第8章 季节时间序列模型

θi → MA ( i )
φi → AR ( i )
乘积季节模型ARIMA (p,d,q)×(P,D,Q)
说明：
D Φ ( B )U ( B S ) ∇d ∇ S X t = Θ ( B )V ( B S ) ε t
Φ(B)和Θ(B)用来消除同一周期的不同周期点之间的相关 性； U(BS)和V(BS)用来消除不同周期的同一周期点之间的相 关性； 一般：d≤2，D≤1 P,Q≤1 一般作一次季节差分后，(偏)自相关系数在kS处还存在 较强的相关性时，用乘积季节模型。
拟合1948—1981年美国女性月度失 业率序列
差分平稳
一阶、12步差分
一阶12步差分后序列自相关图
一般作一次季节差分 后，(偏)自相关系数 在kS处还存在较强的 相关性时，用乘积季 节模型 模型定阶
ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12
模型定阶是多次尝试 的结果
D Φ ( B )U ( B S ) ∇d ∇ S X t = Θ ( B )V ( B S ) ε t
季节序列既有季节效应又有长期趋势效应
模型结构： ARIMA (p,d,q)×(P,D,Q)
D Φ ( B )U ( B S ) ∇d ∇ S X t = Θ ( B )V ( B S ) ε t
EVIEWS 实现： Γi → SAR ( iS ) Η i → SMA ( iS )
∇ d = (1 − B )d ，∇ D = (1 − B S ) D S U ( B S ) = 1 − Γ B S − Γ B 2 S − ⋯ − Γ B PS P 1 2 其中 V B S = 1 − Η B S − Η B 2 S − ⋯ − Η B QS ( ) 1 2 Q Φ( B) = 1 − φ1 B − φ2 B 2 − ⋯ − φ p B p 2 q Θ( B) = 1 − θ1 B − θ 2 B − ⋯ − θ q B
季节差分：可消除周期性变化
∇ s X t = (1 − B s ) X t = X t − X t − s
对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之 后才能转换为平稳的序列。 ∇ D X = 1 − B s D X
S t
S 步差分 ∇ s = 1 − B s
()tຫໍສະໝຸດ 季节时间序列模型随机季节模型 乘积季节模型
消除了序列在 不同周期相同 周期点上的季 节相关成分
D为季节差分阶数，P为季节自回归的阶数，Q 为季节移 动平均的阶数 U(BS)为季节自回归多项式， V(BS)为季节移动平均多项式 EVIEWS上的实现： Γ i → SAR ( iS ) , Η j → SMA ( jS )
乘积季节模型
使用场合：
在某些时间序列中，由于季节性变化(包括季度、月度、 周度等变化)或其他一些固有因素的变化，会存在一些 明显的周期性，这类序列称为季节性序列。 在经济领域中，季节性序列更是随处可见。如季度时间 序列、月度时间序列、周度时间序列等。 描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。较早文献也称其为 乘积季节模型(multiplicative seasonal model)。
乘积季节模型拟合
模型定阶
ARIMA(1,1,1)×(0,1, 1)12
模型检验：
参数显著 残差为白噪声 序列
参数估计
模型方程：
1 − 0.459 B 1 − B ) (1 − B ) X t = 1 + 0.824 B12 ) ε t ( ( 1 + 0.586 B
12
乘积季节模型拟合效果图
黑点为序列观察值，红线为模型拟合值
第四章 非平稳时间序列 和季节序列模型
季节时间序列模型 SARIMA模型
1992年第一季度-2008年第三季度我国GDP季度 数据(单位:亿元) ：
1980年1月-1991年10月澳大利亚红酒的月销量 (单位：公升)时序图：
销量数据存 在较为明显 的上升趋势 和季节变化
季节时间序列(SARIMA)模型
季节时间序列的重要特征
季节时间序列的重要特征表现为周期性。
在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周期特性。 一般，季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料的周期 表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或5天。
处理季节性时间序列的一个重要工具：
随机季节模型
季节性SARIMA(P,D,Q)模型：
U ( B S )(1 − B S ) D X = V ( B S ) ε t t U ( B S ) = 1 − Γ1 B S − Γ 2 B 2 S − ⋯ − Γ P B PS S S 2S QS V ( B ) = 1 − Η1 B − Η 2 B − ⋯ − Η Q B