介值定理三步

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==介值定理的证明篇一：用介值定理证明原函数的存在性用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?证明F(x??x)?F(x)??x??xxf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?xF(x??x)?F(x)值定理）。

lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。

本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。

介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。

文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。

最后举例说明介值定理在生活中的应用。

关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。

此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。

介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。

介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。

并且函数f?a?与函数f?b?不相等。

如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。

1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。

介值定理和中值定理（原创版）目录1.介值定理和中值定理的定义2.介值定理和中值定理的例子3.介值定理和中值定理的应用4.介值定理和中值定理的联系与区别正文一、介值定理和中值定理的定义介值定理，又称为 Cauchy 中间值定理，是微积分学中的一个重要定理。

它指出，如果一个连续函数在某区间两端的函数值异号（即一个是正数，一个是负数），那么它在此区间内至少有一点函数值为零。

而中线值定理，是微积分学中另一个重要定理。

它指出，如果一个连续函数在某区间内变化，那么在这个区间内一定存在一点，它的函数值等于这个函数在该区间内任意一点的平均函数值。

二、介值定理和中值定理的例子我们先来看一个介值定理的例子。

假设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 在区间 [1,2] 上连续，且 f(1) = -1，f(2) = 2。

由于 f(1) 和 f(2) 异号，根据介值定理，我们可以知道在区间 [1,2] 内，f(x) = 0 至少有一点。

接下来我们看一个中线值定理的例子。

假设函数 f(x) = x^2 在区间[0,1] 上连续，我们需要证明在区间 [0,1] 内，存在一点 c，使得 f(c) = (f(0) + f(1))/2 = 0.5。

由于 f(x) 在 [0,1] 内单调递增，且 f(0) = 0，f(1) = 1，因此，根据中线值定理，我们可以得出结论。

三、介值定理和中值定理的应用介值定理和中值定理在微积分学中有广泛的应用，它们是解决许多实际问题的重要工具。

比如，在证明一些函数的性质时，我们常常会用到这两个定理。

四、介值定理和中值定理的联系与区别介值定理和中值定理都是微积分学中的重要定理，它们之间有联系，但也有区别。

它们的联系在于，它们都是连续函数的性质，而且都是用来证明函数的某些性质的。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==介值定理的证明篇一：用介值定理证明原函数的存在性用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?证明F(x??x)?F(x)??x??xxf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?xF(x??x)?F(x)值定理）。

lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。

本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。

介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。

文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。

最后举例说明介值定理在生活中的应用。

关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。

此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。

介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。

介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。

并且函数f?a?与函数f?b?不相等。

如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。

1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。

高数介值定理高数介值定理是高等数学中的一个重要定理，它描述了一个连续函数在两个端点之间取遍所有可能的值的情况。

具体来说，如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它在[a,b]上的任意一个值都可以被取到。

这个定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学、工程学等领域中都有着重要的作用。

高数介值定理的证明可以通过反证法来进行。

假设存在一个值y，它在函数f(x)在区间[a,b]上无法取到。

那么可以构造一个新的函数g(x) = 1 / (f(x) - y)，它在区间[a,b]上也是连续的。

由于y不在f(x)的取值范围内，所以g(x)在区间[a,b]上不会出现无穷大的情况。

因此，g(x)在区间[a,b]上也是有界的。

根据闭区间套定理，可以得到g(x)在[a,b]上存在一个最大值M和最小值m。

由于g(x)是连续的，所以在[a,b]上必然存在一个点c，使得g(c) = M或g(c) = m。

如果g(c) = M，那么f(c) = y + 1 / M，如果g(c) = m，那么f(c) = y + 1 / m。

因此，f(x)在区间[a,b]上可以取到所有的值，与假设矛盾，证毕。

高数介值定理的应用非常广泛。

例如，在物理学中，它可以用来证明连续介质中存在一个折射角，使得光线从一个介质中射入另一个介质时发生折射。

在经济学中，它可以用来证明存在一个价格，使得市场上所有的商品都可以以这个价格出售。

在工程学中，它可以用来证明存在一个温度，使得材料在这个温度下具有最大的强度。

总之，高数介值定理是高等数学中的一个重要定理，它描述了一个连续函数在两个端点之间取遍所有可能的值的情况。

它在实际问题中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学、工程学等领域中都有着重要的作用。

介值定理和零点定理的内容介值定理和零点定理是数学中重要的两个概念，分别是在函数连续性理论中的基本定理之一。

介值定理的主要内容是：若$ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$是一个连续函数，则$f([a,b])$是一个闭区间$[m,M]$，其中$m=\min_{x\in[a,b]}f(x),M=\max_{x\in[a,b]}f(x)$。

零点定理的主要内容是：若$ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$是一个连续函数且$f(a)$和$f(b)$异号，则在$[a,b]$上至少有一个点$c\in[a,b]$使得$f(c)=0$。

介值定理保证了连续函数的值域是一个连续的、相对完整的区间，对于一些需要确定函数值范围的问题，比如最大值、最小值、可行解等，介值定理为解决这些问题提供了一个基础。

同时，介值定理也为实际问题中很多需要寻找连续函数值中间值的问题提供了有效的方法，比如在经典的微积分中就经常需要运用到该定理。

零点定理主要用于解决连续函数的零点问题，也就是在给定区间内寻找函数值为零的解。

这在实际问题中也有很强的应用性，比如一些函数方程中需要寻找解、一些实际问题中需要找到某个变量的取值等问题。

需要注意的是，零点定理只能在待寻找的区间两端函数值异号的情况下使用，否则可能无法保证存在解。

介值定理和零点定理虽然在连续函数理论中有着不同的应用，但是它们之间也存在着一些联系。

首先，在$[a,b]$上连续的函数$f$若能表示为$f(x)=(x-a)g(x)$的形式，则由于$f(a)=0$，则根据零点定理可知，存在$c\in[a,b]$，使得$f(c)=0$。

此外，零点定理的一个重要推论是介值定理，当$f(a)<f(b)$时，可以令$g(x)=f(x)-f(a)$，得到$g(a)=0,g(b)=f(b)-f(a)>0$，则根据零点定理可知在$(a,b)$内必存在某一点$c$使得$g(c)=0$，进而有$f(c)=g(c)+f(a)$，由介值定理可知$f(c)\in(f(a),f(b))$，因此存在$c$，使得$f(c)$取遍$[f(a),f(b)]$中的所有值。

连续函数介值定理
连续函数介值定理是微积分中一个非常重要的定理。

它指出，对于任
意两个点之间的一段区间，只要在这个点的任意位置给出的函数值都保持
一致，那么函数在该区间内是连续的。

因此，它可以实现连续函数的介值，将函数值恒为一定值，使函数的值在该区间内持续的保持不变。

具体来说，连续函数介值定理可以描述如下：如果函数f（x）在[a,b]上是连续的，
则f（x）在任意x0属于[a,b]上，都能够找到一个常数M，使得M=f(x0)，即函数在x0处给出的值为M。

这就是连续函数介值定理。

通过这条定理，我们在解决问题的时候能够更加精确地控制函数，而
且能够极大地帮助我们更好地理解解决问题的方法，从而使得问题解决的
更加准确，从而更好地利用函数的连续性，得到精确的函数值。

连续函数介值定理内容连续函数介值定理是高等数学中的一个重要定理，也是微积分学习中必须掌握的基本内容之一。

该定理表明了连续函数的值域一定是一个区间，而且这个区间的端点都可以被函数取到。

这篇文章将从定义、证明和应用三个方面来介绍这个定理的内容。

一、定义在介绍连续函数介值定理之前，我们先来了解一下连续函数的定义。

对于一个实数集合上的函数f(x)，如果对于任意一个实数ε>0，都存在一个实数δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，那么我们称f(x)在点a处连续。

如果函数在定义域内的每一个点都连续，那么我们称这个函数为连续函数。

接下来，我们来看一下连续函数介值定理的定义。

如果f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的值域必定是一个区间，且这个区间的端点f(a)和f(b)都可以被函数取到。

更具体地说，就是存在一个实数c，使得f(a)≤c≤f(b)，且存在实数x0∈[a,b]，使得f(x0)=c。

二、证明连续函数介值定理的证明并不是很复杂，但需要一些基础的数学知识和技巧。

下面我们就来看一下证明的过程。

首先，我们可以证明f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值都是存在的。

这是因为区间[a,b]是一个闭区间，而f(x)在这个区间上连续，所以根据闭区间套定理，f(x)的值域也是一个闭区间，因此最大值和最小值都存在。

接下来，我们假设f(x)在区间[a,b]上的最大值为M，最小值为m，即M=f(x1)，m=f(x2)，其中x1,x2∈[a,b]。

我们可以将M和m分别作为y轴上的两个点，然后在平面直角坐标系中画出一条连接这两个点的线段。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，所以它在这个区间上的每一个点都在这条线段的上方或下方。

我们再来看一下函数值域的定义，即函数f(x)在区间[a,b]上所有可能的取值。

因为f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值都存在，所以它的值域也就是区间[m,M]。

介值定理应用登山摘要：一、介值定理简介1.介值定理的概念2.介值定理在数学中的重要性二、介值定理在登山运动中的应用1.介值定理在寻找最短路径中的应用2.介值定理在优化登山路线中的应用3.介值定理在预测天气和山况中的应用三、总结1.介值定理在登山运动中的实际意义2.展望介值定理在未来登山运动中的发展正文：介值定理，作为微积分中的一个重要定理，一直以来在数学领域中占据着举足轻重的地位。

它不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还能为实际问题提供解决方案。

近年来，越来越多的登山爱好者开始将目光投向这个看似与登山运动无关的数学理论，并成功地在登山运动中找到了它的应用。

首先，我们需要了解什么是介值定理。

简单来说，介值定理描述了一个关于连续函数的性质：如果一个连续函数在一个区间内的值域为两个相邻的数，那么在这个区间内一定存在一个点，使得这个点的函数值等于这两个相邻的数。

这个定理在数学分析中有着广泛的应用，例如证明某些不等式的成立，或者求解某些微分方程。

然而，介值定理的应用远不止于此。

在登山运动中，介值定理也有着非常实际的应用。

例如，在寻找最短路径的问题中，我们可以利用介值定理来证明某条路径确实是所有路径中最短的。

假设我们已经找到了一条从起点到终点的路径，现在需要证明这是所有路径中最短的。

我们可以将这个问题转化为一个数学问题，即证明这条路径的距离函数在一个区间内的值域为两个相邻的数。

这样一来，根据介值定理，我们就可以得出这条路径确实是最短的。

此外，介值定理还可以帮助我们优化登山路线。

在登山过程中，选择合适的路线至关重要。

有时候，我们需要在不同的路线之间进行选择，而不同的路线可能会导致截然不同的登山体验。

这时候，我们可以利用介值定理来帮助我们做出决策。

具体来说，我们可以将每条路线的难度、耗时等因素看作是一个距离函数，然后利用介值定理来证明某条路线确实是最优的。

最后，介值定理还可以帮助我们预测天气和山况。

在登山过程中，天气和山况对于我们的安全至关重要。

高数介值定理高数介值定理是高等数学中的一个重要定理，用于描述函数在一个闭区间上的连续变化。

它是微积分学中的基本理论之一，对于理解和应用微积分具有重要意义。

高数介值定理可以简单地表述为：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的实数c，存在一个介于a和b之间的实数x，使得f(x)=c。

这个定理的意义在于，它保证了函数在一个区间上的连续性和可导性之间的关系。

换句话说，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间内可导，那么函数在该区间上的取值可以填满它在该区间上的任意两个端点之间的所有可能值。

以一个简单的例子来说明高数介值定理的应用。

假设有一个函数f(x)=x^2，我们要证明在区间[0,1]上存在一个实数x，使得f(x)=0.5。

根据高数介值定理，我们知道f(x)=x^2在闭区间[0,1]上连续，并且在开区间(0,1)内可导。

因此，根据高数介值定理，我们可以得出结论，对于介于f(0)=0和f(1)=1之间的任意实数c，存在一个介于0和1之间的实数x，使得f(x)=c。

通过这个例子，我们可以看到高数介值定理的实际应用。

它可以帮助我们证明一个函数在一个区间上存在某个特定的取值，或者帮助我们找到一个函数在一个区间上与给定的取值最接近的点。

除了上述例子中的实数，高数介值定理还可以应用于其他类型的数据，如复数、矩阵等。

它的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、工程等多个领域。

总结一下，高数介值定理是一个非常重要的数学定理，它描述了函数在一个闭区间上的连续变化。

它的应用范围广泛，可以帮助我们证明函数在某个区间上存在特定的取值，或者帮助我们找到函数在某个区间上与给定取值最接近的点。

通过理解和应用高数介值定理，我们可以更好地理解和应用微积分学中的相关概念和方法。

积分介值定理积分介值定理是高等数学中的一个重要定理，它是指对于连续函数f(x)在[a,b]区间上的任意一个数值k，都存在一个介于a和b之间的数c，使得f(c)=k。

下面将对积分介值定理进行详细的介绍。

积分介值定理的表述比较简单，它可以用如下的语言来描述：积分介值定理的证明并不难，我们可以采用反证法来证明它的正确性。

具体的证明过程如下：假设f(x)在[a,b]上连续，且不存在介于a和b之间的数c，使得f(c)=k。

则当f(x)<k时，有f(x)-k<0；当f(x)>k时，有f(x)-k>0。

由于f(x)在[a,b]上连续，故f(x)-k也是连续的。

另一方面，由于f(x)-k<0和f(x)-k>0在[a,b]内的符号是一致的（即同奇同偶），故它们两者中必有一者在[a,b]上恒为0，即存在x∈[a,b]，使得f(x)=k，与假设矛盾。

故得证。

从上面的证明中我们可以看出，积分介值定理的证明思路比较简单，它是利用连续函数的中间值定理来证明的。

积分介值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面我们就来介绍一些典型的应用：1. 证明初等函数在其定义域上存在解初等函数在其定义域上一般是连续的，因此我们可以利用积分介值定理来证明初等函数在其定义域上一定存在解。

例如，我们要证明方程x^3 - x - 1 = 0在[1, 2]上存在解。

显然，f(x) = x^3 - x - 1在[1, 2]上连续，并且f(1) < 0，f(2) > 0，因此根据积分介值定理，必存在介于1和2之间的数c，满足f(c) = 0，即方程x^3 - x - 1 = 0在[1,2]上存在解。

2. 证明函数不等式在某一区间上成立对于一些函数不等式，我们可以利用积分介值定理来证明它在某一区间上成立。

例如，我们要证明在[0,π/2]上，sin x < x < tan x成立。

显然，当0 < x < π/2时，有sin x < x < tan x，两边同乘以cos x得：sin x cos x < x cos x < sin x /cos x，又因为f(x) = x是连续的，因此根据积分介值定理，必存在介于0和π/2之间的数c，使得f(c) = sin c/cos c，即sin c/cos c = c。

介值定理使用条件介值定理（Intermediate Value Theorem）是数学分析中的一个重要定理，它用于证明函数在一个区间上取得一些特定值的存在性。

介值定理的使用条件必须满足以下两个前提条件：1.函数f(x)在闭区间[a,b]上连续：函数在[a,b]上连续表示在该区间内没有突变、断裂或跳跃点，即在该区间内没有无穷级数、除数为零以及其他不可导的点，确保函数在[a,b]上存在定义。

连续性可以通过两种方式进行证明：一种是通过图像观察函数在[a,b]上没有突变或断裂点；另一种是通过极限的性质证明。

2.函数f(x)在[a,b]上连续，且在该区间两个端点处的函数值异号：也就是说，f(a)和f(b)必须具有相反的符号，即f(a)和f(b)一正一负。

这可以通过将[a,b]上的两个端点a和b代入函数中，然后进行比较来验证。

如果f(a)和f(b)异号，那么根据介值定理，必然存在一个数值c∈[a,b]，使得f(c)等于零。

根据以上两个条件，介值定理可以说明在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)可以取到该区间内的任意一个中间值。

更具体地说，如果f(a)<y<f(b)或f(a)>y>f(b)，那么介值定理保证在[a,b]上存在一个数值c，使得f(c)=y。

这意味着，介值定理允许我们通过给定一个闭区间[a,b]和一个中间值y，推断在[a,b]上至少存在一个点c，使得函数f(x)在该点处等于y。

介值定理在多个数学分支中具有广泛应用，特别是在微积分、实数函数分析以及数值分析中。

它为我们提供了一种重要的工具来证明问题的存在性，尤其是在直观观察或其他方法难以使用时。

介值定理的证明通常基于数学分析中的一些基础定理和性质，如连续性、最大值最小值定理、不动点定理等。

总结起来，介值定理使用条件是函数在闭区间上连续，并且在该区间的两个端点处函数值异号。

这个定理可以帮助我们推导出函数在给定区间上一定存在一些特定值的存在性，是数学中重要的工具之一。

介值定理历史介值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的重要定理之一，它是由19世纪法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在他的《算术原理》（Cours d'analyse）一书中首次提出的。

介值定理是关于实数函数的性质的定理，它描述了在某些条件下，连续函数在两个特定值之间必然取到一定的中间值。

介值定理的表述非常简洁，即：如果函数f在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)具有不同的正负号，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c，必然存在一个介于a和b之间的数x，使得f(x)等于c。

也就是说，连续函数在一个闭区间上会覆盖这个区间上的所有值。

这个定理的直观解释是，如果我们在一条数轴上画出函数f的图像，那么对于两个不同的值f(a)和f(b)，如果它们的正负号不同，那么在这个图像上，我们可以找到一个点c，它位于f(a)和f(b)之间，并且函数在这个点上取到了c这个值。

这个定理的重要性在于，它为我们提供了一种判断函数是否有根的方法。

证明介值定理的一种常用方法是构造一个辅助函数g(x)=f(x)-c，其中c是我们要找的中间值。

我们可以证明，如果g(a)和g(b)具有不同的正负号，那么必然存在一个介于a和b之间的点x，使得g(x)=0，也就是f(x)=c。

通过这种方式，我们可以将问题转化为证明辅助函数的零点存在性，而辅助函数的零点存在性可以通过零点定理来证明。

介值定理在数学中有着广泛的应用。

首先，它在微积分中有重要的应用。

例如，在求解方程的根时，我们可以利用介值定理来缩小根的范围。

另外，介值定理也在实际问题中起到了重要的作用。

例如，在工程领域中，我们经常需要找到一个函数在某个区间上的最大值或最小值，而介值定理可以帮助我们确定这个区间。

除了介值定理的基本形式，还有一些类似的定理，它们对于不同类型的函数也有类似的结果。

例如，如果函数f在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)小于f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值y，必然存在一个介于a和b之间的数x，使得f(x)=y。

介值定理及其推论
以介值定理及其推论为题，我将以人类的视角进行叙述，用准确无误的语言描述这些数学概念。

介值定理是微积分中的一个重要定理，它告诉我们一个连续函数在闭区间上取得了最小值和最大值之间的所有值。

这个定理可以帮助我们分析函数的性质和解决一些实际问题。

为了更好地理解介值定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个连续函数f(x)，定义在闭区间[a, b]上。

根据介值定理，如果f(a)小于f(b)，那么函数f(x)在[a, b]上将会取得一个介于f(a)和f(b)之间的值。

通过这个例子，我们可以看出介值定理的直观意义。

它告诉我们，如果一个函数在某个区间上连续变化，并且在区间的两个端点上有不同的函数值，那么它在这个区间内将会取到所有介于这两个函数值之间的值。

除了介值定理本身，它还有一些重要的推论。

其中一个推论是单调函数的介值性质。

如果一个函数在闭区间上单调递增或单调递减，那么它将会取遍这个区间上的所有值。

这个推论可以帮助我们研究单调函数的性质和解决一些相关问题。

另一个推论是零点存在性定理。

如果一个函数在闭区间上连续变化，并且在区间的两个端点上有不同的函数值，那么它在这个区间内将
会存在一个零点。

这个推论对于解方程和求根问题非常有用。

介值定理及其推论在数学和实际问题中都有广泛的应用。

它们帮助我们了解函数的性质，解决方程和优化问题，以及分析实际问题中的数据和现象。

介值定理及其推论是微积分中的重要概念，它们帮助我们理解函数的性质和解决一些实际问题。

通过合理地运用这些定理和推论，我们可以更好地分析和解决数学和实际问题。

零点定理与介值定理定义。

零点的是就称如果~~~~~~~00)(,0=)(x f x x f 。

根的是方程也称~~~~~~~~~~~~~~00=)(x f xa xyy = f (x )f (a )b f (b )Of (x )∈C ( [a , b ] ),f (a ) f (b ) < 0,ξf (ξ)＝0.先看一个图描述一下这个现象(根的存在定理或零点定理)则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)＝0.设f (x ) ∈C ( [a , b ] ), 且f (a )f (b ) < 0,a xy y = f (x )f (a )b f (b )Oξ如何证明？定理1证明的思想方法—区间套法将区间[a ,b ]等分为[a ,a 1]和[a 1,b ],在这两个区间中,选择与[a ,b ]性质相同的一个,例如,若f (a 1)f (b )<0,则选取区间[a 1,b ],如此下去,小区间的长度趋于零,并且总保持函数区间端点值反号然后,对[a 1,b ]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值, 就是要求的ξ∈(a , b ).f (a ) =Af (b ) =Byy = f (x )ξC y =f (ξ) = C下面看看, 坐标平移会产生什么效果.x x x x Oab ξx abxO 如何描述这个现象?定理2(介值定理)设f (x)∈C ( [a, b] ), f (a)＝A, f (b)＝B,且A ≠B, 则对于A, B 之间的任意一个数C,至少存在一点ξ∈(a, b), 使得f (ξ) = C.令ϕ(x ) = f (x ) -C故由零点定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ) 使则ϕ(x )∈C ( [a , b ] )C 在A , B 之间∴ϕ(a )⋅ϕ(b ) = ( f (a ) -C )⋅( f (b ) -C )= ( A -C ) ( B -C ) < 0y B C A O a bξξbxxϕ(ξ)= 0, 即 f (ξ) = C .证最大、最小值定理介质定理？引入设f (x ) C ( [a , b ] ), 则f (x ) 取得值m 之间的任何一个值.推论介于其在[a , b ] 上的最大值M 和最小.)(++)(+)(=)(21nx f x f x f ξf n 设f (x )∈C ( [a ,b ] ),证明: 至少存在一点ξ∈[x 1, x n ], 使得a < x 1< x 2< … < xn< b ,例1故由 ]),,([)(b a C x f ∈ , M x f x f m x f b a x b a x =)(max )(=)(min ],[],[∈∈≤≤, M n x f x f m n ≤≤)(++)(1 从而由介值定理, 至少存在一点ξ∈( x 1, x n ), 使. nx f x f ξf n )(++)(=)(1 证证明方程x 5 –3x =1, 在x =1 与x =2 之间令 f (x ) = x 5 –3x –1, x ∈[1, 2],则f (x )∈C ( [1, 2] ),又f (1) = –3, f (2) = 25, f (1) ⋅f (2)< 0,即方程在x =1 与x =2 之间至少有一根.故至少存在一个ξ∈(1, 2), 使得f (ξ) = 0,至少有一根.例2证至少有一个不超过a + b 的正根.证明方程x = a sin x + b ( a > 0, b > 0 )设f (x ) = x -a sin x -b , x ∈[ 0, a + b ],则f (x )∈C ( [ 0, a + b ] ),而 f (0) = 0 –a sin 0 –b = –b < 0,f (a + b ) = (a + b ) –a sin (a + b ) –b = a ( 1 -sin (a + b ) ) ≥0,.]+,0(上求方程的根的问题问题归结为在 b a 例3证1) 如果f (a + b )＝0, 则ξ= a + b 就是方程的根.2) 如果f (a + b) > 0, 则f (0)⋅f (a + b) < 0,由根的存在定理, 至少存在一个ξ∈( 0, a + b ), 使得f (ξ) = 0.综上所述, 方程在( 0, a + b ] 上至少有一个根,即方程至少有一个不超过a + b 的正根.证明：任何实系数奇次多项式方程必有实根.令 f (x ) =a 0x n + a 1x n-1+…+a n -1x+a 0,不妨设a 0 > 0,)1++1+1(=)(0010n n n xa a x a a x a x f 当x→+∞ 时, f (x ) →+∞,,0>1x ∃使得;0>)(1x f 当x→ -∞时, f (x ) → -∞,,0<2x ∃使得;0<)(2x f ]),,([)(12x x C x f ∈由于由零点定理，存在),(120x x x ∈使得,0=)(0x f 即方程有根.例4证小结2个定理:根的存在性定理; 介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;。

介值定理历史介值定理是微积分中的重要定理之一，它在数学分析和物理学中有广泛的应用。

介值定理最早由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在19世纪提出，是他在研究实数域上的连续函数时得到的重要成果。

介值定理的核心思想是：如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在这个区间的两个端点上取到了不同的值，那么它在这个区间内可以取到这两个值之间的任意值。

换句话说，介值定理保证了连续函数在一段区间上的取值范围。

为了更好地理解介值定理的含义，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设有一个函数f(x)，它在闭区间[a, b]上连续，并且f(a) = 1，f(b) = 5。

根据介值定理，我们可以得出结论：在区间[a, b]内，函数f(x)可以取到1和5之间的任何值。

也就是说，无论我们选择任何一个介于1和5之间的数，都可以在区间[a, b]内找到对应的x值。

这个定理在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，介值定理可以用来证明存在着一种价格，使得市场上的需求和供应达到均衡。

在物理学中，介值定理可以用来证明存在着一种时间点，使得物体在这个时间点的位置与初始位置之间的距离等于它在这段时间内移动的总距离。

介值定理还可以应用于工程学、生物学等领域的问题。

介值定理的证明过程比较复杂，需要运用到一些微积分的知识，包括函数的连续性、导数等概念。

在证明过程中，通常会使用到罗尔定理和柯西中值定理等相关定理。

这些定理可以看作是介值定理的衍生定理，通过这些定理的推导和运用，可以得出介值定理的结论。

总结起来，介值定理是微积分中的重要定理，它保证了连续函数在一个闭区间内的取值范围，并在数学分析和物理学中有着广泛的应用。

通过介值定理，我们可以证明在一些实际问题中存在着一些特殊的数值或时间点，这些点具有重要的意义。

虽然介值定理的证明过程较为复杂，但它的应用却十分广泛，为人们解决了许多实际问题，展示了数学在现实中的重要性。

介值定理历史介值定理（Intermediate Value Theorem），又称中值定理，是微积分中的一个重要定理。

它能够描述函数在某个区间上取到所有可能的中间值的情况。

介值定理的历史可以追溯到17世纪的欧洲，当时一位著名的数学家提出了这个定理，为后来的数学研究奠定了基础。

介值定理最早出现在17世纪的欧洲，当时的数学研究主要集中在函数的连续性上。

当时的数学家们希望能够找到一种方法来描述函数在某个区间上的变化情况。

在这个背景下，介值定理应运而生。

最早提出介值定理的数学家是法国数学家波尔达诺（Pierre de Fermat）。

他在研究数学问题时，发现了一种关于连续函数的性质，即函数在某个区间上必然能够取到所有可能的中间值。

这个性质后来被称为介值定理。

介值定理的数学表达形式是这样的：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且函数值f(a)和f(b)分别位于函数值f(x)的两侧，那么在这个区间上必然存在一个点c，使得f(c)等于介于f(a)和f(b)之间的任意值。

换句话说，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且区间的两个端点的函数值位于区间内部的两侧，那么函数必然在这个区间上取到所有可能的中间值。

介值定理的应用非常广泛。

在实际问题中，我们经常需要找到一个函数在某个区间上取到某个特定值的情况。

介值定理可以帮助我们确定在哪个点上可以找到这个特定值。

例如，如果我们知道一个物体在某段时间内以恒定的速度行驶，那么根据介值定理，我们可以确定在某个时刻这个物体的位置会等于某个特定的值。

除了在实际问题中的应用，介值定理在数学理论研究中也有着重要的地位。

它为我们研究函数的性质提供了基础。

通过介值定理，我们可以推导出更多关于函数的结论，从而深入理解函数的行为。

总结一下，介值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上取到所有可能的中间值的情况。

这个定理的历史可以追溯到17世纪的欧洲，当时的数学家们希望能够找到一种方法来描述函数的连续性。

关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ， ),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， min ()f x m =，max ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ． （三）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点．罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠， 则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （四）不等式定理 凹凸不等式TH1： ()()0,f x ''<>则()((1))()((1)),(0,1)f x f y f x y λλλλλ+-≤≥+-∈．特别有()()()()22f x f y x yf ++≤≥．凹凸性不等式定理2：当[,]x a b ∈，且()()0f a f b ==，若()()0,f x ''<>则()()0f x ><．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()bbaaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然．特别有若()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰（a b <），但反之不然．积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续， 则min max ()()()()()baf x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）．二、典型例题题型一 恒等式证明及其逆问题主要方法：求导法、积分法（换元（序）、分部）、待定系数法、反证法例1、设02x π≤≤，求证：2sin 0()x f x =⎰+2cos 04x π=⎰.证：易得'()0f x =，则10202()(0)cos 4uf x f ud u ππ===⎰⎰.例2、f 可积,证明：（1）20(sin )(sin )(sin )2xf x dx f x dx f x dx πππππ==⎰⎰⎰；（换） （2）并利用（1）计算60sin x xdx π=⎰2532π.例3、设)(x f 为连续函数，且满足0()arcsin x tf x t dt x x -=-⎰，求()f x ．提示：⎰-x dt t x tf 0)(ut x =-0()()arcsin x x u f u du x x -=-⎰，两边对x 求导得210()1(1)x f u du x -=--⎰，两边对x 再求导得232()(1)f x x x -=--．例4、设)(x F 为)(x f 的原函数，当0≥x 时，有x x F x f 2sin )()(2=⋅，且0)(,1)0(≥=x F F ，试求)(x f .解：⎰='xdx dx x F x F 2sin )()(2，2()22sin 48F x x x C =-+，由1)0(=F 知12C =，0)(≥x F ， ()F x ()(1cos 4f x x =-例5、()f x 可导， ()g x 为其反函数， (1)0f =，证明：1()1()2()f x dxg y dy xf x dx =⎰⎰⎰．提示：令()()()f x F x g y dy =⎰，则左111200[()]'()()xF x xF x dx x df x =-=-=⎰⎰右．例6、设()f x 连续，证明：111201()()=[()]2xdx f x f y dy f x dx ⎰⎰⎰．提示：11111()()()()()()yxydy f y f x dx I dx f x f y dy dy f y f x dx ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰换序换元，则11111202()()()()[()]I dy f y f x dx f x dx f y dy f x dx ===⎰⎰⎰⎰⎰．(也可采用轮换性)例7、若1210()(1)lim ()()1,x f x x f x f x dx -→=+-求0lim ()x f x →与1()f x dx ⎰.解：令10lim (),()x f x a f x dx b →==⎰，则21()(1)1f x a x -=++20lim[1]11x a a a b x →=+=+-+，120(1)1a b dx x =++⎰()14a b π=+- 由上述两式解之得0lim ()(8),x f x a π→==-10()1f x dx b ==⎰.例8、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-bax x x x f dxx f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二 方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且lim ()0x f x x →∞=，证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．提示：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，lim ()lim [1()]x x F x x f x x →+∞→+∞=+=+∞，01>∃x ，使0)(1>x F同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F ，故)(x F 在],[21x x 上满足零点定理．例2、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni it，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值）提示： ()m f x M ≤≤， 有∑∑∑====≤≤=n i ni i ni i iiM Mt x f tmt m 111)(．进一步，111()()()()bbbaaam b a mdx b a f x dx b a Mdx M ---=-≤-≤-=⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()()b af b a f x dx ξ-=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例3、设k a 是满足1(1)1)0nkk k a k =--=∑的实数，证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在(0,2)π内至少有一实根．（构造1()sin(21)1)nkk F x ak x k ==--∑在[0,2]π上用罗尔Th ）例4、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=11)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根．提示：构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理；或用积分中值定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f例1、设)(x f 在[12,2]连续，在(12,2)上可导，且 1122()(2)f x dx f =⎰，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．（提示：112(2)2()(),(12,1)f f x dx f ηη==∈⎰）例2、设)(),(x g x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g 试证：),(b a ∈∃ξ，使()()[()()][()()]f g f f a g b g ξξξξ''=-- ． 提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--， 构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ． 例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导 求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()n nn b a nf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-． 提示：（1）令1'()()()n n F x nxf x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n =在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔．例4、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >，()<0f b ，证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=． 提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）．（2）()f x 存在两个零点,a ξ，则()()x F x e f x -=在(),a b 上有两个零点，用Rolle 定理． 注：若结论出现'()()()0f p f ηηη+=，则令()()()p x dxF x e f x ⎰=．注：若结论出现'()()()()f p f q ηηηη+=，则令()()()()p x dxF x e f x q x dx ⎰=-⎰．题型三 非积分不等式主要方法（1）构造)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.（2）利用函数的凹凸性.（3）利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. （4）利用中值法证明不等式.例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)f x x =+-22()(1)ln (1)g x x x x =++-(ii) 令11()ln(1)h x x x =-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<． 例2、比较ee ππ与的大小．提示：x e >，比较x e e x 与的大小，取对数构造()ln f x x e x =-，易证ee ππ>． 例3、设)(),(x g xf 二阶可导，当0>x 时，)()(xg x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，．（提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导） 例4、当02x π<<时，sin tan 2x x x +> . （令()=sin tan 2f x x x x +-）提示： 2'()cos sec 21)0f x x x =+-≥≥． 例5、当0,0>>y x 时，求证：ln ln ()ln[()2]x x y y x y x y +≥++． 提示：令()ln ,()0[()()]2[()2]f t t t f t f x f y f x y ''=>⇒+≥+． 例6、当π<<x 0时, sin (2)x x π>．提示：令()sin (2)f x x x π=-, 则当π<<x 0时, ()sin(2)40f x x ''=-<， 故该函数的图形在),0(π内是凸的，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ．例7、设2e a b e <<<，求证：222ln ln 4()b a e b a -->-提示：令22()ln 4,f x x e x -=-要证()()f b f a >，可证当2e x e <<时，()f x 单调增． 注1：令222()ln ln 4()g x x a e x a -=---，可证2e x e <<时，()g x 单增，则()0g b >．注2：令2()ln ,h x x =要证2()()'()4h b h a h e b aξ--=>-，可证2e x e <<时，12ln 2x x e -->． 注3：设0ab >，证：22[ln ln ](2)a b a a b a b +->-．（20,ln(1)2x b a x x x =>+<-）例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x pyp p p p -<-<---．提示：令()pf t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理． 例9、设1,10>≤≤p x ，求证：12(1)1pp p x x -≤+-≤．提示：令()(1)ppf x x x =+-，求其在]1,0[的最值．例10、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(． 提示：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f ，在],[],,0[a c c 对)(x f '分用拉氏定理．题型四 积分不等式主要方法（1）应用定积分的不等式性质(比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式)（2）函数的单调性（凹性）（构造辅助函数） 积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件） 常伴于其中 例1、设488(tan ),(tan )I x x dx J x x dx ππππ==⎰⎰，则有-----------------------------------（C ）（A ）ln 28I J π<<<（B ）ln 28J I π<<<（C ）ln 28I J π<<< (D) ln 28I J π<<<提示：max{8,sin }tan 1tan min{18(tan )}x x x x x x x x ππ≤≤≤≤≤，. 例2、设)(x f 连续为正， 则12212(arcsin 2)d ()d f x x f x x π-≤⎰⎰.（令arcsin 2x t =）提示：若出现对称区间，注意对称奇偶性；若出现不同区间，注意换元. 例3、设k D 是{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记()kk D I y x d σ=-⎰⎰，则（B ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I提示：由轮换性知130,I I ==由不等式性质知24>0,<0I I ．(有时也会用对称奇偶性) 例4、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：()()2()b baaa b f x dx xf x dx +<⎰⎰.提示：令()()()2(),xxaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰ 则[,]x a b ∈时，()0F x '<.例5、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，10'()()()'()()(1)a f x g x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令10()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰，则'()0F a ≤．例6、设,f g 在[,]a b 上连续，且()(),[,)x xaaf t dtg t dt x a b ≥∈⎰⎰，⎰⎰=bab a dt t g dt t f )()(，证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.提示：令()()()F x f x g x =-，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设()0G x ≥，[,)x a b ∈，()()0G a G b ==，)()(x F x G ='. 从而()()b baaxF x dx xdG x =⎰⎰()()()bbba aaxG x G x dx G x dx =-=-⎰⎰由于()0G x ≥，[,]x a b ∈，故有0)(≤-⎰ba dx x G .例7、设0>a ，)(x f 在],0[a 上导数连续，证明：001(0)()()aa f f x dx f x dx a'≤+⎰⎰. 证法1：000111(0)()[(0)()]()(0)a a af f x dx f f x dx f x f dx a a a -=-≤-⎰⎰⎰0000000111'()['()]['()]()a x a x a aa f x dx dx f x dx dx f x dx dx f x dx a a a '=≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.证法2：0()(ξ)a f x dx f a =⎰，则0()(0)a f x dx a f -=⎰ξ(ξ)(0)()d f f f x x '-=⎰(0)f 001()()a f x dx f x dx a ξ'≤+⎰⎰⎰⎰'+≤aa dx x f dx x f a 00)()(1.三、课后练习1（A ）、证明：当1<x ，总有arctan[(1)(1)]arctan 4x x x π+--=． 2（A ）、求证：11ln ()ln[(1)()]ln ()xf x t dt f t f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰．（换元与求导）3（B ）、设)(x f 、)(x g 在0],[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且有A x f x f =-+)()( ①求证：⎰⎰=-a aadx x g A dx x g x f 0)()()(；（换元）②求2sin arctan =x x e dx ππ-⎰2π.4（A ）、设'()f x 连续,且(0)=0f ，证：11120'()()=()x dx f x f y dy f x dx ⎰⎰⎰．5（B ）、设)(x f 连续，求证：()()1120001212ydy f xx dx f x dx -+=⎰⎰⎰．（换序与换元）6（A ）、若1210()(1)()f x x f x dx -=+，则10()(4)f x dx ππ=-⎰.7（A ）、设⎰⎰++=203102)()()(dx x f xdx x f xx x f ，则()f x =2338x x x +-.8（A ）、设'()()F x f x =，且(0)0F =,()()sin 2F x f x x =，则56|()|f x dx ππ⎰9（A ）、设()x f 连续，()()C x x dt t f t dt t f x x +++=⎰⎰98181612，则()f x =152x ，C =19-．10（A ）、)(x f 连续，2(2)arctan 2xtf x t dt x -=⎰，若1)1(=f ，则21()f x dx =⎰34 （换）11（B ）、设)(x f 在[]0,4π上可导，且恒有t tt tt tt t f xx f d cos sin sin cos d )(0)(01⎰⎰+-=-，其中1-f 是f 的反函数，则()f x =ln(sin cos )x x +.提示：方程两端对x 求导得x x x x xx f x f fcos sin sin cos )()]([1+-='-，即 xx xx x f cos sin sin cos )(+-='.12（B ）、求连续函数)(x f ，使它满足10()()sin f tx dt f x x x =+⎰.（换，cos sin x x x C -+） 13（A ）、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =，求证：方程()(()2)f x f x b a =+-在(,)a b 内至少有一根．(零点定理) 14（B ）、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根．(在],[d c 上用零点Th) 15（B ）、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ， 求证：),(b a ∈∃ξ，使()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．(介值定理)16（A ）、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使[()()]()()()bf b af a b a f f ξξξ'--=+．（拉格朗日中值定理） 17（B ）、设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明 （1）存在0>a ，使得();1=a f （局部保号性与介值定理）（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得'()1f a ξ=．（拉格朗日中值定理） 18（A ）、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ．（令2()()x F x e f x λ=，罗尔中值定理）19（A ）、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且(1)12f =，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ,使0)()(2='-ξξξf f ．（令2()()F x f x x =，罗尔中值定理）20（A ）、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且[()()]()b af x b a dx f b -=⎰求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．(积分中值定理与罗尔中值定理) 21（A ）、)(x f 在]1,0[上可微，且120(1)2()f xf x dx =⎰，试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．(令()()F x xf x =，积分中值定理与罗尔定理) 22（A ）、设)(x f 在[]1,0上可微，110(1)()x f kxe f x dx -=⎰，)1(>k ，证明()0,1ξ∃∈，使得()()11()f f ξξξ'=-．(令1()()xF x xe f x -=，积分中值定理与罗尔定理)23（B ）、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ，求证：)0,1(-∈∃ξ，使1[()()]e f t dt f A ξξξ-+=⎰．（令1()(),xx F x e f t dt Ax -=-⎰用罗尔） 24（B ）、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．（局部保号性与罗尔中值定理）25（B ）、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且(0)(1)0f f ==，(12)1f =， 求证：（i ）(12,1)η∃∈，使ηη=)(f ；（零点定理）（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ．(令()[()]xF x e f x x λ-=-)26（A ）、当0>x 时，求证：(1))ln(1)x e x x -+>+.(令()1(1)ln(1)xF x e x x =--++) 27（A ）、当0x >时，求证：arctan 12x x π+>.(考虑=0x 处的右极限) 28（A ）、当0>x 时，证明：1112(1)xx x e +++<.(先取对数)29（B ）、设b a <<0，求证：222()(ln ln ))a a b b a b a +<--<（令=>1x b a ） 30（A ）、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时. 31（A ）、设)(),(x g x f 正值可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ） （A ）)()()()(x g b f b g x f >（B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ） )()()()(b g b f x g x f > （D ）)()()()(a g a f x g x f > （提示：令()()()F x f x g x =，单调性）. 32（A ）、设)(x f 二阶可导，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（D ）（凹凸性） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 33（A ）、证明:当0,sin 2cos 420x x x x x ππ<<++->时.（凹凸性） 34（A ）、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.（拉格朗日中值定理）35（A ）、1,1≥>n a ，求证：211)11(1)21(1)[]ln n n n n n aa a a n a -++-+<-<.（拉格朗日）36（A ）、证明：0>x 时，有(1)ln(1)x x x x +<+<.（拉格朗日）37（A ）、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x .（分<1x 与1x ≥考虑）38（A ）、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.（先转化为函数最值）39（B ）、证明：2ln[(1)(1)]cos 11 1.x x x x x x +-+≥+-<<（最值）40（A ）、设2sin (=1,2,3)k x k eI e xdx k =⎰，则有（Ａ）（Ａ）123<<I I I （Ｂ）213<<I I I （Ｃ）312<<I I I （Ｄ）321<<I I I 41（A ）、设111222111(1)tan ,(1)tan ,(1)tan M x xdx N x x dx P x x dx ---=+=+=+⎰⎰⎰，则（D ） (A) M P N << (B) N P M << (C) P M N << (D) M N P <<42（A ）、设444lnsin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则有（B ）（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << (D) K J I << 43（A ）、设)(x f 连续为正， 1241230()d ,(sin )d (tan )d I f x x I f x x I f x x ππ===⎰⎰⎰，，则（B ）（A ）321I I I >> （B ）312I I I >> （C ）132I I I >> （D ）123I I I >> 44（A ）、设()()2222222123cos,cos ,cos DD DI x y d I x y d I x yd σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤，则按从大到小的排列次序为321I I I >>.45（A ）、如图，正方形:||1,||1D x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =， 设2tan kk D I y x dxdy =⎰⎰，则14max{}k k I ≤≤= (A) (A)1I (B)2I(C)3I (D)4I46（A ）、)(x f 在]1,0[上连续递减，证：当10<<λ时，1()()f x dx f x dx λλ≥⎰⎰.(换元)47（A ）、设 )(x f 可导, 且(0)0,0()1f f x '=<<,证:11230(())()f x dx f x dx >⎰⎰.提示： 令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 032)())(()(.48（B ）、设)(x f 在[)+∞,0上连续单减，b a <<0，求证：0()()b aaf x dx b f x dx <⎰⎰.提示： 令0()()xF x f t dt x =⎰.49（B ）、设)(x f 是],[b a 的连续函数，而且是非负和(上)凹的，0)0(=f ，证：1210()()4f x dx f x dx ≤⎰⎰.（令20()()4()x x x f t dt f t dt Φ=-⎰⎰,用凹性证其增）50（B ）、设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ， 证明：（1）[]0(),,x ag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰；（2）()()()()ba a g t dtb aaf x dx f xg x dx +⎰≤⎰⎰．提示：（2）令()()()()()xa x a g t dt aaF x f u g u du f u du +⎰=-⎰⎰．51（B ）、设'()f x 在[0,2]π上连续为正，证：20()sin 2[(2)(0)]f x nxdx f f n ππ≤-⎰.提示：220()sin [(2)(0)]['()cos ]f x nxdx f f n f x nx n dx πππ=--+⎰⎰.52（B ）、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：200()max ()2a x af x dx a f x ≤≤'≤⎰.提示：积分不等式性质、拉格朗日中值定理与闭区间连续有界定理.。