2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016年全国高中数学联合竞赛一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是

2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为

3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为

4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为

5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=

AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 6．设函数10

cos 10sin )(4

4kx kx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为

7．双曲线C 的方程为132

2

=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是

8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

2016年全国高中数学联赛复赛（2）

2016 年全国高中数学联赛复赛

复赛参考答案与评分细则

一试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）

1．已知集合 A＝{(x，y)|(x－2)2＋(y－1)2≤1}，B＝{(x，y)| 2|x－1|＋|y－1|≤a}，A B，则实

数a的取值范围是．

解：画图可知，要使 A B，则a＞0，且点(2，1)到直线2x＋y－3－a＝0的距离不小于1，

|2－a|

≥1，解得a≥2＋ 5，故 a 的取值范围是[2＋ 5，＋∞)．

即 5

2．若不全相等的三个实数 a，b，c 满足 a ＋b ＋c ＝3abc，则 a ＋b＋c＝．

3 3 3

解：由a＋b＋c－3abc＝(a＋b)＋c－3a b－3ab －3abc

3 3 3 3 3 2 2

＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)

＝2(a＋＋c)[(a－b)＋(b－c)＋(c－a) ]＝．

1 2 2 2

因为a，b，c为不全相等的三个实数，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c －a)2≠0，

所以a＋b＋c＝0．

3．已知 a，b 是实数．若二次函数 f(x)＝x ＋ax＋b 满足 f(f(0))＝f(f(1))＝0，且

f(0)≠f(1)，

2

则f(2)的值是．

解：由题设，f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b是方程f(x)＝0的根，

故x2＋ax＋b≡(x－b)(x－(1＋a＋b))，

1

即a＝－1－a－2b，b＝b(1＋a＋b)，解得a＝－2，b＝0．

所以f(2)＝3．

4．若小张每天的睡眠时间在 6 小时至 9 小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时的概率是．

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00

试题构成：

解题建议：

试题正文与答案：

一、填空题（每小题7分，共70分）

1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}

24x x <<，则ab 的值是． 解析 由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，

从而24a b a b --=⎧⎨

-+=⎩，解得3

1a b =-⎧⎨=⎩

，所以3ab =-．故填3-．

2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．

解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为2

254

2

9C C 4C 9

+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+

，则(f 的值是．

解析

<

，即67<

，所以()80,2-，

所以(

()

8f f =

(836f =--=-．故填36-． 评注 因为()()2

84f x x =--或()()1660x f x x =-+．

(

()2

888436f --=-=-+-或

(

(

)

8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣

⎦

．

学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是． 解析 由题意从而()2

24f x x x

2016年全国高中数学联赛试题

一、填空题

1．设实数a 满足3

911||a a a a <-<，则a 的取值范围是____________. 【解】由于||,0a a a <\<，3

911||a a a a <-

33

911,

911,a a a a a a ì<-ïí-<-ïî

解之得，2310

(

,)33

a ?-

2.设复数,z w 满足||3z =，()()74i z w z w +-=+，其中i 是虚数单位，,z w 分别是,z w 的共轭复数，则(2)(2)z w z w +-的模为_____________. 【解】

222222()()||||74i,||||,||||7,4i

z w z w z w zw zw z w z w zw zw +-=-+-=+-蝄-=-=||3z =，22||9,||2z w ==，

22(2)(2)||4||2()988i 18i z w z w z w zw zw +-=-+-=-+=+， |(2)(2)|1+64=65z w z w +-=.

【点评】2Re ,2Im z z z z z z +=-=

3.正数,,u v w 均不等于1，若l o g l o g 5,l o g

l o g 3u v

v

w

v w w u v +

=+

=

.则log w u =_______.

【解】log u let v a =，log v w b =,由于lg lg lg log log log 1lg lg lg u v u v w w

v w w u v u

鬃

==，

Then 1log w u ab =

2016年福建省高中数学竞赛

暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案

（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．若函数()3cos()sin()63

f x x x ππ

ωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间

02π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的最大值为

。 【答案】 【解答】∵ ()3c o s ()s i n (

)3c o s ()s i n (

)

6

3

662

f x x x x x π

π

πππ

ωωωω=+

--=+-+- 3cos()cos()4cos()666

x x x πππ

ωωω=+++=+，且()f x 的最小正周期为π。

∴ 2ω=，()4cos(2)6f x x π=+。又02x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，72666x πππ≤+≤，

∴ 26

6x π

π

+

=

，即0x =时，()f

x 在区间02π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上取最大值 2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x

a x ⎧⎫

=<⎨⎬-⎩⎭

，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。

【答案】 1

()2

-+∞，

【解答】{}12A x x =≤≤。由13a x <-，得3103

ax a x -++<-。 ∴ 0a =时，{}3

B x x =<。满足A B ⊆。

0a >时，由3103ax a x -++<-，得1(3)

03x a x -+>-，133B x x x a ⎧⎫=<>+⎨⎬

2016全国高中数学联赛试题及评分标准

9月将至，开学的同时，每年一年一度的

全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道

高中联赛的前世今生吗？

从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。

1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。

竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。

为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题-参考答案及评分标准

D

参考答案及评分标准（第 2 页共 10 页）

参考答案及评分标准（第 3 页共 10 页）

参考答案及评分标准（第 4 页共 10 页）

参考答案及评分标准（第 5 页共 10 页）

2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题

参考答案及评分标准

说明：

1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.

2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、A

2、D

3、C

4、C

5、A

6、B

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、180 8、1

2

-9、4310、

1 411、3

2

12、2015

三、解答题（本大题共4个小题，每小题

20分，共80分）

13、设等比数列{}

n

a的前n项和为n S，且

2n

n

S r

=+（r为常数），

记

2

2(1log)

n n

b a

=+*

()

n∈N．

（1）求数列{}

n n

a b的前n项和n T；

（2）若对于任意的正整数n，都有

12

12

1

11

1

n

n

b

b b

n

b b b

+

++

⋅⋅⋅≥+成立，

求实数k的最大值．

解：（1）由条件易知

1221332

2,2,4

a r a S S a S S

=+=-==-=,

又由2

213

a a a

=得

1

r=-．

……5分

于是21

n

n

S=-．故12n

n

a-