2005年北京大学高等代数真题解答

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（16计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2005北京文)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B【详解】分两个步骤进行。

第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有C 14种方法；第二步：其余的4个队任意安排，有44A 种方法。

故，不同的承建方案共有1444C A 种。

【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.2．(2005北京理)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．484121214C C CB ．484121214A A CC ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C ,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C ,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C ,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128C C C .【名师指津】 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.3．(2005福建文、理)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有44P 种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有11332343C C C P 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有22132433C C C P 种选择方案,综上不同的选择方案共有44P +11332343C C C P +22132433C C C P =240,选(B)4．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种)5．(2005湖南文)设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．16[评析]:本题考查直线方程和排列组合知识交汇问题. 【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识.【正确解答】[解法一]:从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数的排列有25A 种其中取1,2和2,4或2,1和4,2表示相同直线.所以所得不同直线条数为:。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1、(2005春招北京文、理)2-i 的共轭复数是（ D ）A ．i +2B ．i -2C ．i +-2D ．i --22．(2005福建理)复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +1解：111,122i i z z i-+-==∴=-选(B)3. (2005广东)若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ D ）A ．0B ．2C ．25 D ．5解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即 ，522=+b a ，故选D ．4．(2005湖北理)=++-ii i 1)21)(1(（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2解：(1)(12)(2)(12)212i i i i i i -+-+==-+,选(C)5．(2005湖南理)复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i[评述[：本题考查复数，复数的意义及其运算。

【思路点拨】本题涉及利用复数的性质进行复数的简单计算.【正确解答】234110z i i i i i i =+++=--+=,选B.【解后反思】对于复数的简单计算,应紧扣复数的定义,在复数的较复杂运算中,要把复数运算和三角函数结合在一起,可以适当化简计算过程.6．(2005江西理)设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x = （ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【思路点拨】本题考察复数的乘法运算,可直接计算得到答案.【正确解答】12(1)(2)(2)(2)z z i x i x x i =++=-++为实数，故20x +=，即2x =-.选A. 【解后反思】复数有两个部分：实部和虚部.而且复数的几种代数运算,其基本算法也是尽可能将其化成复数的代数形式.7. (2005全国Ⅰ理)复数=--i 21i 23（ ）（A ）i（B ）i -（C ）i 22-（D ）i 22+-【解析】∵i i21i i)21(i21i2i21i 23=--=-+=--，故选A ．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．8. (2005全国Ⅱ理)设a 、b 、c 、d ∈R ，若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠0 （B ）bc －ad ≠0 （C ）bc －ad ＝0 （D ）bc+ad=0 【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则. 【正确解答】22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+，由dic bia ++为实数， 所以bc-ad=0.选C【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度.9. (2005山东理)2211(1)(1)i ii i -++=+-（ ） （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1-[答案] D【思路点拨】本题考查了复数的概念和运算能力，可直接计算得到结果.【正确解答】2211111(1)(1)22i i i ii i i i-+-++=+=-+--，选D 【解后反思】熟练掌握复数的代数形式的四则运算及i 的性质.本题可把1i -化为cos()sin()44i ππ⎤-+-⎥⎦，1sin )44i i ππ+=+，用复数三角形式的乘法和乘方法则求得结果.10. (2005天津理)若复数312a ii++（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6【思路点拨】本题考查复数概念及代数运算，只要分子分母同乘以分母的共轭复数并化为代数形式，再根据纯虚数的概念得解. 【正确解答】解法一：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=- 解法二：非零向量1z ，2z 满足12zz 是纯虚数的意思就是说，这两个非零向量互相垂直。

2005高等代数试卷A答案一、单项选择题（63=18分）1．设A是n阶实矩阵，且秩R(A)=n，则二次型X’ (A’A)X是（ C ）A．不定二次型 B．半负定二次型C．正定二次型 D．负定二次型2．设A、B为n阶方阵, 则下列各式成立的是（ C ）A．|A+B|=|A|+|B|; B．(AB)k=A k B k ;C．|AB|=|BA|; D．A T B=B T A.3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r<n, 那么在A的n个行向量中（ A ）A．必有r个行向量线性无关;B．任意r个行向量线性无关;C．任意r个行向量都构成最大线性无关组;D．任何一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出.4．若A是方阵且方程组AX=0只有零解, 则AX=β(≠0)（ B ）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5．n阶方阵A与B相似的充分必要条件是（ C ）A．矩阵A与B的行列式的值相等;B．矩阵A与B有相同的特征值;C．存在n阶满秩矩阵P, 使P -1AP=B;D．存在n阶满秩矩阵P, 使P T AP=B.6．设A =,B =,则A与B（ A ）A．合同且相似；B．合同但不相似；C．不合同但相似；D．不合同且不相似.二、填空题（83=24分）1. 若n阶方阵A 中每行元素之和为定值S, 则A 的一个特征向量可写成x =（ 1, 1, · · · 1 ）’2. 设x, y R n (标准内积), 则x y与 |x|2 +| y|2 = | x+y|2 是 _等价__ 关系..3 设4．从 的基，到基，的过渡矩阵为 .5.. 设n阶矩阵A的最小多项式为g(λ) = λ 2 - 3λ + 2, 则A-1 = ( 3I – A ) , 且A必相似于 ( _对角阵 ) .6. 设V是实数域上次数小于3 的多项式构成的线性空间, D: VV是求导变换, 则D的核Ker(D)= { c | c是实数} = R_D在基{1, X 1,X 2 }下的表示阵A =三、（10分）设3阶方阵A,B满足A* BA = 2BA - 8I, 为A的伴随阵且A=,求B .四、（8分）设7阶方阵A的特征阵(λI - A)相抵(等价)于下面对角阵D = diag { λ2 – 3, λ2 – 1, λ- 2, (λ – 2)2, 1, 1, 1}(1) 写出A 的初等因子与不变因子;(2) 求A 的若当标准形.五、（8分）设A写出特征阵λI - A的法式与A的最小多项式;六、（10分）讨论 λ 取何值时，下面方程组有解; 当方程组有无穷多解时求其通解.七、（12分）设列向量（1）求A的特征多项式|λI – A|；（2）求正交阵Q 使Q’AQ为对角阵.八、（10分）设A, B均为n阶正定矩阵，且A B = BA, 证明:(1) AB为正定矩阵 ;(2) 存在可逆阵P, 使 P-1AP 与 P-1BP 都是对角阵;(3) |A+B | | A | + | B |答案三. (10分)由A*BA=2BA–8I, 两边同时左乘A,右乘A-1,整理得即左乘得四.(8分)答案：（1）矩阵A的初等因子组为。

北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。

1． 在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数 解：可以验证点1212,0,,,0,5555l π⎛⎫⎛⎫∈∉ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而l π∉ 把l 写成参数方程：1325x k y k z k =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，任取其上一点:P (13,25,)k k k -+-，设该点到π上的投影为点':P (,,)x y z'1331031x k z kPP x z π+--⊥⇒=⇒-+= 30P x By z π∈⇒++=整理即知，l 到π上的正交投影轨迹满足方程31030x z x By z -+=⎧⎨++=⎩由于1131≠，上述方程表示一条直线，而2*310B +-=和320B ++=不同时成立，因此l 到π上的正交投影轨迹是一条直线从而l 到π上的正交投影轨迹的方程就是31030x z x By z -+=⎧⎨++=⎩2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

解：记T ⎤⎥⎥=，容易验证'TT E =，因此直角坐标变换**x x T y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是一个正交变换在这个变换下，曲线方程变为22**(1)(1)x y λλλ++-=-1) 1λ<-时，10,10,0λλλ+<->->，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1λ=-时，曲线方程为2*12y =，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y =，即y x =3) 10λ-<<时，10,10,0λλλ+>->->，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)4) 0λ=时，曲线方程为22**0x y +=，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01λ<<时，10,10,0λλλ+>->-<，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)6)1λ=-时，曲线方程为2*12x =-，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0x =，即y x =-7)1λ>时，10,10,0λλλ+>-<-<，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。

北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。

2x y z 0 1． 在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。

x y 2z1其中 B 是常数 解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。

2005北京大学数学分析答案北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设xxx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inflim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的222222sin 1sin .sin sin ,sin 11x x x x x x x x xx x x x -≤≤---并且在充分大的时候显然有所以易知在当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到. 2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,limsin sin x x x x x xf x x x x x→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。

证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得. 这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致有1121122212(1)2(1)2(1)sin 22!(21)!2!p p pt t ppt kp t p ---++∞=---==-∑。

2005数一参考答案2005年的数学一考试是高考中的一场重要考试，对于参加考试的学生来说，了解和掌握该年的参考答案是非常重要的。

本文将对2005年数一的参考答案进行分析和讨论，帮助考生更好地了解该年的考试情况。

首先，我们来看一下2005年数一的选择题部分。

该年的选择题共有25道，涵盖了数学的各个知识点。

其中，有一道题是关于平面向量的，要求考生根据给定的条件求两个向量的数量积。

这道题考察了考生对向量的理解和运用能力。

另外，还有一道题是关于数列的，要求考生根据已知条件求数列的通项公式。

这道题考察了考生对数列的掌握和运用能力。

此外，还有一道题是关于三角函数的，要求考生根据已知条件求三角函数的值。

这道题考察了考生对三角函数的理解和计算能力。

接下来，我们来看一下2005年数一的解答题部分。

该年的解答题共有5道，涵盖了数学的各个知识点。

其中，有一道题是关于函数的，要求考生根据给定的函数图像求函数的表达式。

这道题考察了考生对函数的理解和分析能力。

另外，还有一道题是关于立体几何的，要求考生根据给定的条件求解立体几何问题。

这道题考察了考生对立体几何的掌握和运用能力。

此外，还有一道题是关于概率的，要求考生根据已知条件求解概率问题。

这道题考察了考生对概率的理解和计算能力。

总的来说，2005年数一的考题难度适中，涵盖了数学的各个知识点。

对于参加考试的学生来说，了解和掌握该年的参考答案是非常重要的。

通过分析和讨论该年的参考答案，可以帮助考生更好地了解该年的考试情况，提高解题的准确性和效率。

在准备考试的过程中，除了了解和掌握参考答案，还需要进行大量的练习和复习。

通过反复练习和复习，可以巩固和加深对知识点的理解和掌握，提高解题的能力和水平。

此外，还可以参加一些模拟考试和辅导班，通过与其他考生的交流和比较，发现自己的不足之处，有针对性地进行弥补和提高。

最后，希望参加2005年数一考试的考生能够认真准备，充分发挥自己的潜力和能力。

高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设全集U=R ，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是（A ）M ＝P （B ）P ÜM （C ）M ÜP （ D ）U M P =∅ð（2）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°（4）从原点向圆 x2＋y2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β（C ）cos(α+β)<sin α＋sin β （D ）cos(α+β)<cos α＋cos β（6）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A（8）函数f(x)=cos x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减（B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减（C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减（D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。

第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。