2017北师大版高中数学1.6《正切函数》word教案.doc

§6正切函数结合我们在初中对正切知识的学习以及正弦、余弦函数的定义，你能给出正切函数的定义吗？【提示】 能．1．在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．与正弦函数、余弦函数的关系 tan α＝sin αcos α(α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z )．AT 为角图1－7－1前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？【提示】∵tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2)，∴口诀对正切函数依然适用.(1)已知点P (－2a,3a )(a ≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ；(2)已知P (x ，－32)是角α终边上的一点，且tan α＝－3，求x 的值． 【思路探究】 (1)直接利用正切函数的定义求解；(2)根据正切函数的定义列出关于x 的方程，求解即可．【自主解答】 (1)由于a ≠0，∴tan θ＝3a －2a＝－32.(2)由于tan α＝－32x＝－3， 可解得x ＝12.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba.2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．若角θ的终边经过点A (－45，m )，且tan θ＝34，则m ＝________.【解析】 由正切函数的定义得，m －45＝34，解得m ＝－35.【答案】 －35求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°).【思路探究】 利用诱导公式将负角、大角的三角函数值化为锐角的三角函数值． 【自主解答】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.1．熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．2．无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．(1)化简tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)；(2)若a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)，求a 2＋a ＋1的值． 【解】 (1)tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°)＝tan (－α)tan (α－90°)tan αtan αtan (90°＋α)tan (－α)＝(－tan α)(－cot α)tan αtan α(－cot α)(－tan α)＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1.(2)a ＝cos (α＋π)sin 2(3π＋α)tan (4π＋α)tan (π＋α)cos 3(－α－π)＝(－cos α)sin 2αtan α·tan α(－cos 3α)＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α·(－cos 3α) ＝－cos 3αsin 2αsin 2α(－cos 3α)＝1， ∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.。

数学必修四北师大版正切函数的诱导公式教案教案：正切函数的诱导公式教学目标：1.理解正切函数的定义及其性质；2.掌握正切函数的诱导公式；3.运用诱导公式解决相关问题。

教学准备：1.教师准备黑板、粉笔和教学课件；2.学生准备教材、笔、纸等。

教学过程：一、导入（5分钟）通过复习余切函数的定义和性质，引导学生回忆正切函数的定义，并提问：你知道正切函数有哪些特点吗？二、讲解正切函数的定义（10分钟）1.提示：在单位圆上，有一点P(x,y)（其中x≠0），该点到原点的距离为1，且OP的延长线与x轴的夹角为θ，那么正切函数的定义是什么？2. 引导学生认识到，正切函数的定义是tanθ = y/x。

三、示例讲解（20分钟）1.通过几个具体的例子来解释正切函数的定义，帮助学生理解正切函数的含义。

2. 讲解例题1：已知角度θ的终边与单位圆的交点为P(x, y)，求tanθ的值。

四、探究正切函数的诱导公式（25分钟）1. 利用三角函数的基本关系和恒等式，推导正切函数的诱导公式tan(A + B)。

2.提醒学生注意证明过程中的每一步，辅助学生理解并巩固推导过程。

五、讲解诱导公式的应用（20分钟）1.以具体的案例说明诱导公式的用途，如解三角函数方程和证明三角恒等式等。

2. 引导学生思考：怎样利用诱导公式计算tan75°的值？六、练习与作业（15分钟）1.课堂练习：布置几道练习题，巩固学生对正切函数的诱导公式的理解和应用。

2.作业扩展：邀请学生通过课外学习，探索更多和正切函数相关的问题，并写一份小结。

七、总结与反思（5分钟）1.教师对学生的课堂表现进行总结评价，激励学生继续努力；2.学生反思本节课的收获和不足，为下一节课的学习做准备。

教学辅助：1.制作教学课件，包括正切函数的定义、诱导公式的推导过程等；2.准备示例题和练习题，帮助学生巩固知识点。

教学评价：1.教师可通过课堂练习和作业扩展，及时了解学生对正切函数的诱导公式的掌握情况；2.可通过学生的课堂表现和作业完成情况，评价教学效果。

高中数学北师大版目录北师大版《数学 (必修 1)》§ 5 平行关系全书目录：§ 6 垂直关系第一章集合§ 7 简单几何体的面积和体积§ 1 集合的含义与表示§ 8 面积公式和体积公式的简单应用§ 2 集合的基本关系阅读材料蜜蜂是对的§ 3 集合的基本运算课题学习正方体截面的形状阅读材料康托与集合论第二章解析几何初步第二章函数§ 1 直线与直线的方程§ 1 生活中的变量关系§ 2 圆与圆的方程§ 2 对函数的进一步认识§ 3 空间直角坐标系§ 3 函数的单调性阅读材料笛卡儿与解析几何§ 4 二次函数性质的再研究探究活动 1 打包问题§ 5 简单的幂函数探究活动 2 追及问题阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算必修 3全书目录第三章指数函数和对数函数第一章统计§ 1 正整数指数函数§ 1 统计活动：随机选取数字§ 2 指数概念的扩充§ 2 从普查到抽样§ 3 指数函数§ 3 抽样方法§ 4 对数§ 4 统计图表§ 5 对数函数§ 5 数据的数字特征§ 6 指数函数、幂函数、对数函数增长§ 6 用样本估计总体的比较§ 7 统计活动：结婚年龄的变化阅读材料历史上数学计算方面的三大§ 8 相关性发明§ 9 最小二乘法阅读材料统计小史第四章函数应用课题学习调查通俗歌曲的流行趋势§ 1 函数与方程§ 2 实际问题的函数建模第二章算法初步阅读材料函数与中学数学§ 1 算法的基本思想探究活动同种商品不同型号的价格问§ 2 算法的基本结构及设计题§ 3 排序问题§ 4 几种基本语句必修 2 课题学习确定线段 n 等分点的算法全书目录：第一章立体几何初步第三章概率§ 1 简单几何体§ 1 随机事件的概率§ 2 三视图§ 2 古典概型§ 3 直观图§ 3 模拟方法――概率的应用§ 4 空间图形的基本关系与公理探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值 1.2 数列的函数特性§ 2 等差数列必修 4 全书目录： 2.1 等差数列2.2 等差数列的前ｎ项和第一章三角函数§ 3 等比数列§ 1 周期现象与周期函数 3.1 等比数列§ 2 角的概念的推广 3.2 等比数列的前ｎ项和§ 3 弧度制§ 4 书雷在日常经济生活中的应§ 4 正弦函数用§ 5 余弦函数本章小节建议§ 6 正切函数复习题一§ 7 函数的图像课题学习教育储蓄§ 8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐第二章解三角形课题学习利用现代信息技术探究的图§ 1 正弦定理与余弦定理像 1.1 正弦定理1.2 余弦定理第二章平面向量§ 2 三角形中的几何计算§ 1 从位移、速度、力到向量§ 3 解三角形的实际应用举例§ 2 从位移的合成到向量的加法本章小结建议§ 3 从速度的倍数到数乘向量复习题二§ 4 平面向量的坐标§ 5 从力做的功到向量的数量积第三章不等式§ 6 平面向量数量积的坐标表示§ 1 不等关系§ 7 向量应用举例 1.1 不等关系阅读材料向量与中学数学 1.2 比较大小§ 2 一元二次不等式第三章三角恒等变形 2.1 一元二次不等式的解法§ 1 两角和与差的三角函数 2.2 一元二次不等式的应用§ 2 二倍角的正弦、余弦和正切§ 3 基本不等式§ 3 半角的三角函数 3.1 基本不等式§ 4 三角函数的和差化积与积化和差 3.2 基本不等式与最大（小）§ 5 三角函数的简单应用值课题学习摩天轮中的数学问题§ 4 简单线性规划探究活动升旗中的数学问题 4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划必修 5 4.3 简单线性规划的应用全书共三章：数列、解三角形、不等式。

1.7.3 正切函数的诱导公式一、复习准备：常见的三角函数还有正切函数，在前面，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的诱导公式。

二、观察分析tan(2π＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α tan(2π－α)＝－tan α tan(π－α)＝－tan αtan(π＋α)＝tan α思考分析：tan()tan()22ππαα-+ 三、范例分析例1．若tan α＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

解：∵tan α＝32＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝32可知，角α终边上必有一点P （3，2）. 所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sin α＝r y ＝13132， cos α＝r x ＝13133. (2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝r y ＝－13132， cos α＝r x ＝－13133. 例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan 解：原式＝()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()αααααtan tan tan tan tan ---＝－αtan 1. 四、课堂练习40页练习8、9五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业：P45习题A组1—11四、课后反思教学过程：。

高中数学《正切函数的图像与性质》教学设计一、教学内容分析：三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是三角函数这个小分支中的一个内容节点。

让学生能清晰地认识到所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。

正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特别地要研究其渐近线。

在此也向学生进一步说明华罗庚教授的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会到：数学的美无处不在，数学无处不美。

二、学情分析：本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人教A 版）数学必修四第一章《三角函数》第1.4.3节《正切函数的图像与性质》。

本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后，又一具体的三角函数。

教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y的图象，根据图象，研究正切函数的性质。

体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。

学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素；但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。

三、教学目标：1. 知识与技能目标：① 在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。

② 通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在(,)22ππ-上的图像，得到正切曲线。

③ 根据正切曲线，完善正切函数的性质。

2. 过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力，养成良好的数学学习习惯。

3. 情感态度价值观目标：在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。

§6 正切函数（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学习目标核心素养1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用．(难点)1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像，体会数学直观素养．2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题，提升数学运算素养．1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值ba叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图所示，线段AT为角α的正切线．思考1：设角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么ba 何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？[提示] 当a ≠0时，ba 有意义． tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．正切函数的图像与性质 图像性质定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 奇偶性奇函数周期性 周期为k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期为π单调性 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 上是增加的 对称性该图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z[提示] 不能．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．1．若角α的终边上有一点P (2x －1，3)，且tan α＝15，则x 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．45 B [由正切函数的定义知tan α＝32x －1＝15，解得x ＝8.]2．函数y ＝tan x 的对称中心坐标为( ) A ．(k π，0)(k ∈Z ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )D ．(2k π，0)(k ∈Z )C [y ＝tan x 的图像与x 轴的交点以及x 轴上使y ＝tan x 无意义的点都是对称中心．]3．函数y ＝tan 2x 的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z[由正切函数的定义知，若使y ＝tan 2x 有意义，则2x ≠k π＋π2(k ∈Z ).解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z ).]4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．[0，1] [函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan 0＝0.]正切函数的概念【例1】 已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．[解] r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝5|a |， 若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45. tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba .2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值． [解] 由题意知cos α＝－b b 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0， ∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.正切函数的图像【例2】 作出函数y ＝tan |x |的图像，判断函数的奇偶性及周期性． [思路探究] 去掉绝对值号，先作出x ≥0时的图像，再利用图像变换作出x <0时的图像．[解] ∵y ＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0，k ∈Z ，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0，k ∈Z .∴当x ≥0时，函数y ＝tan |x |在y 轴右侧的图像即为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像．当x <0时，y ＝tan |x |在y 轴左侧的图像为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像关于y 轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y ＝tan |x |是偶函数，但不是周期函数．1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，两线是直线x ＝±π2为渐近线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．2．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是图中的________．(填序号)① ② ③ ④(1)A (2)④ [(1)如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是3.(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π.]正切函数的性质 [探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．[提示] 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．2．函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？ [提示] y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 【例3】 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0). (1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性；(2)求f (x )的最小正周期．[思路探究] (1)通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图像的特点可判断函数的最小正周期．[解] (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴f (－x )＝－a tan (－x )＝a tan x ＝－f (x ). 又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称，∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.1．(变条件)若将例3中的函数变为“f (x )＝－a |tan x |”则它的最小正周期是多少？[解] f (x )的最小正周期不变还是π.2．(变结论)例3中的条件不变，求f (x )的单调区间． [解] ∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增，∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增． 3．(变结论)例3中的条件不变，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．[解] 当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值． ∴f (x )的值域为(－∞，－a ].当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，当x ＝π4时，f (x )min ＝－a .无最大值． ∴f (x )的值域为[－a ，＋∞).对于形如y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2，x ＝π2，然后描出三个点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1，1]，正切函数是无界函数，值域为R .(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R ，正切函数的图像是不连续的，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增加的．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数为定义域上的增函数．( ) (2)正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 是增函数． ( ) (3)若x 是第一象限的角，则y ＝tan x 是增函数． ( ) (4)正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z . 解得k π－3π4<x <k π＋π4，故选C.]3．若角θ的终边经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，m ，且tan θ＝34，则m ＝________．－35 [由tan θ＝y x ＝m －45＝34.∴m ＝－35.]4．函数y ＝tan (2x ＋θ)图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．[解] 因为函数y ＝tan (2x ＋θ)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴2·π3＋θ＝k π2，k ∈Z .∴θ＝k π2－23π，k ∈Z . 又∵－π2<θ<π2， ∴当k ＝2时，θ＝π3； 当k ＝1时，θ＝－π6. ∴满足题意的θ为π3或－π6.。

§7正切函数1．理解任意角的正切函数的定义，掌握正切函数的诱导公式．会用公式进行求值、化简和证明．2．类比正弦函数图象，利用列表、描点、连续画出函数y ＝tan x 的图象． 3．掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质． 4．通过正切函数的学习，提升数学抽象的素养以及分析解决问题的能力．教学重点：正切函数的定义，正切函数的图象性质．教学难点：用描点法画正切函数的图象，正确函数性质的研究．PPT 课件．一、探索新知“东升西落照苍穹，影短影长角不同”．随着太阳高度的变化，地面物体的影子的长度也随之变化，在这些变化之中蕴藏着物体影子长度与光线角度之间的关系，这个关系是什么呢？前面我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质，那么正切函数又有什么特定的性质呢？设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——正切函数（板书）． 1．正切函数的定义 教师讲解：根据函数的定义，比值sin cos xx是x 的函数，称为x 的正切函数，记作tan y x =，其定义域为{|,}2x R x k k Z ππ∈≠+∈．问题1：正切函数的定义与初中所学的定义有什么区别与联系？ 师生活动：学生思考后，举手回答． 设计意图：帮助学生理解正切函数的概念．问题2：在平面直角坐标系的单位圆中，如何求下列角α的正切函数值？（1）4πα=-；（2）34πα=． 师生活动：学生独立思考，教师可以启发、引导学生回顾正弦函数、余弦函数的定义，进而利用正切函数的定义处理．设计意图：理解正切函数定义，提升数学运算的素养．问题3：如图，在角α终边上任取一点(,)(0)Q x y x ≠，请思考，如何求角α的正切函数值？师生活动：学生独立思考，教师板演．设计意图：通过本题求解，从具体背景中抽象出一般结构，并用数学符号予以表征，从而提升学生分析问题、解决问题、形成数学方法与思想的综合素养．追问：问题3中的角α是任意角，角α是否有可能落在坐标轴上？ 师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．设计意图：启发学生严谨思考问题，加强学生对定义的理解． 2．正切函数的诱导公式问题4：请利用正弦函数、余弦函数的诱导公式推导正切函数的诱导公式． 师生活动：学生独立推导，教师引导．设计意图：启发学生利用正切函数的定义推导，加强学生对定义的理解． 教师讲解： 正切函数的诱导公式tan(k π＋α)＝tan α(k ∈Z ) tan(－α)＝－tan α； tan(π－α)＝－tan α； tan(π＋α)＝tan α； tan ()2πα+＝－1tan α； tan ()2πα-＝1tan α．追问1前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？师生活动：学生独立推导，与小伙伴交流．设计意图：掌握正切函数诱导公式的推导，帮助学生熟记诱导公式． 问题5求下列函数值：（1）37tan6π；（2）17tan()6π-；（3）31tan()6π-． 师生活动：学生计算，教师引导学生相互点评．设计意图：掌握正切函数诱导公式的应用，加深对诱导公式的理解． 3．正切函数的图象与性质问题6：请类比画正弦函数图象的方法，画出正切函数tan y x =的图象．★资源名称：【数学探究】正切函数的图象★使用说明：本资源为“正切函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 师生活动：学生思考后回答．追问1正切函数tan y x =是周期函数吗？如果是，你准备选取哪一个周期画它的图象？师生活动：学生思考后回答．追问2画正切函数的图象，怎么取点？取哪些点？并尝试用它们画出正切函数的简图等．师生活动：学生思考后回答．追问3画正弦曲线有五个关键点，观察正切图象，画正切函数有关键点吗？ 师生活动：让学生观察图象后回答，教师补充． 追问4你能描述正切曲线的特征吗？师生活动：让学生观察图象后回答，教师补充．设计意图：让学生掌握画正切函数图象的方法以及正切函数的图象特征． 问题7：请观察正切函数图象，说说正切函数的性质．师生活动：学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的学习经验，教师可以引导学生将这一学习经验迁移到研究正切函数的学习中．设计意图：进一步掌握研究函数的性质的方法． 追问1能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ 师生活动：学生思考后回答． 追问2正切函数有最值吗？ 师生活动：独立思考，举手回答．设计意图：加深学生对正切函数性质的理解． 练习：教材第63页第1，2，3题． 预设答案：问题1初中所学是(0,)2x π∈时的正切函数，本节所学的正切函数是定义为{|,}2x R x k k Z ππ∈≠+∈，范围大了．问题3（1）利用正弦函数的定义求解；（2）利用公式tan yxα=计算． 问题2教材例1追问 根据正切函数公式tan yxα=可知，角α的终边不能落在y 轴，可以落在x 轴． 问题4sin()sin tan()tan cos()cos αααααα---===--，其它依次类推．追问1因为tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，所以口诀对正切函数依然适用．问题5教材例3问题6见教材追问1正切函数tan y x =是周期函数，可以选区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭画正切函数的图象． 追问2可以取关于原点对称的特殊点，如3(,3),(,1),(,),3463πππ------3(0,0),(,),(,1),(,3)6343πππ等．追问3有，通过图象的特点，可用“三点两线法”，这三点是(,1)4π--，(0，0)，(,1)4π，两线是直线x ＝±π2为渐近线．追问4正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．问题7从定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等对函数图象特征作出解释． 追问1：不能．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．追问2因为正切函数的值域是R ，所以正切函数没有最值． 二、初步应用例1画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间． (1)tan 2y x =；(2) tan()4y x π=-．师生活动：首先，求函数的周期，其次利用列表（取关键点即可）、描点画出所求函数在一个周期上的图象，最后把一个周期上的函数图象扩展到整个定义域．对周期函数性质的讨论，只要认清它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质．其中，函数的单调区间，可以由观察图象得到（不要求证明），也可以用换元（令2z x =）的方法得到（教材解法中已经给出）．注意给学生留有思考的时间，由学生自己归纳出所要求的函数性质．预设答案：教材例4设计意图：考查学生对正切函数的图象、性质的掌握情况． 追问：请画出函数tan()4y x π=+的图象，并通过图象讨论该函数的性质．师生活动：培养学生分析和归纳的能力． 预设答案：取点(,0)π-，(,0)2π-，(0,1)，然后画图．函数tan()4y x =+的定义域是{|,}4x R x k k Z ππ∈≠+∈；值域是R ；周期是π；是非奇非偶函数；单调增区间是3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 设计意图：进一步巩固正切函数图象的画法以及正切函数的性质． 例2比较下列各组函数值的大小： （1）3tan()4π-与5tan 7π；（2）13tan()4π-与17tan()5π-．师生活动：该问题要求不求值比较两个正切值的大小．教师引导学生思考交流探究解决的途径，鼓励学生恰当地运用图象直观地比较其大小．在运用诱导公式化简的过程中，不要限制学生的思路，在处理之后，让学生相互交流各种解法，自主评价解法的优劣，积累学习经验．预设答案：教材例5设计意图：熟悉诱导公式的应用以及正切函数单调性的应用． 追问：如何确定函数tan (0)y x ωω=>的周期？ 预设答案：类比正（余）弦函数求周期的方法，T πω=． 师生活动：启发学生类比正弦函数相关的问题情境，解释清楚确定函数tan (0)y x ωω=>周期的方法．设计意图：归纳正弦函数求周期的方法，熟悉类比方法的运用．【板书设计】三、归纳小结，布置作业问题5：本节课讲解了有关正切函数的定义、图象画法以及正切函数的性质？ (1)正切函数的诱导公式可以简单记为什么？ (2)函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？(3)对于形如y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，是哪个函数为基础的？师生活动：学生自主总结，展示交流．老师适当补充．预设答案：(1)在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2) y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π．(3)应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．设计意图：通过梳理本节课的内容，提升数学抽象的素养． 布置作业：教科书P 62练习4，5，6 P 8习题6，7B 2． 四、目标检测设计1．tan 37π6＋tan 21π4的值为( )A ．33＋1 B ．33－1 C ．3＋1 D ．3－1设计意图：检查学生正切函数诱导公式的应用． 2．函数1tan()23y x π=-在一个周期内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．设计意图：检查学生正切函数诱导公式的应用． 3．函数y ＝tan (3)3x π--的单调递减区间为__________．设计意图：检查正切函数性质的应用． 4．设函数f (x )＝tan ()23x π-． (1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．设计意图：检查正切函数图象与性质的综合应用． 参考答案：1．A tan 37π6＋tan 21π4＝tan (6)ππ+＋tan (5)ππ+＝tan π6＋tan ()ππ+＝33＋12．A 当2x 3π=时， 12tan()233ππ⨯-=0，排除C ，D ；当5x 3π=时， 15tan()tan 2332πππ⨯-=，无意义，故排除B ；故选A ．3．5(,)318318k k ππππ---+ (k ∈Z ) 由已知y ＝－tan (3+)3x π． 由－π2＋k π＜3+3x π＜π2＋k π，得k π3－5π18＜x ＜k π3＋π18(k ∈Z )，所以函数y ＝tan (3)3x π--的单调递减区间为5(,)318318k k ππππ-+ (k ∈Z )． 4．解析：(1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π．令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是2(,0)3k ππ+ (k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3．∴函数y ＝tan ()23x π-的图象与x 轴的一个交点坐标是2(,0)3π，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期5(,)33ππ-内的简图(如图)．。

北师大版必修四第一章第七节正切函数1.6.1正切函数的定义1.6.2正切函数的图像与性质课标聚焦1.理解正切函数、正切线的概念，掌握正切函数图像的画法，并能通过图像理解正切函数的性质;2.会运用正切函数的性质，解决有关问题.基础强化1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边落在直线4y x =-上，则tan x =（ ）.4A - .4B .4C ± .D 不确定2．函数tan()4y x π=-的定义域为（ ）.4A x R x π⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭ .4B x R x π⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭ .,4C x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ .,4D x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭3．下列结论中正确的是（ ）.tan A y x =在第四象限是增函数；.tan B y x =在定义域上是增函数；.tan C y x =在每个区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k Z ∈上是增函数； .tan D y x =在每个区间3,22k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k Z ∈上是减函数； 4.下列函数既是奇函数又在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减的是（ ） .sin A y x = .cos B y x = .tan C y x = .tan D y x =-5．α为第四象限角，下列函数值一定为负值的是（ ）.sin 2A α .cos 2B α .tan 2C α.cos2D α 6.函数tan y x =的对称中心不可能为（ ）.(0,0)A .(2,0)B π .(,0)C π .(,0)4D π 7．已知cos tan 0θθ⋅<，则θ所在象限为_________.8.函数2tan (43y x x ππ=≤≤ 且)2x π≠的值域为_________. 9．函数tan y x =图像的对称轴方程为_________.10．求下列函数的定义域：2(1)13tan y x =- 12(2)2log tan y x x =++能力提升1.若42ππθ<<，则下列关系式中成立的是（ ） .sin cos tan A θθθ>> .cos tan sin B θθθ>>.sin tan cos C θθθ>> .tan sin cos D θθθ>>2.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像大致为（ ）3．函数tan y x =的对称中心为_________.4.已知34x ππ-≤≤，2()tan 2tan 2f x x x =++，求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 值.1.6.3正切函数的诱导公式课标聚焦1.会借助正切函数的图像或单位圆推导正切函数的诱导公式;2.掌握正切函数的诱导公式，并能熟练运用正切函数性质解决有关问题.基础强化1．711tan tan 64ππ+=（ ）13A +13B -.1C -.1D 2．已知4tan()53απ--=，则tan()3πα+=（ ） .5A - .5B .5C ± .D 不确定3．下列不等式中正确的是（ ）1110.tan tan 77A ππ> 97.tan()tan()45B ππ->- .tan 4tan3C < .tan 281tan 665D >4.函数2tan(3)4y x π=-的一个对称中心为（ ）.(,0)3A π .(,0)6B π .(,0)4C π- .(,0)2D π- 5.函数()tan (0)f x x ωω=>图像相邻的两支截直线4y π=所得的线段长为4π，则()4f π=（ ） .4A π.0B .1C .1D -6.已知函数tan(2)y x ϕ=+的图像过点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则ϕ可以为（ ） .6A π-.6B π .12C π- .12D π 7.cos150cos(570)tan(330)cos(420)sin(690)--=--____. 8.3tan(2)tan()2_____tan()tan()tan()2ππααππαααπ-+=-+---.9.在区间33,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数tan y x =与函数sin y x =的图像交点个数为____. 10.已知3sin()cos(2)tan()2()sin()2f ππαπαααπα---=+， （1）求()f α；（2）若α为第三象限角，且31cos()25απ-=，求()f α的值； （3）若1860α=-，求()f α的值.能力提升1.已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列关系式中必成立的是（ ）1.tan 2tan 2A θθ< 1.tan 2tan 2B θθ> .sin cos 22C θθ< .sin cos 22D θθ>2.已知函数()f x 在R 上为偶函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，令2(sin )7a f π=，5(cos )7b f π=，5(tan )7c f π=，则（ ） .Ab a c << .B c b a << .C b c a << .D a b c <<3.tan(15)tan(380)tan(75)tan(290)______.αααα-+++=4.函数tan(sin )y x =的值域为____.答案基础强化1.,2.,3.,4.,5.,6.,A D C D C D7.第三象限或第四象限，[)(8.1,,3,9.(),2k x k Z π+∞-∞-=∈ []10.(1),(2)0,,4662x k k k Z x ππππππ⎡⎤⎛⎫∈-+∈∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.能力提升 1.,2.,3.,0,4.2k D D k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当4x π=-时min ()1;f x =当4x π=时max ()5f x =.1.6.3正切函数的诱导公式.基础强化()11.,2.,3.,4.,5.,6.,9.3,10.(1)cos tan B A B C B A f ααα-=1(2)2. 能力提升 []1.,2.,3.1,4.tan1,tan1.B A --.。

§6 正切函数（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为 三角函数。

正切【教学目标】一、知识与技能使学生了解正切的概念，能够正确地用tanA表示直角三角形（其中一个锐角为/ A）中两直角边的比，熟记30° 45° 60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子。

二、过程与方法逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

三、情感态度培养学生独立思考、勇于创新的精神。

【教学重难点】1 •重点：了解正切的概念，熟记特殊角的正切值。

2 •难点：正切的应用。

【教学过程】一、情景导入，初步认知（一）在Rt A ABC 中，/ C=90sinA= _______ ；cosA= ______（二）当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？二、思考探究，获取新知（一）如图，△ ABC和厶DEF都是直角三角形，其中/ A= / D= a，/ C=Z F=90°，则BC/AC=EF/DF成立吗？为什么？E由此可得，在有一个锐角等于a的所有直角三角形中，角a的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。

归纳结论：在直角三角形中，我们把锐角a的对边与邻边的比叫做角a的正切记作tan a,角a的对边即：冏"二角口的邻边•（二）求tan30 ° tan45 ° tan60 的值（三）30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值分别是多少?归纳结论：（四）如何用计算器求一般锐角的正切值？例如：求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键SiS，则屏幕上显示的0.4663… 就是25°角的正切值。

（五）如果已知正切值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数。

例如：已知tan a =0.8391，求a的度数。

我们可以依次按键画砂口同囚冏U，则屏幕上显示的就是a的度数。

教学说明：学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础。

§6 正切函数（2课时）教学目标： 知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质 一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】 正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值a b是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k ∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k ∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

§1-7.2 正切函数的图像与性质（2课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。

【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋k π，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

1.7.1 1.7.2 正切函定义与正切函数图象与性质教学过程：一、复习准备：常见的三角函数还有正切函数，在前面，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35-39二、我能自学：回答下列问题？①单位圆中正切函数的定义是；②请在单位圆中判断正切线在各象限关系；③由正切函数图象归纳图象特征：1、定义域：2、值域：3、周期4、奇偶性：5、对称性：6、单调区间：④正切函数的诱导公式：归纳其特征：三、范例分析例1．若tan α＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。

解：∵tan α＝32＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝32可知，角α终边上必有一点P （3，2）. 所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sinα＝ry ＝13132， cos α＝r x ＝13133. (2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝ry ＝－13132， cos α＝r x ＝－13133. 例2．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan 解：原式＝()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()αααααtan tan tan tan tan ---＝－αtan 1. 例3．求000tan 315tan 570tan(60)tan 675o +--的值。

解：原式=0000tan 45tan 30tan 60tan 45-+=-+ 四、归纳小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？。