广东省河源市东源县高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.3 函数的奇偶性练习 新人教A版必修1

1.3.2函数的奇偶性一．教学背景分析1 . 教材的地位与作用(1)本节课内容选自（人教A版）普通高中课程标准实验教科书《数学必修Ⅰ》第一章第三节第二课；(2)函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,是函数的重要性质之一,对它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入学习起着重要的铺垫作用；（3）奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2 . 学情分析（1）已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。

尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；（2）在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；（3）所任教班级的学生虽然基础比较弱，但也具备一定的观察能力，只是观察的深刻性及稳定性还有待进一步提高；他们有明确的学习动机，能主动自觉配合教师完成教学内容。

二、教学目标1、知识与技能：（1）通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。

然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。

（2）通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，形成判断奇偶性的步骤，从而能应用到简单的数学问题中去。

（3）经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言积累，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。

在这个过程中，通过师生共同探究活动，体验数学概念的形成过程；通过积极的数学思考，培养和提升数学思维能力。

2、过程与方法通过“观察”“思考”“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用多媒体辅助教学，培养学生的类比，观察,归纳能力；渗透数形结合的思想方法；感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。

3、情感态度与价值观培养合作、交流的能力；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，感受数学美，陶冶情操。

,，可以看出函数与都是
上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。

）是任意函数，那么与都是偶函数。

此命题错误。

一方面，对于函数
， 不能保证或
；另一方面，对于一个任意函数
而言，不能保证它的定义域关于原点对称。

如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。

（4）函数
是偶函数，函数
是奇函数。

此命题正确。

由函数奇偶性易证。

（5）已知函数
是奇函数，且
有定义，则。

此命题正确。

由奇函数的定义易证。

（6）已知是奇函数或偶函数，方程
有实根，那么方程
的所有实根之和
为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程
有奇数个实根。

此命题正确。

方程的实数根即为函数
与
轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：
若，则。

对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。

故原命
题成立。

4、补充例子
例：定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)1()1(2
<-+-a f a f ，求实数a 的取
值范围。

课堂练习：教材第53页 练习A 、B
小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定 课后作业：第57页 习题2-1A 第6、7、8题。

高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用教案新人教A 版必修1第2课时 函数奇偶性的应用[目标] 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．[重点] 利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．[难点] 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.知识点一 函数奇偶性的性质[填一填]1．奇、偶函数代数特征的灵活变通 由f (－x )＝－f (x )，可得f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；由f (－x )＝f (x )，可得f (－x )－f (x )＝0或f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．[答一答]1．什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，故－f (x )＝f (x )，所以f (x )＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f (x )＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系[填一填]由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．[答一答]3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式[例1] (1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2 015，则f(－3)＝________.(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．[答案](1)－2 009 (2)见解析[解析](1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．又g(3)＝f(3)－3＝2 015－3＝2 012，所以g(－3)＝－g(3)，即f(－3)－3＝－2 012，解得f(－3)＝－2 009.法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2 015＝－2 009.(2)解：设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1. 又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ＋1，x >0，0，x ＝0，x 3＋x －1，x <0.(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f (x )与f (－x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式，不要忘记x ＝0的特殊情况.[变式训练1] (1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( B )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则x <0时，f (x )＝x 2－x .解析：(1)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.①f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.②由①＋②得g (1)＝3，故选B.(2)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x . 又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .类型二 函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小[例2] 若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32与f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52[答案] C[解析] 因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋2a ＋52.奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断.[变式训练2] 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( D )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)解析：由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图象的对称轴为x ＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f (6)<f (7)，f (6)＝f (10)<f (9)，f (7)＝f (9)>f (10)．故选D.命题视角2：解不等式[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．[分析] 由于f (x )是奇函数，可得f (x )在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f (1－m )<f (m )转化为具体的不等式组求解．[解] 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.[变式训练3] 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：因为f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象由f (2x －1)<f (13)得－13<2x －1<13.解得13<x <23.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用[例4] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且满足对于定义域内任意的x 1，x 2都有等式f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立．(1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明．(3)若f (4)＝1，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (－6)≤3.[解] (1)令x 1＝x 2＝1得，f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，则f (－1)＝0， 令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (x )，又定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (4)＝1，又f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)， ∴f (16)＋f (4)＝f (16×4)＝f (64)， ∴f (64)＝f (4)＋f (4)＋f (4)，∴f (64)＝3. ∴f (3x ＋1)＋f (－6)≤3等价于f (－6(3x ＋1))≤3，∴f (|－6(3x ＋1)|)≤f (64)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≠0，|－6(3x ＋1)|≤64，解得x ∈[－359，－13)∪(－13，299]．对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f (1)，f (0)，f (－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f (x )与f (－x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断.[变式训练4] 已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0. 解：(1)因为f (x )＝ax ＋bx 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (0)＝0，得b ＝0.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，则12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝25⇒a ＝1.所以f (x )＝x x 2＋1.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )<0， 得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1<t －1<1，－1<－2t <1，t －1<－2t ，⎩⎪⎨⎪⎧0<t <2，－12<t <12，t <13.解得0<t <13.故不等式f (t －1)＋f (2t )<0的解集为{t |0<t <13}．1．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，b ＝f (π2)，c ＝f (32)的大小关系是( C )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <a <b解析：f (x )为偶函数，则a ＝f (－2)＝f (2)． 又∵2<32<π2，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (32)<f (π2)，即a <c <b .2．已知函数f (x )是偶函数，且x <0时，f (x )＝3x －1，则x >0时，f (x )＝( C ) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．－3x －1D ．－3x ＋1解析：设x >0，则－x <0.∴f (－x )＝－3x －1.又∵f (x )是偶函数，∴x >0时，f (x )＝f (－x )＝－3x －1.3．若f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( D )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)解析：∵f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是(－∞，0)．解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，∴f(3a－10)<－f(4－2a)，∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，∴f(3a－10)<f(2a－4)．又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．——本课须掌握的三大问题1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．学习至此，请完成课时作业13。

第1课时奇偶性的概念学习目标核心素养1.理解奇函数、偶函数的定义．2．了解奇函数、偶函数图象的特征．3．掌握判断函数奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函数的特征，提升直观想象素养．2．借助函数奇、偶的判断方法，提升逻辑推理素养.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于函数f(x)定义域内的任意一个x结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x) 图象特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．1．下列函数是偶函数的是( )A．y＝x B．y＝2x2－3C．y＝1xD．y＝x2，x∈[0,1]B[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.] 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A BC DB [B 选项的图象关于y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．无法确定C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝0，即a ＝1.] 4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 3 [∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝3.]函数奇偶性的判断【例1】 (教材改编题)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0，0，x ＝0，x ＋1，x >0.[解] (1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－(x 3＋x )＝－f (x )， 因此函数f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0得x 2＝1，即x ＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－x <0，0，－x ＝0，－x ＋1，－x >0，即f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，0，x ＝0，－x －1，x <0.于是有f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：[跟进训练]1.下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f (x )＝x 3；②f (x )＝|x |＋1；③f (x )＝1x2；④f (x )＝x ＋1x；⑤f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]．②③ [对于①，f (－x )＝－x 3＝－f (x )，则为奇函数； 对于②，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝1－x2＝1x2＝f (x )，则为偶函数；对于④，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] 2．判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)； (2)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|； (3)f (x )＝1－x2x；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x －3，x ＞0.x 2＋2x ＋3，x ＜0.解：(1)定义域[－4,4)不关于原点对称，因此函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数f (x )定义域为R ，且f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，因此函数f (x )为偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≠0得－1≤x ＜0或0＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]， 又f (－x )＝1－－x 2－x＝－1－x2x＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．(4)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )，当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－f (x )．综上知，f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数．奇偶函数的图象问题【例2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．[解] (1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．[解] (1)如图所示(2)由(1)可知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函数的图象求解问题1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称.2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.[跟进训练]3．如图是函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．[解] 因为f (x )＝1x 2＋1所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1－x2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．利用函数的奇偶性求值1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？提示：若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值．【例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.思路点拨：(1)f x是偶函数――――→定义域关于原点对称求a的值――――→图象关于y轴对称求b的值(2)令g x＝x7－ax5＋bx3＋cx―→判断g x的奇偶性―→计算g－3―→代入求得f3(1)130 (2)7[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]利用奇偶性求参数的常见类型及策略1定义域含参数：奇、偶函数f x的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.2解析式含参数：根据f－x＝－f x或f－x＝f x列式，比较系数即可求解.[跟进训练]4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝________.－32 [由题意知f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－12×－1＝－32.]5．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.4 [法一：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，f (－x )＝(－x ＋a )(－x －4)＝x 2－(a －4)x －4a ，两式恒相等，则a －4＝0，即a ＝4.法二：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a －4＝0，则a ＝4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x )＝ax 2＋c 的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a ＝4.]1．核心要点：奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数f (x )定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．2．数学思想：奇(偶)函数图象的对称性，也体现了在关于原点对称的定义域上自变量互为相反数的两个函数值及其性质的相互转化，这是数形结合思想的具体体现．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 2，x ∈[0，＋∞)是偶函数．( )(2)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数． (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋1x－1，则f (－2)＝( )A ．－112 B.112 C ．－92 D.92D [由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(－22＋12－1)＝92.]3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.0[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.] 4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．[解] (1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．。