浅析凸函数的Jensen不等式的应用

Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。

Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。

本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。

一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。

具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。

1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。

此即Jensen不等式的常见表述形式。

二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。

常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。

具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。

这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。

三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。

对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。

这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。

3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。

通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。

概率论中不同条件下的jensen不等式及应用
概率论中的Jensen不等式是由匈牙利数学家Johannes Jensen在1906
年提出的重要理论，它告诉我们，同一场景下，熵增大时，贝叶斯风险最小。

目前，该不等式在概率论中广泛应用，有许多与之相关的推论。

这里提出的Jensen不等式定义如下：在给定的条件下，当一个熵函数是凸函数时，它的期望值不大于其期望的加性函数的期望值。

该不等式的应用很广泛，它可以应用于随机变量X的均值和方差的关系，其中X服从二项分布。

根据舍加瓦定理和Jensen不等式，P（X>=k）的期望
值不大于2^（k-μ）μ。

这一不等式也可以应用于优化和搜索问题。

例如，机器学习中的最小负梯度算法可以被用来求解复杂的最优解，该算法通过利
用Jensen不等式来实现。

此外，Jensen不等式也被用于统计学中的准则函数优化，比如假设函数
中的参数估计。

给定的准则函数，他可以求解参数μ的最佳估计值，然后
根据Jensen不等式求得参数期望。

它也可以用来设计一种新的分布，以便
使估计更加准确。

总之，Jensen不等式是概率论中一个重要的不等式，它可以有效地解决
很多问题，并且可以广泛应用于机器学习、统计学和优化问题中。

琴生不等式在高中数学中的巧用拉格朗日MJ 兰三中摘要：近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。

所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。

高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。

这里我主要选了Jensen 不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。

从凸函数的性质我们知道Jensen 不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。

利用凸函数的jensen 不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。

一、琴生不等式的引入凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。

若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。

如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。

Jensen 不等式的定义：设f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b ）内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)...(n x x x f n +++21≦nx f x f x f n )(...)()(21+++,其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

若f （x ）在（a ，b ）内严格上凸，则上述不等式反向。

更一般的情况：设p i ∈R +，且11=∑=n i i p，f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b)内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)()(∑∑==≤ni ii n i i i x f p x p f 11 其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

本科毕业论文题目: 概率论中不同条件下的Jensen不等式及应用学院：数学学院专业：信息与计算科学年级：2007级本科(汉班)姓名：魏永健指导教师：白根柱完成日期：2010年10月10日概率论中不同条件下的Jensen 不等式及应用作者 魏永健(数学学院信息与计算科学2007级汉班)指导教师 白根柱摘 要：介绍了概率论中离散型、连续型和条件期望型的Jensen 不等式,利用凸函数的性质、期望和条件期望的性质来证明;并应用于证明和式不等式、最小风险估计和条件期望收敛等一些问题.关键词；概率论;不等式;凸函数;证明概率不等式是概率论和数理统计的理论研究中的重要工具.对于概率极限理论和统计大样本理论,几乎所有重要结果的论证都是借助于概率不等式的巧妙应用]1[, Jensen 不等式就是其中著名的一个.接下来将给出不同条件下的Jensen 不等式和证明,并应用其来解决一些相关问题.1 不同条件下的Jensen 不等式Jensen 不等式的形式有多种,经典的如下:如果f(x)为连续实值凸函数,且x1≤x2≤…≤xn,∑=ni i 1λ=1，1≥i λ，i=1,2,…,n ,则有∑=n i i 1λf(xi) ≥ f(∑=ni i 1λxi)]2[.在概率论中Jensen 不等式有:离散型、连续型、条件期望型和中位数型等形式.下面将给出最常用的前三种形式.不等式1]3[ 设f(x)是[a, b]上的凸函数,X 是取值于[a, b]上子集A 的离散型随机变量,E 表示期望,则(1)E(f(X)) ≥f(E(X));(2)如果f(x)是严格凸的,则不等式中等号当且仅当P(X=E(X))=1时成立.证明 (1)对X 取值的个数归纳证明.首先对两点分布:X~{p(x1),p(x2)},简记p1=p(x1),p2=p(x2).注意到p1=1-p2,则f(X))=p1f(x1)+p2f(x2) ≥f(p1x1+p2x2)=f(E(X)).其中≥成立应用了f(x)的凸函数性质,现假设X 的值域A 中元素个数为n-1(n ≥2),A={x1,x2,…,xn-1}时,不等式1中的(1)成立.则对A 中元素个数为n(n ≥2),A=(x1,x2,…,xn)时,简记pi=p(xi),p ′i=pi1-pn, i=1,2,…, n,则有{p ′1, p ′2,…,p ′n-1}是一个概率分布,从而有E(f(X)) =p1f(x1) +p1f (x2)+…+pnf(x n)=(1-pn)∑-='11)(n i xi f i p +pnf(xn) ≥pnf(xn)+(1-pn)f(∑-='11)(n i xi f i p )≥pnf(xn) +(1-pn)f(∑-='11)(n i xi f i p ) =f(∑-='11)(n i xi f i p ) =f(E(X)).(2)若f(x)是严格凸的,则总有E(f(X)) ≥f(E(X))成立,除非当且仅当P (X=E (X))=1时,E(f(X))=f(E(X))成立.不等式2]1[ 设X 是m 维随机向量,f(x)为定义在Rm 上的凸函数(m=1,2,…),其中E(X)<∞,则(1) E(f(X)) ≥f(E(X));(2)如果f(x)是严格凸的,则不等式中等号当且仅当P(X=E(X))=1时成立. 证明 (1)由于y=f(x)是Rm+1中的一个凸曲面,而点(E(X),f(E(X)))在次曲面上.由凸集 概率论中不同条件下的Jensen 不等式及应用论中周知的事实,存在一个过此点的平面,使得上述曲面全在此平面的上方.若以y=f(E(X))+c ′(x-E(X))记此平面的方程,则有f(x) ≥f(E(X))+c ′(x-E(X)).因而E(f(X)) ≥f(E(X))+c ′E(X-E(X))=f(E(X)).(2)若f(x)是严格凸的,则除非x=E(X),总有f(x)>f(E(X))+c ′(x-E(X))成立,因而当且仅当P(X=E(X))=1时E(f(X))=f(E(X))成立.不等式3]4[ 设f(x)是连续凸函数,X 为关于g 为σ可积的随机变量,则f(X)关于g 的条件期望存在,且有f(E[X|g]) ≤E[f(X)|g]几乎必然成立.证明 令f ′(x)为f(x)的右导数,则对任意实数x 与y 有f ′(x)(y-x) ≥f(y)-f(x),以E[X|g]及X 代替上式中的x 与y 得f ′(E[X|g])(X-E[X|g])+f(E[X|g]) ≤f(X),记上式左边的随机变量为Y ,则Y 关于g 的条件期望存在,且E[Y|g]=f(E[X|g]).特别地,由于f(X-)≤Y-,故E[f(X)-|g] ≤E[Y-|g]<∞几乎必然成立.因此,f(X)关于g 的条件期望存在,且有f(E[X|g]) ≤E[f(X)|g]几乎必然成立. 2 应用举例例1 设a1,a2,…,an 和b1, b2,…, bn 为两组非负实数,则有∑=n i ai 1logbi ai ≥(∑=n i ai 1)log (∑∑==n i n i biai 11) ,其中等号成立的充要条件是ai/bi 为常数,i=1,2,…,n.证明 不失一般性,可设所有ai>0,bi>0, i=1,2,…,n.函数f(t)=tlogt 是严格凸函数,因f ″(t)=t1loge>0(t>0), 由Jensen 不等式1可得()∑=n i i i t f a 1)(1in i i t a f ∑=≥,对≥i α0,∑=ni i 1α=1成立. 取i α=i b /∑=n j j b 1,ti=ai/bi,i=1,2,…,n 得∑∑==n i n j j ib a 11log j i b a ≥∑∑==n i n j j i b a 11log ∑∑==n i n j j i b a 11, 两边除去∑=nj j b 1即得∑=n i ai 1log bi ai ≥(∑=n i ai 1)log (∑∑==n i n i biai 11)成立,其中等号成立的充要条件是ai/bi 为常数,i=1,2,…,n.例2每有一个无偏的随机化估计g^,则必可找到一个非随机化估计g^1,其风险总不比g^的风险大,其中损失函数L(θ,a)为凸的.证明 现设随机化估计g^ (x,da)是g(θ)的一个无偏估计.基于g^,作一个非随机化估计g^1:g^1(x) =∫Rmag^ (x,da)则由g^的无偏估计推出g1的无偏性.由Jensen 不等式2,有L(θ,g^1(x)) ≤∫RmL(θ,a)g^ (x,da),因此R(θ,g^1) =E(L(θ,g^1(X))) ≤∫RmL(θ,a)g^ (X,da). =R(θ,g^ ).即每有一个无偏的随机化估计g^,则必可找到一个非随机化估计g^1,其风险总不比g^的风险大.例3设T 为g(θ)的一个充分统计量,若损失函数L(θ,a)为凸的,则基于T 的无偏估计h(t)即为g(θ)的无偏一致最小风险估计.证明 设g^ (x)为g(θ)任意无偏估计,考虑条件期望h(t)=Eθ(g^ (X)|T=t),由T 的充分性,知此条件期望与θ无关,因而h(t)=h(t(x))可作为g(θ)的一个估计.由于Eθ(h(T(X)))=Eθ(Eθ(g^ (X)|T))=Eθ(g^ (X))=g(θ),则h(t)=h(t(x))为g(θ)的一个无偏估计.由L(θ,a)的凸性,用Jensen 不等式2,易得R(θ,g^ )≥R(θ,h),故基于T 的无偏估计h(t)即为g(θ)的无偏一致最小风险估计.例4 设Xn →X,a. s. (a. s.表示几乎必然,下同)且E(X-1|g)<∞a. s.,则X 关于g 的条件期望存在(实际有E(X-|g)<∞a. s.),且有E(Xn|g)→E(X|g)a. s..证明 令Y 为一g 可测实值的随机变量,使YX-1为可积,则YXn 的期望存在,且YXn →YXa. s.,故由Jensen 不等式3得E(YXn|g)→E(YX|g)a. s.,但有E(YXn|g)=YE(Xn|g)E(YX|g)=YE(X|g),从而有E(Xn|g)→E(X|g)a. s..参考文献[1]林正炎,陆传荣,苏中根.概率极限理论基础[M].北京:高等教育出版社, 1999.[2]Jensen J L W V. Sur les fonctions convexes et lesinégalités entre les valeurs moyennes[ J]. ActaMath.,1906, 30: 175-193.[3]李贤平.概率论基础[M]. 2版.北京:高等教育出版社, 1997.[4]严加安.测度论讲义[M]. 2版.北京:科学出版社, 2004.The Jensen inequalities of different conditions in probabilitytheory and their applicationsWeiYong-jian(Class (1) 2007 Mathematics and Applied Mathematics，College of Mathematics )Directed by:BaiGen-zhuAbstract:The proofand applications are given, these are Jensen inequalities of different conditions in probability theory: discrete and continuous and conditional expectation. And the inequalities are used to solve some relatedproblems.Key words:probability; inequality; convex function; proof。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#） 若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@） 若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明 由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质 在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故 ：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明 先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理 定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明 第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景； 第二个结论，先证充分性 由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法） 因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1） 此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1） 设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3） 证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2） 设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤， （2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明 （1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2） 令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明 设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明 令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时， 则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明 记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。

凸函数的三个不等式结论
凸函数的三个不等式结论包括：
1. Jensen不等式：对于凸函数 f 和概率分布 {p_i}，有f(∑p_i x_i) ≥ ∑p_i f(x_i)。

这个不等式表明，将一组数的平均值代入凸函数，其结果不会小于这组数的凸函数值的平均。

2. Minkowski不等式：对于非负实数 a_i 和 b_i，以及凸函数 f，有∑a_i f(b_i) ≥ f(∑a_i b_i)。

这个不等式表明，将一组数的和代入凸函数，其结果不会小于这组数的凸函数值的和。

3. Hölder不等式：对于非负实数 a_i 和 b_i，以及凸函数 f，有f(∑a_i/b_i) ≥ ∑f(a_i/b_i)。

这个不等式表明，将一组数的倒数代入凸函数，其结果不会小于这组数的凸函数值的倒数和。

这些不等式在数学、物理和工程等多个领域都有广泛应用。

凸函数与琴生（JENSEN ）不等式（讲稿）凸函数的定义1、设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何x 1、x 2 ∈D 和实数λ∈（0，1），有f[λx 1+（1-λ）x 2]≥λf(x 1)+（1-λ）f(x 2)，则称f(x)是D 上的凸函数（又称D 上的“上凸函数”）。

2、若-f(x)是区间D 上的凸函数，则称f(x)是D 上的凹函数（又称D 上的“下凸函数”）。

凸函数的一个判别法则：如果函数)(x f 是二次可微分的，则：)(x f 是上凸函数)(x f 的充分必要条件是0)(≤''x f ． )(x f 是下凸函数的充分必要条件是0)(≥''x f ；凸函数的性质 琴生（Jensen ）不等式：()[][]2)()()2(,,212121x f x f x x f b a x x b a x f +≥+∈∀⇔都有，上上凸在（均值的函数值不小于函数值的均值）一般的[]nx f x f x f nx x x f x n b a n n i )()()(,2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++有个点内的对，当且仅当x 1 = x 2 = …… = x n 时，等号成立。

()[][]2)()()2(,,212121x f x f x x f b a x x b a x f +≤+∈∀⇔都有，上下凸在（均值的函数值不大于函数值的均值）一般的[]nx f x f x f nx x x f x n b a n n i )()()(,2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++有个点内的对，当且仅当x 1 = x 2 = …… = x n 时，等号成立。

例1.判断x y sin =是否是),0(π上的上凸函数？ 方法1：0sin )'(cos ''cos )'(sin '≤-====x x y x x y ，方法2：()()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+≤-+=+=+∈∀22sin 2cos 2sin sin sin 212),0(,21212121212121x x f x x x x x x x x x f x f x x ，π方法3：由x y sin =在),0(π上的图像可知。

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用Jensen不等式[1]：若函数y=f（x）是（a，b）上的凸函数，则对任意x1，x2，…，xn∈（a，b）都有f（x1+x2+…+xnn）≤f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n.其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质，它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式可以较简捷地解决近几年来的一类竞赛不等式，以供参考，学习之用.1证明不等式.例1（2015年安徽省高中数学竞赛题）设正实数a，b满足a+b=1，求证：a2+1a+b2+1b≥3.证明构造函数f（x）=x2+1x（0<x<1），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=2x-1x22x2+1x，f″（x）=12x+3x44（x2+1x）x2+1x>0，从而函数f（x）=x2+1x在0，1上为凸函数，由Jensen 不等式，可得f（a）+f（b）2≥f（a+b2）=f（12）=32，即a2+1a+b2+1b ≥3，所以原不等式成立.例2（2014年安徽省高中数学竞赛题）已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，求证：z-yx+2y+x-zy+2z+y-xz+2x≥0.证明由x+y+z=1，可得x+2y=1-（z-y），y+2z==1-（x-z），z+2x=1-（y-x），从而原不等式化为z-y1-（z-y）+x-z1-（x-z）+y-x1-（y-x）≥0.构造函数f（m）=m1-m，m∈（-1，1），对f（m）求二阶导数，则有f′（m）=1（1-m）2，f″（m）=2（1-m）3>0，从而f（m）为m∈（-1，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（z-y）+f（x-z）+f（y-x）3≥f（z-y+x-z+y-x3）=0，从而原不等式成立.评注通过上述两例，可以看出这两道不等式题目命制中的凸函数背景.例3（2012年希腊奥林匹克竞赛题）设a，b，c均为正实数，且a+b+c=3，求证：a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.证明构造函数f（x）=x2（3-x）3，x∈（0，3），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=6x-x2（3-x）4，f″（x）=2（9-x2）+12x（3-x）5>0，从而f（x）为（0，3）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3）=f（1）=18，故有a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.所以原不等式成立例4（2011年甘肃省高中数学竞赛题）设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=1.求证：（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.证明构造函数f（x）=（x+1x）2（0<x<1），f′（x）=2（x4-1）x3，f″（x）=2x4+6x4>0，从而f（x）为（0，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥f（x1+x2+…+xnn）=f（1n）=（n+1n）2，即（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.所以原不等式成立评注文[2]给出了例3和例4一种新证法，这里利用Jensen不等式证之，也不失为一种好方法.2加强不等式.例5（2012年克罗地亚奥林匹克竞赛题）设a，b，c均为正实数，且a+b+c≤3，求证：a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥2.证明构造函数f（x）=x+1x（x+2），x∈（0，3），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=-x2+2x+2（x2+2x）2，f″（x）=2（x+1）（x2+2x+4）（x2+2x）2>0，从而f（x）为（0，3）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），即a+1a（a+2）+b+1b （b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）.设u=a+b+c≤3，则只要证9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2，即9（u+3）u（u+6）≥2（2u+9）（u-3）≤0，由0<u≤3知上述不等式成立，从而原不等式成立.注记从上面的证明中可以看出，原不等式加强为：a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2.例6（2010年第一届陈省身杯全国数学奥林匹克竞赛题）设a，b，c均为正实数，且a3+b3+c3=3，求证：1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥1.证明构造函数f（x）=1x2+x+1（0<x<1），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=-2x+1（x2+x+1）2，f″（x）=6x（x+1）（x2+x+1）3>0，从而f（x）为（0，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），所以有1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1，又由幂平均不等式a3+b3+c33≥（a+b+c3）3，可得a+b+c3≤1，故1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.所以原不等式成立.注记从上面的证明中可以看出，原不等式加强为：1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.3推广不等式利用Jensen不等式不仅可以证明和加强不等式，还可以用来推广不等式，如将例1、例3进行推广，可得：例7设x1，x2，…，xn（n≥2）均为正实数，且满足x1+x2+…+xn=1，则有x21+1x1+x22+1x2+…+x2n+1xn≥1+n3.例8设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=n，求证：a21（n-a1）3+a22（n-a2）3+…+a2n（n-an）3≥n（n-1）3.证明的方法与上述证法类似，读者可自证.最后，提供两题，作为训练.1.设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=1.求证：a12-a1+a22-a2+…+an2-an≥n2n-1.2.设锐角A，B，C满足cos2A+cos2B+cos2C=1，求证：1sin2A+1sin2B+1sin2C≥92.参考文献[1]王向东等.不等式?理论?方法[M].郑州：河南教育出版社，19945：253-259[2]刘康宁.利用“一次函数逼近”证明一类不等式[J].中学数学教学参考（上旬），2015（10）：64-68。

琴生不等式在高中数学中的巧用拉格朗日MJ 兰三中摘要：近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。

所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。

高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。

这里我主要选了Jensen 不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。

从凸函数的性质我们知道Jensen 不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。

利用凸函数的jensen 不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。

一、琴生不等式的引入凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。

若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。

如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。

Jensen 不等式的定义：设f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b ）内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)...(n x x x f n +++21≦nx f x f x f n )(...)()(21+++,其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

若f （x ）在（a ，b ）内严格上凸，则上述不等式反向。

更一般的情况：设p i ∈R +，且11=∑=n i i p，f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b)内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)()(∑∑==≤ni ii n i i i x f p x p f 11 其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。

探讨凸函数的Jensen不等式的应用不等式在数学中的地位相当高,而Jensen不等式这样的一类基本不等式,在凸函数理论中占据着重要位置,一般而言对凸函数的研究均是对Jensen不等式着手,而且随着其发展而不断发展完善,且在数学很多分支中有深入的应用。

关于凸函数的Jensen不等式的改进、扩展、推广及应用仍是现阶段数学家门所关注的热点话题。

本文拟从凸函数和Jensen不等式的基本知识出发,探讨一类凸函数Jensen不等式的加细及其应用,再对其进行展望。

1 预备知识Jensen不等式是描述刻画凸函数的一个最基本的不等式。

在凸函数相关理论中往往是通过Jensen不等式来定义凸函数:若,,有≤(1)则是定义在上的凸函数。

若(1)式等号成立当且仅当,此时称之为在上的一个严格凸函数。

还有一般的叙述:,,有≤ (2)则是定义在E上的凸函数。

若(2)式等号成立当且仅当,此时称之为在E上的一个严格凸函数。

同时还可以将上式推广为更为一般的情形,鉴于本文所讨论的Jensen不等式一个加细内容,只对以上两种情形的Jensen不等式形式进行展开论述。

凸函数的性质[1]:性质1:设是定义在的凸函数,,,则存在,且:≥性质2:设是定义在的连续凸函数,则有:性质3:设是定义在的凸函数,则,、均存在,且,,当<,有如下式子:≤≤≤2 Jensen不等式的加细继(1)式进行讨论,引入插值问题,即:当是是定义在上的凸函数,则有:≤≤ (3)从(3)来看,此式是在(1)式中插入了一个函数平均值,是对(1)的一个加细。

我国王成良教授在这方面的理论研究比较深,且他通过文献[2]、[3]中将(3)进行了推广:≤≤ (4)上式中,是定义上的凸函数,。

同时可以看出(4)式是对(2)式进行了加细,即在(2)式Jensen不等式中插入了两个函数平均加权平均。

3 加细Jensen不等式的性质研究3.1 定义新函数假设在上可积,且,,定义两个新函数:(5)(6)由以上定义的两个新函数,再结合连续凸函数的Jensen不等式相关性质和其加细不等式,能够得到如下较为严谨的连续型变量不等式。

吴文俊的几个不等式1. 引言吴文俊（1919年-2010年）是中国的著名数学家，被誉为“中国现代数学的奠基人”。

他在数学研究领域做出了许多重要贡献，其中包括一些著名的不等式。

本文将介绍吴文俊提出的几个重要不等式，并对其背后的思想和应用进行详细探讨。

2. 凸函数与Jensen不等式在介绍吴文俊提出的几个不等式之前，我们先来了解一下与这些不等式相关的基本概念和定理。

2.1 凸函数凸函数是指定义在某个实数集上的实值函数，满足对于任意两点x1和x2以及任意实数t∈[0,1]，都有：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)直观上来说，凸函数在任意两点之间的值都不会超过连接这两点的线段上对应位置处函数值。

2.2 Jensen不等式Jensen不等式是描述凸函数性质的一个重要定理。

设f(x)是定义在区间I上的凸函数，x1,x2,…,x n是I上的n个点，t1,t2,…,t n是非负实数且满足t1+t2+⋯+t n=1，则有：f(t1x1+t2x2+⋯+t n x n)≤t1f(x1)+t2f(x2)+⋯+t n f(x n)Jensen不等式表明了凸函数在一组点上的取值不会超过这些点对应函数值的加权平均。

3. 吴文俊的不等式3.1 吴文俊不等式一吴文俊提出的第一个不等式涉及到凸函数和Jensen不等式。

设f(x)是定义在区间I 上的凸函数，a i∈I(i=1,2,…,n)是n个满足a i<a i+1的实数，并且满足a i<x<a i+1。

则有：f(a i+1)−f(x)a i+1−x ≤f(a i+1)−f(a i)a i+1−a i这个不等式说明了凸函数在区间I上的两点切线斜率的单调性。

3.2 吴文俊不等式二吴文俊提出的第二个不等式是关于三角函数的。

设x∈[0,π/2]，则有：sinx<x<tanx这个不等式可以用来估计三角函数在一定区间内的大小关系。

3.3 吴文俊不等式三吴文俊提出的第三个不等式涉及到平均值和几何平均值。

凸函数及其在不等式证明中的应用摘要:凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。

本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。

关键词:凸函数; 性质; 不等式; Jensen不等式Convex Function and its Application in the proof InequalityAbstract Convex Function is a kind of important Function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed the definition,property, and discriminant method of the convex Function .At the same time,the theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequality and popularized about the Convex Function.Key Words Convex Function; property; Inequality; Jensen Inequality目录题目：凸函数及其在不等式证明中的应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1凸函数的定义、性质及判定定理 (1)1.1凸函数的定义 (1)1.2凸函数的几种等价定义 (2)1.3凸函数的性质及定理 (3)2关于凸函数的四个不等式 (4)2.1 Jensen不等式1 (4)2.2 Jensen不等式2 (4)2.3 Holder不等式1 (5)2.4 Holder不等式2 (6)3凸函数在不等式证明中的应用 (7)3.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式 (7)3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 (9)3.3凸函数在积分不等式中的应用. (10)4凸函数的推广 (11)4.1凸函数的定义推广 (11)4.2凸函数的性质及定理推广 (12)4.2.1凸函数的性质推广 (12)4.2.2凸函数的定理推广 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (16)凸函数及其在不等式证明中的应用王红娟（天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。

jensen不等式1. Jensen不等式回顾优化理论中的⼀些概念。

设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，，那么f是凸函数。

当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（），那么f是凸函数。

如果或者，那么称f是严格凸函数。

Jensen不等式表述如下：如果f是凸函数，X是随机变量，那么特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

这⾥我们将简写为。

如果⽤图表⽰会很清晰：图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。

（就像掷硬币⼀样）。

X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到成⽴。

当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。

Jensen不等式应⽤于凹函数时，不等号⽅向反向，也就是。

先验概率与后验概率事情还没有发⽣,要求这件事情发⽣的可能性的⼤⼩,是先验概率.事情已经发⽣,要求这件事情发⽣的原因是由某个因素引起的可能性的⼤⼩,是后验概率. ⼀、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。

⼆、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem.三、先验概率与后验概率通俗释义事情有N种发⽣的可能，我们不能控制结果的发⽣，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能⼒。

多元Jensen不等式及其应用Jensen不等式是数学中的一个基本不等式，它描述了凸函数的性质。

在实际应用中，我们常常需要考虑多个变量的情况，这时就需要用到多元Jensen不等式。

本文将介绍多元Jensen 不等式及其应用。

一、多元Jensen不等式的定义设$f(x_1,x_2,...,x_n)$是定义在$\mathbb{R}^n$上的凸函数，$a_1,a_2,...,a_n$是任意实数，$\l ambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$是满足$\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$的非负实数，则有：$$f(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+...+\lambda_na_n)\leq\lambda_1f(a_1)+\lambda_2f(a_2)+...+\lambda_nf(a_n)$$当且仅当$f(x_1,x_2,...,x_n)$是一次函数时，等号成立。

二、多元Jensen不等式的应用1. 概率学中的应用在概率学中，我们常常需要计算随机变量的期望。

设$X_1,X_2,...,X_n$是$n$个随机变量，$ p_1,p_2,...,p_n$是它们的概率分布，即$P(X_i=x_i)=p_i$，则这$n$个随机变量的加权平均值的期望为：$$E(\lambda_1X_1+\lambda_2X_2+...+\lambda_nX_n)=\lambda_1E(X_1)+\lambda_2E(X_2)+... +\lambda_nE(X_n)$$这个结论可以直接由多元Jensen不等式得到。

2. 经济学中的应用在经济学中，我们经常需要考虑多个变量的联合效应。

例如，假设有两个商品$A$和$B$，它们的价格分别为$p_A$和$p_B$，它们的需求量分别为$q_A$和$q_B$，则它们的总收入为$R=p_Aq_A+p_Bq_B$。

我们希望知道当价格发生变化时，总收入的变化情况。

jesen不等式证明Jensen不等式是一个重要的数学不等式，可以用于证明和推导许多其他重要的数学结论。

这个不等式由丹麦数学家Johan Jensen 在1906年提出，被广泛应用于凸函数的研究和优化理论中。

Jensen不等式的数学表达形式如下：对于一个凸函数f(x)，以及一组实数x1, x2, ..., xn，和一组正数w1, w2, ..., wn，满足w1 + w2 + ... + wn = 1，有以下不等式成立：f(w1x1 + w2x2 + ... + wnxn) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wn f(xn)其中，凸函数的定义是指函数在定义域上的任意两点组成的线段上的函数值都小于或等于线段端点上对应函数值的加权平均值。

Jensen不等式的证明可以通过数学归纳法进行，首先证明对于n=2的情况成立，即f(w1x1 + w2x2) ≤ w1f(x1) + w2f(x2)。

然后，假设对于n=k的情况成立，即f(w1x1 + w2x2 + ... + wkxk) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wkf(xk)。

接下来，我们需要证明对于n=k+1的情况也成立。

设y = w1x1 + w2x2 + ... + wkxk，则根据归纳假设，有f(y) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wkf(xk)。

同时，根据凸函数的定义，有f(wk+1xk+1 + (1-wk+1)y) ≤wk+1f(xk+1) + (1-wk+1)f(y)。

将第一个不等式代入第二个不等式，得到：f(wk+1xk+1 + (1-wk+1)y) ≤ wk+1f(xk+1) + (1-wk+1)(w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wkf(xk))化简后可以得到：f(w1x1 + w2x2 + ... + wk+1xk+1) ≤ w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wk+1f(xk+1)因此，对于任意正整数n，Jensen不等式均成立。