初三数学(特殊值法)上课讲义

古语有云：上将伐谋。

数学学习也是如此最重要的是方法而不是单纯的做题，从做题中总结方法才会收到实效。

中考在即给各位考生奉上我的倾情巨作：数学特殊值法。

什么是特殊值法？特殊值法我给大家总结一句话：一般成立特殊一定成立，特殊不成立一般一定不成立。

我给大家举个例子：这道题非常简单大家看一下：已知x+y=2，求 2x+2y=？解法也很简单2（x+y），将 x+y=2 代入得 4.但是我有个学生他不会做，还来问我说这道题他们老师告诉他用的是整体代入法，他不理解。

我当时很奇怪这种题出现几率很高，我问他平时怎么做的，他说他都是蒙的，他是令x=1，y=1，带进去结果恰好也是4，我问他是不是每次都蒙，他说基本都是，有时蒙的对，有时蒙错了。

我以这道题为例给大家说下特殊值法：首先这道题的题目我给大家用汉语翻译一下，对任意的x+y 等于 2，求 2x+2y等于几。

这道题既然出来了他一定有解，而且解是唯一的，根绝我们的特殊值法法则，这里的x+y=2是对任意 x+y=2都成立的，那么我们来个特殊的x=1，y=1，带进去结果等于4，这个结果一定是答案，如果不是答案，就意味着特殊不成立，那么一般也就不成立了此题也就出错了。

我们再来一道题试试，这道题是内蒙呼和浩特2014 中考第 7 题也不难，有些同学肯定也不会。

a，b，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是a b 0 c xA．ac > bc B．|a –b| = a–bC．–a <–b < c D．–a–c >–b–c这道题拿到手很简单，就是数轴结合，数的性质进行判断，还有去绝对值符号的练习。

这道题常规解法我们不讲了，我们试试特殊值法，令a=-3，b=-1，c=2（这道题不太清楚，出的不好， a 和 c 距离原点的距离不太明显），我们来判断 A ac=-6，bc=-2很显然 A 错了，再来看 B |a-b|=2 ，a-b=-2，很显然 B 错了再来看 C -a=3，-b=1 很显然 C也错了，直接选D，我们也来看下 D -a-c=1 -b-c=-1肯定选 D 了。

《特殊角的三角函数值》试讲逐字稿（附教案）简案一、教学目标【知识与技能目标】学生能够掌握锐角三角形函数值及其计算方法，并能熟练运用。

【过程与方法目标】通过自主探究、合作交流的过程，培养数感，提升推理运算能力。

【情感态度与价值观目标】体会数学的乐趣，培养学习数学的趣味。

二、教学重难点【教学重点】学生能够掌握锐角三角形函数值及其计算方法，并能熟练运用。

【教学难点】运用锐角三角函数进行计算。

三、教学方法讲授法，讨论法，练习法四、教学过程（一）复习导入引导回忆锐角三角函数的定义，以及锐角三角函数它们的正弦余弦和正切的求法，学生回答，引入新课。

（二）新课讲授1.动手操作，解决问题拿出事先发给学生的三角尺，学生测量出三角尺的角度，确定三个特殊角30°、45°、60°2.小组合作，探究新知教师组织学生小组讨论，推导出30度，45度和60 度角的三角函数值，并且填写任务单，提示学生设最短的边为1。

小组汇报，详细讲解其中一个角预设一：学生设最短的边为1预设二：学生设最短边位a最后总结角度规律，从左到右加15°；45 度角的三角函数；30°、60°三角函数值之间的关系。

3.灵活运用，例题讲解出示例题，让学生计算，多媒体出示答案，同桌之间互相纠正。

（三）巩固总结求适合下列条件的锐角的度数（1）tan B=√33（2）2sin a-√2= 0（四）课堂小结教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。

（五）布置作业作业1：完成剩余课后练习题；作业2：学有余力的同学预习下节课的知识《特殊的三角函数值》试讲逐字稿各位老师上午好，我试讲的题目是《特殊的三角函数值》，下面开始我的试讲。

上课，同学们好，请坐一、导入上课前老师来考考大家，之前我们学习了锐角三角函数的定义，有同学知道锐角三角函数它们的正弦余弦和正切分别是怎样求的呢？课代表你来说，课代表说的非常正确，他说在直角三角形ABC中<c=90度，那么<A，它对应的正弦sinA就是，对边比上斜边，cosA等于邻边比上斜边，tanA等于对边比上邻边。

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

妙用特殊值法、特殊位置法联想融通：知道“特殊值法”或“赋值法”吧？以前没听说过也不要紧，顾名思义即知.请就此展开一下联想吧！特殊值法，是由一般到特殊的过程，如果题中出现、或隐含着满足条件的任意数、或任意点都使结论成立，可由特殊值法推断结论.做题中学生不一定明白其中原理，但可以让学生用试值法验证，如果有两或三个（对）以上的特殊数、或特殊值的位置结论一定或不变，一般可选之，或作为猜想的结论.此法，在题目简单时就能很大程度地帮助绩差生、在题目难时很大程度地帮助绩优生.一、代数类[8]解法归一：用使原题有意义的数代替字母求值或推断.例15－1－1 已知x －3y ＝－3，则5－x ＋3y ＝（ ）A ．0B .2C .5D .8交流分享：取y ＝0，x ＝－3带入即可. 因为：由四个选项可知，5－x ＋3y 值为等于0、2、5、8之一，是一个定数，与x 、y 的取值无关，但前提是所选x 、y 的取值满足x －3y ＝－3，所以可用特殊值法，一般地，至少用两组数试试.技巧：当已知一个方程、求一个代数式值，自己又不会其他方法时，可用此法蒙上.例15－1－2 化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A . 2x x + B . 2x x - C . 2y x + D . 2y x - 交流分享：选一对使分式值不等于0的数即可，知x ＝1，y ＝2. 最好选两组使分式有意义的数，代入原式和各选项，看原式与哪个选项的值相等.技巧：如果不会化简分式，则可用特殊值代入原式与选项试值找答案.例15－1－3 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋b ＜ab ；②a ＋b ＜b ＋2；③1a b>；④11a b <中，正确的有（ ）A .1个B . 2个C . 3个D . 4个交流分享：给一组满足条件的a 、b 值一试就可得正确选项. 如取a ＝－2，b ＝－1.例15－1－4 某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n ＜m ＜100, 则调价后该商品价格最高的方案是（ ）A . 先涨m ％，再降n ％B . 先涨n ％，再降m ％C .D . 先涨2m n +％，再降2m n +％ 交流分享：同上理，给两组满足条件的m 、n 值一试就可. 如m ＝20、n ＝10, m ＝60、n ＝40例15－1－5 函数y＝ax－a与ayx=（a≠0）在同一直角坐标中的图像可能是（）A B C D交流分享：设a＝1，把函数变成y＝x－1与1yx=后画出图像，看自己画出的图像哪个选项相符就选取它，如果没有，再设a＝－1再试.例15-1-6如图15－1－1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作0°~90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的图像大致是（）A B C D交流分享: 显然A与D、E重合时S＝0，A从D到E时S由0变大再变小到0，结论就得到了.其实在判定运动三角形面积与自变量的关系时，找使中、终三个特殊点，看出它的大小变化，再看三角形的三边，如果三边大小都变，一般是二次函数，如果有一边不变就是一次函数.提醒：请回味与感悟一下你用特殊值法解题的心得与体会.15－1－1ABDE·O体验与感悟15－11. 若3a 2－a ＝2，则5＋2a －6a 2＝___________.2. 已知x ：y ＝5：2，M ＝222xy x y-，N ＝2222x y x y +-，则M － N ＝____________. 3. 已知0＜a ＜b ＜1，不等式正确的是（ ）A . a ＜a 2B . a 2＞bC . a ＞abD . 11a b< 4. 甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m （m 为正整数）千克米，乙每次买米用去2m 元. 由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元. 那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（ ）A ．甲比乙便宜B . 乙比甲便宜C . 甲与乙相同D . 由m 的值确定5. 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图像大致是（ ）A B C D6. 已知函数3y x=-图像上的三个点A （x 1, y 1）、B （x 2, y 2）、C （x 3, y 3），且x 1＜0＜x 2＜x 3, 则y 1、y 2、y 3,的大小关系是（ ）A . y 1＜y 2＜y 3B . y 2＜y 3＜y 1C . y 3＜y 2＜y 1D .无法确定7. 把直线y ＝－2x 向上平移后得到直线AB ，已知点B （a , b ）的坐标满足b ＋2a ＝6, 则直线AB 是（ ）A . y ＝－2x －3B . y ＝－2x ＋3C . y ＝－2x －6D . y ＝－2x ＋68. 如图15－1－2，已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A B C D二、几何类[8]解法归一：画出符合题意的特殊位置，如在起点、中点、终点的图形，再来求值或推断. 例15－2－1 如图15－2－1，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC于E ，23AE EC =.则AB AC =( )A .13B . 23C . 25D . 35交流分享：就取AE ＝2，EC ＝3，则DE ＝2，AC ＝5，由相似求得AB 后再求AB ：AC 的值，或通过相似到处AB ：AC ＝DE ：CE 均可.注：在比例问题中特殊值法用的更是广泛.例15－2－2 如图15－2－2，将一个直角三角形纸片减去直角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝_____度交流分享：取两锐角分别是30°、60°即可. 因为既然减法是任意的，又求∠1＋∠2的值，所以它一定是个与剪法无关的定值，否则无法求∠1＋∠2的值.例15－2－3 如图△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E . DF ⊥AC 于点F ，BC ＝2，则DE ＋DF ＝_____.交流分享：当D 在B 时，DE ＝0，DF 就是AC 边上的高；当然D 取在BC 中点或C 点时亦可得结论.因为D 是BC 边上任意一点, DE ＋DF 如果不是定值就没法求了，所以它一定是个定值. 另外通过连接AD 用面积法（或用其他方法）也可证明DE＋DF 是一个定值，与D 的位置无关.Hi ！特殊值法咱早就用过！今天起往后，做选择填空题时咱就常用用它如何？体验与感悟15－21. 若1082x y z ==，则x y z y z ++=+__________. 2. 如图15－2－4，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点（端点除外），则（ ）3. A . AD ·DB ＜AC ·CB B . AD ·DB ＝AC ·CB C . AD ·DB ＝AC ·CB D . AD ·DB 与AC ·CB 大小关系不确定3. α为锐角，若tan α＝45，则si n α＝_______, c os α＝_______. 4. 直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是( ) A . ab ＝h 2 B . a 2＋b 2＝2h 2 C .111a b h += D . 222111a b h += A C BD 图15－2－5. 如图15－2－5将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOC＋∠DOB ＝___.图15-2-5 图15-2-6 图15-2-76. 如图15－2－6，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AC交BD于点O，EM⊥AC于点M, EN⊥BD于点N, 则EM＋EN＝_________.7. 如图15－2－7，在△ABC中，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B. 已知P、Q两点同时出发，并同时到达终点，连接MP，MQ，PQ, 在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A. 一直增大B. 一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少特殊值法（特殊位置法）不仅仅在解决选择填空题中有用，它对解难题、大题同样有很大帮助，因为它是合情合理推理的一部分.例15－3－1 在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD. 请推断“BE＋CD＝BC”成立与否.交流分享：取∠B＝60°、45°各一次，看两次结论是否相同即可. 如果特殊情况结论不一，结论肯定不成立. 此题也可通过严格证明得结论，但有难度.例15－3－2 如图15－3－1，位于一条大河两侧的A、B两市准备在河上联合修建一座大桥，请你帮忙确定一下桥的位置（要求桥与河岸a、b垂直），使得从A到B的行程最短. 要求：画出图，不写作法.体验与感悟15－31.如图15－3－2，以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD ，M 是BC 的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系：___________.图15-3-2 图15-3-3 图15-3-42.如图15－3－3，在△ABC 中，a , b , c 分别为∠A , ∠B , ∠C 的对边，若∠B ＝60°, 则c a a b c b+=++（ ）A ．12B ．2 A ．1 A 3.如图15－3－4，一个矩形被两条线段分成了四个小矩形，如果图形⑴、⑵、⑶的面积分别是8、6、5，则阴影的面积是_________.3.如图15－3－5，矩形的顶点坐标分别为O （0,0）, A （3,0）, B （0,4）, C （3,4）, D 为边OB 的中点. E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，点E 、F 的坐标分别为__________、__________.5. 如图15－3－6，点P （t , 0）（t ＞0）是抛物线y ＝x 2－tx 与x 轴的交点. 已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1, 0）, B （1,－5）, D （4, 0）, 规定：在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”. 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，则t 的取值范围是_______________.提醒：请将一下特殊值法与特殊位置法的妙用吧！仔细体会一下，你会有不少心得.。

讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。

三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

实用文案第 11 讲特殊值法一、方法技巧特殊值法（一）定义又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；（二）使用条件有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单．（三）专题目标通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题．1．一定要按照题目所给的具体条件取值2 ．所取的数值一般最大不超过5，最小不超过5这样的整数，例如11、最常用、3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案（四）应用类型类型一已知中具体数量关系较少的问题类型二化简与求值的问题类型三恒等式问题类型四解以“不论 k 为何值时”为条件的问题类型五验证结论的正确性的问题类型六比较大小的问题类型七几何问题二、应用举例类型一已知中具体数量关系较少的问题【例题 1 】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水多还是乙桶内的牛奶多？A ．甲桶多B．乙桶多C．一样多 D ．无法判断【答案】 C【解析】题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法．解：令甲桶牛奶量= 乙桶牛奶量 = 1L，空杯子体积为1L ，第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，此时乙桶内牛奶和糖水的比例为1： 1，乙桶有 2L ，甲桶0L，又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量= 乙桶溶液量 = 1L，且牛奶和糖水各占一半．即甲桶内糖水= 乙桶内糖水．故选C．【难度】一般类型二化简与求值的问题【例题 2 】已知a、b 满足baa2ab b2．2 ，则4ab b2a b a2A ．11C．31 B．4D ．24【答案】 B 【解析】满足题干条件的b b a b 1，a 、的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对 a 、特殊化，令a2ab b231则4ab b26，故选择 B．a22【难度】一般类型三恒等式问题20 ，则下列式子一定成立的【例题 3 】若实数x、y、z满足x z4 x y y z是（）A ．x y z 0B．x y 2z 0C．y z2x 0D．z x 2y 0【答案】 D【解析】本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答．取特殊值： x 1 ，y 2， z 3 ，满足x z 24 x y y z 0 ，A ．x y z 1 2 3 6 0 ,B．x y 2z 1 2 2 3 3 0C．y z 2x 2 3 2 3 0D ．z x 2 y 3 1 2 2 0故选择 D．【难度】一般类型四解以“不论 k 为何值时”为条件的问题【例题 4 】不论参数a取什么值，直线y2a ax 总通过一个定点，这个定点坐标为（）A．0,2B．2,0C．2,0D．0, 2【答案】 C【解析】由条件“不论参数a取什么值” ，可知 a 的取值不影响直线y 2a ax 通过定点，故简单的方法是将选项直接代入来验证．将选项代入直线 y2a ax ，可以看出只有 C 选项2,0代入时恒等成立，故选 C．【难度】容易类型五验证结论的正确性的问题【例题 5 】已知有理数 a 、b满足a＞b，则下列式子正确的是（）A ．a＜b B．a＞b C．a＜b D ．a＞b【答案】 C【解析】由有理数 a 、b满足a＞b，取 a 1 ， b 0 ，那么A ：1＜0，成立，B：1＞0 ，成立，C：1＜0 ，成立，D： 1＞0，不成立，故排除 D ．取 a 1 ， b 2 ，那么A ：1＜2 ，不成立，B：1＞2，不成立，C： 1＜2 ，成立，故选C．点评：特殊值法将抽象的字母换成形象的数字，使解题更为方便．【难度】一般类型六比较大小的问题【例题 6 】当m＜0，m与1）m 的大小关系为（5A ．m＞1m B．m＜1m C．m=1m D．无法确定555【答案】 B 【解析】因为 m＜0 ，取 m1，则1m11＜1m＜1m，故选 B．5 5 ，因 5 ，故5【难度】较易类型七几何问题【例题 7 】如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y 4和2xy AC 、 BC ，则△ABC的面的图象交于 A 点和 B 点．若 C 为x轴上任意一点，连接x积为．【答案】 3【解析】因为 P 为 y 轴上任意一点且 C 为x轴上任意一点，本题为填空题，故选择特殊值法比较适合．解：令 P 0,1， C0,0，则 A4,1 ，B 2,1 ，即AB 246， OP1∴SV ABC 16 1 3 2【难度】较易三、实战演练类型一已知中具体数量关系较少的问题11 ．一个圆柱的半径比原来的圆柱的半径多 3 倍，高是原来的，则这个圆柱的体积是原来4圆柱体积的（）A ．一样多B．9倍C．3倍D．4倍44【答案】 D【解析】此题若不用特殊值法解答，势必要去寻找两者的数量关系，而这个数量关系还要靠字母来体现，若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利的解答．解：令原来的圆柱半径是1,高是 1，则体积是新圆柱半径是 4 ,高是1，则体积是 4 4则这个圆柱的体积是原来的4倍，故选D．【难度】一般2 ．老王前几年投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5% 的交易费后，发现与买进时相比赚了7 万元．问老王买进该艺术品花了多少元？A．84B．42C．100D．50【答案】 D【解析】本题是选择题，已知的数量关系是百分数，因此把购入价格看作100比较快捷、准确的解答此题．解：令该艺术品两年前价格为100则现在市价为 150八折售价为 150 0.8=120交易费用为 120 5%=6实际售价为120 6 114利润为 11410014因实际赚了7 万元，则万元= 14，故购买价格为50 万元．选择D．7购买价格100点评 :本题若列方程，可设买进价格为x 万元，则 1 50%80% 1 5% 1 x 7 ，求解容易出错，这样题型特值法较好．【难度】一般3 ．若2x3x213x k 有一个因式为2x 1 ，求 k 的值．【答案】6【解析】根据大纲要求这部分知识难度已降低，因此不采用特殊值法将无从下手．因式2x 1 已定，故 2x3x213x k 已定，故k不变的，适合使用特值法．令 2x3x213x k 2x 1 A，把x1代入可求得 k 62【难度】较难类型二化简与求值问题4 ．如果abc 1，则111的值是（）ab b 1 bc c1ca a1A ．4B．1C．1 D ．不确定【答案】 C【解析】试题分析：本题已知条件只给了abc1，因此令 a b c1，即可迅速得出答案试题解析：解：（方法一）令 a b c1，则1111111 ab b 1 bc c 1 ca a 1 3 33（方法二）∵ abc1∴ab 111b1bc c1ca a1 abc11ab b abc1c1ca a 1aac a1a1ac1ac a ca a1ac a1a1ac1点评：显然特值法对这样条件较少，但题目很繁冗复杂的问题很快捷．【难度】较难实用文案5．已知【答案】【解析】11ab 1 ，则的值为________a 1 b11因为 ab 1 ，所以令 a b 1 ，原式111，即11值为 122 a 1b1点评：由于选择题、填空题不需要写出解题的过程，只要求出正确答案即可，解答选择题，填空题时运用特殊值法能提高解题的速度和准确性．【难度】较易6 ．若a＜ 1 ，则3 3 a 3 的最后结果是（）A ．3 a B．3 a C．3 a D ．a 3【答案】 B【解析】本题若用常规的方法应根据a＜1，先讨论 a 3 的正负，进而讨论 3 a 3 的正负，最后得出最终答案，相比较选择题中此题特值法比较好用．解：（法一）∵ a＜ 1，故 a3＜4＜0 ，即 a33a∴ 3 a 3 a ，则 3 3 a 33a（法二）由于 a＜1，故令 a2，则3 3a333231故选B．【难度】一般7 ．已知一次函数y a 2 x 1的图像不经过第三象限，则化简a24a 496a a2的结果是（）A ．1B．1C．2a 5 D ．5 2a【答案】 D【解析】我们不妨从已知，即一次函数y a 2 x 1的图像不经过第三象限这一条件入手，因为y a 2 x 1的图像必经过0,1 这点，而经过0,1 这点的图像要想不经过第三象限，只有当 a 2＜0 ，即 a＜2 ，我们取 a0 代入即可得到答案．解：∵一次函数 y a 2 x 1的图像不经过第三象限∴a2＜0 ，即 a＜2∴取 a 0代入 a24a 4 9 6a a2 4 9235，显然答案 A、B 错，答案 C 为2a5，由 a0 ，故 2a55，故C错．答案D为52a，由 a0，故 52a 5 ，故D正确．故选择D．【难度】一般类型三恒等式问题3228 ．若2 xa bx cx2dx3，求 a c b d 的值【答案】 1【解析】对于恒等式问题， 当等式中的的字母取使等式有意义的任何一个特殊值时，等式都成立， 根据恒等式这个性质，可以用特殊值法求恒等式中参数的值．令 x1 时，32 1a b cd3令 x 1 时，2 1a b cd所以 a c2b d2a cb d ac b d2 32 132 1 2 1 31 1【难度】较难类型四解以“不论 k 为何值时”为条件的问题9 ．求证：不论 k 为何值时，一次函数 2k 1 x k 3 y k 11 0 的图像恒过一定点．【答案】证明：∵条件为不论 k 为何值时，故可取特殊值令 k 0 时， x 3 y 11 0 ①令 k1 时， x 4 y10 0 ②把 ① 、 ② 联立成方程组x 3y 11 0x 24 y10 0 解得：3x y 当 x 2 ， y 3 时， 2k 1 x k 3 y k 11 0 成立所以不论 k 为何值时，一次函数的图像恒过定点2,3【解析】因为条件为“不论k 为何值时”，即定义范围内的所有数值都会使图象经过定点，故取两个数值即可确定这个定点．证明：∵条件为不论 k 为何值时，故可取特殊值令 k 0 时， x 3 y 11 0 ①令 k1 时， x 4 y10 0 ②把 ① 、 ② 联立成方程组x 3y 11 0x 24 y10 0 解得：3x y 当 x 2 ， y 3 时， 2k 1 x k 3 y k 11 0 成立所以不论 k 为何值时，一次函数的图像恒过定点2,3点评：解决以“不论k 为何值时或 k 为任意实数时”为条件的问题，可以取特殊值法，探求出定点，然后加以验证即可．【难度】较难10 ．若点 A a,b 在第一象限，则点 B a,b 2 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】按题目要求取A 1,1 ，即 a 1 ， b 1，则 a1 ， b2 1 23 ，故 B 点为1,3显而易见在第二象限．故选B ．【难度】容易11 ．当2＜m＜1时，点P 3m 2，m 1在第（）象限3A ．一B．二C．三 D ．四【答案】 D【解析】由于数学选择题的唯一性，因此取满足条件2＜ m＜1的特殊值m5，通过计算点P 的坐36标为1， 1，在第四象限内，故选 D ．26【难度】较易12 ．二次函数y ax2 c a 0 ，若当x取x1、x2时函数值相等，当x 取 x1x2时函数值等于 ________．【答案】 c【解析】本题在解答时需根据二次函数图像的特点，二次函数y ax2 c 的对称轴为 y 轴，则可得x1 x20 ，从而得 x1 x20时，取x 0代入 y ax 2 c 中得 y c2【难度】一般类型五验证结论的正确性问题13．“如果两个三角形的三个内角与三条边六个元素中有五个元素分别相等，那么这两个标准文档【答案】不正确【解析】两个三角形的三边长分别取特殊值为8、 12、 18或12 、18、 27因为81218，所以两个三角形相似，所以两个三角形三个内角分别相等，又有两条12 18 27边分别相等，即五个元素相等，但这两个三角形不全等，所以这个命题是假命题．点评：要想说明一个命题是假命题，只需举出一个符合条件但不符合结论的特殊值反例即可．【难度】较易14 ．如果x、y、z是不全相等的实数，且 a x2yz ， b y2zx ， c z2xy ，则下列结论正确的是（）A ．a、b、c都不小于0B．a、b、c都不大于0C． a 、b、 c 至少一个小于0D ．a、b、c至少一个大于0【答案】 D【解析】本题若不用特值法将无从下手，x 、y、 z是不全相等的实数，可取范围较大，故令 x1， y1， z1，则 a2， b0 ， c 2 ，排除B、C．故令 x1， y1， z2，则 a3， b1， c 5 ，排除A．故选 D．【难度】较难15 ．如果方程y q y 有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（）A ．q≤0B．q＜1C．0≤q＜1D．q≥1 444【答案】 B【解析】此题直接解比较困难，可采用特值法，由选项可知q 的取值将实数分为三部分，即q≤0 、0≤ q＜1、 q≥1，故可取三个特殊值来验证．44令 q 1 ，y q y 变形得y2y10 ，50，有两个不相等的实数根＞令 q1，y q y 变形得5y25y10 ，5＞0 ，有两个不相等的实数根5令 q1，y q y 变形得y2y10，3＜0 ，没有实数根故排除 D ，选择 B．【难度】较难类型六比较大小问题16 ．若x＞0，y＜0，且x＜y，则x y0 ．若 x＞0 ，y＞0，且 x ＞ y ，则 x y 0．【答案】＜，＞【解析】因为 x＞0 ，y＜0，且 x ＜ y ，所以设 x 1 ，y 2 ，则 1 2 1 ，所以 x y＜0因为 x＞0 ，y＞0，且 x ＞ y ，所以设 x 2 ，y 1 ，则2+1=3，所以 x y＞0点评：此题若不用特殊值法，就要考虑绝对值的性质，会显得繁琐，现在用特殊值法，会使表达更清晰直观．【难度】一般17 ．如图，数轴上的点 A 、 B 分别对应实数 a 、b，下列结论中正确的是（）A ．a＞b B．a＞b C．a＜b D ．a b＜0【答案】 C【解析】根据数轴确定出 a 、b的正负情况以及绝对值的大小，也可得到答案，使用特值法更快捷．根据数轴， a＜0 ， b＞0 ，且 a ＜ b ，因此，令 a 1 ， b 2 ，则A ．1＞2,应为 a＜b ，故本选项错误；B．1＞ 2 ,应为 a ＜ b ，故本选项错误；C．11＜2 ，故本选项正确；D ． 1 2＜0 ,应为 a b＞0 故本选项错误故选 C．【难度】较易类型七几何问题18 ．正方形ABCD中，对角线AC的长为20cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD 的距离之和是．【答案】 10cm【解析】正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上任意一点，故令P与 A重合，则PE0，PF 1AC 10cm ， PE PF 10cm 2【难度】一般19．如图，在平面直角坐标系中，直线y kx b与 x 轴，y轴分别交于点A（4，0） B（0，2），，点 C 为线段 AB 上任意一点，过点 C 作 CD OA于点 D，延长 DC 至点 E使CE DC ，作 EF y 轴于点 F ．则四边形ODEF的周长为．【答案】 8【解析】由于点 C 为线段 AB 上任意一点，故取特值AB 的中点为点 C ，周长可轻松得到．解：根据题意知：点A（4，0）， B（0，2），故 AO4， BO2，由于点 C 为线段 AB 上任意一点，故取AB 的中点为点 C ，由于，y轴x轴，故∥CD OA CD BO即 CD 11OA 2 ，BO1， OD22因 CE DC ，故 DE2CD2，故四边形 ODEF 的周长 2 DE OD2 2 28【难度】一般。