《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第7章 立体几何-6

(1)在AC上求作点P,使 PE∥平面ABF,请写出作法并说明理由;
(2)求三棱锥A-CDE的高.
解 (1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接PE,此时P为所求作的点,如
图所示.
理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.
又BC∥AD,∴四边形BGDA为平行四边形,
∴DG∥AB,即DP∥AB.
9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交
直线,那么这两个平面平行.
10.垂直于同一条直线的两个平面平行.
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直
面内.
3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.
4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.
6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.
7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
同理连接B1Q,并延长,与CD也相交于点M.

1
由重心的性质可得 = 3 ,
1
1


所以 = ,所以 PQ∥A1B1.
1
1
=
又因为AB∥A1B1,所以PQ∥AB.
因为PQ⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以PQ∥平面ABC.
1
.
3
解题心得1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知

第七单元 │ 网络解读
立体几何在高考中一般是1～2道选择题或者填空题，一道 解答题，分值在16～22分之间，试题的难度属于中等或者偏 易．选择题或者填空题主要考查空间几何体的三视图以及表面 积、体积计算，或者有针对性地考查空间位置关系的判断、简 单的空间角的求解等；解答题则全面考查空间位置关系的证 明、空间角的求解，其主流命题方式是分步设问，第一问进行 空间平行和垂直关系的证明，第二问求解空间角或者距离，空 间角以二面角为主，空间距离以点到平面的距离为主．由于立 体几何是传统的高中数学内容，空间向量与立体几何进入高中 的时间也较长，高考对立体几何的考查已经基本稳定，预计 2013年不会发生大的变化．
第七单元
立体几何
第36讲
空间几何体的结构特征及三视图和 直观图
第37讲 第38讲 第39讲 第40讲 第41讲
空间几何体的表面积和体积 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线、平面平行的判定与性质 直线、平面垂直的判定与性质 空间向量及运算
第42讲
立体几何中的向量方法(一)——位置
关系的证明
第43讲
第七单元 │ 使用建议
(2)强化综合几何的方法在证明空间线面平行、面面平 行、线面垂直、面面垂直中的训练：一般而言高考中立体 几何解答题的证明部分运用综合几何的方法进行证明比运 用空间向量的方法具有简洁明了的特点，我们在第39讲、 第40讲专门解决这个问题，试图通过这两个讲次，提升学 生对综合几何法证明空间位置关系的能力． (3)在强化综合几何方法的同时要注意空间向量在解决 各类立体几何问题中的方法：在第42讲复习总结空间向量 方法证明立体几何问题，第43讲复习总结运用空间向量方 法求解空间角和空间距离，试图通过这样的处理使学生掌 握使用空间向量解决立体几何问题的方法．

2 2 → 2 ，0)，E 0， ， ， AE ＝ 2 2
2 2 － 2， ， ， 2 2
→ → | AE · SD| 2 3 → → → SD＝(0，－ 2，－ 2)，|cos〈AE，SD〉|＝ ＝ ＝ ，故AE，SD → → 2× 3 3 |AE|· |SD| 3 所成角的余弦值为 3 .
[知识梳理] 1．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行： l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R ； ； . ；
u＝0 线面平行： l∥α⇔a⊥u⇔a·
面面平行： α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R
b＝0 (2)线线垂直： l⊥m⇔a⊥b⇔a·
线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R ；
目录
第七章 立体几何
CONTENTS
1 高考导航 考纲下载 2 3 4 5
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向
第七节 立体几何中的向量
方法
课时作业
高考导航 考纲下载
1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问 题． 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所 成角的正弦值为______．
解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)， B(1,2,0)，
→ ∴D1C1＝(0,2,0)， 设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
3．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE， SD所成角的余弦值为( C ) 1 A.3 3 C. 3 2 B． 3 2 D．3

×
（5） 平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( )
×
2. （新教材改编题）已知 是一个平面， ， 是两条直线， 是一个点，若 ， ，且 ， ，则 ， 的位置关系不可能是( )
A. 垂直 B. 相交但不垂直 C. 异面 D. 平行
D
3. 多选题 设 表示一个点， ， 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的有( )
（2） 设直线 与 交于点 ，求证： ， ， 三点共线.
[答案] ， ， ， 平面 ， 平面 ，又平面 平面 ， 直线 . ， ， 三点共线.
考点二 空间点、直线、平面的位置关系
角度1 空间两直线位置关系的判断
例2
（1） （2023山东潍坊模拟）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示的表面展开图，则在正方体中， 、 、 、 这四条线段所在的直线中，异面直线有( )
方法感悟1.证明点或线共面的两种方法（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后证其余的线（或点）在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
2.证明线共点的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.3.证明点共线的两种方法（1）先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上；（2）可证明这些点都是某两个平面的公共点，从而依据基本事实3证明它们都在这两个平面的交线上.
B
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
[解析] 还原正方体，如图所示，则 与 ， 与 ， 与 是异面直线，共3对.
（2） （2022福建福州三模）在底面半径为1的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面 ，其中母线 ， 是 的中Байду номын сангаас， 是 的中点，则( )

知识点一
知识点一 知识点二
3．两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识点一
知识点一 知识点二
易误提醒 (1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一 平面的向量才能为共面向量． (2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (3)由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 故 0 不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
知识点一
知识点一 知识点二
空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有__大__小__和__方__向_的量叫作空间向 量，其大小叫作向量的_长__度__或 模 ． (2)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量． (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 平行 或 重合 ，则这些向量叫作 共线向量 或平行向量 ，a平行于b 记作 a∥b . (4)共面向量：平行于同一 平面 的向量叫作共面向量．
若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是( A )
A．2，21
B．－13，21
C．－3,2
D．2,2
6＝kλ＋1， ∴ 2μ－1＝0，
2λ＝2k，
解得
λ＝2， λ＝－3， μ＝12， 或μ＝21.
知识点二
知识点一 知识点二
空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
→→→→ (OA＋OB＋OC＋OD)．
试题
证明

【点拨】 用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知 向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求 向量用已知基向量表示出来.
(1)如图，以长方体ABCD­A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系. 若D→B1的坐标为(4，3，2)，则A→C1的坐标是__________.
解：根据向量D→B1的坐标可得D→A＝(4，0，0)，D→C1＝(0，3，2)，所以A→C1＝D→C1－ D→A＝(－4，3，2). 故填(－4，3，2).
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.
(Ⅰ)化简：A→1O－12A→B－12A→D＝__________. (Ⅱ)用A→B，A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝__________.
7. 了解空间向量投影的概念及投影向量的意义. 8. 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 9. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系. 10. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理. 11. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理. 12. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问 题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的 作用.
4. 用空间向量研究距离、夹角问题
分类
图示
计算公式
点到直线 距 的距离 离
点到平面 的距离
PQ ＝ |A→P|2－|A→Q|2 ＝ a2－（a·u）2 (μ 是 l 的单位方向向量)

- + = ,

即 + = -,解得λ= .

- + = ,
(3)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=
→
→
-3
.
解析:(3)因为=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且 A,B,C 三点共
→
→
线,所以存在实数λ,使得=λ,
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使
得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个
空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,
c-a,B
正确;因为点
P
在线段





→
→





→






AN 上,且 AP=3PN,所以= = b+ c-a,所以= ( b+ c-a)= b+



→
→
→












c- a,C 错误;=+=a+ b+ c- a= a+ b+ c,D 正确.故选 BD.
(2)(多选题)如图,M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点,点 N 在线段 OM
→

(2)基本事实4.(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线___平__行____. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相__等__或__互__补_.
异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线 是异面直线． 用符号可表示为： 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．
平行 关系
图形语言 符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交 关系
图形语言 符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
直线与直线
直线与平面
平面与平面
独有 图形语言
关系
符号语言 a，b是异面直线
a⊂α
知识点三 异面直线所成角、基本事实4及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____锐__角__或__直__角______叫做异面直线 a与b所成的角． ②范围：0，π2.
所以 PC1⊥平面 PBB1，所以 PC1⊥PB， 设正方体棱长为 2，则 BC1＝2 2，PC1＝12D1B1＝ 2， sin∠PBC1＝PBCC11＝12，所以∠PBC1＝π6.故选 D.
解法二：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则A→D1＝
(－2,0,2)，B→P＝(－1，－1,2)，记 PB 与
题组三 走向高考 4. (2019·新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三 角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( B ) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

教材改编题
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2， 则m＝__1_0_.
∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 空间向量的线性运算
例 1 (1)在空间四边形 ABCD 中，A→B＝(－3,5,2)，C→D＝(－7，－1，－4)，
跟踪训练 1 (1)已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝0,6，－6)
√B.(0,6，－20)
D.(6,6，－6)
由 b＝12x－2a，得 x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝ (0,6，－20).
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. ①化简—A1→O －12A→B－12A→D＝__—_A_1→A____；
—A1→O －12A→B－12A→D＝—A1→O －12(A→B＋A→D)＝—A1→O －A→O＝—A1→O ＋O→A＝—A1→A .
②用A→B，A→D，—AA→1 表示—OC→1，则—OC→1＝_12_A→_B_＋__12_A_→_D_＋__—A__A→_1_.
则 λ＋μ＝1 是 A，B，C 三点共线的充要条件
由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线， 反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若A→B，C→D共线，则 AB∥CD 或 A，B，C，D 四点共线，所以 B 不 正确； 由 A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若O→P＝34O→A＋18O→B＋ 18O→C，因为34＋18＋18＝1， 可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；

明线面垂直．
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或利用面面 垂直的判定定理转化为证明线面垂直.
第三十四页，共86页。
用向量证明平行、垂直时，要注意解题(jiě tí)的规范性。如证 明线面平行时，仍需要体现出一条直线在平面内、另一条直线在 平面外的答题步骤．
第三十五页，共86页。
【活学活用】 1. 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 (léngzhuī)P － ABCD 中 ， PC⊥ 平 面 ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4， CD ＝ 1 ， 点 M 在 PB 上 ， PB ＝ 4PM ， PB 与 平 面 ABCD 成 30° 的 角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.
c1)，b＝(a2，b2，c2)； (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组
nn··b＝a＝0 0； (4)解方程组，取其中的一个解后即得法向量．
第六页，共86页。
二、利用空间(kōngjiān)向量求角 1．求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ＝来自31×1＝3 3.
设直线BB1与平面ACD1所成角为θ，
则sin θ＝cos〈D→B1，B→B1〉＝ 33，
∴cos
θ＝
6 3.
答案：D
第十八页，共86页。
4 ． 已 知 两 平 面 的 法 向 量 分 别 (fēnbié) 为 m ＝ (0 ， 1 ， 0) ． n ＝ (0，1，1)，则两平面所成二面角的大小为________．
.∴异
面直线DB1与CM所成角的余弦值为
15 15 .
答案：
15 15
第二十一页，共86页。