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第六章力法

6.1 超静定结构及超静定次数的确定

6.1.1超静定结构

前面几章主要是讨论静定结构的内力分析及位移计算方法。本章主要是讲述超静定结构的内力分析及位移计算方法。力法解超静定结构是最早提出的方法，也是其他求解超静定结构方法的基础。

在实际工程结构中，不仅有静定结构，而且更多的是超静定结构。作为一名土木工程的结构师或施工现场的技术人员必须掌握超静定结构内力及位移的计算方法。

静定结构和超静定结构在几何构成及解法上是有区别的，以图6.1所示为例，图（a）是静定结构，图（b）是超静定结构。

F XC

C

F YC YC

F XA

图6.1

图6.1（a）所示从几何构成分析的角度来看是无多余约束的几何不变体系，称为静定结构；从受力的角度分析，其结构有三个支座反力，利用三个静力平衡方程（∑X=0，∑Y=0，∑M0=0）可以求出其支座反力，进而可以求出结构中任何一个截面的所有内力。

图6.1（b）所示，从几何构成分析的角度来看是有一个多余约束的几何不变体系，称为超静定结构；从受力的角度分析，其结构有四个支座反力，利用三个静力平衡方程不能求出其全部支座反力，因而也不可能对结构内力进行完全求解。要想求得支座反力，就必须增加一个补充方程。

超静定结构中的多余约束，是以几何构成分析得出的结论，并不是不需要的约束。合理的设置多余约束使结构受力更合理，但增加了解题的难度。

超静定结构的基本类型如下：

1）超静定梁。有单跨超静定梁；多跨超静定梁，也称为连续梁（图6.2）。

2）超静定刚架。分为单跨或多跨；单层或多层刚架（图6.3）所示。

（a）（b）

（c）

图6.2 超静定梁

（a）（b）（c）

（d）（e）（f）

图6.3 超静定刚架

3）超静定桁架。分为外部有多余约束；内部有多余约束；内、外部均有多余约束的桁架（图6.4）。

（a）（b）（c）

图6.4 超静定桁架

4）超静定拱。分为无铰拱；两铰拱；带系杆的拱（图6.5）。

（a）（b）（c）

图6.5 超静定拱

5） 超静定组合结构。由受弯杆和轴力杆组成（图6.6）。

（a ）

（b ）

图6.6 超静定组合结构 6.1.2 超静定次数的确定

超静定次数等于超静定结构多余约束的个数，需要用几何构成分析的方法确定。

从受力分析来看，多余约束的个数就是求解全部未知量所需要增加方程的数目。

从几何构成分析来看，可以认为在静定结构中加了多余约束，就成了超静定结构。将超静定结构（这里称原结构）的多余约束去掉，用未知力X 代替的图称为基本体系，如图

6.7所示。

6.7 原结构和基本体系a ）所示的结构，可以取几种不同的基本体系,如图6.8（a ）～(f)所示。

X 1

X 1

（a ）

（b ） （c ） X 1 X 1 X 1 X 1

X 1 （d ）

（e ） （f ）

图6.8 同一个原结构多种基本体系 原结构取基本体系，去除多余约束的方法可归纳如下：

（1）去掉或切断一根链杆，相当于去除一个约束，代之以一个未知力X 1，如图6.9（a ）所示。

（2）将刚结点或梁式杆某个截面改为单铰，相当于去除一个约束，代之以一个未知力X 1，如图6.9（b ）、（c ）所示。

（3）拆开一个单铰或去掉一个铰支座，相当于去除两个约束，代之以两个未知力X 1、X 2，如图6.9（d ）、（e ）所示。

（4）将梁式杆截断或去掉一个固定支座，相当于去除三个约束，代之以三个未知力X 1、X 2、X 3，如图6.9（f ）、（g ）所示。

） X 1 X 1

（c ）

X 1

（d）（e）

3

（f）

（g

6.9

根据上面的总结很容易确定基本体系。如图6.10所示。

X

X

5

（a）（b）（c）

图6.10

6.2 力法的基本概念与力法的典型方程

6.2.1力法的基本概念

静定结构可以由静力平衡条件求出所有的支座反力和内力，超静定结构就不那么简单了。超静定结构由于存在多余约束，需要补充方程才能求解，补充的方程称为力法方程，力法解题需要考虑以下三个方面的问题：

1）静力平衡条件：∑X=0，∑Y=0，∑M=0

2）变形协调条件：也称位移协调条件，即基本体系的变形与原结构的变形相一致。

3）物理条件：在线弹性条件下，位移与力成正比。

以图6.11(a)所示的一次超静定结构为例，分析是如何满足以上三个条件的。

q q q

C

（a）（b）（c）

图6.11

（1）基本未知量和基本体系

在图6.11(a)中把B支座作为多余约束,去掉B支座用未知力X1代替,则基本体系为图6.11(b)。显然，基本体系是简支梁，上面作用两个荷载，即均布荷载q和未知力X1。

（2) 受力分析

在原结构中，荷载q为常数时，B支座反力是被动力，为固定值。在基本体系中，只要简支梁不破坏，无论X1大小怎样变化，简支梁均可以维持平衡。

（3) 变形协调条件

在原结构中，由于B点受支座约束，B点的竖向位移等于零，即：

01=∆ （6-1a ）

当均布荷载q 为常数单独作用在基本体系上，B 点向下的位移是定值为△1P ，如图6.11(c)所示；X 1单独作用在基本体系上，在B 点产生的位移是△11，如图6.11(d)所示，如果X 1大小是变化的，△11也随之变化，根据叠加原理X 1和荷载q 共同产生的位移△11+△1P 也是一个不确定的量。但是，根据变形协调条件原结构与基本体系的变形应该是协调一致的，即基本体系中B 点的位移与原结构中B 点的位移相等，其代数和为零。因此有：

01111=∆+∆=∆P

（6-1b ） （4）物理条件

设X 1=1作用时产生的位移是δ11，根据线性弹性体的条件，位移与力成正比，则X 1产生的位移为：

11111X δ=∆ （6-1c ）

（5) 力法方程及解答

由式（6-1b ）及式（6-1c ）得：

01111=∆+P X δ （6-1）

式（6-1

式（6-1）把求X 1

1P 1M 图 M P 图 （a ） (b) 图6.12

δ11是X 1=1单独作用在基本体系上时沿X 1方向的位移，△1P 是原结构的外荷载单独作用在基本体系上时沿X 1方向的位移。在以图乘法求解位移时，1M 图是X 1=1单独作用在基本体系上时，求得的弯矩图，如图6.12(a)所示；M P 是原外荷载单独作用在基本体系上，求得的弯矩图，如图6.12(b)所示。

δ11为1M 图自乘： EI

l l l l EI 62)232221(1311=⨯⨯⨯⨯⨯=δ △1P 为1M 图和M P 图图乘： EI

ql l ql l EI p 2452)2852132(1421-=⨯⨯⨯⨯⨯-=∆ 代入（6-1）式得： ()↑=∆-=ql X P 451111δ

计算结果X 1为正值，说明X 1的实际方向与假设方向相同，如果求得的X 1为负值，说明X 1的实际方向与假设方向相反。

(6)作M 图

作最后的弯矩图可由两种途径考虑。一是把X 1=ql 4

5及原有外荷载均加在基本体系上，由平衡条件作出M 图；二是利用叠加原理，按（6-2）公式的弯矩方程求出控制点的弯距值，根据荷载情况连线即可。

P M X M M +=11

（6-2）

由以上分析可知，力法解超静定结构在选取了基本体系后，就变成了静定结构求内力和位移的问题了。因此，静定结构求内力和位移是解超静定结构的基础。

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