀尝试从中找出满⾜问题条件的解。但有时⼀⼀列举出的情况数⽬很⼤，如果超过了我们所能忍受的范围，则需要进⼀步考虑，排除⼀些明显不合理的情况，尽可能减少问题可能解的列举数⽬。
⽤枚举法解决问题，通常可以从两个⽅⾯进⾏算法设计：
1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。
2）找出约束条件：分析问题的解需要满⾜的条件，并⽤逻辑表达式表⽰。
【例1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁⼀，值钱五；鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀；百钱买百鸡，翁、母、雏各⼏何?
算法设计1：
通过对问题的理解，读者可能会想到列出两个三元⼀次⽅程，去解这个不定解⽅程，就能找出问题的解。这确实是⼀种办法，但这⾥我们要⽤“懒惰”的枚举策略进⾏算法设计：
设x，y，z分别为公鸡、母鸡、⼩鸡的数量。
尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。
![《数学]枚举法》](https://img.taocdn.com/s1/m/84bd9feaee06eff9aff8075c.png)
基础算法（一）枚举（穷举）法
无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。
在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。
一、枚举法的基本思想:
从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。
这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。
二、枚举法解题思路：
1、对命题建立正确的数学模型；
2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；
3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
三、枚举法的特点：
算法简单，但运算量大。
对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。
1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到
20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）
3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公
鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）
4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）
5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29
厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？
6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。
打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。
word
课题常用算法介绍：枚举算法的原理及其程序实现
课时一课时
枚举法是指：
按问题本身的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，
检验每个可能解是否是问题的真正解，若是，我们采纳这个解，否则抛弃它。在
列举的过程中，既不能遗漏也不应重复。
举例：最近警方抓获一批制造发票的犯罪分子，并发现制造发票用的模版，但是
由于受到损坏，它的千位和百位的数字已已经模糊不清，如下所示；另一方面，
我们知道这个数能被57 或67除尽。请设计一个算法，找出该单据原有的可能
及个数。
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算法中的枚举法
什么是枚举法？
在计算机科学中，枚举法是一种常见的算法设计方法。枚举法通过穷举所有可能的情况来解决问题。它通常用于解决离散数学、组合数学和优化问题。
枚举法的基本思想是通过遍历所有可能的解决方案，找到满足特定条件的最优解或所有解。它通过尝试每种可能性来搜索解空间，并在找到满足条件的解时停止。
枚举法的应用领域
组合数学
在组合数学中，枚举法常用于求解组合、排列和子集等问题。例如，给定一个集合，枚举法可以用于生成该集合的所有子集。它通过遍历每个元素的选择（选取或不选取）来生成所有可能的子集。
离散数学
在离散数学中，枚举法常用于证明和计数问题。例如，通过枚举法可以证明一些数学定理，如费马小定理和欧拉定理。它还可以用于计算组合数、排列数和二项式系数等。
优化问题
在优化问题中，枚举法可以用于寻找最优解或近似最优解。例如，在旅行商问题中，枚举法可以用于穷举所有可能的路径，并找到最短路径。虽然枚举法在大规模问题上效率低下，但对于小规模问题，它是一种简单有效的方法。
枚举法的实现
穷举法
穷举法是枚举法的一种常见实现方式。它通过遍历所有可能的解决方案来解决问题。穷举法的基本思想是将问题的解空间划分为若干个子空间，然后逐个遍历子空间中的解。
例如，考虑一个简单的排列问题，要求给定n个元素的排列。穷举法可以通过生成所有可能的排列来解决该问题。它从第一个元素开始，依次将每个元素放在第一个位置，然后递归地解决剩余元素的排列问题。
剪枝优化
由于枚举法需要遍历所有可能的解决方案，因此在处理大规模问题时往往效率较低。为了提高效率，可以使用剪枝优化技术。
枚举法
⼀，枚举算法的思想：
1，枚举算法的定义：
在进⾏归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因⽽得出⼀般结论，那么该结论是可靠的，这种归纳⽅法叫做枚举法。
2，枚举算法的思想是：
将问题的所有可能的答案⼀⼀列举，然后根据条件判断此答案是否合适，保留合适的，舍弃不合适的。
3，使⽤枚举算法解题的基本思路如下：
（1）确定枚举对象、范围和判定条件。
（2）逐⼀枚举可能的解并验证每个解是否是问题的解。
4，枚举算法步骤：
（1）确定解题的可能范围，不能遗漏任何⼀个真正解，同时避免重复。
（2）判定是否是真正解的⽅法。
（3）为了提⾼解决问题的效率，使可能解的范围将⾄最⼩，
5，枚举算法的流程图如下所⽰：
⼆，枚举算法实例
例⼀：百钱买⽩鸡
1，问题描述：
公鸡每只5元，母鸡每只3元，三只⼩鸡1元，⽤100元买100只鸡，问公鸡、母鸡、⼩鸡各多少只？
2，算法分析：
利⽤枚举法解决该问题，以三种鸡的个数为枚举对象,分别设为mj,gj和xj，⽤三种鸡的总数（mj+gj+xj=100）和买鸡钱的总数（1/3*xj+mj*3+gj*5=100）作为判定条件，穷举各种鸡的个数。
例⼆：使⽤枚举法解决“填写运算符问题”
1，问题描述：在下⾯的算式中，添加“+”、“-”，“*”，“/”,4个运算符，使得这个式⼦成⽴。
5 5 5 5 5=5
2，算法分析：
上述式⼦左侧有5个数字，⼀共需要4个运算符。根据题⽬要求，两个数字之间的运算符只能有4中选择。在具体编程时，可以通过循环来填⼊各种运算符，然后再判断算式左侧的值是否等于右侧的值。并保证，当填⼊的是除号时，则右侧的数不能为0，并且乘除的优先级⾼于加减的优先级。
算法中的枚举法
1. 什么是枚举法？
枚举法（Enumeration）是一种常用的算法思想，也是计算机科学中最基本、最直
接的算法之一。它通过穷举所有可能的解空间，逐个检验每个解是否符合问题要求，从而找到问题的解。
在计算机科学中，枚举法通常用来解决那些问题空间较小、规模较小的情况。它适用于那些可以通过穷举所有可能性来找到解决方案的问题。
2. 枚举法的基本思想
枚举法的基本思想是通过遍历所有可能的解空间，依次检查每个解是否满足问题要求。具体步骤如下：
1.确定问题的解空间：首先需要确定问题的解空间，即所有可能成为问题解答
的集合。
2.遍历解空间：使用循环结构遍历解空间中所有可能的值。
3.检验每个值是否满足问题要求：对于每个值，需要进行一系列判断和条件测
试，以确定其是否符合问题要求。
4.找到满足要求的值：如果某个值满足了所有条件和要求，则认为它是问题的
解。
5.输出解：将满足要求的值输出作为问题的解答。
3. 枚举法的应用场景
枚举法适用于那些问题空间较小、规模较小的情况。常见的应用场景包括：
•寻找最优解：通过枚举所有可能的解，找到最优解或者近似最优解。例如，在旅行商问题中，可以通过枚举所有可能的路径来找到最短路径。
•判断问题是否有解：通过枚举法可以判断某个问题是否有解。例如，在数独游戏中，可以通过穷举所有可能的数字组合来判断是否存在可行解。
•穷举搜索：对于一些小规模问题，使用穷举法可以快速找到所有可能的解。
例如，在密码破译中，可以通过穷举法尝试所有可能的密码组合。
4. 枚举法的优缺点
4.1 优点
•直观易懂：枚举法是一种直接遍历所有可能性的方法，思路清晰，易于理解和实现。
基础算法（一）枚举（穷举）法
无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。
在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。
一、枚举法的基本思想:
从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。
这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。
二、枚举法解题思路：
1、对命题建立正确的数学模型；
2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；
3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
三、枚举法的特点：
算法简单，但运算量大。
对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。
1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到
20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）
3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公
鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）
4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）
5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29
厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？
6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。
打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。
用枚举法解决问题
枚举法是一种解决问题的基本方法，其基本思想是列举出所有可能的情况，再根据问题要求进行筛选和判断。以下是使用枚举法解决问题的一般步骤：
1. 确定待解决问题的范围和限制条件，明确问题的具体要求。
2. 对问题进行抽象和分析，找出问题的关键参数和变量。
3. 列举所有可能的取值范围和组合，并使用嵌套循环进行遍历。
4. 对每一组可能的取值进行判断和筛选，根据问题要求进行条件判断。
5. 根据问题的要求，输出所满足条件的解答或者统计满足条件的数量。
需要注意的是，枚举法一般适用于问题规模较小的情况，因为列举所有可能的情况会带来指数级的时间复杂度。如果问题规模较大，枚举法可能不太适用，需要考虑其他更高效的解决方法。
