第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
高二 第1试
3月11日 上午8：30至10：00 得分
一、 选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请
1. 集合{|1,},{11,}P x x x R Q x x Z =≤∈=≤∈，则P Q = （ ）
()(0,1).A (){0,1}.B ()[0,1].C
()[1,1].D -
2. 已知340,log (1log x A B x >==，则A 与B 的大小关系是（ ）
().A A B > ().B A B = ().C A B < ()D 随x 的值而定.
3. 有若干个同心圆，其半径是公比为(1)q q >的等比数列，相邻的两个圆组成一个圆环，
则这些圆环的面积（ ）
()A 不是等比数列. ()B 是等比数列，公比为.q
()C 是等比数列，公比为2.q
()D 是等比数列，公比为2 1.q - 4. 设,a b 是两个非零向量，则“a 和b 同向”是“2()()()a b a a b b =
”的（ ） ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件
()C 充分且必要条件 ()D 既不充分也不必要条件
5. 已知,x y R ∈，且3535x y y x --+≤+，则下列关系式中成立的是（ ）
() 1.x y A e -≥ () 1.y x B e -≥ ()ln()0.C x y -≥
()ln(1) 1.D y x -+≥
6. The range of values for the function y x =is （ ）
()[A ()(B ()[1C - ()(1D -
7. 方程2(0x y y +-+-=的正整数解的个数是（ ）
()1.A ()2.B ()5.C ()D 无穷多个.
已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AA a =，2AB a =，
M 、
N 、E 分别是AB 、AC 、11A B 的中点，那么平
8. 面BCE 与平面MNE 所成的二面角的余弦值是（ ）
(A
(B
(C
(D 9. 椭圆2
2
14y x +=的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于（ ） 3().4A 4()5B 5()6
C 7()8
D 10. 定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A 、B 两点，则线段AB 称为该双曲线的焦点弦。
已知双曲线22
1259
x y -=，那么过该双曲线左焦点，长度为整数且不超过2012的焦点弦的条数是（ ）
()4005A
()4018B ()8023C ()8036D 二、 A 组填空题（每小题4分，共40分）
11. 若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：2()()1f x g x x x +=++，
则(2)g =
12. 函数21()x x y e e x R +=-∈的单调递减区间是
13. 平面直角坐标系中，已知点(2,1)A ，动点B 在x 轴上，动点C 在直线y x =上，那么
ABC 的周长的最小值是
14.
已知sin cos θθ+=tan()3
πθ-= 15. 设20112013{|,}2012
n n
A n Z n Z +++=∈∈，将A 中的元素从小到大地排列为：12,,,a a 则122012a a a ++=
16. 已知数列{}n x 中，21113,2n n n
x x x x ++==，则数列{}n x 的通项公式n x = 17. 设A 是半径为5的O 上的一个定点，单位向量b 在A 点处与O 相切，点P 是O 上
的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP b
的取值范围是 Suppose the equation 22
210x kx k -+-= has two unequal real roots 12,x x ,which satisfy 13(1,2)i x i -<=. Then the range of values for the real number
18. k is
19. 如图2，在正四面体ABCD 中，12,P P 是
BC 的3等分点，过这两个分点分别作CD 的平行线1122,PQ PQ ，其中12,Q Q 在
BD 上，则点B 到平面1122,APQ APQ 的距离之比是
20. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF = ，则双
曲线C 的离心率的值是
三、 B 组填空题（每小题8分，共40分）
21.一个正数的小数部分、整数部分及它自身构成等比数列，则该数的整数部分是 ， 小数部分是
22.已知正三棱锥的侧面面积与底面积之比等于λ，则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等 于 ，侧棱与底面所成角的正弦值等于
23.设曲线1*()n y x n N +=∉在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则n x = ， 201212012220122011log log log x x x +++=
24.已知函数3())cos()cos cos()442
f x x x x x π
π
π=++++，则()f x 的最小正周期是 ，若函数()f x 的图象按向量(,)b m n =
平移后，所得的图象与函数()sin 21g x x =+图象重合，且2
m π<，则b = 25.已知ln ,05,()10, 5.
x e x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若方程()()f x k k =是常数有三个不同的实数根,,,a b c 且,a b c <<则ab = ，c 的取值范围是。
