[导学教程]【北师大版】2012届高三二轮复习数学(理)专题五 解析几何课时训练2

第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法一．复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

1．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析 解法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ， ∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i13＝2i ，∴|z |＝2. 解法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i2－3i. 则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋32＝2. 答案 22．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.解析 在频率分布直方图中小于20 mm 的频率是 0．01×5＋0.01×5＋0.04×5＝0.3，故小于20 mm 的棉花纤维的根数是0.3×100＝30. 答案 303．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0＜1u ≤15，∴a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 又A ＋C ＝2B ，故B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝12.又a ＜b ，因此A ＝π6.从而可知C ＝π2，即sin C ＝1. 答案 15．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)⎣⎢⎡C 06x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＋C 16x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋C 26x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 36x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋⎦⎥⎤C 46x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋C 56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＋C 66x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6， 所以常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5.答案 －56．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C (1,4)，当直线l ：y ＝－abx ＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4，∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4. 答案 47．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．解析 该几何体是上面是底面边长为2的四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为V ＝1×1×2＋13×22×1＝103. 答案 1038．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析 y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点， 只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 9．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos (2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，310．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.解析 由圆的割线定理知：AB ·AC ＝AD ·AE ， ∴AE ＝8，∴DE ＝5.连接EB ，∵∠EDB ＝90°，∴EB 为直径．∴∠ECB ＝90°. 由勾股定理，得EB 2＝DB 2＋ED 2＝AB 2－AD 2＋ED 2＝16－9＋25＝32. 在Rt △ECB 中，EB 2＝BC 2＋CE 2＝4＋CE 2， ∴CE 2＝28，∴CE ＝27. 答案 5；2711．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．解析 记θ＝〈β，β－α〉，由正弦定理得|β|sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝sin θ×23＝233sin θ. 又0°＜θ＜120°，∴0＜sin θ≤1.即0＜|α|≤233. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23312．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.解析 ∵f (1)＝14，令y ＝1得f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，① f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，② 由①②得f (x ＋2)＝－f (x －1)， 即f (x ＋3)＝－f (x )，则f (x ＋6)＝f (x )． ∴该函数周期为6.∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)． 令x ＝1，y ＝0得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)， ∴f (0)＝12.∴f(2 010)＝1 2.答案1 2。

一、选择题1．（2011·东莞模拟)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析所求直线的斜率等于12，故所求直线方程为y－0＝错误!(x－1)，即x－2y－1＝0,故选A。

答案A2．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a,b,c，且2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C,则两条直线l1：x sin2A＋y sin A＝a与l2：x sin2B ＋y sin C＝c的位置关系是A．平行B．重合C．垂直D．相交不垂直解析已知2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C，可得sin2B＝sin A sin C，故错误!＝错误!，又错误!＝错误!，所以两直线重合，故选B.答案B3．(2011·广东）已知集合A＝｛（x，y）|x,y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝｛（x，y）|x,y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为A．0 B．1C．2 D．3解析集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合,集合B表示直线y＝x上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.答案C4．以双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程是A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0C．x2＋y2＋10x＋16＝0 D．x2＋y2＋10x＋9＝0解析据题意知圆心为（5，0），双曲线的渐近线是4x±3y＝0,∴r＝4，故所求圆的方程是（x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0。

答案A5．（2011·海淀模拟）圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为A.错误!B.错误!C．2错误!D．2错误!解析x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心（0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3错误!，因此，公共弦长为2错误!＝2错误!。

2012届高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1．直线(1).直线的倾斜角和斜率直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α；若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1212x x y y K AB --=。

(2) .直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.斜截式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+by ax ；e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。

若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ⇔1k ＝2k ，1l ⊥2l ⇔1k ·2k ＝－１。

（4）点、直线之间的距离点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d=2200||BA C By Ax +++。

两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆（1）圆方程的三种形式标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心F ED42122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示．三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：2．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx CyBxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ”，它可根据圆的一般方程推导而得． 3．参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义． 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，3.圆锥曲线(1).椭圆的标准方程及其性质椭圆2222x by a+＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）。

专题检测(五) 解析几何(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(－2,0)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 A ．2x ＋y ＋4＝0 B ．－2x ＋y －4＝0 C ．x －2y ＋2＝0D ．－x ＋2y －2＝0解析 易知所求直线的斜率为－2，所以方程为y －0＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋4＝0. 答案 A2．(2011·中山模拟)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析 据题意p2＝2，∴p ＝4.答案 D3．下列曲线中离心率为62的是 A.x 24＋y 22＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24＋y 210＝1D.x 24－y 210＝1 解析 选项A 、B 、C 、D 中曲线的离心率分别是22、62、155、142. 答案 B4．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xy ＝kx ＋1得ky 2－y ＋1＝0，当k ≠0时，Δ＝1－4k ＞0，得k ＜14.即若直线l 与抛物线C 有两个不同的交点， 则k ＜14且k ≠0，故选D.答案 D5．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析 设圆心坐标为(a ，－a )，∴r ＝|2a |2＝|2a －4|2，解得a ＝1，∴r ＝2，故所求的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 B6．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为A ．1B ．－1 C.12D ．2解析 曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D. 答案 D7．已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积为A ．3(2＋3)B ．3(2－3)C ．2＋ 3D ．2－ 3解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝4，所以|PF 1|·|PF 2|＝12(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝3(2－3)．答案 B8．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析 圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3. 由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 2＋－2＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1＜r＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交．答案 B9．(2011·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 解法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.解法二 由解法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋－5×2＝－45.答案 D10．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A ．x ＝±152yB ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x 解析 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆的右焦点(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点(2m 2＋3n 2，0)， ∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |， ∴双曲线的渐近线为y ＝±3·|n |2·|m |x ＝±34x ， 即y ＝±34x . 答案 D11．(2010·课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析 ∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则x 2a 2－x －2b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.答案 B12．如图所示，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则离心率为A.3＋12B.3－1C.3－12D.3＋1解析 设F 2(c,0)，则圆O 的方程是x 2＋y 2＝c 2.与双曲线方程联立，消掉y 得x 2a 2－c 2－x 2b2＝1，解得x ＝－a b 2＋c 2c(舍去正值)．由于O 是正三角形F 2AB 的外接圆的圆心，也是其重心，故F 2到直线AB 的距离等于32|OF 2|＝3c2，即c ＋a b 2＋c 2c ＝3c 2，即2a b 2＋c 2＝c 2.将b 2＝c 2－a 2代入上式，并平方得4a 2(2c 2－a 2)＝c 4， 整理，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， 两端同时除以a 4，得e 4－8e 2＋4＝0. 解方程得e 2＝4±23，由于e 2＞1， 故e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，则M 到抛物线焦点的距离是________．解析 因为点M 的横坐标是2，故其纵坐标为8，又p 2＝18，所以M 到抛物线焦点的距离为8＋18＝658.答案65814．点P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．解析 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， 则x 0＝2x ，y 0＝2y ，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1. 答案 x 2－4y 2＝115．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆的方程为________．解析 抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点， 则所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，半焦距c ＝3， 又离心率e ＝c a ＝32， 所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆的方程为x 2＋y 24＝1.答案 x 2＋y 24＝116．已知a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程是________．解析 ∵a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)， ∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－32，又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝23.又l 过点A (3，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)，化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案 2x －3y －9＝0三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2011·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18．(12分)(2011·安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明 (1)假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)解法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．解法二 交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x .故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．19．(12分)(2011·开封模拟)如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值． 解析 (1)证明 直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ， 故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部， 所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点． (2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k2，而圆O 的半径r ＝2，故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2， 故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝12×24－d 2×d＝4d 2－d 4＝－d 2－2＋4.而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2＝11＋k2∈(0,1]， 显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3，此时直线m 的方程为y －1＝0.20．(12分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析 (1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意．若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，得d ＝1. 所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )， 则N 点坐标是(0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2.又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)，所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点．21．(12分)(2011·上海)已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求|PA |的最大值与最小值；(3)若|PA |的最小值为|MA |，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，|PA |min ＝22；当x ＝－3时，|PA |max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )．∵当x ＝m 时，|PA |取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2. 22．(14分)如图所示，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 的中点，H 为BE 的中点，问|BE ||CD |·|GF 2||HF 2|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．解析 (1)解法一 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减，得xc ＝32，由抛物线定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32(因∠AF 2F 1为钝角，故舍去)．所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x . 解法二 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线方程为y 2＝2px .如图所示，过F 1作垂直于x 轴的直线x ＝－c ，即抛物线的准线，过A 作AN 垂直于该准线于点N ，作AM ⊥x 轴于点M ， 则由抛物线的定义，得|AF 2|＝|AN |，所以|AM |＝|AF 1|2－|F 1M |2＝|AF 1|2－|AN |2＝|AF 1|2－|AF 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6. |F 2M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6＝12， 得|F 1F 2|＝52－12＝2，所以c ＝1.由p2＝c 得p ＝2.由2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6， 得a ＝3.b 2＝a 2－c 2＝8. 所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)， 由题意知k ≠0，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0， 则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k，y 3y 4＝－4.所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝k 2＋9k22＋4×64k28＋9k2k 2＋9k22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3，为定值．。

1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B等于A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}解析A＝{x||x|≤2，x∈R}＝[－2,2]，B＝{x|x≤4，x∈Z}＝{0,1,2，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．答案 D2．设a，b为实数，若复数1＋2ia＋b i＝1＋i，则A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝3解析∵1＋2ia＋b i＝1＋i，∴a＋b i＝1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，∴a＝32，b＝12.答案 A3．下列命题中的假命题是A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N＋，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2解析对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x ∈(0,1)时，lg x＜0＜1，正确；对于D，∃x∈R，tan x＝2，正确．答案 B4．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析∵f′(x)＝2x ln 2＋3＞0，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f (－2)＝2－2－6＜0，f (－1)＝2－1－3＜0，f (0)＝20＝1＞0，f (1)＝2＋3＝5＞0，f (2)＝22＋6＝10＞0， ∴f (－1)·f (0)＜0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． 答案 B5．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22 C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析 a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误． 答案 C6．在空间，下列命题正确的是 A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析 由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A 不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B 不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C 不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D 正确．答案 D7．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则 A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析 ∵f (x )＝3x ＋3－x ，∴f (－x )＝3－x ＋3x .∴f (x )＝f (－x )，即f (x )是偶函数．又∵g (x )＝3x －3－x ，∴g (－x )＝3－x －3x . ∴g (x )＝－g (－x )，即函数g (x )是奇函数． 答案 B8．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视视图为解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.答案 C9．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种解析 不考虑丙、丁的情况共有A 22A 66＝1 440种排法．在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有A 22A 55＝240种排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日，有A 22A 44＝48种排法，则满足条件的排法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 44＝1 008(种)．答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 如图，作出可行域．由⎩⎨⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ， 平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m ＝9.解得m ＝1. 答案 C11．如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x －的程序框图，图中空白框中应填入的内容为A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nn C ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n解析 由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和，故选A.答案 A12．已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 如图，作出f (x )＝|lg x |的大致图象，由f (a )＝f (b )知|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1.∴b ＝1a .∴a ＋2b ＝a ＋2a.由题意知0＜a ＜1，又函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数， ∴a ＋2a ＞1＋21＝3，即a ＋2b ＞3. 答案 C。

专题检测（五)解析几何(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过点（－2，0)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为A．2x＋y＋4＝0 B．－2x＋y－4＝0C．x－2y＋2＝0 D．－x＋2y－2＝0解析易知所求直线的斜率为－2，所以方程为y－0＝－2（x＋2)，即2x＋y＋4＝0。

答案A2．(2011·中山模拟）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点重合，则p的值为A．－2 B．2C．－4 D．4解析据题意p2＝2，∴p＝4.答案D3．下列曲线中离心率为错误!的是A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C。

错误!＋错误!＝1 D.错误!－错误!＝1解析选项A、B、C、D中曲线的离心率分别是错误!、错误!、错误!、错误!.答案B4．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0"是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由错误!得ky2－y＋1＝0，当k≠0时，Δ＝1－4k＞0，得k＜错误!.即若直线l与抛物线C有两个不同的交点，则k＜错误!且k≠0，故选D。

答案D5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为A．(x＋1）2＋（y－1)2＝2 B．(x－1）2＋（y＋1）2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．（x＋1)2＋(y＋1）2＝2解析设圆心坐标为(a，－a）,∴r＝错误!＝错误!，解得a＝1，∴r＝错误!，故所求的方程为(x－1）2＋(y＋1)2＝2.答案B6．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx ＋2y－4＝0对称，则k的值为A．1 B．－1C.错误!D．2解析曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×（－1)＋2×3－4＝0,∴k＝2.故选D。

一、选择题1．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，F （0，－5）为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为A.错误!－错误!＝1 B 。

错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析 根据焦点坐标，可知该双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0)．根据已知,设a ＝2t ，b ＝3t ，则25＝(2t ）2＋（3t )2,解得t 2＝2513，故a 2＝错误!，b 2＝错误!.所以所求的双曲线方程是错误!－错误!＝1。

答案 B2．已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!,则m 等于A.32B 。

错误! C.错误!或错误! D 。

错误!或错误!解析 因为椭圆的焦点在y 轴上，故a 2＝m ，b 2＝2,故e 2＝错误!＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，解得m ＝83。

答案 B3．(2011·无锡模拟）设椭圆错误!＋错误!＝1(m ＞0，n ＞0）的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为错误!，则此椭圆的方程为A.错误!＋错误!＝1B.错误!＋错误!＝1C.x 248＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1 解析 依题意得抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是（2,0)，则椭圆的右焦点坐标是（2,0）,由题意得m 2－n 2＝22且e ＝错误!＝错误!，m ＝4，n 2＝12，椭圆的方程是x 216＋y 212＝1，选B. 答案 B 4．（2011·烟台模拟)已知双曲线x 2a 2－错误!＝1（a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于错误!,则该双曲线的方程为A ．5x 2－错误!＝1B 。

错误!－错误!＝1C 。

y 25－错误!＝1 D ．5x 2－错误!＝1 解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0），∴c ＝1；又e ＝错误!，a ＝错误!，b 2＝c 2－a 2＝错误!，所以该双曲线方程为5x 2－错误!＝1，故选D 。

一、选择题1．以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在直线的方程为 A ．4x －y －3＝0 B ．x －4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －5＝0D ．x ＋4y －5＝0解析 设弦的两个端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则有x 2116＋y 214＝1，① x 2216＋y 224＝1.② ②－①得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)16＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)4＝0，整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－416·x 2＋x 1y 2＋y 1＝－416×22＝－14， 即斜率k ＝－14，所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)， 整理得x ＋4y －5＝0. 答案 D2．已知椭圆x 24＋y 23＝1，若此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是A.⎝⎛⎭⎪⎫－21313，2213 B.⎝⎛⎭⎪⎫－21313，21313 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－213，21313D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2313，2313 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14， x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y,3x 21＋4y 21＝12① 3x 22＋4y 22＝12②①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y1＋y2＝3(x1＋x2)，即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，而M(x，y)在椭圆的内部，则m24＋9m23＜1，即－21313＜m＜21313.答案 B3．(2011·四平模拟)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选B.答案 B4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A．[1,2] B．(1,2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以该直线的斜率的绝对值小于等于此双曲线渐近线的斜率的绝对值ba，即ba≥ 3.因为e2＝c2a2＝a2＋b2a2，所以e≥2，故选C.答案 C5．如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于A.5＋12B.52C.5－1D.5＋1解析 如图，依题意知， 在Rt △ABF 中，FB ⊥AB ， ∴BF 2＋AB 2＝AF 2，BF ＝c 2＋b 2， AB ＝a 2＋b 2＝c ，AF ＝a ＋c ， 即有c 2＋b 2＋c 2＝(a ＋c )2， 化简得c 2－a 2＝ac ， 即e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去. 答案 A6．动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为A ．y 2＝4xB ．y 2＝8xC ．x 2＝4yD ．x 2＝8y解析 等价于点P 到点A 的距离和到直线y ＝－2的距离相等， 根据抛物线定义，动点的轨迹是以点A 为焦点， 直线y ＝－2为准线的抛物线，焦参数p ＝4， 故所求的抛物线方程为x 2＝8y . 答案 D 二、填空题7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为60°，则b 2＋1a 的最小值是________．解析 根据ba ＝3，即b ＝3a ， ∴b 2＋1a ＝3a 2＋1a ＝3a ＋1a ≥23， 当且仅当3a ＝1a ，即a ＝33时等号成立． 答案 2 38．(2011·南昌模拟)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程是________．解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ→，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简，得y 2＝4x .故填y 2＝4x . 答案 y 2＝4x9．已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b 的值为________．解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1， 得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2三、解答题10．(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a ＞b ＞0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解析 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )． 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ， BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )． 由AM →·BM→＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x ＞0.所以x ＞0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x ＞0)．11．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B .(1)①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；②若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，求椭圆离心率e 的取值范围． (2)设直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，求证：a 2|ON |2＋b 2|OM |2为定值． 解析 (1)①∵圆O 过椭圆的焦点，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝22.②由∠APB ＝90°及圆的性质，可得|OP |＝2b ， ∴|OP |2＝2b 2≤a 2，∴a 2≤2c 2， ∴e 2≥12，即22≤e ＜1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由P A ⊥OA 得y 0－y 1x 0－x 1＝－x 1y 1， 整理得x 0x 1＋y 0y 1＝x 21＋y 21，∵x 21＋y 21＝b 2，∴P A 的方程为x 1x ＋y 1y ＝b 2.同理PB 的方程为x 2x ＋y 2y ＝b 2. P A 、PB 都过点P (x 0，y 0)， ∴x 1x 0＋y 1y 0＝b 2且x 2x 0＋y 2y 0＝b 2， ∴直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 2. 令x ＝0，得|ON |＝|y |＝b 2|y 0|，令y ＝0，得|OM |＝|x |＝b 2|x 0|，∴a 2|ON |2＋b 2|OM |2＝a 2y 20＋b 2x 20b 4＝a 2b2b 4＝a 2b 2.∴a 2|ON |2＋b 2|OM |2为定值，定值是a 2b 2.12．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →||MP →|＋MN →·NP→＝0. (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 斜率为k ，且与曲线C 相交于点S 、T ，若S 、T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，求Q 点横坐标的取值范围．解析 (1)设点P (x ，y )，根据题意则有：MN→＝(4,0)，|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，NP →＝(x －2，y )，代入|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 整理得点P 的轨迹C 的方程y 2＝－8x . (2)设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)，与y 2＝－8x 联立消元得ky 2＋8y ＋16k ＝0，则有y 1＋y 2＝－8k ，y 1y 2＝16，因为直线l 交轨迹C 于两点，则Δ＝64－64k 2＞0， 再由y 1＞0，y 2＞0，则－8k ＞0，故－1＜k ＜0， 可求得线段ST 中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋2，－4k ，所以线段ST 的垂直平分线方程为y ＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 2－2，令y ＝0得点Q 的横坐标为x Q ＝－2－4k 2＜－6，所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．。

一、选择题1．(2011·辽宁）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·（2a －b )＝0,则k ＝A ．－12B ．－6C ．6D ．12解析 由已知得a ·（2a －b ）＝2a 2－a ·b＝2(4＋1)－（－2＋k )＝0，∴k ＝12.答案 D2．（2011·广东）已知向量a ＝(1,2），b ＝（1，0)，c ＝(3,4）．若λ为实数，(a ＋λb ）∥c ，则λ＝A.14 B 。

错误!C ．1D ．2解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0）＝(1＋λ，2）,而c ＝(3，4），由（a ＋λb ）∥c 得4（1＋λ）－6＝0,解得λ＝错误!.答案 B3．（2011·东城模拟）如图所示,在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(错误!＋错误!）·(错误!＋错误!）等于A．2 B．3C．4 D．5解析由于错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!－错误!.(错误!＋错误!)·（错误!＋错误!）＝(错误!－错误!)·（错误!＋错误!)＝错误!2－错误! 2＝9－4＝5.答案D4．（2011·辽宁）若a，b，c均为单位向量,且a·b＝0，(a－c)·（b －c）≤0,则|a＋b－c|的最大值为A.2－1 B．1C。

错误!D．2解析由（a－c)·（b－c）≤0，a·b＝0,得a·c＋b·c≥c2＝1,∴（a＋b－c）2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c）≤1.∴|a＋b－c|≤1.答案B5．在△ABC中,设AB，→＝a，错误!＝b，错误!＝c,若a·（a＋b)＜0，则△ABC是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断其形状解析由题意得a＋b＝错误!＋错误!＝错误!＝－c，a·(a＋b）＝错误!·错误!＝|错误!|｜错误!|cos A＜0，所以∠A为钝角,故△ABC为钝角三角形．答案C6．已知向量a，b,c满足|a｜＝1，|a－b｜＝|b|，(a－c)·(b－c）＝0.若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m,n，则对任意b，m－n的最小值是A.错误!B。

一、选择题1．（2011·辽宁）设sin错误!＝错误!，则sin 2θ＝A．－错误!B．－错误!C.错误!D。

错误!解析sin错误!＝错误!（sin θ＋cos θ）＝错误!,将上式两边平方，得错误! (1＋sin 2θ)＝错误!,∴sin 2θ＝－错误!.答案A2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ＝2，b＝2错误!,A＝45°,则B等于A．90° B．60°C．45° D．30°解析本小题主要考查利用正弦定理解三角形．根据正弦定理可得错误!＝错误!，∴sin B＝1，故B＝90°，故选A。

答案A3．（2011·抚顺模拟）已知sin 10°＝a，则sin 70°等于A．1－2a2B．1＋2a2C．1－a2D．a2－1解析由题意可知,sin 70°＝cos 20°＝1－2sin210°＝1－2a2。

答案A4．（2011·运城模拟）若sin α＝错误!，α∈错误!，则cos错误!＝A．－错误!B。

错误!C．－错误! D.错误!解析∵α∈错误!，sin α＝错误!，∴cos α＝错误!,∴cos错误!＝－错误!(cos α－sin α）＝－错误!,故选A。

答案A5．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2,AC ＝错误!，则sin ∠ABD等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析由余弦定理，得cos ∠ABC＝错误!＝错误!，则∠ABC＝60°，从而∠ABD＝30°，sin ∠ABD＝错误!。

故选A。

答案A6．如图所示，B，C,D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α（α＜β），则A点距地面的高AB等于A.错误! B。

错误! C。

错误!D。

a cos αcos βcos β－α解析AB＝AC sin β，错误!＝错误!＝错误!解得AC＝错误!,∴AB＝错误!.答案A二、填空题7．(2011·重庆）已知sin α＝错误!＋cos α,且α∈错误!,则错误!的值为________．解析由sin α＝错误!＋cos α得sin α－cos α＝错误!，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1 4，∴2sin αcos α＝3 4。

一、选择题1．不等式错误!≤0的解集是A ．(－∞,－1）∪（－1,2]B ．［－1，2]C ．(－∞，－1）∪[2，＋∞)D ．(－1，2]解析 原不等式等价于（x －2）(x ＋1）≤0且x ≠－1,解得{x |－1＜x ≤2｝．答案 D2．(2011·兰州模拟）若b ＜a ＜0，则下列不等式中正确的是 A.1a＞错误! B ．|a ｜＞｜b |C 。

错误!＋错误!＞2D ．a ＋b ＞ab 解析错误!－错误!＝错误!＜0，A 选项错；b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒｜b ｜＞｜a ｜，B 选项错;错误!＋错误!＝错误!＋错误!≥2，由于错误!≠错误!，所以等号不成立，C 选项正确；a ＋b ＜0且ab ＞0，D 选项错．故选C.答案 C3．（2011·滨州模拟)在平面直角坐标系中，不等式组错误!（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为A．3错误!＋2 B．－3错误!＋2C．－5 D．1解析作出可行域，可得平面区域的面积S＝错误!（a＋2）·2（a＋2）＝（a＋2）2＝9,由题意可知a＞0，∴a＝1.答案D4．设0＜a＜1，函数f（x)＝log a（a2x－3a x＋3）,则使f(x）＞0的x的取值范围是A．(－∞，0) B．（0，＋∞）C．(log a2，0) D．（log a2,＋∞)解析根据题意可得0＜a2x－3a x＋3＜1，令t＝a x，即0＜t2－3t＋3＜1，因为Δ＝（－3)2－4×3＝－3＜0,故t2－3t＋3＞0恒成立，只要解不等式t2－3t＋3＜1即可，即解不等式t2－3t＋2＜0，解得1＜t＜2,即1＜a x＜2，取以a为底的对数，根据对数函数性质得log a2＜x＜0.故选C.答案C5．（2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组错误!给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为(错误!，1)，则z＝错误!·错误!的最大值为A．4错误!B．3错误!C．4 D．3解析由线性约束条件错误!画出可行域如图所示,目标函数z＝错误!·错误!＝错误!x＋y,将其化为y＝－错误!x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（错误!，2）时,z最大，将点(错误!，2）的坐标代入z＝错误! x＋y得z的最大值为4.答案C6．若x，y都是正数，则错误!2＋错误!2的最小值是A．1 B．2C．3 D．4解析错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!＋错误!≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y＝错误!时取等号．答案D二、填空题7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则错误!的最小值是________．解析∵错误!＝错误!≥错误!＝4。

一、选择题1．(2011·安徽)若点（a，b）在y＝lg x图象上,a≠1，则下列点也在此图象上的是A.错误!B．（10a,1－b)C.错误!D．(a2，2b）解析由题意b＝lg a，2b＝2lg a＝lg a2,即（a2,2b）也在函数y＝lg x图象上．答案D2．(2011·西城模拟)函数y＝错误!，x∈（－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的解析因为y＝错误!,x∈(－π，0)∪(0，π）是偶函数，x∈(0，π）时，x＞sin x，故C正确．3．（2011·珠海模拟)已知定义在R上的奇函数f(x）满足f(x－4）＝－f（x)，且在区间［0，2]上是增函数，则A．f（－25）＜f（11）＜f（80）B．f(80）＜f（11）＜f(－25）C．f(11)＜f(80)＜f(－25）D．f(－25)＜f（80)＜f(11)解析因为f（x)满足f(x－4)＝－f（x），所以f（x－8）＝f(x），所以函数是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f(80）＝f（0），f（11)＝f(3），又因为f（x）在R上是奇函数，f（0）＝0，得f（80）＝f(0）＝0，f（－25)＝f（－1)＝－f(1），而由f（x－4）＝－f（x）得f（11)＝f(3)＝－f(－3）＝－f（1－4）＝f（1）,又因为f（x）在区间［0，2]上是增函数,所以f（1）＞f(0)＝0,所以－f(1)＜0,即f(－25）＜f（80)＜f(11），故选D。

4．(2011·山东)已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间［0,6]上与x轴的交点的个数为A．6 B．7C．8 D．9解析∵f（x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x＜2时,f(x)＝x3－x＝x（x－1）（x＋1)，∴当0≤x＜2时，f(x）＝0有两个根，即x1＝0,x2＝1。

学必求其心得，业必贵于专精一、选择题1．（2011·山东)若函数f(x）＝sin ωx（ω＞0)在区间错误!上单调递增,在区间错误!上单调递减,则ω＝A．3 B．2C。

错误! D.错误!解析∵y＝sin ωx(ω＞0)过原点，∴当0≤ωx≤错误!，即0≤x≤错误!时，y＝sin ωx是增函数；当错误!≤ωx≤错误!,即错误!≤x≤错误!时,y＝sin ωx是减函数．由y＝sin ωx（ω＞0)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减知，错误!＝错误!，∴ω＝错误!。

答案C2．（2011·潍坊模拟）将函数y＝sin错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移错误!个单位，得到的函数的一个对称中心是A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析将函数y＝sin 错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的学必求其心得，业必贵于专精3倍,得到函数g(x）＝sin（⎭⎪⎫2x＋π4的图象；再向右平移错误!个单位，得到函数h（x）＝sin错误!＝sin 2x的图象，又h错误!＝0，所以错误!是函数h（x）的一个对称中心．故选A.答案A3．(2011·天津)已知函数f（x）＝2sin(ωx＋φ），x∈R,其中ω＞0，－π＜φ≤π。

若f（x）的最小正周期为6π,且当x＝错误!时，f(x）取得最大值,则A．f（x)在区间[－2π，0］上是增函数B．f（x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间［3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间［4π，6π］上是减函数解析∵T＝6π，∴ω＝错误!＝错误!＝错误!,∴错误!×错误!＋φ＝2kπ＋错误!（k∈Z),∴φ＝2kπ＋错误!(k∈Z）．∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝错误!.∴f（x)＝2sin错误!。

令2kπ－错误!≤错误!＋错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z，则6kπ－错误!≤x≤6kπ＋错误!，k∈Z。

显然f（x）在错误!上是增函数，故A正确，而在错误!上为减函数,在错误!上为增函数,故B错误,f（x)在错误!上为减函数，在错误!上为增函数,故C错误，f(x）在［4π，6π]上为增函数,故D错误．答案A4．已知函数y＝sin(ωx＋φ）错误!，且此函数的图象如图所示，则点(ω,φ)的坐标是A。

一、选择题1．（2011·陕西）某几何体的三视图如下，则它的体积是A．8－错误!B．8－错误!C．8－2π D.错误!解析由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥，所以V＝23－错误!×π×2＝8－错误!，故选A。

答案A2．正方体ABCD－A1B1C1D1中,P、Q、E、F分别是AB、AD、B1C1、C1D1的中点,则正方体的过P、Q、E、F的截面图形的形状是A．正方形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形解析如图所示,由EF∥PQ，可确定一个平面，此平面与正方体的棱BB1、DD1分别相交于点M、N，由此可得截面图形的形状为正六边形PQNFEM，故应选D。

答案D3．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC 绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是A。

错误!π B.错误!πC。

错误!π D。

错误!π解析依题意可知，△ABC绕直线BC旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin 60°＝错误!，高为1.5＋2×cos 60°＝2.5的圆锥,挖去一个底面半径为错误!,高为1的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积V＝错误!π×（错误!）2×（2。

5－1)＝错误!π，故应选A.答案A4．(2011·惠州模拟）下图是某几何体的直观图，其三视图正确的是解析由三视图的知识可知A正确．答案A5．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3,体积为6，则这个球的表面积是A．16π B．20πC．24π D．32π解析设正四棱锥的底面边长为a，则6＝错误!×3×a2，得a＝错误!，∴HC＝错误!，设球心为O，半径为R，则R2＝(3－R）2＋3（如图(1)）或R2＝(R－3)2＋3,解得R＝2，∴S＝16π.图(1) 图(2）答案A6．（2011·丰台模拟）四面体OABC的三条棱OA，OB，OC 两两垂直，OA＝OB＝2，OC＝3,D为四面体OABC外一点．给出下列命题①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥;③存在点D，使CD与AB垂直并且相等；④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球球面上．其中真命题的序号是A．①②B．②③C．③D．③④解析依题意得，AB＝22,AC＝BC＝错误!。