云南省保山曙光学校高一数学《§222 对数函数及其性质(二)》教学设计

对数函数的复习课教学目标：（1）知识与技能：理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与性质，并能应用对数函数的图像与性质解决实际的问题；（2）过程与方法：通过对数函数概念及对数函数图像与性质的梳理，深化对对数函数的认识，感受数学结合，分类讨论的数学思想。

（3）情感态度与价值观：让学生在探索中体会数学的简洁美，对称美，激发学习的热情和学习的兴趣，培养探索精神。

教学重点：对数函数的概念，对数函数的图像与性质教学难点：对数函数的图像与性质的应用教学过程：（一）以案导学，先学检查预习是一种良好的学习习惯，能培养学生的自学习惯和自学能力，有效的提高学生课堂的独立思考问题能力。

1.函数2()log (2)f x x =-的定义域是_____________；2. 函数()log (2)1,0,1a f x x a a =-+>≠的图像恒过一定点是___________；3. 函数2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间是_____________；4. 函数()l o g ,0,x a f x a x a a =+>≠在区间[1,2]上的最大值为l o g 26a +，则a =_____;（二）自主深化，问题探究以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，注重学生对基础知识的整合，使学生在自主探究中构建知识，发展自主学习的能力。

学生活动（1）：自主梳理知识点，具体要求：（1）独立的在导学案上梳理出本节课的知识网络；（2）小组讨论：提出自己的疑惑,可以是具体的知识点，亦可是具体的例题、习题；（3）小组代表发言：讲解自己对知识点的梳理结果，在形成知识脉络的前提下，进一步的通过直观感知体验对数函数图像与性质的应用，同时从局部归纳①与③图像间的联系，以及①②③④图像反映出的底数变化规律。

学生活动（2）在同一个坐标系中画出下列函数的图像：①2log y x = ②3log y x = ③12log y x = ④15log y x =（三）交流展示，点拨精讲请学生独立完成以下问题，其目的是：让学生在展示中暴露出思维，规范性，在交流中发生思维的碰撞，在自主的讲解中深化认识，互学中共同提高；例1.比较下列各组数的大小（1）已知0.3log 2a =，0.3log 5b =，则,a b 的大小关系__________；（2）已知0.12a =，5ln2b =，39log 10c =，则,,a b c 的大小关系__________；例2.设函数()log ,0,1,0a x b f x a a b x b+=>≠>- （1）求函数()f x 的定义域；（2）讨论函数()f x 的奇偶性；例3.已知函数2()log (1),0,1a f x ax x a a =-+>≠（1）若12a =，求函数()f x 的值域； （2）当()f x 在区间13[,]42上为增函数时，求a 的取值范围；例题解决后的反思：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________（四）即练即将，当堂检测为了及时了解学生在一节课中的收获及学习效率，查漏补缺，特设计当堂检测环节。

对数函数一．内容与解析（一）内容：对数函数图像和性质（二）解析：本节课要学的内容对数函数就是对数函数的定义，重点要通过底数对对数函数图像的影响，利用其图像的特征，做出一些与对数函数有关的复杂的复合函数的图像，其核心就是体会画对数函数的图像，从图像反映函数的性质，培养学生运用图像的能力。

二．目标及其解析（一）教学目标：掌握对数函数的图像和性质（二）解析通过画对数函数的图像，注意底数对图像的影响，做出含有对数函数的复合函数的图像，利用函数的图像，归纳函数的性质，三．问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是把当遇到对数函数的真数、底的取值范围不加以考虑，底的大小没有确定时，不注意分类讨论，函数的图像平移、对称变换不是很清楚，以至于函数的图像不能准确的做出，解决这一问题要以定义域优先的原则，多培养学生作图的能力，从函数的图像多去归纳和总结函数的性质。

四．教学过程[问题1]：求函数的定义域【思维导图】【解题关键】找出函数解析式成立需要的各个条件，建不等式组求解. 【规范解答】【误区警示】求函数的定义域一般不能变形后去求，而是直接利用原函数的解析式列出需要满足的条件，否则会产生错误.变式：[问题2]：【思维导图】【解题关键】先内层函数24x 的取值，结合对数函数的特点得到此函数的值域. 【规范解答】【设计意图】复合函数的值域应先求定义域，再研究内层函数的取值，结合对数函数的单调性得到此函数的值域. 变式：2(4)12()log x f x +=的值域[问题3] 12()log x f x ⎢⎢=【思维导图】【解题关键】利用绝对值的定义化简函数解析式，作出函数图像得到函数的单调区间. 【规范解答】【设计意图】此类题型有两种办法解决：①利用图像法结合图形来求某些函数的单调区间；②如果给定函数为复合函数．首先要弄清函数的结构，按照“同增异减”的原则进行求解.不管利用哪种办法解决一定要注意先求出定义域，再研究单调性．变式：2(253)12()log x x f x --=的单调区间 作函数|lg(1)|y x =+的图象 【问题四】比较下列各组中两个值的大小： ①log 2.5a 和log 3a ；②3log 2、2log 3和0.2log 3.①【解题关键】①当底数不明确，需分类讨论；②底数不同，但可以判断各个值大体范围，找中间量.【规范解答】①当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，由3 2.5>，得log 2.5log 3a a >；当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数，由3 2.5>，得log 2.5log 3a a <.②因为30log 21<<，2log 31>，0.2log 30<，所以、230.2log 3log 2log 3>> 【设计意图】：比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性.同底时，弄清相应的对数函数，通过自变量的大小关系可直接判断相应函数值的大小，当底数不明确时，要分类讨论；当两个式子不能化为同底数时，我们可以找到一个中间值，使这两个数分别与中间值进行比较，常用的中间值有0，1等.【问题五】解不等式log (21)log (5)a a x x -<-+.【解题关键】根据对数函数的单调性列出不等式，同时要保证对数式有意义.【规范解答】由题意，当01a <<时，原不等式等价于50210215x x x x -+>⎧⎪->⎨⎪->-+⎩，解得5122x x x <⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，即{|25}x x <<. 当1a >时，原不等式等价于50210215x x x x -+>⎧⎪->⎨⎪-<-+⎩，解得5122x x x <⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩，即1{|2}2x x <<. 所以当01a <<时，原不等式的解集为(2,5)；当1a >时，原不等式的解集为1(,2)2.【设计意图】(1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性.(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”的原则.(3)如果含有字母参量，应考虑分类讨论. 变式：设20.5log (32)log (31)0x x -+-<，则求x 的取值范围 目标检测：1.函数()x y x 32log -=的定义域是2. 不等式1)2(log 3>-x 的解集是________________．3. .函数log (21)4a y x =+-恒过定点________4. 若实数x ，y 满足1||ln 0x-=，y 关于x 的函数的图象形状大致（ ）D。

3.2.2对数函数（二）
教学目标：进一步理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质教学重点：掌握对数函数的图象和性质.
教学过程：
1、复习对数函数的概念
2、例子：
（一）求函数的定义域
1．已知函数的定义域是F,
函数的定义域是N,
确定集合F、N的关系？
2．求下列函数的定义域：
（1）（2）
（二）求函数的值域
2．
3．
4.求函数（1）（2）的值域
（三）函数图象的应用
的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是
2.已知， m,n为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）
（A）1<m<n (B)m<n<1 (C)1<m<n (D) n<m<1 2．画出下列函数的图象
（1）（2）
（四）函数的单调性
1、求函数的单调递增区间。

2、求函数的单调递减区间
（五）函数的奇偶性
1、函数的奇偶性为[ ]
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数
C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数
（五）综合
1．若定义在区间（－1，0）内的函数满足，
则a的取值范围（）
课堂练习：略
小结：本节课进一步复习了对数函数的定义、图象和性质课后作业：略。

2.2.2 对数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学a>和利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中a01含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程.；堂评价，师生共同讨论完成第四题）判断函数）上是增函数；）上是减函数还是增函数？≠1.；.备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.。

对数函数及其性质（2）一、教学内容分析函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

四、教学目标1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。

第2课时对数函数的性质应用[目标] 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点] 对数函数的图象和性质的应用．[难点] 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a>1时，y＝log a x为增函数，当0<a<1时，y＝log a x为减函数．2．对于y＝log a x，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0.[答一答]1．若a>1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m>log a n.若0<a<1，且m>n，则log a m与log a n的大小关系是log a m<log a n.2．若a>1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且log a m>log a n，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝log a f(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的增(减)区间；若0<a<1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝log a f(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．知识点三 反函数[填一填]函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与y ＝a x(a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a >1时同为增函数，0<a <1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一 比较大小[例1] 比较下列各组值的大小． (1)log 534与log 543；(2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，∴log 534<log 543.法二：∵log 534<0，log 543>0，∴log 534<log 543.对数式比较大小的三种类型和求解方法 (1)底数相同时，利用单调性比较大小.(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 类型二 解对数不等式[例2] (1)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．[分析] 对于(1)“1”变为log a a 讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解．[解] (1)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25∪(1，＋∞)．(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围为(1，＋∞)．解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2] 若－1<log a 34<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围．解：∵－1<log a 34<1，∴log a 1a <log a 34<log a a .当a >1时，1a <34<a ，则a >43；当0<a <1时，1a >34>a ，则0<a <34.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞.类型三 对数复合型函数的值域[例3] 求下列函数的值域： (1)y ＝log 12(－x 2＋2x ＋3)；(2)y ＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2，x ∈[－3，－1]． [分析] 先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域． [解] (1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， ∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 12 (－x 2＋2x ＋3)≥log 12 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)．(2)设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－2，∵x ∈[－3，－1]．∴3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).2.对于形如y ＝log a f (x )(a >0，且a ≠1)的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解.[变式训练3] 设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．解：(1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )， 即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2)．当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12.综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.类型四 对数复合型函数的单调性[例4] 已知f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是增函数，求a 的取值范围．[解] 令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝log 12u (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是增函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上是减函数，且u (x )>0在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥－12，u ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a2－a ≥0.∴－1≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围是{a |－1≤a ≤12}．与对数函数有关的复合函数y ＝log a g (x )的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g (x )>0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y ＝log a u ，内层函数u ＝g (x ).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝log a g (x )为增函数；若一增一减，则y ＝log a g (x )为减函数，即“同增异减”.[变式训练4] 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4 D ．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax >0，x ∈[－1,2]，∴8＋3a >0,8－6a >0，∴－83<a <43.又易知a >0，且a ≠1，∴0<a <1或1<a <43，此时可知函数g (x )＝8－3ax 是减函数．若f (x )在[－1,2]上是减函数，则必有a >1.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43.故选B.1．若0<x <y <1，则下列关系式正确的一组是( D ) A ．log 3x >log 3y B ．log 12 x <log 12 yC ．log x 3<log y 3D ．log 4x <log 4y解析：∵y ＝log 3x 是增函数，∴当x <y 时，log 3x <log 3y . ∵y ＝log 12 x 是减函数，∴当x <y 时，log 12 x >log 12 y .∵log 3x <log 3y <0，∴1log 3y <1log 3x<0.∴log y 3<log x 3. ∵y ＝log 4x 是增函数，且0<x <y <1知log 4x <log 4y . 2．函数y ＝2x的反函数是( C ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 12 xC ．y ＝log 2x (x >0)D ．y ＝log 12x (x >0)解析：函数y ＝2x的值域是(0，＋∞)． 又其反函数为y ＝log 2x .故选C.3．函数y ＝log 12 (x 2－6x ＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8>0恒成立，知x ∈R .设u ＝x 2－6x ＋17.∵0<12<1，∴函数y ＝log 12u 是减函数．又∵x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴log 12 (x 2－6x ＋17)≤log 12 8＝log 12 23＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝－3.故函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f (x )＝ln(3＋2x －x 2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． 解析：∵3＋2x －x 2>0，∴x 2－2x －3<0. ∴－1<x <3.令u ＝3＋2x －x 2＝－(x 2－2x －3)＝ －(x －1)2＋4，∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是ln u的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)．5．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)使f(x)＝log a(a x－1)有意义，则a x－1>0，即a x>1.当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0，∴当a>1时，函数的定义域为{x|x>0}；当0<a<1时，函数的定义域为{x|x<0}．(2)①当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，∴0<ax1－1<ax2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当a>1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当0<a<1时，设x1<x2<0，则ax1>ax2>1，∴ax1－1>ax2－1>0，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝log a(a x－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业21。

第二十一课时 对数（2）一、内容及其解析（一）内容：对数的运算性质及其推导，对数运算性质的简单应用（二）解析：本节课是关于对数的一节推理课，是高中新课改人教A 版教材第二章的第二节的第二节课.在此之前，学生已经学习过了对数的概念、指数的运算性质并了解了指数与对数之间的关系，对数的运算性质就是在此基础上展开讨论的。

本节课教学的重点是对数的运算性质；难点是对数运算性质的推导。

从指数与对数的关系以及指数运算性质，推导得到对数的运算性质，学生在学习过程中可能感觉难以入手，这时，教师可以以第一个运算性质的推导为例，向学生展示推导的思路，再引导学生进行第二个和第三个运算性质的推导并引导学生分析运算性质成立的条件。

之后再通过一些题目来考察学生对对数运算性质的应用。

二、目标及其解析（一）教学目标1，掌握并能够推导对数的运算性质；2，能够正确应用对数的运算性质处理相关问题.（二）解析1，掌握并能够推导对数的运算性质指的是：（1）正确记忆对数的运算性质；（2）理解对数运算性质的使用条件；（3）能从指数与对数的关系以及指数运算性质出发，推导得出相应对数的运算性质。

2，能够应用对数的运算性质处理相关问题指的是：能够正确使用对数的运算法则；运算结果的表达正确；对于一些较复杂的运算问题能综合运用对数的运算法则进行运算推理。

三、问题诊断分析本节课容易出现的问题是：学生从指数的运算法则推导出对数的运算法则很难入手。

要解决这一问题，教师要做好示范，以第一个运算性质的推导为例，从指数和对数的关系出发，通过设中间量和恒等变形，来达到转化的目的。

对于第二个和第三个运算性质，要由教师提出具体的问题，让学生类比第一个性质的推导过程，自主探索，教师巡视并给予适当指导。

四、教学过程设计学习要求1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2．能较熟练地运用这些法则和联系的观点解决问题；自学评价1．指数幂运算的性质（1）,m n m n a a a +=（2）mm n n a a a-=（3）()m n mn a a = 2. 对数的运算性质如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log a a a MM N N =（3）log log ()na a M n M n R =∈说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ；（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义。

云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质教学案（2）新人教A版必修1一、内容及解析1．内容：本节内容是在学习了对数的概念与运算性质后，进一步学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用；研究方法与指数函数性质的研究方法是一样的。

2．解析：由于学生已经学习了指数函数的性质，本节的研究方法与指数函数的性质的研究方法是一样的，因此，在教学时可以类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质。

二、目标及解析1、目标（1）理解对数函数的性质，掌握对数函数的图像和性质；（2）掌握运用对数函数的单调性比较两个数的大小；了解对数函数在实际生活中的运用；理解同底的对数函数与指数函数互为反函数；（3）注重函数思想，等价转化、分类讨论等思想的渗透，提高数学建模能力。

2．解析认识底数a对函数值变化的影响；三、教学问题诊断对数函数的图像和性质是本小节的重点，也是教学的一个难点。

突破难点的关键在于认识底数a对函数值变化的影响。

四、教学支持条件应用基本教学设施教学五、教学过程设计第一课时（一）教学基本流程1． 新课导入以课本P67例6为背景引入对数函数，让学生利用生物死亡的年数t 与生物内碳14的含量P的关系logt P =和计算器完成表2-3中的数据。

2．新课探究问题1你能根据logt P =抽象出对数函数的模型吗？学生：思考、交流； 教师：板书对数函数的定义：一般的，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 叫做自变量，函数的定义域是()0,+∞。

问题2 对数函数解析式log a y x =中，为什么要求0,1,0a a x >≠>且？ 师生活动：教师启发学生将对数式log a y x =化回指数式获解。

设计意图：导出对数函数的概念，培养学生的概括归纳能力、抽象思维能力。

问题3 我们如何来研究对数函数的性质呢？学生：类比研究指数函数的思路，确定研究对数函数的方法与步骤：通过画一些具体的对数函数的图像，观察、分析、归纳出一般对数函数的图像与性质。

222（2）对数函数及其性质（教学设计）（内容：图象与性质应用）教学目的：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点：对数函数的图象和性质.教学难点：对对数函数的性质的综合运用.教学过程：一、复习回顾，新课引入：1.完成下表（对数函数y log a x（a 0,且a 0）的图象和性质）0 a 1 a 1图象定义域IF值域性质、师生互动，新课讲解:例1 ：在同一坐标系作出函数y log2 x, y（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什（2）函数y log a x与y log 1 x （a 0,且aa又有什么特殊的关系？log5X,y lg x的图象如图所示，回答下列问题.（3）以y log 2 x, y log5 x, y lg x的图象为基础，在同一坐标系中画出y log 1 x , y log5 x 的图象.3 y log 2 x , y log 1 x , y log 3 x ,0）有什么关系？图象之间1思考底数a是如何影响函数y log a x的.(学生独立思考，师生共同总结)小结：当a>1时，函数单调递增，a越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，函数单调递减，a越小，图象越靠近变式训练1：已知函数y log a’x,y log a2x, y log a3x, y log a4x的图象，则底数之间的关系：例2 :根据对数函数的图象和性质填空.已知函数y log 2 x ,则当x 0时，y当x 4时，y ___________ .变式训练2：已知函数y log! x，则当0 x 1时，y _________________ ；当x 1时，y ___________ ；当x3y ________ ;当0 x 2 时，y _____________ ；当y 2 时，x ___________ .1 2 例3:比较大小：。

2.2.1对数的概念与对数运算性质一、内容与解析(一）内容：对数的概念与对数的基本性质（二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析 (一)教学目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号；2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。

3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：log 10,log 1,log n a a a a a n ===和对数恒等式。

1.2.2 函数的表示一、内容及其解析（一）内容：函数的表示。

（二）解析：本节课要学的内容函数的表示指的是列表法、图象法、解析法，理解它关键就是，体会三种表示方法的特点，能够根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数以获得一个函数的游泳信息，培养学生的灵活运用知识的能力。

学生已经学过了函数的概念并且在初中的时候接触过函数的三种表示法本节课的内容函数的表示法就是在此基础上的发展。

由于它还与实际问题有必要的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。

教学的重点是函数的三种表示方法及根据不同的需要选择恰当的方法表示一个函数，所以解决重点的关键是结合实例让学生加深理解。

二、目标及其解析（一）教学目标1．理解函数的三种表示方法；2．理解分段函数以及表示和映射的概念；3. 理解映射的概念；（二）解析1．理解函数的三种表示方法就是指能够根据不同的需要选择恰当的方法表示一个函数；2．理解分段函数以及表示和映射的概念就是指了解分段函数在解决实际问题中的应用，及分段函数解析式的建立及图象的描绘；3. 理解映射的概念就是指要学生体会由特殊到一般的思维方法，掌握映射的概念，会判断一个对应关系是否是映射，并且体验用映射刻画函数的方法，理解函数式一种特殊的映射。

三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是根据不同的需要选择恰当的方法表示一个函数和分段函数解析式的建立及图象的描绘，产生这一问题的原因是：学生根据实际问题情境获取有用信息和灵活运用知识的能力还有待提高；。

要解决这一问题，就要在多结合实际问题其中关键是理论联系实际。

四、教学过程设计一、导入新课在学习函数概念时，三个实例分别是怎样去表示它是函数的？二、提出问题问题1：某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用适当的方式表示函数y=f(x)．1.该函数用解析法怎样表示？2.该函数用列表法怎样表示？3.该函数用图象法怎样表示？问题2：下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及1.上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？2.上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？3.若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？问题3：某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）.1.里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？2.该函数用解析法怎样表示？3.该函数用列表法怎样表示？4.该函数用图象法怎样表示？问题4：映射的定义是什么？1.函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？2.映射有哪几种对应形式？3.设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.4.有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？三．概念的巩固和应用例1 、设周长为20cm 的矩形的一边长为xcm ，面积为Scm 2,那么x 与S 的对应关系是否为函数？若是,试用适当的方法表示出来. 例2 、画出函数y=|x|的图象.例3、 试判断下面给出的对应是否为从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； (2)集合A={P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x ∈R,y ∈R}，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A={x|x 是三角形},集合B={x|x 是圆},对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； (4)集合A={x|x 是师大附中的班级}，集合B={x|x 是师大附中的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生;(5)集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f ：x →2x+1例2、 已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}. （1）试建立一个从集合A 到集合B 的映射？ （2）一共可建立多少个从集合A 到集合B 的映射？ 例3、 下列对应关系f 是否为从集合A 到集合B 的函数？22(1),{|0},:||;(2),,:;(3),,:(4),,: 3.A RB y y f x x A R B R f x x A Z B R f x A Z B Z f x x ==>→==→==→==→-四．课堂目标检测 优化设计：随堂练习. 五．小结1、函数的三种表示方法及各自的特点；2、分段函数解析式的建立及图象的描绘；3、映射的概念，并且体验用映射刻画函数的方法，理解函数式一种特殊的映射。

第二十四课时 对数函数（2）一、内容及其解析（一）内容：复习对数函数的图象和性质，对数型函数的定义域、值域，图象变换等（二）解析：本节课是于对数函数的一节复习课，是高中新课改人教A 版材第二章的第二节对数函数部分的第二节课。

在此之前，学生已经学习过了对数函数的概念、对数函数的图象和性质，并且了解了一些关于图象变换的内容，对于对数型函数的定义域和值域以及对数型函数的图象，可以以此为基础展开讨论。

本节课教学的实质还是对数函数的性质，难点在针于具体问题的分析策略。

二、目标及其解析（一）教学目标1，复习巩固对数函数的图象和性质；2，会求一些与对数函数有关的对数型函数的定义域、值域等；3，了解函数图象的平移变换、对称变换、绝对值变换（二）解析1，对数函数的图象和性质是上一节课的重点和难点，也是本节课内容的基础，对其进行细致的复习很有必要；2，通过对一些与对数相关的对数型函数的定义域、值域甚至是单调性、奇偶性等问题的探讨，进一步加深学生对对数函数的性质的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力，进一步加强转化与化归思想的应用；3，通过函数图象的平移、对称等变换，进一步培养学生的作图和识图能力。

三、问题诊断分析本节课容易出现的问题是：一些与对数相关的对数型函数的值域问题学生可能会感觉无从下手。

出现这一问题的原因是：对较复杂函数的处理缺乏经验，缺乏转化与化归的意识。

要解决这一问题，教师要通过一个具体的例子，设置适当的问题，引导学生利用换元法进行转化，从而让学生意识当处理这样的问题要分两步走，每一步都很简单，两步走完结果就出来了，体会转化与化归思想的重要性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

四、教学过程设计学习要求1.复习巩固对数函数的图象和性质；2.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域等；3.了解函数图象的平移变换、对称变换、绝对值变换。

自学评价问题1．函数3log (2)y x =+的图象是由函数3log y x =的图象经过怎样的变换得到的？问题2. 函数3log (2)3y x =-+的图象是由函数3log y x =的图象向右平移2个单位，得到。

第二十二课时对数（3）一、内容及其解析（一）内容：对数的换底公式及其变形（二）解析：本节课是于对数运算性质的一节后延课，是高中新课改人教A版材第二章的第二节的第三节课.在此之前，学生已经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，对数的换底公式就是在此基础上展开讨论的。

本节课教学的重点是对数的换底公式；难点是换底公式的证明及应用。

从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让学生去探究，对学生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导学生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的问题。

二、目标及其解析（一）教学目标1，掌握并能够证明对数的换底公式；2，正确应用换底公式得到其变形结果，能利用它将对数转化为自然对数或常用对数来计算，体会转化与化归的数学思想；3，通过本节课换底公式的证明及前一节课对数运算法则的推导过程，培养学生应用已有知识发现问题及解决问题的能力，体会数学内在的逻辑性，发现数学美，提高学生学习数学的热情。

（二）解析1，掌握并能够证明对数的换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式；2，正确应用换底公式得到其变形结果指的是：能利用换底公式得到一些常见结论（即换底公式的变形公式），对于具体的求值问题，能够选择适当的底数进行转化，从而简化计算；3，对数的运算性质及换底公式的推导和证明，可以有不同的顺序，各条性质之间有些也能互相推导，也可以转化为定义推导，对于具体的求值问题，可以应用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，题目做起来非常有趣；通过这部分内容，培养学生的数学能力，感受数学学科的特点，激发学生学习数学的兴趣。

三、问题诊断分析本节课容易出现的问题是：针对具体问题学生不能选择适当的底数来应用换底公式。

出现这一问题的原因是：学生对换底公式尚不太熟悉，转化的能力也有待提高。

要解决这一问题，教师要通过对换底公式的变形公式的探究及具体的例子，让学生自主探究，必要时给予适当引导，让学生学会分析问题，逐步掌握换底公式的应用。

2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标（一） 教学知识点 1． 对数函数的概念； 2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求 1． 理解对数函数的概念； 2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入： 1、指对数互化关系：b N N a a b =⇔=log2、 )10(≠>=a a a y x且的图象和性质．3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞．学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a例1． 求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=；分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x ； （3）由x-1>0得x>1，∴函数的定义域是()+∞,1．2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图象：11log )3(7-=x y 11log 7-=x y思考：x y 2log =与x y 21log =的图象有什么关系？3，（1）根据对称性（关于x 轴对称）已知y =3log x 的图像，你能画出y =x 31log 的图像吗？（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.（1） x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．a ＞1 0＜a ＜1三、讲解范例：例2．比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<<a 时，x y a log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log 1.5log a a >． 小结2：分类讨论的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练习1。