两个基本计数原理(加法原理和乘法原理)

nm !m!
m n
C
m n
m An
, A C m ! m!
m n
m n n m n
C C
例：甲袋中有大小相同的红球2个，白球1个；乙 袋中有大小相同的红球2个，白球2个， ⑴ 现把7个球混在一起，从中随机抽取2个， ①求这2个球均来自甲袋的概率？ ②求这2个球至少一个是红球的概率？ 此类题目解题步骤：第一步，把不同的对象编号； 解：记甲袋中的红球为A1、A2，白球为B； 如：ABC，abc,123„ 乙袋中的红球为C1、C2，白球为D1、D2， 第二步，列出总的n个基本事件； ⑴把 7个球混在一起，从中随机抽取 2个的基本事件有： 如： (A，B，C)，(A，a)„ 第三步，设所求的事件为事件 或事件 B 等，并列 (A (A ， (A1，D1)， 1，A2)，(A1，B)，(A1，C1)，A 1，C2) 出事件 或事件 B所包含的 m (A ， (A2，B) ，(A2，C )，(A2，C2)，(A2，D1)， 1，D2)A 1个基本事件； 第四步，求事件 A， 或事件 B2 的概率 P=m/n 即为题目所 (A (B，C )，(B， D1)， (B，D2)， 2，D2)，(B，C1) 求事件的概率，解答题要作答． (C 1，C2)，(C1，D1)，(C1，D2)，(C2，D1)，(C2，D2)， (D1，D2)共21个，
3.回归直线方程
⑴资料P60-61典例 ⑵资料P31活学活用： 小题狂做4练5： 课本P20A2. 课本P82A6.
设“正组长是男生”为事件E，事件E所包含的 基本事件有：(C1，A1)，(C1，A2)，(C1，A3)，(C1，C2)， (C2，A1)，(C2，A2)，(C2，A3)，(C2，C1)共8个，
∴P(E)=8/20=2/5.故正组长是男生的概率为2/5.
检测卷：P122：7
此题若是小题这样解：
C C 2 4 2 P . 2 A5 5 4 5
例：甲袋中有大小相同的红球2个，白球1个；乙 袋中有大小相同的红球2个，白球2个， ⑵现从甲、乙中各取2个球， 求这4个球中恰有2个红球的概率？
此题若是小题这样解：
C C C C C C 1 8 1 P . 2 2 C3 C4 3 6 2
2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2
首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?
答:首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 9×102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首 位数字是0的密码数之和等于密码总数。
问: 若设置四位、五位、六位、…、十位等 密码,密码数分别有多少种？
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, …… 种。
排列与组合 排列 组合 从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， 定义 m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。 中取出m个不同的元 素的一个组合。 区别 与顺序有关 与顺序无关 判定 看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
丙地
二、分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 N= m1×m2×… ×mn种不同的方法 例：甲口袋中有大小相同的白球3个，黑球2个， 乙口袋中有大小相同的白球2个，红球3个，现 从甲、乙中随机各取一个，有几种取法？
一、分类加法计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类方法中有m2种不同的方法， ……， 在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 :
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
例：甲口袋中有大小相同的3个白球，2个黑球， 现从中随机取一个，有几种取法？
故D或E在盒中的概率为9/10.
检测卷：P122：8 此题若是小题这样解： 3 C3 1 9 P 1 3 1 . C5 10 10 若按有序也可
A 3 2 1 9 P 1 1 . A 5 4 3 10
3 3 3 5
检测卷：P122：10 解：记甲中红球为A1A2A3， 黑球为B1B2B3，白球为C1C2C3，乙中黄球为D1D2， 黑球为E1E2，白球为G1G2， 从两个盒中随机各抽取1个球的基本事件有： A1A2A3B1B2B3C1C2C3与D1D2E1E2G1G2相互搭配， 共有9×6=54个，
1 2 1 4
检测卷：P122：8 解法：(按无序） 从A，B，C，D，E中随机抽取3个球 放进3个盒子的基本事件有：
(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)， (A，C，E)，(A，D，E)，(B，C，D)，(B，C，E)， (B，D，E)，(C，D，E)共10个， ②设“D或E在盒中”为事件F，事件 F ： “D和E都不在盒中”所包含的基本事件有： (A，B，C)共1个，∴P(F)=1-1/10=9/10.
解：记甲袋中的红球为A1、A2，白球为B； 乙袋中的红球为C1、C2，白球为D1、D2，
⑴把7个球混在一起，从中随机抽取2个的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A1，D1)， (A1，D2)，(A2，B)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A2，D1)， (A2，D2)，(B，C1)，(B，C2)，(B，D1)，(B，D2)， (C1，C2)，(C1，D1)，(C1，D2)，(C2，D1)，(C2，D2)， (D1，D2)共21个， ①设“这2个球均来自甲袋”为事件E，事件E所包含的 基本事件有：(A1，A2)，(A1，B)，(A2，B)共3个， ∴P(E)=3/21=1/7.故这2个球均来自甲袋的概率为1/7. ②设“这2个球至少一个是红球”为事件F，事件 F ： “这2个球全是白球”所包含的基本事件有：(B，D1)， (B，D2)，(D1，D2)共3个，∴P(F)=1-1/7=6/7.故„
例：甲袋中有大小相同的红球2个，白球1个；乙 袋中有大小相同的红球2个，白球2个， ⑴ 现把7个球混在一起，从中随机抽取2个， ①求这2个球均来自甲袋的概率？ ②求这2个球至少一个是红球的概率？
此题若是小题这样解：
C 3 1 P ; 1 C 21 7 C 3 1 6 P2 1 1 1 . C 21 7 7
(A1，B)，(A2，B)与(C1，C2)，(C1，D1)，(C1，D2)， (C2，D1)，(C2，D2)，(D1，D2)相互搭配，共有3×6=18个，
设“这4个球中恰有2个红球”为事件G，事件G所包含的基 本事件有：(A1，A2)与(D1，D2)搭配，(A1，B)与(C1，D1)， (C1，D2)，(C2，D1)，(C2，D2)搭配，(A2，B)与(C1，D1)， (C1，D2)，(C2，D1)，(C2，D2)搭配，共9个， ∴P(G)=9/18=1/2.故这4个球中恰有2个红球的概率为1/2.
公式
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C

m n
n! ( n m )!

m n
n! nm !m!
n ( n1)( n2)( nm1) m!
排列数与组合数
m Cn
A n(n 1)(n 2)(n m 1)
m n

n! ( n m )! n ( n 1)( n 2)( n m1) m! n!
检测卷：P122：7 解：记3名女生为A1、A2、A3，2名男生为C1、C2， 从中随机抽取2名担任正副组长的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，C1)，(A1，C2)， (A2，A1)，(A2，A3)，(A2，C1)，(A2，C2)， (A3，A1)，(A3，A2)，(A3，C1)，(A3，C2)， (C1，A1)，(C1，A2)，(C1，A3)，(C1，C2)， (C2，A1)，(C2，A2)，(C2，A3)，(C2，C1)共20个，
学习复习： 1.两个基本计数原理、排 列组合与概率
2.频率分布直方图
3.回归直线方程
问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路， 某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
公路1 公路2
公路3
甲地
铁路1 铁路2
乙地
因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件 事，有3条公路，2条铁路，所以共有： 3＋2＝5 （种）
2 3 2 7
2 3 2 7
例：甲袋中有大小相同的红球2个，白球1个； 乙袋中有大小相同的红球2个，白球2个， ⑵现从甲、乙中各取2个球，求这4个球中恰有2 个红球的概率？ 解：记甲袋中的红球为A1、A2，白球为B；乙袋 中的红球为C1、C2，白球为D1、D2， ⑵从甲、乙中各取2个球的基本事件是(A1，A2)，
设“两球不同色”为事件F，事件 F ： “两球同色”所包含的基本事件有： 3×2+3×2=12个，∴P(F)=1-12/54=7/9.
故两球不同色的概率为7/9.
学习复习： 1.两个基本计数原理、排 列组合与概率
2.频率分布直方图 ⑴检测卷131：16 ⑵资料P80活学活用：变式： 求成绩在65Leabharlann Baidu75的学生人数
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？ 甲地
乙地 这个问题与前一个问题不同．在这个问题中， 必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步 骤，才能从甲地到丙地． 因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有 2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法： 3×2＝6 （种）．