【高考调研】高中数学 课时作业25 二元一次不等式(组)表示的平面区域新人教版必修5

课后训练1．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜－7或a ＞24B ．a ＝7或a ＝24C ．－7＜a ＜24D ．－24＜a ＜72．不等式组2102101x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，，表示的平面区域为( )．A ．正三角形及其内部B ．等腰三角形及其内部C ．在第一象限内的一个无界区域D ．不包含第一象限内的点的一个有界区域3．不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，，表示的平面区域为D ，两点P 1(0，－2)，P 2(0,0)与D 的关系为( )．A ．P 1D 且P 2DB ．P 1∈D 且P 2DC ．P 1D 且P 2∈D D ．P 1∈D 且P 2∈D4．能表示下图阴影部分的二元一次不等式组的是( )．A ．01220y x y ≤≤⎧⎨-+≤⎩，B ．1220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩， C ．012200y x y x ≤≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，， D ．1220y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，0,5．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,2x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是( )．A． B ．4 C． D ．26．设a ＞0，点集S 中的点(x ，y )满足条件：①2a ≤x ≤2a ，②2a ≤y ≤2a ，③x ＋y ≥a ，④x ＋a ≥y ，⑤y ＋a ≥x ，则S 的边界是一个有______条边的多边形．7．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1，b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2，b2千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d1，d2元．月初一次性购进原料A，B各c1，c2千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，x，y满足的条件为__________________．8．如下图所示，求△PQR内任一点(x，y)满足的关系式．9．求不等式|x－2|＋|y－2|≤2所表示的平面区域的面积．参考答案1. 答案：C 据题意，得(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]＜0⇒(a ＋7)(a －24)＜0⇒－7＜a ＜24.故选C.2. 答案：B 作出不等式组表示的平面区域，如下图阴影部分所示，观察图象可知选B.3. 答案：B 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示，可知P 1(0，－2)在D 内，P 2(0,0)不在D 内，故选B.也可以直接把点的坐标代入检验，满足不等式的在区域内，否则不在区域内．4. 答案：C 从图中可看出，阴影部分满足0≤y ≤1，－1≤x ≤0.因为点(0,0)在2x －y ＋2＝0的下方，且点(0,0)的坐标代入方程左端有2×0－0＋2＞0，因为阴影部分符合2x －y ＋2＞0，故选C.5. 答案：B 由题知平面区域为△ABC (如图所示)，|40|242ABC S ∆-⨯==.6. 答案：6 如图所示，分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，可得平面六边形，即点S 的边界是一个有6条边的多边形．7. 答案：12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，x ，y 满足的条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，，8. 答案：解：易得直线PQ 的方程为x ＋2y －5＝0；直线QR 的方程为x －6y ＋27＝0；直线RP 的方程为3x －2y ＋1＝0.注意到△PQR 内任一点(x ，y )应在直线RP ，PQ 的上方，而在直线QR 的下方，故应有25032106270.x y x y x y +->⎧⎪--<⎨⎪-+>⎩，，9. 答案：分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依据绝对值的定义去掉绝对值符号，也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题．解：解法一：原不等式|x －2|＋|y －2|≤2等价于6,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥≤⎪⎨-≥-≤≥⎪⎪+≥≤≤⎩作出以上不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，它是边长为其面积为8.解法二：∵|x －2|＋|y －2|≤2是|x |＋|y |≤2向右、向上各平移2个单位得到的，∴|x －2|＋|y －2|≤2表示的平面区域的面积等于|x |＋|y |≤2表示的平面区域的面积．由于|x|＋|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域2,0,x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩(如下图阴影部分所示)的面积为2，故|x|＋|y|≤2的面积为4×2＝8.∴所求面积为8.。

第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域一、选择题1.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 A解析 取原点O (0,0)检验，满足x ＋y －1≤0，故异侧点满足x ＋y －1≥0，排除B ，D.O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C. 2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A.28B.16C.394D.121考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，－3)，(3,5)，(－1,1)，所以其面积S ＝12×8×4＝16.3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 答案 C解析 在同一坐标系中画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)，代入(x －y ＋5)(x ＋y )中，得(－1＋5)×1＝4>0，可知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形.4.若满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －3)≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a的值为( )A.－1B.3C.－2D.4 答案 B解析 不等式组化为⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ， A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )， 面积为S ＝12(2a －2)(a －1)＋12×2×1＝5，解得a ＝3或a ＝－1(舍去). 5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，y ≤kx －2表示的平面区域是一个梯形，则实数k 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 如图，⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域是一个正方形，当直线y ＝kx －2与线段BC (不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k ＞2－(－2)2－0＝2.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A.2 B.1 C.－13 D.－12考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得M (3，－1).此时直线OM 的斜率最小且为－13.7.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D.(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( ) A.(0,3] B.[－1,1] C.(－∞，3]D.[3，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞).故选D.9.如图所示的正方形及其内部的平面区域用不等式组表示为________.考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－1≤y ≤110.若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0). S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝12×2×2－12×12×1＝2－14＝74.11.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________.考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 ⎣⎡⎦⎤12，4解析 不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)，且斜率为a . 由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，由数形结合可得12≤a ≤4.三、解答题12.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组的平面区域； (2)求满足不等式组的平面区域的面积. 考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法 解 (1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AFE －S △BFC －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.13.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于直线x ＋y＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积解 P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故直线PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1； 又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦， 故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上， 即为直线x ＋y ＝0， 又圆心为⎝⎛⎭⎫－k 2，－m2， ∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，是一个三角形，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫－12，12， ∴S ＝12×1×12＝14.故平面区域的面积为14.四、探究与拓展14.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( ) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2]D.[3，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示(包含边界).由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9).对于y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上. 当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需a 2≤9，解得1<a ≤3.15.若M (x 0，y 0)是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥8，x ＋y ≤a ，x ≥6(a ≠8)内的一个动点，且x 0＋2y 0≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(8,10]B.(8,9]C.[6,9]D.[6,10] 考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 A解析 不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥8，x ≥6所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界).由题意易知a >8，且点(6，a －6)为可行域内边界上一点.由图可知当点(6，a －6)位于直线x ＋2y ＝14上或其左下方时，x 0＋2y 0≤14恒成立，从而有6＋2(a －6)≤14，即a ≤10，所以8<a ≤10.。

二元一次不等式（组）与平面区域（第1课时）使用说明：1.课前认真预习课本，完成本学案；2.课上认真和同学讨论交流，积极回答问题、板演，认真听老师点评；3.课下复习整理。

★学习目标1. 了解二元一次不等式的几何意义，会根据二元一次不等式去画它所表示的平面区域。

能用平面区域表示二元一次不等式组，能把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。

2. 能进行各种数学语言之间的转换，体验数形结合思想的应用。

◆1. 二元一次不等式（组）的概念（1） 含有_________未知数，并且未知数的次数是________的不等式叫做二元一次不等式。

由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组。

（2） 满足______________________________________构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

2. 二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线___________________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_______以表示区域不包括边界。

不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成__________.3. 二元一次不等式表示平面区域的确定（1） 直线0Ax By C ++=同一侧的所有点把它的坐标(),x y 代入Ax By C ++，所得的符号都__________.（2） 在直线0Ax By C ++=的一侧取某个特殊点()00,x y 作为测试点（当0C ≠时，常取()0,0；当0C =，常取()1,0或()0,1），由_____________的符号可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域。

例 在平面直角坐标系中画出下列不等式（组）表示的平面区域：（1）4312x y -≤ （2）1x ≥ （3）260x y --> （4）13y ≤≤ （5）123x y -≤ （6）102x y y -+≥⎧⎨≥-⎩◆课堂检测1.不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ ）Ａ．右上方 Ｂ．右下方 Ｃ．左上方 Ｄ．左下方2.不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(00)， Ｂ．(11)， Ｃ．(02)， Ｄ．(20)，3.已知点()00,P x y 和点()1,2A 在直线:3280l x y +-=的异侧，则（ ）A.00320x y +>B.00320x y +<C.00328x y +>D.00328x y +<4..已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ） Ａ．7a <-或24a >Ｂ．7a =或24a =Ｃ．724a -<< Ｄ．247a -<< 5.点(2,)t -在直线2360x y -+=的上方，则t 得取值范围_____________.6.不等式|3x +2y +k|≤8表示的平面区域必包含（0，0）及（1，1）两点，则k 的取值范围是 。

实用文档 2021年高中数学 二元一次不等式组表示的平面区域练习 新人教版必修5 教学目标：能画出二元一次不等式组表示的平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示并能解决一些有关问题。

教学重点、难点：确定二元一次不等式表示平面区域并运用。

教学过程；例1：将如图阴影部分用二元一次不等式组表示出来。

解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤00≤y ≤2x ≤0例2：画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 表示的平面区域.例3：已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，求a 的取值范围。

解：9－2＋a ＞0，－12－12＋a ＜0得－7＜a ＜24实用文档 例4：求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋8＞0y ＜0x ＜0的整数解 解：画出由这三个不等式所表示的区域的公共部分，即可看出所求整数解只有一个，为（－1，1）例5：用不等式组写出以A （1， 2）、B （4，3）、C （3，5）为顶点的三角形区域（含三角形的三边）。

小结：课后作业：课本P 87习题 2补充作业：1．将如图阴影部分用二元一次不等式组表示出来。

⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0y ≥－1x ≤02．如图，求PQR 内任一点（x ，y ）所满足的关系式。

实用文档 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞03x －2y ＋1＜0x －6y ＋27＞03．求不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0y ＞0x ＋y －3＜0所表示的平面区域内的整数点坐标。

（1，1）4．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤0所表示的平面区域内的面积。

1214教学后记：23149 5A6D 婭35736 8B98 讘30462 76FE 盾20555 504B 偋29038 716E 煮27337 6AC9 櫉2D34927 886F 衯24489 5FA9 復26890 690A 椊24658 6052 恒25466 637A 捺36991 907F 避。

高三数学二元一次不等组表示的平面区域试题答案及解析1.不等式组表示的平面区域的面积为______________.【答案】11【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，易求得C（4,0），B（4,2），D（0,3），A(2,3),所以阴影部分面积为12-=11.考点:二元一次不等式组表示的平面区域2.已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围是 .【答案】【解析】由已知得，即答案为.【考点】不等式表示的平面区域.3.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【答案】C【解析】·＝－x＋y，令z＝－x＋y，做出可行域，求线性规划问题．4.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .【答案】3【解析】时，平面区域是一个无限区域，故.作出不等式组表示的平面区域如图所示，易得点，所以.【考点】不等式组表示的平面区域.5.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为()．A．4B．3C．4D．3【答案】C【解析】作不等式组表示的平面区域D，如图所示．又z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，∴y＝－x＋z.令l0：y＝－x，平移直线l，当过点M(，2)时，截距z有最大值．故zmax＝×＋2＝46.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.【答案】【解析】画出可行域，如图所示的阴影部分，直线过定点（1,0），要使得其平分可行域面积，只需过线段的中点（0,3）即可，故.【考点】1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程.7.在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点，则由点所形成的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，代入得，，画出平面区域，面积为8.【考点】1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.8.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围是_________【答案】[-1,11]【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数经过（0，-1）时，有最小值-1，经过点（6，-1）时有最大值11，所以取值范围是[-1,11]。

高三数学二元一次不等组表示的平面区域试题答案及解析1.若均为区间的随机数，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意满足的x,y的取值范围如图所示.所以所求的概率为.故选D.【考点】1.线性规划.2.几何概型.2.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y)满足x－2y=2，则m的取值范围是 .【答案】【解析】解：不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P(x0，y)满足x－2y=2，必须使点A位于直线的右下侧，所以，，所以，答案填：【考点】二元一次不等式组表示的平面区域.3.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .【答案】【解析】不等式组前三个不等式所表示的平面区域中，三个顶点分别为，第四个不等式中，表示是过点的直线（如图），当或时不等式组所表示是一个轴对称四边形围成的区域，故答案为.【考点】二元不等式组表示的平面区域4.设不等式组表示的平面区域为.若圆不经过区域上的点,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图及其内部，其中.∵圆表示以为圆心，半径为的圆，∴由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，∵，，∴当或时，圆不经过区域上的点，故选.【考点】圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域.5.设变量满足，若直线经过该可行域，则的最大值为【答案】1【解析】画出可行域如图，为直线的斜率，直线过定点，并且直线过可行域，要使最大，此直线需过点,所以.【考点】1.线性规划；2.直线的斜率.6.不等式组表示的平面区域的面积是( )A．B．0C．D．【答案】A【解析】不等式组表示的可行域如图所示，故面积为.【考点】考查线性规划知识.7.不等式组对应的平面区域为，直线()与区域有公共点，则的取值范围是______【答案】【解析】根据题意，不等式组对应的平面区域，为三角形，且根据题意，直线()与区域有公共点，说明了过定点（-1,0）的直线与平面区域有交点，则结合图象可知，只要斜率落在边界线之间即可，由于边界线的斜率为0,1，则可知结论为。

§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <0答案 C解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C 正确．2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )答案 B解析 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1 答案 D解析 区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)， C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0解析如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.8．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个．答案 6解析 由题意点(x ，y )的坐标应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N y ∈Nx ＋y ≤2，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．答案 －1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内． 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋1≤0.无解． ②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0. 综上所述，－1<a ≤0.10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．答案 74解析如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)，E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y ≤267，∴整点有：(4,2)(4,3)．把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤207，∴整点有：(5,2)；把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)；把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤87，与y ≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即是直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k 2，－m2)，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，它表示的区域如图所示，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－12，12)，∴S △＝12×1×12＝14.故面积为14.能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞) 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)． 对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 0<a ≤1或a ≥43解析不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝⎛⎭⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43；当a >43时，表示区域是△AOB ； 当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1；当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形．故当0<a ≤1或a ≥43时表示的平面区域为三角形．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．。

课时作业(二十) 二元一次不等式(组)所表示的平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －＋x ＋y ，0≤x ．三角形解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故a ＝－1.B 组 (限时：30分钟)1．不等式x ＋3y －6<0表示的平面区域在直线x ＋3y －6＝0的( ) A ．右上方 B ．左上方 C ．右下方 D ．左下方解析：直线x ＋3y －6＝0表示的位置如图所示．由于0＋3×0－6<0，故x ＋3y －6<0表示的区域在直线x ＋3y －6＝0的左下方．答案：D2．不等式x ＋y －1<0的解可能是( ) A ．(2，－1) B ．(0,0) C ．(3,1) D ．(0,2)解析：将(0,0)代入x ＋y －1≤0验证不等式成立， ∴选B. 答案：B3．以下各点在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >0，x －2y ＋1<0，表示的平面区域内的是( )A ．(－1,1)B ．(1,1)C ．(2,2)D ．(3,2)解析：－1＋1>0不成立，∴A 错；1－2×1＋1<0不成立，∴B 错；3－2×2＋1<0不成立，∴D 错．2＋2>0成立，2－2×2＋1<0成立，∴选C. 答案：C4．如图，不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域正确的是( )选项中有边界为实线，应排除，将(0,0)代入不等式验证得不等式成立，应4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是>24 B ．－7<a <24 24 D ．以上都不对(3×3－2×1＋a )·[3×(－4)－2×6＋a ]<0，即：(．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数的值为( )画出平面区域，如图所示：A (1，a ＋1)，B (0,1)，C (1,0)，∵S △ABC ＝不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则≤3，－1，≥0，则yx的最大值为画出平面区域，如图所示，设点P (x ，y )为平面区域内一点，则OA ＝12.1,1)，C (1,3)为顶点的△如图所示，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域就是所求△ABC 的区域，直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.在△ABC 内取一点P (1,1)，代入x ＋2y －1，得1＋2×1－1＝2>0.所以直线x ＋2y －1＝0对应的不等式为x ＋2y －1>0.把P (1,1)代入x －y ＋2，得1－1＋2>0； 代入2x ＋y －5，得2×1＋1－5<0.因此对应的不等式分别为x －y ＋2>0,2x ＋y －5<0. 又因为所求区域包括边界，所以所求区域的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.11．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h ．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．12．画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，并求区域面积．的正方形．。

3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域1．目标函数z ＝3x －y ，将其看作直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的横截距 D ．该直线纵截距的相反数2．有5辆6吨的汽车，3辆4吨的汽车，要运送一批货物，完成这项运输任务的线性目标函数是( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋3yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝3x ＋5y3．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y <25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值4．给出平面可行域(如图)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a ＝( )A ．14B ．35C ．4D ．535．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－86．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( ) A ． B ． C ．D ．7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≥3x ，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，则2x＋y 的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是________．9．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为常数)，且使z ＝x ＋3y 取得最大值12时，k的值为________．10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥10，2x －3y ≤－6，2x ＋y ≤10，求y ＋1x ＋1的取值范围．参考答案1．【答案】D 2．【答案】A3．【解析】画出可行域，如图所示．画直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，知z ＝2x ＋y 既无最大值，又无最小值． 【答案】D4．【解析】由题意，知当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个． ∴－a ＝5－21－6＝－35，∴a ＝35.【答案】B5．【解析】作出可行域．令z ＝0，则l 0：x －3y ＝0，平移l 0， 在点M (－2,2)处z 取到最小值，最小值z ＝－2－3×2＝－8.【答案】D6．【解析】因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )，在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤7，x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P 在直线4x ＋3y ＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，解得A (－6,8)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝7，解得B (3，－4)． ∴P 到坐标原点的距离最小为0， 又|OA |＝10，|BO |＝5.因此最大值为10，故其取值范围是．如图所示．【答案】B7．【解析】可行域如图．当直线x ＋2y ＝0平移经过点A (1,3)时，z 有最小值7. 【答案】78．【解析】区域D 如图所示．令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过(4,6)时z 最大，此时z ＝14； 当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线2x －y －2＝0相切时半径最大，此时半径r ＝25，面积S ＝45π.【答案】14 45π9．【解析】根据题意，要使z 取得最大值12，直线2x ＋y ＋k ＝0与直线y ＝x 的交点B 必在第一象限，约束条件所在的平面区域为如图阴影部分所示的△ABO ，直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，直线2x ＋y ＋k ＝0的斜率为－2，直线y ＝x 的斜率为1，故目标函数在B ⎝⎛⎭⎫－k 3，－k 3点取得最大值12，所以－k 3＋3×⎝⎛⎭⎫－k 3＝12，解得k ＝－9.【答案】－910．解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设k ＝y ＋1x ＋1，因为y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)表示平面区域内的点与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)，C (0,2)， 则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3， 所以k ∈⎣⎡⎦⎤16，3，即y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎡⎦⎤16，3.。

§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域1.点A (2，3)在直线2x ＋y －6＝0的 A.右上方 B.左上方 C.右下方D.左下方2.如图，阴影部分是下列哪个二元一次不等式表示的平面区域A.x －y ＋1＜0B.x －y ＋1＞0C.x －y ＋1≤0D.x －y ＋1≥03.不等式(x －y )(x ＋2y －2)≥0表示的平面区域的大致图形是4.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，4x ＋3y <12表示的平面区域内的整点坐标为________.5.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________.[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列各点中，在不等式x －y ＋1≤0表示的平面区域内的是 A.(0，0)B.(1，0)C.(5，5)D.(1，3)2.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 A.a <－1或a >24 B.－24<a <7 C.－7<a <24D.a <－24或a >73.图中阴影部分表示的平面区域对应的二元一次不等式组为A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＞0，2x ＋3y －6＜0，x －y －1≥0，x －2y ＋2≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＜0，2x ＋3y －6≥0，x －y －1≥0，x －2y ＋2＜0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＞0，2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2＞0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，2x ＋3y －6＜0，x －y －1＜0，x －2y ＋2≥04.下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1>0，x －y ＋1<0表示的平面区域内，且到直线x －y ＋1＝0的距离为22的点是 A.(－1，1)B.(－2，1)C.(0，3)D.(1，1)5.(2016·浙江)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A.355B. 2C.322D. 5二、填空题(每小题5分，共15分)6.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________.7.设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________.三、解答题8.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并指出x ，y 的取值范围.9.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.。

第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域一、选择题1.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 A解析 取原点O (0,0)检验，满足x ＋y －1≤0，故异侧点满足x ＋y －1≥0，排除B ，D.O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C. 2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A.28B.16C.394D.121考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，－3)，(3,5)，(－1,1)，所以其面积S ＝12×8×4＝16.3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形考点不等式(组)表示平面区域的应用题点与平面区域相关的其他问题答案 C解析在同一坐标系中画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，取点(0,1)，代入(x－y＋5)(x＋y)中，得(－1＋5)×1＝4>0，可知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的区域内，再画出直线x ＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形.4.若满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －3)≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a的值为( )A.－1B.3C.－2D.4 答案 B解析 不等式组化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ， A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )， 面积为S ＝12(2a －2)(a －1)＋12×2×1＝5，解得a ＝3或a ＝－1(舍去). 5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，y ≤kx －2表示的平面区域是一个梯形，则实数k 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 如图，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域是一个正方形，当直线y ＝kx －2与线段BC (不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k ＞2－(－2)2－0＝2.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A.2 B.1 C.－13 D.－12考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得M (3，－1). 此时直线OM 的斜率最小且为－13.7.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B.(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D.(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )A.(0,3]B.[－1,1]C.(－∞，3]D.[3，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞).故选D.二、填空题9.如图所示的正方形及其内部的平面区域用不等式组表示为________.考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－1≤y ≤110.若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0). S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝12×2×2－12×12×1＝2－14＝74.11.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________.考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 ⎣⎡⎦⎤12，4解析 不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)，且斜率为a . 由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点， 由数形结合可得12≤a ≤4.三、解答题12.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组的平面区域； (2)求满足不等式组的平面区域的面积.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法 解 (1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AFE －S △BFC －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.13.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积解 P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故直线PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1； 又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦， 故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上， 即为直线x ＋y ＝0， 又圆心为⎝⎛⎭⎫－k 2，－m2， ∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，是一个三角形，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫－12，12，∴S ＝12×1×12＝14.故平面区域的面积为14.四、探究与拓展14.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( ) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2]D.[3，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示(包含边界).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0， 得交点A (2,9).对于y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上. 当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时， 由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需a 2≤9，解得1<a ≤3. 15.若M (x 0，y 0)是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥8，x ＋y ≤a ，x ≥6(a ≠8)内的一个动点，且x 0＋2y 0≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(8,10] B.(8,9] C.[6,9]D.[6,10]考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 A解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥8，x ≥6所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界).由题意易知a >8，且点(6，a －6)为可行域内边界上一点.由图可知当点(6，a －6)位于直线x ＋2y ＝14上或其左下方时，x 0＋2y 0≤14恒成立，从而有6＋2(a －6)≤14，即a ≤10，所以8<a ≤10.。

一．选择题（共4小题）1．（2015•重庆）若不等式组2022020x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．3- B ．1 C ．43 D ．32．（2012•重庆）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--=-+-⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为( )A ．34πB ．35πC ．47πD ．2π 3．（2012•北京）设不等式组0202x y ⎧⎨⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．4πB ．22π- C ．6π D ．44π- 4．（2010•北京）设不等式组1103305390x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，]+∞二．填空题（共3小题） 5．（2014•安徽）不等式组20240320x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩表示的平面区域的面积为 ．6．（2011•北京）设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(D t ，3)()t R ∈．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则(0)N = ，()N t 的所有可能取值为 ．7．（2010•北京）若点(,3)p m 到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式23x y +<表示的平面区域内，则m = ．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2015•重庆）若不等式组2022020x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．3- B ．1 C ．43 D ．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由20220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩，即(2,0)A ， 则(2,0)A 在直线20x y m -+=的下方，即220m +>，则1m >-，则(2,0)A ，(2,0)D m -，由2020x y m x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得11x m y m =-⎧⎨=+⎩，即(1,1)B m m -+， 由20220x y m x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得243223m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即24(3m C -，22)3m +． 则三角形ABC 的面积ABC ADB ADC S S S ∆∆∆=-1||||2B C AD y y =- 122(22)(1)23m m m +=++- 224(1)(1)33m m m +=++-=， 即14(1)33m m ++⨯=， 即2(1)4m +=解得1m =或3m =-（舍)，故选：B ．2．（2012•重庆）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--=-+-⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为( )A ．34πB ．35πC ．47πD ．2π 【解答】解：1()()0y x y x --⇔010y x y x -⎧⎪⎨-⎪⎩或010y x y x -⎧⎪⎨-⎪⎩其表示的平面区域如图，22(1)(1)1x y -+-表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为πA B ∴所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和1y x =均关于y x =对称， 故阴影部分面积为圆的面积的一半，即2π 故选：D ． 3．（2012•北京）设不等式组0202x y ⎧⎨⎩，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．4πB ．22π-C．6π D ．44π- 【解答】解：其构成的区域D 如图所示的边长为2的正方形，面积为14S =，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为222444S ππ⨯=-=-，∴在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率44P π-=故选：D ．4．（2010•北京）设不等式组1103305390x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，]+∞【解答】解：作出区域D 的图象，联系指数函数x y a =的图象， 由110330x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得到点(2,9)C ， 当图象经过区域的边界点(2,9)C 时，a 可以取到最大值3， 而显然只要a 大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A ．二．填空题（共3小题）5．（2014•安徽）不等式组20240320x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩表示的平面区域的面积为 4 ．【解答】解：由不等式组20240320x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩作平面区域如图，由图可知(2,0)A ，(0,2)C ，联立240320x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：(8,2)B -．||BC ∴==点A 到直线240x y +-=的距离为d =∴11||4422ABC S BC d ∆==⨯=． 故答案为：4．6．（2011•北京）设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(D t ，3)()t R ∈．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则(0)N = 6 ，()N t 的所有可能取值为 ．【解答】解：当0t =时，平行四边形ABCD 内部的整点有(1,1)；(1,2)；(2,1)；(2,2)；(3,1)；(3,2)共6个点， 所以(0)6N =作出平行四边形ABCD将边OD ，BC变动起来，结合图象得到()N t 的所有可能取值为6，7，8 故答案为：6；6，7，87．（2010•北京）若点(,3)p m 到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式23x y +<表示的平面区域内，则m = 3- ．【解答】解：点(,3)M m 到直线4310x y -+=的距离为4， ∴4d =，解得：7m =或3m =-． 当7m =时，2733⨯+<不成立； 当3m =-时，2(3)33⨯-+<成立． 综上：3m =-． 故答案为：3-．。