第2章-2.4-第1课时

2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（）A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案：CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案：C 11 14. 等比数列一10-而，一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：105. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案：1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3,［解］(1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3， 由①，得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①，得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法：⑴根据已知条件，建立关于a i , q 的方程组，求出a i , q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.”i.在等比数列｛a n ｝中，(1) 已知 a i = 3, q = — 2，求 a 6； (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60，求 a n ； …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解：⑴由等比数列的通项公式，得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3，得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列｛a n ｝中，若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明：数列｛a n + 3｝是等比数列.［证明］法一：因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列｛ a n+ 3｝是首项为a i + 3，公比为2的等比数列. 法二：因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列，所以数列｛a n+ 3｝是等比数列.Rm貝*本例的条件不变，若a1 = 2,求数列｛a n｝的通项公式.解：由数列｛a n + 3｝是等比数列，当a1= 2 时，a1 + 3 = 5,所以数列｛a n+ 3｝是首项为5,公比q= 2的等比数列，所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||［3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列，那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于｛a n ｝是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列.1”2.已知数列｛a n ｝是首项为2，公差为一1的等差数列，令b n = 1，求证数列｛b n ｝是等比数列，并求其通项公式.解：由已知得，a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列｛ b n ｝是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3［解］由题意知 3 b 2, b ，243, c 这五个数成等比数列，求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时，2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ，解得 c =3 6 =2 ，2，解得2 a =3 ；27 2同理，当 b =— "8■时，a =— 3, 3 c =—2综上所述，a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8，A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列｛a n ｝的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析：(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号， 所以b =— 3，且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数， 是具有任意性的，但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.⑶等比数列｛a n ｝的通项公式的推导所以a 2a 12'答案：(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一：（迭代法） 根据等比数列的定义，有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二：（累乘法） 根据等比数列的定义，可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘，得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解（1） 当a , b 同号时，a , b 的等比中项有两个；当 a , b 异号时，没有等比中项.（2） 在一个等比数列中， 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等比中项.（3） “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”（a , b 均不为0），可以用它来判断或证明 三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列｛a n ｝的通项公式是a n = 5x 3n ，则此数列是（ ）A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列 解析：选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1（n 》2）, 所以当n > 2时，—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知，｛a n ｝是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1，公比q = 2的等比数列｛a n ｝中，当a n = 64时，序号n 等于（）a 2 ar q ， a 3 a 4 ar q ，aT q ，a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析：选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26，得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列，其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析：因为a, b, c成等比数列，所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .：6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案：14•求下列各等比数列的通项公式：(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5，且2a n+1 = —3a n.解：(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时，a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时，a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2，又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄［A 基础达标］1. 若｛a n｝为等比数列，且2a4= a6 —a5，则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析：选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列｛a n｝中，a n>0，且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9，贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析：选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4）= 3X 9 = 27.3. 彳，是等比数列4,2, 4, 2 2,…的（）A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析：选B.由题意可知q=痣二乎，令¥= 4返x普，所以土= 32=扌210，故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列｛a n｝中，a1= 1,点（a n, a n+1）在直线y= 2x上，贝U a4的值为（）A . 7B . 8C. 9D. 16解析：选B.因为点（a n, a n+1）在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为（）5 4A・3 %3 1CQ DQ解析：选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列，则a + b=解析：根据题意有=身=b，解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案：47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x；④a,評評尹解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案：①④1 r,&在等比数列｛a n｝中，若a4= 27, q= —3，贝卩a6= ,a n =1解析：因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案：3 (—1)n37 —n16 a3=—4，且公比为正数.9.已知数列｛a n｝为等比数列，首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为｛a n｝中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解：(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3，解得n = 7.1故—204是｛a n｝中的第7项.10.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证：数列｛a n｝是等比数列.证明：由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2，所以数列｛a n｝是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列｛a n｝，下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*，则｛a n｝为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*，则｛a n｝为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*，则｛a n｝为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*，则｛ a n｝为等比数列解析：选C•由a2= 4n知|a n| = 2n，则数列｛a n｝不一定是等比数列；对于 B , D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列｛a n｝不一定是等比数列；对于C选项，由a m a na n + 1=2m+n知，a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列｛a n｝是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中，a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列，则a n = _____________________ 解析：设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列，1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案：2n_13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证：｛a n｝是等比数列，并求出其通项公式；⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证：数列｛b n｝是等比数列.解：(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①，由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2，知｛a n｝是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1，所以a n = —2n—1.⑵证明：由(1)知，a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列｛b n｝是等比数列.4. (选做题)已知等比数列｛a n｝中，a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列｛b n｝是否为等比数列？说明理由；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解：⑴因为等比数列｛a n｝中，a i= 1, 公比为q，所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列｛b n｝是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列｛ b n｝是首项为b1= a2—a1= q —1，公比为q的等比数列.⑵由(1)可知，当q = 1时，b n= 0；当q 工 1 时，b n= (q —1)q n—1。

第二章 2.2 2.2.4 第1课时请同学们认真完成 [练案15]A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分) 1．下列说法错误的是( D ) A ．若a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥abB ．若a ＋b2≥ab ，则a ≥0，b ≥0C ．若a >0，b >0，且a ＋b2>ab ，则a ≠bD ．若a ＋b2>ab ，且a ≠b ，则a >0，b >0解析：A 选项为均值不等式，故正确；若a ＋b2≥ab ，说明a ，b 为正数且可以取0，故B正确；若a >0，b >0，且a ＋b2>ab ，则a ≠b ，因为均值不等式中等号成立的条件是两数相等，故C 正确；D 选项中，当a ＝0，b ＝1时，符合a ＋b2>ab ，且a ≠b ，但不符合a >0，b >0.故D选项错误．2．已知x >0，则9x＋x 的最小值为( A )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时取得最小值6，故选A ．3．已知a ，b 都为正实数，2a ＋b ＝1，则ab 的最大值是( B ) A ．29 B ．18 C ．14D ．12解析：因为a ，b 都为正实数，2a ＋b ＝1， 所以ab ＝2ab 2≤12(2a ＋b 2)2＝18，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时，ab 取最大值18.4．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B ) A ．52 B ．3 C ．72D ．4解析：∵y ＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2 ≥2x －2·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立， ∴当n ＝3时，y ＝x ＋1x －2(x >2)取得最小值． 5．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为( C )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：依题意2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ·2a b ＝5＋4＝9(当且仅当2b a＝2ab时，等号成立)，故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为__258__.解析：因为a >0，b >0，a ＋2b ＝5， 所以ab ＝12a ·2b ≤12(a ＋2b 2)2＝258，当且仅当a ＝2b 时，取等号． 7．已知a >3，则4a －3＋a 的最小值为__7__. 解析：根据题意，当a >3时，4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3≥24a －3×a －3＋3＝7，当且仅当a ＝5时，等号成立，即4a －3＋a 的最小值为7. 8．当x >0时，函数y ＝2xx 2＋1的最大值为__1__. 解析：因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取等号，故函数y ＝2xx 2＋1的最大值为1. 三、解答题(共20分) 9．(10分)设x >－1，求x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解析：因为x >－1，所以x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有：x ＋5x ＋2x ＋1＝t ＋4t ＋1t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. 所以当x ＝1时，函数取得最小值是9.10．(10分)(1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值． 解析：(1)∵1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ， ∴ab ≤14，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，取等号，故ab 的最大值为116.(2)∵x ＋3y ＝5xy ，x >0，y >0， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝135＋3x 5y ＋4y 5x ×3≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y5x，即x ＝2y ＝1时，取等号．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( D )A ．a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C ．2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D ．a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)解析：由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝a ＋b22＋a －b22＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．2．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．0解析：由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.所以x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4yx＋xy＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立． 二、多选题(每小题5分，共10分) 3．下列不等式一定成立的是( BC ) A ．x 2＋14>x (x >0)B ．x ＋1x≥2(x >0)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对于A ，当x ＝12时，x 2＋14＝x ，所以A 不一定成立；对于B ，当x >0时，不等式成立，所以B 一定成立；对于C ，不等式显然恒成立，所以C 一定成立；对于D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，所以D 不成立．故选BC ． 4．下列结论正确的是( AC ) A ．当x >0时，x ＋1x≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x >0，y >0时，x y ＋y x≥2 D ．若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a解析：在A 中，当x >0时，x >0，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，结论成立；在B 中，当x >2时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，但x >2，等号取不到，因此x ＋1x的最小值不是2，结论错误， 显然C 正确；在D 中，2a 不是定值，结论错误．故选AC ． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则12，a ，b,2ab ，a 2＋b 2的大小关系为__a <2ab <12<a 2＋b 2<b __.(用“<”连接)解析：因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12<b ，①2ab <a 2＋b 2.② 因为a 2＋b 2>2(a ＋b2)2＝12， a 2＋b 2＝a ·a ＋b 2<a ·b ＋b 2＝(1－b )b ＋b 2＝b ，所以12<a 2＋b 2<b .又2ab <2(a ＋b2)2＝12，2ab >2×12a ＝a ， 所以a <2ab <12，所以a <2ab <12<a 2＋b 2<b .6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为__47__. 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋23a ＋23b ＋2＝79ab ＋10，又ab ≤(a ＋b 2)2＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47，故13a ＋2＋13b ＋2的最小值为47.四、解答题(共10分) 7．求y ＝x ＋22x ＋5的最大值． 解析：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0； 当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24， 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立，即当x ＝－32时，y 的最大值为24.。

第1课时 等比数列的概念及通项公式[学生用书P105(单独成册)][A 基础达标]1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B.54 C ．36D ．18解析：选B.因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54. 2．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )A ．±4 B.4 C ．±14D ．14解析：选A.由题意得(±a 6)2＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2，所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B.因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3， 而b 又是a ，c 的等比中项， 故b 2＝ac ，即ac ＝9.4．(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2B.4 C ．2D ．12解析：选C.因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2.5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．22n －1B.2nC ．22n ＋1D ．22n －3解析：选A.由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.6．下面四个数列：①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{a n }中，已知a 2a 1＝2，a 3a 2＝2； ③常数列a ，a ，…，a ，…； ④在数列{a n }中，a n ＋1a n＝q (q ≠0)，其中n ∈N *. 其中一定是等比数列的有________．解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列． ②不一定是等比数列．当{a n }只有3项时，{a n }是等比数列；当{a n }的项数超过3时，不一定符合．③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{a n }中，对任意n ∈N *，有a n ＋1a n＝q (q ≠0)，那么{a n }是等比数列．答案：④7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .因为a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2. 所以a 2＝2，b 2＝2.所以a 2b 2＝22＝1.答案：18．等比数列{a n }中，若a 2a 5＝2a 3，a 4与a 6的等差中项为54，则a 1＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2a 5＝2a 3，所以a 21q 5＝2a 1q 2，化简得a 1q 3＝2＝a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为54，所以a 4＋a 6＝2×54，所以a 4(1＋q 2)＝52.所以q 2＝14，解得q ＝±12.则a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫±18＝2，解得a 1＝±16. 答案：±169．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝12，求n .解：(1)因为a 5＝a 1q 4＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.所以a n ＝28－n或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解：设数列{a n }的公比为q . 因为a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9①2（q 2＋1）＝5q ②， 由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n.[B 能力提升]11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＝( ) A ．2n－1 B.2n －1－1C ．2n －1D ．2(n －1)解析：选A.等式两边同时加1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n－1.12．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，ka 1a 2·…·a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B.15 C ．18D ．21解析：选D.ka 1a 2·…·a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋（k －1）k＝a 1q k －12＝a 1q 10，因为a 1>0，q ≠1，所以k －12＝10，所以k ＝21，故选D.13．已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＋3a 5＝56，若log 2b n ＝a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：由log 2b n ＝a n ，得b n ＝2a n .因为数列{a n }是等差数列，不妨设公差为d ，则b n b n －1＝2a n 2a n －1＝2a n －a n －1＝2d ，2d 是与n 无关的常数， 所以数列{b n }是等比数列．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＋3（a 1＋4d ）＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，于是b 1＝2－1＝12，公比q ＝2d ＝24＝16，所以数列{b n }的通项公式b n ＝12·16n －1＝24n －5.14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝3S n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，知a 1＝3S 1＋1，即a 1＝3a 1＋1， 所以a 1＝－12.又a 2＝3S 2＋1，即a 2＝3(a 1＋a 2)＋1，解得a 2＝14.(2)由a n ＝3S n ＋1，① 得a n －1＝3S n －1＋1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＝3(S n －S n －1)＝3a n ，得a n a n －1＝－12，所以数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.。

2．4.1 抛物线及其标准方程抛物线的定义[提出问题]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．[导入新知]抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[化解疑难]对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．抛物线的标准方程[提出问题]平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－8x.[导入新知]抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p＞0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2y＝p21．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项．2．标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零．3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.求抛物线的焦点及准线[例1](1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．[解] (1)因为p＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－72，0，准线方程是x＝72.(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝25y，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a ＞0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.[类题通法]已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p ，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p ＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．[活学活用]求抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标和准线方程． 解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1ay .当a ＞0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ；当a ＜0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .求抛物线的标准方程[例2] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x . 若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p ＞0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . [类题通法]求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；②直接根据定义求p ，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． [活学活用]根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是－p 2－p2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .利用抛物线定义求轨迹方程[例3] P 的轨迹方程．[解] 法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则有x －12＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ≥0，0x ＜0，∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)． [类题通法]求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P 的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程．[活学活用]已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解：法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 由条件知|AP |＝r ＋1(r 为圆P 的半径)， 即x ＋22＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x . ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二：如图所示，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，作PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，∴|PQ |＝r ＋1.又|AP |＝r ＋1，∴|AP |＝|PQ |，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x ＝2的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线． ∴p2＝2，∴p ＝4.∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .3.研析抛物线定义的应用[典例] 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．[解] 如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)． [多维探究](1)若已知抛物线上点P 到焦点F 的距离(或与此有关)，往往转化为点P 到准线的距离，其步骤是：①过P 作PN 垂直于准线l ，垂足N ； ②连接PF ；③|PF |＝|PN |＝x P ＋p2(焦点在x 轴正半轴上时)．(2)上例中，求|PA |＋|PF |的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |.体现了数形结合的思想．1．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，P 点，(0,2)点，和抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋2－02＝172.2．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |≥|AF |min .AF 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离．d ＝3×12＋7232＋42＝1.3．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离．解：设抛物线焦点为F ，连接AF ，BF ，如图抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理， 得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |) ≥12|AB |＝12×3＝32. 则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1. [类题通法]解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易．[随堂即时演练]1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y解析：选B 由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.解析：∵抛物线焦点为(3,0)， ∴m ＋3＝3且m ＞0，则m ＝6. 答案：64．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________.解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ， 在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．解：由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，准线方程为x ＝p2，设点M 到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10， 因此p ＝2.故抛物线的方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6. 故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．[课时达标检测]一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4y D ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：选C 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知点P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且点P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选B 准线方程为x ＝－p ， ∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选A 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，故点P坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.二、填空题6．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ，∴p ＝2m ，即焦点坐标为(m,0)． 答案：(m,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p 2.作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p 2＝5，即p ＝4. 所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， 故⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6. ∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．解：如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)．因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．。

第13课时等比数列的概念及通项公式知识点一等比数列的定义1．数列m，m，m，…一定( )A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不一定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列答案 C解析当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．2．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x＞1 时，log a x，log b x，log c x( ) A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列答案 C解析1log a x＋1log c x＝log x a＋log x c＝log x(ac)＝log x b2＝2log x b＝2log b x，∴1log a x，1log b x，1log c x成等差数列．知识点二等比数列的通项公式3．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )A．na(1－b%) B．a(1－nb%)C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]答案 C解析依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b %)n ．故选C ．4．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9．∵a n ＞0，∴q ＝3． ∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27．知识点三 等比数列的证明5．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *，若t ＝35，求证1a n－1是等比数列并求出{a n }的通项公式．解 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ， 1a n ＋1＝13a n ＋23， 1a n ＋1－1＝131a n －1，1a 1－1＝23， 所以数列1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．1a n －1＝2313n －1＝23n ，a n ＝3n3n ＋2．知识点四 等比中项及应用6．已知一等比数列的前三项依次为x ，2x ＋2，3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由x ，2x ＋2，3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4．∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4×32n －1，由－4×32n －1＝－1312，得n ＝4．7．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4 答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8．8．在等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝27，则a 3与a 7的等比中项是________． 答案 ±3解析 由等比中项的定义知a 25＝a 4a 6，∴a 35＝27． ∴a 5＝3，∴a 1q 4＝3，∴a 3a 7＝a 21q 8＝32，因此a 3与a 7的等比中项是±3．易错点一 忽略对等比中项符号的讨论9．若1，x ，y ，z ，16这五个数成等比数列，则y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D．2易错分析 对于本题的求解，若仅注意到y 是1与16的等比中项，会很快得出y 2＝16，进一步得出y ＝±4，从而导致错解．答案 A解析 由于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1·y ，y 2＝1×16⇒y ＝4，故选A ．易错点二 忽略等比数列中公比可正可负10．已知一个等比数列的前4项之积为116，第2项与第3项的和为2，则这个等比数列的公比为________．易错分析 本题易错设四个数分别为a q 3，a q，aq ，aq 3公比为q 2相当于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算出公比为3±22．答案 3±22或－5±2 6解析 设这4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3(其中aq ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2·aq 3＝116，aq ＋aq 2＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2q 3＝±14，a 2q ＋q 22＝2.所以a 2q 3a 2q ＋q 22＝±18， 整理得q 2－6q ＋1＝0或q 2＋10q ＋1＝0， 解得q ＝3±22或q ＝－5±26．一、选择题1．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4．∵a 1a 2＝a 21q ＝16＞0，∴q ＞0，∴q ＝4．2．在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16 答案 B解析 ∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ．∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0．∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8．3．已知等比数列a 1，a 2，…a 8各项为正，且公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1＋a 8与a 4＋a 5大小关系不能确定 答案 C解析 由题意可知，a 1＞0，q ＞0，a 1＋a 8－a 4－a 5＝a 1(1＋q 7－q 3－q 4)＝a 1[1－q 3－q 4(1－q 3)]＝a 1[(1－q 3)(1－q 4)]＞0．∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5．故选C ．4．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A ．53 B ．43 C ．32 D ．12 答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25．∴这三个数分别为45，75，125，公比q 为7545＝53．5．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．98答案 D解析 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a ＝12，b ＝38，c ＝14，则a ＋b ＋c ＝98．故选D ．二、填空题6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案5－12解析 设该直角三角形的三边分别为a ，aq ，aq 2(q ＞1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12．较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12． 7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金13，第3关收税金14，第4关收税金15，第5关收税金16，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为________．答案172x 解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；…，可得第8关收税金：18×9x ，即172x ． 8．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1．当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________．答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)， 由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，所以a 1＝1q －1． a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q ＞0)， 而－1q 2＋1q ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －122＋14， ①当q ＝2时①式有最大值14，所以当q ＝2时a 3有最小值4． 此时a 1＝1q －1＝12－1＝1． 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1．故答案为2n －1．三、解答题9．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．解 (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1qn －1＝2n．(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －2＝6n 2－22n ．10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n ．解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15．下面证明{a n －n }是等比数列： 证明：由a n ＝3a n －1－2n ＋3可得a n －n ＝3[a n －1－(n －1)]，因为a 1－1＝－2≠0，所以a n －n ≠0， 所以a n ＋1－n ＋a n －n＝3a n －n ＋＋3－n ＋a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1，2，3，…)． 又a 1－1＝－2，所以{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，所以a n ＝n －2·3n －1．。

第二章 直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程（1课时）【教学内容】圆的一般方程的定义、代数特征、求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题。

【教学目标】1．理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养。

2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化.发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养。

3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合和方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

教学重点：掌握圆的一般方程的代数特征，方程表示圆的条件的推导和圆的标准方程与一般方程的互化教学难点：与圆有关的简单的轨迹方程【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）（一）圆的一般方程的定义1．思考引入根据上一节圆的标准方程的相关知识我们知道，方程4)2()1(22=++-y x 表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆，可以将此方程变形为014222=++-+y x y x 即)1(022=++++F Ey Dx y x 。

一般地，圆的标准方程可以变形为（1）的形式，那么形如(1)的方程能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?【答案】例如，对于方程064222=+--+y x y x ，对其进行配方，得1)2()1(22-=-+-y x ，因为任意一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程．所以这个方程不表示任何图形，形如)1(022=++++F Ey Dx y x 的方程不一定能通过恒等变形为圆的标准方程，这表明形如022=++++F Ey Dx y x 的方程不一定是圆的方程。

2．探究方程022=++++F Ey Dx y x 中的D,E,F 满足什么条件时，这个方程表示圆？【答案】将方程022=++++F Ey Dx y x 配方，并把常数项移到右边得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ (1)当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 表示以⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D 为圆心，F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 只有实数解,2,2E y D x -=-=，它表示一个点);2,2(E D -- （3）当0422<-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，它不表示任何图形；因此当时，022=++++F Ey Dx y x 表示一个圆，此时我们把022=++++F Ey Dx y x 叫做 圆的一般方程（二）圆的一般方程的代数特征1．思考圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程，方程的代数特征非常明显.二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 要想表示圆,需x 2和y 2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项；只有0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 才表示圆（三）典型例题例4. 求过三点O(0, 0) , M 1(1, 1) , M 2 (4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析:将点O ，M 1，M 2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.设所求的圆的方程为)1(022=++++F Ey Dx y x ,∵ O , M 1 , M 2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程(1)的解.∴把它们的坐标依次代入方程(1)可以得到关于D, E , F 的三元一次方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024;02,0F E D F E D F 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=.0,6;8F E D 所以所求得圆的方程是06822=+-+y x y x ，所求圆的圆心为（4，-3），半径542122=-+=F E D r .思考分析与圆的标准方程这一节中例2的方法比较, 有什么体会?例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,-8) , 求△ABC 的外接圆的标准方程.解: 设所求的方程是222)()(r b y a x =-+-因为A(5, 1) , B(7, -3) , C(2, -8) 三点都在圆上 , 所以它们的坐标都满足上述方程 , 于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-222222222)8()2()3()7()1()5(rb a r b a r b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++-+=+--+,68164,58614,26210222222222r b a b a r b a b a r b a b a观察上面的式子，我们可以三式子两两相减，可以消去222,,r b a ，得到关于b a ,的二元一次方程组： ⎩⎨⎧-=+=-.1,82b a b a 解得⎩⎨⎧-==.3,2b a 代入222)1()5(r b a =-+- 得到.252=r 所以△ABC 外接圆德标准方程是.25)3()2(22=++-y x例4也使用了待定系数法，选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组 . 若像例2那样选用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项. 一般来说，解一次方程比解二次方程容易 .归纳总结:求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.而求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.例5 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4, 3)，端点A 在圆 (x+1)2+y 2=4 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.设M 的坐标为(x, y) , 点A 坐标是(x 0，y 0).由于点B 的坐标是(4 , 3) , 且M 是线段AB 的中点, 所以.23,2400+=+=y y x x 于是有)1.(32,4200-=-=y y x x 因为点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即),2(4)1(2020=++y x 把（1）代入（2）得到4)32()142(22=-++-y x ，整理得到1)23()23(22=-+-y x ，这是点M 的轨迹方程，它表示以⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23为圆心，半径为1的圆。