平面向量共线的坐标表示导学案

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示导学案【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101）探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。

二、合作探究1、已知()2,4-=a ，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标. *变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。

平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2．3.4 平面向量共线的坐标表示1.平面向量共线的坐标表示 前提条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0结论 当且仅当□1x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线 2．已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 是线段P 1P 2的中点，则点P 的坐标为□2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；若P 是线段P 1P 2上距P 1较近的三等分点，则P 点的坐标为□3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；若P 是线段P 1P 2上距P 2较近的三等分点，则P 点的坐标为□4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(1，－2)，则a 与b 反向共线．( ) (2)已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则C 点的坐标可能是(9,1)．( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 时，有x 1x 2＝y 1y 2成立．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6) B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14) D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4) 答案 D解析 a ＝(－3,2)＝－12(6，－4)＝－12b ，∴a 与b 共线． (2)已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(－1，λ)，且a ∥b ，则λ等于( ) A ．32 B ．－2 C ．－92 D ．－32答案 A解析 由a ∥b 得2λ＝－3×(－1)，∴λ＝32.(3)(教材改编P 98例7)若平面内三点A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则m 为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2答案 A解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. 又AB →＝(5，－5)，AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫52，m －3，∴5(m －3)＋252＝0，解得m ＝12.故选A.(4)已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标为________．答案 (1，－1)解析 设D (x ，y )，AB →＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)， CD →＝(x ，y )－(2,0)＝(x －2，y )．∵AB →＋CD →＝0，∴(1,1)＋(x －2，y )＝(0,0)，∴⎩⎨⎧x －1＝0，y ＋1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，即D (1，－1)．探究1 向量共线例1 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________；(2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解析 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)， 所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． 因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.(2)解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， 因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．解法二：由题意知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)， 因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 答案 (1)2 (2)见解析 拓展提升向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . (2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．【跟踪训练1】 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 答案 1解析 因为a －2b ＝(3，3)与c ＝(k ，3)共线， 所以3k ＝3×3，故k ＝1. 探究2 点共线问题例2 (1)若点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝________； (2)设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解析 (1)AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x －1,4)．因为点A ，B ，C 共线，所以AB →与AC →共线． 所以7×4－72(x －1)＝0，解得x ＝9.(2)解法一：若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线，则存在实数λ，使得AB →＝λAC →，因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)． 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)．即⎩⎨⎧4－k ＝λ(10－k )，－7＝λ(k －12)，解得k ＝－2或k ＝11.所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． 解法二：由题意知AB →，AC →共线， 因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． 答案 (1)9 (2)见解析拓展提升三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．【跟踪训练2】 已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )． (1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？ 解 (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )． ∵AB →∥CD →， ∴x 2＝4，x ＝±2.(2)由已知得BC →＝(2－2x ，x －1)， 当x ＝2时，BC →＝(－2,1)，AB →＝(2,1)，∴AB →和BC →不平行，此时A ，B ，C ，D 不在一条直线上； 当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)， ∴AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线．又AB →∥CD →，∴A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． 综上，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． 探究3 向量共线的应用例3 在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)． ∵OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，54.∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54. 同理可得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， 而AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72.∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 而CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4－0，3－54＝⎝⎛⎭⎪⎫4，74，∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 由①②，得x ＝127，y ＝2.∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2. [变式探究] 若将例3中的“OC →＝14OA →”改为“OC →＝13OA →”其他条件不变，再试求M 点的坐标．解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，又OC →＝13OA →，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，同理D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32，设M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72，∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20，①又∵CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y －53，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4，43，C ，M ，B 三点共线，∴43x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －53＝0，即x －3y ＋5＝0，②由①②解得，x ＝85，y ＝115，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，115.拓展提升由向量共线求交点坐标的方法【跟踪训练3】 如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．解 ∵OP →与OB →共线，故设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝(4λ－4,4λ)，AC →＝(2－4，6－0)＝(－2,6)．由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0. 解得λ＝34.∴OP →＝(4λ，4λ)＝(3,3)． 故点P 的坐标是(3,3)．1.两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2.向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( )A ．12B ．13C ．1D ．2答案 A解析 a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.2．设点P 是P 1(1，－2)，P 2(－3,5)连线上一点，且P 2P →＝－12PP 1→，则点P 的坐标为( )A ．(5，－9)B ．(－9,5)C ．(－7,12)D ．(12，－7) 答案 C解析 ∵P 2P →＝－12PP 1→， ∴P 2是P 1P 的中点， ∴P (－7,12)．故选C.3．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点的坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9) 答案 C解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋6)，AB →＝(－8,8)．∵A ，B ，C 三点在同一条直线上，∴x －3－8＝y ＋68，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x ＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.4．与a ＝(12,5)平行的单位向量为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513 解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.5．平面内给出三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求解下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解 (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)∵a ＋k c ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)， 又(a ＋k c )∥(2b －a )， ∴2(3＋4k )＝－5(2＋k )，∴k ＝－1613.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．a ＝(0,0)，b ＝(1，－2)B ．a ＝(－1,2)，b ＝(5,7)C ．a ＝(3,5)，b ＝(6,10)D ．a ＝(2，－3)，b ＝(4，－6) 答案 B解析 A 中，a ＝(0,0)与b ＝(1，－2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C 中a ＝(3,5)与b ＝(6,10)＝2a 共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D 中a ＝(2，－3)与b ＝(4，－6)＝2a 共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．故选B.2．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( )A ．(1，－2)B ．(9,3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)答案 D解析 AB →＝(3－2,1＋1)＝(1,2)， ∵(－4，－8)＝－4(1,2)， ∴(－4，－8)满足条件．3．已知向量a ＝(1,2)，(a ＋b )∥b ，则b 可以为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)答案 A解析 设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，因为(a ＋b )∥b ，所以(x ＋1)y －x (y ＋2)＝0，化简得y －2x ＝0，只有A 满足．4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析 由a ∥b ，得32×13－sin αsin α＝0，∴sin 2α＝12， ∴sin α＝±22，又α为锐角，∴α＝45°.故选B.5．若平行四边形的3个顶点分别是(4,2)，(5,7)，(－3,4)，则第4个顶点的坐标不可能是( )A ．(12,5)B ．(－2,9)C ．(3,7)D ．(－4，－1) 答案 C解析 解法一(估算法)：画草图可知符合条件且在第一象限的点只有一个，且位于点(5,7)的右侧，则该点的横坐标要大于5，所以只有C 不可能．解法二(向量法)：设第4个顶点坐标为D (m ，n )，记A (4，2)，B (5,7)，C (－3,4)．∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →或AB →＝CD →或AC →＝DB →，∴(1,5)＝(－3－m,4－n )或(1,5)＝(3＋m ，n －4)或(－7，2)＝(5－m,7－n )，∴点D 为(－4，－1)或(－2,9)或(12,5)，故第4个点坐标不可能为(3,7)．故选C.二、填空题6．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．答案 m ≠12解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB →与AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12，∴实数m ≠12.7．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n ＝______. 答案 2解析 ∵a ∥b ，∴n 2－4＝0，∴n ＝2或n ＝－2，又∵a 与b 方向相同，∴n ＝2.8．已知四边形的顶点A (3，－1)，B (1,2)，C (－1，1)，D (3，－5)，则四边形ABCD 的形状为________．答案 梯形解析 ∵AB →＝(－2,3)，DC →＝(－4，6)， 而(－2)×6－3×(－4)＝0，∴AB →∥DC →. 又∵AD →＝(0，－4)，BC →＝(－2，－1)，而0×(－1)－(－4)×(－2)≠0， ∴AD →与BC →不共线．∴四边形ABCD 是一个梯形． 三、解答题9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． 因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，解得k ＝－12. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎨⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1，0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解 设P (x ，y )， 则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)． 又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)， 由CP →与CA →共线，得(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫207，167，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫277，167.B 级：能力提升练1．平面上有A (－2,1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标．解 因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →. 所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)． 所以x ＝－5，y ＝－2.所以C (－5，－2)． 因为CE →＝14ED →， 所以4CE →＝ED →.所以4CE →＋4ED →＝5ED →.所以4CD →＝5ED →. 设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎨⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－115. 2．已知直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．证明 如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ，∴四边形AECD 为正方形．∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1，1)，A (－1,0)．(1)∵ED →＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →，即DE ∥BC .(2)连接MB ，MD .∵M 为EC 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，∴MD →＝(－1,1)－⎝⎛⎭⎪⎫0，12＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，MB →＝(1,0)－⎝⎛⎭⎪⎫0，12＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12.∴MD →＝－MB →，∴MD →∥MB →.又MD 与MB 有公共点M ，∴D ，M ，B 三点共线．。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示整体设计教学分析引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a =λb ,那么a 与b 共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 1．三维目标（1）知识与技能①会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；②能用向量的坐标表示判定向量共线，会用向量的坐标表示证明三点共线．（2）过程与方法通过平面向量共线的坐标表示，体会由特殊到一般的思维方法，培养学生归纳总结能力 （3）情感、态度与价值观通过学习向量共线的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力． 2．教学重点向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 3．教学难点根据平面向量的坐标，判定向量共线． 4．教学建议1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a 与b 共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二课时安排 1课时三教学过程 导入新课[导入一]1温故知新：(1)若a ＝(1，－1)，b ＝(－1,1)，则a ＋b 等于( )A ．0B ．(0,0)C ．2D ．－2 (1)B 【解析】a ＋b ＝(1－1，－1＋1)＝(0,0)(2) 若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)；则AC →＝( )A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(－2，－2)D ．(2,2)(2)A 【解析】AC →＝AB →＋BC →＝(4,6)(3)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1＋λ2＝________.(3)1【解析】λ1a ＝(λ1,2λ1)，λ2b ＝(2λ2,3λ2)，⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝32λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝2，∴λ1＋λ2＝1. (4)已知点A (－1,2)，若向量AB →＝3a ，a ＝(1,3)，则点B 的坐标为________．(4) (2,11) 【解析】AB →＝3a ＝(3,9)．OB →=(－1,2)+ (3,9)= (2,11)，∴B 点坐标为(2,11) 2前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

新课标下《平面向量共线的坐标表示》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解平面向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 引导学生掌握平面向量共线的坐标表示，能够运用这一概念解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 平面向量的概念及其坐标表示。

2. 平面向量共线的坐标表示。

3. 运用平面向量共线的坐标表示解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的概念，向量的坐标表示方法，平面向量共线的坐标表示。

2. 教学难点：平面向量共线的坐标表示的应用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平面向量共线的坐标表示。

2. 利用多媒体课件，直观展示平面向量的坐标表示和共线向量的特点。

3. 开展小组合作学习，让学生在讨论中巩固知识，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示一个平面向量。

2. 讲解向量的坐标表示方法，解释平面向量共线的概念。

3. 演示平面向量共线的坐标表示方法，让学生通过实例理解共线向量的特点。

4. 开展课堂练习，让学生运用平面向量共线的坐标表示解决实际问题。

教案设计应根据实际教学情况进行调整，以满足学生的学习需求。

在教学过程中，关注学生的个体差异，鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和效果。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对平面向量共线坐标表示的理解程度。

2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其运用知识解决问题的能力。

3. 课后作业：批改学生作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况。

七、教学拓展：1. 邀请相关领域的专家或企业代表，进行专题讲座，拓宽学生的知识视野。

2. 组织学生参观相关企业或实验室，了解平面向量共线坐标表示在实际工程中的应用。

3. 开展课题研究，让学生结合所学知识，探究平面向量共线坐标表示在其他领域的应用。

必修42．3．4 平面向量共线的坐标表示【学习目标】1.能自己推导出平面向量共线的坐标表示，能对该结论熟练运用、解决实际问题；2.知道利用向量推导定比分点公式的推导方法，并运用此方法求解一些问题；3.培养同学们在解决问题过程中见“数”思“形”、以“形”助“数”的思维习惯.【学习重点】平面向量共线的坐标表示及运用 【难点提示】定比分点公式的推导与理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材98102P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量的坐标运算公式，若),(11y x a =，),(22y x b = ，则________a b +=；_________a b -=；______()a R λλ=∈；2.向量共线定理：向量）（0≠a a 与b 共线 有 一个实数λ，使_______； ３.若点),(11y x A ，),(22y x B ，则________________________=AB４.令),(11y x a = ，),(22y x b = ,则⇔=⇔=),(),(2211y x y x b a___________二、学习探究 1.向量共线的坐标表示在“学习准备中”我们已经回顾了向量共线定理和平面向量坐标表示及运算，那么，我们自然要想这两者有怎样的联系呢？向量共线定理能否用坐标来表示呢？请同学们运用前面所学知识，亲自动手推导一下看！自己独立思考后，请阅读教材，在归纳总结.归纳概括 向量共线的坐标表示： 设),(11y x a =，),(22y x b = ，且）（0 ≠b ，则由向量共线定理可知，a//⇔≠)0( b b _________________________.快乐体验 （1）若向量a=(4，2)、b =(6，y)且a b ，求实数y 的值．解：（2）教材P100页练习第4题，可以作在书上. 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量共线的坐标表示有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展 （1）（2 （3）向量共线有几种表现形式与判定方法？（链接1） 2.定比分点公式联想思考 现有这样一个问题：如图2.3.4-1已知点 111222(,)(,)P x y P x y 、，有一个人在直线12PP 上从1P 点开始走，当走到P 点时，他测得 12PP PP λ= (其中λ为给 定的常数),现在他想知道所在P 点的坐标，你能帮助他完 成这个心愿吗？温馨提示 （1）这时点P 的坐标能确定吗？若能确定，现在那些是已知，需要求什么？ （2）如何利用三个条件12PP PP λ=、111222(,)(,)Px y P x y 、，是否需要设点P 的坐标 (,)x y ，在看运用那些知识可将三个点的坐标与已知式联系起来，从而用12P P 、的坐标及λ表示出,x y .推导过程归纳结论 若111222(,)(,)P x y P x y 、、(,)P x y ，当12PP PP λ=(其中λ为常数)，则： _________,__________,x y ==这时我们把点P 叫做有向线段12PP 的定比分点，常数λ叫做点P 分有向线段12PP 的定比分值.快乐体验 教材P101页练习的5、6、7. 解：同学们通过探究、推导、归纳、体验，对定比分点坐标公式及相关内容有哪些感悟，你能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展 （1）在关系式12PP PP λ=中，λ可以取那些实数？λ的取值与点P 的位置有何关系？（链接2）（2）该公式有何特征？有几个量？如何记忆？如何使用？使用范围是什么？ （3）当1λ=时，点P 是线段12PP 的 点，此时，_____,_____,x y ==（链接3） （4）若点G 是ABC ∆的重心，),(11y x A 、),(22y x B 、33(,)C x y 、(,)G x y ，请用A 、B 、C 三点的坐标表示x y 、，有_________,__________x y ==（链接4）.三、典例赏析例1.教材P98页例7，请同学们先独立完成后在对比教材的解答. 解:解后反思 （1）该题的题型怎样？你的求解与教材一致吗？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？还有方法吗？（2）向量平行、向量共线、三点共线、直线平行有什么区别与联系？变式练习 已知a =(1,0),b =(2,1),当实数k 为何值时，向量k a －b 与a +3b 平行？ 并确定此时它们是同向还是反向.解：例２.设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标． 解：解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？若点P 为线段P 1P 2的一个四分点，如何求解呢？变式练习 如图2.3.4-2，已知ABC ∆中，A(0,5)，O （0,0），B （4,3），14OC O A =,12OD OB =，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法， 你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量共线的坐标表示、有向线段定比分点公式等都理解与掌握了吗？并能灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价１. 若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x 的值为（ ） Ａ－３ Ｂ－１ Ｃ１ Ｄ３２. 若j i 2+=, j y i x )4(3-+-=）（ (其中j i,的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量) AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）Ａ１，２ Ｂ２，２ Ｃ３，２ Ｄ２，４３. 已知(x,1)b ,)1,2(==a ,若b a b a -+22与平行,则ｘ的值为４. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A （2，1），B （－1，3），C （3，4），则第四个顶点D 的坐标是_____________５. 已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD 是梯形证：6.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，,31=31=, 求证：EF ∥证：7.已知三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分AB 的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标. 解：8.教材P101习题2.3B 组第3、4题.◆承前启后 现在我们学习了向量的线性运算与坐标运算等知识，那么我们自然是否应想到向量还有其它的运算方式呢？如：向量有乘法与除法吗？【学习链接】链接1.向量共线从“形”上有平行与在同一直线上，从“式”上有线性关系与坐标表示. 判定方法三种：几何法、线性法、坐标法.链接2. P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有四种情况：0λ=时，点P 与1P 重合；λ>0(内分) (外分) (λ<-1) ( 外分) (-1<λ<0)链接3. 当1λ=时，P 为线段12PP 的中点，121222x x y y x ++==、y 叫中点坐标公式；链接4.若G 是ABC ∆的重心，),(11y x A 、),(22y x B 、33(,)C x y 、(,)G x y ，则： 1233x x x x ++=，1233y y y y ++=叫三角形的重心坐标公式.。

§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案 B3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D 教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2 023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2 023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2 023|＝2 023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2 023首尾相连时， e 1＋e 2＋…＋e 2 023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →， 而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ， CE ＝2AD ， BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB → ＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝⎛⎭⎫13AB →＋13AC → ＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△P AB 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－P A →)， ∴3P A →＝PB →－PC →＝CB →， ∴P A →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △P AB ＝BC AP ＝|CB →||P A →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △P AB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ， 又a ，b 为两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm ＝1，可得λ＋μ＝m >1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件． 3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a C ．a ＋b ＝b D ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋AB →＋12AD → ＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →|答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →， 所以3AB →－3AD →＝AC →－AB →， 所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________. 答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，又AB →＝1λAD →，AC →＝1μAE →，∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝23，即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →， 又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形，∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S △AOC ∶S △ABC ＝z ∶(x ＋y ＋z )＝1∶6.。

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案 新人教A 版必修4【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101）探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。

二、合作探究1、已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.*变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.13 3. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．。

编写_____________ 审核___________________ 2009, 5, 4一学习目标1掌握平面向量共线的坐标表示2掌握平面向量共线的坐标表示证明点共线和线平行3掌握中点坐标公式，了解定比分点坐标公式4增强向量问题坐标化的意识二重点难点1重点：平面向量共线的坐标表示；2难点：定比分点坐标公式(选学)三知识链接平面向量共线定理；向量的数乘运算以及相等关系的坐标表示；中点坐标公式_____________________________________________ 叫共线向量向量共线定理： ______________________________________________________即设b ^6,则a//b存在唯一实数入，使得& = “若期〃而，则AB/7CD吗？若AB〃CD,则期〃05吗？若期与而共线，则A、B、C、D共线吗？若A、B、C、D共线，则乔与而共线吗？设孑=(xi,yi), b =(X2,y2),贝］\a=b O ______________________________________四新课学习(-)平面向量共线的坐标表示探究向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系(向量共线定理)能否用坐标表示?若能，请写出表示过程设a= (xi,yi), b = (x2,y2),其中b ^0a //b _____________________________________问题上述过程中，入是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求方0?向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1已知N= (4, 2), b = (6, y),且方〃方，求y思考1本题中的N, b是同向还是反向？2 已知力=（2, -1）, b =（x, 2）,c =（-3, y）,且a // b // c，求x, y例2已知A (-1, -1), B (1, 3), C (2, 5),试判断A, B, C之间的位置关系探究1三点共线有哪些证法？请课下归纳小结2改为判断AB, BC之间的位置关系可以吗？本例给了你什么启示？3如何判定平面内四点，五点，……，是否共线？如何判定平面内两条，三条，……，线段（或直线）之间的位置关系？4对于题中A, B, C,若点P满足0P = 04 + tBC （O是任意一点）tWR,则点P的轨迹是什么？若点P在第二象限，试求t的取值范围（二）中点坐标公式设Pl，P2是直线1上两点，点P是1上不同于P” P2的任意一点，则_______________________ ，使乔=x PP2,入叫点P分有向线段耳耳所成的比，点P叫定比分点例3设点P是线段Pi P2±的一点，P” Pi的坐标分别是（X” yi）,（X2，y2）（1）当P是线段Pi P2的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。

2. 3.4平面向量共线的坐标表示【教学目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．教学难点： 定比分点的理解和应用．【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

这就为解决问题提供了方便。

我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

二、〖新知探究〗 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a =λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a由a =λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0 结论：a ∥b (b ≠)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠，∴x 2, y 2中至少有一个不为0.2︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔y x y x λ三、〖典型例题〗例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．解：∵//a b ，∴4260y -⨯=．∴3y =．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.变式训练1：已知平面向量)2,1(=a，),2(m b -= ，且//，则32+等于_________.例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=， 又26340⨯-⨯=，∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线。

平面向量共线的坐标表示教学设计【知识梳理】平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，及其各运算的坐标表示和性质运几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法平行四边形法则三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++AB BC AC +=向 量 的 减 法三角形法则 1212(,)a b x x y y -=-- )(b a b a-+=-AB BA =-OB OA AB -=向 量 的 乘法 aλ是一个向量, 满足:λ>0时,a λ与a同向;λ<0时,a λ与a异向;),(y x a λλλ=a a)()(λμμλ=a a aμλμλ+=+)( b a b aλλλ+=+)(a ∥b a bλ=⇔1221//0a b x y x y ⇔-=λ=0时, a λ=【疑难探究】平面向量共线的坐标表示公式的推导[问题情境] 设a=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ¹a ，则a ∥b (b ¹0)的充要条件是什么？[问题探究]设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ¹a ，由a ∥b (b ¹0)得：a =λb ，即 (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，得x 1y 2-x 2y 1=0；[问题情境1]消去λ时为什么不能用两式相除？[问题探究1]∵y 1， y 2有可能为0，故消去λ时不能两式相除；[问题情境2]为什么规定b¹？[问题探究2]因零向量与任意向量平行，故规定b ¹0；∵b¹0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0，从而保证b¹0；[问题情境3] 为什么a ∥b (b ¹)的充要条件不能写成2211x y x y=？ [问题探究3] a ∥b (b ¹)的充要条件不能写成2211x y x y=， ∵x 1， x 2有可能为0。

平面向量共线的坐标表示【课标要求】根据平面向量共线的条件以及坐标运算，表达平面向量共线的条件.【学习目标】平面向量共线的坐标表示.【重难点】平面向量共线的坐标表示.【知识回顾】1、对于平面内两个向量()11y x a ，=，()22y x b ，=，若向量a 与向量b 共线，则我们有：b a λ=，由坐标运算，我们可以得到()21x x b λλλ，=，两个向量相等，则其对应坐标也相等，则有：⎩⎨⎧==2121y y x x λλ，消去λ，得到：01221=-y x y x 这也就是说，当且仅当01221=-y x y x 时，向量a 与向量b 共线.2、向量长度的坐标表示设向量()11y x a ，=的位置向量为OA ，2121y x +==【随堂练习】1、下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34) 2、若A (3，－6)、B (－5,2)、C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－93、已知向量a ＝(2,1)、b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则x ＝( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－44、向量a ＝(3,1)、b ＝(1,3)、c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－55、已知向量a ＝(3,4)、b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α＝( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346、若三点A (2,2)、B (a,0)、C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝( ) A ．12B ．1C ．2D ．47、设向量a ＝(2,1)、b ＝(－4，λ)，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A ． 3B ．5C ．3D ．58、已知平面向量a ＝(1,2)、b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)9、已知平面向量a ＝(x,1)、b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线10、已知向量a ＝(1,0)、b ＝(0,1)、c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向11、设i 、j 分别为x 、y 轴方向的单位向量，已知OA →＝2i ，OB →＝4i ＋2j ，AB →＝－2AC →，则点C 的坐标为________．12、已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.13、已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则B 点坐标为________．14、已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．15、设向量O A →＝(k,12)、O B →＝(4,5)、O C →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．16、已知向量a ＝(1,2)、b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，求x 的值．17、平面内给定三个向量a ＝(3,2)、b ＝(－1,2)、c ＝(4,1)，(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .18、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →， 求证：EF →∥AB →.19、已知直角坐标平面上四点A (1,0)、B (4,3)、C (2,4)、D (0，2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．。