2017年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I =（A ）（1,2） （B ）(1,2] （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<I I ，选D.【考点】 1.集合的运算；2.函数的定义域；3.简单不等式的解法【点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.（2）已知a ∈R ,i 是虚数单位.若4z a z z =⋅=，则a =（A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 【考点】1.复数的概念；2.复数的运算【点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的值. （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）⌝∧p q （C ）⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】由011x x >⇒+>，所以ln(1)0x +>恒成立，故p 为真命题； 令1a =，2b =-，验证可知，命题q 为假.故选A. 【考点】常用逻辑用语【点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.（4）已知x,y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，选C.【考点】简单的线性规划【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】由已知得22.5,160,x y ==则$160422.570,a=-⨯=当24x =时，ˆ42470y =⨯+166=,选C.【考点】线性相关与线性回归方程的求解与应用【点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 的公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．（6）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D【解析】第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =；第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =，故选D. 【考点】程序框图【点睛】识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要理解程序框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景． （7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质；2.基本不等式【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．学/科网则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】12542C C 5989=⨯ .故选C.【考点】古典概型【点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题. （9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式；2.正弦定理【点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣U （B ）(][)0,13,+∞U（C ）()⎡+∞⎣U （D ）([)3,+∞U【答案】B【解析】 若m =，则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图象无交点，故排除C 、D ；若3m =，则()1,4是两个函数的公共点.故选B.【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用 【点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】()13n x +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理【点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 .【答案】3【解析】)()221212112122-⋅+=⋅-⋅-=λλλe e e e e e e e ，122-===e ，12+===λe e所以22321cos601λλλ-=⨯+⨯=+o ，解得：3λ=． 【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角；3.单位向量 【点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=⋅a a a ，cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于λ的方程求解. （13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】π22+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.【考点】1.三视图；2.几何体的体积【点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧+=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a +==a ⇒=，所以双曲线的渐近线方程为y x =. 【考点】1.双曲线的几何性质；2.抛物线的定义及其几何性质【点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．（15）若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质； ②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3e ()e xxf x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题；2.利用导数研究函数的单调性 【点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围的问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）最小值为32-.【解析】（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.【考点】1.两角和与差的三角函数；2.三角函数图象的变换与性质【点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽略设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. （17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是»DF的中点. （Ⅰ）设P 是»CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒. 【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =I ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取»EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ===+取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以13123EM CM ==-=在BEC △中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=， 所以23EC =，因此EMC △为等边三角形， 故所求的角为60︒. 解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，故(2,0,3)AE =-u u u r ，3,0)AG =u u u r，(2,0,3)CG =u u u r，设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量.由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 可得1111230,30,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)m . 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量.由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 可得222230,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)=-n . 所以1cos ,2m n ⋅==⋅m n m n .因此所求的角为60︒.【考点】1.垂直关系；2. 空间角的计算【点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. （18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5.(II)X 的分布列为 X 的数学期望是2EX =.【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为 X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型；2.随机变量的分布列与数学期望；3.超几何分布【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等. （19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T.【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n n T b b b b =++++=L 10132325272(21)2(21)2n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯L ① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯L ②-①②得121132(22 (2))(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-所以(21)21.2n n n T -⨯+=【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.错位相减法求和【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. （20）（本小题满分13分）已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)xg x x x x =-+-，其中e 2.71828=L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <，(1)当0a ≤时，x e a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--，由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x .①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >，所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增.所以 当0x =时()h x 取到极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取到极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、极值；3.分类讨论思想【点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或复杂式子变形能力差.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为1k =.【解析】（1）由题意知 c e a ==，22c =，所以 a =1b =， 因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A xy B x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且121x x +=()12211221x x k =-+，所以121=-=AB x .由题意可知圆M 的半径r为123r AB==由题设知12k k ，所以21k =因此直线OC 的方程为1y. 联立方程22112x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OCr == 令2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此1OC r==， 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin22SOT ∠…， 因此26SOT ∠π…，所以 SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =. 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质 【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程得到的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题及解决问题的能力等.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设函数24y x =-的定义域为A ，函数y =ln(1-x )的定义域为B ,则A ∩B =（ ）A ．（1,2） B.(1,2] C.（-2,1） D.[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -…得22x-剟，由10x ->得1x <,{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-<=-< 剟?，故选D.2.已知a ∈R ,i 是虚数单位.若3i,4z a z z =+⋅=，则a =（ ）A ．1或-1 B.7或-7 C.-3 D.3 【答案】A【解析】由3i,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.3.已知命题p :∀x >0,ln(x +1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝⌝∧ 【答案】B【解析】由x >0时x +1>1,ln(x +1)>0,知p 是真命题.由-1>-2,但(-2)2>(-1)2可知q 是假命题，则p q ⌝∧是真命题，故选B.4.已知x,y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………,，则z=x+2y 的最大值是（ ）A.0B.2C.5D.6 【答案】C【解析】约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，表示的可行域如图中阴影部分所示：(WYM90)第4题图 目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，故选C.5.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 y bxa =+ ．已知101ii x =∑=225，101ii y =∑=1600，b=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）A ．160 B.163 C.166 D.170 【答案】C【解析】由已知得22.5,160,x y ==则 160422.570,a=-⨯=当24x =时，ˆ42470y =⨯+=166,故选C.6.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（ ）(WYM91)第6题图A.0，0B.1，1C.0，1D.1，0 【答案】D【解析】第一次输入27,27,x =<否，否，23,37b =>，是，1a =；第二次输入29,29,x =< 否，否，23,39b ==，否，是，0a =，故选D.7.若a >b >0,且ab =1，则下列不等式成立的是（ ）A.21log ()2a b a a b b +<<+B. 21log ()2a b a b a b <+<+C.21log ()2a b a a b b +<+<D.21log ()2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为a >b >0,且ab =1，所以a >1,0<b <1,∴2ab<1, 2log ()a b +>log 22ab =1,12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，故选B. 8.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）A ．518 B.49 C.59 D.79【答案】C【解析】标有1,2，…，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是11542C C 5989=⨯，故选C. 9.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A. a =2bB. b =2aC. A =2BD. B =2A 【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A. 10.已知当x ∈[0,1]时，函数y =(mx -1)2的图象与y =x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1]∪[23，+∞) B. (0,1]∪[3，+∞) C. (0,2]∪[23，+∞) D. (0,2]∪[3，+∞) 【答案】B【解析】当01m <…时，211,(1)y mx m=-…在x ∈[0,1]上单调递减，且22(1)[(1),1],y mx m y x m =-∈-=+在x ∈[0,1]上单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m-+⇒厖.故选B.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】(1+3x )n 的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令r =2，得22C 354n ⋅=，解得n =4．故填4.12.已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是 .【答案】33【解析】 (3e 1-e 2)·(e 1+λe 2)=3e 12+3e 1·λe 2-e 1·e 2-λe 22=3-λ, |3e 1-e 2|=212(3)-e e =221122323-+e e e e =2, | e 1+λe 2|=212()λ+e e =22211222λλ++e e e e =21λ+, ∴3-λ=221λ+×cos60°=21λ+，解得33λ=.故填33. 13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 .（WYM92）第13题图【答案】π22+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.故填π22+.14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222x y a b-=1(a >0,b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2px (p >0)交于A ,B两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±.故填22y x =±. 15.若函数e ()x f x （e=2.71828…是自然对数的底数）在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①f (x )=2-x②f (x )=3-x③f (x )=x 3④f (x )=x 2+2【答案】①④【解析】①e e ()e 2()2x x x xf x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质；②e e ()e 3()3x x x xf x -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质；③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x x g x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时， g ´(x )>0，当3x <-时，g ´(x )>0，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故f (x )=x 3不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．故填①④.三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中0<ω<3.已知π()06f =. （1）求ω；（2）将函数y = f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y = g (x )的图象，求g (x )在π3π[,]44-上的最小值.【解】（1） f (x )=sin(ωx -π6)+sin(ωx -π2), ∴f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx=32sin ωx -32cos ωx=3(12sin ωx -32cos ωx )=3sin(ωx -π3). 由题设知f (π6)=0, ∴ππ=π63k ω-,k ∈Z ， 故ω=6k +2,k ∈Z ，又0<ω<3,∴ω=2.（2）由（Ⅰ）得f (x )=3sin(2x -π3), ∴g (x )=3sin(x +π4-π3)=3sin(x -π12),x ∈[-π4，3π4]，∴x -π12∈[-π3,2π3].当x -π12=-π3，即x =-π4,g (x )取得最小值-32.即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.17.（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是 DF的中点. （1）设P 是 CE上的一点，且AP ⊥BE ，求CBP ∠的大小； （2）当AB =3，AD =2时，求二面角E -AG -C 的大小.（WYM93）第17题图【解】（1）因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP =A ， 所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又120EBC ∠=， 因此CBP ∠=30°. （2）解法一：（WYM94）第17题图取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE =GE =AC =GC =223213+=. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以EMC ∠为所求二面角的平面角. 又AM =1，所以EM =CM =131-=23.在BEC △中，由于120EBC ∠=，由余弦定理得EC 2=22+22-2×2×2×cos120°=12， 所以EC =23，因此EMC △为等边三角形， 故所求的角为60°. 解法二：（WYM95）第17题图以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A (0,0,3),E (2,0,0)，G (1,3,3)，C (-1, 3,0)，故AE=(2,0,-3)，AG =(1, 3,0)，CG=(2,0,3),，设m =(x 1,y 1,z 1)是平面AEG 的一个法向量.由0,0;AE AG ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 可得1111230,30;x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩.取z 1=2，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)=-m . 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量.由0,0;AG CG ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 可得222230,230;x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取z 2=-2，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)=--n . 所以cos<m ,n >=12= m n m n . 因此所求的角为60°. 18.（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；（2）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX .【解】（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )=48510C C =5.18(2)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4..则56510C 1(0)C 42P X ===,4164510C C 5(1)C 21P X ===,3264510C C 10(2)C 21P X ===,2364510C C 5(3)C 21P X ===,1464510C C 1(4)C 42P X ===.因此X 的分布列为 X 01234P142521 1021 521 142X 的数学期望是EX =0×P (X =0) +1×P (X =1)+2×P (X =2)+3×P (X =3)+4×P (X =4)=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2. 19.（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. （1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积T n .（WYM96）第19题图【解】(1)设数列}{n x 的公比为q ，由已知q >0.由题意得112113,2;x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩所以3q 2-5q -2=0， 因为q >0,所以q=2,x 1=1，因此数列}{n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过P 1,P 2,P 3,…，P n +1,向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1,Q 2,Q 3,…，Q n +1,由(I)得x n +1-x n =2n -2n -1=2n -1,记梯形P n P n +1Q n +1 Q n 的面积为b n . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯，所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n -1) ×2n -3+(2n +1) ×2n -1 ①，又2T n =3×20+5×21+7×22+…+(2n -1) ×2n -2+(2n +1) ×2n -1 ②，①-②得,- T n =3×2-1+(2+22+…+2n -1)-(2n +1) ×2n -1 =32+112(12)(21)212n n n ----+⨯-. 所以(21)212n n n T -⨯+=.20.（本小题满分13分）已知函数f (x )=x 2+2cos x , g (x )=e x (cos x -sin x +2x -2)，其中e=2.71828…是自然对数的底数.（1）求曲线y =f (x )在点(π，f (π))处的切线方程；（2）令h (x )=g (x )-af (x )(a ∈R )，讨论h (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【解】（1）由题意f (π)=π2-2，又f ´(x )=2x -2sin x ，所以f ´(π)=2π，因此，曲线y =f (x )在点(π，f (π))处的切线方程为:y -(π2-2)= 2π(x -π),即y =2πx -π2-2.（2）由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+，因为h ´(x )=e x (cos x -sin x +2x -2)+e x (-sin x -cos x +2)-a (2x -2sin x )=2e x (x -sin x )-2a (x -sin x )=2(e x -a )(x -sin x ),令m (x )=x -sin x ，则m ´(x )=1-cos x …0，所以m (x )在R 上单调递增.因为m (0)=0,所以 当x >0时，m (x )>0,当x <0时，m (x )<0，①当a …0时，e x -a >0，当x <0时，h ´(x )<0，h (x )单调递减，当x>0时，h´(x)>0，h(x)单调递增，所以当x=0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)=-2a-1；②当a>0时，h´(x) =2(e x-a)(x-sin x)，由h´(x) =0得, x1=ln a, x2=0.ⅰ.当0<a<1时，ln a<0,当x∈(-∞，ln a)时，e x-e ln a<0, h´(x) >0, h(x)单调递增；当x∈(ln a，0)时，e x-e ln a>0, h´(x) <0, h(x)单调递减；当x∈(0，+∞)时，e x-e ln a>0, h´(x) >0, h(x)单调递增.所以，当x=ln a时h(x)取得极大值.极大值为h(ln a)= -a [ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]，当x=0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)= -2a-1；ⅱ.当a=1时，ln a=0，所以当x∈(-∞，+∞)时，h´(x) …0，函数h(x)在(-∞，+∞)上单调递增，无极值；ⅲ.当a>1时，ln a>0，当x∈(-∞，0)时，e x-e ln a<0, h´(x) >0, h(x)单调递增；当x∈(0，ln a)时，e x-e ln a<0, h´(x) <0, h(x)单调递减；当x∈(ln a,+∞)时，e x-e ln a>0, h´(x) >0, h(x)单调递增；所以当x=0时h(x)取到极大值，极大值是h(0)= -2a-1；当x=ln a时h(x)取到极小值.极小值是h(ln a)= -a [ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].综上所述：当a…0时，h(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)= -2a-1；当0<a<1时，函数h(x)在(-∞，ln a)和（0，+∞）上单调递增，在（ln a，0）上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)= -a [ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]，极小值是h(0)= -2a-1；当a=1时，函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>1时，函数h(x)在(-∞，0)和（ln a，+∞)上单调递增，在(0,ln a)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)= -2a-1，极小值是h(ln a)= -a [ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:22221x ya b+=(a>b>0)的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E的方程；（2）如图，动直线l：y=k1x-32交椭圆E于A,B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=24，M是线段OC延长线上一点，且:MC AB=2:3，⊙M的半径为MC，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT∠的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.（WYM97）第21题图【解】（1）由题意知e =22c a =，2c =2，所以a =2,b =1，因此，椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， 联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(421k +2)x 2-43k 1x -1=0，由题意知∆>0， 且112212321k x x k +=+,122112(21)x x k =-+， 所以22112112211181221k k AB k x x k ++=+-=+.由题意可知圆M 的半径r 为22112111822321k k r k ++=+由题设知1224k k =， 所以2124k k =，因此直线OC 的方程为124y x k =. 联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得22121814k x k =+,221114y k =+，因此 2221211814k OC x y k +=+=+.由题意可知sin 121SOT r OCr OC r∠==++，而2121221121181411822321k OC k r k k k ++=+++ =21221112324141k k k +++， 令t =1+221k ，则t >1,1t ∈(0,1)，因此22232321321122211119212()24OC t r t t t t t ===+-+---+…， 当且仅当112t =，即t =2时等号成立，此时122k =±， 所以sin 122SOT∠…， 因此π26SOT∠…，所以SOT ∠最大值为π3.综上所述：SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为122k =±.。

2017年高三模拟卷山东卷理科数学理科数学考试时间：____分钟单选题（本大题共10小题，每小题____分，共____分。

）1.设函数的定义域A，函数的定义域为B,则( )A. （1,2）B.C. （-2,1）D. [-2,1)2.已知,i是虚数单位，若，则a=( )A. 1或-1B.C. -D.3.已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是( )A.B.C.D.4.已知x,y满足，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 65.为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A.B.C.D.6.执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为（）A. 0，0B. 1，1C. 0，1D. 1，07.若，且，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.8.从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A.B.C.D.9.在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.10.已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）A.B.C.D.填空题（本大题共5小题，每小题____分，共____分。

）11.已知的展开式中含有项的系数是，则____.12.已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是____.13.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为____.14.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为____.15.若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为____.①②③④简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.（2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ） p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧ 【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a ba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+，2cos601λ==+λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22xg x ex =+，则()()()2222110xx x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.（1）设函数y A ，函数ln (1-)y =x 的定义域为B ,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)（2）已知∈a R ，i 是虚数单位，若，，43z =⋅+=z z i a 则a =（A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()＞0,ln 1＞0∀+x x ；命题q ：若a b ＞，则22＞a b ，下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧（4）已知x,y 满足约束条件330,+50,30,⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩x y x y x ，则=+2z x y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ）5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，已知101011ˆ225,1600,4i i i i x y b =====∑∑，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166（D ）70(6)执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 的值分别为（A ）0,0 （B ）1,1 （C ）0,1 （D ）1,0（7）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 （A ）b +<<+21b a log (a b)2a （B ）b <+<+2a b 1log (a b)a 2 （C ）b +<+<2a 1b a log (a b)2 （D ）b +<+<2a 1b log (a b)a 2 （8）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59 （D ）79 （9）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若ABC 为锐角三角形， 且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是 （A ）a=2b (B)b=2a (C)A=2B (D) B=2A (10)已知当x []01∈，时，函数y=(mx-1)2 的图象与y= +m 的图象有且只有一个交点，KS5U 则正实数m 的取值范围是 （A ）（0，1][2,+) （B ）（0，1][3,+ ） （C ）（0，[2,+) (D) （0，[3,+) 第II 卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 （11）已知(13)n x + 的展开式中含有X 2的系数是54，则n = （12）已知e e 12, 是互相垂直的单位向量，若e 12- 与e e λ+ 12夹角为60°，则实数λ的值是 （13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 的右支与焦点为F 的抛物线()2x =2py p >0 交于A,B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（15）若函数()x e f x （e=2.71828...是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为_________.①f （x ）=2x - ②f （x ）=3x - ③f （x ）=x 3 ④f （x ）=x 2+2三、解答题：本大题共6小题，共75分（16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=（I ）求ω；（II ）将()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.（17）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以及AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是 DF 的中点.（I ）设P 是 CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小.（II ）当AB=3AD=2，时，求二面角E-AG-C 的大小.（18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的频率.（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX .（19）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -= （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11,n x x x x +==所围成的区域的面积n T . （20）函数2()2cos f x x x =+,()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-,其中e=2.71828..是自然对数的底数 (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程. (Ⅱ)令()()()()h x g x af x a R =-∈,讨论()h x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. (21)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程. （Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于A,B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k 2且12k k ⋅=，M 是线段OC 延长线上的一点，且|MC|:|AB|=2:3， ⊙M 的半径为|MC|，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.。

山东省聊城市数学高考理数一诊试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）复数在复平面的对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （1分）已知命题，那么下列结论正确的是（）A .B .C .D .3. （1分）已知双曲线，过右焦点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （1分）已知,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，等于（）A .B .C .D .5. （1分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M(x,y)，则点M取自阴影部分的概率为A .B .C .D .6. （1分） (2016高二下·长安期中) 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=D . x=7. （1分）如图，在中，，为△ABC所在平面外一点，PA⊥面ABC，则四面体P-ABC中共有直角三角形个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （1分）(2017·鞍山模拟) 已知（1+x）n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A . 29B . 210C . 211D . 2129. （1分）从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）A . 30个B . 42个C . 36个D . 35个10. （1分）(2017高二上·牡丹江月考) 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 1＋D . 1＋11. （1分）等比数列中,,前n项和为,若数列也为等比数列,则等于（）A .B .C .D .12. （1分）设函数f（x）=，则f（log2）+f（）的值等于（）A .B . 1C . 5D . 7二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知，则 ________14. （1分） (2017高一下·简阳期末) 设数列{an}，若an+1=an+an+2（n∈N*），则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1=1，b2=﹣2，则b2017=________．15. （1分）已知三棱锥中，底面，底面是边长为的正三角形，三棱锥的体积为________．16. （1分）(2018·广东模拟) 已知实数满足，则的最大值是________．三、解答题 (共7题；共15分)17. （2分）(2018·内江模拟) 的内角的对边分别为，已知 .（1）求；（2）若，点在边上，，求的长.18. （2分）(2017·鹰潭模拟) 鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）年龄频数频率男女[0，10）100.155[10，20）①②③④[20，30）250.251213[30，40）200.21010[40，50）100.164[50，60）100.137[60，70）50.0514[70，80）30.0312[80，90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：k2= ，其中n=a+b+c+d）19. （3分）(2017·运城模拟) 如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6 ．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．20. （2分） (2019高一上·镇海期中) 已知函数，，．（1）若且，求函数的最小值；（2）若对于任意恒成立，求a的取值范围；（3）若，求函数的最小值．21. （2分）(2018·江西模拟) 设函数 .（1）求函数的单调区间；（2）若存在、满足 .求证：（其中为的导函数）22. （2分）(2016·柳州模拟) 在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．23. （2分） (2016高一上·淮阴期中) 某超市五一假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300 元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．（1）写出顾客购物全额与应付金额之间的函数关系，并画出流程图，要求输入购物全额，能输出应付金额．（2）若某顾客的应付金额为282.8元，请求出他的购物全额．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共15分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数的定义域，函数的定义域为,则【D 】 （A ）（1,2） （B ） （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)A y=ln(1-x)B A B ⋂=⎤⎦(1,2（2）已知,i 是虚数单位，若，则a=【A 】 （A ）1或-1 （B（C ）（D （3）已知命题p:；命题q ：若a ＞b ，则，下列命题为真命题的是【B 】 （A ） （B ） （C ） （D ） （4）已知x,y 满足，则z=x+2y 的最大值是【C 】（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为【C 】（A ） （B ） （C ） （D ）（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为【D 】（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0a R ∈,4z a z z =⋅=()x x ∀+＞0,ln 1＞0ab 22＞∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧p q x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x x y y x ˆˆˆybx a =+101225i i x ==∑1011600i i y ==∑ˆ4b =160163166170x 7x 9a（7）若，且，则下列不等式成立的是【B 】 （A ） （B ） （C ） （D ） （8）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是【C 】（A ）（B ） （C ） （D ）（9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是【A 】（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是【B 】0a b >>1ab =()21log 2a b a a b b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+()21log 2a b a a b b +<+<()21log 2a b a b a b +<+<12⋅⋅⋅99518495979C ∆AB A B C a b c C ∆AB ()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A 2a b =2b a =2A =B 2B =A []0,1x ∈()21y mx =-y m =m（A ） （B ） （C ） （D ）第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知的展开式中含有项的系数是，则 4 .（12）已知与的夹角为，则实数的值是.(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.（14）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.（15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 ①④.①②③④(])0,123,⎡+∞⎣(][)0,13,+∞()23,⎡+∞⎣([)3,+∞()13nx +2x 54n =12,e e 12-e 12λ+e e 60λ1422π+xOy ()222210,0x y a b a b-=>>F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=2y x=±()x e f x 2.71828e =()f x ()f x M M ()2x f x -=()3x f x -=()3f x x =()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。

山东省聊城市2017年高考模拟（一）数学理试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()113i z i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ．2i - D ．2i +2.已知集合{}12A x x =-≤，{}21,B x x n n Z ==-∈，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,3 B ．{}0,2 C ．{}1 D ．{}1,1,3-3.已知向量()1,2a =-，()2,b m =，()7,1c =，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．8 B ．10 C ．15 D ．184.已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则 （ ） A ．//m n B ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥5.“1a b +=”是“直线10x y ++=与圆()()222x a y b -+-=相切”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知一个样本为,1,,5x y ，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为 （ ） A ．5 B ．4 C.3 D ．27.执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S =（ ）A ．49 B ．511 C. 613 D ．36558.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．16163π-B ．32163π- C. 1683π- D ．3283π- 9.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，作圆2224a x y +=的一条切线，切点为E ，延长FE 与双曲线的右支交于点P ，若E 是线段FP 的中点，则该双曲线的离心率为 （ ）A B 10.已知数列{}n a 为等差数列，且1251,5,8a a a ≥≤≥，设数列{}n a 的前n 项和为S ，15S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m + （ ）A ．500B ．600 C. 700 D ．800第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当[]0,1x ∈时，()()2=log 1f x x +,则()1f = ．12.在区间[]1,1-上任取一个数a ，则曲线322132y x x =-在点x a =处得切线的倾斜角为锐角的概率为 ．13.若2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y nx =与曲线2y x =围成的封闭图形的面积为 ．14.已知函数()()()2sin ,0,f x x x R ωϕωπϕπ=+∈>-<<的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式是 ．15.对于函数()f x ，方程()f x x =的解称为()f x 的不动点，方程()f f x x =⎡⎤⎣⎦的解称为()f x 的稳定点.①设函数()f x 的不动点的集合为M ，稳定点的集合为N ，则M N ⊆； ②函数()f x 的稳定点可能有无数个；③当()f x 在定义域上单调递增时，若0x 是()f x 的稳定点，则0x 是()f x 的不动点； 上述三个命题中，所有真命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆周长的取值范围.17.在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ,90ADC ∠=︒,2ED BC ==,3EB =,F 为棱PC 的中点.（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅱ）若二面角F BE C --为60°，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值.18.设,n n S T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，已知对于任意*n N ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，且51025,19T b ==. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设()1n nn a b c n n =+，数列{}n c 的前n 项和为R ，求使n R >2017成立的n 的取值范围.19. 以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的《中国诗词大会》,是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目，每季赛事共分为10场，每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分，其中擂主争霸赛在本场个人追逐赛的优胜者与上一场的擂主之间进行，一共备有9道抢答题，选手抢到并答对获得1分，答错对方得1分，当有一个选手累计得分达到5分时比赛结束，该选手就是本场的擂主.在某场比赛中，甲、乙两人进行擂主争霸赛，设每个题目甲答对的概率都为34，乙答对的概率都为512，每道题目都有人抢答，且每人抢到答题权的概率均为12，各题答题情况互不影响. （Ⅰ）求抢答一道题目，甲得1分的概率；（Ⅱ）现在前5道已经抢答完毕，甲得2分，乙得3分，在接下来的比赛中，设甲的得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>24x y =的准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点，直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ，是否存在常数p ，当12k k p =时MON ∆的面积为定值？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.21. 已知函数()()2xf x x a e =+（a 是常数，2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =与x 轴相切.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设方程()2f x x x =+的所有根之和为S ，且(),1S n n ∈+，求整数n 的值； （Ⅲ）若关于x 的不等式()222x mf x x e ++<在(),0-∞内恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CDBDA 6-10:CBDAB二、填空题11.12- 12.34 13. 32314.()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 15.①②③三、解答题16.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由cos cos 2cos a B b A c C +=， 得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，从而sin 2sin cosC C C =. ∵sinC 0≠，∴1cos 2C =，又∵0C π<<，∴3C π=.（Ⅱ）由正弦定理得4sinA sinB sin a b c C===，于是()4sin sin a b c A B ++=+234sin sin 4sin 32A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ABC ∆是锐角三角形，且3C π=，所以,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从而2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,所以(6a b c ++=∈+.因此ABC ∆周长的取值范围为(6+.17.解：（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于点M ，连接FM . 由//AD BC 及BC AE =，得AM MC =.又因为PF FC =，所以线段FM 是PAC ∆的中位线，所以//FM AP . 又因为FM ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，所以//PA 平面BEF.（Ⅱ）因为//,AD BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形，又因为90ADC ∠=︒， 所以四边形BCDE 为矩形，于是AD BE ⊥. 因为PE ⊥平面ABCD ，所以,PE BE PE ED ⊥⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EB ED EP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.设PE a =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,0,,3,2,0E B P a C ()33,1,,3,0,0,,1,2222a a F EB EF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面BEF 的一个法向量(),,n x y z =，由0,0,n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得303022x ax y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1z =，得0,,12a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，2cos ,m n m n m na ⋅==.由二面角F BE C --为6012=，解得a =. 因为PE ⊥平面ABCD ，所以PBE ∠就是直线PB 与平面ABCD 所成角. 在Rt PBE ∆中，因为tan PE PBE BE ∠==因此，直线PB 与平面ABCD . 18.解：（Ⅰ）由*323,n n a S n N =+∈，得，当1n =时，有13a =；当2n ≥时，11323n n a S --=+，从而1332n n n a a a --=，即1=3n n a a -，∴10,3nn n a a a -≠=， 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因此3n n a =.设数列{}n b 的公差为d ，由51025,19T b ==，得1151025,919,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得11,2b d ==，因此21n b n =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()()()131321333111n n n n n n n n c n n n n n n+-+⎡⎤-⎣⎦====+++， 所以232111233333333212211n n n n n R c c c n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为()()21301nn n c n n -=>+，所以数列{}n R 单调递增.又因为7=817.1252017R <，821842017R =>所以使n R >2017成立的n 的取值范围为8n ≥. 19.解：（Ⅰ）设“抢答一道题目，甲得1分”为事件A ，则事件A 发生的当且仅当甲抢到答题权后答对或乙抢到答题权后答错，所以 ()131521242123P A ⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. （Ⅱ）在接下来的比赛中，甲的得分ξ可能的取值为0，1，2，3. 所以ξ的概率分布列为： ()2210139P ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=，()13222411313327P C ξ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,()2232221241213338127P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=, ()14416192727327P ξ===---, 所以ξ的概率分布列为：所以1441620012392727279E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（Ⅰ）抛物线24x y =的准线方程为1y =-，所以2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,1a b ==，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）当直线MN 存在斜率时，设其方程为()0y kx m m =+≠. 由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222418440k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++. 所以MN==点O 到直线y kx m =+的距离d =12MONS MN d ∆==()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++===22222222244844141444441m km k km m m k k k m m k --⨯+⨯+-++==--+.设2224=44m k p m --，则()224144k p m p =-+，于是()2222411441m m k p m p =+-++， 由MON S ∆为定值，得2241m k +为定值，从而410p +=，解得14p =-，此时=1MON S ∆.当直线MN 不存在斜率时，若1214k k=-，则MN d ==1MON S ∆.综上，存在常数14p =-，当12k k p =时，MON ∆的面积为定值.21.解：（Ⅰ）()()22x f x x x a e '=++，x R ∈.设曲线()y f x =与x 轴的切点为()0,0x ，则()()000,0.f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即2002020,0,x x a x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0a =. （Ⅱ）方程()2f x x x =+可化为0x =或10x xe x --=， 而方程10x xe x --=的根就是函数()11x g x e x=--的零点， 因为()210x g x e x'=->，所以()g x 在(),0-∞内是增函数，在()0,+∞内也是增函数. 因为3231023g e -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，()110g e -=>，所以函数()g x 在()0,+∞内有唯一零点1x ，且13,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.因为1302g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()120g e =->，所以函数()g x 在()0,+∞内有唯一零点2x ，且21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以()1201,0S x x =++∈-，因此1n =. （Ⅲ）不等式()222x mf x x e ++<可化为21102x m x x e++-<， 设()2112x m x h x x e+=+-，由题意得()0h x <在(),0x ∈-∞内恒成立. ()1x h x x m e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，且11x e >在(),0-∞上恒成立.①当1m ≤时，因为对于任意(),0x ∈-∞都有()0h x '>，所以函数()h x 在(),0-∞内是增函数.又因为()00h =，所以当0x <时，()0h x '<，即()0h x <在(),0-∞内恒成立.②当1m >时，令()=0h x '得0x =或ln x m =-，因为对于任意[]ln ,0x m ∈-都有()0h x '<，所以，函数()h x 在(]ln ,0m -内是减函数.又因为()00h =，所以当()ln ,0x m ∈-时，都有()0h x >，即()0h x <在(),0-∞内不能恒成立.综上，实数m 的取值范围为1m ≤.。

2017年普通高等学校招生全国统一(tǒngyī)考试（山东(shān dōnɡ)卷）数学(shùxué)（理科(lǐkē)）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的．（1）【2017年山东，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由得，由得，，故选D．（2）【2017年山东，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D）【答案】A【解析】由得，所以，故选A．（3）【2017年山东，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即p，均是真命题，故选B．（4）【2017年山东，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0 （B）2 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移20x y+=发现，当其经过直线与的交点时，2=+最大为z x y，故选C．（5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）（A）160 （B）163 （C）166 （D）170【答案】C【解析】，故选C．（6）【2017年山东(shān dōnɡ)，理6，5分】执行(zhíxíng)两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入(shūrù)的x值为9，则第一次、第二次输出(shūchū)的值分别(fēnbié)为（）（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0【答案】D【解析】第一次；第二次，故选D．（7）【2017年山东，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故选B．（8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故选C．（9）【2017年山东，理9，5分】在中，角A、B、的对边分别为a、、，若ABC∆为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，故选A．（10）【2017年山东，理10，5分】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】当时，，2=+单调递=-单调递减，且，y x m(1)y mx增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，2=-在y mx(1)上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，故选B．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2017年山东，理11，5分】已知的展开式中含有的系数是54，则．【答案】4【解析】，令得：，解得．（12）【2017年山东，理12，5分】已知、是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ． 【答案(dá àn)】【解析(jiě xī)】，，，，解得：．（13）【2017年山东(shān dōnɡ)，理13，5分】由一个(yī ɡè)长方体和两个圆柱体构成(gòuchéng)的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ． 【答案】【解析】该几何体的体积为．（14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦点为的抛物线（）交于A 、B 两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 ．【答案】【解析】，因为，所以渐近线方程为22y x =±． （15）【2017年山东，理15，5分】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质。

2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选：D．【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选：A．【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选：B．【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=4．【分析】利用通项公式即可得出．=（3x）r=3r x r．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【分析】（1）利用组合数公式计算概率；（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X01234PX的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成+1的区域的面积T n．【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a ﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC 的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin=．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分，满分150分.考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么+=+P A B P A P B （）（）（）；如果事件A ，B 独立，那么=P AB P A P B （）（）（）. 第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则=A B （ ）A.()1,2B.](1,2C.()2,1-D.[2,1)- 2.已知R a ∈，i 是虚数单位.若z a =，4z z ⋅=，则a = A.1或1-C.3.已知命题p ：0x ∀>，ln(1)0x +>；命题q ：若a b >，则22a b >.下列命题为真命题的是 （ ） A.p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q⌝∧D.p q ⌝∧⌝4.已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值是（ ）A.0B.2C.5D.65.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y b x a ∧∧∧=+，已知101225ii x==∑，1011600ii y==∑，4b ∧=.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （ ） A.160 B.163 C.166 D.170 6.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为 （ ） A.0，0 B.1，1 C.0，1 D.1，07.若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （ ）A.21log ()2a ba ab b +<<+B.21log ()2a b a b a b <+<+C.21log ()2a b a a b b +<+<D.21log ()2a ba b a b +<+<8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （ ） A.518 B.49 C.59 D.799.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 （ ） A.2a b = B.2b a = C.2A B = D.2B A =10.已知当[]0,1x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A.(])0,123,⎡+∞⎣ B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.（11）已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =________．（12）已知1e 、2e 是互相垂直的单位向量.12e -与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是________．（13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支与焦点为F的抛物线22x py =（0p >）交于A ，B 两点，若4AF BF OF ＋＝，则该双曲线的渐近线方程为________． （15）若函数()xe f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①()2x f x -= ①()3x f x -= ①3()f x x = ①2()2f x x =+ 三、解答题：本大题共6小题,共75分. （16）（本小题满分12分）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=． （1）求ω； （2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．（17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点． （1）设P 是GE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （2）当3AB ＝，2AD ＝时，求二面角E AG C --的大小．数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）（18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含B 1的概率；（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX ．（19）（本小题满分12分）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()11,1P x ，()22,2P x ，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．（20）（本小题满分13分）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-（a R ∈），讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．（21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且23MC AB ︰＝︰，M 的半径为MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】D【解析】由题意可知={|2x 2}A x -≤≤，{x |x 1}B =<，故={|21}A B x x -≤<. 2．【答案】A【解析】解法一：由题意可知2=,=34z a z z a a a -∴=++=（）（，故1a =或1-. 解法二：2234zz za =+==，故1a =或1-.3．【答案】B【解析】当0x >时，11x +>，因此ln(1)0x +>，即p 为真命题；取12a b ==-，.这时满足b a >，显然22b a >不成立，因此q 是假命题.易知B 为真命题．4．【答案】C【解析】x y ，满足的约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，将直线22x zy =-+进行平移，显然当该直线过点(3,4)A -时z 取得最大值max 385z =-+=．5．【答案】C【解析】由题意可知4y x a ∧∧=+，又22.5,160x y ==，因此160=22.5470a a ∧∧⨯+∴=，，因此470y x ∧=+.当24x =时，42470=96+70=166y ∧=⨯+． 6．【答案】D【解析】当输入7x =时，2b =，因为2b x >不成立且x 不能被b 整除，故3b =，这时2b x >成立，故1a =，输出a 的值为1.当输入9x =时，2b =，因此2b x >不成立且x 不能被b 整除，故3b =，这时2b x >不成立且x 能被b 整除，故0a =，输出a 的值为0.7．【答案】B【解析】根据题意，令122a b ==，进行验证，易知22115+4,log ()log 1282a b a a b b ==+=>，，因此21log ()2a b a a b b +>+>． 8．【答案】C【解析】所求概率为111254119859C C C P C C ==． 9．【答案】A【解析】由题意可知sin 2sin cos sin cos sin +B B C A C A C +=+（），即2sin cos sin cos B C A C =，又cosC 0≠，故2sin sin B A =，由正弦定理可知2a b =． 10．【答案】B【解析】当01m <≤时，需满足21+1m m ≥-（），解得03m ≤≤，故这时01m <≤.当1m >时，需满足2(1)1+m m -≥解得3m ≥或0m ≤，故这时3m ≥.综上可知，正实数m 的取值范围为0,1][3+⋃∞（，）. 第Ⅱ卷二．填空题。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0B．1，1C．0，1D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P 1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学(参考答案)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．3．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．4．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．5．【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D7．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．8．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．9．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1=（3x）r=3r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．12．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．13．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．14．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．15．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．17．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．18．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．20．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。

绝密★启用前注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79（9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。