人教A版高中数学选修4-2 第三讲 二 二阶行列式与逆矩阵 课件(共23张PPT)最新课件

-2 4
62
【例 4】 若
������ =
, 求X.
3 -1 -2 4
1 -2
错解:设 A=
,
∵detA= -2
3
3 -1
4 = −10≠0,∴矩阵 A 可逆,
-1
题型一 题型二 题型三 题型四
-2
∴A-1= 10
3 10
-2
4 10 -1
=
-
1 5
2 5
3
-1
.
10
10 10
4
62
62
∵
������ =
二 二阶行列式与逆矩阵
1.了解二阶行列式的定义. 2.会用二阶行列式求逆矩阵.
ab
1.二阶矩阵
与二阶行列式
������ ������
������ ������
的主要区别是什么?
cd 剖析:二阶矩阵对应的是变换,是 4 个数构成的数的方阵,而行列
式
������ ������
������ ������
-10 -10
10 5
-2 4
正解:设 A=
,
3 -1
∵detA= -2 4 = 2 − 12 = −10≠0,
3 -1
-1 -4
12
∴矩阵 A 可逆,∴A-1= -10
-3
-10 -2
=
10 3
5 1
.
-10 -10
10 5
题型一 题型二 题型三 题型四
-2 4
62
62
= ������������ − ������������则是一个数.写法上也不同,二阶矩阵是用括号,
二阶行列式用绝对值号或两竖线表示.二阶矩阵反应的是变换,二阶

a c
b d
中主对角线上的两数之积减去副对角线上的两数之
积得到的结果.
我们将矩阵A=
a c
b d
两边的“
”改为“|
|”,引进以下定义：
我们把 a b 称为二阶行列式，它的运算结果是一个 cd
数值（或多项式），记为det(A)= a
b ad bc.
cd
说明：
二阶行列式 a c
b d
与二阶矩阵
Dx = 6
=1 5-3 6=-13, 5
2 Dy= 4
1 =2 6-1 4=8, x= Dx 13 13 , y= Dy 8 4.
6
D 2 2 D 2
该方程组的解为 x
13 2
,
y 4.
例2：利用行列式的方法求解矩阵A
5 7
1 3
的逆矩阵。
解：设矩阵A=
5 7
13的逆矩阵为B
a c
a c
b d
的异同点：
(1)从形式上看，矩阵外面是一个中括号. 而行列式外面是两条竖线.
(2)从实质上看，矩阵是一个数表，而行列式是一个数值.
(3)矩阵和行列式的中间是一致的.
有了行列式这个定义，我们可以将前述二元一次方程组
一般解改写为：
ax by m
cx
dy
n
mb
x
n
d
ab
解记为：
cd am
y
c
n
ab
c d
若记D a c
b d
，Dx
m n
b d
，D y
a c
m n
则
x
y
Dx D Dy D
数学应用：

-6x4 2x4 6x4
= = =
9 -5

0
解 因为
D=27 D1=81 D2=-108
提示
2 1 -5 1
D=
1 0
-3 2
0 -6 -1 2
=27
1 4 -7 6
2 8 -5 1
D2 =
1 0
9 -5
0 -6 -1 2
=-108
1 0 -7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xj=Dj/D(j=1 2 n)。
当=2、=5或=8时 齐次线性方程组有非零解
习题部分
3111
例1 计算DD==
1 1
3 1
1 3
1 1

1113
4a2 9a2 16a2
8a3 = 27a3 = 64a3 =
4 3

-3
D=12 D1=36
提示
11 1 1
D=
1 1
2 3
4 9
8 27
=12
1 4 16 64
31 1 1
D1 =
42 33
4 9
8 27
=36
-3 4 16 64
例2 设曲线y=a0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 -3) 求系数a0 a1 a2 a3
例1
求二阶矩阵 A=ac
b d

的逆阵
解
因为|A|=ad-bc
A* =
d -c
-ab
所以当|A|0时 有
A-1
=
|
1 A|
A*
=
ad

①A＝
0 1
1 0
②B＝
1
0
1
0
练习1
判断矩阵M
1
2
6 7
是否存在逆矩阵,若存在,
求出它的逆矩阵,并用逆矩阵的定义验证。
解
矩阵M
1 2
6 7
的行列式
16 1 7 6 2 5 0
27
所以矩阵M存在逆矩阵M-1,且
验证
7 6 7 6
M
1
5 2
5
5 1
5
5 2
ad bc
b
ad ad
a
bc bc

是矩阵M的逆矩阵
当ad-bc=0时方程组无解,矩阵M不存在逆矩阵
如果矩阵A=
a b
c
d
是可逆的，
则 ad bc 0 。
表达式 ad bc 称为二阶行列式，
记作 a b cd
，即 a c
b d
= ad bc 。
ad bc 也称为行列式 a b 的展开式。 cd
二阶行列式 与逆矩阵
复习：
1.对于一个二阶矩阵A,如果存在一个二阶矩阵B，使得
AB=BA= E2 ，则称矩阵A可逆。 2.设A 是二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵 是唯一的. 3.若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,
且
(AB)-1=B-1A-1
建构数学
例1
设A=
3 4
符号记为：detA或|A|
定理：二阶矩阵A=
a c
可db逆 ，当且
仅当 ad 。bc 0
当矩阵A=
a c
b
d
可逆时，
。
d

由几何上易看出：二元一次方程组 ①
的解是唯一的。
如果关于变量x，y的二元一次方程组（线性方程组）：
ax cx
by dy
e f
的系数矩阵A
a c
b d
可逆，
那么该方程组有唯一解：
x a b 1 e y c d f
当A
a c
b d
可逆，由二元一次方程组caxx
by dy
例：用逆矩阵解二元一次方程组：
3x y 2, 4x 2y 0.
解 ：A 二 43元一12 次3方 2程 组4的1 系2 数 0矩, 故阵系为数A矩阵 43A可12逆
从而方程组有唯一解
x y
A
1
2 0
，而
A 1
3 4
1 1 2
1 2
1
2 3
2
带入上式得：
x y
A1
2 0
24
所以，原方程组解为：
x 2,
y
4.
ax by 0, 关于变量x，y的二元一次方程组 cx dy 0.
其中a,b,c,d是不全为零的常数，有非零解的充分
必要条件是系数矩阵的行列式等于零。
即， a
b 0
cd
如果关于变量x,
y的二元一次方程组caxx
by dy
e, f.
的系数矩阵A
e, f.
的矩阵形式：A
x y
e f
得：A-1
A
x y
A 1
e f
E2
x y
A 1
e f
即： xy
A 1
e f
下证唯一性：
设
x1 y1
，
x2 y2

一 线性变换与二阶矩阵
（一）几类特殊线性变换及其
二阶矩阵
1．旋转
最新人教版高二变数换学选修4－2电子
课本课件【全册】
2．反射变换
3．
伸缩变换
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第三讲 逆变换与逆矩阵 一 逆变换与逆矩阵
二 二阶行列式与逆矩阵
1．二元一次方程组的矩阵形式
探索与发现 三阶矩阵与三阶行列式
2．特征值与特征向量的计算

2．特征向量在实际问题中的应用
后记
引言
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第一讲 线性变换与二阶矩阵
最新人教版高二数学选修4－2电 子课本课件【全册】目录
0002页 0102页 0155页 0157页 0168页 0286页 0375页 0398页 0435页 0464页 0488页 0515页
引言
2．反射变换
3．伸缩变换
5．切变变换
（二）变换、矩阵的相等
三 线性变换的基本性质
（一）线性变换的基
第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法 一 复合变

(1) (2)
(1) d (2)b得：（ad-bc)x=dm-bn,
(2) a (1) c得：（ad-bc)x=an-cm,
当ad－bc≠0时，方程组的解 为
x
md ad
bn bc
y an-cm ad-bc
建构数学：
观察上述结果，我们可以发现x,y的分母一样，都是将线性方程组的
系数矩阵
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

求逆矩阵. ab
解: 假设A可逆, 逆矩阵B= cd
则:AB=BA=E2
即: 3 －1 a b = a b 3 －1 = 1 0 6 －2 c d c d 6 －2 0 1
3a－c = 3a + 6b = 1, 3b－d =－a－2b = 0, 6a－2c = 3c + 6d = 0, 6b－2d =－c－2d = 1.
cd
ab cd
a b 称为二阶矩阵A的行列式,
c d 记：det A 或 A
当det A=ad－bc≠0时,由
ax + cy = 1, bx + dy = 0, 消元法 ∴ au + cv = 0, bu + dv = 1.
(ad－bc)x = d , (ad－bc) y =－b, (ad－bc)u =－c , (ad－bc)v = a.
∴ x = d , y =－ b ，u =－ c ,v = a .
det A
det A
det A det A
d －b
∴找到了矩阵 det A det A ,使得:
－c
a
det A det A
d －b
det A det A
－c
a
det A det A
ab cd
=
ab cd
d －b
det A det A
（3）行列式 1 3 = 11 －2 5
2.计算行列式 1－λ 3
2 2－λ
解: (1) 原式=（1－λ）（2－λ）－3×2 =λ2－3λ－4
3.二阶矩阵 a b 与二阶行列式 a b
cd
cd
主要区别?
二阶矩阵仅仅是一个数表,二阶行列式 表示一个数或代数式.

一 二 三
逆变换与逆矩阵 二阶行列式与逆矩阵 逆矩阵与二元一次方程组
1. 怎样判断一个矩阵是否可逆? 2. 什么叫行列式? 它的形式是怎样 表示的?
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 1 1 3 1 2 1 2 . (1) A = (2) B = ; . M = 4 2 4 2 2 3 2 (1) 如果 A 可逆, 设逆矩阵为 x y 3x+u=1, x=1, M= , u v 3y+v=0, y=1, 2 则 AM=MA=E2, 4x+2u=0, u=2, 4y+2v=1, 即 3 1 x y 1 0 = ,① v = 3. 2 4 2 u v 0 1 解方程组得 x y 3 1 1 0 ② 代入②检验, ②成立. = . u v 4 2 0 1 则 A 可逆, 逆矩阵为 由①得方程组
问题1. 给定一个二阶矩阵, 你能判断它是否可逆 吗? 如下面两个二阶矩阵, 是否可逆? 如果可逆, 逆 矩阵是什么? 3 1 2 1 (1) A = (2) B = ; . 4 2 4 2 (2) 如果 B 可逆, 设逆矩阵为 x y 2x+u=1, N= , u v 2y+v=0, 则 AN=NA=E2, 4x+2u=0, 4y+2v=1, 即 2 1 x y 1 0 = ,① 4 2 u v 0 1 此方程组无解. x y 2 1 1 0 ② 所以 B 不可逆. = . u v 4 2 0 1 由①得方程组
a b , c d
若方程组有解, 则 ③⑥ ④⑤ 得
猜想: 一般二阶矩阵 A =
a b, 如果 则 A 可逆; 否则, A 不可逆. c d 即 ad≠bc, A 可逆; ad=bc, A不可逆. x y 设 A 可逆, 其逆矩阵为 M = . u v 则由 = MA =E (ax+AM bu)( cy +dv ) ay+bv)(cx+du)=1, 2(得 由①得方程组 展开整理得 a b x y 1 0 ① = , adxv bcxv=1, ax+bu=1, ③ c d +bcyu u v adyu 0 1 ay+bv=0, ④ 左边分解因式得 x y a b 1 0 cx+du=0, ⑤ ② = . ( ad u v bc c)(xv d yu 0)=1. 1 cy+dv=1. ⑥ 则需 adbc≠0. 若方程组有解, 则 ③⑥ ④⑤ 得

∴当 ad-bc≠0,即
������ ������
������ ������
≠0
时,A
存在逆矩阵
A-1=
det������ -������
det������
-������
det������ .
������ det������
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
例,则此行列式的值为零.
M Z 目标导航 UBIAODAOHANG
重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
逆矩阵
【例 2】 判断下列矩阵是否有逆矩阵,若有,求出逆矩阵.
21
a3
(1)A=
; (2)B=

.
43
11
分析:判断一个矩阵是否有逆矩阵,应判断矩阵的行列式是否为
题型一 题型二 题型三 题型四
32
x1
7x 3 + 2x
解:∵AB=
=
,
1 1 2x x
3x 1 + x
∴|AB|=
7������ 3������
3 + 2������ 1 + ������
= 7������·(1+x)-3x·(3+2x)=x2-2x.又|A|=
3 1
2 1
= 3 × 1 − 1 × 2 = 1,
ab
1.二阶矩阵
与二阶行列式
������ ������
������ ������
的主要区别是什么?
cd 剖析:二阶矩阵对应的是变换,是 4 个数构成的数的方阵,而行列

cd am
y
c
n
ab
c d
若记D a c
b d
，Dx
m n
b d
，D y
a c
m n
则
x
y
Dx D Dy D
数学应用：
例1：利用行列式解方程组
2x 4 x
3y 5y
1 6
0 0
解：将方程组变形为42xx 53yy
1，因为 6.
23
13
D= 4
=2 5-4 3=-2, 5
y
5 2
2
3
2
-1
1 6
=
13 2 -4
,
该方程组的解为 x
13 2
,
y 4.
例4：试从几何变换的角度说明
x
1 2
y
3 解的
y 2
存在性和唯一性。
解
记A= 1 0
1 2 1
，X=
x
y
,B
32，
则AX=B
由于A对应的是将平面上点（向量）保持纵坐标不变，而将横坐标
1、消元法求解二元一次方程组 2、二阶行列式有关概念,及用行列式求解二元一次方程组. 3、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解 4、用几何变换的观点讨论二元一次方程的解的情况.
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生��

1
逆变换与逆矩阵
教育目标: 1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩 阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应 矩阵的逆矩阵不存在. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去 率. 5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解 方程组.
11
5．矩阵ca
db的行列式为
a c
b d
ad
bc
,则如果
a c
b d
0
则矩阵 a b 存在逆矩阵.
cdLeabharlann 几何解释6.矩阵是否可逆的判断
代数解释
行列式 映射观点
逆变换与逆矩阵
几何变换方法
7.逆矩阵的求解
待定系数方法 公式法
行列式方法
d
b
8.矩阵ca
b
d
的逆矩阵为
．
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识 理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识 两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
逆变换与逆矩阵
12.
逆变换与逆矩阵
12. AX=B X= A-1B 13. AXC=B X= A-1BC-1
14.
逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情 况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很 多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是 学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答 案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆 矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．

∴y= ∴x= ∴v=
-������ ������������-������������ ������ ������������-������������ ������ ������������-������������
= det������ ; = det������ ; =
������ ; det������ ������
������ ������
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一Leabharlann 行列式的计算【例 1】 计算下列行列式:(1)
3 -1 5
2
;
(2) 7 -9 . 8 4 分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可. 3 2 解:(1) = 3 × 5 − (−1) × 2 = 17. -1 5 (2) 7 -9 = 7 × 4 − (−9) × 8 = 100. 8 4
1
2
名师点拨 1.ad-bc 也称为二阶行列式 两条对角线上元素的乘积之差.
������ ������ 的展开式,它是位于 ������ ������ ������ ������ ≠0,即 ������ ������
2.可以利用行列式来判断矩阵 A 是否可逆,当 ad-bc≠0 时,A 可逆;当 不同于绝对值.
������ ������ = 0, 即ad-bc=0 时,A 不可逆. ������ ������ 3.行列式是一个实数,可以为正数,也可以为负数,还可以为 0,它
1
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【做一做 1】 行列式 1 2 A.-2 解析: 1 2 答案:B -1 0 B.2
-1 0 C.0
的值为(
) D.-1
= 1 × 0 − (−1) × 2 = 2.