知能优化训练：人教A版 选修2-1第2章2.2.2第二课时知能优化训练

人教A版高中数学选修2-2全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.2知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2.2（一）知能优化训练第1章1.2.2（二）知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第1章1.3.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第1章1.5.2知能优化训练第1章1.5.3知能优化训练第1章1.6知能优化训练第1章1.7.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3知能优化训练第3章3.1.1知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.2.1知能优化训练第3章3.2.2知能优化训练1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案：A2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C.Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.3．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔt →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 答案：1144．求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 (1＋11＋Δx )＝2，从而y ′|x ＝1＝2.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：选B.Δy ＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 解析：选 B.因为Δy ＝[2(1＋Δx )2－1]－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx ，故选B.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81解析：选B.Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0(18＋3Δt )＝18，故选B.4．某质点沿曲线运动的方程y ＝－2x 2＋1(x 表示时间，y 表示位移)，则该点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6解析：选D.令f (x )＝y ＝－2x 2＋1，则质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度v －＝Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.5．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s解析：选C.s ′|t ＝1.2＝li mΔt →02[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt ＝－4.8.6．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.∵ΔyΔx ＝f (32＋Δx )－f (32)Δx＝－Δx －3，∴li mΔx →0 ΔyΔx ＝－3.二、填空题7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则li mx →0f (1＋x )－f (1)x ＝________. 解析：li mx →0f (1＋x )－f (1)x ＝f ′(1)＝1.答案：18．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.解析：li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0a (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－ax 2－2xΔx＝li mΔx →02ax ·Δx ＋2·Δx ＋a (Δx )2Δx＝2ax ＋2.∴f ′(1)＝2a ＋2＝4， ∴a ＝1. 答案：19．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝________.解析：li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝－2li m－2Δx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx＝－2f ′(x 0)＝－2×11＝－22. 答案：－22 三、解答题10．若f ′(x 0)＝2，求lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k 的值．解：令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0. 则原式可变形为lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)－2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x )Δx＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.11．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li mΔt →0s (Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝li mΔt →0(3－Δt )＝3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝li mΔt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝li mΔt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝li mΔt →0－(Δt )2－ΔtΔt＝li mΔt →(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v －＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.12．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围． 解：∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx ＞0，∴Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx ＝li mΔx →0 11＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________________________________________________________________________.解析：2＝li mΔx →0(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1. 答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1.证明：∵y ＝li mΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0(x ＋Δx ＋1x ＋Δx)－(x ＋1x )Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1，∴y ＝x ＋1x 图象上的各点处的斜率小于1.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线解析：选C.k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →02(x ＋Δx )2－2x 2Δx ＝li mΔx →04x ·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x .则f ′(2)＝8.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＞0 D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析：选D.k ＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝li mΔx →(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1.∴2x ＝1，得x ＝12，故选D.5．设f (x )为可导函数，且满足li mx →f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2解析：选B.∵li mx →f (1)－f (1－x )x ＝－1， ∴li mx →0 f (1－x )－f (1)－x ＝－1，∴f ′(1)＝－1. 6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.y ′＝li mΔx →0(x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx＝li mΔx →0(2x ＋a )Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1.二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋P ＝1，即P ＝3. 答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.解析：li mΔx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝li mΔx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即ba＝2.答案：29．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________．解析：∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝li mΔx →012(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx＝li m Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝li m Δx →0(x ＋12Δx )＝x .∴y ′|x ＝1＝1.∴点P (1，－32)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.答案：45° 三、解答题10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率k ＝y ′|x ＝1＝li m Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝li mΔx →0(3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1,2)直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时， ΔyΔx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0， ∴a ＝－3.1．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B. 2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103解析：选D.∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4.∴a ＝103.3．曲线y ＝x ln x 在x ＝1处的切线方程为________． 解析：∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋1，则切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线方程为y ＝x －1. 答案：y ＝x －14．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x ；(4)y ＝sin2x －cos2x .解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x .(4)法一：y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′＝2cos2x ＋2sin2x＝22sin(2x ＋π4)．法二：∵y ＝2sin(2x －π4)，∴y ′＝2cos(2x －π4) ·2＝22sin(2x ＋π4)．一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：选B.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x2，(3x )′＝3x ln3， (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5解析：选B.由y ′＝3x 2－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.3．(2011年高考湖南卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：选B.y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2.故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为12.4．函数y ＝x 2cos2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos2x －x 2sin2x B ．y ′＝2x cos2x －2x 2sin2x C ．y ′＝x 2cos2x －2x sin2x D ．y ′＝2x cos2x ＋2x 2sin2x 解析：选B.y ′＝(x 2cos2x )′ ＝(x 2)′·cos2x ＋x 2·(cos2x )′＝2x cos2x －2x 2sin2x .5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题 7．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________． 解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)． 答案：e x (2x ＋x 2)8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c 的值为________．解析：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc ，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.答案：12三、解答题10．求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln(8x )；(2)f (x )＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝5log 2(2x ＋1)．解：(1)因为f (x )＝ln(8x )＝ln8＋ln x ，所以f ′(x )＝(ln8)′＋(ln x )′＝1x .(2)因为f (x )＝(x ＋1)(1x－1)＝1－x ＋1x－1＝－x ＋1x ＝1－xx，所以f ′(x )＝－1·x －(1－x )·12xx＝－12x(1＋1x )．(3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln2＝10(2x ＋1)ln2.11．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e.求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ，∴f ′(x )＝a ·e x ＋bx ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a e ＋b ＝e f ′(－1)＝a e －b ＝1e解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 答案：C2．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2D ．若y ＝x ，则y ′＝x2答案：C3．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.解析：∵y ′＝10x ln10，∴y ′|x ＝1＝10ln10. 答案：10ln104．质点的运动方程是s ＝1t5，求质点在t ＝2时的瞬时速度．解：∵s ＝1t 5，∴s ′＝(1t5)′＝(t －5)′＝－5t －6.∴s ′|t ＝2＝－5×2－6＝－564，即质点在t ＝2时的瞬时速度是－564.一、选择题1．y ＝x 2的斜率等于2的切线方程为( ) A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0或2x －y －1＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＝0解析：选C.设切点为(x 0，y 0)，y ′＝2x .y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，x 0＝1，y 0＝1，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选C.2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．(12，2)B ．(12，2)或(－12，－2)C ．(－12，－2)D ．(12，－2)解析：选B.y ′＝(1x )′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，则f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5解析：选A.f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.故选A. 4．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②(sin π3)′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④(－1x )′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而(32)′＝0，所以②错误；(1x2)′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； (－1x )′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，所以④正确，故选B.5．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]解析：选A.设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α. ∵y ′＝cos x ，∴tan α＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0. ∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又0≤α<π，∴α∈[0，π4]∪[3π4，π)．6．已知命题p ：函数y ＝f (x )的导函数是常数函数；命题q ：函数y ＝f (x )是一次函数．则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.常数函数的导数也是常数函数．故由p 不能得q ，而由q 能得出p . 二、填空题7．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________________________________________________________________________.解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1.∴ln a ＝－1，a ＝1e.答案：1e8．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－1，则x ＝________. 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，∴2x －3x 2＝－1，解得x ＝1或－13.答案：1或－139．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．解析：因为y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，得x 0＝e.∴k ＝1e.答案：1e三、解答题10．求下列函数的导数：(1)f (x )＝log 2x ；(2)f (x )＝2－x .解：(1)f ′(x )＝(log2x )′＝1x ln 2＝2x ln2. (2)∵2－x ＝(12)x ，∴f ′(x )＝[(12)x ]′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln2.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程． 解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13，∴y ′|x ＝8＝23×8－13＝13.即在点P (8,4)的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2012(x )． 解：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2012(x )＝f 0(x )＝sin x .1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 2．(2011年高考辽宁卷)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞)解析：选B.设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．3．函数y ＝3x －x 3在(－1,1)内的单调性是____________． 解析：y ′＝3－3x 2，令y ′<0得x >1或x <－1， 令y ′>0得－1<x <1.∴原函数在(－1,1)上是单调递增函数． 答案：单调递增4．求下列函数的单调区间． (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y ′＝1－1x .令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x<0，解得0<x <1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)， 函数的单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x2<0，而当x ＝0时，函数无意义，所以y ＝12x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y ＝12x 的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0. 4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 二、填空题7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0， ∴a >0.答案：(0，＋∞) 三、解答题10．求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3＋3x ；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1， 由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴f (x )的递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，↗ ↘↘ ↗ ∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为[π3，53π]．11．已知函数f (x )＝x 2·e x －1＋ax 3＋bx 2，且x ＝－2和x ＝1是f ′(x )＝0的两根． (1)a ，b 的值；(2)f (x )的单调区间．解：(1)∵f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f ′(x )＝0的两根， ∴f ′(－2)＝f ′(1)＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝03＋3a ＋2b ＝0，解方程组得a ＝－13，b ＝－1.(2)∵a ＝－13，b ＝－1，∴f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1， 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．12．已知函数f (x )＝ax －ax－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝a ＋a x2－2x ，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 只需f ′(x )在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.当a ＝0时，f ′(x )＝－2x<0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，∴a －1a ≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0∴a＝5.3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2<x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 24．求函数f(x)＝x＋1x的极值．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x2＝(x＋1)(x－1)x2，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当↗极大值y极小值＝f(1)＝2.一、选择题1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．下列函数存在极值的是()A．y＝1x B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3解析：选B.A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时， f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1. C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3 解析：选C.f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)·(x ＋1)，∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0， ∴x ＝－1时取极小值．5．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．无极值解析：选D.f ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0，∴函数f (x )在定义域R 上为增函数，故选D. 6．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝1或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上都不正确解析：选A.f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∵在x ＝1处f ′(x )有极值，∴f ′(1)＝0，即3－2a －b ＝0.①又f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0，∴a ＝3或a ＝－4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3舍去．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上 f ′(x )<0，∴f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值 ＝f (5)＝－98. 答案：10 －988．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0得x ＝ln(－a )． 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)9．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－19 三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－22(x －1)2；(2)f (x )＝x 2e －x .解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝2.↗ ↘ ↗ ↗ 并且极大值为f (－1)＝－38.(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·(1ex )′＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x ↘ ↗ ↘且为f (2)＝4e －2.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解：∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .↗ ↘ ↗∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1.12．(2010年高考安徽卷)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π， 求函数f (x )的单调区间与极值．解：由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22， 得x ＝π，或x ＝3π2.当x ↗ ↘ ↗ 因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比较可知y max ＝0，y min ＝－64. 答案：－64 04．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.求：(1)函数的极值；(2)函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.当↗ ↘ ↗ 从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：选A.令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋1解析：选C.因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32解析：选C.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数y ＝x e x 的最小值为________． 解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]9．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________.解析：y ′＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0， x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ， f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2. 答案：2 3 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当↗ ↘ ↗11．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.① (1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1.结合①，可知↗ ↘ ↗所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎡⎦⎤32(x ＋1x )min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9， 最大值是f (5)＝15.1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，则应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台 D ．9千台解析：选A.设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x ·(x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.3．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大． 解析：设长为x cm ，则宽为(30－x ) cm ， 所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x . 由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15. 答案：15 154．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×100002000x＝560＋48x ＋10800x (x ≥10，x ∈N *)f ′(x )＝48－10800x2.令f ′(x )＝0，得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0； 当10≤x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000(元)．故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．一、选择题1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，此时的函数值最大，故选D.2．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 cm B ．8 cm C ．10 cm D ．12 cm解析：选 B.设截去小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3.所以V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(x －8)(x －24)．令V ′＝0，则x ＝8∈(0,24)．3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A ．32米，16米 B ．30米，15米 C ．40米，20米 D ．36米，18米解析：选A.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，∴堆料场的长为51216＝32(米)．4．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值． 5．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．6．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2解析：。

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)； 第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种． 解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法； 第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)． 二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)． 答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种 解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法． 答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4， 由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

1．下列命题错误的是A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析：选＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三个内角都大于60°”，故选B3．用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形”答案：存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形4．若、都是正实数，且＋>2，求证：错误!0且>0，所以1＋≥2，且1＋≥2，两边相加得2＋＋≥2＋2，所以＋≤2这与已知条件＋>2矛盾，所以假设不成立，因此错误!错误!2故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析：对其的否定有两部分：一是任何三角形；二是至少有两个．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP答案：∠BAP＝∠CAP∠BAP＞∠CAP9．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．解析：假设a、b、c都小于错误!，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于错误!答案：错误!三、解答题10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：错误!，错误!，错误!不成等差数列．证明：假设错误!，错误!，错误!成等差数列，则错误!＋错误!＝2错误!，即a＋c＋2错误!＝4b，而b2＝ac，即b＝错误!，∴a＋c＋2错误!＝4错误!，∴错误!－错误!2＝0即错误!＝错误!，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故错误!，错误!，错误!不成等差数列．11．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且错误!和错误!都是无理数，求证：错误!＋错误!是无理数．证明：假设错误!＋错误!为有理数，则错误!＋错误!错误!－错误!＝a－b由a>0，b>0，得错误!＋错误!>0∴错误!－错误!＝错误!∵a、b为有理数，且错误!＋错误!为有理数，∴错误!为有理数，即错误!－错误!为有理数，∴错误!＋错误!＋错误!－错误!为有理数，即2错误!为有理数，从而错误!也应为有理数，这与已知错误!为无理数矛盾．∴错误!＋错误!一定为无理数12．已知a，b，c∈0,1，求证1－ab，1－bc，1－ca不可能都大于错误!证明：假设三个式子同时大于错误!，即1－ab>错误!，1－bc>错误!，1－ca>错误!，三式相乘得1－aa·1－bb·1－cc>错误!，①又因为0<a<1，所以0<a1－a≤错误!2＝错误!同理0<b1－b≤错误!，0<c1－c≤错误!，所以1－aa·1－bb·1－cc≤错误!，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．。

1．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1 答案：A2．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分解析：选C.依题意：x ≥0，方程可化为：3y 2－x 2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.3．已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．答案：x 216－y 29＝1 4．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9， ∴所求双曲线的方程为y 29－x 216＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线的方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)． ∵双曲线过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， 解得λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的方程为x 25－y 2＝1.一、选择题1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线解析：选D.由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线．2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由题意c ＝5，a ＝3，∴b ＝4.∴点P 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x ≥3)． 3．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0) 解析：选C.将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为(62，0)．故选C. 4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12B ．1或－2C ．1或12D ．1 解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.故选D.5．k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B.当k >9时，9－k <0，k －4>0，方程表示双曲线．当k <4时，9－k >0，k －4<0，方程也表示双曲线．∴k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件． 6．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23C ．5或25D ．7或23解析：选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF 1|－|PF 2||＝8，∴|PF 1|＝15＋8或15－8即7或23.二、填空题7．过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程为________．答案：x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 8．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________． 解析：因为双曲线x 2n 2－y 216＝1的焦点在x 轴上， ∴c 2＝n 2＋16，且椭圆x 234＋y 2n2＝1的焦点在x 轴上， ∴c 2＝34－n 2，∴n 2＋16＝34－n 2，∴n 2＝9，∴n ＝±3.答案：±3 9．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：∵x 24－y 212＝1， ∴当x ＝3时，y ＝±15.又∵F 2(4,0)，∴|AF 2|＝1，|MA |＝15，∴|MF 2|＝1＋15＝4.故填4. 答案：4三、解答题10．已知方程x 22－k ＋y 2k －1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k 的取值范围．解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k )(k －1)＜0，解得k ＞2或k ＜1.即k 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)方程表示椭圆需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ＞0，k －1＞0，2－k ≠k －1.解得1＜k ＜2且k ≠32. 即k 的取值范围是(1，32)∪(32，2)． (3)方程表示圆需有2－k ＝k －1＞0，即k ＝32. 11．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1. 据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1， 点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意． ∴所求双曲线标准方程是：x 2－y 224＝1.12．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R， sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2. 从而有|CA |－|CB |＝12|AB | ＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． 且a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

1．(2011年陕西师大附中高二检测)下列药品对应的临床应用错误的是()A．服用过量的阿司匹林中毒后应立即停药，并静脉注射NaHCO3溶液B．青霉素的不良反应是过敏反应，因此药前要进行皮肤敏感试验C．中草药麻黄碱可用于治疗失眠、多梦等症状D．抗酸药能中和胃里过多的盐酸，缓解胃部不适，是一类治疗胃痛的药解析：选C。

麻黄碱可用于治疗支气管哮喘、鼻黏膜充血引起的鼻塞等。

2．下列关于药品的使用和作用的说法正确的是(双选)()A．R表示处方药，OTC表示非处方药B．毒品就是有毒的药品C．我国明代医学家李时珍的医学名著是《神农本草经》D．麻黄碱是国际奥委会严格禁止使用的兴奋剂解析：选AD。

毒品是指一类能使人形成瘾癖的麻醉药品和精神药品，B项错误；我国明代医学家李时珍所著的医学名著是《本草纲目》，C项错误；服用麻黄碱后可增加运动员的兴奋程度，提高运动员成绩，但有极大的副作用，D项正确。

3．(原创题)2011年4月14日，陕西省卫生厅下发《关于进一步加强医疗机构药事管理的通知》，要求各级各类医疗机构建立健全本单位药事管理组织机构，成立临床合理用药监督小组，对医生临床合理用药情况定期开展检查和评价，考核情况记录到个人挡案。

下列有关合理用药的说法中，错误的是()A．对症下药是合理用药的首要原则B．能被充分、快速吸收而无刺激性的药物，可在饭前口服C．一种药物的用量，是经过严格的科学研究和大量的临床实验确定的D．服药一般用温开水，止咳糖浆也可用水冲服解析：选D。

服药一般用温开水，但止咳糖浆不能用水冲服。

若用水冲服会使糖浆稀释，不能在发炎的咽部黏膜表面形成保护膜，从而降低药效。

4．吸烟有害健康，全世界每年有400万人因吸烟而死亡。

吸烟产生的物质中危害最大的两种物质是尼古丁和苯并芘。

它们的结构如图所示。

有关尼古丁和苯并芘的下列说法正确的是()A．尼古丁为芳香族化合物B．苯并芘的分子式为C20H14N2C．两者在固态时都是分子晶体D．苯并芘的一硝基取代物最多有8种解析：选C。

知能优化训练1.11H、21H、31H、H＋、H2是()A．氢的五种同位素B．五种氢元素C．氢的五种同素异形体D．氢元素的五种不同微粒解析：选D。

上述五种微粒中有原子、离子、分子，根据所学的同位素、同素异形体的定义可以判断应为五种不同微粒。

2．(2022年高考海南卷改编题)以下表达正确的选项是()A．“接触法〞制H2SO4时，催化氧化阶段的反响原理为B．海水提镁的主要步骤为C．普通水泥的主要成分是硅酸钙D．黏土的主要成分是三氧化二铝解析：选A。

B项CaCO3分解制取CaO，海水中参加Ca(OH)2或CaO制取Mg(OH)2固体，但电解MgCl2溶液得不到Mg；C项普通水泥的主要成分是硅酸二钙、硅酸三钙和铝酸三钙；D项黏土的主要成分是硅酸盐。

3．不．属于盐田组成局部的是()A．贮水池B．蒸发池C．结晶池D．电解池解析：选D。

盐田的主要组成局部有贮水池、蒸发池、结晶池。

4．海水制盐时除了得到盐外，还可得到淡水的方法是(双选)()A．电渗析法B．蒸发法C．冷冻法D．以上都不行解析：选AC。

海水制盐的常用方法有电渗析法、蒸发法、冷冻法，其中电渗析法、冷冻法还可以得到淡水。

5．不．属于海水提溴过程的是()A．氧化B．蒸馏C．吹出D．吸收解析：选B。

海水提溴的过程主要包括氧化、吹出、吸收三局部。

6．重水的化学式是()A．H2O2B．D2OC．T2OD．D2O2答案：B7．许多国家十分重视海水资源的综合利用。

不需要化学变化就能够从海水中获得的物质是()A．氯、溴、碘B．钠、镁、铝C．烧碱、氢气D．食盐、淡水解析：选D。

食盐和淡水不需要化学变化就能够从海水中获得。

其他物质要经过化学变化得到。

8．(2022年南昌高二质检)铁棒与石墨棒用导线连接后浸入0.01mol·L－1的食盐溶液中，可能出现的现象是()A．铁棒附近产生OH－B．铁棒被腐蚀C．石墨棒上放出氯气D．石墨棒上放出氧气解析：选B。

铁棒与石墨用导线连接浸入食盐溶液中会形成原电池，石墨为正极，发生的反响为：O2＋4e－＋2H2O===4OH－，铁作负极，发生反响：Fe－2e－===Fe2＋。

1．(2010年高考天津卷)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c2．已知f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上递减，那么f (x )在(1，＋∞)上( )A ．递增无最大值B ．递减无最小值C ．递增有最大值D ．递减有最小值3．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C ．2D ．4 4．函数y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．1．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(0,1)∪(2，＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0，12) 2．若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >13．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2] B ．[－1,1] C ．[12，2] D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 4．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．45．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a7．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，则x 的取值范围是________．8．f (x )＝log 21＋x a －x的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 9．函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|y |＞1，则a 取值范围是________．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(6－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是R 上的增函数，求a 的取值范围．11．解下列不等式．(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；(2)log x 12＞1.12．函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．。

1．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) A ．y ＝x 与y 2＝x B ．y ＝x 与x y ＝1C ．y 2－x 2＝0与|y |＝|x | D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x答案：C2．如图中方程表示图中曲线的是( )A B C D 答案：C3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．答案：134．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.一、选择题1．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)、(－1，－1) D ．(0,0)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，xy ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B.∵x ＋|y －1|＝0，∴|y －1|＝－x ≥0， ∴x ≤0，∴图象在y 轴左侧．3．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：选B.“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”⇒“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点是曲线C 上的点”，但满足f (x ，y )＝0不能说明“f (x ，y )＝0”为曲线方程．4．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线 D ．四条直线解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点．5．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3 C.π3或5π3 D.π3或π6解析：选C.由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.6．下列命题正确的是( )A ．方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0 C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0解析：选D.对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的． 二、填空题7．已知点A (a,2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝________.解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma 2a －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝12.答案：128．若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则实数m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－x ＋2，y ＝x ＋m ，得x 2－2x ＋2－m ＝0，由题意知，4－4(2－m )>0，∴m >1.答案：m >19．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中，令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1 三、解答题10．已知方程(x －a )2＋(y －b )2＝36的曲线经过点O (0,0)和点A (0，－12)，求a 、b 的值．解：∵点O 、A 都在方程(x －a )2＋(y －b )2＝36所表示的曲线上，∴点O 、A 的坐标都是方程(x －a )2＋(y －b )2＝36的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝36，－a 2＋－12－b 2＝36， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－6，∴a ＝0，b ＝－6.11．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.12．判断方程y x＝－1的曲线是否是如图所示的直线l . 解：由图象可知直线是过原点，斜率为－1的直线．设(x 0，y 0)是方程y x ＝－1的任意一组解，则y 0x 0＝－1， 即y 0＝－x 0，∴P (x 0，y 0)和原点连线的斜率是－1， 因此P 在直线l 上．反过来，直线上有一点O (0,0)的坐标不是方程y x ＝－1的解．∴直线l 不是方程yx＝－1的曲线．。

1．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2解析：选C.根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.2．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定解析：选B.因为a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，所以a n ＝4n －5(n ∈N *)，即数列{a n }一定是等差数列．3．函数y ＝x ＋1x的值域为________． 解析：∵|y |＝|x ＋1x |＝|x |＋1|x |≥2， ∴y ≤－2或y ≥2. 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)4．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围．解：a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔a a －a b ＞b a －b b⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．即a ≥0，b ≥0，且a ≠b .一、选择题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：选C.①②③⑤正确．2．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64解析：选A.已知等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝16，又a 5＋a 11＝2a 8，∴a 8＝8.又2a 8＝a 4＋a 12，∴a 12＝15.3．某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下：要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( )A ．综合法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．4．设0＜x ＜1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．a B ．bC ．cD ．不能确定解析：选C.∵b －c ＝(1＋x )－11－x＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x＜0，∴b ＜c . 又∵b ＝1＋x ＞2x ＝a ，∴a ＜b ＜c .5．若a 、b 、c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a >0且b 2－4ac <0⇒ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立．反之，ax 2＋bx＋c >0对任意x ∈R 恒成立不能推出a >0且b 2－4ac <0，反例为：当a ＝b ＝0且c >0时也有ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立，所以“a >0且b 2－4ac <0”是对任意x ∈R ，有“ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．下面四个不等式：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；(2)a (1－a )≤14； (3)b a ＋a b≥2； (4)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ，a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a ＜0时，b a ＋a b≥2不成立．二、填空题7．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥08．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析：∵b ＝47＋3，c ＝46＋2， 显然b <c .而a 2＝2，c 2＝(6－2)2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，∴a >c ，∴a >c >b .9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________．解析：∵αβ >0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β 2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.答案：①③⇒②三、解答题10．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos2α＝cos2β. 证明：由sin θ，sin α，cos θ成等差数列，得sin θ＋cos θ＝2sin α，则1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，即sin2θ＝4sin 2α－1.①由sin θ，sin β，cos θ成等比数列，得sin θcos θ＝sin 2β，即sin2θ＝2sin 2β.②由①②得4sin 2α－1＝2sin 2β，所以2(1－cos2α)－1＝1－cos2β，所以2cos2α＝cos2β.11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2. 证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0， 故只需证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2， 即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2， 从而只需证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)， 只需证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)， 即证a 2＋1a 2≥2，而此不等式显然成立． 故原不等式成立．12．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．求证：f (x ＋12)为偶函数． 证明：法一：要证f (x ＋12)为偶函数， 只需证f (x ＋12)的对称轴为x ＝0， 只需证－b 2a －12＝0， 只需证a ＝－b .因为函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，即x ＝－b 2a －1与x ＝－b 2a关于y 轴对称， 所以－b 2a －1＝－－b 2a， 所以a ＝－b ，所以f (x ＋12)为偶函数． 法二：要证f (x ＋12)是偶函数， 只需证f (－x ＋12)＝f (x ＋12)． 因为f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 而f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称， 所以f (－x )＝f (x ＋1)，f (－x ＋12)＝f (－(x －12)) ＝f ((x －12)＋1) ＝f (x ＋12)， 所以f (x ＋12)是偶函数．高╗考═试γ题γ库。

1．欲证错误!－错误!b>0时，才有a2>b2，∴只需证：错误!＋错误!错误!0且b2－4ac0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：>0且b2－4ac0对任意∈R恒成立．反之，a2＋b＋c>0对任意∈R恒成立不能推出a>0且b2－4ac0时也有a2＋b＋c>0对任意∈R恒成立，所以“a>0且b2－4ac0”的充分不必要条件．6．下面四个不等式：1a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；2a1－a≤错误!；3错误!＋错误!≥2；4a2＋b2c2＋d2≥ac＋bd2其中恒成立的有A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选＋b2＋c2＝错误!＋错误!＋错误!≥ab＋ac＋bc，a1－a≤错误!2＝错误!；a2＋b2c2＋d2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝ac＋bd2；当错误!＜0时，错误!＋错误!≥2不成立．二、填空题7．将下面用分析法证明错误!≥ab的步骤补充完整：要证错误!≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0a－b2≥0a－b2≥08．设a＝错误!，b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!，则a、b、c的大小关系为________．解析：∵b＝错误!，c＝错误!，显然bc，∴a>c>b答案：a>c>b9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2错误!，|β|>2错误!以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________．解析：∵αβ >0，|α|>2错误!，|β|>2错误!∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25∴|α＋β|>5答案：①③⇒②三、解答题10．若inθ，inα，coθ成等差数列，inθ，inβ，coθ成等比数列，求证：2co2α＝co2β证明：由inθ，inα，coθ成等差数列，得inθ＋coθ＝2inα，则1＋2inθcoθ＝4in2α，即in2θ＝4in2α－1①由inθ，inβ，coθ成等比数列，得inθcoθ＝in2β，即in2θ＝2in2β②由①②得4in2α－1＝2in2β，所以21－co2α－1＝1－co2β，所以2co2α＝co2β11．已知a>0，求证：错误!－错误!≥a＋错误!－2证明：要证错误!－错误!≥a＋错误!－2，只需证错误!＋2≥a＋错误!＋错误!因为a>0，故只需证错误!＋22≥a＋错误!＋错误!2，即证a2＋错误!＋4错误!＋4≥a2＋2＋错误!＋2错误!a＋错误!＋2，从而只需证2错误!≥错误!a＋错误!，只需证4a2＋错误!≥2a2＋2＋错误!，即证a2＋错误!≥2，而此不等式显然成立．故原不等式成立．12．设f＝a2＋b＋ca≠0，若函数f＋1与f的图象关于轴对称．求证：f＋错误!为偶函数．证明：法一：要证f＋错误!为偶函数，只需证f＋错误!的对称轴为＝0，只需证－错误!－错误!＝0，只需证a＝－b因为函数f＋1与f的图象关于轴对称，即＝－错误!－1与＝－错误!关于轴对称，所以－错误!－1＝－错误!，所以a＝－b，所以f＋错误!为偶函数．法二：要证f＋错误!是偶函数，只需证f－＋错误!＝f＋错误!．因为f＋1与f的图象关于轴对称，而f与f－的图象关于轴对称，所以f－＝f＋1，f－＋错误!＝f－－错误!＝f－错误!＋1＝f＋错误!，所以f＋错误!是偶函数．。

【优化方案】数学人教 A 版必修 1 第 2 章 2.1.2 第二课时知能优化训练0.90.481 － 1.51．设 y 1＝ 4 ， y 2＝ 8， y 3＝ ( 2)，则 ( )A ． y >y>y2B ．y>y >y33121C ． y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 分析：选 D. y 1＝ 40.9 ＝ 21.8 ， y 2＝80.48 ＝ 21.44 ，y 3＝ (1)－ 1.5＝ 21.5 ，2∵ y ＝ 2x 在定义域内为增函数 ， 且 1.8>1.5>1.44 ， ∴ y 1>y 3>y 2.a x ， x >12．若函数 f ( x ) ＝a是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为4－2 x ＋ 2，x ≤1()A ． (1 ，＋∞ )B ．(1,8)C ． (4,8)D ．[4,8)a >1a分析：选 D. 由于 f ( x ) 在 R 上是增函数，故联合图象 ( 图略 ) 知4－2>0，a4－2＋2≤ a解得 4≤ a <8.11 －x 的单一增区间为 ()3．函数 y ＝ ( )2A ． ( －∞，＋∞ )B ．(0 ，＋∞)C ． (1 ，＋∞ )D ．(0,1)分析：选 A. 设 t ＝ 1－ x ，则 y ＝1 t，则函数 t ＝ 1－ x 的递减区间为 ( －∞，＋∞ ) ，即21 1－ x为 y ＝ 2 的递加区间． ，则函数 y ＝f (2 x ) 的定义域为 ________．4．已知函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 (1,2)分析：由函数的定义，得 1＜ 2x ＜ 2? 0＜ x ＜ 1. 因此应填 (0,1) ． 答案： (0,1)1 1b 1 a1．设 3<( 3) <( 3) <1，则 ()A ． a a <a b <b aB ． a a <b a <a bC ． b a aD ． b < a aa < a <a < ab0<a <b <1，b分析：选 C. 由已知条件得b a a a b a a∴ a <a ， a <b ，∴ a <a < b .1 2a ＋ 1 1 3－ 2a2 ．若(2)<( 2)，则实数 a 的取值范围是 ()1A ． (1 ，＋∞ )B ．( 2，＋∞)C ． ( －∞， 1)D ．( －∞， 1)21 x分析：选 B. 函数 y ＝ ( 2) 在 R 上为减函数，1∴ 2a ＋1>3－ 2a ，∴ a >2.3．以下三个实数的大小关系正确的选项是()A ．( 1) 2＜211 ) 2＜1＜2 1＜ 1B ．(20112011 2011 201112111 2 C ． 1＜( 2011)＜22011D ．1＜ 22011＜ (2011)11 )2 1分析：选 B. ∵ ＜1，∴ ( ＜1,22011＞2＝ 12011 20114．设函数 f ( x ) ＝ a － | x|( a ＞0且 a ≠1) ， f (2) ＝ 4，则 ()A ． f ( － 1) ＞ f ( － 2)B ．f (1) ＞ f (2)C ． f (2) ＜ f ( － 2)D ．f ( － 3) ＞f ( － 2)－ 2 1| x|分析：选 D. 由 f (2) ＝4 得 a ＝4，又 a ＞ 0，∴ a ＝ 2，f ( x ) ＝ 2 ，∴函数 f ( x ) 为偶函数，在 ( －∞， 0) 上单一递减，在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加．15 ．函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ 1在 ( －∞，＋∞ ) 上 ()A ．单一递减无最小值B ．单一递减有最小值C ．单一递加无最大值D ．单一递加有最大值分析：选 A. u ＝2x ＋1 为 R 上的增函数且 u ＞ 0，1∴ y ＝u 在 (0 ，＋∞ ) 为减函数．1即 f ( x ) ＝ 2x ＋ 1在 ( －∞，＋∞ ) 上为减函数，无最小值．6．若 x ＜ 0 且 a x ＞b x ＞ 1，则以下不等式建立的是 ( ) A ． 0＜b ＜ a ＜ 1 B ．0＜ a ＜ b ＜1C ． 1＜b ＜ aD ．1＜ a ＜ b分析：选 B. 取 x11＝－ 1，∴ ＞ ＞1，∴ 0＜ ＜ ＜1.a ba b17．已知函数 f ( x ) ＝ a － 2x ＋1，若 f ( x ) 为奇函数，则 a ＝________.分析：法一：∵ f ( x ) 的定义域为 R ，且 f ( x ) 为奇函数，1∴ f (0) ＝ 0，即 a － 20＋ 1＝ 0.1∴ a ＝2.法二：∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( －x ) ＝－ f ( x ) ，1 11 即 a － － x ＝ x ＋ 1 － a ，解得 a ＝ .2 ＋ 1 2 2 1答案：2时， f ( x ) ＝ 3x － 2 的值域为 ________．8．当 x ∈ [ － 1,1]分析： x∈[－1,1]，则1 x 5 x3 ≤3≤3，即－3≤3－2≤1.答案：－5，1 39．若函数f ( x) ＝ e－( x－u)2 的最大值为 m，且 f ( x)是偶函数，则m＋ u＝________. 分析：∵ f (－ x)＝ f ( x)，∴e－ ( x＋u)2 ＝e－( x－u)2 ，∴ ( x＋u) 2＝ ( x－u) 2，2∴ u＝0，∴ f ( x)＝e－ x .∵x2≥0，∴－ x2≤0，∴0＜e－x2≤1，∴ m＝1，∴ m＋ u＝1＋0＝1.答案： 11 x2－2x的单一性．10．议论y＝ ( )31 x 2－2x解：函数 y＝(3) 的定义域为 R，2 1 u令 u＝x －2x，则 y＝(3) .列表以下：单函调u＝ x2－2x＝ ( x－1) 2－ 1 数区性间x∈(－∞，1]x∈(1，∞)由表可知，原函数在( －∞， 1] 上是增函数，在11．已知x 1 x－3 1 x的值域．2 ≤( ) ，求函数y＝( )4 2解：由 2 x 1 x－3 x － 2x ＋6，≤() ，得 2 ≤2 4∴ x≤－2x＋6，∴ x≤2.∴( 1 x 1 2 1，2) ≥( ) ＝2 4即 y＝( 1 )x的值域为 [ 1 ，＋∞)．2 41 112．已知f ( x) ＝ ( 2x－1＋2) x.(1)求函数的定义域；(2)判断函数 f ( x)的奇偶性；(3) 求证：f ( x)>0.解： (1) 由 2x－1≠0，得x≠0，∴函数的定义域为 { x| x≠0，x∈ R} ．(2)在定义域内任取 x，则－ x 在定义域内，112x 1f( －x) ＝ ( 2－x－1＋2)( －x) ＝ ( 1－2x＋2)( －x)1＋ 2x·x＝2 2x＋ 1· x，＝－2 1－ 2x 2x－ 11 u1 2y＝(3)y＝(3) x －2x (1 ，＋∞ ) 上是减函数．x112＋1而 f ( x ) ＝ ( 2x － 1＋2) x ＝ 2 2x － 1 · x ，∴ f ( －x ) ＝ f ( x ) ，∴函数 f ( x ) 为偶函数．(3) 证明：当 x <0 时，由指数函数性质知，0<2x <1，－ 1<2x － 1<0，1∴ 2x － 1<－ 1，∴ x 1 1 1 ＋ <－ .2 － 1 2 21 1又 x <0，∴ f ( x ) ＝ ( 2x － 1＋2) x >0.由 f ( x ) 为偶函数，当 x >0 时， f ( x )>0.综上，当 x ∈ R ，且 x ≠0时，函数 f ( x )>0。

知能优化训练1．锅炉长期烧煮硬水结成的锅垢的成分是(双选)( )A ．MgCO 3B ．CaSO 3C ．Mg(OH)2D ．CaCO 3解析：选CD 。

硬水加热发生的反响有：Ca(HCO 3)2=====△CaCO 3↓＋CO 2↑＋H 2O Mg(HCO 3)2=====△MgCO 3↓＋CO 2↑＋H 2OMgCO 3＋H 2O=====△Mg(OH)2↓＋CO 2↑。

2．软化含有Ca(HCO 3)2的硬水的方法是( )A ．加适量的Ca(OH)2B ．通入CO 2C ．参加盐酸或硫酸D ．加热解析：选D 。

软化含有Ca(HCO 3)2的硬水的方法可以用加热法，Ca(HCO 3)2=====△CaCO 3↓＋CO 2↑＋H 2O ；参加Ca(OH)2不容易控制量；通入CO 2不反响；加盐酸不能除Ca 2＋，加H 2SO 4生成CaSO 4微溶于水，Ca 2＋浓度较大。

3．检验某地天然水是否为硬水，最灵敏的试剂是( )A ．Na 2CO 3溶液B ．肥皂水C ．石灰水D ．AgNO 3溶液解析：选B 。

肥皂水遇到硬水以后能产生沉淀，所以这种方法最简便、灵敏。

4．(2022年大庆一中高二检测)用以下方法除去含Ca 2＋、Mg 2＋、HCO －3、Cl －的硬水，所得水含离子浓度最小的是( )A ．蒸馏B ．加热煮沸法C ．用石灰纯碱法D ．用离子交换法解析：选A 。

蒸馏可以制得非常纯的蒸馏水，几乎不含任何杂质离子，所以A 项是正确的；加热煮沸法只可降低Ca 2＋、Mg 2＋、HCO －3的浓度，但不能除去Cl －；石灰纯碱法或离子交换法虽比加热煮沸除去Ca 2＋、Mg 2＋彻底，但仍不能完全除去，也不能除去其它阴离子，并在除掉Ca 2＋、Mg 2＋的同时增加了Na ＋的浓度。

所以B 、C 、D 项均不正确。

5．离子交换树脂可能是一种( )A ．非电解质B ．有机高分子电解质C ．易溶于水的物质D ．在溶液中能与异性离子交换的电解质解析：选B 。