2019-2020学年贵州省北京师范大学贵阳附中高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2. 已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A.a+bB.a−bC.abD.ab3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A.f(x)＝ln|x|B.f(x)＝2−xC.f(x)＝x3D.f(x)＝−x24. 设函数D(x)={1,x∈Q0,x∉Q，则f[f(−√2)]的值为（）A.0B.1C.−1D.不存在5. 已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b6. 设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的（）A.充分必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x)=6x −log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则E1E2的值所在的区间为（）A.(1, 2)B.(5, 6)C.(7, 8)D.(15, 16)二、填空题共10小题，每小题4分，共40分函数f(x)=√2x−4的定义域为________．已知函数f(x)={2x ,x >1log 12x,0<x ≤1 ，则f(f(14))=________；若f(x)＝1，则x ＝________．函数f(x)=x +2x−1(x >1)的最小值是________；取到最小值时，x ＝________．设a 为常数，函数f(x)＝x 2−6x +3，若f(x +a)为偶函数，则a ＝________．定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(0, +∞)是增函数，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(ⅰ)A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ∩B ＝⌀；(ⅱ)集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素．那么用列举法表示集合A 为________．对于函数f(x)，若f(x 0)＝x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”，若f[f(x 0)]＝x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f[f(x)]＝x}，那么：（1）函数g(x)＝x 2−2的“不动点”为________；（2）集合A 与集合B 的关系是________．若x 、y ∈R +，且1x +3y =4，则y x 的最大值为________．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)＝x 2−2ax +a ，其中a ∈R ①f(−12)＝________−14②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}，M ＝{x|a <x <a +3}．(Ⅰ)求集合∁U P；(Ⅱ)若a＝1，求集合P∩M；(Ⅲ)若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．解下列关于x的不等式(Ⅰ)(x−1)(x−2)<0；(Ⅱ)|2x−1|<3；(Ⅲ)x2−(3a+1)x+2a(a+1)>0．已知函数f(x)=x+1x+2．(Ⅰ)求f[f(1)]的值；(Ⅱ)若f(x)>1，求x的取值范围；(Ⅲ)判断函数在(−2, +∞)上的单调性，并用定义加以证明．已知函数f(x)＝x2−2ax+1，x∈[0, 2]上．(Ⅰ)若a＝−1，则f(x)的最小值；(Ⅱ)若a=12，求f(x)的最大值；(Ⅲ)求f(x)的最小值．如果定义在[0, 1]上的函数f(x)同时满足：①f(x)≥0；②f(1)＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．那么就称函数f(x)为“梦幻函数”．(Ⅰ)分别判断函数f(x)＝x与g(x)＝2x，x∈[0, 1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；(Ⅱ)若函数f(x)为“梦幻函数”，求函数f(x)的最小值和最大值；设函数f(x)的定义域为R，如果存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数．已知函数f(x)＝ax2+bx+c的图象经过点(−1, 0)．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f(x)的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f(x)的一个承托函数，且f(x)为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【解答】解：∵A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，∴A∩B={0, 1, 2, 4}∩{1, 2, 3}={1, 2}．故选C．2.【答案】D【解答】∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2ln3∴log32=ab3.【答案】A【解答】函数f(x)＝ln|x|是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增，满足题意；函数f(x)＝2−x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f(x)＝x3是奇函数，不满足题意；函数f(x)＝−x2是偶函数，但在区间(0, +∞)上单调递减，不满足题意；4.【答案】B【解答】∵函数D(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴f(−√2)＝0，∴f[f(−√2)]=f(0)＝1．5.【答案】A【解答】解：由题意，可知：a=log52<1，b=log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25>log24=2．c=0.50.2<1，∴b最大，a、c都小于1．∵a=log52=1log25，c=0.50.2=(12)15=√125=√25．而log25>log24=2>√25，∴1log25<√25，∴a<c，∴a<c<b．故选A.6.【答案】C【解答】若a>b>0，则a2>b2成立，若a＝−2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，7.【答案】C【解答】解：∵f(x)=6x −log2x，∴f(2)=2>0，f(4)=−12<0，满足f(2)f(4)<0，∴f(x)在区间(2, 4)内必有零点.故选C.8.【答案】B【解答】lg E＝4.8+1.5M，∴lg E1＝4.8+1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴E1E2=100.75，∵100.75>90.75＝31.5＝3×√3>5，∴E1E2的值所在的区间为(5, 6)，二、填空题共10小题，每小题4分，共40分【答案】[2, +∞)【解答】由题意得：2x−4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2, +∞)，4,12 【解答】函数f(x)={2x ,x >1log 12x,0<x ≤1 ，则f(f(14))=f(log 1214)＝f(2)＝22＝4， 若f(x)＝1，若x >1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）；若0<x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12．【答案】2√2+1,1+√2【解答】∵ x >1，∴ x −1>0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x −1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x −1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1．【答案】3【解答】根据题意，函数f(x)＝x 2−6x +3＝(x −3)2−6，为二次函数且其对称轴为x ＝3， f(x +a)＝(x +a −3)2−6，为偶函数，必有a ＝3；【答案】(−3, 0)∪(3, +∞)【解答】∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(0, +∞)上是增函数，∴ f(x)在(−∞, 0)上也是增函数，由f(−3)＝0，得−f(3)＝0，即f(3)＝0，由f(−0)＝−f(0)，得f(0)＝0，作出f(x)的草图，如图所示：∴ f(x)>0的解集为：(−3, 0)∪(3, +∞)，故答案为：(−3, 0)∪(3, +∞)．【答案】−1，−2，−3解：设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题，则若a >b >c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次−1，−2，−3，（答案不唯一）.故答案为：−1,−2,−3．【答案】{3}或{1, 2, 4}【解答】∵ (ⅰ)A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ∩B ＝⌀；(ⅱ)集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合，若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1}若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1, 2, 4}【答案】x 0＝2，或x 0＝−1B⫋A【解答】∵ 若f(x 0)＝x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”，即即A ＝{x|f(x)＝x}，设函数g(x)＝x 2−2的“不动点”为x 0，x 02−2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝−1，故A ＝{2, −1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝−1．∵ 满足f[f(x 0)]＝x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”，即B ＝{x|f[f(x)]＝x}．∵ 函数g(x)＝x 2−2，∴ 函数g[g(x)]＝g 2(x)−2＝[x 2−2]2−2＝x 4−4x 2+2， 由g[g(x)]＝x 2，可得 x 4−4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}，∴ B⫋A ，故答案为：B⫋A ．【答案】4 【解答】∵ x 、y ∈R +，且1x +3y =4，∴ y =43−13x ，∵ x >0，y =43−13x >0，∴ 0<1x <4， 则y x =43x −13x 2=−13(1x )2+43⋅1x ，结合二次函数的性质可知，当1x =2即x =12时，y x 取得最大值43．【答案】,(−∞, 0]∪[1, +∞)【解答】①f(−12)＝−f(12)＝−[(12)2−a +a]=−14；②因为f(x)是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x >0时，△＝(−2a)2−4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．【答案】（1）∵ 全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}＝{x|x ≤0或x ≥2}，∴ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}．（2）a ＝1时，M ＝{x|a <x <a +3}＝{x|1<x <4}．∴ 集合P ∩M ＝{x|2≤x <4}．(Ⅲ)∵ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}，M ＝{x|a <x <a +3}，∁U P ⊆M ，∴ {a ≤0a +3≥2，解得−1≤a ≤0． ∴ 实数a 的取值范围是[−1, 0]．【解答】（1）∵ 全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}＝{x|x ≤0或x ≥2}，∴ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}．（2）a ＝1时，M ＝{x|a <x <a +3}＝{x|1<x <4}．∴ 集合P ∩M ＝{x|2≤x <4}．(Ⅲ)∵ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}，M ＝{x|a <x <a +3}，∁U P ⊆M ，∴ {a ≤0a +3≥2，解得−1≤a ≤0． ∴ 实数a 的取值范围是[−1, 0]．【答案】（1）由(x −1)(x −2)<0，可得1<x <2，故原不等式的解集为{x|1<x <2}．（2）由|2x −1|<3，可得−3<2x −1<3，求得−1<x <2，故原不等式的解集为(−1, 2)．(Ⅲ)由x 2−(3a +1)x +2a(a +1)>0，可得[x −(2a)][x −(a +1)]>0， 当2a >a +1时，即a >1时，不等式的解集为(−∞, a +1)∪(2a, +∞)；当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当2a <a +1时，即a <1时，不等式的解集为(−∞, 2a)∪(a +1, +∞)．【解答】（1）由(x −1)(x −2)<0，可得1<x <2，故原不等式的解集为{x|1<x <2}．（2）由|2x −1|<3，可得−3<2x −1<3，求得−1<x <2，故原不等式的解集为(−1, 2)．(Ⅲ)由x 2−(3a +1)x +2a(a +1)>0，可得[x −(2a)][x −(a +1)]>0， 当2a >a +1时，即a >1时，不等式的解集为(−∞, a +1)∪(2a, +∞)；当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当2a <a +1时，即a <1时，不等式的解集为(−∞, 2a)∪(a +1, +∞)．【答案】（1）f[f(1)]=f(23)=23+123+2=58；（2）由f(x)>1得，x+1x+2>1，化简得，1x+2<0，∴ x <−2，∴ x 的取值范围为(−∞, −2)；(Ⅲ)f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f(x)在(−2, +∞)上是增函数，证明如下：设x 1>x 2>−2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)，∵ x 1>x 2>−2，∴ x 1−x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，∴ x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(−2, +∞)上是增函数．【解答】（1）f[f(1)]=f(23)=23+123+2=58；（2）由f(x)>1得，x+1x+2>1，化简得，1x+2<0，∴ x <−2，∴ x 的取值范围为(−∞, −2)；(Ⅲ)f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f(x)在(−2, +∞)上是增函数，证明如下：设x 1>x 2>−2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)，∵ x 1>x 2>−2，∴ x 1−x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，∴ x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(−2, +∞)上是增函数．【答案】（1）当a ＝−1时，f(x)＝x 2+2x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)min ＝1；（2）当a =12，f(x)＝x 2−x +1， 因为x ∈[0, 2]，f(x)max ＝3；(Ⅲ)当a <0时，f(x)min ＝1，当0≤a ≤2时，f(x)min ＝1−a 2，当a >2时，f(x)min ＝5−4a ，综上：f(x)={1a <01−a 20≤a ≤25−4aa >2．【解答】（1）当a ＝−1时，f(x)＝x 2+2x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)min ＝1；（2）当a =12，f(x)＝x 2−x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)max ＝3；(Ⅲ)当a <0时，f(x)min ＝1，当0≤a ≤2时，f(x)min ＝1−a 2，当a >2时，f(x)min ＝5−4a ，综上：f(x)={1a <01−a 20≤a ≤25−4aa >2．【答案】（1）①显然，在[0, 1]上满足f(x)＝x ≥0，g(x)＝2x ≥0；②f(1)＝1，g(1)＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝x 1+x 2−[x 1+x 2]＝0，即f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立；∴ f(x)＝x 是“梦幻函数”，g(x)＝2x 不是“梦幻函数”；（2）设x 1，x 2∈[0, 1]，x 1<x 2，则x 2−x 1∈(0, 1],∴ f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1)−f(x 2−x 1+x 1)≤f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]＝−f(x 2−x 1)≤0，∴ f(x 1)≤f(x 2)，∴ f(x)在[0, 1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵ x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立， ∴ 0≥2f(0)，又f(x)≥0，∴ f(0)＝0，∴ 当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，当x ＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1．【解答】（1）①显然，在[0, 1]上满足f(x)＝x ≥0，g(x)＝2x ≥0；②f(1)＝1，g(1)＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝x 1+x 2−[x 1+x 2]＝0，即f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立；∴ f(x)＝x 是“梦幻函数”，g(x)＝2x 不是“梦幻函数”；（2）设x 1，x 2∈[0, 1]，x 1<x 2，则x 2−x 1∈(0, 1],∴ f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1)−f(x 2−x 1+x 1)≤f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]＝−f(x 2−x 1)≤0，∴ f(x 1)≤f(x 2)，∴ f(x)在[0, 1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵ x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立， ∴ 0≥2f(0)，又f(x)≥0，∴ f(0)＝0，∴ 当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，当x ＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1．【答案】函数f(x)＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，可得a −b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2，则f(x)＝x 2+2x +1，由新定义可得g(x)＝x 为函数f(x)的一个承托函数；假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f(x)的一个承托函数，且f(x)为函数y =12x 2+12的一个承托函数． 即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x ＝1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c ＝1，即1−b ＝a +c ，又ax 2+(b −1)x +c ≥0恒成立，可得a >0，且(b −1)2−4ac ≤0，即为(a +c)2−4ac ≤0，即有a ＝c ；又(a −12)x 2+bx +c −12≤0恒成立，试卷第11页，总11页 可得a <12，且b 2−4(a −12)(c −12)≤0， 即有(1−2a)2−4(a −12)2≤0恒成立．故存在常数a ，b ，c ，且0<a ＝c <12，b ＝1−2a ， 可取a ＝c =14，b =12．满足题意．【解答】函数f(x)＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，可得a −b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2，则f(x)＝x 2+2x +1，由新定义可得g(x)＝x 为函数f(x)的一个承托函数；假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f(x)的一个承托函数， 且f(x)为函数y =12x 2+12的一个承托函数． 即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x ＝1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c ＝1，即1−b ＝a +c ，又ax 2+(b −1)x +c ≥0恒成立，可得a >0，且(b −1)2−4ac ≤0， 即为(a +c)2−4ac ≤0，即有a ＝c ；又(a −12)x 2+bx +c −12≤0恒成立，可得a <12，且b 2−4(a −12)(c −12)≤0，即有(1−2a)2−4(a −12)2≤0恒成立． 故存在常数a ，b ，c ，且0<a ＝c <12，b ＝1−2a ，可取a ＝c =14，b =12．满足题意．。

2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题及答案解析版一、单选题1．设集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，若{}2A B ⋂=，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2± C D ．【答案】D【解析】由A ，B ，以及两集合的交集，确定出a 的值即可． 【详解】∵集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，{}2A B ⋂=， ∴a=2或a 2=2，即a=2或当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意； 当时，，2，0}，满足题意， 当a=时，A={，2，0}，满足题意故选：D ． 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【答案】A【解析】【详解】因为121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=22121212121()()222a ab b a a b b +++<+= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--> 11221221()a b a b a b a b +>+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++<+112212a b a b +>，综上可得1122a b a b +最大，故选A.3．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．()1f x x = B ．()lg f x x = C ．()x x f x e e -=- D ．()f x x =【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】 对于A ，()1f x x-=-=- ()f x ，所以为奇函数，不满足题意； 对于B ，()lg f x x =的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C ，()()xx f x e e f x --=-=-，为奇函数，不满足题意；对于D ，()()f x x f x -==，为偶函数，满足题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．已知p :1x m -<,q :28120x x -+<,且q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,5 B ．[]3,5 C ．()(),35,-∞+∞ D ．(](),35,-∞+∞【答案】B【解析】首先求两个命题表示的集合,A B ，由题意可知A B ，然后根据集合的包含关系求m 的取值范围.【详解】:p 111x m x m -<⇒-<-<解得：11m x m -<<+ ，{}11A x m x m ∴=-<<+，2:8120q x x -+< ，解得：26x <<，{}26B x x ∴=<<，q 是p 的必要不充分条件,∴A B∴ 1216m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得35m ≤≤故选：B 【点睛】本题考查解不等式和根据命题的必要不充分条件求参数的取值范围，意在考查基本方法和计算，属于基础题型.5．已知()1f x +=()f x 的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用平移变换即可得到函数()f x 的大致图像. 【详解】 ∵()1f x x +=∴函数()f x 的图象是由()1f x +向右平移一个单位得到， 故选：A 【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题. 6．关于x 的方程()2370x m x m +-+-=的两根都大于3,则m 的取值范围是（ ） A ．((),1251,25,-∞-++∞B ．7,152⎛-- ⎝C ．()7,125,2⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭ D ．(,125-∞-【答案】B【解析】由根的分布，列不等式求m 的取值范围. 【详解】设方程的两个实数根分别是12,x x ，且13x >，23x >设()()237f x x m x m =+-+-()033230m f ∆≥⎧⎪-⎪∴->⎨⎪>⎪⎩，即()()()2347033293370m m m m m ⎧--⨯-≥⎪-⎪->⎨⎪+-+->⎪⎩，解得：11372m m m m ⎧⎪≥+≤-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩解得：712m -<≤-故选：B 【点睛】本题考查根据根的分布求参数m 的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型.7．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ） A ．{}1A =B ．{}0A =C ．{}0,1A =D ．{}0A =或{}1【答案】C【解析】根据题意求当方程2210ax x ++=有唯一实数解时，求a 的取值范围，分0a =和0a ≠两种情况求a 的取值. 【详解】由题意可知集合A 的元素表示能使方程2210ax x ++=有唯一实数解的a 的值， 当0a =时，210x +=，解得12x =-，成立； 当0a ≠时，方程2210ax x ++=有唯一实数解，则440a ∆=-=， 解得：1a =，{}0,1∴=A .故选：C 【点睛】本题考查根据方程的实数根的个数求参数的取值，属于简单题型.8．已知集合{},M m m a a b Q==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1+;A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】①②③都可以写成m a =+验证,a b 是否是有理数，④.【详解】 ①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，2122==-，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++，,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 9．下列不等式正确的是（ ）A ．223x x+≥．224a b ab +≥ C 2a b+ D ．44a a+≥ 【答案】A【解析】根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案. 【详解】A.2230,0x x >>，223x x +≥=且仅当223x x =时，即2x =B.当1,1a b ==时，224a b ab +<，故不成立；C.当0,0a b >>2a b+≤，故不成立； D.当0a <时，44a a +≥不成立，只有当0a >时，44a a+≥成立，故不成立. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型.10．“3x>”是“2560-+>”的（）x xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解不等式2560-+>，再根据集合的包含关x x系判断充分必要条件.【详解】2560-+>x x解得：3x>或2x<“3x>或2x>”⇒“3x<”，但反过来不成立，∴“3x>”是“2560-+>”的充分不必要条件.x x故选：A【点睛】本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.二、填空题11．已知集合{|1}=>，若A BB x x aA x x=>，{|}⊆，则实数a的取值范围是______.【答案】(,1]-∞【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B⊆可得实数a的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 12．关于x的方程()()()221k x x x x x -=--的解集中只含有一个元素,k =______. 【答案】-1，3，0【解析】由方程可知1x ≠且0x ≠，得到220x x k +-=，解得1k =-，再分别将1x =和0x =代入220x x k +-=，得到k ，验证是否解集中只有一个元素，得到k . 【详解】()22211x k x k xx x x x x --==---1x ≠ ，化简为2k xx x-=， 0x ≠，变形为22220x k x x x k =-⇒+-= ①440k ∆=+=，解得：1k =- ，验证当1k =-时，2210x x ++= ， 解得：1x =- 成立.∴1k =-.当1x =时，代入①21210k +⨯-=，解得：3k =代入原式，2321x x x x x -=--，1x ≠且0x ≠ ，化简得：2230x x +-= ， 解得：1x =或3x =- ，1x ≠，∴方程只有一个解，成立，3k ∴= ，当0x =时，代入①20200k +⨯-=，解得0k = ，带代原式221x x x x x -=--，1x ≠且0x ≠ ，解得：2x =- ，成立，0k ∴=故答案为：-1,3,0 【点睛】本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将1x =和0x =代入220x x k +-=，验证k 的值. 13．已知()f x ＝21,1{1,1x x x x -≤-+>，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时()1f x =-. 【详解】()()21110f -=--=，故()()101f f f ⎡⎤-==-⎣⎦，因为()1f x =-，故2111x x ≤⎧⎨-=-⎩或者111x x >⎧⎨-+=-⎩，解得0x =或2x =.综上，填1-，0或2. 【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值. 14．若关于x的不等式220ax bx ++>的解集是11{}23x x -<<，则a b +=_________. 【答案】－14【解析】由不等式220ax bx ++>的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以对应方程220ax bx ++=的实数根为12-和13，且0a <，由根与系数的关系得112311223b aa⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,2a b =-=-，14a b ∴+=-，故答案为14-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.15．关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数. 【答案】①②③【解析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由24110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()f x =的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x（﹣1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x ）＝[0，1）． 可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x ）＝﹣||x x的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ）＝||x x＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f（x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题． 16．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人. 【答案】【解析】【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).【考点】元素与集合的关系. 17．已知函数3,? 0(){1,? 0x a x f x x x +>=+≤在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[1,)+∞【解析】因为()f x 是分段函数且为增函数，故3010a +≤+，故可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 为R 上的增函数，故3010a +≤+，所以1a ≥，填[)1,+∞． 【点睛】如果一个分段函数在R 为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视． 18．设5x >,P =,Q =-则P 与Q 的大小关系是P ______Q . 【答案】>【解析】计算P Q -=-，利用分子有理化化简并判断,P Q 的大小关系. 【详解】P Q -=-=-=2=- ，5x > ，>>，0>> ， 0∴<<，∴<，∴ 20->. 故答案为：> 【点睛】本题考查比较两个数的大小，意在考查化简，变形能力，属于计算题型.19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________． 【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-． 若2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b =，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．已知a ,b 是正实数,且2a b +=,则41a b +的最小值为______.【答案】92【解析】 ()411412a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】()4114114522b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭40,0,4b a a b a b >>∴+≥=， 4192a b ∴+≥ ， 当4b aa b = ，即2a b =时等号成立.故答案为：92【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的变形，属于基础题型.三、解答题21．已知集合2{|0}A x x x =-<，2{|20}B x x x m =--<. （1）求A R；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】(1) (,0][1,)-∞⋃+∞ (2) (,1]-∞-【解析】（1）求出不等式20x x -<的解后可得R C A ． （2）因为A B φ⋂=，故220x x m --≥对任意的01x <<恒成立，参变分离后可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）由20x x -<得01x <<，故(0,1)A =，所以(,0][1,)R C A =-∞⋃+∞． （2）由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立， 即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立．22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-，所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． 【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．22．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【答案】（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <.∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出. 23．已知a ,b 为正实数,.≥【解析】2，根据条件判断其正负，得到大小关系.【详解】+=+()a b==-()a b-=2=0,0a b>>，>>，20≥，∴≥，≥【点睛】本题考查比较两个数的大小，意在考查计算化简，计算能力，属于基础题型.24．已知一元二次不等式20ax bx c++>的解集为{}x xαβ<<,且0αβ<<,求不等式20cx bx a++<的解集.【答案】1{x x α>或1}x β<【解析】首先根据条件可知0a <，b a αβ+=-，caαβ=，0c <，并知20cxbx a ++=的两个实数根分别是1α和1β，再比较根的大小，求不等式的解集. 【详解】因为不等式20ax bx c ++>(0a ≠)的解为x αβ<<,其中0βα>>,所以有ba αβ+=-,ca αβ=且0a <,0c <.设方程20cx bx a ++=的两根为m ,n ,且m n <.则11b m nc αβαβαβ++=-==+,111a mn c αβαβ===⋅所以可得1n α=,1m β=且11αβ>又因为0c <,∴不等式20cx bx a ++<的解集1{x x α>或1}x β<.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，意在考查一元二次方程和不等式的关系，以及解集形式和系数的关系，属于基础题型.25．(1)已知0x >,求函数254x x y x++=的最小值; (2)已知103x <<,求函数()13y x x =-的最大值. 【答案】（1）9（2）112【解析】（1）函数变形为25445x x y x x x++==++，再利用基本不等式求最值；（2）法一，2113612y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数求最大值，法二：函数变形为()()1133133y x x x x =-=⨯-，利用基本不等式求最值. 【详解】 (1)25445x x y x x x++==++，0x，44x x ∴+≥= ，等号成立的条件是4x x=，即2x =时，459x x∴++≥， 254x x y x++∴=的最小值是9.(2)法一：2113612y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当16x =时，函数取得最大值112， 法二：()()()23131111331333212x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤≤=⎪⎝⎭，当且仅当313x x =-，即16x =时等号成立， ∴函数的最大值是112. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型. 26．已知0,0,21a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 【答案】3+【解析】变换得到2121a b a ba b a b++++=化简利用均值不等式计算得到答案. 【详解】223112a b a b a b b a a b a b +++=+++=3≥+3=+ 当2b a a b =即1,a b ==时等号成立.min113a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，其中变换得到2121a b a b a b a b++++=是解题的关键. 27．(1)已知54x <,求14245y x x =-+-的最大值;(2)已知102x <<,求()1122y x x =-的最大值. 【答案】（1）1（2）116【解析】（1）函数变形为114533544554y x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪--⎝⎭，再利用基本不等式求最值；（2）函数变形为()()111221224y x x x x =-=⨯-，利用基本不等式求最大值，法二，利用二次函数求最大值. 【详解】(1)114533544554y x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪--⎝⎭，54x <，540x ∴-> 154254x x∴-+≥- ，当15454x x -=-时，等号成立，∴114533543214554y x x x x ⎛⎫=-++=--+≤-= ⎪--⎝⎭， ∴ 14245y x x =-+-的最大值是1.(2)法一：()()()2212111112212244216x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭, 当212x x =-时，等号成立， 即14x =时，函数()1122y x x =-的最大值是116. 法二:222111111122161641616y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当14x =时，函数取得最大值116. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型.28．(1)已知0x >,0y >,且满足811x y +=.求2x y +的最小值. (2)若把(1)中的“811x y +=”改为“21x y +=”,其他条件不变,求81x y+的最小值. 【答案】（1）18（2）18【解析】（1）()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开变形，利用基本不等求最小值； （2）()81812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开变形，利用基本不等式求最小值. 【详解】(1)()811616228210102418y xy x x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 当16y xx y =时，即4x y = ，等号成立，2x y ∴+的最小值是18.(2)()8181161628210102418y xy x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 当16y xx y =时，即4x y = ，等号成立，∴81x y +的最小值是18.【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 29．求下列不等式的解集.(1)213422x x -<---;(2)()()22312x x +≥-.(3)52321x x ->+【答案】（1）{11x x -<<-（2）243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（3）152x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 【解析】（1）变形为2250x x +-<，解不等式； （2）变形为231080x x --≤，解不等式；（3）变形为5253002121x x x x -+->⇒<++，等价于()()5210x x ++<解不等式. 【详解】（1）不等式变形为：2250x x +-<方程2250x x +-=的两个实数根是11x =-21x =-，11x ∴-<<-，∴不等式的解集是{11x x -<<-.（2）不等式变形为：231080x x --≤()()4320x x -+≤ ，解得243x -≤≤ ，∴不等式的解集是243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （3）5252633002121x x x x x ----->⇒>++55002121x x x x --+>⇒<++ ，即()()5210x x ++< ， 解得：152x -<<- ，∴不等式的解集是152x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，意在考查计算能力，本题第三问是分式不等式，再求解时，需注意步骤是移项，通分，再转化为一元二次不等式求解. 30．若x ,y 为正实数,且280x y xy +-=,求x y +的最小值. 【答案】18【解析】首先已知条件变形为821x y +=，再化简()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值.【详解】822801x y xy x y+-=⇒+= ()8282828210102418y xy x x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(当82y xx y =时取“=”) 所以x y +的最小值是18. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 31．已知2210ax ax ++≥恒成立. (1)求a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式220x x a a --+<. 【答案】（1）[]0,1（2）详见解析【解析】（1）当0a =时，验证成立，当0a ≠时，只需满足20440a a a >⎧⎨-≤⎩成立； （2）原不等式可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->，对应方程两根为1x a =，21x a =-，在分 102a ≤<，112a <≤，12a =三种情况讨论不等式的解集. 【详解】（1）当0a =时,10≥恒成立，当0a ≠时,要使不等式2210ax ax ++≥对一切x ∈R 恒成立,则20440a a a >⎧⎨-≤⎩,解得01a <≤综上,a 的取值范围是[]0,1(2)原不等式可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->,当102a ≤<时,不等式的解为:x a <,或1x a >-当12a =时,不等式的解为:12x ≠，当112a <≤时,不等式的解为:1x a <-,或x a >综上,当102a ≤<时,不等式的解集为:{x x a <或1}x a >-;当12a =时,不等式的解集为:12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭;当112a <≤时,不等式的解集为:{1x x a <-或}x a >.【点睛】本题考查含参不等式的解法和根据函数恒成立求参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，属于基础题型. 32．已知1x ,2x 是一元二次方程()2620a x ax a -++=的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使11224x x x x -+=+成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由;(2)求使()()1211x x ++为负整数的实数a 的整数值. 【答案】（1）存在，24a = （2）7a =,8,9或12. 【解析】（1）由条件可知1226a x x a -+=-,126ax x a =-，代入方程12124x x x x =++，得到a ，并验证∆；（2）代入根与系数的关系求()()1211x x ++为负整数时，求a . 【详解】（1）方程()2620a x ax a -++=有两个实数根,则判别式()2446240a a a a ==-=≥,得:0a ≥因为二次项系数60a -≠,即6a ≠1226ax x a -+=-,126a x x a =-由11224x x x x -+=+,得:12124x x x x =++，代入得:2466a aa a -=+-- 4242a a a =--，24a =,故当24a =时,有11224x x x x -+=+成立(2)()()121212261111666a a x x x x x x a a a -++=+++=++=----要使上式为负整数,则有61a -=,2,3或6所以7a =,8,9或12. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.。

2019-2020学年北京师范大学第二附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,4}A =，{2,4,5}B =，则A B =（ ） A ．{1,2,5} B ．{2,4} C ．{2,4,5} D ．{1,2,4,5}【答案】D【解析】本题根据集合的并集运算直接计算即可. 【详解】解：因为{1,2,4}A =，{2,4,5}B =， 所以{1,2,4,5}A B = 故选：D 【点睛】本题考查集合的并集运算，是基础题2．函数()13f x x =-的定义域是（ ） A ．[)2,+∞ B ．()3,+∞ C ．[)()2,33,+∞D ．()()2,33,+∞【答案】C【解析】先根据函数的解析式建立不等式组，再解不等式组求定义域即可. 【详解】解：因为函数的解析式：()13f x x =+- 所以2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x x ≥⎧⎨≠⎩故函数的定义域为：[)()2,33,+∞故选：C 【点睛】本题考查求具体函数的定义域，是基础题. 3．下列函数中是偶函数的是（ ）A ．()40y x x =< B ．1y x =+C ．221y x =+D ．31y x =-【答案】C【解析】A 选项因为定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，判断A 选项错误；B 选项因为函数图象关于1x =-对称，不关于y 轴对称，判断B 选项错误；C 选项因为函数定义域为R 关于原点对称，且2222()()()11f x f x x x -===-++，判断C 选项正确；D 选项因为()3()131()f x x x f x -=--=--≠，所以函数不是偶函数，判断D选项错误。

【详解】解：A 选项：因为0x <，所以定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A 选项错误；B 选项：因为1y x =+，所以函数图象关于1x =-对称，不关于y 轴对称，所以函数是非奇非偶函数，故B 选项错误；C 选项：因为221y x =+，所以函数定义域为R 关于原点对称，且2222()()()11f x f x x x -===-++，所以函数是偶函数，故C 选项正确；D 选项：因为31y x =-，所以()3()131()f x x x f x -=--=--≠，所以函数不是偶函数，故D 选项错误。

2019-2020学年北京师范大学附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2,3,4 B ．{}0,4C ．{}1,2D ．{}3【答案】C【解析】因为{}1,2A B ⋂=，所以选C.【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.2．已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A ．-a b B ．abC ．abD ．+a b【答案】B【解析】由换底公式可得：32log 23ln aln b==. 故选B.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 （ ） A ．()ln ||f x x = B ．()2x f x -= C ．3()f x x = D ．2()f x x =-【答案】A【解析】对于A,()()ln f x x f x -==,() ln f x x =是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，符合题意；对于B, 对于()2xf x -=既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, ()3f x x =是奇函数，不合题意；对于D,()2f x x =-在区间()0,+∞上单调递减，不合题意，只有()ln f x x =合题意，故选A.4．设函数()1,0,x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩，则(f f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）.A ．0B ．1C ．1-D ．不存在【答案】B【解析】推导出f （）=0，从而(f f ⎡⎤⎣⎦=f （0），由此能求出结果．【详解】 ∵函数()1,0,x QD x x Q ∈⎧=⎨∉⎩，∴f （=0，∴(f f ⎡⎤⎣⎦=f （0）=1．故选：B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

北师大贵阳附中2019—2020学年度第一学期高三理科数学试题高三数学（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设命题32log 02+<>∀x x x P ，： ，则P ⌝为（ ） A ．32log 02+≥>∃x x x ，B ．32log 02+≥>∀x x x ，C ．32log 02+≥≤∃x x x ，D ．32log 02+≥≤∀x x x ， 3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示， 下列说法中错误的是（ ）． A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1 B ．结余最高的月份是7月份 C ．前6个月的平均收入为40万元D ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 4．如果的终边过点，那么（ ）A ．B ．C ．D ．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．96里 B ．192里 C ．24里D ．48里6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．B ．0CD7．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，若E 是DC 的中点，则BE =（ ）A ．12a b -B ．32a b -C ．32a b -+D ．12a b -+ 8．随机变量 服从正态分布，则 的最小值为（ ） A.B.C.D.9．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．1510．在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -=C ．221169x y -=D ．22134x y -=12．已知偶函数()()f x x ∈R ，当(2,0]x ∈-时，()(2)f x x x =-+，当[2,)x ∈+∞时，()(2)()()f x x a x a =--∈R ．关于偶函数()f x 的图象G 和直线:()l y m m =∈R 的三个命题如下：①当4a =时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；②若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则2a ≤；③(1,)m ∀∈+∞，(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等． 其中正确命题的序号是（ ）． A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．()π204sin cos n x x dx =+⎰，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______. 14．已知实数x 、y 满足11y y x ≤⎧⎨≥-⎩，则2x y +的最大值是__________． 15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共__________（用数字作答）种不同情况．16．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆 的实线部分上运动，且总是平行于 轴，则的周长的取值范围__________．三、解答题（共70分）17．设数列{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为n S ，且13=3=32S a ,. （1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在常数k ，使得}{k S n +是等比数列？并说明理由.18．某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励.顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规则取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种取球规则的方案：方案一：一次性随机取出2个球； 方案二：依次有放回取出2个球.（Ⅰ）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；（Ⅱ）为使得尽可能多的人来参与活动，作为公司的负责人，你会选择哪种方案？请说明理由.19．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，CD AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，4AB =，2BC CD EA ED ====．（Ⅰ）证明：BD AE ⊥．（Ⅱ）求平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）的余弦值．20．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为21F F ,，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足0=⋅21BF BF .（1）若点)0,2(A ，求椭圆的标准方程;（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

2019学年贵州省贵阳市高一上期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，，则满足条件的集合的个数为（）A ． 1______________________________B ． 2___________________________________C ． 3___________________________________D ． 42. 下列各角中与角终边相同的角是（）A ．______________B ．____________________________C ．________________________ D ．3. 下列函数中表示同一函数的是（）A．与B ．与C．与D ．与4. 已知函数，则的值是（）A ． 8____________________B ． 7____________________________C ． 6_________________________________D ． 55. 函数的零点所在的大致区间是（）A ．________________________B ．____________________C ．______________________________ D ．6. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是（）A ．______________B ．______________C ．______________D ．7. 已知，则三者的大小关系是（）A ．____________________________B ．C ．________________________D ．8. 已知函数是函数的反函数，则函数图像恒过点的坐标为（）A ．______________B ．____________________C ．________________________ D ．9. 若，则函数的图象大致是（）10. 已知函数为上的奇函数，则的值为（）A ．______________B ．______________________________C ．___________________________________ D ．11. 已知是上的偶函数，且在是减函数，若，则不等式的解集是（）A． ______________ B．C ． ________________________D ．12. 已知函数若互不相等，且则的取值范围是（）A ．_________B ．______________C ．____________________ D ．二、填空题13. 已知幂函数的图像过点，则_________________________________ ．14. 设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是______________________________ ．15. 若，则_________________________________ ．16. 已知函数，（是上的减函数，则的取值范围是______________ ．三、解答题17. 已知全集，函数的定义域为，．（1）求集合；（2）求．18. 计算下列各值：（1）；（ 2 ）．19. 已知二次函数满足：① ，② 关于的方程有两个相等的实数根．（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值．20. 已知函数．（1）在给出的坐标系中作出的图象（若有渐近线，把渐近线画成虚线）；（2）若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围．21. 已知函数．（1）求使的的取值范围；（2）计算的值．22. 函数是定义在上的奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）求满足的的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

北师大贵阳附中2019—2020学年第一学期期中考试高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．测试范围：人教必修I 全册。

第I 卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{|}A x y x Z ==∈，则集合A 的真子集的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列四个函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A ．()3f x x =-+ B ．()|1|f x x =--C ．2()(1)f x x =+D ．1()f x x=3．已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则(2)f 的值为（ ）A ．13 B ．23C ．3D ．324．已知函数()2x y f =的定义城为[1,1]-，则函数()2log y f x =的定义城为（ ）A ．[1,1]-B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,2]D ．4]5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则(9)f =（ ）A ．2-B ．2C ．23-D ．236．函数()212()log 295f x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,5)-∞-D ．(0,)+∞7．函数()ln ||f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知幂函数12()f x x -=，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围为（ ）A ．(3,5)-B ．(3,5)-C ．(3,5)--D ．(3,5)9．三个数0.76，60.7，6log 0.7的大小顺序是（ ） A ．660.7log 0.70.76<<B ．0.7660.76log 0.7<<C ．60.76log 0.760.7<<D ．60.670.7log 0.76<<10．已知(31)4,1()log ,1xa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．1,17⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)第II 卷二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．集合{|1}x x ≤用区间表示为 ．12．设f ：2x x →是集合A 到集合B 的映射，若(1,3)B =，则A B ⋂= ． 13．函数()log (2)e f x x =-的图象必过定点 ．14．已知函数1)4f x =-，则()f x 的解析式为 ． 15．已知函数|1|,0()ln 10x x f x x x +≤⎧=⎨+<>⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a 、b 、c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分8分）计算下列各式：（1）若21xa=，求33xx x xa a a a --++的值； （2）22lg5lg8lg5lg 203++⨯． 17．（本小题满分8分）已知全集U R =，集合{|32}A x x =-<<，2711x B xx ⎧-⎫=≤⎨⎬->⎩⎭，{|121}C x a x a =-≤≤+．（1）求()U A C B ⋂；（2）若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分8分）近年来，雾薶日趋严重，人类的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本＝固定成本＋生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016()224,16x x x Q x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩．假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入－总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多?19．（本小题满分8分）已知函数21()21x x f x -=+．（1）探究()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）求满足()2(35)21f x f x x ->-+的x 的范围． 20．（本小题满分8分）已知函数()91()log 912x f x x =+-()x R ∈． （1）若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围；（2）设94()log 33xh x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．。

2019-2020学年北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 3．下列函数中，值域为(0,)+∞的是( )A ．y =B ．11y x =- C ．y = D ．y =4．已知3()4f x ax bx =+-，若f （2）6=，则(2)(f -= ) A ．14-B ．14C ．6-D ．105．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“260x x --<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数21()2f x x x=--在区间(1,3)内的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．37．已知命题“x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为 ．10．已知α，β是方程2270x x +-=的两个根，则222ααββ-+= ．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．12．已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩…，若()10f x =，则x = ．13．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，求实数k = ．14．已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是 ．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．已知集合{|44}A x a x a =-+<<+，1{|0}5x B x x +=-…． （1）若1a =，求A B ；（2）若AB R =，求实数a 的取值范围．16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x …时有4()4xf x x =+ （1）判断函数()f x 在[0，)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）求函数()f x 的解析式（写成分段函数的形式）．17．已知关于x 的不等式(1)(2)2ax x -->的解集为A ，且3A ∉． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）18．函数y 的定义域是 ． 19．已知函数21()1f x x =+，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）111()()()234f f f +++= ． 20．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．21．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||()f x x a a a R =--∈．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是 ． 五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．已知关于x 的一元二次方程2420x x k -+=． （1）若方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）如果k 是满足（1）的最大整数，且方程2420x x k -+=的根是一元二次方程22310x mx m -+-=的一个根，求m 的值及这个方程的另一个根．24．已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a R ∈． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0，1]上的最小值．25．对于区间[a ，]()b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②函数()y f x =，[x a ∈，]b 的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间；（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-剟?， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 【解答】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =- 11b =-，∴11a b>，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确． 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确． 故选：D ．3．下列函数中，值域为(0,)+∞的是( )A ．y =B ．11y x =- C ．y = D ．y =【解答】解：A ．0y =，故A 不符合； 1.(,0)(0,)1B y x =∈-∞+∞-，故B 不符合；.1C y =，故C 不符合；.D y ={|1}x x >，当1x >时，101x >-，∴0y =>，故D 符合． 故选：D ．4．已知3()4f x ax bx =+-，若f （2）6=，则(2)(f -= )A ．14-B ．14C ．6-D ．10【解答】解：3()4f x ax bx =+-33()()4()()48f x f x ax bx a x b x ∴+-=+-+-+⨯--=-()()8f x f x ∴+-=- f （2）6= (2)14f ∴-=-故选：A ．5．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“260x x --<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|2|1x -<得121x -<-<，得13x << 由260x x --<得23x -<<，即“|2|1x -<”是“260x x --<”的充分不必要条件， 故选：A ． 6．函数21()2f x x x=--在区间(1,3)内的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：21()2f x x x'=+， 当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x ∴在(1,3)上单调递增， 又f （1）20=-<，f （3）2003=>， ()f x ∴在(1,3)上有1个零点．故选：B ．7．已知命题“x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-【解答】解： “x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…”的否定为“x R ∀∈，212(1)02x a x +-+>““x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…”为假命题∴ “x R ∀∈，212(1)02x a x +-+> “为真命题 即212(1)02x a x +-+>恒成立 21(1)4202a ∴--⨯⨯< 解得13a -<< 故选：B ．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3【解答】解：因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0x ∈，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]，(1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]；(2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]， 当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则73m …． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为 24 ．【解答】解：26x y -=，34x y -=，2256(2)(3)x xy y x y x y ∴-+=--6424=⨯=．故答案为：24．10．已知α，β是方程2270x x +-=的两个根，则222ααββ-+= 32 ． 【解答】解：α，β是方程2270x x +-=的两个根， 2αβ∴+=-，7αβ=-，则22222()4(2)4(7)32ααββαβαβ-+=+-=--⨯-=． 故答案为：32．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ． 【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6006442240x x =⨯+⨯=…（万元）． 当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30．12．已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩…，若()10f x =，则x = 3或5- ．【解答】解：令2110x +=， 解得，3x =或3x =-（舍去）； 令210x -=，解得，5x =-； 故答案为：3或5-．13．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，求实数k = 4 ． 【解答】解：由37x y -=，231x y +=得，两直线的交点坐标为(2,1)-， 二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解， ∴点(2,1)-在直线9y kx =-上，129k ∴-=-，4k ∴=．故答案为：4．14．已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是{|14}x x << ．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．【解答】解：当2λ=时函数24,2()43,2x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩…，显然2x …时，不等式40x -<的解集：{|24}x x <…；2x <时，不等式()0f x <化为：2430x x -+<，解得12x <<，综上，不等式的解集为：{|14}x x <<． 函数()f x 恰有2个零点，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…的草图如图：函数()f x 恰有2个零点，则13λ<…或4λ>． 故答案为：{|14}x x <<；(1，3](4,)+∞．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．已知集合{|44}A x a x a =-+<<+，1{|0}5x B x x +=-…． （1）若1a =，求A B ；（2）若AB R =，求实数a 的取值范围．【解答】解：{|1B x x =-…或5}x >， （1）若1a =，则{|35}A x x =-<<， {|31}AB x x ∴=-<-…；（2）A B R =，∴4145a a -+-⎧⎨+>⎩…， 13a ∴<…，∴实数a 的取值范围为(1，3]．16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x …时有4()4xf x x =+ （1）判断函数()f x 在[0，)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）求函数()f x 的解析式（写成分段函数的形式）． 【解答】解：（1）函数4()4xf x x =+在[0，)+∞上单调递增． 证明：设120x x >…，则12121244()()44x x f x f x x x -=-++， 12121216()4()16x x x x x x -=+++，又120x x >…，所以120x x ->，120x x …，120x x +>， 所以12121216()04()16x x x x x x ->+++．则12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数4()4xf x x =+在[0，)+∞上单调递增； （2）由于当0x …时有4()4xf x x =+， 而当0x <时，0x ->， 则44()()44x x f x f x x x --===-+-， 即4()(0)4xf x x x =<-． 则4(0)4()4(0)4xx x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…．17．已知关于x 的不等式(1)(2)2ax x -->的解集为A ，且3A ∉． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ． 【解答】解：()3I A ∉，∴当3x =时，有(1)(2)2ax x --…，即312a -…； 解得1a …，即a 的取值范围是{|1}a a …；⋯ ()(1)(2)2II ax x -->， (1)(2)20ax x ∴--->，2(21)0ax a x ∴-+>，⋯当0a =时，集合{|0}A x x =<；⋯当12a <-时，集合1|02A x x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭；⋯当12a =-时，原不等式的解集A 为空集；⋯（7分）当102a -<<时，集合1|20A x x a ⎧⎫=+<<⎨⎬⎩⎭；⋯当01a <…时，集合1|02A x x x a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭或．⋯四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）18．函数y 的定义域是 [1-，3] ．【解答】解：要使函数y =的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{1030x x +-厖 即∴13x x <-⎧⎨⎩…解得13x ∴-剟∴y =定义域为[1-，3]故答案为：[1-，3] 19．已知函数21()1f x x =+，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）111()()()234f f f +++= 2． 【解答】解：21()1f x x =+，221()1x f x x ∴=+，22211()()111x f x f x x x ∴+=+=++， f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）111()()()234f f f +++f =（1）f +（2）1()2f f ++（3）1()3f f ++（4）1()4f + 132=， 故答案为：132． 20．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，==+；由基本不等式有：64xy xy=； 当且仅当=时， 即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：21．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．【解答】解：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)， 即有顾客需要支付14010130-=（元)；②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得()80%70%m x m -⨯⨯…， 即有8m x …恒成立， 由题意可得120m …， 可得120158x =…， 则x 的最大值为15元．故答案为：130，1522．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||()f x x a a a R =--∈．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是 (,5)-∞ ． 【解答】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||()f x x a a a R =--∈，得||,0()0,0||,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪--+<⎩，(20)()f x f x +>，()f x 为R 上的“20型增函数”， (20)()f x f x ∴+>，当0x …时，|20|||x a a x a a +-->--， 式子|20|||x a x a +->-的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点20a -的距离， 又0x >，200a a ∴+-<，解得10a <；当020x x <<+时，|20|||x a a x a a +-->-++，即|20|||2x a x a a +-++>恒成立， ∴根据几何意义得|220|2a a ->，即5a <；当200x x <+<时，|20|||x a a x a a -+++>-++，即|20|||x a x a ++<+恒成立， 200a a ∴--->，即10a <．∴实数a 的取值范围是5a <．故答案为：(,5)-∞五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．已知关于x 的一元二次方程2420x x k -+=．（1）若方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）如果k 是满足（1）的最大整数，且方程2420x x k -+=的根是一元二次方程22310x mx m -+-=的一个根，求m 的值及这个方程的另一个根．【解答】解：（1）由题意△0…， 1680k ∴-…，2k ∴…．（2）由题意2k =，方程2420x x k -+=的根，122x x ==，∴方程22310x mx m -+-=的一个根为2，44310m m ∴-+-=，3m ∴=，方程为2680x x -+=，2x ∴=或4，∴方程22310x mx m -+-=的另一个根为4．24．已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0，1]上的最小值．【解答】（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=． 由212a -=，得0a =． 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)f f =（2）成立，所以20a -=，得0a =．（Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=． ①当202a -…，即2a …时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为(0)2f a =-．②当2012a -<<，即02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a -上单调递增， 所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为222()()22a a f -+=-．③当212a -…，即0a …时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为f （1）(1)a =-+．25．对于区间[a ，]()b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②函数()y f x =，[x a ∈，]b 的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间；（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为函数2y x =的值域是[0，)+∞，且2y x =在[a ，]b 的值域是[a ，]b ，所以[a ，][0b ⊆，)+∞，所以0a …，从而函数2y x =在区间[a ，]b 上单调递增， 故有22.a ab b ⎧=⎨=⎩解得0,10, 1.a a b b ==⎧⎨==⎩或或 又a b <，所以01.a b =⎧⎨=⎩所以函数2y x =的“保值”区间为[0，1]．⋯ （2）若函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，则有：①若0a b <…，此时函数2y x m =+在区间[a ，]b 上单调递减，所以22.a mb b m a ⎧+=⎨+=⎩消去m 得22a b b a -=-，整理得()(1)0a b a b -++=． 因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--．又01b b b⎧⎨--<⎩…所以102b -<…． 因为2221311()(0)242m b a b b b b =-+=---=-+--<…，所以314m -<-…．⋯ ②若0b a >…，此时函数2y x m =+在区间[a ，]b 上单调递增， 所以22.a m ab m b ⎧+=⎨+=⎩消去m 得22a b a b -=-，整理得()(1)0a b a b -+-=． 因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-．又01a a a⎧⎨<-⎩…所以102a <…．因为22111()(0)242m a a a a =-+=--+<…，所以104m <…． 因为0m ≠，所以104m <<． 综合 ①、②得，函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是31[1,)(0,)44--．。

2019-2020学年贵州省北京师范大学贵阳附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|}A x y x ==∈Z ，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题可得,(1)(2)0x x --≥,结合Z x ∈可求出集合A ,进而可求出集合A 的真子集的个数. 【详解】由题意,(1)(2)0x x --≥,解得12x ≤≤,又因为Z x ∈,所以1x =或2x =, 故{1,2}A =,则集合A 的真子集的个数为2213-=. 故选:C. 【点睛】集合A 有n 个元素,其子集有2n 个,真子集有21n -个.2．下列四个函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的函数是 （ ） A ．()3f x x =-+ B ．C ．()1f x x =--D ．1()f x x=【答案】B 【解析】【详解】分别画出各个函数的图象,由单调函数图象特征可知,选项B 正确. 故选B.A ． B. C. D.本题主要考查函数的单调性的判断和证明,增函数的图象特征,属于基础题 3．已知11()1f xx =+，则(2)f 的值为（ ） A ．13B ．23C ．3D ．32【答案】B【解析】令12x =，则12x =，所以12(2)1312f ==+，故选B. 4．已知函数(2)x y f =的定义域为[1,1]-，则函数2(log )y f x =的定义域为（ ） A ．[1,1]- B ．1[,2]2C．4]D ．[1,2]【答案】C【解析】根据(2)xy f =的定义域求出()y f x =的定义域，再根据()y f x =的定义域求出2(log )y f x =的定义域． 【详解】 解：函数(2)xy f =的定义域为[1,1]-，即11x -≤≤，∴1222x ≤≤，即()y f x =的定义域为1[,2]2， 21log 22x ∴≤≤4x ≤≤， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，是基础题．5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()9f =（ ）A ．2-B ．2C ．23-D ．23【答案】D【解析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.6．函数()212()log 295f x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭B ．(,5)-∞-C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】先求出()212()log 295f x x x =+-的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可. 【详解】令22950x x +->,得f(x)的定义域为1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭,根据复合函数的单调性规律,即求函数2295t x x =+-在1(,5),2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭上的减区间,根据二次函数的图象可知(,5)-∞-为函数2295t x x =+-的减区间. 故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型. 7．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵函数ln f x x x =（） ，可得()()f x f x -=- ， ()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当0x >时，()'ln 1f x x =+ ，令()'0f x > 得：1x e>，得出函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，排除B ，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．8．已知幂函数12()f x x -=，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围为（ ） A ．(3,5)- B ．(3,5)- C ．(3,5)-- D ．(3,5)【答案】D【解析】先判断函数()f x 的单调性,然后利用单调性可得到关于a 的不等式,求解即可. 【详解】幂函数12()f x x -=的定义域为()0,∞+,且()f x 是定义域上的减函数,因为(1)(102)f a f a +<-,所以1010201102a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩,解得35a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.9．三个数0.760.76,0.7,log 6的大小顺序是（ ） A ．60.70.70.76log 6<<B ．60.70.70.7log 66<<C ．0.760.7log 660.7<<D ．60.70.7log 60.76<<【答案】D【解析】由指数函数和对数函数的图象与性质得0.760.761,00.71,log 60><<<，即可求解． 【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：0.760.761,00.71,log 60><<<，所以60.70.7log 60.76<<，故选D ．【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．已知(31)4(1)()log (1)aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是()-∞+∞，上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0)1，B ．1(0)3， C ．11[)73， D ．1(1)7，【答案】C【解析】利用分段函数在R 上为递减函数,列式解不等式组可得. 【详解】因为(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是()-∞+∞，上的减函数, 所以31001314log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩,即130117a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎩,解得1173a ≤<, 故选:C. 【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.二、填空题11．集合{x|x ≤1}用区间表示为 ． 【答案】(]1,∞-【解析】试题分析：集合{x|x ＜1}表示小于等于1的实数，用区间表示为(]1,∞- 【考点】集合的表示法12．设f ：2x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,3B =，则A B =_________．【答案】∅或{}1【解析】结合映射的概念,先求出集合A 中可能有的元素,然后与集合B 取交集即可. 【详解】由题意得,21x =或23x =,解得1x =±或x =若1A ∈,则{}1A B ⋂=,若1A ∉,则A B =∅.即AB =∅或{}1.故答案为:∅或{}1. 【点睛】本题考查了映射概念的应用,考查了集合的交集的运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.13．函数f (x )＝log a (x －2)必过定点________． 【答案】(3，0)【解析】利用函数图像的变换分析得解. 【详解】由题意得，函数y ＝log a x 恒过点(1，0)，函数y ＝log a x 向右平移2个单位，可得y ＝log a (x －2)的图象， 所以函数y ＝log a (x －2)图象必经过定点(3，0)． 故答案为：(3，0) 【点睛】本题主要考查对数函数图像的定点问题和图像的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14．已知函数1)4f x =-，则()f x 的解析式为_________. 【答案】2()23(1)f x x x x =--≥ 【解析】利用换元法求解析式即可 【详解】令11t =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 15．已知函数1,0,()ln 1.0.x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解a .b .c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是__________.【答案】22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得m 的取值范围，于是再解出c 的取值范围可得最后结果. 【详解】作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是01m <≤，而2a b +=-，0ln 11c <+≤，解得11c e <≤，故222c e-≤-<-，所以()a b c +的取值范围是22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，对学生的数形结合思想要求较高.三、解答题 16．计算下列各式：（1）若21xa =，求33x xx xa a a a--++的值； （2）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⨯+．【答案】（1）1；（2）3 【解析】（1）先求出2x a -,再结合()()33221xx x x x x a a a a a a ---+=+-+,代入原式可求出答案;（2）结合对数的运算性质,化简即可. 【详解】（1）因为21x a =,所以21xa-==, 又()()33221xx x x x x aa a a a a ---+=+-+,则332211111x x x x x xa a a a a a----=+-==+++. （2）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⨯+()()222lg53lg 2lg51lg 2lg 23=+⨯+⨯++()2lg52lg2lg5lg2lg5lg2=++++2lg10lg5lg 2lg10=++⋅2lg5lg 22lg103=++=+=.【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了有理数的指数幂的化简求值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.17．已知全集U =R ，集合{|32}A x x =-<<，2711x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{|121}C x a x a =-≤≤+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若C A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|31}x x -<≤；（2）2a <-或522a -<≤【解析】（1）分别求出集合B 与U B ð,然后将U B ð和集合A 取交集即可; （2）先求出A B ,再由C A B ⊆⋃,可分C =∅和C ≠∅两种情况讨论,可求出a 的取值范围. 【详解】 （1）由题意,()()610276101110x x x x x x x ⎧--≤--≤⇔≤⇔⎨---≠⎩,解得16x <≤, 即集合{}16B x x =<≤,则{1U B x x =≤ð或}6x >,又{|32}A x x =-<<,所以(){|31}U A B x x ⋂=-<≤ð;（2）{|36}A B x x ⋃=-<≤,C A B ⊆⋃, 若C =∅,则121a a ->+,解得2a <-;若C ≠∅,则12113216a a a a -≤+⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩,解得522a -<≤.故a 的取值范围是2a <-或522a -<≤. 【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.18．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【答案】（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 . 【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).19．已知函数21()21x x f x -=+．（1）探究()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）求满足()2(35)21f x f x x ->-+的x 的范围．【答案】（1）函数()f x 是R 上的增函数,证明见详解；（2）()2,3 【解析】（1）函数()f x 是R 上的增函数,用定义法证明单调性即可;（2）由函数()f x 的单调性,并结合()2(35)21f x f x x ->-+,可得到关于x 的不等式,求解即可. 【详解】（1）函数21()21x x f x -=+是R 上的增函数.证明:函数()f x 的定义域为R ,任取12,R x x ∈,且12x x <,则()()12f x f x -121221212121x x x x --=-++()()()12122222121x x x x -=++, 因为12x x <,所以12220x x -<, 又1210x +>,2210x +>,故()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,所以函数21()21x x f x -=+是R 上的增函数.（2）函数()f x 是R 上的增函数,又()2(35)21f x f x x ->-+,所以23521x x x ->-+,解得23x <<. 故满足不等式的x 的范围是()2,3.【点睛】本题考查了函数单调性的证明,考查了函数单调性的应用,考查了学生的推理能力,属于中档题.20．已知函数()91()log 912x f x x =+-(R)x ∈． （1）若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围； （2）设()94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0b ≤；（2）1a >或3a =-【解析】（1）函数没有交点,即方程没有解,可得到方程()9log 91x x b +=-无解,构造函数()9()log 91x g x x =+-,求其值域,进而可求出b 的取值范围;（2）两函数只有一个公共点,即方程)(()f x h x =只有一个解,结合对数的运算性质及二次函数的性质,分类讨论可求出a 的取值范围.【详解】（1）由题意,方程()91log 91212x x x b +-=+无解,即方程()9log 91x x b +=-无解, 令()9()log 91x g x x =+-,则函数()g x 与y b =的图象无交点. ()9999911()log 91log 9log log 991x x x x x g x +=⎛⎫=+ ⎪⎝+-⎭=, 令191x t =+,因为190x>,所以()1,t ∈+∞, 因为函数9log y t =是()1,+∞上的增函数,所以9log y t =的值域是()0,+∞,即函数()g x 的值域为()0,+∞.故只需0b ≤,可使函数()g x 与y b =的图象无交点.即b 的取值范围是0b ≤.（2）由题意,方程)(()f x h x =只有一个解,()()9999191()log 91log 91log 3log 23x xx x x f x x =+=+-=+-, 即方程为()994log 3391log 3x x x a a +=⋅-,则方程433913x x xa a +=⋅-只有一个解, 令3,0x t t =>,则2314at a t t +=-,整理得()241103a t at ---=,该方程有且仅有一个正解.①当1a =时,则4103t --=,解得304t =-<,不符合题意,舍去; ②当1a >时,则()24113y a t at =---为开口向上的二次函数,当0t =时,10y =-<, 显然,二次函数()24113y a t at =---存在唯一正零点,即方程()241103a t at ---=有且仅有一个正解,符合题意;③当1a <时,则()24113y a t at =---为开口向下的二次函数. 若一元二次方程()241103a t at ---=有两个相同正解,则()244103a a ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭,解得34a =或3a =-. 34a =时,解得2t =-,不合题意,舍去;3a =-时,解得12t =,符合题意; 若一元二次方程()241103a t at ---=有两个不同的解,且只有一个正解,则()244103a a ⎛⎫∆=-+-> ⎪⎝⎭,解得34a >或3a <-,且12101t t a -=<-,即1a >,不符合1a <,舍去.综上,a 的取值范围是1a >或3a =-.【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了两函数图象交点与方程解的关系,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.。

北京市师范大学附属实验中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A. 1,2,3,B.C.D.2.已知ln2=a，ln3=b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A. B. C. ab D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.4.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 不存在5.已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.6.设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是（）A. B. C. D.8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）9.函数f（x）=的定义域为______．10.已知函数则=______；若f（x）=1，则x=______．11.函数（x＞1）的最小值是______；取到最小值时，x=______．12.设a为常数，函数f（x）=x2-6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a=______．13.定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）＞0的解集为______ ．14.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．15.已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为______．16.对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，那么：（1）函数g（x）=x2-2的“不动点”为______；（2）集合A与集合B的关系是______．17.若x、y∈R+，且，则的最大值为______．18.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2ax+a，其中a∈R①f（-）=______②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）19.已知全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}，M={x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a=1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20.解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x-1）（x-2）＜0；（Ⅱ）|2x-1|＜3；（Ⅲ）x2-（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21.已知函数．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22.已知函数f（x）=x2-2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a=-1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23.如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）=x与g（x）=2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c 的图象经过点（-1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．直接利用交集的运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵In2=a，In3=b，又∵log32=∴log2=3故选：D．由已知中In2=a，In3=b，用换底公式可将log32化用自然对数表示的形式，代入In2=a，In3=b，即可得到答案．本题考查的知识点是换底公式的应用，在对数运算中，如果两个对数的底不一样则无法使用对数的运算性质，故换底公式是对数运算中最重要的公式之一，一定要熟练掌握．3.【答案】A【解析】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2-x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=-x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质，是解答的关键．4.【答案】B【解析】解：∵函数，∴f（-）=0，∴=f（0）=1．故选：B．推导出f（-）=0，从而=f（0），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属中档题．本题先将a、b、c的大小与1作个比较，发现b＞1，a、c都小于1．再对a、c的表达式进行变形，判断a、c之间的大小。

北京师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x ∈R|x ＞0}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1}C ．{0，1}D ．{1}2．函数的定义域是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（2，+∞）3．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣24．已知a=log 20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=2x 3B ．y=|x|+1C ．y=﹣x 2+4D ．y=2﹣|x|6．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 28．函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）A ．e x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣1二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．10．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k ，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．14．已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．15．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）（x+1）的解集是．16．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log217．函数的单调递增区间是．18．（lg2）2+lg2•lg5+的值为．19．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n ﹣m的最大值．北京师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1} C．{0，1} D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，∴A∩B={1}，故选：D．2．函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2] D．（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】：根据函数有意义的条件可知求解即可【解答】解：根据函数有意义的条件可知∴x＞2故选：D3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．4．已知a=log0.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）2A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a 小于0，根据指数函数的性质，得到b 大于1，而c 小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log 20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a ＜c ＜b故选C ．5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=2x 3B ．y=|x|+1C ．y=﹣x 2+4D ．y=2﹣|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A ．y=2x 3，由f （﹣x ）=﹣2x 3=﹣f （x ），为奇函数，故排除A ；对于B ．y=|x|+1，由f （﹣x ）=|﹣x|+1=f （x ），为偶函数，当x ＞0时，y=x+1，是增函数，故B 正确； 对于C ．y=﹣x 2+4，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，但x ＞0时为减函数，故排除C ；对于D ．y=2﹣|x|，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，当x ＞0时，y=2﹣x ，为减函数，故排除D ．故选B ．6．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【考点】幂函数的图象；指数函数的图象与性质．【分析】构造函数f （x ）=x 3﹣，利用零点存在定理判断即可．【解答】解：令f （x ）=x 3﹣，∵f ′（x ）=3x 2﹣ln =3x 2+ln2＞0，∴f （x ）=x 3﹣在R 上单调递增； 又f （1）=1﹣=＞0，f （0）=0﹣1=﹣1＜0，∴f （x ）=x 3﹣的零点在（0，1），∵函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），∴x 0所在的区间是（0，1）．故答案为：A ．7．已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）A．x3+2x2B．x3﹣2x2C．﹣x3+2x2D．﹣x3﹣2x2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0时，则﹣x＞0，我们知道当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，所以可求f（﹣x）=﹣x3﹣2x2，再由奇函数知f（x）=﹣f（﹣x）即可求解．【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．8．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 4 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意一一列举出集合A的情况即可．【解答】解：由题意知，满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，故共有4个，故答案为：4．10．函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为8 升．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0；②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判断是否存在n值；④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2k x）=2k f（x）．①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…一般地当x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，从而f（x）∈[0，+∞），故正确；③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，∴2n=10不成立，故错误；④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解一元二次方程先化简集合A ，再由子集的定义分集合B 是否为空集两种情况讨论，最后综合讨论结果求解．【解答】解：解：集合A={x|x 2﹣3x+2=0}={1，2}∵B ⊆A ，∴（1）B=∅时，a=0（2）当B={1}时，a=2（3））当B={2}时，a=1故a 值为：2或1或0．14．已知函数且f （1）=2．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由f （1）=2便可求出k=1，并容易求出函数f （x ）的定义域；（2）可以判断在（1，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x 1＞x 2＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可证明f （x 1）＞f （x 2），这便可得出f （x ）在（1，+∞）上为增函数．【解答】解：（1）f （1）=1+k=2；∴k=1，，定义域为{x ∈R|x ≠0}；（2）为增函数；证明：设x 1＞x 2＞1，则：==；∵x 1＞x 2＞1；∴x 1﹣x 2＞0，，； ∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（1，+∞）上为增函数．15．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围．【考点】二次函数的性质．【分析】本题（1）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点（0，4），f （3﹣x ）=f （x ），最小值得到三个方程，解方程组得到本题结论；（2）分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论；（3）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的最小值，得到本题结论．【解答】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x）则对称轴x=，f（x）存在最小值，则二次项系数a＞0设f（x）=a（x﹣）2+．将点（0，4）代入得：f（0）=，解得：a=1∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．综上所述：当t≤0时，最小值4；当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；当t≥1时，最小值﹣2t+5．∴．（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，∴m＜．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）（x+1）的解集是（﹣1，1] ．16．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2【考点】函数的图象．【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log（x+1）的图象，数形结合可得答案．2【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log（x+1）的图象，如图所示：2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．由图可得不等式f（x）≥log2故答案为：（﹣1，1]17．函数的单调递增区间是[2，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得函数的定义域，结合y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），故答案为：[2，3）．18．（lg2）2+lg2•lg5+的值为 1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据lg2+lg5=1，进行计算即可．【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，故答案为：1．19．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2 ．【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1，当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增，故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以≤a ＜1，若函数h （x ）=2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点，则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式关系，进行求解即可．【解答】解：设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有，．由①②得，c=2b ，a=75b ，代入③得，75b+10b ≤20bx ，∴x ≥， 即至少同时开5个窗口才能满足要求．21．已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求f （x ）；（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，求出b的值1即可；（2）化简f（x），判断f（x）在R上为减函数；（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，化简不等式并求出解集．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f（x）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…又因f（x）是R上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x，…解得x∈R．…22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值。

北师大贵阳附中2019——2020学年度第一学期第一次月考试卷高一数学（组卷人：高二数学组 总分：100分 考试时间：120分钟）第I 卷（40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{},A a b =，那么集合A 的所有子集为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列对应关系：①{1,0,1}A =-，{1,0,1}B =-，2:f x x →；②A R =，B R =，:f x x →的倒数；③A R =，B R =，2:2f x x →-；④{1,4,9}A =，{3,2,1,1,2,3}B =---，:f x x →的平方根其中f 是A 到B 的映射的是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④3．下列函数中， 在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）A ．1y x =+B ．1y x = C ．3y x = D ．y x x =-4．集合{|03}P x Z x =∈≤<，{}2|9M x Z x =∈≤，则P M ⋂=（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{|03}x x ≤<D ．{|03}x x ≤≤5．已知函数221,1()4,1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则(f f 等于（ ）A ．5B ．2C ．-1D ．-26．若{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的取值范围为（）A ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．110,,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭7．已知函数()1f x -的定义域为()0,1，则函数()21f x +的定义域为（ ）A ．()1,1-B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．()1,0- D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭8．若函数()f x 是奇函数，当0x <时，()f x 的解析式是()(1)f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式是（ ）A ．(1)x x --B ．(1)x x -C ．(1)x x -+D ．(1)x x +9．已知()21,11,1x ax x f x ax a x ⎧-+≥=⎨+-<⎩是定义在上(,)-∞+∞的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(0,1]C ．()0,2D ．(0,2]10．若函数()()()222f x x x x ax b =+-++是偶函数，则()f x 的最小值为（ ） A ．94 B ．114 C ．94- D ．114- 第II 卷（60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．11．已知集合{}2,,4,3,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则2||a b +=__________． 12．函数()032f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为__________． 13．如图，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则函数的值域为__________（用区间表示），[(0)]f f =__________．14．2()2f x x ax =-+与()1a g x x =-在[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．15．对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{|()}A x f x x ==，{|[()]}B x f f x x ==，那么，（1）函数()38g x x =-的“稳定点”为____________________；（2）集合A 与集合B 的关系是___________________．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分10分）计算：（Ⅰ）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）211311336622263(0,0)a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷->> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17．（本小题满分10分）已知{}2(1)320A x a x x =-+-=，{}2|320B x x x =-+=．（Ⅰ）若A ≠∅，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分10分）某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC 的一侧建一条观光带，观光带的？一部分为曲线段OAB ．设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图像，且曲线段的顶点为()4,4A ；观光带的后一部分为线段BC ．如图所示：（Ⅰ）求曲线段OABC 对应的函数()y f x =，[0,10]x ∈的解析式；（Ⅱ）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段MQ ，QP ，PN 构成，其中点P 在线段BC 上，当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？19．（本小题10分） 已知2()1xf x x =+是定义在(1,1)-上的奇函数．（Ⅰ）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（Ⅱ）解不等式(1)()0f t f t -+<．。

2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，若{}2A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2±C D ．【答案】D由A ，B ，以及两集合的交集，确定出a 的值即可． 解：∵集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，{}2A B ⋂=，∴a=2或a 2=2，即a=2或当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A ∩B={2，4}，不合题意；当时，，2，0}，满足题意，当a=时，A={，2，0}，满足题意 故选：D ． 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【答案】A解：因为121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=22121212121()()222a ab b a a b b +++<+= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--> 11221221()a b a b a b a b +>+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++<+112212a b a b +>，综上可得1122a b a b +最大，故选A. 3．下列函数中，是偶函数的是（ ）A ．()1f x x= B ．()lg f x x = C ．()xxf x e e -=- D ．()f x x =【答案】D根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 解：对于A ，()1f x x-=-=- ()f x ，所以为奇函数，不满足题意； 对于B ，()lg f x x =的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C ，()()xxf x e e f x --=-=-，为奇函数，不满足题意； 对于D ，()()f x x f x -==，为偶函数，满足题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．已知p :1x m -<,q :28120x x -+<,且q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,5B ．[]3,5C ．()(),35,-∞+∞UD ．(](),35,-∞+∞U【答案】B首先求两个命题表示的集合,A B ，由题意可知A B ，然后根据集合的包含关系求m的取值范围.解：:p 111x m x m -<⇒-<-< 解得：11m x m -<<+ ，{}11A x m x m ∴=-<<+，2:8120q x x -+< ，解得：26x <<，{}26B x x ∴=<<， Q q 是p 的必要不充分条件,∴A B∴ 1216m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得35m ≤≤故选：B 【点睛】本题考查解不等式和根据命题的必要不充分条件求参数的取值范围，意在考查基本方法和计算，属于基础题型. 5．已知()1f x x +=，则函数()f x 的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A利用平移变换即可得到函数()f x 的大致图像. 解：∵()1f x x +∴函数()f x 的图象是由()1f x +向右平移一个单位得到， 故选：A 【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题.6．关于x 的方程()2370x m x m +-+-=的两根都大于3,则m 的取值范围是（ ）A ．((),1251,25,-∞-++∞UB ．7,1252⎛-- ⎝ C ．()7,125,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U D ．(,125-∞-【答案】B由根的分布，列不等式求m 的取值范围.解：设方程的两个实数根分别是12,x x ，且13x >，23x > 设()()237f x x m x m =+-+-()033230m f ∆≥⎧⎪-⎪∴->⎨⎪>⎪⎩ ，即()()()2347033293370m m m m m ⎧--⨯-≥⎪-⎪->⎨⎪+-+->⎪⎩，解得：11372m m m m ⎧⎪≥+≤-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩解得：712m -<≤-故选：B 【点睛】本题考查根据根的分布求参数m 的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型.7．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ） A ．{}1A = B ．{}0A = C ．{}0,1A = D ．{}0A =或{}1【答案】C根据题意求当方程2210ax x ++=有唯一实数解时，求a 的取值范围，分0a =和0a ≠两种情况求a 的取值.解：由题意可知集合A 的元素表示能使方程2210ax x ++=有唯一实数解的a 的值， 当0a =时，210x += ，解得12x =-，成立；当0a ≠时，方程2210ax x ++=有唯一实数解， 则440a ∆=-=， 解得：1a =，{}0,1∴=A .故选：C 【点睛】本题考查根据方程的实数根的个数求参数的取值，属于简单题型.8．已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1+;A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C①②③都可以写成m a =+的形式，验证,a b 是否是有理数，④计算.解：①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==+3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，2122==-，1a ∴+=，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++，,a b Q ∈Q ，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 9．下列不等式正确的是（ ）A ．223x x+≥B ．224a b ab +≥ C 2a b+≥D ．44a a+≥ 【答案】A根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案.解：A.2230,0x x >>Q ，223x x +≥=223x x=时，即2x =B.当1,1a b ==时，224a b ab +<，故不成立；C.当0,0a b >>2a b+≤，故不成立； D.当0a <时，44a a +≥不成立，只有当0a >时，44a a+≥成立，故不成立. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型. 10．“3x >”是“2560x x -+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A首先解不等式2560x x -+>，再根据集合的包含关系判断充分必要条件. 解：2560x x -+> 解得：3x >或2x <“3x >”⇒“3x >或2x <”，但反过来不成立，∴ “3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.二、填空题11．已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(,1]-∞在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B ⊆可得实数a 的取值范围. 解：如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.12．关于x 的方程()()()221k x x x x x -=--的解集中只含有一个元素,k =______.【答案】-1，3，0由方程可知1x ≠且0x ≠，得到220x x k +-=，解得1k =-，再分别将1x =和0x =代入220x x k +-=，得到k ，验证是否解集中只有一个元素，得到k .解：()22211x k x k xx x x x x --==--- 1x ≠ ，化简为2k xx x-=， 0x ≠，变形为22220x k x x x k =-⇒+-= ①440k ∆=+=，解得：1k =- ，验证当1k =-时，2210x x ++= ， 解得：1x =- 成立.∴1k =-.当1x =时，代入①21210k +⨯-=，解得：3k = 代入原式，2321x x x x x-=--， 1x ≠且0x ≠ ，化简得：2230x x +-= ， 解得：1x =或3x =- ，1x ≠Q ，∴方程只有一个解，成立，3k ∴= ，当0x =时，代入①20200k +⨯-=，解得0k = ， 带代原式221x x x x x-=--， 1x ≠且0x ≠ ，解得：2x =- ，成立，0k ∴=故答案为：-1,3,0 【点睛】本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将1x =和0x =代入220x x k +-=，验证k 的值.13．已知()f x ＝21,1{1,1x x x x -≤-+>，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．【答案】－1 0或2根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时()1f x =-. 解：()()21110f -=--=，故()()101f f f ⎡⎤-==-⎣⎦，因为()1f x =-，故2111x x ≤⎧⎨-=-⎩或者111x x >⎧⎨-+=-⎩，解得0x =或2x = .综上，填1-，0或2. 【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值. 14．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集是11{}23x x -<<，则a b +=_________.【答案】－14由不等式220ax bx ++>的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出,a b 的值，从而可得结果.解：不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以对应方程220ax bx ++=的实数根为12-和13，且0a <， 由根与系数的关系得112311223b aa⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,2a b =-=-，14a b ∴+=-，故答案为14-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.15．关于函数()f x =__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数. 【答案】①②③由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③．解：①，由24110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x）＝x -，即f （x）＝﹣|x x，当0＜x ≤1可得f （x1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x∈[0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题． 16．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人. 【答案】【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).【考点】元素与集合的关系.17．已知函数3,? 0(){1,? 0x a x f x x x +>=+≤在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[1,)+∞因为()f x 是分段函数且为增函数，故3010a +≤+，故可得实数a 的取值范围． 解：因为()f x 为R 上的增函数，故3010a +≤+，所以1a ≥，填[)1,+∞． 【点睛】如果一个分段函数在R 为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．18．设5x >,45P x x =--23Q x x =--则P 与Q 的大小关系是P ______Q .【答案】> 计算(4523P Q x x x x -=-----，利用分子有理化化简并判断,P Q的大小关系.解：P Q -=-=-=2=- ，5x >Q ，>>，0>> ， 0∴<<，∴0<，∴ 20->.故答案为：> 【点睛】本题考查比较两个数的大小，意在考查化简，变形能力，属于计算题型.19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．【答案】{0,1}或{－1,1}，因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．解：设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素． 20．已知a ,b 是正实数,且2a b +=,则41a b+的最小值为______. 【答案】92Q()411412a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 解：()4114114522b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭40,0,4b a a b a b >>∴+≥=Q ， 4192a b ∴+≥ ， 当4b aa b= ，即2a b =时等号成立. 故答案为：92【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的变形，属于基础题型.三、解答题21．已知集合2{|0}A x x x =-<，2{|20}B x x x m =--<. （1）求A R ð；（2）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (,0][1,)-∞⋃+∞ (2) (,1]-∞- （1）求出不等式20x x -<的解后可得R C A ．（2）因为A B φ⋂=，故220x x m --≥对任意的01x <<恒成立，参变分离后可得实数m 的取值范围．解：（1）由20x x -<得01x <<，故(0,1)A =，所以(,0][1,)R C A =-∞⋃+∞． （2）由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立， 即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立．22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-，所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． 【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．22．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【答案】（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.解：（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出. 23．已知a ,b 为正实数,.+≥+2，根据条件判断其正负，得到大小关系.+=+()a b==-()a b -=2=0,0a b >>Q ，>0>，20≥ ，∴≥，≥ 【点睛】本题考查比较两个数的大小，意在考查计算化简，计算能力，属于基础题型. 24．已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}x x αβ<<,且0αβ<<,求不等式20cx bx a ++<的解集. 【答案】1{x x α>或1}x β<首先根据条件可知0a <，b a αβ+=-，caαβ=，0c <，并知20cx bx a ++=的两个实数根分别是1α和1β，再比较根的大小，求不等式的解集.解：因为不等式20ax bx c ++>(0a ≠)的解为x αβ<<,其中0βα>>,所以有ba αβ+=-,caαβ=且0a <,0c <.设方程20cx bx a ++=的两根为m ,n ,且m n <.则11b m n c αβαβαβ++=-==+,111a mn c αβαβ===⋅所以可得1n α=,1m β=且11αβ>又因为0c <,∴不等式20cx bx a ++<的解集1{x x α>或1}x β<.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，意在考查一元二次方程和不等式的关系，以及解集形式和系数的关系，属于基础题型.25．(1)已知0x >,求函数254x x y x ++=的最小值;(2)已知103x <<,求函数()13y x x =-的最大值. 【答案】（1）9（2）112（1）函数变形为25445x x y x x x++==++，再利用基本不等式求最值；（2）法一，2113612y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数求最大值，法二：函数变形为()()1133133y x x x x =-=⨯-，利用基本不等式求最值.解：(1) 25445x x y x x x++==++，0x Q > ，44x x ∴+≥= ， 等号成立的条件是4x x=，即2x =时， 459x x∴++≥， 254x x y x++∴=的最小值是9. (2) 法一：2113612y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当16x =时，函数取得最大值112， 法二：()()()23131111331333212x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当313x x =- ，即16x =时等号成立， ∴函数的最大值是112. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型. 26．已知0,0,21a b a b >>+=，求11a b+的最小值.【答案】3+变换得到2121a b a ba b a b++++=化简利用均值不等式计算得到答案.解：223112a b a b a b b a a b a b +++=+++=3≥+3=+当2b a a b =即21,2a b -==时等号成立. min113a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，其中变换得到2121a b a ba b a b++++=是解题的关键.27．(1)已知54x <,求14245y x x =-+-的最大值; (2)已知102x <<,求()1122y x x =-的最大值.【答案】（1）1（2）116（1）函数变形为114533544554y x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪--⎝⎭，再利用基本不等式求最值；（2）函数变形为()()111221224y x x x x =-=⨯-，利用基本不等式求最大值，法二，利用二次函数求最大值. 解：(1)114533544554y x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪--⎝⎭， 54x <Q ，540x ∴-> 154254x x ∴-+≥- ，当15454x x -=-时，等号成立，∴114533543214554y x x x x ⎛⎫=-++=--+≤-= ⎪--⎝⎭， ∴ 14245y x x =-+-的最大值是1. (2)法一：()()()2212111112212244216x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭, 当212x x =-时，等号成立， 即14x =时，函数()1122y x x =-的最大值是116.法二:222111111122161641616y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当14x =时，函数取得最大值116.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型. 28．(1)已知0x >,0y >,且满足811x y+=.求2x y +的最小值. (2)若把(1)中的“811x y+=”改为“21x y +=”,其他条件不变,求81x y +的最小值.【答案】（1）18（2）18 （1）()8122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，展开变形，利用基本不等求最小值； （2） ()81812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开变形，利用基本不等式求最小值.解：(1)()811616228210102418y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当16y xx y =时，即4x y = ，等号成立， 2x y ∴+的最小值是18.(2)()8181161628210102418y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当16y xx y=时，即4x y = ，等号成立， ∴81x y+的最小值是18. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 29．求下列不等式的解集.(1)213422x x -<---; (2)()()22312x x +≥-. (3)52321x x ->+【答案】（1）{11x x -<<-（2）243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（3）152x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ （1）变形为2250x x +-<，解不等式； （2）变形为231080x x --≤，解不等式； （3）变形为5253002121x x x x -+->⇒<++，等价于()()5210x x ++<解不等式. 解：（1）不等式变形为：2250x x +-<方程2250x x +-=的两个实数根是11x =-21x =-，11x ∴-<<-，∴不等式的解集是{11x x --<<-+.（2）不等式变形为：231080x x --≤()()4320x x -+≤ ，解得243x -≤≤ ， ∴不等式的解集是243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （3）5252633002121x x x x x ----->⇒>++ 55002121x x x x --+>⇒<++ ， 即()()5210x x ++< ， 解得：152x -<<-， ∴不等式的解集是152x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，意在考查计算能力，本题第三问是分式不等式，再求解时，需注意步骤是移项，通分，再转化为一元二次不等式求解. 30．若x ,y 为正实数,且280x y xy +-=,求x y +的最小值.【答案】18 首先已知条件变形为821x y +=，再化简()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值.解：822801x y xy x y+-=⇒+= ()8282828210102418y xy x x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(当82y xx y=时取“=”) 所以x y +的最小值是18. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 31．已知2210ax ax ++≥恒成立. (1)求a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式220x x a a --+<. 【答案】（1）[]0,1（2）详见解析（1）当0a =时，验证成立，当0a ≠时，只需满足2440a a a >⎧⎨-≤⎩成立； （2）原不等式可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->，对应方程两根为1x a =，21x a =-，在分102a ≤<，112a <≤，12a =三种情况讨论不等式的解集. 解：（1）当0a =时,10≥恒成立，当0a ≠时,要使不等式2210ax ax ++≥对一切x ∈R 恒成立,则20440a a a >⎧⎨-≤⎩,解得01a <≤综上,a 的取值范围是[]0,1(2)原不等式可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->,当102a ≤<时,不等式的解为:x a <,或1x a >-当12a =时,不等式的解为:12x ≠，当112a <≤时,不等式的解为:1x a <-,第 21 页 共 21 页 或x a >综上,当102a ≤<时,不等式的解集为:{x x a <或1}x a >-;当12a =时,不等式的解集为:12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭;当112a <≤时,不等式的解集为:{1x x a <-或}x a >. 【点睛】本题考查含参不等式的解法和根据函数恒成立求参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，属于基础题型.32．已知1x ,2x 是一元二次方程()2620a x ax a -++=的两个实数根. (1)是否存在实数a ,使11224x x x x -+=+成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由;(2)求使()()1211x x ++为负整数的实数a 的整数值.【答案】（1）存在，24a = （2）7a =,8,9或12. （1）由条件可知1226a x x a -+=-,126a x x a =-，代入方程12124x x x x =++，得到a ，并验证∆；（2）代入根与系数的关系求()()1211x x ++为负整数时，求a .解：（1）方程()2620a x ax a -++=有两个实数根,则判别式()2446240a a a a ==-=≥,得:0a ≥因为二次项系数60a -≠,即6a ≠ 1226a x x a -+=-,126a x x a =-由11224x x x x -+=+,得:12124x x x x =++，代入得:2466a a a a -=+-- 4242a a a =--，24a =,故当24a =时,有11224x x x x -+=+成立(2)()()121212*********a a x x x x x x a a a -++=+++=++=----要使上式为负整数,则有61a -=,2,3或6所以7a =,8,9或12.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.。

2019-2020学年北京师大附中上高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={3,4，5，6}，B ={6}，则A ∩B =( )A. {3,4，5，6}B. {3,4，5}C. {5}D. {6}2. 若b <0<a ，d <c <0，则( )A. bd <acB. ac >bdC. a +c >b +dD. a −c >b −d3. 函数f(x)=13ax 3+12ax 2−2ax +2a +1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是( )A. −43<a <−13B. −1<a <−12C. −65<a <−316 D. −2<a <04. 函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2的零点所在的大致区间是( )A. (12,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 已知函数f (x )=(14)x−4x ，则f (x )( )A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知a =815,b =335,c =925，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <a <c7. 若函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (94,3)B. [94,3)C. (1,3)D. (2,3)8. 函数f(x)=x+1|x+1|log a |x|(0<a <1)的图象的大致形状是( )A.B.C.D.9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=log 2(−x)+m ，f(12)=√2，则实数m =( )A. √22B. −√22C. √2+1D. −√2+110. 已知函数f(x)=log 2x ，g(x)=2x +a ，若存在x 1,x 2∈[12,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则a 的取值范围是( )A. [−5,0]B. (−∞,−5]∪[0,+∞)C. (−5,0)D. (−∞,−5)∪(0,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数的定义域是________．12. 函数f(x)=2x+2，(x ≥1)的值域为______；13. 已知函数f(x)=log 2(x 2+a)，若f(2)=0，则a =______． 14. 设函数满足f(a)=−3，则f(6−a)=________．15. 设f(x)是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在x 0∈R ，使得f(x 0)<1”为假命题的一个函数是f(x)= ．16. 已知函数f(x)满足f(x −1)=x 2−x +1，则f(2)=__________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 计算(1)(278) −23−(499)0.5+(0.008) −23×225；(2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18. 已知全集U =R,集合A ={x|x 2−4x ≤0},B ={x |x 2−(2m +2)x +m 2+2m ≤0}．(Ⅰ)若m =3，求∁U B ；(Ⅱ)若A ∪B =A ，则求实数m 的取值范围．19.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−1，(1)求函数f(x)的表达式(2)求不等式f(x)>−1的解集220.已知函数f(x)=1．x2(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．21.已知函数f(x)=−x2+2ex+m−1，g(x)=x+e2(x>0)．x(1)证明函数g(x)在[e,+∞)上单调递增；(2)确定m的取值范围，使得关于x的方程g(x)−f(x)=0有两个相异实数根．22.已知函数f(x)对实数x∈R满足f(x)+f(−x)=0,f(x−1)=f(x+1)，若当x∈[0,1)时，f(x)=)=1−√2．a x+b(a>0,a≠1)，f(32(1)求x∈[−1,1]时，f(x)的解析式；(2)求方程f(x)−|log4x|=0的实数解的个数．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．直接利用交集运算得答案．【解答】解：因为A={3,4，5，6}，B={6}，所以A∩B={6}．故选D．2.答案：C解析：bd>0>ac，ac <0<bd，a+c>c>d>b+d，a−c>0,b−d大小不确定，因此选C．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可【解答】解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集， 则−1<a <−12满足条件，故选：B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．由题意可知函数在(12,+∞)单调递增且连续，f(1)⋅f(2)<0，由根的存在性定理可求． 【解答】解：函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2在区间(12,+∞)上为增函数，且连续， 因为f (1)=ln1−13=−13<0,f (2)=ln3−14=ln3−ln √e 4>0， 即f(1)⋅f(2)<0，所以函数零点所在的大致区间是(1,2)． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性及指数函数的性质，属于基础题．由已知得f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y =4x 为增函数，y =(14)x 为减函数，结合“减”−“增”=“减”可得答案． 【解答】解：∵f(x)=(14)x −4x =4−x −4x ， ∴f(−x)=4x −4−x =−f(x)， 即函数f(x)为奇函数，又由函数y =4x 为增函数，y =(14)x 为减函数， 故函数f (x )=(14)x−4x 为减函数．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考察对指数函数和幂函数单调性的理解，属于基础题∵a =815=235,b =335,c =925=345，又y =x 35和y =3x在第一象限内是增函数，所以a <b ，b <c ，即a <b <c ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的单调性，分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 根据题意可得3−a >0且a >1，且两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较，可得结果． 【解答】解：∵函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，可得3−a >0且a >1．但应当注意两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较， 即(3−a)×7−3≤a ，可以解得a ≥94， 综上，实数a 的取值范围是．故选B ．8.答案：C解析： 【分析】本题主要考查函数图象的应用，涉及分段函数，以及函数的单调性，属于基础题． 函数f (x )去绝对值，写成分段函数的形式，判断函数的单调性，可得出答案． 【解答】解：因为f(x)=x+1|x+1|log a |x|={−log a (−x) ,x <−1 ,log a (−x) ,−1<x <0 ,log a x ,x >0.由于0<a <1，当x <−1时，y =−log a (−x )为减函数，当−1<x <0时，y =log a (−x )为增函数， 当x >0时，y =log a x 为减函数，当x =1时，y =0.所以只有C 正确． 故选C ．9.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．【解答】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(−x)+m，，解得m=−√2+1．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，属于基础题，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[12, 2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：当12≤x≤2时，log212≤f(x)≤log22，即−1≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[−1,1]，当12≤x≤2时，2×12+a≤g(x)≤4+a，即1+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[1+a,4+a]，若存在x1,x2∈[12, 2]，使得f(x1)=g(x2)，则[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀，若[1+a,4+a]∩[−1,1]=⌀，则1+a>1或4+a<−1，得a>0或a<−5，则当或[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀时，−5≤a≤0，即实数a的取值范围是[−5,0]，故选A．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：【分析】本题考查函数定义域的求法，函数定义域就是使解析式有意义的x的集合，属基础题．【解答】解：要使解析式有意义，需满足： {x +1>01−x ≠0， 解得：x >−1且x ≠1， 所以定义域为(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：(0,23]解析：解：∵函数f(x)=2x+2，(x ≥1)是减函数， f(1)=21+2=23， ∴函数f(x)=2x+2，(x ≥1)的值域为(0,23]. 故答案为：(0,23].由函数f(x)=2x+2，(x ≥1)是减函数，能求出函数f(x)=2x+2，(x ≥1)的值域．本题考查函数的值域的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：−3解析： 【分析】本题考查函数值的应用，以及对数的运算，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=log 2(x 2+a)，f(2)=0，则，∴4+a =1， ∴a =−3． 故答案为−3．14.答案：−114解析：【分析】本题考查了利用分段函数的解析式求自变量值以及函数值的应用问题，是基础题目． 根据函数f(x)的解析式，求出a 的值，再求f(6−a)的值． 【解答】解：当a ≤2时，f(a)=2a−2−3=−3，无解； 当a >2时，f(a)=−log 2(a +2)=−3得：a =6， ∴f(6−a)=f(0)=2−2−3=−114，故答案为−114．15.答案：(12)x +1(答案不唯一)解析：【分析】本题考查存在量词和特称命题的定义以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题． 根据题意，分析可得举出一个一个值域大于等于1的减函数即可，据此分析可得答案． 【解答】因为“一定存在x 0∈R ，使得f(x 0)<1”为假命题， 所以“∀x ∈R ，f(x)≥1”为真命题． 又f(x)是定义在R 上的单调递减函数， 故可设f(x)=(12)x +1(答案不唯一)． 故答案为(12)x +1(答案不唯一)．16.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7．17.答案：解：(1)原式=(32)3×(−23)−(73)2×0.5+(0.2)3×(−23)×225=49−73+25×225=19，(2)原式=2lg5+2lg2+lg5⋅(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+(lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2=2+1=3．解析：(1)根据指数幂的运算性质即可求出， (2)根据对数的运算性质即可求出．本题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意，若m =3，则B ={x|x 2−(2m +2)x +m 2+2m ⩽0}={x|x 2−8x +15⩽0}， 可得，所以∁U B ={x|x <3或x >5}．(Ⅱ)可得，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，则{m ≥0m +2≤4, 解得0≤m ≤2．解析：本题考查了集合的补集运算，集合关系中的参数取值问题，属于中档题．(Ⅰ)当m =3时，可解得，即可得B 的补集；(Ⅱ)由题意，可得{m ≥0m +2≤4，即可求解．19.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)(x ∈R)是奇函数，则f(0)=0，当x <0时，−x >0，则f(−x)=2(−x)−1=−2x −1，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=2x +1，则f(x)={2x −1,x >00,x =02x +1,x <0；(2)根据题意，f(x)={2x −1,x >00,x =02x +1,x <0，当x >0时，f(x)=2x −1，此时f(x)>−12即2x −1>−12，解可得x >14，此时不等式的解集为{x|x >14}，当x =0时，f(0)=0，f(x)>−12成立；此时不等式的解集为{0}，当x <0时，f(x)=2x +1，此时f(x)>−12即2x +1>−12，解可得x >−34，此时不等式的解集为{x|−34<x <0}， 综合可得：不等式f(x)>−12的解集{x|−34<x ≤0或x >14}.解析：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．(1)根据题意，由奇函数的性质分析可得f(0)=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x <0时f(x)的解析式，综合即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x >0时，f(x)=2x −1，此时f(x)>−12即2x −1>−12，当x =0时，f(0)=0，f(x)>−12成立；当x <0时，f(x)=2x +1，此时f(x)>−12即2x +1>−12，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．20.答案：解：(1)函数的定义域{x|x≠0}，则f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)，则函数f(x)是偶函数，(2)当x>0时，设0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=x22−x12x12x22=(x1+x2)(x2−x1)x12x22，∵0<x1<x2，∴0<x1+x2，x2−x1>0，则f(x1)−f(x2)=(x1+x2)(x2−x1)x12x22>0，则f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．(1)根据函数奇偶性的定义进行证明即可；(2)根据函数单调性的定义进行证明即可．21.答案：(1)证明：任取x1,x2∈[e,+∞)，且x1<x2，则g(x2)−g(x1)=(x2+e2x2)−(x1+e2x1)=(e2x2−e2x1)+(x2−x1)=e2(x1−x2)x1x2−(x1−x2)=(x1−x2)(e2−x2x1)x1x2，∵x1,x2∈[e,+∞)，且x1<x2，∴x1−x2<0,x1x2>e2，即e2−x1x2<0，∴g(x2)−g(x1)>0，即g(x2)>g(x1)，∴函数g(x)在上单调递增；(2)解：∵f(x)=−x2+2ex+m−1=−(x−e)2+m−1+e2，∴函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x=e，值域为(−∞,e2+m−1],当且仅当x=e时，f(x)取得最大值为e2+m−1，∵函数g(x)是对勾函数，在(0,e]上单调递减，在[e,+∞)上单调递增，∴g(x)的值域为[2e,+∞),当且仅当x=e时，g(x)取得最小值为2e，∵g(x)−f(x)=0有两个相异实数根，等价于函数y =g (x )和y =f (x )的图象有两个不同的交点，因为两个函数在同一点分别取到最大值和最小值，原问题等价于g (x )min <f (x )max ，即2e <e 2+m −1，解得m ∈(−e 2+2e +1,+∞)，∴m 的取值范围为(−e 2+2e +1,+∞)．解析：本题考查函数的单调性与单调区间、函数的最值、函数的零点与方程根的关系，属于较难题．(1)利用定义法直接证明即可；(2)求出函数y =g (x )和y =f (x )的最值，把问题转化为g (x )min <f (x )max ，即可求出结果．22.答案：(1)f(x)={1−2−x ,x ∈(−1,0],x =±12x −1,x ∈[0,1) (2)3解析：(1)∵f (x )+f (−x )=0∴f (0)=0，即b =−1，∵f (x −1)=f (x +1),f (32)=1−√2，∴f (32)=f (−12)=−f (12)=1−√a =1−√2，∴a =2，当x ∈[0,1)时，f (x )=2x −1.∴当x ∈(−1,0]时，−x ∈[0,1)∴f (−x )=2−x −1,∴f (x )=−f (−x )=1−2−x .∵f (x )+f (−x )=0,f (x −1)=f (x +1)∴f (1)=f (−1)=0,∴f(x)={1−2−x ,x ∈(−1,0],x =±12x −1,x ∈[0,1).(2)∵f (x )+f (−x )=0,f (x −1)=f (x +1)∴f (x +2)=f (x )∴f (x )是奇函数，且以2为周期.方程f(x)−|log 4x |=0的实数解的个数也就是函数y =f (x )和y =|log 4x |的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像，由图像得交点个数为3，所以方程f(x)−|log 4x |=0的实数解的个数为3．。