河南师范大学附属中学高中数学(理)选修2-1(实验班)同步练习：第2章 圆锥曲线9]

3.2.2向量法在空间平行关系中的应用1．l ，m 是两条直线，方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， 若l ∥m ，则( )A ．x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2B ．x 1＝kx 2，y 1＝py 2，z ＝qz 2C ．x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0D ．x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 22．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM→＝AB →，则点B 应为( ) A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)3．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－25．若AB →＝λCD →＋uCE →(λ，u ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．6．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1,1)，C (3，λ，λ)， 若AB→⊥AC →，则λ等于________． 7．如图，已知P 是正方形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ：MA ＝BN ：ND ＝：8.求证：直线MN ∥平面PBC .8．在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，F 为PC 的中点，点E 在PD上，且PE ED ＝2，求证：BF ∥平面AEC .9．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证平面DEF ∥平面ABC.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN.3.2.2 向量法在空间平行关系中的应用1. [答案] D[解析] 由向量平行的充要条件可得．2. [答案] B[解析] ∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →＝(7,2,3)．故选B.3． [答案] A[解析] 由v 1∥v 2故可判断α∥β.4．[答案] C[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4，故选C. 5． [答案] AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6． [答案] 1457．[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513P A →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .8． [解析] ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12CD →＋32DE → ＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →，∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC .9． [证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →=2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .10． [证明] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 、平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0x 1＋z 1＝0， 令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0n ·HN →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2－z 2＝0－x 2－z 2＝0. 令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，即平面EFG ∥平面HMN .。

3.2.3 向量法在空间垂直关系中的应用1．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．82．若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )A ．(1，－2,0)B ．(0，－2,2)C ．(2，－4,4)D ．(2,4,4)3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝ A.75B ．1 C.35 D.154．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．在直角坐标系O —xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP→是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →. 其中正确的是________．7．已知A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，求证：AC ⊥BD 的等价条件是AD 2＋BC 2＝CD 2＋AB8．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC9．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.11．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使DE⊥平面AB1F.3.2第3课时 向量法在空间垂直关系中的应用1．[答案] C[解析] ∵l ∥α，∴l 与平面α的法向量垂直．故2×1＋12×m ＋1×2＝0， 解得m ＝－8，故选C.2．[答案] C[解析] ∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n ，∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．3．[答案] A[解析] k a ＋b ＝(k －1，k,2),2a －b ＝(3,2，－2)．若k a ＋b 与2a －b 垂直，则(k a ＋b )·(2a －b )＝0.即3(k －1)＋2k －4＝0.解得k ＝75，故选A. 4． [答案] C[解析] AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，则AB →·AC →＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.∴AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形．又|AB →|≠|AC →|故选C.5． [答案] π2或π3[解析] ∵OP →·OQ →＝cos x (2cos x ＋1)－2cos2x －2＋3×0＝2cos 2x ＋cos x －2(2cos 2x －1)－2＝－2cos x 2＋cos x .∴－2cos 2x ＋cos x ＝0，即cos x ＝0或cos x ＝12， 又∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或π3. 6． [答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →.AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．7．[证明] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AC ⊥BD ⇔b ·(c －a )＝0⇔a ·b ＝b ·c ，AD 2＋BC 2＝CD 2＋AB 2⇔|AD →|2＋|BC →|2＝|CD →|2＋|AB →|2⇔|c |2＋(b －a )2＝|c －b |2＋|a |2⇔a ·b ＝b ·c ，∴AC ⊥BD ⇔AD 2＋BC 2＝CD 2＋AB 2.8． [证明] 设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量，∴v ·a ＝0，v ·b ＝0，∵D 为AB 中点，∴CD →＝12(a ＋b )， ∵O 在CD 上，∴存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )， ∵CA ＝CB ，∴|a |＝|b |，AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎡⎦⎤λ2(a ＋b )＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v ＝λ2(|a |2－|b |2)＋b ·v －a ·v ＝0， ∴AB →⊥CP →，∴AB ⊥PC .9．[解析] 如图，以C 1点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)∵BC 1→＝(0，－2，－2)，AB 1→＝(－2,2，－2)，∴BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0，∴BC 1→⊥AB 1→，∴BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，∵E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)，∴ED →＝－12BC 1→，且ED 和BC 1不共线，则ED ∥BC 1.又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .[点评] 第(2)问可求出CD →＝(1,1,0)，CA 1→＝(2,0，－2)，BC 1→＝(0，－2，－2)，∴BC 1→＝－2CD →＋CA 1→，∴BC 1→与CD →、CA 1→共面，∵BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .10． [解析] 建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,3)，D 1(0,2,3)，设E (2，y ，z )⇒D 1E →＝(2，y －2，z －3)，AF →＝(1,2,0)，AB 1→＝(2,0,3)，∵D 1E ⊥平面AB 1F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2(y －2)＝04＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，z ＝53.∴E (2,1，53)即为所求．。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 ．设集合()}{()}{,26,,324,A x y x y B x y x y =+==+=满足()C AB ⊆的集合C 的个数为 （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 ( D) 42．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( )(A) 4 (B) 14 (C) 14- (D) 4- 3. 执行右图的程序框图，若输出的5n =，则输入整数p 的最大值是（ ）(A) 15 (B) 14(C) 7 (D) 64.已知,a b R Î，则33log log a b >是 11()()22a b <的（ ）(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5．若函数b bx x x f 33)(3+-=在（0，1）内有极小值，则 ( ) (A) b ＜1 (B) 0＜b ＜1(C) b ＞0(D) b ＜21 6. 已知()x f 为定义在（-+∞∞,）上的可导函数，()()x f x f />对于x ∈R 恒成立，且e 为自然对数的底数,则（ ）（A ）2013e .()2014f ＜2014e .()2013f (B) 2013e .()2014f =2014e .()2013f(C)2013e .()2014f ＞2014e .()2013f (D) 2013e .()2014f 与2014e .()2013f 大小不确定 7．已知函数)()293(32)(2R a ax x x x f ∈--=，若函数)(x f 的图像在点P （1，m ）处的切线方程为03=+-b y x ，则m 的值为( ) (A)31(B)21 (C) －31 (D)－218．已知函数f （x ）＝122,021,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋ ＜－－≥,若方程f （x ）＋2a －1＝0恰有4个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） (A) （－12，0 ] (B) [－12，0 ] (C) [1，32） (D)（1，32] 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）(A) 38＋2π (B) 38－2π (C)38－π (D) 3810. 设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 4511．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋6π）（ω＞0）的图像与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数g （x ）＝Acos ωx 的图像，只需将f （x ）的图像 （ ） (A) 向左平移6π个单位 (B) 向右平移3π个单位(C) 向左平移23π个单位 (D) 向右平移23π个单位12、设函数,,)(3R x x x x f ∈+=若当02π≤θ≤时，0)1()sin (>-+θm f m f 恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ）(A) .(0,1) (B) (－∞，0) (C) )21,(-∞ (D) (－∞，1) 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 14. 设抛物线y x122=的焦点为F ，经过点()12，P 的直线l 与抛物线相交于ＢＡ,两点且点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF15．已知变量x ，y 满足约束条件230,30,10.x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≤＋3y －≥y －≤若目标函数z ＝ax ＋y 仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a 的取值范围为_________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a,a ）,P 是函数xy 1=（x>0）图像上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 所有值为_________. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--，.x R ∈（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =，若sin()2sin ,A C A +=求,a b 值． 18．（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分， 6人8分. 从这10中随机抽取两人，求两人成绩之和大于等于18的概率。

3.1.2 空间向量的数乘运算1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC→，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为 A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 32．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC →3．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错 5．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 6．如图所示，空间四边形OABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM→＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C.12a ＋12 b －23c D.23a ＋23b －12c 7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________. 8．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN→＝xAB →＋yAD →＋zAP→的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC＝2∶1，求证：A1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p ，q ，r 是否共面？3.1.2 空间向量的数乘运算1．[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 2．[答案] C[解析] 根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件即可求得AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA→＋xAB →＋yAC →，由图知x ＝3，y ＝－23． [答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4． [答案] B[解析] 解法一：∵13＋13＋13＝1，∴选B. 解法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →， ∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．5．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 6.[答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . 7． [答案] －13i ＋2j ＋7k8．[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ∶FD ＝2∶1，连结MF ，则MN→＝MF →＋FN →∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →) MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →∴x ＝－23 y ＝－16 z ＝169．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→)＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．10． [解析] 假设存在实数λ，μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧ λ＝53μ＝13，即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 1.1.1 命题同步练习 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．语句“若a >b ，则a －c >b －2c ”是( )A ．不是命题B ．真命题C ．假命题D ．不能判断真假2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )A. a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c3．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；④如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若a >1，则函数f (x )＝a x 是增函数( )A ．不是命题B ．是真命题C ．是假命题D ．是命题，但真假与x 的取值有关5．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题．．．的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a ·b )c ＝(c ·a )b ； ②|a |－|b |>|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．8．已知命题“若x 1<x 2<0，则a x 1>ax 2”是假命题，则a 满足的条件是________．三、解答题9．已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，若p 假q 真，求x 的值．10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0.(4)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.1.1.1一、选择题C B B B B C二、填空题7 ②④ 8 a ≤0三、解答题9． [解析] ∵p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6x 2－x>－6x ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3x ∈R x ∈Z故x 的取值为－1,0,1,2.10． [解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根(3)若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0(4)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习3 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．轨迹不存在2．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.943．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )A ．±34B ．±22 C ．±32 D ．±34 4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32B. 3C.72D ．4 5．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 26．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <4 二填空题 7．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.8. 已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．三解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)10．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝12，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．练习三1．C ；2.D ；3.C ；4.C ；5.B ；6.B ；7. 23；8. x 2＋43y 2＝1；9．[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (12，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0m ＋4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝4.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.10．[解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系．设M (－c,0)，N (c,0)，c >0，又P (x 0，y 0)，y 0>0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0－c＝－2，y 0x 0＋c ＝12，cy 0＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53c ，y 0＝43c ，⇒P (523，23)．设椭圆方程为x 2b 2＋34＋y 2b 2＝1，又P 在椭圆上，故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154＋y 23＝1.。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习5 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为( )A ．(±152，1)B ．(152，±1)C ．(152，1)D ．(±152，±1) 2．在△ABC 中，BC ＝24，AB ＋AC ＝26，则△ABC 面积的最大值为( )A ．24B ．65C ．60D ．303．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.23 C.13 D.534．F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.12 C.22D.3－1 5．(09·江西理)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.33 C.12 D.136．已知点P 是椭圆x 245＋y 220＝1在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直．若点P 到直线4x －3y －2m ＋1＝0的距离不大于3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－7,8]B ．[－92，212]C ．[－2,2]D ．(－∞，－7]∪[8，＋∞)二填空题 7. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________． 8. 设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________． 三解答题9. (2010·北京文，19)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．10. A、B是两定点，且|AB|＝2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P.(1)求点P的轨迹方程；(2)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P的坐标．练习五1.D ；2.C ；3.D ；4.D ；5.B ；6.A ；7. 22；8. x 24＋y 23＝1；(±1,0)； 9. [解析] (1)∵ca ＝63且c ＝2，∴a ＝3，b ＝1. ∴椭圆c 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由题意知点P (0，t )(－1<t <1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2) ∴圆P 的半径为3(1－t 2)， 又∵圆P 与x 轴相切， ∴|t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32， 故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32. 10. [解析] (1)以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)．∵l 为MB 的垂直平分线，∴|PM |＝|PB |，∴|PA |＋|PB |＝|PA |＋|PM |＝4，∴点P 的轨迹是以A ，B 为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵m ＝|PA |·|PB |≤(|PA |＋|PB |2)2＝4， ∴当且仅当|PA |＝|PB |时，m 最大，这时P 的坐标(0，3)或(0，－3)．。

一、选择题1．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则2222(1)(4)(5)m n m n +++-++的最小值为A ．4B ．5C ．30D ．62．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．42B ．62C ．82D ．83．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤ 5．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．3.90mB ．3.95mC ．4.00mD ．4.05m6．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22，则213a b +的最小值为（ ）A 23B 3C ．2D 29．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，若直线:l y kx =，33k ∈⎣与双曲线C 交于M 、N 两点，且11MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．)2,2⎡⎣C ．2,31⎤⎦D ．(31⎤⎦10．已知动点(),P x y ()()2222522x y x y a a+-++=+(a 为大于零的常数)﹐则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．4512．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(二、填空题13．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．15．双曲线()222210,0x y a b a b-->>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线有唯一交点P ，若124sin 5F PF ∠=，则该双曲线的离心率为___________. 16．F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，且||6PQ =，则||MF =__________．17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M是12PF F △内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a=（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____．18．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.20．已知抛物线C : y 2=2px (p >0)，直线l ：y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5，则p = ___．三、解答题21．已知椭圆22:11612x y E +=，1F 、2F 为左、右焦点，()2,3A .（1）求12tan F AF ∠及12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（2）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出：若不存在，说明理由．22．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2e =，过1F的直线交椭圆于A ，B 两点，且2ABF 的周长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 2ABF 的面积．23．已知动圆与直线1x =-相交于,A B 两点，且||AB = （1）当动圆过定点(2,0)时，求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(1,0)-的直线l 交（1）中动圆圆心C 的轨迹于,M N 两点，点P 为,M N 的中点，过点P 垂直于直线l 的直线交x 轴于点Q ，求点Q 的横坐标的取值范围．24．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，离心率为2，且过点D ⎭． （1）求椭圆E 的标准方程;（2）过点()4,0P 作与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点(N 在P ，M 之间)．证明:直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．26．如图，已知点P 是x 轴下方(不含x 轴)一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A ､B 满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D ､E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M .（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n ++-++.【详解】 由214y x =-，得24x y =-． 则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n ++-++点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=． 故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．2．D解析：D 【分析】写出直线l 的方程，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得AB . 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，直线l 的方程为1y x =-，设点()11,A x y 、()22,B x y联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2610x x -+=，2640∆=->，所以，126x x +=，由抛物线的焦点弦长公式得1228AB x x =++=. 故选：D. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．4．A解析：A 【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x ，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=，因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.5．B解析：B 【分析】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解. 【详解】设抛物线的方程为2x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-， 所以，抛物线的方程为25x y =-，将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-， 因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.6．B解析：B 【分析】首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算AB CD +和AB CD ，再求λ的值.【详解】24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为11x y t=-+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y t +=，124y y =-，则()()22212121441AB t y y y y t =++-=+，同理2141CD t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭， 故14λ=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t-求CD . 7．B解析：B 【分析】作出图形，过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ，由抛物线的定义得出1d MB MF ==，可得出12d d MF MA +=+，利用FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，然后计算出点F 到直线3490x y ++=的距离，即为所求.【详解】 如下图所示：过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ， 由抛物线的定义可得1d MB MF ==，则12d d MF MA +=+， 当且仅当FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值， 点F 到直线3490x y ++=的距离为2d ==，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.8．C解析：C 【分析】由椭圆的离心率为3和222a b c =+，求得3a b =，化简2219113333a b b b b b ++==+，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，即3c a =，即3c =，又由222a b c =+，可得2219b a =，即3a b =所以22191132333a b b b b b ++==+≥，当且仅当133b b=，即13b =时，“=”成立.故选：C. 【点睛】 关键点睛：1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件；2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解；3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.9．C解析：C 【分析】根据题意，得到()1,0F c -，设(),M x y ，则(),N x y --，由11MF NF ⊥，求出2220x y c +-=与双曲线联立，求出()2222242242222a c a x c c a c a y c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再由2221,33y k x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，列出不等式求解，即可得出结果 【详解】因为点1F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，则()1,0F c -， 设(),M x y ，由题意有(),N x y --，则()1,MF c x y =---，()1,NF c x y =-+，又11MF NF ⊥，所以()()2110MF NF c x c x y ⋅=---+-=，则2220x y c +-=，又(),M x y 在双曲线上，所以22221x y a b -=，由22222222221x y a b x y c c a b ⎧-=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得()2222242242222a c a x c c a c ay c ⎧-⎪=⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又M 在直线y kx =上，k ∈⎣， 所以()4224424222222222212111,33212c a c a e e e e e a c a y k x -+-+---⎡⎤====-∈⎢⎥⎣⎦， 即42424213421e e e e ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≤⎪-⎩，整理得42423840840e e e e ⎧-+≥⎨-+≤⎩，解得224e ≤≤+2243e -≤≤（舍，因为双曲线离心率大于1），1e ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的标准方程，解决本题的关键点是把11MF NF ⊥转化为向量数量积的坐标表示，求出点M 的轨迹方程，结合点在双曲线上，求出点的坐标，代入斜率公式求出离心率的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．10．C解析：C 【分析】由a 为大于零的常数，可知5a a+的最小值，再根据两点间距离公式得几何意义以及椭圆定义判断轨迹. 【详解】的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)A 间的距离，的几何意义为点(),P x y 与点(0,2)B -间的距离，且4AB =又由a 为大于零的常数，可知54a a +≥=>，当且仅当5a a=，即a =54a a=+>， 即动点P 到点A 与到点B 的距离之和为定值，且大于AB ， 所以动点P 的轨迹为椭圆， 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x 轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ， 则2222200000||(2)44PA x a y x ax a y =--=-++又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-， ∴2222222000002||(2)44b x PA x a y x ax a b a=--=-++-222200244c x ax a b a=-+-22220044e x ax a b -+-．当PA 最小时，0224202a ax e e-=-=>． 又点P 不在顶点位置， ∴22aa e>，∴22e <，∴2e <． ∵双曲线离心率1e >，∴12e <<．故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线():232AB y x -=-，直线():232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故A B x x =，由2A x =得B x =，故B y =，联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x -++=，故A C x x =，由2A x =得C x =，故C y =，故4B C y y +=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC的方程为12y x ⎛=- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=14．【分析】由题意利用直角三角形的边角关系可得再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出【详解】设直线的倾斜角为则在直角三角形中令则由椭圆定义得椭圆的离心率故答案为：【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系1【分析】由题意1290F MF ∠=，利用直角三角形的边角关系可得21,MF MF ，再利用椭圆的定义及离心率的计算公式即可得出． 【详解】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1． 【点睛】熟练掌握直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率的计算公式是解题的关键，属于基础题．15．或【分析】首先设出直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标利用弦长公式求得并根据定义表示中根据余弦定理表示再求离心率【详解】如图当直线与渐近线平行时与双曲线有唯一交点设与双曲线方程联立得解得：中由余弦解析：2或17 【分析】首先设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，求得点P 的坐标，利用弦长公式求得1PF ，并根据定义表示2PF ，12F PF △中，根据余弦定理表示12281cos 3F PF e ∴-∠=+，再求离心率. 【详解】如图，当直线与渐近线平行时，l 与双曲线有唯一交点P ，设():bl y x c a=+，与双曲线方程联立，得222cx a c -=+，解得：22a cx c+=-，()22222122122P b c a c b PF x c c a a c a+=+--=-+=， 2221422b a PF PF a a+=+=，122F F c =， 12F PF △中，124sin 5F PF ∠=，123cos 5F PF ∴∠=±， 由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()()212121221cos PF PF PF PF F PF =-+-∠，()()()2222212244221cos 4b a b c a F PF a+∴=+⋅-∠，2212222228881cos 433a a F PFb ac a e ∴-∠===+++， 当123cos 5F PF ∠=时，28235e =+，17e =， 当123cos 5F PF ∠=-时，28835e =+，2e =，172【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.16．3【分析】先根据抛物线方程求出p 的值再由抛物线性质求出的垂直平分线方程即可得到答案【详解】∵抛物线∴p=2焦点F(10)可设直线l ：P(x1y1)Q(x2y2)将代入抛物线得：∴设PQ 中点为N(x0解析：3 【分析】先根据抛物线方程求出p 的值，再由抛物线性质求出PQ 的垂直平分线方程，即可得到答案. 【详解】∵抛物线2:4C y x =,∴p =2，焦点F (1,0) 可设直线l ：(1)y k x =-,P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)将(1)y k x =-代入抛物线2:4C y x =得：2222(24)0k x k x k -++= ∴12242x x k +=+1224||226,PQ x x p k k =++=++=∴=设PQ 中点为N (x 0,y 0),则2120004242,(1)222x x k x y k x k++=====-= 所以线段PQ 的垂直平分线方程：1(2)y k x k-=--令y =0，可得x =4，所以||413MF =-=故答案为：3 【点睛】坐标法是解析几何的基本方法,利用坐标法把几何关系转化为代数运算.17．【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与轴切于顶点再分别表示列出关于的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围【详解】设圆心设内切圆与相切于点如图：根据内切圆性质可知点是双曲线的顶点即整理解析：(11)． 【分析】首先利用双曲线的定义和内切圆的性质证明内切圆与x 轴切于顶点，再分别表示12,PF PF ，列出关于,a c 的齐次不等式求双曲线的离心率的取值范围.【详解】设圆心(),M x y ，设内切圆与1212,,PF PF F F 相切于点,,A B C ， 如图：根据内切圆性质可知PA PB =，11F A FC =，22F B F C =， 1212122PF PF PA AF PB BF CF CF a ∴-=+--=-=, ∴点C 是双曲线的顶点，即11F A FC c a ==+，22F B F C c a ==-，22c PA PB a==， 2122222c c a PF ac PF c a a++=>-+，整理为：22260c ac a +-<，两边同时除以2a ， 得2260e e +-<，解得：1717e --<<-+，且1e >， 所以离心率的取值范围是()1,71-.故答案为：()71 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.18．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤ 所以离心率222131122c b e a a ⎫⎛==-≥-= ⎪⎝⎭，所以3,12⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭e . 故答案为：3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．19．【分析】作出图形根据已知条件可得出与的大小关系再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】如下图所示双曲线的渐近线方程为由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点由图可知直线的倾斜解析：23,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】作出图形，根据已知条件可得出b a 与tan 6π的大小关系，再利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线by x a =的倾斜角6πα≥，所以，tan 63b a π≥=因此，3c e a ==.所以，该双曲线的离心率为取值范围是3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法： 一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、e 表示，令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式，进而求解．20．2【分析】法1：首先利用直线过焦点得再利用直线与抛物线方程联立利用根与系数的关系表示计算求得；法2：由已知求得的值再利用弦长公式求的值【详解】法1：由题意知直线即直线经过抛物线的焦点即直线的方程为设解析：2 【分析】法1：首先利用直线过焦点，得b p =-，再利用直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示12AB x x p =++，计算求得p ；法2：由已知tan 2θ=，求得sin θ的值，再利用弦长公式22sin pAB θ=，求p 的值. 【详解】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-． 设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x py px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232p x x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =.法2：设直线的切斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴22225sin p pAB θ===，得2p =.故答案为：2 【点睛】结论点睛：当直线过抛物线的焦点时，与抛物线交于,A B 两点，AB 称为焦点弦长，有如下的性质：直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，①221212,4p y y p x x =-=；②12AB x x p =++；③11AF BF +为定值2p ；④弦长22sin p AB θ= （θ为直线AB 的倾斜角）；⑤以AB 为直径的圆与准线相切；⑥焦点F 对,A B 在准线上射影的张角为90.三、解答题21．（1）124tan 3F AF ∠=，直线l 的方程为210x y --=；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）分析得出2AF x ⊥轴，进而可得出12122tan F F F AF AF ∠=，设122F AF θ∠=，求出tan θ的值，可得出直线l 的斜率，进而可得出直线l 的方程；（2）假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点()11,M x y 、()22,N x y ，进而可设直线MN 的方程为2xy t =-+，与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出线段MN 的中点P 的坐标，根据点P 在直线l 上，求出t 的值，可得出点P 的坐标，由此可得出结论. 【详解】（1）在椭圆E 中，4a =，b =2c =，则()12,0F -、()22,0F ，因为222311612+=，即点A 在椭圆E 上，且2AF x ⊥轴，121224tan 3F F F AF AF ∠==，设122F AF θ∠=，则22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，整理可得22tan 3tan 20θθ+-=， 易知θ为锐角，则tan 0θ>，解得1tan 2θ=， 设直线l 的倾斜角为α，则sin cos 12tan tan 22sin tan cos2πθπθαθπθθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-==== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，因此，直线l 的方程为()322y x -=-，即210x y --=；（2）假设椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点()11,M x y 、()22,N x y ， 则直线MN 的斜率为12-，设直线MN 的方程为2xy t =-+， 联立22123448y x t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，整理可得22120x tx t -+-=， 由韦达定理可得12x x t +=，则()121213222y y x x t t +=-++=， 所以，线段MN 的中点为3,24t t P ⎛⎫⎪⎝⎭， 点P 在直线l 上，所以，32110244t t t⨯--=-=，解得4t =， 所以点()2,3P ，此时，点P 与点A 重合，不合乎题意. 因此，椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的探索性问题求解思路如下： 第一步：假设结论存在．第二步：结合已知条件进行推理求解．第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设． 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．22．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆的定义，由2ABF的周长为a ，再根据离心率求出c ，进而可求出2b ，从而可得椭圆方程；（2）先直线AB的方程为1)y x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且2ABF的周长为得2211224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==a =又2e =，所以2c a =，1c =， 所以21b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设直线AB的方程为1)y x =+，()11,A x y ，()22,B x y由221)12y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得271240x x ++=， 所以12127x x +=-，1247x x ⋅=，所以1212y y x -=-==．所以212177ABF Sc y y =⋅-=⨯=． 【点睛】 思路点睛:求解圆锥曲线中的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，（有时也需要点到直线距离公式），即可求解. 23．（1）26y x =；（2）(4,)+∞. 【分析】（1）首先设圆心(),C x y ，利用条件表示半径，列等式求圆心的轨迹方程；（2）首先设直线:(1)MN y k x =+，与（1）的轨迹方程联立，利用根与系数的关系求得中点坐标，并表示过点P 的垂线方程，求与x 轴的交点Q 的坐标，并求范围. 【详解】解：（1）设(,)C x y ，则222(1)3(2)x x y ++=-+ 即26y x =，所以圆心C 的轨迹方程为：26y x = （2）设过点(1,0)-直线:(1)MN y k x =+，联立26(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消y 得：()2222260k x k x k +-+=所以()2242640k k ∆=-->，即232k <设()()1122,,,M x y N x y ，根据韦达定理得：1212262,1x x x x k +=-= 所以MN 的中点2331,P k k ⎛⎫-⎪⎝⎭过点P 的垂线为23131y x k k k ⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令0y =，则2324x k =+>， 所以点Q 的横坐标的取值范围(4,)+∞.【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问直线与抛物线方程联立后，不要忘记0∆>这个条件，否则求点Q 横坐标的取值范围就会出错.24．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）待定系数法求椭圆标准方程；（2）用“设而不求法”表示出M 、N ，，从而表示出直线MB ，NA , 证明直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值． 【详解】（1）因为2c e a ==，所以12b a =椭圆过点2D ⎭， 所以2221142b b+=， 所以2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=（2）设直线:4l x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2248120m y my +++= 2161920m ∆=->，m >m <-由韦达定理得：12284m y y m -+=+，122124y y m =+ 由题意得：直线11:(2)2y MB y x x =--，直线22:(2)2yNA y x x =++ 所以()()12212(2)2(2)y x x y x x +-=-+即()()12112212121262262x my y y my y y my y y y my y +--=+++ 整理得()()121221622226x y y my y y y -=++， 即()()121221622326x y y y y y y -=-+++⎡⎤⎣⎦ 即()()12126262x y y y y -=-若213y y =，则1m =±，此时2161920m ∆=-<， 所以12620y y -≠ 所以1x = 【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的常用方法；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】 （1）由已知得122p -=-，所以1p =； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =， 因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-， 则122y y +=，124y y =-， 所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力. 26．（1）230x y -+=；（2）证明见解析，定值为1λλ+. 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =可得D 与E 坐标，代入抛物线方程可得1x 与2x ，即可求AB 所在的直线方程；（2）由设00(,)P x y ，PD DA λ=，PE EB λ=可得D 与E 坐标，代入抛物线方程可得1x 与2x 满足的方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=，通过计算得到直线PM 的方程为0x x =，即线段PQ 与QM 的比为Q P M Qy y y y --，计算化简得到定值.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =， 可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得： 222230x x --=，∵A ､B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=.（2）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x ､2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+. 【点晴】思路点晴：由向量关系得到点,,A B P 坐标关系，求得直线PM 的方程为P x x =，所以M Q MQ y y =-，Q P QP y y =-，则线段PQ 与QM 的比为Q P M Qy y y y --，结合题意得比值.。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习4 理（实验班）新人教A 版选修2-1一选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相等的长轴长 2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.323．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.154．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝4 5．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A ．[6,10] B ．[6,8] C ．[8,10]D ．[16,20] 6．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.63二填空题 7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为__ ___；8．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为_______．三解答题9．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．练习四1.C ；2.D ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7. x 236＋y 29＝1；8. 12；9. [解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|FA |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎨⎧ b ＝ca －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2解得⎩⎨⎧ a ＝10b ＝5所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1.10. [解析] 由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 2.4.1 基本不等式同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(1，－1)C ．(14，－14) D ．(116，－116) 2．抛物线x 2＝4ay 的准线方程为( )A ．x ＝－aB ．x ＝aC ．y ＝－aD ．y ＝a3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102 5．抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，则C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12C ．x ＝18D ．x ＝－12二、填空题7．抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是____________．8．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________．三、解答题9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右两个焦点为F 1、F 2，离心率为12，又抛物线C 2：y 2＝4mx (m >0)与椭圆C 1有公共焦点F 2(1,0)．求椭圆和抛物线的方程．10．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．2.4.1一、选择题1．[答案] A[解析] y ＝41x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．2．[答案] C3．[答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝4，∴A (4,4)，焦点坐标为(0,1)，∴所求距离为＝＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2p ＝x 0＋41＝2，∴x 0＝47，∴y 0＝±27.5．[答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x ，焦点F (1,0)，准线x ＝－1，∵M 到准线的距离为3，∴x M －(－1)＝3，∴x M ＝2.6．[答案] C[解析] 抛物线C 1：y ＝2x 2的准线方程为y ＝－81，其关于直线y ＝－x 对称的抛物线C 2：y2＝－21x 的准线方程为x ＝81.故应选C.二、填空题7．[答案] (2,0)[解析] 该题考查抛物线的基础知识．要认清形式：本题形如y 2＝2px (p >0)，焦点坐标为(2p ，0)，故为(2,0)．8．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．三、解答题9．[解析] 椭圆中c ＝1，e ＝21，所以a ＝2，b ＝＝，椭圆方程为：4x2＋3y2＝1，抛物线中2p ＝1，所以p ＝2，抛物线方程为：y 2＝4x .10．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6，∴设点M 的坐标为(x,6)，∴62＝2px (1)∵点M 到准线的距离为10，∴x ＋2p ＝10(2)由(1)(2)解得p ＝2；x ＝9，或p ＝18.x ＝1，故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x ，当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习11 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( ) A.32 3 B.25 5 C.7105 D.172 2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2234．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是( )A ．|AB |>|CD | B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |<|CD | D ．|AB |≠|CD | 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 66．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716二、填空题7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为________．8．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．三、解答题9．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．10．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离．练习十一1.B ；2.A ；3.D ；4.A ；5.C ；6.A ；7. k >14或k <－14；8. 83； 9. [解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22. ∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 10. [解析] 由题意可设l AB 为：y ＝x ＋b ，把直线方程代入y ＝－x 2＋3中得，x 2＋x ＋b －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2b －1.∴AB 的中点坐标为(－12，b －12)，则该点在直线x ＋y ＝0上． ∴－12＋(b －12)＝0，得b ＝1. ∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 2 (－1)2－4×(－2)＝3 2.所以A 、B 两点间距离为3 2.。

某某省师X 大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习10 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么，|AB |等于( )A ．8B ．10C ．6D ．42．到点(－1,0)与直线x ＝3的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4y ＋4B ．y 2＝－4x ＋4C ．x 2＝－8y ＋8D ．y 2＝－8x ＋83．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．124．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝05．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－36．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二填空题7．已知点A (4,0)，M 是抛物线y 2＝6x 上的动点，当点M 到A 距离最小时，M 点坐标为________．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →，则p ＝________.三解答题9．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB→<0？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，请说明理由．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．练习十1.A ；2.D ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7. (1，±6)；8.2；9. [解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0， 此时Δ＝16(t 2＋m )>0.于是⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值X 围是(3－22，3＋22)． 10. [解析] 解法1：焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)． 解法2：如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知，|AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ；x 1＋x 2＝32p . 当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ，直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0. x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2. ∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 1.3.1 简单的逻辑联结词（一）同步练习理（实验班）新人教A版选修2-11．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p 且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．33．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( )A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么( )A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题5．命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中，使用逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”6．下列命题：①2>1或1<3；②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4[二、填空题7．设命题p：3≥2，q：32∈[23，＋∞)则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________．8．分别用“p∧q”“p∨q”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．三、解答题9．指出下列命题的构成形式(“p∧q”或“p∨q”)及构成它的命题p，q，并判断它们的真假．(1)5≥3；(2)(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)既能被2整除，也能被3整除；(3)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集．10．已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：0<x<4.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．1.3.1一选择题C A B C B C二、填空题7 p∨q 8 (1)p∧q(2)p∨q(3)p∨q三、解答题9 [解析] (1)此命题为“p或q”的形式，其中，p：5>3；q：5＝3.此命题为真命题，因为p为真，q为假，所以“p或q”为真命题．(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除．此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命题．所以“p且q”为真命题．(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：∅是{∅}的元素；q：∅是{∅}的真子集．此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故“p且q”为真命题．10 [解析] 由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4.则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤0或x≥4}．∴满足条件的实数x的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 1.1.2 四种命题同步练习理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．给出以下4个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( )A ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB ．若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝AC ．若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠AD ．若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B4．有下列四个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；(2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；(3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题；(4)“若a b 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是t 的( )A ．逆否命题B ．逆命题C ．否命题D ．原命题 6．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题7．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．8．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．三解答题9．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．1.1.2一、选择题B C A B C C二、填空题7 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.8．假三、解答题9 [解析] (1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.10． [解析] 原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习7 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 2．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( ) A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线 3．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x 4．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．45．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B.62 C.63 D.336．已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e <5－2B ．1<e <2C ．1<e <3D ．1<e <2＋ 5二填空题 7．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________． 8．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．三解答题9．双曲线与圆x 2＋y 2＝17有公共点A (4，－1)，圆在A 点的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的标准方程．10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，焦距为2c ，左顶点为A ，虚轴的上端点为B (0，b )，若BA →·BF →＝3ac ，求该双曲线的离心率．练习七1.C ；2.C ；3.D ；4.C ；5.B ；6.D ；7. 1；8. x 236－y 212＝1； 9. [解析] ∵点A 与圆心O 连线的斜率为－14， ∴过A 的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±4x .设双曲线方程为x 2－y 216＝λ. ∵点A (4，－1)在双曲线上，∴16－116＝λ，λ＝25516. ∴双曲线的标准方程为x 225516－y 2255＝1. 10. [解析] 由条件知F (c,0)，A (－a,0)，∴BA →＝(－a ，－b )，BF →＝(c ，－b )，∵BA →·BF →＝3ac ，∴－ac ＋b 2＝3ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－4ac ＝0，∵e >1，∴e ＝c a ＝2＋ 5.。

某某省师X 大学附属中学2014高中数学 充要条件同步练习 理（实验班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件，也不是“x ∈A ”的必要条件2．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )A ．α，β都平行于直线l ，mB ．α内有三个不共线的点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．8．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的____________条件．三、解答题9．已知命题p ：|x －8|≤2，q ：x －1x ＋1>0，r ：x 2－3ax ＋2a 2<0(a >0)．若命题r 是命题p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，试求a 的取值X 围．10．方程y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点的充要条件是什么？一、选择题 1 B BD A B C二、填空题7 {－5,5，－10} 8 充要三、解答题9． [解析] 命题p 即：6≤x ≤10；命题q 即：x >1；命题r 即：a <x <2a .若记以上3个命题中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，所以有A C B ，结合数轴应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ≤6，2a ≥10，即a 的取值X 围是5≤a ≤6.10 [解析] 解法一：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝a |x |y ＝x ＋a ，即a |x |＝x ＋a ，当x >0时，x ＝a a －1>0，解得a >1或a <0(舍)；当x <0时，x ＝－a a ＋1<0，解得a >0或a <－1(舍)． ∴两曲线y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)有两个交点的充要条件是a >1.解法二：如图所示，数形结合可知a >1成立．。

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第二单元 数列章末归纳总结同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5 D.92 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．过原点的直线l 与双曲线x 24－y 23＝－1交于两点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－32，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.37166．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是( )A ．|AB |>|CD | B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |<|CD | D ．|AB |≠|CD |二、填空题7．设P 是双曲线x 2－y 23＝1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知A (3,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为________．8．如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点．(1)抛物线的方程为________；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |＝________.三、解答题9．在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝1.如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，求这个椭圆的焦距．10．如图所示，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方法进行折叠，使每次折叠后B都落在AD边上，此时将B记为B′(图中EF为折痕，点F也可落在边CD上，)过B′作B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程．章末归纳总结一、选择题1．[答案] D[解析] 将双曲线9y 2－m 2x 2＝1化为标准方程得91－m21＝1，不妨取顶点31，一条渐近线3y －mx ＝0，由题意知3＝51，解得m ＝4.2．[答案] A[解析] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点，(0,2)点，和抛物线的焦点，01三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝21＝217.3．[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(2x1＋x2，2y1＋y2)，∴2y1＋y2＝2，＝2px2 ②2①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒x1－x2y1－y2＝y1＋y22p ＝2y1＋y2，∴k AB ＝1＝2p ⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.4．[答案] B[解析] 双曲线的焦点在y 轴上，渐近线的斜率为±23，利用数形结合的方法易得直线l 的斜率的取值范围是，＋∞3∪23.5．[答案] A[解析] 如图|PA |＋|PB |＝|PF |＋|PB |∴所求最小值为点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ＝5|4×1－0＋6|＝2，故选A. 6．[答案] A[解析] 由抛物线的焦点弦公式l ＝sin2θ2p 知，|AB |>|CD |，故选A.二、填空题7．[答案] －2[解析] 设双曲线的另一个焦点为F ′，则有F ′(－2，0)，F (2,0)，连结AF ′交双曲线的右支于点P 1，连结P 1F ，则|P 1F ′|－|P 1F |＝2a ＝2.于是(|PA |＋|PF |)min ＝|P 1A |＋|P 1F |＝|P 1A |＋(|P 1F ′|－2)＝|AF ′|－2＝－2.8．[答案] (1)y 2＝8x (2)6[解析] (1)圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，知圆心坐标为(2,0)，即抛物线的焦点为F (2,0)，∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)由题意知直线AD 的方程为y ＝2(x －2)，即y ＝2x －4，代入y 2＝8x ，得x 2－6x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10.又圆直径|BC |＝4，∴|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝10－4＝6.三、解答题9．[解析] 如图，设F 、C 分别是椭圆的左、右焦点，由定义|AC |＋|AF |＝|BC |＋|BF |，∵|AC |＝|AB |＝|AF |＋|BF |＝1，|BC |＝，∴|AF |＝22，∴焦距|FC |＝＝26.10．[解析] 以边AB 的中点O 为原点，AB 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．因为|BT |＝|B ′T |，B ′T ⊥AD ，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点B 为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )，由|AB |＝4知抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4.故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．。