海文考研数学三模考试卷

全国硕士研究生入学统一考试数学(三)考前模拟卷1.【单项选择题】A. k≠1B. k>1C. k>0D. 与k无关正确答案：A参考解析：2.【单项选择题】A. 极限不存在．B. 极限存在，但不连续．C. 连续，但不可导．D. 可导．正确答案：C参考解析：先分别考察左、右可导性．3.【单项选择题】当x→0时下列无穷小中阶数最高的是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：(A)(考察等价无穷小) 4.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：5.【单项选择题】设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A. 若m<n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B. 若m>n，则方程组AX=b一定有唯一解C. 若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D. 若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D参考解析：6.【单项选择题】A. 1，0，-2．B. 1，1，-3．C. 3，0，-2．D. 2，0，-3．正确答案：D参考解析：7.【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2的标准形为( ).A. f=B. f=2C. f=D. f=2正确答案：B参考解析：用配方法，8.【单项选择题】设随机变量X～U[0，2]，Y=X2，则X，Y( )．A. 相关且相互独立B. 不相互独立但不相关C. 不相关且相互独立D. 相关但不相互独立正确答案：B参考解析：【解】9.【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：10.【单项选择题】A.B.C. 0D.正确答案：B 参考解析：11.【填空题】正确答案：参考解析：【解析】12.【填空题】正确答案：参考解析：1【解析】13.【填空题】正确答案：参考解析：【解析】14.【填空题】正确答案：参考解析：【解析】15.【填空题】正确答案：参考解析：6【解析】若按第1行展开，只有-2x乘以其代数余子式会出现x3项，故只要求出这一项即可．故x3的系数为6．16.【填空题】设X，y为两个随机变量，且D(X)=9，Y=2X+3，则X，Y的相关系数为________正确答案：参考解析：1【解析】D(Y)=4D(X)=36，17.【解答题】参考解析：18.【解答题】求函数z=x3-3x2-3y2在闭区域D：x2+y2≤16上的最大值．参考解析：解(Ⅰ)得驻点(0，0)，(2，0)．(Ⅱ)在D：x2+y2=16上．得(0，±4)．(±4，0)．(Ⅲ)比较大小z(0，0)=0，z(2，0)=-4，z(0，4)=-48，z(0，-4)=-48，z(4．0)=16，z(-4，0)=-112，得最大值为z(4，0)=16．19.【解答题】参考解析：20.【解答题】参考解析：【解】21.【解答题】α1=(1，1，0)T，α2=(0，2，1)T．(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ．参考解析：解(Ⅰ)由A～B知，A与B有相同的特征值，而由|μE一B|=0，可得B的特征(Ⅱ)22.【解答题】设随机变量X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，记Y=min{X1，X2)，T=max{Y，X3}．(Ⅰ)求y的概率密度f Y(y)；(Ⅱ)求期望ET．参考解析：解(Ⅰ)由已知，X1与X2相互独立，故(X1，X2)的概率密度为(II)先求T的分布函数与概率密度．。

考研数学（数学三）模拟试卷440(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(χ)在χ＝1的某邻域内连续，且则χ＝1是f(χ)的( )．A．不可导点B．可导点但不是驻点C．驻点且是极大值点D．驻点且是极小值点正确答案：C解析：因为f(χ)在χ＝1连续，所以f(χ＋1)＝f(1)，由知ln[f(χ＋1)＋1＋3sin2χ]＝ln[f(1)＋1]＝0，即f(1)＝0．则当χ→0，ln[f(χ＋1)＋1＋3sin2χ]～f(χ＋1)＋3sin2χ，推得原式＝＝4，即＝2－3＝－1，于是所以χ＝是f(χ)的驻点．又由＝－1，以及极限的保号性知当χ∈(1)时，＜0，即f(χ)＜0，也就是f(χ)＜f(1)．所以f(1)是极大值χ＝1是极大值点．故应选C．2．设在区间[a，b]上，f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)d χ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)，则( )．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：由f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0知曲线y＝f(χ)在[a，b]上单调减少且是凹的，于是有f(b)＜f(χ)＜f(a)＋(χ－a)，χ∈(a，b)．∫ABf(b)dχ＝f(b)(b －a)＝S2，所以，S2＜S1＜S3 故应选B．3．设z＝f(u)，方程u＝φ(u)＋∫yχp(t)dt确定是χ，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，p(t)，φ′(u)连续且φ′(u)≠1，则＝( )．A．p(χ)B．p(y)C．0D．z正确答案：C解析：方程u＝φ(u)＋∫yχp(t)dt两端分别关于χ，y求偏导数，得由z＝f(u)可微，得故应选C．4．设D是由直线χ＝－1，y＝1与曲线y＝χ3所围成的平面区域，D1是D在第一象限的部分，则I＝＝( )．A．2χydσB．2sinydσC．D．0正确答案：B解析：积分区域D如图5—2所示：被分割成D1，D2，D3，D4四个小区域，其中D1，D2关于y轴对称，D3，D4关于χ轴对称，从而由于χy关于χ或y都是奇函数，则而siny关于χ是偶函数，关于y是奇函数，则故应选B．5．设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量，A＝(α1，α2，α3，α4)，A*为A的伴随矩阵，又知方程组Aχ＝0的基础解系为(1，0，2，0)T，则方程组A*χ＝0基础解系为( )．A．α1，α2，α3B．α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1C．α2，α3，α4或α1，α2，α4D．α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1正确答案：C解析：由Aχ＝0的基础解系仅含有一个解向量知，R(A)＝3，从而R(A*)＝1，于是方程组A*χ＝0的基础解系中含有3个解向量．又A*A＝A*(α1，α2，α3，α4)＝｜A｜E＝O，所以向量α1，α2，α3，α4是方程组A*χ＝0的解．因为(1，0，2，0)T是Aχ＝0的解，故有α1＋2α3＝0，即α1，α3线性相关．从而，向量组α1，α2，α3与向量组α1，α2，α3，α4均线性相关，故排除A、B、D选项．事实上，由α1＋2α3＝0，得α1＝0α2－2α3＋0α4，即α1可由α2，α3，α4线性表示，又R(α1，α2，α3，α4)＝3，所以α2，α3，α4线性无关，即α2，α3，α4为A*χ＝0的一个基础解系．故应选C．6．设A，B为挖阶矩阵，下列命题成立的是( )．A．A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆B．R(A)＜n与R(B)＜n均成立的充要条件是R(AB)＜nC．Aχ＝0与Bχ＝0同解的充要条件是A与B等价D．A与B相似的充要条件是E－A与E－B相似正确答案：D解析：A与B类似，故均错误，而C仅是必要而非充分条件，故应选D．事实上，若A～B，则由相似矩阵的性质知E－A～E－B；反之，若E－A～E－B，则E－(E－A)～E－(E－B)，即A～B．对于选项A，若A与B均不可逆，则｜A｜＝｜B｜＝0，从而｜AB｜＝｜A｜｜B｜＝0，即AB不可逆，但若AB不可逆，推出A与B均不可逆，如A＝E，B＝，则AB＝B不可逆，但A可逆．对于选项B，与选项A 相近，由于R(AB)≤min{R(A)，R(B)}，故若R(A)＜n与R(B)＜n均成立，则R(AB)＜n但反之，若R(AB)＜n，推不出R(A)＜n或R(B)＜n，如A＝E，B＝，则R(AB)＝R(B)＝1＜2，但R(A)＝2．对于选项C，由同型矩阵A与B等价R(A)＝R(B)可知，若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则A与B等价；但反之不然，如A＝，B＝，则A，B等价，但Aχ＝0与Bχ＝0显然不同解．故应选D．7．设随机变量X～N(μ，42)，Y＝N(μ，52)，记P1＝P{X≤μ－4}，P2＝P{Y≥μ＋5}，则( )．A．对任意实数μ，有P1＝p2B．对任意实数μ，有P1＜p2C．对任意实数μ，有p1＞p2D．对μ的个别值，有P1＝p2正确答案：A解析：由于～N(0，1)，～N(0，1)，所以故p1：p2，而且与μ的取值无关．故应选A．8．设随机变量X的概率密度为f(χ)＝表示对X的3次独立重复观测中事件{X≤}发生的次数，则P(Y≤2)＝( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：故P{Y≤2}＝1－P{Y－3}＝1－．故应选C．填空题9．∫arctan(1＋)dχ＝_______．正确答案：解析：令＝t，则χ＝t2，所以∫arctan(1＋)dχ＝∫arctan(1＋t)dt2＝t2arctan(1＋t)－＝t2arctan(1＋t)－∫(1－)dt ＝t2arctan(1＋t)－t＋ln(2＋t2＋2t)＋C ＝χarctan＋C．故应填10．没函数y＝y(χ)由方程χef(y)＝eyln29确定，其中f具有二阶导数且f′≠1，则＝_______．正确答案：解析：方程两边取自然对数，得lnχ＋f(y)＝y＋ln(ln29)，方程两边对χ求导，得＋f′(y).y′＝y′，解得y′＝则y〞＝11．设四次曲线y＝aχ4＋bχ3＋cχ2＋dχ＋f经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点．该曲线上点(0，0)与点(3，2)的切线交于点(2，4)，则该四次曲线的方程为y＝_______．正确答案：解析：因曲线经过(0，0)点，则f＝0；①又经过(3，2)点，所以y｜χ＝3＝81a＋27b＋9c＋3d＋f＝2；②又因为(3，2)是拐点，所y〞｜χ＝3＝(12aχ＋6bχ＋2c)｜χ＝3＝108a＋18b＋2c＝0；③又因为经过(0，0)的切线斜率为＝2，所以y′｜χ＝0＝(4aχ3＋3bχ2＋2cχ＋d)｜χ＝0＝d＝2；④经过点(3，2)的切线斜率为＝－2，所以y′｜χ＝3＝(4aχ＋3bχ＋2cχ＋d)｜χ＝3＝108a＋27b＋6c＋d＝－2．⑤联立解①～⑤得a＝，b＝－，c＝，d＝2，f＝0．所以曲线方程为y＝＋2χ．故应填．12．差分方程yχ＋1－的通解为_______．正确答案：yχ＝，C∈R解析：齐次差分方程yχ＋1－yχ＝0的特征方程为λ－＝0，解得λ＝．故齐次差分方程的通解为C．设特解为yχ*＝A，代入原方程得A＝．故所求通解为yχ＝，C∈R．故应填yχ＝，C∈R．13．设A是3阶实对称矩阵，且满足A2＋2A＝O，若kA＋E是正定矩阵，则k_______．正确答案：小于或＜解析：由A2＋2A＝O知，A的特征值是0或－2，则kA＋E的特征值是1－2k＋1．又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于0，所以，k＜．故应填小于．14．设E(X)＝2，E(y)V1，D(X)＝25，D(y)＝36，ρXY＝0．4，则E(2X －3Y＋4)2＝_______．正确答案：305解析：E(2X－3Y＋4)2＝D(2X－3Y＋4)＋[E(2X－3Y＋4)]2 ＝4D(X)＋9D(Y)＋2Cov(2X，－3Y)＋[2E(X)－3E(Y)＋4]2＝305．故应填305．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三真题模拟试卷本试卷共分为两个部分，第一部分为选择题，第二部分为解答题。

请考生按照要求完成答题，并将答案写在答题卡上。

第一部分选择题（共40题，每题4分，共160分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的答案填写在答题卡上。

1. 设f(x) = 2e^x，g(x) = x^2，则f(g(x))的导数为：A. 2xe^xB. 4e^xC. e^xD. 2x^2e^(x^2)2. 已知函数f(x)满足f'(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x，且f(2) = 4，则f(x)的表达式为：A. x^4 - x^3 - 6x^2 + 4B. x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 4C. x^4 - x^3 - 6x^2 + 8D. x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 83. 已知三个点A(-2, 3)，B(4, -1)和C(x, 2)，若点C在直线AB上，则点C的坐标为：A. (3, 2)B. (-1, 2)C. (-4, 2)D. (0, 2)4. 设函数f(x) = x^3 - 4x^2 + mx - 4，其中m为实数。

若函数f(x)的值域为[-4, 4]，则m的取值范围是：A. [-2, 2]B. [-4, 4]C. [-5, 5]D. [-6, 6]......（省略其余题目）第二部分解答题请将解答题的详细过程和答案写在答题卡上。

1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点及其类型。

解答：首先，求导得f'(x) = 3x^2 - 12x + 11，令f'(x) = 0，解得x = 2和x = 1/3。

然后，求二阶导数得f''(x) = 6x - 12。

当x = 2时，f''(x) = 0，代入到f(x)中得f(2) = -1。

当x = 1/3时，f''(x) > 0，代入到f(x)中得f(1/3) = 26/27。

考研数学（数学三）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)是(-∞，+∞)上连续的偶函数，且︱f(x)︱≤M当xε(-∞，+∞)时成立，则F(x)=是(-∞，+∞)上的( )。

A．无界偶函数B．有界偶函数C．无界奇函数D．有界奇函数正确答案：B解析：首先讨论F(x)的奇偶性，注意有可见F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，这样就可以排除答案C和答案D。

其次讨论F(x)的有界性，因F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，所以可限于讨论x≥0时F(x)的有界性，由于，由此可知，F(x)也是(-∞，+∞)上的有界函数，故应选B。

2．设f(x)=xex+1+，则f(x)在(-∞，+∞)内( )。

A．没有零点B．只有一个零点C．恰有两个零点D．恰有三个零点正确答案：C解析：求f’(x)，分析其单调性区间，由于f’(x)=ex+1(x+1)①＜0，x＜-1，②=0，x=-1，③＞0，x＞-1，因此x=-1是f(x)的最小值点，且f(-1)=，又，由连续函数的介值定理知，在(-∞，-1)与(-1，+∞)内必存在f(x)的零点，又因f(x)在(-∞，-1)与(-1，+∞)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点，因此，f(x)在(-∞，+∞)恰有两个零点，故应选C。

3．设f(x)是区间上的正值连续函数，且I=，K=，若把I，J，K按其积从小到大的次序排列起来，则正确的次序是( )。

A．I，J，KB．J，K，IC．K，I，JD．J，I，K正确答案：D解析：用换元法化为同一区间上的定积分比较大小，为此在中令arcsinx=t，由于，且dx=d(sint)=costdt，代入可得。

与此类似，在K=中令arctanx=t，由于，且dx=d(tant)=，代入可得。

由f(x)＞0且当时0＜cosx＜1，故在区间上f(x)cosx＜f(x)＜，从而积J＜I＜K，故应选D。

海文考研数学三模考试卷一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（1）已知当+→0x 时⎰-=xdt t x f cos 102sin )(是x 的k 阶无穷小，则=k _______.（2）差分方程t t t y y )25(2211=-+的通解是__________. （3）设二元函数)(y x f e z xy --=，其中)(u f 具有连续导数，且1)0('=f ，则z 在点（1,1）处的全数分=)1,1(|dz ____________.（4）已知0020002211003200=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则（=-12)*81A A ____________. （5）一个工人用同一台机器独立地加工出三个零件，第k 个零件为不合格的概率是)3,2,1(=k k p . 已知加工出的三个零件至少有一件是合格品的概率为1211，则=p ______. （6）将一均匀硬币投掷3次，用X 表示正面出现的次数，Y 表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，则X 与Y 的相关系数为___________.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）设函数)(x f 在区间（b a ,）上无界，（A ）若函数)(x g 在区间（b a ,）上有界，则)()(x g x f +在区间（b a ,）上必无界（B ）若函数)(x g 也在区间（b a ,）上无界，则)()(x g x f +在区间（b a ,）上必无界（C ）若函数)(x g 在区间（b a ,）上有界，则)()(x g x f 在区间（b a ,）上必无界（D ）若函数)(x g 也在区间（b a ,）上无界，则)()(x g x f 在区间（b a ,）上必无界[ ]（8）已知)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)0('f 存在，设⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=.0,0,0,2sin )()(x x x x x f x F 则函数)(x F 在点0=x 处（A ）极限不存在（B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导 （D ）可导（9）设)(x f 在[0，1]上连续，且0)(≥x f 但不恒等于零，记dx x f I dx x f I dx x f I )(tan ,)(sin ,)(420302101⎰⎰⎰===ππ，则 （A ）321I I I <<（B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）231I I I <<（10）设函数),(y x f 连续，且⎰⎰-+=Dd y x f y x y x f σ),(),(22，其中D 是单位圆域122=+y x ，则=),(y x f（A ）)1(3222π+-+y x （B ）)1(3122π+-+y x（C ）)1(9222π+-+y x （D ）)1(9122π+-+y x [ ] （11）在下列关于级数的四个论断中正确的是①若n n u <υ，且∑∞=1n n u收敛，则∑∞=1n n υ必收敛 ②若11lim <+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 必收敛 ③若常数a b <<0，且∑∞=11n n b 收敛，则∑∞=-11n n n b a 必收敛 ④若∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=1n n n u 绝对收敛（A ）①,② (B)②,③(C)③,④ (D) ①, ④ [ ] (12)已知321,,a a a 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，那么0=Ax 的基础解系还可以是（A ）321321453,2a a a a a a ++-+（B ）31133145,73,2a a a a a a -++（C ）2133232124,23,2a a a a a a a a --+-+（D ）213132312,53,2a a a a a a a a +++++ [ ]（13）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=424413262a a A ，B 和C 是某两个不同的3阶矩阵，那么7=a 是使AC AB =成立的（A ）充分必要条件（B ）充分而非必要条件 （C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 [ ]（14）设随机变量X 与Y 相互独立，且方差0,0>>DY DX ，则（A ）X 与X +Y 一定相关 （B ）X 与X +Y 一定不相关；（C ）X 与X Y 一定相关 （D ）X 与X Y 一定不相关 [ ]三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分8分） 求极限)1ln(11(lim 20x e x x x +---→+） （16）（本题满分8分）设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x 和y 分别为甲，乙两种原料的投入量（单位，吨）Q 为产出量，且生产函数为βαy kx Q =，其中常数.0,0,0>>>βαk 已知甲种原料每吨的价格为1P （单位：万元），乙种原料每吨的价格为2P （单位：万元），如果投入总价值为A （万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？（17）（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)1(，其中积分区域D 由y 轴与曲线222,4x x y x y -=-=围成.（18）（本题满分9分）设连续函数)(x f 满足方程⎰⎰-+=x x dt t x tf x dt t f 00,)()(2求).(x f （19）（本题满分9分） 求幂级数∑∞=-12)12(n nn n x 的收敛半径与收敛域，并在此幂级数的收敛区间内求它的和函数.（20）（本题满分14分）三元二次型Ax x T 经正交变换Qy x =化为标准形2322215y y y -+，又知05=+a Aa ，其中Ta )1,1,1(--=求此二次型的表达式并写出所用坐标变换.(21)（本题满分12分）已知n 维向量组（Ⅰ）s a a a ,,21 与（Ⅱ）t βββ,,,21 有相同的秩，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，并举例说明仅秩r (Ⅰ)= r （Ⅱ），（Ⅰ）与（Ⅱ）可以不等价.(22)(本题满分13分)设二维随机变量（Y X ,）的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=+-其它,0,0,2),()(y x e y x f y x （1）求（Y X ,）的边缘密度函数).(),(y f x f Y X（2）如果记X Y V X U -==,，试求),(V U 的联合分布函数υ,(u F ），并问U 、V 是否独立，为什么？（23）（本题满分13分）已知总体X 服从正态分布X e Y N =),,0(2σ，现从总体X 中随意抽取容量为16的简单随机样本16,,21x x x ，算得样本均值1=x ，方差222.0=s .（1）求Y 的数学期望EY （记EY 为b ）.（2）求证∑=1612)(i i X σ服从)16(2x 分布，并利用这个结论求2σ置信度为0.95的置信区间.（3）利用上述结果，求b 置信度为0.95的置信区间，（已知)16(2x 分布上a 分位数)16(2a x 的值：)845.28)16(,908.6)16(2025.02975.0==x x。

考研数学三测试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为：A. 1B. -1C. 0D. 不存在答案：B2. 以下哪个选项是 \( e^x \) 的原函数？A. \( e^x \)B. \( \ln(x) \)C. \( \frac{1}{x} \)D. \( x^2 \)答案：A3. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：B4. 设 \( A \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，且 \( \det(A) =2 \)，则 \( \det(2A) \) 等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int x^2 dx \) 的积分结果？A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( \frac{x^2}{2} \)C. \( x^3 \)D. \( 2x^2 \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) dx = 2 \)，则 \( \int_{0}^{2} f(x) dx \) 等于 _______。

答案：42. 设 \( a \) 和 \( b \) 是方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 等于 _______。

答案：53. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的极值点为 _______。

答案：\( \pm 1 \)4. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 3 \)，则 \( f(0) \) 等于 _______。

考研数学（数学三）模拟试卷485(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设当x→0时，esin x－ex与xn是同阶无穷小，则n的值为( )A．1。

B．2。

C．3。

D．4。

正确答案：C解析：本题考查同阶无穷小的概念。

利用sin x的泰勒展开式计算极限，从而确定n的值。

根据同阶无穷小的定义，因此n＝3，此时。

故本题选C。

2．设(k＝1，2，3)，则有( )A．M1＞M2＞M3。

B．M3＞M2＞M1。

C．M2＞M3＞M1。

D．M2＞M1＞M3。

正确答案：D解析：本题考查定积分的比较。

根据定积分的线性性质可以将M2和M3分别化为，对于M3，可以利用公式cos(x＋π)＝－cosx化简定积分。

通过比较被积函数在积分区间的正负比较Mk(k＝1，2，3)的大小。

根据积分区间的可加性，因此M2＞M1＞M3，故本题选D。

3．已知dx(x，y)＝[ax2y2＋sin(2x＋3y)]dx＋[2x3y＋bsin(2x＋3y)]dy，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查多元函数偏导数。

分别求出，观察这两个混合偏导数是否连续，如果连续，则两者相等，利用对应项系数相等的性质得出a和b的值。

由dx(x，y)＝[ax2y2＋sin(2x＋3y)]dx＋[2x3y＋bsin(2x＋3y)]dy可知上面第一个式子对y求偏导，第二个式子对x求偏导，得2ax2y＋3cos(2x＋3y)＝6x2y＋2bcos(2x＋3y) 观察对应项系数，可得a＝3，。

故本题选A。

4．级数( )A．绝对收敛。

B．条件收敛。

C．发散。

D．无法判断。

正确答案：B解析：本题考查数项级数的敛散性。

首先判断是否收敛，如果收敛，则原级数绝对收敛；如果发散，再判断是否收敛，如果收敛，则原级数条件收敛；否则原级数发散。

设先判断的敛散性，因为，且调和级数发散，则由比较审敛法可知发散。

考研数学（数学三）模拟试卷401(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下述命题：①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的有界函数，其中正确的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：B解析：①与③是正确的，②与④是不正确的，正确的个数为2．①是正确的．理由如下：设x0∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中．由题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．②是不正确的．函数f(x)在[a，b]上有界的“界”是与区间有关的．例如f(x)=x在区间[a，b]上，｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜b｜}M，这个“界”与区间[a，b]有关．容易看出，在区间(一∞，+∞)上，f(x)=x就无界了．③是正确的．理由如下：设x0∈(一∞，+∞)，f(x0)＞0且f(x)在x0处连续，由连续函数的四则运算法则知，在(一∞，+∞)上连续．④是不正确的．例如函数f(x)=，在区间(一∞，+∞)上，0＜f(x)≤1．所以在(一∞，+∞)上f(x)有界。

而=+∞．2．设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续且严格单调增，又设则φ(x)在区间(一∞，+∞)上( )A．严格单调减少．B．严格单调增加．C．存在极大值点．D．存在极小值点．正确答案：B解析：令上式分子为(x)=(x一a)f(x)一I f(t)dt =(x—a)f(x)一(x一a)f(ξ) =(x一a)[f(x)一f(ξ)]，其中，当a＜x时，a＜ξ＜x，从而f(ξ)＜f(x)；当a＞x时，a＞ξ＞x，从而f(ξ)＞f(x)．所以不论a＜x还是a＞x，总有(x)＞0．因此当x≠a时，φ’(x)＞0．故可知在区间(一∞，a)与(a，+∞)上φ(x)均严格单调增加．以下证明在区间(一∞，+∞)上φ(x)也是严格单调增加．事实上，设x∈(a，+∞)，则φ(x2)一φ(a)=一f(a)=f(ξ2)一f(a)＞0，其中a＜ξ2＜x2＜+∞，此ξ2可取在开区间(a，x2)内．同理，设x1∈(一∞，a)，则有φ(a)一φ(x1)=f(a)一f(ξ2)＞0，其中一∞＜x1＜ξ1＜a．合并以上两个不等式，有φ(x2)一φ(x1)＞0．3．下列反常积分发散的是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：两个积分中只要有一个发散，就说该积分发散．故应选(A)．4．设f(x，y)=，则在点0(0，0)处( )A．偏导数存在，但函数不连续．B．偏导数不存在，但函数连续．C．偏导数存在，函数也连续．D．偏导数不存在，函数也不连续．正确答案：A解析：由偏导数定义，得即两个偏导数都存在．考虑连续性，取y=kx2让点(x，y)→(0，0)．则更谈不上连续性．故应选(A)．5．设齐次线性方程组Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，0，一2)T+k2(4，一1，一1，一1)T，其中k1，k2是任意常数，则下列向量中不是Ax=0的解向量的是( )A．α1=(1，2，0，一2)T．B．α2=(6，1，一2，一2)T．C．α3=(一5，8，2，一4)T．D．α4=(5，1，一1，一3)T．正确答案：B解析：若αi可由ξ1，ξ2线性表示，则是Ax=0的解，不能由ξ1，ξ2线性表示，则不是Ax=0的解．将ξ1，ξ2，α1，α2，α3，α4合并成矩阵，并一起作初等行变换．故知，α2不能由ξ1，ξ2线性表示，不是Ax=0的解向量(α1，α3，α4是解向量)，故应选(B)．6．设A，B，C均是3阶方阵，满足AB=C，其中则必有( )A．a=一1时，r(A)=1．B．a=一1时，r(A)=2．C．a≠一1时，r(A)一1．D．a≠一1时，r(A)=2．正确答案：C解析：显然r(C)=1，又当a≠一1时，有r(B)=3，B可逆，因AB=C，故r(A)=r(AB)=r(C)=1．故应选(C)．因(C)成立，显然(D)不能成立．故(A)、(B)均不成立．7．将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则( )A．n=2时，A与B相互独立．B．n=2时，AB．C．n=2时，A与B互不相容．D．n=3时，A与B相互独立．正确答案：D解析：当n=2时，由P(AB)≠P(A)P(B)知A与B不独立．又P(A)＞P(B)，故AB，则P(A)≤P(B)，矛盾)．当n=3时，由上知P(AB)=P(A)P(B)，因此A与B相互独立．故应选(D)．8．设随机变量X1，…，Xn(n＞1)独立同分布，其方差σ2＞0，记(1≤s，t ≤n)的值等于( )A．．B．．C．σ2．max{s，t)．D．σ2．min{s，t)．正确答案：A解析：因为3=max{2，3)，所以应选(A)．填空题9．直角坐标中的累次积分I=化为极坐标先r后θ次序的累次积分I=_________．正确答案：解析：按题目上、下限，积分区域D如图阴影所示，对y的上限方程为y=，化为极坐标为r=2acosθ对y的下限方程为y=2a一，化为极坐标为r=4asinθOA的倾角记为θ0，tan θ0=．于是，由极坐标，直线段OA将D分成两块，在极坐标系中，积分如答案所示．10．设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫0xf(x—t)dt+∫01f2(t)dt，则f(x)= _________．正确答案：解析：f(x)=∫0xf(x一t)dt+∫01f2(t)dt =一∫x0f(u)du+∫0xf(t)dt=∫0xd(u)du+∫01f(t)dt．令∫01f2(t)dt=a，于是f(x)=∫0xf(u)du+a，f’(x)=f(x)，f(0)=a，解得f(x)=cex．由f(0)=a，得f(x)=aex，代入∫01f2(t)dt=a中，得11．设常数a＞0，双纽线(x2+y2)2=a2(x2—y2)围成的平面区域记为D，则二重积分(x2+y2)dσ=_________．正确答案：a4解析：由于被函数及积分区域D关于两坐标轴都对称，所以12．=_________．正确答案：一1解析：13．设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=B2—BC，其中B=，则A5=_________．正确答案：解析：｜B｜=一1≠0，故B可逆，则由AB=B2一BC=B(B—C)，得于是A5=B(B—C)B—1B(B—C)B—1…B(B—C)B—1=B(B—C)5B—1，14．设随机变量X～，则P{X—Y)= _________．正确答案：解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三模拟试题一、选择题（每题5分，共40分）1. 设函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 132. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)。

A. 1B. 2C. 4D. 83. 以下哪个选项不是正态分布的数学期望？A. \( \mu \)B. \( \sigma^2 \)C. \( \mu + 2\sigma \)D. \( 2\mu - 3\sigma \)4. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值，求\( \int_{0}^{1} x^3dx \)的值。

A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{5} \)5. 设随机变量\( X \)服从二项分布\( B(n, p) \)，求\( E(X) \)。

A. \( np \)B. \( nq \)C. \( 2np \)D. \( 2nq \)6. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = e^x \)B. \( y = \ln x \)C. \( y = \sin x \)D. \( y = x^2 \)7. 已知\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x - 1 \)，求\( y \)的原函数。

A. \( y = x^3 + x^2 - x + C \)B. \( y = x^3 + 2x^2 - x + C \)C. \( y = x^3 + x^2 + 2x + C \)D. \( y = x^3 + 2x^2 - x + C \)8. 设矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的特征值。

考研数学三模试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 已知函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性3. 设曲线C：y^2 = 4x与直线l：x = 2 + t，y = 3 - 2t相切，则实数t的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 + 1，若f[g(x)] = 9x^2 - 6x，则x的取值范围是：A. x > 1B. x < 1C. x > 0D. x < 05-10. （略，类似结构）二、填空题（每题4分，共24分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上的最大值为M，则M的值为________。

12. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，其前n项和为S_n，则S_5的值为________。

13. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| =________。

14. 设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，且过点(1, √3)，则a的值为________。

15-16. （略，类似结构）三、解答题（共40分）17. （12分）设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 3，证明对于任意的m，n ∈ [a, b]，都有∫[a, b] f(x) dx ≥(1/(b-a)) * (m - n)^2。

18. （14分）已知某工厂生产商品x件的总成本为C(x) = 2000 +50x，销售每件商品的收入为p(x) = 110x - x^2，求该工厂的月利润最大值。

考研数学（数学三）模拟试卷470(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=0处存在4阶导数，又设则必有( )A．f(0)=1．B．f”(0)=2．C．f”‘(0)=3．D．f(4)(0)=4．正确答案：C解析：用佩亚诺泰勒公式．先考虑分母，tan x—sin x=x3(x→0)．将f(x)在x=0处按佩亚诺余项泰勒公式展开至n=3，得所以f(0)=0，f’(0)=0，f”(0)=0，f”‘(0)=3．故应选C．2．设f(x)=，则关于f(x)的单调性的结论正确的为( )A．在区间(一∞，0)内是严格单调增，在(0，+∞)内严格单调减．B．在区间(一∞，0)内是严格单调减，在(0，+∞)内严格单调增．C．在区间(一∞，0)与(0，+∞)内都是严格单调增．D．在区间(一∞，0)与(0，+∞)内都是严格单调减．正确答案：C解析：f’(x)=．取其分子，令φ(x)=xex—ex+2，有φ(0)=1＞0，φ’(x)=xex，当x＜0时，φ’(x)＜0；当x＞0时，φ’(x)＞0．所以当x＜0时，φ(x)＞0；当x ＞0时，也有φ(x)＞0．故知在区间(一∞，0)与(0，+∞)内均有f’(x)＞0．从而知f(x)在区间(一∞，0)与(0，+∞)内均为严格单调增．3．设f(x)=arctan 2x，则f(2017)(0)= ( )A．2 017!22017．B．2 016!22017．C．一(2 017!)22017．D．一(2 016!)22017．正确答案：B解析：f(x)=arctan 2x，由麦克劳林展开式的唯一性知，(一1)n22n+1=，所以φ(2n)(0)=(一1)n(2n)!22n+1，从而f(2n+1)(0)=(一1)n(2n)!22n+1．将2n+1=2 017，n=1 008代入，得f(2017)(0)=2 016!22017．选B．4．设f(x，y)=则在点O(0，0)处( )A．偏导数存在，但函数不连续．B．偏导数不存在，但函数连续．C．偏导数存在，函数也连续．D．偏导数不存在，函数也不连续．正确答案：A解析：由偏导数定义，得即两个偏导数都存在．考虑连续性，取y=kx2，让点(x，y)→(0，O)．则f(x，kx2)=(x≠0)，所以当x→0时，f(x，kx2)→f(x，y)不存在，更谈不上连续性．故应选A．5．设A，B是n阶可逆矩阵，满足AB=A+B．则下列关系中不正确的是( )A．｜A+B｜=｜A｜｜B｜．B．(AB)-1=A-1B-1．C．(A—E)x=0只有零解．D．B—E不可逆．正确答案：D解析：因A，B满足AB=A+B，两边取行列式，显然有｜A+B｜=｜AB｜=｜A｜｜B｜，A正确．由AB=A+B，移项，提公因子得AB—A=A(B —E)一B，A(B—E)=B—E+E，(A—E)(B—E)=E．故A—E，B—E都是可逆矩阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(A—E)x=0只有零解，(C)正确．B—E 不可逆是错误的，(D)不正确．又因(A—E)(B—E)=E，故(B—E)(A —E)=E，从而有BA一A—B+E=E，BA=A+B，得AB=BA，则(AB)-1=(BA)-1=(BA)-1=A-1B-1，故(B)正确．因此(A)，(B)，(C)是正确的，应选D．6．设A，B，C均是3阶方阵，满足AB=C，其中则必有( )A．a=一1时，r(A)=1．B．a=一1时，r(A)=2．C．a≠—1时，r(A)=1．D．a≠—1时，r(A)一2．正确答案：C解析：显然r(C)=1，又当a≠一1时，有r(B)=3，B可逆，因AB=C，故r(A)=r(AB)=r(C)=1．故应选(C)．因(C)成立，显然(D)不能成立．当a=—1时，取A=，有AB=C，此时r(A)=1；也可取A=，也有AB=C，此时r(A)=2．故(A)，(B)均不成立．7．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据：设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合且无区别标志．现从仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，则最有可能来自( ) A．元件制造厂1．B．元件制造厂2．C．元件制造厂3．D．无法判断．正确答案：B解析：设事件Ai={元件来自工厂i}，i=1，2，3，B={取出一只是次品}，则P(A1)=0．15，P(A2)=0．80，P(A3)=0．05，P(B｜A1)=0．02，P(B｜A2)=0．01，P(B｜A3)=0．03．由贝叶斯公式，知P(Ai｜B)=，i=1，2，3．因为分母相同，故只需比较分子大小即可，P(A1)P(B｜A1)=0．003，P(A2)P(B｜A2)=0．008，P(A3)P(B｜A3)=0．0015．所以P(A2｜B)最大，故选B．8．抛一枚均匀的硬币若干次，正面向上次数记为X，反面向上次数记为Y，当X—Y＞2时停止，则试验最多进行5次停止的概率为( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：满足条件的情况有：“正正正”、“反正正正正”、“正反正正正”、“正正反正正”，所以概率为．故选D．填空题9．设y(x)是微分方程y”+(x+1)y’+x2y=x的满足y(0)=0，y’(0)=1的解，并设存在且不为零，则正整数k=___________，该极限值=___________。

考研数学（数学三）模拟试卷402(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在区间[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，又设an= ( )A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与具体的f(x)有关．正确答案：B解析：由于0≤f(x)≤1且f(x)连续，有2．设f(x)在x=a处可导，则｜f(x)｜在x=a处不可导的充要条件是( ) A．f(a)=0，f’(a)=0．B．f(a)=0，f’(a)≠0．C．f(a)≠0，f’(a)=0．D．f(a)≠0，f’(a)≠0．正确答案：B解析：若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U，在该邻域内f(x)与f(a)同号，于是推知，若f(a)＞0，则｜f(x)｜=f(x)(当x∈U)；若f(a)＜0，则｜f(x)｜=一f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x=a处总可导．若f(a)=0，则其中x→a+时，取“+”，x→a—时，取“一”，所以当f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a处可导的充要条件是｜f’(a)｜=0，即f’(a)=0．所以当且仅当f(a)=0，f’(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a处不可导，故应选(B)．3．考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在[a，b]上可积；③f(x)在[a，b]上可导；④f(x)在[a，b]上存在原函数．以P→Q表示由性质P可推出性质Q，则有( )A．①→②→③．B．③→①→④．C．①→②→④．D．④→③→①．正确答案：B解析：因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确．(A)不正确．虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=｜x｜在[一1，1]上可积，∫—11｜x｜dx=2∫01xdx=1．但f(x)=｜x｜在x=0处不可导．(C)不正确．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如在[—1，1]上可积，则∫—11f(x)dx=∫—11(—1)dx+∫011dx=—1+1=0，但f(x)在[—1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=｜x｜+C的形式，而此函数在点x=0处不可导，在区间[一1，1]上它没有做原函数的“资格”．(D)不正确．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．例如：但f(x)并不连续．即存在原函数的函数f(x)可以不连续．4．设在x＞0处f(x)连续且严格单调增，并设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt，则F(x)在x＞0时( )A．没有驻点．B．有唯一驻点且为极大值点．C．有唯一驻点且为极小值点．D．有唯一驻点但不是极值点．正确答案：A解析：F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt—x∫0xf(t)dt，F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一∫0xf(t)dt =xf(x)一xf(ξ)=x[f(x)一f(ξ)]，0＜ξ＜x．由于f(x)严格单调增加，可知f(x)＞f(ξ)，所以F’(x)＞0，故F(x)在x＞0时无驻点，故应选(A)．5．设A，B是3阶矩阵，A是非零矩阵，满足AB=O，且B=，则( ) A．a=一1时，必有r(A)=1．B．a=2时，必有r(A)=2．C．a=一1时，必有r(A)=2．D．a=2时，必有r(A)=1．正确答案：D解析：由AB=0，知r(A)+r(B)≤3．又r(A)>0，且所以当a=一1时，r(B)=1，r(A)=1或r(A)=2．故选项(A)、(C)不成立．当a=2时，r(B)=2，必有r(A)=1．选项(D)成立，选项(B)不成立．故应选(D)．6．设A=，则B相似于( )A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设条件知矩阵AB是由矩阵A经初等行变换得到的．具体的是，将A的第1行乘一1，第2行乘2后再将第2、3行互换得AB，即7．已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ)，如果P{max{X，Y)＞μ}=a(0＜a＜1)，则P{min(X，Y)≤μ}= ( )A．．B．1一．C．a．D．1一a．正确答案：C解析：P{max{X，Y}＞μ}=P{{X＞μ}∪{Y＞μ}} =p{X＞μ}+P{Y＞μ}一P{X＞μ，Y＞μ} =一P{min{X，Y}＞μ} =1—P{min{X，Y}＞μ}=P{min{X，Y}≤μ}，选择(C)．8．设随机变量X1、X2、X3相互独立，且X1、X2均服从N(0，1)，P{X3=一1)=P{X3=1)=，则Y=X1+X2X3的概率密度fY(y)为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：因为X1，X2均服从N(0，1)，且相互独立，则X1一X2，X1+X2均服从N(O，2)，故FY (y)=P{X3=一1}P{X1+X2X3≤y｜X3=一1}+P{X3=1}P{X1+X2X3≤y｜X3=1} =P{X3=一1}P{X1一X2≤y}+P{X3=1}P{X1+X2≤y}填空题9．设某产品的需求函数为Q=Q(p)，它对价格的弹性为ε，0＜ε＜1．已知产品收益R对价格的边际为s元，则产品的产量应是_________．正确答案：解析：10．设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足f(xy，)=y2(x2一1)，则dz=_________。

考研数学（数学三）模拟试卷422(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列命题正确的是( )．A．若收敛B．设收敛C．若收敛D．设an＞0，bn＞0，且收敛正确答案：D解析：2．设f(x，y)在(0，0)处连续，且，则( )．A．f(x，y)在(0，0)处不可偏导B．f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C．fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分D．fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分正确答案：D解析：3．设A为三阶矩阵的解，则( )．A．当t≠2时，r(A)=1B．当t≠2时，r(A)=2C．当t=2时，r(A)=1D．当t=2时，r(A)=2正确答案：A解析：当t≠2时,为AX=0的两个线性无关的解，从而3一r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，应选A．4．设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：C解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3—λ4=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)一1，所以r(A)=1．因为4一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．5．设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为( )．A．0．36B．0．44C．0．64D．1正确答案：B解析：设X1～E(1)，其密度函数为其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，则E(X12)=D(X1)+EE(X1)]2=2．6．设X1，X2，X3，X4，X5是来自总体N(1，4)的简单随机样本，则a=( ) A．2B．C．D．1正确答案：C解析：7．设随机变量x与y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是( )A．E(X－Y)=0。

考研数学（数学三）模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的取值范围为A．｜k｜&gt;2．B．｜k｜&gt;1．C．｜k｜&lt;1．D．｜k｜&lt;2正确答案：A解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点y=f(x)只有以下三种情形f(x)只有一个零点同号f(一1)，f(1)>0k>2；f(一1)，f(1)k｜k｜>2．故选A．2．设函数则f10(1)=A．101×210B．111×211．C．一101×210．D．一101×211正确答案：C解析：故选C．3．在反常积分①②③④中收敛的是A．①，②B．①，③C．②，④D．③，④正确答案：B解析：由题设选项可知，这4个反常积分中有两个收敛，两个发散．方法1。

找出其中两个收敛的．①由知①收敛③知③收敛．因此选B．方法2。

找出其中两个发散的．对于②：由而发散，知发散，即②发散．④由可知发散，即④发散．故选B．4．下列级数中属于条件收敛的是A．B．C．D．正确答案：D解析：【分析一】A，B，C不是条件收敛．由其中收敛，发散→A发散．由其中均收敛→B绝对收敛．由→C绝对收敛．因此应选D．【分析二】直接证明D条件收敛单调下降趋于零(n→∞)→交错级数收敛．又而发散→发散→D条件收敛．故应选D．5．设A是m×n矩阵，且方程组Ax=b有解，则A．当Ax=b有唯一解时，必有m=n．B．当Ax=b有唯一解时，必有r(A)=nC．当Ax=b有无穷多解时，必有m&lt;n．D．当Ax=b有无穷多解时，必有r(A)&lt;m．正确答案：B解析：方程组Ax=b有唯一解的列数，所以B正确．注意方程组有唯一解不要求方程的个数，n和未知数的个数n必须相等，可以有m>n．例如方程组Ax=b 有无穷多解的列数．当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩r(A)必小于方程的个数，例如6．下列矩阵中不能相似对角化的是A．B．C．D．正确答案：C解析：A～AA有n个线性无关的特征向量．记C项的矩阵为C，由可知矩阵C的特征值为λ=1(三重根)，而那么n—r(E—C)=3—2=1．说明齐次线性方程组(E—C)x=0只有一个线性无关的解，亦即λ=1只有一个线性无关的特征向量，所以C不能对角化．故选C．7．设随机变量X的密度函数为且已知，则θ=A．3B．ln3C．D．正确答案：C解析：本题有两个参数，先由密度函数的性质确定k的值，再由已知概率确定θ的值．故即又所以故选C．8．设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于可知X～(一3，2)，而A，B，C三个选项都不符合，只有D符合，可以验证即填空题9．=__________.正确答案：解析：【分析一】于是【分析二】其中用到了从(*)式也可以再用罗毕达法则．10．x轴上方的星形线：与x轴所围区域的面积S=________．正确答案：解析：x轴上方的星形线表达式为11．若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且f(0)=8，则f(x)=________．正确答案：解析：令t=cosx+2→cosx=t-2,cos2x=(t-2)2由因此12．一阶常系数差分方程yt+1一4t=16(t+1)4t满足初值y0=3的特解是yt=___________．正确答案：(2t2+2t+3)4t．解析：应设特解为yt=(At2+Bt+c)B,C其中A，B，C为待定常数．令t=0可得y0=C，利用初值y0=3即可确定常数C=3．于是待求特解为yt=(At2+Bt+3)4t．把yt+1=[A(t+1)2+B(t+1)+3]4t+1=4[At2+(2A+B)t+4+B+3]4t与yt代入方程可得yt+1—4yt=4(2At+A+B)4t，由此可见待定常数A与B应满足恒等式4(2At+A+B)≡16(t+1)A=B=2．故特解为yt=(2t2+2t+3)4t．13．已知．A*是A的伴随矩阵，则=________．正确答案：解析：因为AA*=A*A=｜A｜E，又所以于是14．设X1，X2，…，Xn+1是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，则服从____________分布．正确答案：解析：由于Xi(i=1，2，…，n+1)均来自同一总体，且相互独立．故EXi=p，DXi=σ2，Y是X的线性组合，故仍服从正态分布．所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023年研究生《数学三》模拟卷2 2023年研究生《数学三》模拟卷2
1.[单选][4分]
2.[单选][4分]
3.[单选][4分]
4.[单选][4分]
A. n必为2
B. n必为4
C.n为1或2
D.n为2或4
5.[单选][4分]
6.[单选][4分]
A. 连续，但不可偏导
B. 可偏导，但不连续
C. 连续、可偏导，但不可微
D. 可微
7.[单选][4分]关于函数的极值个数，正确的是
A. 有2个极大值，1个极小值
B. 有1个极大值，2个极小值
C. 有2个极大值，没有极小值
D. 没有极大值，有2个极小值
8.[问答][10分]
9.[问答][10分]
10.[问答][10分]
11.[问答][10分]
12.[问答][10分]
13.[问答][10分]
14.[问答][10分]
15.[问答][10分]
16.[问答][10分]
17.[问答][10分]
18.[问答][10分]
19.[问答][10分]
20.[问答][10分]
21.[问答][10分]
22.[问答][10分]某企业生产某种商品的成本函数为a,b,c,l,s都是正常数，Q为销售量，求：（I）当每件商品的征税额为t时，该企业获得最大利润时的销售量；（II）当企业利润最大时，t为何值时征税收益最大.。

考研数学（数学三）模拟试卷450(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知当x→0时，f(x)=arcsinx－arctanax与g(x)=bx[x－ln(1+x)]是等价无穷小，则( )A．a=b=1。

B．a=1，b=2。

C．a=2，b=1。

D．a=b≠1。

正确答案：A解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a=0，，则有a=1，b=1。

故选(A)。

2．设f(x)=+x，则f(x)有( )A．两条斜渐近线。

B．一条水平渐近线，一条斜渐近线。

C．两条水平渐近线。

D．一条斜渐近线，没有水平渐近线。

正确答案：B解析：函数f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。

水平渐近线：在x→－∞方向，所以y=0为函数f(x)的一条水平渐近线。

斜渐近线：所以y=2x为函数f(x)的一条斜渐近线。

故选(B)。

3．设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是( )A．单调递增的奇函数。

B．单调递减的奇函数。

C．单调递增的偶函数。

D．单调递减的偶函数。

正确答案：B解析：令x－u=t，则F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt，F(－x)=∫0－x(－x－2t)f(t)dt，令t=－u，F(－x)=－∫0x(－x+2u)f(－u)du=∫0x(x－2u)f(－u)du。

因f(x)是奇函数，f(x)=－f(－x)，F(－x)=－∫0x(x－2u)f(u)du，则有F(x)=－F(－x)为奇函数。

F’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，由积分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x，ξ介于0到x之间，F’(x)=f(ξ)x－xf(x)=[f(ξ)－f(x)]x，因为f(x)单调递增，当x＞0时，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)＜0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减；当x＜0时，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)＞0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减。

考研数学（数学三）模拟试卷369(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)是(一∞，＋∞)内以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．A．f(t)dtB．f(t)dtC．f(t)dtD．tf(t)dt正确答案：D解析：因f(x)是周期为T的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数．据此，可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数．但(D)中变项积分不是f(x)的原函数，因而不是周期函数．解一(D)中函数不是周期函数．事实上，令φ(x)＝tf(t)dt，则故(D)中函数不是周期函数．解二下证(A)、(B)、(C)中函数均是周期函数．对于(A)，令g(x)＝f(t)dt，则对于(B)，令h(x)＝f(t)dt，则故h(x)＝h(x＋T)．同法可证均是周期为T的周期函数，故其差也是周期为T的周期函数．仅(D)入选．2．若直线y＝x与对数曲线y＝logax相切，则a＝( )．A．eB．1／eC．eeD．ee－1正确答案：D解析：两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等．据此可建立两个方程求解未知参数．由y′＝1＝(logax)＝该点也在曲线y＝logax上，于是有故＝lna，所以a＝ee －1．仅(D)入选．3．设f(x)g(x)在点x＝0的某邻域内连续，且f(x)具有一阶连续导数，满足＝0，f′(x)＝一2x2＋g(x一t)dt，则( )．A．x＝0为f(x)的极小值点B．x＝0为f(x)的极大值点C．(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点D．x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点正确答案：C解析：由f′(x)的表示式易知f′(0)＝0，为判定选项的正确性，只需考察．f″(0)的符号的有关情况，为此计算，看其是否等于非零常数．由有f″(x)＝－4x＋g(x)，则＝－4＋0＝－4，可见在x＝0的两侧因x变号，f″(x)也变号，因而(0，f(0))为曲线y＝f(x)的拐点．仅(C)入选．4．计算二重积分I＝＝( )．A．π2／32B．－π2／32C．π／16D．π／4正确答案：A解析：由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示．由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为f(x2＋y2)，应使用极坐标求此二重积分．所给曲线为(y＋1)2＋x2＝1的上半圆周，区域D如下图所示，其直角坐标方程为(y＋1)2＋x2≤1，即y2＋x2≤一2y，将x＝rcosθ，y＝rsinθ代入得到极坐标系下的方程r2≤一2rsinθ，即r≤一2sinθ．于是D＝｛(r，θ)｜－π／4≤θ≤0，0≤r≤一2sinθ｝，则仅(A)入选．5．设四阶行列式D＝，则第3列各元素的代数余子式之和A13＋A23＋A33＋A34＝( )．A．3B．一3C．2D．1正确答案：B解析：尽管直接求出每个代数余子式的值，再求其和也是可行的，但较繁，一般不用此法．因行列式D中元素aij的代数余子式Aij与aij的值无关，仅与其所在位置有关．常用此性质构成新行列式，利用行列式性质求出各元素的代数余子式的线性组合的值．将行列式D的第3列元素换为1，1，1，1，则6．设A是四阶方阵，A*是A的伴随矩阵，其特征值为1，一1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是( )．A．A—EB．2A—EC．A＋2ED．A一4E正确答案：A解析：利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：｜A｜＝λ1λ2…λn判别之，其中λi为A的特征值．解一设A*的特征值为，则于是｜A*｜＝1.(－1).2.4＝－8，因而｜A｜4－1＝｜A*｜，故｜A｜3＝－8，即｜A｜＝－2，所以A的特征值为因而A－E的特征值为μ1＝－2－1＝－3，μ2＝2－1＝1，μ3＝－1－1＝－2，μ4＝－1／2－1＝－3／2，故｜A－E｜＝μ1.μ2.μ3.μ4＝－9≠0，所以A－E可逆．解二由A的特征值易求得其他矩阵2A＋E，A＋2E，A－2E的特征值分别都含有零特征值，因而其行列式等于0，它们均不可逆．仅(A)入选．7．已知随机变量(X，Y) 的联合密度函数为则t的二次方程t2一2Xt＋Y ＝0有实根的概率为( )．A．eB．e－1C．e－2D．e2正确答案：B解析：先找出有实根的X与Y所满足的条件，再在此条件范围内求出其概率．因二次方程t2一2Xt＋Y＝0有实根的充要条件为4X2一4Y≥0，即X2≥Y，如下图所示，故所求概率为8．设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n(n＝1，2，…)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( )．A．X1，X2，…，Xn，…B．X1，22X2，…，n2Xn，…C．X1，X2／2，…，Xn／n，…D．X1，2X2，…，nXn，…正确答案：B解析：根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别．切比雪夫大数定律要求三个条件：首先是要求X1，X2，…，Xn相互独立；其次是要求Xn(n＝1，2，…)的期望和方差都存在；最后还要求方差一致有界，即对任何正整数n，D(Xn)＜L，其中L是与n无关的一个常数．题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件，由于对于(A)，有对于(B)，有E(n2Xn)＝n2E(Xn)＝n2.＝n，D(n2Xn)＝n4D(Xn)＝n4.＝n2；对于(C)，有对于(D)，有E(nXn)＝nE(Xn)＝n.＝1，D(nXn)＝n2D(Xn)＝n2.＝1．显然(B)序列的方差D(n2Xn)不能对所有n均小于一个共同常数，因此不满足切比雪夫大数定律．综上分析，仅(B)入选．填空题9．若函数y＝[f(x2)，其中f为可微的正值函数，则dy＝_________．正确答案：解析：y为幂指函数，为求其导数，可先用取对数法或换底法处理，再用复合函数求导法则求之．因为y＝，于是故dy＝y′dx＝[2f′(x2)(f(x2)lnf(x2))]dx．10．＝_________．正确答案：arctane—π／4解析：分母提取因子n，再使用定积分定义求之．原式＝＝arctanex＝arctane—π／4．11．e－y2dy＝___________．正确答案：解析：直接先求内层积分无法求出．可变更积分次序，再用Γ函数计算较简；也可用分部积分法求之．解—解二12．差分方程yx＋1一的通解是___________．正确答案：解析：先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解．齐次差分方程yx＋1－yx＝0的特征方程为λ－＝0，解得特征根λ＝，故齐次差分方程的通解为C()x 因a＝(特征根不等于底数)，故其特解为，代入原方程得A＝．故所求通解为13．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的协方差cov(X，Y)＝_________．正确答案：0．056解析：由定义或同一表格法分别求出X，Y与XY的分布，再求其期望．解一由表易知因此E(X)＝0×0．40＋1×0．60＝0．60，E(Y)＝(一1)×0．18＋0×0．50＋1×0．32＝0．14．E(XY)＝(－1)×0．08＋0×0．70＋1×0．22＝0．14．从而cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0．056．解二用同一表格法求之．为此将所给的联合分布改写成下表，并在同一表格中求出X，Y及XY的分布．故下同解一．14．设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，Xi(1≤k≤n)，则cov()＝___________．正确答案：解析：利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之．由于Xi，Xj(i≠j)独立，cov(Xi，Xj)＝0，又cov(Xi，Xj)＝D(Xi)＝σ2，则解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学（数学三）模拟试卷406(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f（x）=x3一3x+k只有一个零点，则k的取值范围为A．|k|＞2．B．|k|＞1．C．|k|＜1．D．|k|＜2．正确答案：A解析：f(x)为三次多项式，至少有一个零点，y=f(x)只有以下三种情形2．设正数列{an}满足A．e．B．1．C．0．D．正确答案：B解析：3．在反常积分中收敛的是A．①，②．B．①，③．C．②，④．D．③，④．正确答案：B解析：由题设选项可知，这4个反常积分中有两个收敛，两个发散．方法1°找出其中两个收敛的．知③收敛．因此选(B)．4．设f（x）在[一δ，δ]有定义，且f（0）=f’（0）=0，f”（0）=a＞0，又收敛，则p的取值范围是A．B．C．(1，+∞)．D．[1，+00)．正确答案：B解析：由因此，的取值范围是应选(B)．5．a=一5是齐次方程组有非零解的A．充分必要条件．B．充分条件，但不是必要条件．C．必要条件，但不是充分条件．D．既不是必要条件又不是充分条件．正确答案：B解析：根据克拉默法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0．于是a=一5是(Ⅰ)有非零解的充分条件，但不是必要条件．6．n维向量α=（1／2，0…．，0，1／2）T，A=E一ααT，β=（1，1…．，1）T，则Aβ的长度为A．B．C．n．D．n2．正确答案：B解析：Aβ=(E一4ααT)β=β一4α(αTβ)=β一4α=(一1，1， (1)一1)T，||Aβ||=7．袋中有2个白球和1个红球．现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第n次取到白球的概率为A．B．C．D．正确答案：D解析：设Ai表示第i次取到白球，i=1，2，…，n，则由乘法公式可得所以应选(D)．8．设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，Yn=则当n→∞时Yn以正态分布为极限分布，只要X1，…，Xn，…A．服从同一离散型分布．B．服从同一连续型分布．C．服从同参数的超几何分布．D．满足切比雪夫大数定律．正确答案：C解析：根据林德伯格．列维中心极限定理，如果X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选(C)．填空题9．数列极限正确答案：1．解析：10．设y（x）是由x2+xy+y=tan（x一y）确定的隐函数，且y（0）=0，则y”（0）=________．正确答案：解析：将方程看成关于变量x的恒等式，两端同时对变量x求导数可得在(*)式中令x=0，又y(0)=0，则有y’(0)=1一y’(0)，于是y’(0)=将(*)式看成关于变量x的恒等式，两端同时对变量x求导数又可得在(**)式中令x=0，又y(0)=0，y’(0)=，即得2+2y’(0)+y”(0)=一y”(0)，于是11．曲线的斜渐近线方程为________．正确答案：y=±x．解析：因为同理因此斜渐近线方程为y=±x．12．反常积分正确答案：解析：13．已知的任意两个特征向量都线性相关，则a=________．正确答案：一2．解析：因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明A的三个特征值都相等，即A有一个3重特征值λ．3λ=tr(A)=3，于是λ=1．有|λE—A|=(λ一1)3．=λ+1+a(a+λ+2)+(λ一1)(λ2—2λ一8—5a)=a2+λ(a+1)+2a+1+(λ一1)(λ2—2λ+1—9—5a)=(λ一1)3+λ(a+1)+a2+2a+1一(λ一1)(5a+9)=(λ一1)3一(8+4a)λ+a2+7a+10．则8+4a=0并且a2+7a+10=0，得a=一2．14．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（μ，μ；σ2，σ2；0），则Emin（X，Y）=________．正确答案：解析：由题设X，y独立，则有Z=X—Y—N(0，2σ2)，于是解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。