题组层级快练(五)
1．下列函数中，与函数y ＝13x
定义域相同的函数为( )
A ．y ＝1
sin x
B ．y ＝ln x x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝sin x
x
答案 D 解析 因为y ＝
13x
的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝
1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x
x
的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin x
x
的定义域为{x |x ≠0}，故D 项正确．
2．函数y ＝的定义域是( )
A ．(－3，＋∞)
B ．[－2，＋∞)
C ．(－3，－2)
D ．(－∞，－2]
答案 B
3．函数y ＝|x |(x －1)的定义域为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x ≥1或x ＝0} C ．{x |x ≥0} D ．{x |x ＝0}
答案 B
解析 由题意得|x |(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x |＝0. ∴x ≥1或x ＝0.
4．(2014·山东理)函数f (x )＝1
(log 2x )2－1
的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，1
2∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[2，＋∞) 答案 C
解析 (log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜1
2，故所求的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．
5．(2015·衡水调研卷)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 015]，则函数g (x )＝f (x ＋1)
lg x 的定义域是( )
A ．(0,2 014]
B ．(0,1)∪(1,2 014]
C ．(1,2 015]
D ．[－1,1)∪(1,2 014]
答案 B
解析 使函数g (x )有意义的条件是⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x ＋1≤2 015，
x >0且x ≠1，解得0<x <1或1<x ≤2 014.故函数g (x )的定义域
为(0,1)∪(1,2 014]．故选B.
6．函数y ＝
(14
)－
x －3·2x －4的定义域为( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]
答案 A 7．函数y ＝(1
2)
的值域为( )
A ．(－∞，1
2]
B ．[1
2，1]
C ．[1
2，1)
D ．[1
2
，＋∞)
答案 C
解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝(1
2)x 在(0,1]上的图像可知函数y ＝
(12)1x 2＋1的值域为[1
2
，1)． 8．若对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则总不改变函数f (x )的值域的代换是( ) A ．h (t )＝10t B ．h (t )＝t 2 C ．h (t )＝sin t D ．h (t )＝log 2t
答案 D
解析 ∵log 2t ∈R ，故选D.
9．若函数y ＝1
2x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ](b >1)，则( )
A ．b ＝2
B ．b ≥2
C ．b ∈(1,2)
D ．b ∈(2，＋∞) 答案 A
解析 ∵函数y ＝12x 2－2x ＋4＝1
2(x －2)2＋2，其图像的对称轴为直线x ＝2，∴在定义域[2,2b ]上，y 为
增函数．
当x ＝2时，y ＝2；当x ＝2b 时，y ＝2b .
故2b ＝1
2
×(2b )2－2×2b ＋4，即b 2－3b ＋2＝0，得b 1＝2，b 2＝1.又∵b >1，∴b ＝2.
10．(2014·东城区)设函数f (x )＝2x 1＋2x －1
2，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0} B ．{－1,0} C ．{－1,0,1}
D ．{－2,0}
答案 B
解析 ∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－1
2x ＋1，
又2x >0，∴－12<f (x )<1
2.
∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}．
11．(2013·安徽文)函数y ＝ln(1＋1
x )＋1－x 2的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 根据题意可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋1
x
>0，
x ≠0，
1－x 2
≥0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1x >0，－1≤x ≤1
⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]． 12．函数y ＝4
(x 2－3x －4)3
|x ＋1|－2的定义域为________．
答案 {x |x <－3或－3<x ≤－1或x ≥4} 13．函数y ＝10x ＋10－
x
10x －10－x
的值域为________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)． 解析 由y ＝10x ＋10－
x 10x －10－x ，得
y ＋1
y －1
＝102x . ∵102x >0，∴y ＋1
y －1>0.
∴y <－1或y >1.
即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 14．函数y ＝x
x 2＋x ＋1(x >0)的值域是________．
答案 (0，1
3
]
解析 由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)，得0<y ＝x x 2＋x ＋1
＝1
x ＋1x
＋1≤
1
2x ·1
x ＋1＝13，因此该函数的值域是(0，13]． 15．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于__________． 答案
3
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞1，a 2
－1＝2，
a 0－1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
0＜a ＜1，a 2
－1＝0，a 0－1＝2.
解得a ＝ 3.
16．若函数f (x )＝e x
x 2＋ax ＋a 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．
答案 (0,4)
解析 ∵f (x )的定义域为R ， ∴x 2＋ax ＋a ≠0恒成立． ∴Δ＝a 2－4a <0，∴0<a <4. 即当0<a <4时，f (x )的定义域为R .
17．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求实数a 的值；
(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 答案 (1)a ＝－1或a ＝32 (2)[－19
4
，4]
解析 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝3
2
.
(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0. 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤3
2
.
∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－(a ＋32)2＋17
4.
∴f (a )在[－1，3
2
]上单调递减．
∴－194≤f (a )≤4.即f (a )值域为[－19
4，4]．
18．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，－1]∪(53，＋∞) (2)[1，53
]
解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1>0，
Δ＝(a ＋1)2－4(a 2
－1)<0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a >1或a <－1，a ＞53
或a <－1.
∴a <－1或a >53
.
又a ＝－1时，f (x )＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a >5
3
.
(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有a 2
－1>0，Δ≥0，解之1<a ≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤5
3
.
1．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－5，－1] B ．[－2,0] C ．[－6，－2] D ．[1,3]
答案 A
解析 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3. ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1.
2．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．
答案 1
解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.。
