6-2 平面向量的分解及坐标表示

数学（理）
→ 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝
Hale Waihona Puke Baidu
(x2－x1，y2－y1) ，
即一个向量的坐标等于 该向量终点的坐标减去始点的坐标 ． (3)平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
λb 其中 b≠0，则 a 与 b 共线⇔a＝ ⇔ x1y2－x2y1＝0 .
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1.了解平面向量的基 本定理及其意义． 2．掌握平面向量的 正交分解及其坐标表 示． 3．会用坐标表示平 面向量的加法、减法 与数乘运算． 4．理解用坐标表示 的平面向量共线的条 件.
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数学（理）
(对应学生用书 P99)
1．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有 一对实数 λ1， 不共线的向量e1，e2 a＝λ1e1＋λ2e2 λ2，使 其中， 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底．
3．利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向 量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．
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→ → 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝ → → → b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标．
→ ＝a，AC＝b，AP＝λAM＝λ (a＋b) → → → 【解】 设AB 2 → → → 又AP＝AB＋BP → → → → → ＝AB＋μBN＝AB＋μ(AN－AB) → ＋μ(2AC－AB)＝(1－μ)a＋2μb. → → ＝AB 3 3
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根据平面向量基本定理 λ 2＝1－μ λ ＝2μ 2 3
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向量的坐标运算主要是利用加、 数乘运算法则进行． 减、 若 已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过 程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
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→ ＝4d－2c， 即AB 3 3 → ＝4c－2d. AD 3 3 → → 法二：设AB＝a，AD＝b. 因为 M，N 分别为 CD，BC 的中点， → ＝1b，DM＝1a， → 所以BN 2 2
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如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的 → → → → 中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
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2．平面向量的坐标运算
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(1)加法、减法、数乘运算
向 量
a
b
a＋b
a－b
λa (λx1， λy1)
坐 (x1， (x2， y2 ) 标 y1 )
(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2)
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(2)向量坐标的求法
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1.向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进 行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就 可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 2．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进 行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用．
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1， 解得 n＝－1.
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→ → → (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， → → ∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． → → → ∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， → ∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．
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1 c＝b＋2a 因而 d＝a＋1b 2
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2 a＝32d－c ⇒ b＝22c－d， 3
→ ＝2(2d－c)，AD＝2(2c－d). → 即AB 3 3
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→ → 解：法一：设AB＝a，AD＝b， → ＋NB＝d＋(－1b)① 则 a＝AN → 2 → ＋MD＝c＋(－1a)② b＝AM → 2 1 1 将②代入①得 a＝d＋(－ )[c＋(－ a)] 2 2 4 2 ⇒a＝3d－3c，代入② 1 4 2 4 2 得 b＝c＋(－2)(3d－3c)＝3c－3d.
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【解】 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
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3．在求与一个已知向量 a 共线的向量时，采取待定系数 法更为简单，即设所求向量为 λa(λ∈R)，然后结合其他条件列 出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λa 即可得到欲求向量， 这样可以使未知数的个数少一些，便于求解．
，无解，
∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
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1.凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行 的充要条件． 2．两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用， 一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用“若 a＝(x1， 1)， y b＝(x2， 2)， a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0” y 则 比较简捷．
数学（理）
→ → → 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)且OP＝OA＋tAB， (1)求点 P 在第二象限时，实数 t 的取值范围； (2)四边形 OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的 实数 t；若不能，请说明理由．
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就是终点 A ，反之
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问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表示时，结果惟一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组 基底吗？
提示：表示结果惟一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
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(2)平面向量的正交分解
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把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量， 叫做把向量正 交分解． (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的 两个单位向量 i，j 作为基底．对于平面内的一个向量 a，有且 只有一对实数 x，y 使 a＝xi＋yj，把有序数对 (x，y) 叫做向 量 a 的坐标，记作 a＝
x＝1＋3t ∴ y＝2＋3t
2 1 ，∴－3<t<－3.
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→ → → → (2)因为OA＝(1,2)，PB＝OB－OP＝(3－3t,3－3t)， → → 若四边形 OABP 为平行四边形，则OA＝PB.
3－3t＝1 ∵ 3－3t＝2
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(对应学生用书 P100)
1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内 的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同， 表示也不同． 2．对于两个向量 a，b，将它们用同一组基底表示，我们 可通过分析这两个表示式的关系，来反映 a，b.
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解：∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， → → ∴OA＝(1,2)，AB＝(4－1,5－2)＝(3,3)． → (1)设 P(x，y)，则OP＝(x，y)，若点 P 在第二象限，
x<0 则 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
1＋3t<0 ，∴ 2＋3t>0
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4 3 解得 λ＝ ，μ＝ ， 5 5
→ ＝4AM，PM＝1AM 因此AP 5 → → 5 → → → |AP|∶PM|＝4∶1，即 AP∶PM＝4∶1.
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一般地，我们选取三角形相邻两边做为一组基底，本例中 → → → → 以AB、AC为一组基底，任一向量均可用AB、AC表示出来，而 且是惟一的，由此可以确定 AP：PM.
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考纲要求
考情分析 平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几 何问题转化为代数问题来解决．特别地， 用坐标表示的平面向量共线的条件是高考 考查的重点，属中低档题目，如2012年广 东卷3、安徽卷8，常与向量的数量积、运 算等交汇命题．注重对转化与化归、函数 与方程思想的考查，如2012年安徽卷14、 天津卷7等． 预测：2013年高考仍以向量的坐标运算、 向量共线的表示为主要考点，重点考查运 算能力与应用能力，题型以选择、填空为 主，或在解答题中作为工具出现.
(x，y)
，其中 x 叫做 a 在 x 轴上
的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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→ ②设OA＝xi＋yj， 则向量的坐标(x，y) 则 → 的坐标，即若OA＝(x，y)，则 A 点坐标为 (x，y) 亦成立(O 是坐标原点)．
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问题探究 3：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要 x1 y1 条件能表示成 ＝ 吗？ x2 y2
提示：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不 x1 y1 能表示成 ＝ ，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2 x2 y2 －x2y1＝0.同时， a∥b 的充要条件也不能错记为：1x2－y1y2＝0， x x1y1－x2y2＝0 等．
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3．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边 形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．
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如右图，在△ABC 中，M 是 BC 的中点，N 在边 AC 上， 且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于 P 点，求 AP∶PM 的值．
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问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？
提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起 → 点的向量OA的坐标与点 A 的坐标相同．
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