高效课堂不等式证明

不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。

对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。

首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。

通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。

2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。

例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。

3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。

这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。

通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。

无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。

在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。

此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。

不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。

①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。

其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。

重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。

证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。

1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。

当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。

具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。

2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。

例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。

3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。

例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。

4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。

具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。

5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。

它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。

不等式证明使用技巧不等式证明是高中数学中的一个重要内容，掌握不等式证明的技巧对于解题和提升数学水平都有很大的帮助。

下面我将介绍一些常用的不等式证明技巧。

一、代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。

我们可以先假设不等式成立，然后进行推导得出结论。

如果得到的结论与原不等式一致，就证明了不等式的成立。

例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge q 9$。

我们可以假设$a\leq b\leq c$，然后代入得到：$a^2+b^2+c^2=2a^2+(b^2-a^2+c^2)\geq 2a^2=2(a\cdot a)\geq2(ab)$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\fra c{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3(\frac{1}{ab})=\frac{3}{ab}$。

然后，将两个不等式代入原不等式得到：$(2ab)(\frac{3}{ab})=6\geq 9$。

由此可见，原不等式成立。

二、放缩法放缩法是另一种常用的证明不等式的方法。

我们可以通过放缩不等式的各个部分来改变不等式的形式，从而得到更容易证明的形式。

例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$。

我们可以通过放缩的方法，将不等式的各个部分放缩至一个更容易证明的形式。

我们注意到，$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$。

然后，我们可以通过平方展开和放缩的方法，得到：$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3$。

高三数学高效课堂资料学案四 不等关系与不等式 （不等式学案一，共五个）一、考点与能力要求1.了解不等式（组）的实际背景；能灵活应用不等式的性质；2.理解不等式的概念，掌握证明不等式的方法——比较法。

二、知识讲解 （一）预备知识1．比较两实数大小的方法有哪些？2．不等式的4个性质及其5个推论分别是什么？ （二）基础知识析理 不等式性质（1）基础解读：利用不等式的性质和推论比较两数的大小。

（2）应用：①（2016全国1）若101a b c >><<，，则( )A.c c a b <B.c c ab ba <C.log log b a a c b c <D.log log a b c c < ②（2017天津）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 三、典题举例与解题指导 知识能力考查点： 1．作差法比较大小；2．分类讨论思想的应用。

[思路分析]比较法分为作差法和作商法。

作差法比较大小的步骤为：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论。

作差法比较大小的步骤为：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与1的大小；（4）下结论。

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于与0或1比较大小。

例1.设f(x)＝1＋3log x ，g(x)＝2log 2x ，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小。

知识能力考查点：（1）利用不等式的性质求取值范围； （2）整体代换思想的应用。

[思路分析]（1）用已知整体表示所求；（2）利用已知的范围f(-1)、f(1)的范围求f(-2)的范围。

例2.函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围。

不等式的四个公式证明不等式在数学中可是个很重要的家伙，咱们今天就来好好唠唠不等式的四个公式证明。

先来说说什么是不等式。

想象一下，你有一堆糖果，小明也有一堆糖果，你俩谁的糖果多呢？这比较的过程其实就是在研究不等式。

咱先瞅瞅第一个公式，叫加法法则。

简单说，如果 a > b，那么 a +c > b + c。

这就好比你本来就比小明的零花钱多，然后你俩都得到了同样多的额外零花钱，那你还是比他多嘛。

比如说，你有 10 块钱，小明有 5 块钱，老师又给了你俩每人 3 块，那你就有 13 块，小明 8 块，你还是比他多。

再讲讲乘法法则。

当 a > b 且 c > 0 时，ac > bc。

这个也好理解，就像你跑步速度比小明快，然后在同样的时间里跑，时间越长，你跑的距离就比小明跑的更远。

比如你一分钟能跑 200 米，小明一分钟跑 150 米，要是跑 5 分钟，你能跑 1000 米，小明 750 米，差距就更大啦。

还有个除法法则。

当 a > b 且 c > 0 时，a/c > b/c。

这就好比分苹果，本来你的苹果比小明多，然后平均分给同样多的人，你分给每个人的苹果还是比小明多。

最后说一下传递性。

如果 a > b 且 b > c，那么 a > c。

这就像接力赛，你跑在前面，小明在中间，小李在后面，那你肯定也在小李前面。

我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。

我刚讲完加法法则，让大家做几道练习题巩固一下。

结果这小家伙举着手说：“老师，我懂啦，这就像我吃的巧克力比同桌多，我俩又都吃了同样多的棒棒糖，那我还是巧克力多。

”当时全班都笑了，不过通过这个例子，大家对加法法则的理解更深刻了。

总之，不等式的这四个公式在数学里用处可大啦，咱们解题的时候经常能用到。

大家可得把它们牢牢掌握，这样在数学的海洋里就能游得更顺畅啦！。

【技巧题型】不等式题目的七种证明方法高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

今天，我就来总结一下不等式的证明方法。

1比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

2分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

3反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; 4）肯定原来命题的结论是正确的。

4放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。

不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。

一、数学归纳法。

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。

在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。

具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。

通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。

二、换元法。

换元法是不等式证明中常用的一种方法。

当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。

换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。

三、分析法。

分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。

在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。

四、综合利用不等式性质。

不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。

具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。

五、几何法。

在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。

通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。

在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。

六、数学推理法。

数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。

在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。

不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。

例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。

2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。

该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。

例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。

由此可知，不等式不成立。

3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。

通过反证法证明。

例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。

假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。

通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。

4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。

例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。

通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。

例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。

5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。

例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。

以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。

在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。

证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。

作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。

换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。

1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。

综合法由因导果。

证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

分析法执果索因。

证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。

数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。

2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。