三相逆变器的建模
1.1逆变器主电路拓扑与数学模型
三相全桥逆变器结构简单，采用器件少，并且容易实现控制，故选择三相三线两电平全桥逆变器作为主电路拓扑，如错误!未找到引用源。所示。
图1三相三线两电平全桥逆变拓扑
错误!未找到引用源。中V dc为直流输入电压；C dc为直流侧输入电容；Q1-Q6为三个桥臂的开关管；L fj(j=a,b,c)为滤波电感；C fj(j=a,b,c)为滤波电容，三相滤波电容采用星形接法；N为滤波电容中点；L cj(j=a,b,c)是为确保逆变器输出呈感性阻抗而外接的连线电感；v oj(j=a,b,c)为逆变器的滤波电容端电压即输出电压；i Lj(j=a,b,c)为三相滤波电感电流，i oj(j=a,b,c)为逆变器的输出电流。
由分析可知，三相三线全桥逆变器在三相静止坐标系abc下，分析系统的任意状态量如输出电压v oj(j=a,b,c)都需要分别对abc三相的三个交流分量v oa、v ob、v oc进行分析。但在三相对称系统中，三个交流分量只有两个是相互独立的。为了减少变量的个数，引用电机控制中的Clark 变换到三相逆变器系统中，可以实现三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换，即将abc坐标系下的三个交流分量转变成αβ坐标系下的两个交流分量。由自动控制原理可以知道，当采用PI 控制器时，对交流量的控制始终是有静差的，但PI控制器对直流量的调节是没有静差的。为了使逆变器获得无静差调节，引入电机控制中的Park变换，将两相静止坐标系转换成两相旋转坐标系，即将αβ坐标系下的两个交流分量转变成dq坐标系下的两个直流分量。
定义αβ坐标系下的α轴与abc三相静止坐标系下的A轴重合，可以得到Clark变换矩阵为：
11122230Clark
T ⎡⎤--⎢⎥
⎢
=⎢⎢⎣ (1)
两相静止坐标系αβ到两相旋转坐标系dq 的变换为Park 变换，矩阵为：
cos()sin()sin()cos()Park t t T t t ωωωω⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
(2)
对三相全桥逆变器而言，设三相静止坐标系下的三个交流分量为：
cos()cos(2/3)cos(2/3)
a m
b m
c m u U t u U t u U t ωωπωπ==-=+ (3)
经过Clark 和Park 后，可以得到：
d m q u U u == (4)
由式错误!未找到引用源。和式错误!未找到引用源。可以看出，三相对称的交流量经过上述Clark 和Park 变换后可以得到在 d 轴和 q 轴上的直流量，对此直流量进行 PI 控制，可以取得无静差的控制效果。
1.1.1 在abc 静止坐标系下的数学模型
首先考虑并网情况下，微电网储能逆变器的模型。选取滤波电感电流为状态变量，列写方程：
000a a a la b f b b lb c c lc c di dt u u i di L u u r i dt u u i di dt ⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（5）
其中，f L 为滤波电感，r 为滤波电感寄生电阻，系统中三相滤波电感取值相同。 在abc 三相静止坐标系中，三个状态变量有两个变量独立变量，需要对两个个变量进行分析控制，但是其控制量为交流量，所以其控制较复杂。
1.1.2 在αβ两相静止坐标系下的数学模型
由于在三相三线对称系统中，三个变量中只有两个变量是完全独立的，可以应用Clark 变
换将三相静止坐标系中的变量变换到αβ两相静止坐标系下，如错误!未找到引用源。所示。
A
图 2 Clark 变换矢量图
定义αβ坐标系中α轴与abc 坐标系中a 轴重合，根据等幅变换可以得到三相abc 坐标系到两相αβ坐标系的变换矩阵：
12
12120
3a b c u u u u u αβ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
（6）
联立式（5）与式（6），可以得到微电网储能逆变器在αβ坐标系下的数学模型：
00f di u u i dt L r u u i di dt α
αααββββ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
（7）
从式（7）可以看出，与三相静止坐标系下模型相比，减少了一个控制变量，而各变量仍然为交流量，控制器的设计依然比较复杂。
1.1.3 在dq 同步旋转坐标系下的数学模型
根据终值定理，PI 控制器无法无静差跟踪正弦给定，所以为了获得正弦量的无静差跟踪，可以通过Clark 和Park 变换转换到dq 坐标系下进行控制。dq 两相旋转坐标系相对于αβ两相静止坐标系以ω的角速度逆时针旋转，其坐标系间的夹角为θ，错误!未找到引用源。给出了Park 变换矢量图。
图 3 Park 变换矢量图
Park 变换矩阵方程为：
cos sin sin cos d q u u t t u u t
t αβωωωω⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（8）
联立式（7）和式（8）可得微电网储能逆变器在dq 坐标系下的数学模型：
00d
f d d f q d q
f q q f d q di L u u L i ri dt
di L u u L i ri dt
ωω⎧
=-+-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩
（9）
在两相旋转坐标系下电路中控制变量为直流量，采用PI 控制能消除稳态误差，大大简化了系统控制器的设计。但是，由于dq 轴变量之间存在耦合量，其控制需要采用解耦控制，解耦控制方法将在下节介绍。
1.1.4 解耦控制
从式（9）可以看出，dq 轴之间存在耦合，需要加入解耦控制。令逆变器电压控制矢量的d 轴和q 轴分量为：
d gd q d
q
gq d q v u Li v v u Li v ωω=+-∆⎧⎪⎨
=--∆⎪⎩ （10）
其中d v ∆，q v ∆分别是d 轴和q 轴电流环的输出，当电流环采用PI 调节器，满足：
**()()()()
ii d ip d d ii q ip q q K v K i i s
K v K i i s ⎧∆=+-⎪⎪⎨
⎪∆=+-⎪⎩
（11）
ip K ，ii K 分别是电流PI 调节器的比例系数和积分系数，*d i ，*
q i 分别为d 轴和q 轴的参考电
流，d i ，q i 分别为d 轴和q 轴的实际电流采样。
把公式（10）代入公式（9）可得：
d
d d q q q
di L ri v dt
di L ri v
dt
⎧=-+∆⎪⎪⎨
⎪=-+∆⎪⎩ （12）
由式（12）可以看出，由于在控制矢量中引入了电流反馈，抵消了系统实际模型中的耦合电流量，两轴电流已经实现独立控制。同时控制中引入电网电压前馈量gd u 和gq u ，提高了系统
