人教版高中数学选修1-2 复数代数形式的四则运算 课件1

[解析] → → → → BC ＝AC －AB，故BC 对应的复数为(－2－3i)－
(－1＋2i)＝－1－5i.
二、填空题 → 4．在复平面内，向量OZ1对应的复数为－1－i，向量 OZ2 → → 对应的复数为 1－i，则OZ1＋OZ2对应的复数为________．
[答案] －2i
[解析]
→ OZ1＋OZ2 对应的复数为－1－i＋1－i＝－2i.
[解析] －3－2i.
→ → 则AO ①AO＝－OA， → 对应的复数为－(3＋2i)， 即
→ → → → ②CA＝OA－OC，所以CA对应的复数为(3＋2i)－(－2＋ 4i)＝5－2i. → → → → → → ③OB＝OA＋AB＝OA＋OC，所以OB对应的复数为(3＋ 2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
[解析]
z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋
3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y) ＋(x＋4y)i， 又因为 z＝13－2i，且 x，y∈R，
5x－3y＝13， 所以 x＋4y＝－2， x＝2， 解得 y＝－1.
3．2
复数代数形式的四则运算
1．知识与技能 掌握复数的代数形式的加法、减法、运算法则，并熟 练地进行化简、求值．
2．过程与方法
了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．
本节重点：
复数的加、减法运算． 本节难点： 复数运算的几何意义． 1．复数加法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则
[点评]
本题给出了几何图形上一些点对应的复数，
因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利 用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面： (1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去 处理． (2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作 为工具运用于几何之中．例如：已知复数z1 ，z2，z1 ＋z2 在 复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－
相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
计算： (1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)．
[解析] (1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0.
[例 2]
已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点
→ O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：①AO 对应的复数； → ②CA对应的复数； ③B 点对应的复数．
所以 z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i， z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
[解析]
＝－1－8i.
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
[点评]
两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部
[点评] 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化
虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复 数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．
[例4] 已知：复平面上的四个点A、B、C、D构成平
行四边形，顶点A、B、C对应于复数－5－2i，－4＋5i,2， 求点D对应的复数．
[误解] ∵B→＝C→， A D
学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义， 应明确它们符合向量加(减)法的平行四边形法则．另外， 还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简 单化了．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1 ＝a＋bi，z2 ＝c＋di是任意两个复数，则z1 ＋z2 (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i ＝ ，z －z ＝ .
∴zA－zB＝zD－zC， ∴zD＝zA－zB＋zC ＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i. 即点 D 对应的复数为 1－7i.
[辨析] 四个点A、B、C、D构成平行四边形，并不仅
有▱ABCD一种情况，应该还有▱ABDC和▱ACBD两种情 况．如图所示．
[正解]
复数z.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的
A．0 [答案] D [解析] ∵z＋i－3＝3－i ∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i B．2i C．6
)
D．6－2i
→ → 3．在复平面内，向量AB，AC对应的复数分别为－1＋2i， → －2－3i，则BC对应的复数为 ( A．－1－5i C．3－4i B．－1＋5i D．3＋4i )
[答案] A
2．复数减法的几何意义 → → 复数 z2－z1 是指连结向量OZ1，OZ2的终点，并指向被减数 的向量Z→ 2所对应的复数． 1Z
3．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何 图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复 数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中．
C．圆
[答案] C
D．椭圆
[解析]
解法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由已知|z－i|＝|3＋4i|， 得|x＋(y－1)i|＝|3＋4i|， ∴ x2＋(y－1)2＝ 9＋16， 即 x2＋(y－1)2＝25. 故复数 z 在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5 为 半径的圆． 解法二：∵|z－i|＝|3＋4i|＝ 9＋16＝5， ∴复数 z 与复数 z1＝i 两点间的距离为常数 5，根据圆的 定义知，复数 z 的轨迹是圆．故应选 C.
→ OZ 根据复数减法的几何意义： 复数 z1－z2 是连结向量OZ1，→2
z1 －z2 ＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋
的终点，并指向被减数的向量
所对应的复数．
[例 3]
[解析]
若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|.
→ → |z1 ＋z2|和|z1 －z2|是以OZ1和OZ2为两邻边的平行
1 2
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1 ＋ z2) ＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 与z1－z2对应的向量是 .
，
，四 ，
边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
→ → 5．在复平面内，若OA，OB对应的复数分别为 7＋i,3－ → 2i，则|AB|＝________.
[答案] 5
→ [解析] AB对应的复数为 3－2i－(7＋i)＝－4－3i，所以 → |AB|＝ (－4)2＋(－3)2＝5.
三、解答题 6．已知z1 ＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2 ＝(4y－2x)－(5x＋ 3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.
图①中点D对应的复数为3＋7i， 图②中点D对应的复数为－11＋3i.
一、选择题
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( A．8i [答案] B [解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i B．6 C．6＋8i D．6－8i )
＝(3＋3)＋(4－4)i＝6
2．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝(
z2|，判断四边形Байду номын сангаасACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给
予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形 OACB为矩形．
→ → 设向量OZ1及OZ2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复
数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] 2i. 如下图所示，Z→ 1即为 z1－z2 所对应的向量． 2Z
(或三角形法则)．
→ 已知复数 z1＝x1＋y1i，2＝x2＋y2i 及其对应的向量OZ1＝ z → → → (x1，y1)，OZ2＝(x2，y2)．以OZ1和OZ2为邻边作平行四边形 → → → OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表示的向量OZ＝OZ1＋OZ2， → → 而OZ1＋OZ2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复 数之和 z1＋z2 所对应的有序实数对．
四边形的两条对角线的长． 如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，知四边形为正 方形， ∴另一条对角线的长|z1－z2|＝ 2.
[点评] 复数的减法也可用向量来进行运算，同样可
实施平行四边形法则和三角形法则．
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的 轨迹是 A．一条直线 B．两条直线 ( )