初三数学(特殊值法)上课讲义

古语有云：上将伐谋。

数学学习也是如此最重要的是方法而不是单纯的做题，从做题中总结方法才会收到实效。

中考在即给各位考生奉上我的倾情巨作：数学特殊值法。

什么是特殊值法？特殊值法我给大家总结一句话：一般成立特殊一定成立，特殊不成立一般一定不成立。

我给大家举个例子：这道题非常简单大家看一下：已知x+y=2，求 2x+2y=？解法也很简单2（x+y），将 x+y=2 代入得 4.但是我有个学生他不会做，还来问我说这道题他们老师告诉他用的是整体代入法，他不理解。

我当时很奇怪这种题出现几率很高，我问他平时怎么做的，他说他都是蒙的，他是令x=1，y=1，带进去结果恰好也是4，我问他是不是每次都蒙，他说基本都是，有时蒙的对，有时蒙错了。

我以这道题为例给大家说下特殊值法：首先这道题的题目我给大家用汉语翻译一下，对任意的x+y 等于 2，求 2x+2y等于几。

这道题既然出来了他一定有解，而且解是唯一的，根绝我们的特殊值法法则，这里的x+y=2是对任意 x+y=2都成立的，那么我们来个特殊的x=1，y=1，带进去结果等于4，这个结果一定是答案，如果不是答案，就意味着特殊不成立，那么一般也就不成立了此题也就出错了。

我们再来一道题试试，这道题是内蒙呼和浩特2014 中考第 7 题也不难，有些同学肯定也不会。

a，b，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是a b 0 c xA．ac > bc B．|a –b| = a–bC．–a <–b < c D．–a–c >–b–c这道题拿到手很简单，就是数轴结合，数的性质进行判断，还有去绝对值符号的练习。

这道题常规解法我们不讲了，我们试试特殊值法，令a=-3，b=-1，c=2（这道题不太清楚，出的不好， a 和 c 距离原点的距离不太明显），我们来判断 A ac=-6，bc=-2很显然 A 错了，再来看 B |a-b|=2 ，a-b=-2，很显然 B 错了再来看 C -a=3，-b=1 很显然 C也错了，直接选D，我们也来看下 D -a-c=1 -b-c=-1肯定选 D 了。

《特殊角的三角函数值》试讲逐字稿（附教案）简案一、教学目标【知识与技能目标】学生能够掌握锐角三角形函数值及其计算方法，并能熟练运用。

【过程与方法目标】通过自主探究、合作交流的过程，培养数感，提升推理运算能力。

【情感态度与价值观目标】体会数学的乐趣，培养学习数学的趣味。

二、教学重难点【教学重点】学生能够掌握锐角三角形函数值及其计算方法，并能熟练运用。

【教学难点】运用锐角三角函数进行计算。

三、教学方法讲授法，讨论法，练习法四、教学过程（一）复习导入引导回忆锐角三角函数的定义，以及锐角三角函数它们的正弦余弦和正切的求法，学生回答，引入新课。

（二）新课讲授1.动手操作，解决问题拿出事先发给学生的三角尺，学生测量出三角尺的角度，确定三个特殊角30°、45°、60°2.小组合作，探究新知教师组织学生小组讨论，推导出30度，45度和60 度角的三角函数值，并且填写任务单，提示学生设最短的边为1。

小组汇报，详细讲解其中一个角预设一：学生设最短的边为1预设二：学生设最短边位a最后总结角度规律，从左到右加15°；45 度角的三角函数；30°、60°三角函数值之间的关系。

3.灵活运用，例题讲解出示例题，让学生计算，多媒体出示答案，同桌之间互相纠正。

（三）巩固总结求适合下列条件的锐角的度数（1）tan B=√33（2）2sin a-√2= 0（四）课堂小结教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。

（五）布置作业作业1：完成剩余课后练习题；作业2：学有余力的同学预习下节课的知识《特殊的三角函数值》试讲逐字稿各位老师上午好，我试讲的题目是《特殊的三角函数值》，下面开始我的试讲。

上课，同学们好，请坐一、导入上课前老师来考考大家，之前我们学习了锐角三角函数的定义，有同学知道锐角三角函数它们的正弦余弦和正切分别是怎样求的呢？课代表你来说，课代表说的非常正确，他说在直角三角形ABC中<c=90度，那么<A，它对应的正弦sinA就是，对边比上斜边，cosA等于邻边比上斜边，tanA等于对边比上邻边。

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

妙用特殊值法、特殊位置法联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就此展开一下联想吧！特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论.做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对）以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论.此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生.一、代数类[8]解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断.例15－1－1 已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y ＝（ ）A ．0B .2C .5D .8交流分享：取y ＝0，x ＝－3带入即可. 因为：由四个选项可知，5－x ＋3y 值为等于0、2、5、8之一，是一个定数，与x 、y 的取值无关，但前提是所选x 、y 的取值满足x －3y ＝－3，所以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试.技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上.例15－1－2 化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A . 2x x + B . 2x x - C . 2y x + D . 2y x - 交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知x ＝1，y ＝2. 最好选两组使分式有意义的数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等.技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案.例15－1－3 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋b ＜ab ；②a ＋b ＜b ＋2；③1a b>；④11a b <中，正确的有（ ）A .1个B . 2个C . 3个D . 4个交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项. 如取a ＝－2，b ＝－1.例15－1－4 某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100, 则调价后该商品价格最高的方案是（ ）A . 先涨m ％，再降n ％B . 先涨n ％，再降m ％C .D . 先涨2m n +％，再降2m n +％ 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可. 如m ＝20、n ＝10, m ＝60、n ＝40例15－1－5 函数y＝ax－a与ayx=（a≠0）在同一直角坐标中的图像可能是（）A B C D交流分享：设a＝1，把函数变成y＝x－1与1yx=后画出图像，看自己画出的图像哪个选项相符就选取它，如果没有，再设a＝－1再试.例15-1-6如图15－1－1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作0°~90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的图像大致是（）A B C D交流分享: 显然A与D、E重合时S＝0，A从D到E时S由0变大再变小到0，结论就得到了.其实在判定运动三角形面积与自变量的关系时，找使中、终三个特殊点，看出它的大小变化，再看三角形的三边，如果三边大小都变，一般是二次函数，如果有一边不变就是一次函数.提醒：请回味与感悟一下你用特殊值法解题的心得与体会.15－1－1ABDE·O体验与感悟15－11. 若3a 2－a ＝2，则5＋2a －6a 2＝___________.2. 已知x ：y ＝5：2，M ＝222xy x y-，N ＝2222x y x y +-，则M － N ＝____________. 3. 已知0＜a ＜b ＜1，不等式正确的是（ ）A . a ＜a 2B . a 2＞bC . a ＞abD . 11a b< 4. 甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m （m 为正整数）千克米，乙每次买米用去2m 元. 由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元. 那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（ ）A ．甲比乙便宜B . 乙比甲便宜C . 甲与乙相同D . 由m 的值确定5. 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）A B C D6. 已知函数3y x=-图像上的三个点A （x 1, y 1）、B （x 2, y 2）、C （x 3, y 3），且x 1＜0＜x 2＜x 3, 则y 1、y 2、y 3,的大小关系是（ ）A . y 1＜y 2＜y 3B . y 2＜y 3＜y 1C . y 3＜y 2＜y 1D .无法确定7. 把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，已知点B （a , b ）的坐标满足b ＋2a ＝6, 则直线AB 是（ ）A . y ＝－2x －3B . y ＝－2x ＋3C . y ＝－2x －6D . y ＝－2x ＋68. 如图15－1－2，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A B C D二、几何类[8]解法归一：画出符合题意的特殊位置，如在起点、中点、终点的图形，再来求值或推断. 例15－2－1 如图15－2－1，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC于E ，23AE EC =.则AB AC =( )A .13B . 23C . 25D . 35交流分享：就取AE ＝2，EC ＝3，则DE ＝2，AC ＝5，由相似求得AB 后再求AB ：AC 的值，或通过相似到处AB ：AC ＝DE ：CE 均可.注：在比例问题中特殊值法用的更是广泛.例15－2－2 如图15－2－2，将一个直角三角形纸片减去直角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝_____度交流分享：取两锐角分别是30°、60°即可. 因为既然减法是任意的，又求∠1＋∠2的值，所以它一定是个与剪法无关的定值，否则无法求∠1＋∠2的值.例15－2－3 如图△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E . DF ⊥AC 于点F ，BC ＝2，则DE ＋DF ＝_____.交流分享：当D 在B 时，DE ＝0，DF 就是AC 边上的高；当然D 取在BC 中点或C 点时亦可得结论.因为D 是BC 边上任意一点, DE ＋DF 如果不是定值就没法求了，所以它一定是个定值. 另外通过连接AD 用面积法（或用其他方法）也可证明DE＋DF 是一个定值，与D 的位置无关.Hi ！特殊值法咱早就用过！今天起往后，做选择填空题时咱就常用用它如何？体验与感悟15－21. 若1082x y z ==，则x y z y z ++=+__________. 2. 如图15－2－4，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点（端点除外），则（ ）3. A . AD ·DB ＜AC ·CB B . AD ·DB ＝AC ·CB C . AD ·DB ＝AC ·CB D . AD ·DB 与AC ·CB 大小关系不确定3. α为锐角，若tan α＝45，则si n α＝_______, c os α＝_______. 4. 直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是( ) A . ab ＝h 2 B . a 2＋b 2＝2h 2 C .111a b h += D . 222111a b h += A C BD 图15－2－5. 如图15－2－5将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOC＋∠DOB ＝___.图15-2-5 图15-2-6 图15-2-76. 如图15－2－6，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AC交BD于点O，EM⊥AC于点M, EN⊥BD于点N, 则EM＋EN＝_________.7. 如图15－2－7，在△ABC中，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B. 已知P、Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ, 在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A. 一直增大B. 一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少特殊值法（特殊位置法）不仅仅在解决选择填空题中有用，它对解难题、大题同样有很大帮助，因为它是合情合理推理的一部分.例15－3－1 在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD. 请推断“BE＋CD＝BC”成立与否.交流分享：取∠B＝60°、45°各一次，看两次结论是否相同即可. 如果特殊情况结论不一，结论肯定不成立. 此题也可通过严格证明得结论，但有难度.例15－3－2 如图15－3－1，位于一条大河两侧的A、B两市准备在河上联合修建一座大桥，请你帮忙确定一下桥的位置（要求桥与河岸a、b垂直），使得从A到B的行程最短. 要求：画出图，不写作法.体验与感悟15－31.如图15－3－2，以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系：___________.图15-3-2 图15-3-3 图15-3-42.如图15－3－3，在△ABC 中，a , b , c 分别为∠A , ∠B , ∠C 的对边，若∠B ＝60°, 则c a a b c b+=++（ ）A ．12B ．2 A ．1 A 3.如图15－3－4，一个矩形被两条线段分成了四个小矩形，如果图形⑴、⑵、⑶的面积分别是8、6、5，则阴影的面积是_________.3.如图15－3－5，矩形的顶点坐标分别为O （0,0）, A （3,0）, B （0,4）, C （3,4）, D 为边OB 的中点. E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，点E 、F 的坐标分别为__________、__________.5. 如图15－3－6，点P （t , 0）（t ＞0）是抛物线y ＝x 2－tx 与x 轴的交点. 已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1, 0）, B （1,－5）, D （4, 0）, 规定：在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”. 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，则t 的取值范围是_______________.提醒：请将一下特殊值法与特殊位置法的妙用吧！仔细体会一下，你会有不少心得.。

讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。

三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。