高考数学(理科)一轮复习专题六：数列(7)数列的综合应用A (40)

数列的综合应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则此数列的奇数项的前n 项和是()A.13(2n ＋1－1)B.13(2n ＋1－2) C.13(22n －1)D.13(22n －2) 解析：由S n ＝2n －1，得a n ＝2n －1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴此数列的奇数项的前n 项和为a 1[1－(q 2)n ]1－q 2＝1－22n 1－4＝13(22n －1)．答案：C2．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1，则m 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0,8)D ．(8，＋∞)解析：∵a ，b ，a ＋b 成等差数列， ∴2b ＝2a ＋b ，b ＝2a .① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴a ≠0，b ≠0，且b 2＝a 2b ，b ＝a 2.②由①②知a2＝2a，a＝2，b＝4，ab＝8.∵0<log m(ab)＝log m8<1，∴m>8.答案：D3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是() A．1994B．1996C．1998D．2000解析：设出齐这套书的年份是x，则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝13958，∴7x－7(12＋0)2＝13958，x＝2000.答案：D4．(2009·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{a n}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为() A．25B．50C．100D．不存在解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.又a7>0，a14>0，∴a7·a14≤(a7＋a142)2＝25.答案：A5．(2009·河南郑州一模)数列{a n}中，a1＝1，a n，a n＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1b n＝0的两个根，则数列{b n}的前n项和S n等于()A.n2n＋1B.n n＋1C.12n＋1D.1 n＋1解析：∵a n，a n＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1b n＝0的两个根，∴a n＋a n＋1＝2n＋1，a n·a n＋1＝1 b n.∴b n＝1a n·a n＋1.又a1＝1，∴a2＝2，a3＝3，…，a n＝n.∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝n n＋1.答案：B6．已知数列{a n}的通项公式a n＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是a n的最小值，则实数a的取值范围是() A．[24,36]B．[27,33]C．{a|27≤a≤33，a∈N*}D．{a|24≤a≤36，a∈N*}解析：设f (x )＝3x 2－(9＋a )x ＋6＋2a ，其对称轴为x ＝9＋a 6，当112≤9＋a 6≤152时，即24≤a ≤36时，a 6与a 7至少有一项是a n 的最小值． 答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为__________．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为a (1－23)1－2＝7a ＝34685，解得a ＝4955，∴2a ＝9910，即该君第二日读的字数为9910.答案：99108．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝__________.解析：设公差d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案：99．已知数列{a n }满足a n ＋1a n＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝__________.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知有：n ≥2时利用累乘法得：a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1·31·42·53·…·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2，又验证知a 1＝1也适合，故a n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)210．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2006的值为__________.解析：∵x 0＝5，x n ＋1＝(n )，∴x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1，x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4，x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5.从而知数列{x n }是以4为周期的数列，而x 2006＝f (x 2005)＝f (x 1)＝f (2)＝1.答案：1三、解答题(共50分)11．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225；数列{b n }是等比数列，b 3＝a 2＋a 3，b 2b 5＝128.(1)求数列{a n }的通项a n 及数列{b n }的前8项和T 8； (2)求使得1a n －7>14成立的正整数n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知a 1＋2d ＝5,15a 1＋12×15×14d ＝225，即⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋7d ＝15，解得d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 3＝a 2＋a 3，所以b 1q 2＝8，因为b 2b 5＝128，所以b 21q 5＝128，解得q ＝2，b 1＝2，T 8＝2×(1－28)1－2＝510.(2)1a n －7>14即12n －8>14， 解之得4<n <6，所以n ＝5.12．(15分)(2010·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m 2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m 2；已知旧住房总面积为32a m 2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m 2?(2)求前n (1≤n ≤10且n ∈N )年新建住房总面积S n .解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a .设每年拆除的旧住房为x m 2， 则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为a ，则a n ＝⎩⎨⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a 2，故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n －1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N .13．(20分)(2009·江西高考)各项均为正数的数列{a n }，a 1＝a ，a 2＝b ，且对满足m ＋n ＝p ＋q 的正整数m ，n ，p ，q 都有a m ＋a n(1＋a m )(1＋a n )＝a p ＋a q(1＋a p )(1＋a q ).(1)当a ＝12，b ＝45时，求通项a n ；(2)证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1λ≤a n ≤λ.解：(1)由a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )＝a p ＋a q(1＋a p )(1＋a q )得a 1＋a n (1＋a 1)(1＋a n )＝a 2＋a n －1(1＋a 2)(1＋a n －1)，将a 1＝12，a 2＝45代入上式化简得a n ＝2a n －1＋1a n －1＋2，所以1－a n 1＋a n ＝13·1－a n －11＋a n －1.故数列{1－a n 1＋a n}为等比数列，从而1－a n 1＋a n ＝13n ，即a n ＝3n －13n ＋1.可验证，a n ＝3n －13n ＋1满足题设条件．(2)由题设a m ＋a n(1＋a m )(1＋a n )的值仅与m ＋n 有关，记为b m ＋n ，则b n ＋1＝a 1＋a n(1＋a 1)(1＋a n )＝a ＋a n(1＋a )(1＋a n )考察函数f (x )＝a ＋x(1＋a )(1＋x )(x >0)，则在定义域上有f (x )≥g (a )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧11＋a ，a >112，a ＝1a1＋a，0<a <1故对n ∈N *，b n ＋1≥g (a )恒成立．又b2n＝2a n(1＋a n)2≥g(a)，注意到0<g(a)≤12，解上式得：g(a)1－g(a)＋1－2g(a)＝1－g(a)－1－2g(a)g(a)≤a n≤1－g(a)＋1－2g(a)g(a)，取λ＝1－g(a)＋1－2g(a)g(a)，即有1λ≤a n≤λ.。

必考部分第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示考纲展示► 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．考点1 由数列的前几项求数列的通项公式1.数列的概念(1)数列的定义:按照________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．(2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集）为________的函数a n＝f（n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是________、________和________．答案：(1)一定顺序项（2)定义域(3）列表法图象法通项公式法2．数列的分类答案：有限无限＞＜3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式:如果数列｛a n}的第n项a n与________之间的关系可以用一个式子________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式:如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项)，且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．答案：（1）序号n a n＝f（n)4．已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝错误!答案：S1S n－S n－1(1)[教材习题改编］已知数列{a n｝的前四项分别为1,0，1，0，给出下列各式：①a n＝错误!；②a n＝错误!；③a n＝sin2错误!；④a n＝错误!；⑤a n＝错误!⑥a n＝错误!＋(n－1)（n－2)．其中可以作为数列｛a n｝的通项公式的有________．（写出所有正确结论的序号）答案：①③④（2)[教材习题改编］已知｛a n}满足a n＝错误!＋1(n≥2), a7＝错误!，则a5＝__________.答案：错误!解析：由递推公式，得a 7＝－1a 6＋1，a 6＝错误!＋1，则a 5＝错误!。

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对__________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n .(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测1．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为________．2．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16＝________.3．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是________秒．学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 数列的综合应用教学目标 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单实际问题. 2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 重点 数列中通项和前n 项和方法 难点同上4．已知数列{a n }的通项为a n ＝nn 2＋58，则数列{a n }的最大项为第________项．5．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n ＝n 2n ＋1，则log b 5a 5＝________.探究点一 等差、等比数列的综合问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .变式迁移1 假设a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足0<a 1<2，a 3＝4.若b n ＝2a n (n ＝1,2,3,4)．给出以下命题：(1)数列{b n }是等比数列；(2)b 2>4；(3)b 4>32；(4)b 2b 4＝256.其中正确命题的个数为________．探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题例2 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n ；(3)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .变式迁移2已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；log a n，S n＝b1＋b2＋…＋b n，对任意正整数n，S n＋(n＋m)a n＋1<0恒成立，(2)若b n＝a n12试求m的取值范围．探究点三数列在实际问题中的应用例3(2010·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3 假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)一、填空题1．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为________．2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则下列关系正确的是______(填序号)．①a 3＋a 9≤b 4＋b 10； ②a 3＋a 9≥b 4＋b 10； ③a 3＋a 9≠b 4＋b 10；④a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定．3．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为________．4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.6．若数列{a n }的通项公式a n ＝5⎝⎛⎭⎫252n －2－4⎝⎛⎭⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y ＝________.7．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ……………………………………二、解答题9．已知点(1，13)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？10．沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式； (2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．。

年 级 高三 学科数学内容标题 数列综合应用 编稿老师张鸿菊【本讲主要内容】数列的综合应用.等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用.【知识掌握】 【知识点精析】1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）.2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的.3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等.要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决.【解题方法指导】例1.在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k .解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可.解：依题意得41221)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，，)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12=， 10a d d =∴≠， ，得nd a n =，所以，由已知得 ，，，，，，d k d k d k d d n 213是等比数列， 由d ≠0，所以数列1，3，21k k ，，…，n k ，…也是等比数列， 首项为1，公比为q=3，由此得91=k ，等比数列{n k }的首项91=k ，公比q=3，所以)21(33911 ，，==⨯=+-n k n n n ， 即得到数列{n k }的通项*)(31N n k n n ∈=+.例2.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解题思路分析：这是一道实际应用题，依题意，先分析出中低价房面积逐年增长后，每年的面积数成等差数列，首项为250（万平方米），公差为50（万平方米）；而每年新建住房面积逐年增长后，每年的面积数成等比数列，首项是400（万平方米），公比为（1+8%），然后再依据题中条件列式，而第（1）问中，指的是中低价房的累计面积，所以应为数列的前n 项和；而第（2）问中，指的是该年建造的住房面积，应为数列的第n 项.解：（1）设中低价房面积形成数列}{n a ，由题意可知}{n a 是等差数列，其中502501==d a ，，则n n n n n S n 22525502)1(2502+=⨯-+=， 令4750225252≥+n n ，即019092≥-+n n ，而n 是正整数， ∴n ≥10，∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不小于4750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列}{n b ，由题意可知}{n b 是等比数列，其中08.14001==q b ，，则1)08.1(400-⋅=n n b ， 由题意可知n n b a 85.0>，有85.0)08.1(40050)1(2501⋅⋅>⨯-+-n n ，即1)08.1(8.64-⋅>+n n ，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.例3. 设函数*)(122N n x x nx x y ∈+++-=的最大值为n a ，最小值为n b ，又记)31(4n n n b a nc +=， （1）求数列}{n c 的通项公式； （2）求证：)2(12111112321≥-<+++<+-n nc c c n n . 解：（1）将函数解析式变形为0)1()1(2=-+++-n y x y x y①当y=1时，=x 21-n ； 当y ≠1，由方程①有实根，得0))(1(4)1(2≥---+=∆n y y y 即014)64(32≤-++-n y n y②而y=1也是此不等式的解.，由题意知，不等式②的解集为［n n b a ，］，则n n b a ，是方程 014)4(32=-++-n y b n y 的两个实数根（此方程判别式大于零）， 据根与系数关系，得314-=n b a n n ， 2)31(4n b a nc n n n =+=∴. （2）对于n ≥2，有)1(1321211113121111122221-++⨯+⨯+<++++=+++n n n c c c n nn n 12)111()3121()211(1-=--++-+-+= .而111111111121++++>+++=+++n 1123)111()4131()3121(1+-=+-++-+-+=n n n .所以结论成立.评述：因为数列是特殊的函数，所以求}{n c 的通项公式，就是确定n c 与n 的关系，由题设可知要求n c ，应先求出n n b a ，，这又涉及到求一个分式函数的最值问题，这里是将函数式转化成关于x 的二次方程，然后由判别式求解的.本题第二问又涉及到不等式的证明，运用放缩法将nc c c 11121+++ 转化为可求和的两个数列，从而得证.【考点突破】【考点指要】数列的综合问题在高考题中常常出现在解答题中，而且多数在最后的大题，占12～14分.以05年、06年各省市的高考题来看，有一半以上的试卷都是最后一道大题，占14分.从知识内容上看，有等差数列、等比数列各公式和性质；有不等式的解和证明；有函数的性质；有实际应用题；有解析几何中曲线的性质等等.从方法上看，有用数学归纳法；数列求和的一些方法；不等式证明中的一些方法，还有的是新定义的一些数列，考查分析、归纳能力的问题.【典型例题分析】例4.已知数列}{n a 中，211=a ，点（n ，n n a a -+12）在直线y=x 上，其中n=1，2，3，… （I ）令11--=+n n n a ab ，求证数列}{n b 是等比数列； （II ）求数列}{n a 的通项； 解：（I ）由已知得n a a a n n +==+11221， 4312143143122-=--=--=a a a ，又111211--=∴--=++++n n n n n n a a b a a b ，=----=∴+++11121n n n a a a a b b 211211122)1(11=----=---+-++++n n n n a a a a a a n a n a }{n b ∴是以43-为首项，以21为公比的等比数列.（II ）由（I ）知n n n b 2123)21(431⨯-=⨯-=-， n n n a a 212311⨯-=--∴+，2123112⨯-=--∴a a ，22321231⨯-=--a a …⨯-=---2311n n a a )2(211≥-n n将以上各式相加得：)212121(23121-n n ， )321(22321212321223211)211(21231111 ，，，，=-+=∴=-+=-+=--⋅--+=∴-n n a a n n a a n n n n n评述：证明数列是等比数列，就是证明nn b b 1+=常数，本例第（II ）问，用的是将各式累加的方法而求得n a 的..例5.在数列}{n a 中，若21a a ，是正整数，且||21---=n n n a a a ，n=3，4，5，…，则称}{n a 为“绝对差数列”.（I ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（II ）若“绝对差数列”}{n a 中，032120==a a ，，数列}{n b 满足21++++=n n n n a a a b ，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；解：（I ），，，，，，，，，011011213987654321=========a a a a a a a a a 110=a .（答案不唯一）（II ）因为在“绝对差数列”}{n a 中，032120==a a ，，所以自第20项开始，该数列是032120==a a ，，033033272625242322======a a a a a a ，，，，，，…即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞时，n a 的极限不存在，当n ≥20时，621=++=++n n n n a a a b ，所以6lim =∞→n n b评述：这是一道自定义的一个数列，考查分析、推理能力.【综合测试】一、选择题1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）A . 511个B . 512个C . 1023个D . 1024个2. 若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（ ）A . 4B . 2C . －2D . －43. 如果数列}{n a 的前n 项和)49(41nn n n S -=，那么这个数列（ ） A . 是等差数列不是等比数列B . 是等比数列不是等差数列C . 既是等差数列又是等比数列D . 既不是等差数列又不是等比数列4. 数列}{}{n n b a ，分别为由正数组成的等差数列与等比数列，且11b a =，1212++=n n b a ，则（ ）A . 11++>n n b aB . 11++=n n b aC . 11++<n n b aD . 11++≥n n b a5. 设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11n n 的前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）A . 88B . 99C . 100D . 1106. 数列1， ，，，，，，，，，414141413131312121的前100项和等于（ ） A . 14913 B . 141113 C . 14114D . 143147. 设A （11y x ，）B （4，9），C （22y x ，）是右焦点为F 的椭圆122=+y x 上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是821=+x x 的（ ）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件8. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元）预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）A . 4200～4400元B . 4400～4600元C . 4600～4800元D . 4800～5000元二、填空题9. 设数列}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是前n 项和，若}{n S 是等差数列，则q=_________.10. 某渔场养鱼，第一年重量的增长率为200%，预计以后，每年的增长率都是前一年增长率的一半，当饲养4年后，鱼的预计重量是原来的_________倍.11.设常数a>0，42)1(xax +展开式中3x 的系数为23，则=+++∞→)(l i m 2n n a a a _________.12. 若n a n ++++= 321，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S =_________. 13. 一个热气球在第1min 时间里上升了25m 高度，在以后的每1min 里，它上升的高度都是它在前1min 里上升高度的80%，这个热气球最多能上升_________m .14.在等差数列}{n a 中，若10=a ，则有等式*)19(192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-， 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式_________成立.三、解答题15. 已知}{n a 是公比为q 的等比数列，且231a a a ，，成等差数列. （I ）求q 的值；（II ）设}{n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为n S ，当n ≥2时比较n S 与n b 的大小，并说明理由.16. 已知数列}{n a 满足*)(12111N n a a a n n ∈+==+， （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 满足*)()1(44411121N n a n n b n b b b ∈+=⋅--- ，证明}{n b 是等差数列. 17. 如图，对每个正整数n 、)(n n n y x A ，是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线n FA ，交抛物线于另一点)(n n n t S B ，.（I ）试证：)1(4≥-=⋅n S x n n .（II ）取n n x 2=，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点.试证：)1(122||||||121≥+-=++++-n FC FC FC n n n .yxFOA 1A 2A nB 1B 2B nC n【综合测试答案】一、选择题1. B 解析：3小时分裂9次，51229=.2. D 解析：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅=+=10322c b a b c a c a b 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧===824)(222c b a c b a 或舍3. B 解析：由)49(41nn nn S -=求得数列通项n n a )49(45⋅=. 4. D 解析：1211212112112+++++⋅=⋅=+=n n n n n a a b b b a a a ， ， 12121212++⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a a a .11++≥∴n n b a5. B 解析：n n n n -+=++111，91112312=-+=-+++-+-=∴n n n S n ，∴n=99.6. A 解析：由数列的规律可以看出，141414141131313112121=+++=++=+，，， ∴91213)131(13321=+=++++ ， 前91项之和为13，第92项到第100项均为141， 14913100=∴S . 7. A 解析：三点A 、B 、C 在椭圆上，它们到右焦点的距离，分别等于其离心率e 乘以它们到右准线的距离，∵离心率=e 4，右准线为25=x ， 11545)425(54||x x AF -=-=∴，2545||4545||x CF BF -=⨯-=，.若||||||CF BF AF ，，成等差数列，则||||||2CF AF BF +=， 所以)(541059221x x +-=⨯，即821=+x x ，反之若821=+x x ，则||2||||BF CF AF =+，即|AF|，|BF|，|CF|成等差数列. 8. B 解析：工资性收入构成以1800为首项，1+6%为公比的等比数列，其他收入构成以1350为首项，160为公差的等差数列，则2008年该地区农民人均收入为44902150)06.051(180016051350%)61(18005=+⨯+≈⨯+++=T （元）.二、填空题9. 1 解析：只用第三项计算即可，设}{n a 的前三项分别为2aq aq a ，，，则)()(22aq aq a a aq a +++=+，∵a ，q 均不为零，∴q=1.10.445 解析：由已知鱼群的年增长率构成首项为2，公比为21的等比数列， ∴第n 年的增长率为)211()21()21(22121----+=∴=⋅n n n n n a a ，， 301⋅=∴a a （0a 为原重量）， ⋅==⋅=2301262a a a a a ，034044545923a a a a =⋅==，， 故4年后预计重量是原来的445倍.11. 1 解析：展开式r rr r x ax C T )()(214241--+⋅⋅=，令32128=--r r ，得r=2， 所以3x 项的项系数为2123224==⋅a a C ，， 121121)(lim 2=-=+++∴∞→n n a a a .12.12+n n 解析：)1(23222122)1(+++⨯+⨯=∴+=n n S n n a n n ，12111312121112+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=n n n n13. 125 解析：热气球在每分钟上升的高度构成无穷递缩等比数列，则上升的高度之和为)(12554125m S =-=. 14. *)17(172121N n n b b b b b b n n ∈<=-，解析：)17(12917118162171<======-+-n b b b b b b b b b n n n n117121=∴+b b b b b n n ，1721211b b b b b b n n n ++=∴，而*)17(11172121117171N n n b b b b b b b b b b nn n n ∈<=∴==--+，，， .三、解答题15. 解：（I ）由题设2132a a a +=，即q a a q a 11212+=，∵211012021-==∴=--∴≠q q q q a 或，，， （II ）若q=1，则+=n S n 22312)1(2nn n n +=⨯-， 当n ≥2时，02)2)(1(1>+-==--n n S b S n n n ，故n n b S >，若21-=q ，则49)21(2)1(22nn n n n S n +-=--+=，当n ≥2时，4)10)(1(1---==--n n S b S n n n ，故对于*N n ∈；，当92≤≤n 时，n n b S >；当n=10时，n n b S =，当n ≥11时，n n b S <.16. （I ）解：121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a ，}1{+∴n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，n n a 21=+∴，即*)(12N n a n n ∈-=.（II ）证明：n n n n nb )b b (b b n b b b n a 24)1(4442121111=-∴+=⋅+++--- ，，n n nb n b b b =-+++∴])[(221 ①，1121)1()]1()[(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②，②－①，得n n n nb b n b -+=-++11)1()1(2， 即02)1(1=+--+n n nb b n③， 02)1(12=++-∴++n n b n nb④，④－③，得0212=+-++n n n nb nb nb ，即0212=+-++n n n b b b ，*)(112N n b b b b n n n n ∈-=-∴+++， }{n b ∴是等差数列.7. （I ）证明：对任意固定的n ≥1，因为焦点F （0，1），所以可设直线n n B A 的方程为x k y n =-1，将它与抛物线方程y x 42=联立得0442=--x k x n ，由一元二次方程根与系数的关系得4-=n n S x .（II ）证明：对任意固定的n ≥1，利用导数知识易得抛物线y x 42=在n A 处的切线的斜率2n A x k n =，故y x 42=在n A 处的切线方程为)(2n n n x x x y y -=-①，类似地，可求得y x 42=在n B 处的切线方程为)(2n nn S x S t y -=-②， 由②减去①得，2222nn n n n n S x x S x t y -+--=-， 从而-=-4422nn S x 2222n n n n S x x S x -+-， 24222n n n n n n S x x S x x S x +=∴-=-∴，③，将③代入①并注意4-=n n S x 得交点n C 的坐标为（2nn S x +，－1）， 由两点间的距离公式得，2222222222442444)2(||⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=++=n n n n n n n n n x x x x S x S x FC ， 从而||22||||n n n x x FC +=， 取n n x 2=，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，122)22()12()212121(2)222(21)||1||1||1(2|)||||(|21||||||1122212121+-=-+-=+++++++=+++++++=++++-+-n n n n n n n n n x x x x x x FC FC FC。

等差数列与等比数列的综合问题（师生共研）（２0１8·高考北京卷）设{a n}是等差数列，且a１＝ln ２，a２＋a３＝５ln ２．（１）求{a n}的通项公式；（２）求e a１＋e a２＋…＋e a n.【解】（１）设{a n}的公差为d.因为a２＋a３＝５ln ２，所以２a１＋３d＝５ln ２．又a１＝ln ２，所以d＝ln ２．所以a n＝a１＋（n—１）d＝n ln ２．（２）因为e a１＝e ln ２＝２，错误!＝e a n—a n—１＝e ln ２＝２，所以{e a n}是首项为２，公比为２的等比数列．所以e a１＋e a２＋…＋e a n＝２×错误!＝２（２n—１）＝２n＋１—２．错误!等差数列、等比数列综合问题的解题策略（１）分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题的顺序．（２）注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于１的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．（２0２0·吉林第一次调研测试）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a２＝３，a n＋１＝２a n＋１．（１）证明：{a n＋１}为等比数列；（２）求{a n}的通项公式，并判断n，a n，S n是否成等差数列？说明理由．解：（１）证明：因为a２＝３，a２＝２a１＋１，所以a１＝１，因为a n＋１＝２a n＋１，所以a n＋１＋１＝２（a n＋１），所以{a n＋１}是首项为２，公比为２的等比数列．（２）由（１）知，a n＋１＝２n，所以a n＝２n—１，所以S n＝错误!—n＝２n＋１—n—２，所以n＋S n—２a n＝n＋２n＋１—n—２—２（２n—１）＝0，所以n＋S n＝２a n，即n，a n，S n成等差数列．数列的实际应用与数学文化（师生共研）（２0２0·重庆八中４月模拟）某地区人口总数为４５万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从开始到２0２8年，每年人口总数比上一年增加0．５万人，从２0２9年开始到２0３8年，每年人口总数为上一年的99%.（１）求实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n（单位：万人）的表达式（注：为第一年）；（２）若“二孩”政策实施后的到２0３8年人口平均值超过４9万，则需调整政策，否则继续实施，问到２0３8年结束后是否需要调整政策？（参考数据：0．99１0≈0．9）【解】（１）由题意知，当１≤n≤１0时，数列{a n}是首项为４５．５，公差为0．５的等差数列，可得a n＝４５．５＋0．５×（n—１）＝0．５n＋４５，则a１0＝５0；当１１≤n≤２0时，数列{a n}是公比为0．99的等比数列，则a n＝５0×0．99n—１0.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a n（单位：万人）的表达式为a n＝错误!（２）设S n为数列{a n}的前n项和．从到２0３8年共２0年，由等差数列及等比数列的求和公式得S＝S１0＋（a１１＋a１２＋…＋a２0）＝４77．５＋４9５0×（１—0．99１0）≈97２．５．２0所以“二孩”政策实施后的到２0３8年人口平均值为错误!≈４8．6３，则错误!＜４9，故到２0３8年结束后不需要调整政策．错误!数列实际应用中的常见模型（１）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．（２）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．（３）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项a n与第n＋１项a n＋１的递推关系还是前n项和S n与前n＋１项和S n＋１之间的递推关系．１．（２0２0·广东潮州二模）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长５尺，头部１尺，重４斤，尾部１尺，重２斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为（）Ａ．6斤Ｂ．7斤Ｃ．9斤Ｄ．１５斤解析：选Ｄ．设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n}，则有a１＝４，a５＝２，所以a１＋a５＝6，数列{a n}的前５项和为S５＝５×错误!＝５×３＝１５，即该金箠共重１５斤．故选Ｄ．２．１979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：５只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成５等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里１只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成５等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第２只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成５等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的３只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？解：假如我们设最初有a１个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a２，a３，a４，a５，a6，得到一个数列{a n}，依题意，可知数列的递推公式：a n＋１＝a n—错误!（a n—１）—１，即a n＋１＝错误!（a n—１），整理变形，得a n＋１＋４＝错误!（a n＋４）．故{a n＋４}是以错误!为公比的等比数列，所以a6＋４＝（a１＋４）错误!错误!，欲使（a6＋４）∈N*，应有a１＋４＝５５m（m∈N*），故最初至少有桃子a１＝５５—４＝３１２１个，从而最后至少剩下a6＝４５—４＝１0２0个．数列与函数、不等式的综合问题（师生共研）设函数f（x）＝错误!＋错误!，正项数列{a n}满足a１＝１，a n＝f错误!，n∈N*，且n≥２．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）对n∈N*，求证：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!<２．【解】（１）由a n＝f错误!，所以a n＝错误!＋a n—１，n∈N*，且n≥２，所以数列{a n}是以１为首项，以错误!为公差的等差数列，所以a n＝a１＋（n—１）d＝１＋错误!（n—１）＝错误!.（２）证明：由（１）可知错误!＝错误!＝４错误!，S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝４[错误!＋错误!＋错误!…＋（错误!—错误!）]＝４错误!＝２—错误!<２，得证．错误!数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略（１）数列与函数的交汇问题１已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；２已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．（２）数列与不等式的交汇问题１函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；２放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；３比较方法：作差或者作商比较．１．（２0２0·湖南岳阳一模）曲线y＝错误!x＋ln x（n∈N*）在x＝错误!处的切线斜率为a n，则数列错误!的前n项的和为．解析：对y＝错误!x＋ln x（n∈N*）求导，可得y′＝错误!＋错误!，由曲线y＝错误!x＋ln x（n∈N*）在x＝错误!处的切线斜率为a n，可得a n＝错误!＋错误!＝n.所以错误!＝错误!＝错误!—错误!，则数列错误!的前n项的和为１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0２0·浙江杭州４月模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a１＝１，且a n，a n＋１是函数f（x）＝x２—b n x＋２n的两个零点，则a５＝，b１0＝．解析：因为a n，a n＋１是函数f（x）＝x２—b n x＋２n的两个零点，所以a n，a n＋１是方程x２—b n x＋２n＝0的两个根，根据根与系数的关系，可得a n·a n＋１＝２n，a n＋a n＋１＝b n，由a n·a n＋１＝２n，可得a n＋１·a n＋２＝２n＋１，两式相除可得错误!＝２，所以a１，a３，a５，…成公比为２的等比数列，a２，a４，a6，…成公比为２的等比数列，又由a１＝１，得a２＝２，所以a５＝１×２２＝４，a１0＝２×２４＝３２，a１１＝１×２５＝３２，所以b１0＝a１0＋a１１＝３２＋３２＝6４．答案：４6４[基础题组练]１．（２0２0·开封市定位考试）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a３＋４S２＝0，则公比q＝（）Ａ．—１Ｂ．１Ｃ．—２Ｄ．２解析：选Ｃ．法一：因为a３＋４S２＝0，所以a１q２＋４a１＋４a１q＝0，因为a１≠0，所以q２＋４q＋４＝0，所以q＝—２，故选Ｃ．法二：因为a３＋４S２＝0，所以a２q＋错误!＋４a２＝0，因为a２≠0，所以q＋错误!＋４＝0，即（q＋２）２＝0，所以q＝—２，故选Ｃ．２．（２0２0·宁夏银川一中一模）已知等比数列{a n}中，有a３a１１＝４a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S１３＝（）Ａ．２6 Ｂ．５２Ｃ．78 Ｄ．１0４解析：选Ｂ．设等比数列{a n}的公比为q，因为a３a１１＝４a7，所以a错误!＝４a7≠0，解得a7＝４，因为数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，所以S１３＝错误!＝１３b7＝１３a7＝５２．故选Ｂ．３．（２0２0·吉林长春５月联考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＞0，a6和a8是函数f （x）＝错误!ln x＋错误!x２—8x的极值点，则S8＝（）Ａ．—３8 Ｂ．３8Ｃ．—１7 Ｄ．１7解析：选Ａ．因为f（x）＝错误!ln x＋错误!x２—8x，所以f′（x）＝错误!＋x—8＝错误!＝错误!，令f′（x）＝0，解得x＝错误!或x＝错误!.又a6和a8是函数f（x）的极值点，且公差d＞0，所以a6＝错误!，a8＝错误!，所以错误!解得错误!所以S8＝8a１＋错误!×d＝—３8，故选Ａ．４．设y＝f（x）是一次函数，若f（0）＝１，且f（１），f（４），f（１３）成等比数列，则f（２）＋f（４）＋…＋f（２n）等于（）A．n（２n＋３）Ｂ．n（n＋４）Ｃ．２n（２n＋３）Ｄ．２n（n＋４）解析：选Ａ．由题意可设f（x）＝kx＋１（k≠0），则（４k＋１）２＝（k＋１）×（１３k＋１），解得k＝２，f（２）＋f（４）＋…＋f（２n）＝（２×２＋１）＋（２×４＋１）＋…＋（２×２n＋１）＝n（２n＋３）．５．（２0２0·山东临沂三模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：１，１，２，３，５，8，１３，２１，３４，５５，…即F（１）＝F（２）＝１，F（n）＝F（n—１）＋F（n—２）（n≥３，n∈N*）．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被２除后的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前２0１9项的和为（）Ａ．67２Ｂ．67３Ｃ．１３４6 Ｄ．２0１9解析：选Ｃ．由于{a n}是数列１，１，２，３，５，8，１３，２１，３４，５５，…各项除以２的余数，故{a n}为１，１，0，１，１，0，１，１，0，１，…，所以{a n}是周期为３的周期数列，且一个周期中的三项之和为１＋１＋0＝２．因为２0１9＝67３×３，所以数列{a n}的前２0１9项的和为67３×２＝１３４6．故选Ｃ．6．（２0１9·高考北京卷）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a２＝—３，S５＝—１0，则a５＝，S n的最小值为．解析：设等差数列{a n}的公差为d，因为错误!即错误!所以可得错误!所以a５＝a１＋４d＝0，因为S n ＝na１＋错误!d＝错误!（n２—9n），所以当n＝４或n＝５时，S n取得最小值，最小值为—１0．答案：0 —１07．若数列{a n}满足错误!—错误!＝0，则称{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{错误!}为“梦想数列”，且b１＋b２＋b３＝１，则b6＋b7＋b8＝．解析：由错误!—错误!＝0可得a n＋１＝错误!a n，故{a n}是公比为错误!的等比数列，故{错误!}是公比为错误!的等比数列，则{b n}是公比为２的等比数列，b6＋b7＋b8＝（b１＋b２＋b３）２５＝３２．答案：３２8．（２0２0·河北石家庄４月模拟）数列{a n}的前n项和为S n，定义{a n}的“优值”为H n＝错误!，现已知{a n}的“优值”H n＝２n，则S n＝．解析：由H n＝错误!＝２n，得a１＋２a２＋…＋２n—１a n＝n·２n，１当n≥２时，a１＋２a２＋…＋２n—２a n—１＝（n—１）２n—１，２由１—２得２n—１a n＝n·２n—（n—１）２n—１＝（n＋１）２n—１，即a n＝n＋１（n≥２），当n＝１时，a１＝２也满足式子a n＝n＋１，所以数列{a n}的通项公式为a n＝n＋１，所以S n＝错误!＝错误!.答案：错误!9．（２0２0·武汉市部分学校调研）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a１＝—１，b１＝１，a２＋b２＝３．（１）若a３＋b３＝7，求{b n}的通项公式；（２）若T３＝１３，求S n.解：（１）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则a n＝—１＋（n—１）d，b n＝q n—１.由a２＋b２＝３，得d＋q＝４，１由a３＋b３＝7，得２d＋q２＝8，２联立１２，解得q＝２或q＝0（舍去），因此{b n}的通项公式为b n＝２n—１.（２）因为T３＝b１（１＋q＋q２），所以１＋q＋q２＝１３，解得q＝３或q＝—４，由a２＋b２＝３得d＝４—q，所以d＝１或d＝8．由S n＝na１＋错误!n（n—１）d，得S n＝错误!n２—错误!n或S n＝４n２—５n.１0．（２0２0·湖南省湘东六校联考）已知数列{a n}的前n项和S n满足错误!＝错误!＋１（n≥２，n ∈N），且a１＝１．（１）求数列{a n}的通项公式a n；（２）记b n＝错误!，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥错误!成立的n的最小值．解：（１）由已知有错误!—错误!＝１（n≥２，n∈N），所以数列{错误!}为等差数列，又错误!＝错误!＝１，所以错误!＝n，即S n＝n２.当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝n２—（n—１）２＝２n—１．又a１＝１也满足上式，所以a n＝２n—１．（２）由（１）知，b n＝错误!＝错误!错误!，所以T n＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!.由T n≥错误!得n２≥４n＋２，即（n—２）２≥6，所以n≥５，所以n的最小值为５．[综合题组练]１．（２0２0·北京市石景山区３月模拟）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n}满足a１＝１，且a n＝错误!则解下４个环所需的最少移动次数a４为（）Ａ．7 Ｂ．１0Ｃ．１２Ｄ．２２解析：选Ａ．因为数列{a n}满足a１＝１，且a n＝错误!所以a２＝２a１—１＝２—１＝１，所以a３＝２a２＋２＝２×１＋２＝４，所以a４＝２a３—１＝２×４—１＝7．故选Ａ．２．已知a n＝３n（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，错误!k≥３n—6恒成立，则实数k的取值范围是．解析：T n＝错误!＝—错误!＋错误!，所以T n＋错误!＝错误!，则原不等式可以转化为k≥错误!＝错误!恒成立，令f（n）＝错误!，当n＝１时，f（n）＝—错误!，当n＝２时，f（n）＝0，当n＝３时，f（n）＝错误!，当n＝４时，f（n）＝错误!，即f（n）是先增后减，当n＝３时，取得最大值错误!，所以k≥错误!.答案：k≥错误!３．（２0１9·高考江苏卷节选）定义首项为１且公比为正数的等比数列为“M—数列”．（１）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a２a４＝a５，a３—４a２＋４a１＝0，求证：数列{a n}为“M—数列”；（２）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b１＝１，错误!＝错误!—错误!，其中S n为数列{b n}的前n项和．求数列{b n}的通项公式．解：（１）证明：设等比数列{a n}的公比为q，所以a１≠0，q≠0．由错误!得错误!解得错误!因此数列{a n}为“M—数列”．（２）因为错误!＝错误!—错误!，所以b n≠0．由b１＝１，S１＝b１，得错误!＝错误!—错误!，则b２＝２．由错误!＝错误!—错误!，得S n＝错误!，当n≥２时，由b n＝S n—S n—１，得b n＝错误!—错误!，整理得b n＋１＋b n—１＝２b n.所以数列{b n}是首项和公差均为１的等差数列．因此，数列{b n}的通项公式为b n＝n（n∈N*）．４．（２0２0·湖北襄阳二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足：a１＝１，S n＋１—１＝S n＋a n，数列{b n}为等比数列，满足b１＝４b３，b２＝错误!＜b１，n∈N*.（１）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（２）若数列错误!的前n项和为W n，数列{b n}的前n项和为T n，试比较W n与错误!的大小．解：（１）由S n＋１—１＝S n＋a n，可得a n＋１＝a n＋１，又a１＝１，所以数列{a n}是首项和公差均为１的等差数列，可得a n＝n.因为数列{b n}为等比数列，满足b１＝４b３，b２＝错误!＜b１，n∈N*，所以设公比为q，可得b１＝４b１q２，所以q＝±错误!，当q＝错误!时，错误!b１＝错误!，可得b１＝错误!＞错误!.当q＝—错误!时，—错误!b１＝错误!，得b１＝—错误!，不满足b２＜b１，舍去，所以b n＝错误!错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!—错误!，W n＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!＜１．T n＝错误!＝１—错误!∈错误!，则１＜错误!≤２，故W n＜错误!.规范答题示范（三）数列类型一判断等差数列和等比数列（１２分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，已知错误!１（１）求{a n}的通项公式；（２）求S n，并错误!２[建桥寻突破]１看到S２＝２，S３＝—6，想到S２＝a１＋a２，S３＝a １＋a２＋a３，利用等比数列的通项公式求解．２看到判断S n＋１，S n，S n＋２是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用２S n＝S n＋１＋S n＋２进行证明.[规范解答]（１）设{a n}的首项为a１，公比为q，由题设可得错误!２分错误!解得q＝—２，a１＝—２．４分错误!故{a n}的通项公式为a n＝（—２）n.6分错误!（２）由（１）可得S n＝错误!＝—错误!＋（—１）n错误!，8分错误!由于S n＋２＋S n＋１＝—错误!＋（—１）n错误!＝２错误!＝２S n，１１分错误!故S n＋１，S n，S n＋２成等差数列.１２分错误![评分标准]１列出关于首项为a１，公比为q的方程组得２分；２能够正确求出a１和q得２分，只求对一个得１分，都不正确不得分；３正确写出数列的通项公式得２分；４正确计算出数列的前n项和得２分；５能够正确计算出S n＋１＋S n＋２的值得２分，得出结论２S n＝S n＋１＋S n＋２再得１分；⑥写出结论得１分.[解题点津]（１）等差（或等比）数列的通项公式，前n项和公式中有五个元素a１、d（或q）、n、a n、S n，“知三求二”是等差（等比）的基本题型，通过解方程组的方法达到解题的目的．（２）等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出２S n＝S n＋１＋S n＋２.[核心素养]数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.类型二求数列的前n项和（１２分）已知{a n}为等差数列，前n[建桥寻突破]。

函数（1）函数及其表示1、函数()f x 、()g x 由下列表格给出，则[(3)]f g =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 12、函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[][]3.54,2.12-=-=，已知定义在R 上的函数{}()[][2],=(),01g x x x A y y g x x =+=≤≤若，则A 中所有元素的和为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6 3、下列四组函数中相等的是( )A. ()2f x x,g(x)==B. ()()()22f x x ,g x x 1==+C. ()()f x x x==D. ()0,g(x x )f4、函数y =( )A.[1,)+∞B.(,0]-∞C.(,1]-∞D.[0,)+∞ 5、下列各函数中,值域为()0,?+∞的是( )A. 113x y +=B.y =C. 253y x x =++D. 22x y -=6、已知函数2y sinx =的定义域为[],,a b 值域为[]2,1,-则b a -的值不可能是( ) A.56πB. πC. 76π D. 2π7、若函数()()=a 0,1x f x a a >≠为增函数,那么()11log 1ag x x =+的图象是()8、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米.B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 9、已知函数2log (0)()3,(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是（ ） A. 9 B. 19C. -9D.19-10、22,2(){1log ,22ax x x f x x x -≤=->的值域为R ,则f 的取值范围是( )A.1(,)2-? B.5(,)4-∞-C.5[,)4-+∞ D.51[,)42--11、已知函数()f x =若()3f a =,则实数a =__________12、已知函数()y f x =的定义域为(2,2)-，函数()(1)(32)g x f x f x =-+-.则函数()g x 的定义域___________ 13、函数2y x =+的值域为___________.14、设函数22,0()log (),0x a a x f x x a x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩,若(2)4f =,则(2)f -=__________. 15、已知函数22,1()2,12,22x x f x x x x x ⎧⎪+≤⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎩1.求3[()]2f f 的值; 2.若()=2f α,求α的值.答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：答案：C 解析：A 项,因为()()f x x x R =∈与()2g (x x 0)=≥)两个函数的定义域不一致,所以两个函数不相等; B项,因为()()()22f x x ,g x x 1==+两个函数的对应关系不一致,所以两个函数不相等; 易知C 正确;D 项, ()()f x 0,g x ==,所以两个函数不相等.故选C.4答案及解析： 答案：B 解析：5答案及解析： 答案：D 解析：A 中,因为()()1,00,,1x ∈-∞⋃+∞+所以113x y +=的值域是(0,1)(1,)⋃+∞B 中,因为1-2x ≥0,所以2x ≤1,x≤0, y (-∞,0],所以0<2x ≤1,所以0≤1-2x <1,所以y =[0,1)C 中,2251353()24y x x x =++=+-的值域是13[,)4-+∞.D 中, 22xy -=的值域为(0,+∞).答案：D 解析：函数2y sinx =在R 上有22y -≤≤ 函数的周期2T π=值域[]2,1-含最小值不含最大值,故定义域[],a b 小于一个周期2πb a -<故选C7答案及解析： 答案：C 解析：()()11log log 11a ag x x x ==++,因为函数()()=a 0,1x f x a a >≠为增函数,所以1a >,故函数()()log 1a g x x =+的图象是由函数()log a g x x =的图象向左平移1个单位得到.8答案及解析： 答案：D解析：对于选项A ,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40/km h 时的燃油效率大于5?/km L ,故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米,所以A 错误. 对于选项B ,以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少.C.根据图像可知,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,行程80千米,此时油耗为10千米每升,所以消耗8升汽油.D.从图像可以看出速度不超过80千米/小时时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,所以用丙车比用乙车更省油.9答案及解析： 答案：B 解析：10答案及解析： 答案：D 解析：11答案及解析： 答案：10 解析：12答案及解析： 答案：()15,22解析：13答案及解析： 答案：(,4]-∞解析：设0)t t =≥,则21x t =-,所以原函数可化为: 2242(0)y t t t =-++≥,由二次函数性质,当1t =时,函数取最大值4,由性质可知函数无最小值, 所以值域为: (,4]-∞14答案及解析： 答案：3解析：由函数解析式,可得0a >且1a ≠,又(2)4f =,所以24a=,2a =,则222(2)log [(2)4]log 83f -=-+==.15答案及解析： 答案：1.9[()](3)2f f x f ==2.①当1a ≤-时, ()22f a a =+=则0a =不符 ②当12a -<<时, ()22f a a ==,则1a =③2a ≥时, 2()22a f a ==则2a =符合综上:1a =或2解析：。