高中数学竞赛初步知识介绍中国数学奥林匹克竞赛也称“全国高中数学联赛”创办于1981年，是教育部批准，由中国科协主管，中国数学会主办的一项传统竞赛活动，旨在提高中学生学习数学的兴趣，推动数学课外活动的广泛开展，促进数学课内与课外教育的结合，为对数学有兴趣且学有余力的在校学生提供进一步提高的机会，为数学教育改革尤其是课程改革提供新的思路，为发现、培养和选拔一批数学人才.联赛每年9月份举行，分为一试和二试.目前试卷的结构及题型、分值搭配等是：一试考试时间为8：00—9：20，共80分钟，包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分.内容在高考考查内容基础上略有拔高.二试考试时间为9：40—12：10，共150分钟，包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面.前两题每题40分，后两题每题50分，满分180分.联赛后会产生省级赛区一二三等奖，各省获奖名单预计在10月份陆续公布.决赛（数学冬令营）一般在每年11月份举行.冬令营为期5天，第一天是开幕式，第二三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖.冬令营结束后，产生全国一二三等奖，分别获得金牌、银牌和铜牌.之后从全国一等奖选手中选拔成绩突出的选手进入国家集训队.在国家集训队训练一段时间后，会从中选拔杰出6人代表国家参加每年7月份的国际数学奥林匹克竞赛.§1数学方法选讲一、从简单情况考虑例1．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色.这时，图中共有1997条互不重叠的线段.则两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？【分析】从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数.然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化.由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了.二、从特殊情况、极端情况考虑对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化.对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法.运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般.通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答.例2．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的.问：是否能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A？【分析】从极端情况观察入手，设B是胜的次数最多的一个选手，但因B没获全胜，故必有某选手A胜B.进而分析.三、从整体考虑例3．右图是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1.按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0，0变成1.能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？【分析】分析表格中填入的所有数的和的奇偶性.四、从反面考虑对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论.但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决.例4．某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分.问：此次测验至多有多少种不同的分数？【分析】最高的得分为50分，最低的得分为0分.但并不是从0分到50分都能得到.从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了.五、有序化例5．有四个互不相等的数，取其中两个数相加，可以得到六个和：24，28，30，32，34，38.求此四数.【分析】设四个数为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，列方程求解.§2集合一、基础知识定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉.不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示.集合分有限集和无限集两种.集合的表示方法有列举法，描述法.定义2子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆.规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等.如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集.定义3交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或 定义5补集，若},{,A x I x x A C I A I ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集.定义6差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且.定义7集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定义8集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分.定理1集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A =（2）)()()(C A B A C B A =；（3）)()()(B A C B C A C I I I =；（4）).()()(B A C B C A C I I I =定理2（计数原理）加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法.定理3（计数原理）乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法.定理4容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A111 .)1(11 n i i n A=--+-定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数.定理6抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素.二、例题讲解例1.}02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a 例2.设A ，B 是两个集合，集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）.例3.设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈例4.（利用计数原理）集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数.例5.（利用容斥原理）求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数.§3不等式的证明一、基础知识不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质.1.基本事实：.0,0<-⇔<>-⇔>b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据.不等式的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）；（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据.（3）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）；变式d b c a d c b a ->-⇒<>,；（4）bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>0,;0,；（5）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向可加性）；（6）db c a bc ad c d b a >>⇒>>>>,,0,0（同向同正可乘性）；（7）)(,0+∈>>⇒>>N n b a b a b a n n n n ；（8）ba b a b a b a 1100,1100>>⇒<<<<⇒>>；（9）糖水不等式：若0,0>>>m a b ，则m b m a b a ++<.含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤（2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 2．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）n j n j j b a b a b a +++≥ 2121（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）.其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如cc b b a a a c c b b a c b a R c b a ⋅+⋅+⋅⇔++≥++∈+222222333,,,时c c b b a a a c c b b a c b a a c c b b a a c c b b a 111111;222222222222⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅⇔++≥++⋅+⋅+⋅≥.应用排序不等式可证明我们熟悉的重要不等式，a b b a b a ⋅+⋅≥+22.3．一般地，对于n 个正数n a a a ,,21，有如下平均数：①调和平均数（在光学及电路分析中要用到）：n n a a a nH 11121+++= ，②几何平均数：n n n a a a G 21⋅=，③算术平均数：na a a A n n +++= 21，④平方平均数（在统计学及误差分析中用到）：n a a a Q n n 22221+++=，这四个平均值有以下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，其中等号当且仅当n a a a === 21时成立.4．柯西（Cauchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 等号当且仅当nn b a b a b a === 2211，（或表示为k ka b i i ,=为常数，n i ,,2,1 =）时成立.通俗的说法是：111)()(,0,,,---++≥+>n nn n n n b a y x b y a x b a y x .二元结构形式：取1m =，设,,1,2,i i a b R i +∈=则()22212121212a a a a b b b b ++≥+，当且仅当1212a ab b =时等号成立.三元结构形式：取1m =，设,,1,2,3i i a b R i +∈=，则()2222123312123123a a a a a ab b b b b b ++++≥++，当且仅当312123a a a b b b ==时等号成立.另：若对柯西不等式变形，可得()()22121222121a a b b b a b a +≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，因此当,,1,2,i i a b R i +∈=时，就有()21221222121b b a a b a b a ++≥+当2211b a b a =时，等号成立.同理,)(3212321323222121b b b a a a b a b a b a ++++≥++当332211b a b a b a ==时，等号成立.这样也能得到权方和不等式.6．利用排序不等式还可证明下述不等式：切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.二、例题讲解例1.（利用权方和不等式）设,2,0,1=+>>b a b a 求ba 211+-的最小值；（2）已知0,>b a ，且12=+b a ，求b a 21+的最小值.例2.（利用权方和不等式）已知正实数,x y 满足141223x y x y +=++，则x y +的最小值为．例3.（利用权方和不等式）已知x ＞0，y ＞0，14x y x y +=+，则x y +的最小值为．例4.（利用权方和不等式）已知正实数,a b 满足111a b +=，则4911a b a b +--的最小值为．例5.（利用权方和不等式）已知21a b +=，,a b R ∈.（1）求22a b +的最小值；（2）求222a b +的最小值.例6.R c b a ∈,,，求证：.222ca bc ab c b a ++≥++例7.,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++【分析】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧，如证法一.（2）本题亦可用重要不等式求证，如证法二.例8.（利用排序不等式）.222,,,333222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证【分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.。
