高等代数中向量线性相关内容的教学探讨

高等代数核心概念解析矩阵向量与线性空间高等代数核心概念解析：矩阵、向量与线性空间矩阵、向量与线性空间是高等代数中的核心概念，它们在数学和应用领域中具有广泛的应用。

本文将对这些概念进行解析，以便更好地理解它们的性质和用途。

一、矩阵(Matrix)矩阵是高等代数中的基本概念之一，它由一个矩形的数组组成，其中的元素可以是数字或其他数学对象。

矩阵通常用大写字母表示，如A、B、C等。

一个m×n的矩阵包含m行n列的元素，即一个m×n的矩阵A可以表示为：A = [a_ij]_(m×n)其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

例如，对于一个2×3的矩阵A，可以表示为：A = [a_11 a_12 a_13][a_21 a_22 a_23]矩阵可以进行加法、乘法和数乘等运算，这些运算的定义和性质使得矩阵在线性代数和应用数学中有着重要的作用。

矩阵的特征值和特征向量等概念也是矩阵的重要属性之一。

二、向量(Vector)向量是另一个在高等代数中常见的概念，它可以看作是一个有向线段或箭头，具有大小和方向。

向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如→v。

一个n维向量可以表示为：→v = [v_1 v_2 ... v_n]^T其中，v_i表示向量v的第i个分量。

例如，一个3维向量→v可以表示为：→v = [v_1 v_2 v_3]^T向量可以进行加法、数乘、点乘和叉乘等运算，这些运算的定义和性质使得向量在几何、物理和工程等领域中有着广泛的应用。

向量的线性相关和线性无关等概念也是向量的重要属性之一。

三、线性空间(Linear Space)线性空间是矩阵和向量的抽象描述，它是高等代数中最基本的概念之一。

线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的性质和运算规则。

线性空间通常用大写字母表示，如V、W等。

一个线性空间V需要满足以下条件：1. 加法封闭性：对于任意的向量→u和→v，它们的和→u + →v仍然属于V。

向量的线性相关性及其应用摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。

向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。

文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。

同时给出了线性相关性的一些应用。

关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量空间中向量之间的关系。

在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。

所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。

特别地,零向量是任一向量组的线性组合。

于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组12,,s ααα线性无关 。

即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为线性无关。

定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得1122s s k k k ααα++=β则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合二． 关于线性相关性的几种判定1.利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用的一种方法。

具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数;⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。

浅谈高等院校的高等代数教学【摘要】高等代数是高等院校数学专业的重要核心课程，具有重要的理论和实际意义。

本文通过分析高等代数教学内容，探讨高等代数教学方法，分析教学实践案例，探讨教学中的问题与挑战，以及讨论高等代数教学的创新和发展。

文章旨在提出改进高等代数教学的方向，展望高等代数教学的未来，并做出总结。

通过本文的研究，旨在加强高等代数教学的质量，提高学生的学习兴趣和能力，促进高等教育的发展。

高等代数教学的重要性和现状需要引起足够的重视，研究目的和意义应当得到更深入的探讨与分析，以促进高等院校高等代数教学水平的不断提高。

【关键词】高等代数教学、重要性、现状、研究目的、意义、内容分析、教学方法、实践案例分析、问题与挑战、创新、发展、改进方向、未来展望、总结。

1. 引言1.1 高等代数教学的重要性高等代数作为数学的重要分支学科，是高等院校数学教育中不可或缺的一环。

高等代数教学的重要性主要体现在以下几个方面。

高等代数是数学学科的重要组成部分，它是数学领域中的基础和核心内容之一。

通过学习高等代数，可以帮助学生建立起数学思维和逻辑推理能力，培养学生的抽象思维和分析问题的能力。

这对于学生未来学习其他数学学科以及从事相关领域的科研工作都具有重要意义。

高等代数在各个领域都有着广泛的应用。

无论是理工科学、经济管理还是信息技术等领域，都少不了高等代数的应用。

掌握高等代数知识可以为学生提供更多的职业发展机会，使他们在未来工作中具有更多的竞争力和创新能力。

高等代数教学还可以培养学生的数学素养和科学精神。

通过学习高等代数，学生可以了解数学学科的发展历程和现状，培养对数学的兴趣和热爱，进而提高自己的综合素质和人文素养。

高等代数教学的重要性不仅在于学科本身的重要性，更在于培养学生全面发展的能力和素质。

1.2 高等代数教学的现状高等代数教学的现状可以说是充满挑战和机遇的。

随着教育改革的不断深化和教学理念的不断更新，高等院校的高等代数教学也在不断调整和发展。

平面向量教案2：向量的线性相关和线性无关的概念及其应用一、前言平面向量是现代数学中的基础概念之一。

平面向量的应用广泛，例如在物理学、几何学、计算机科学等领域中都有着非常重要的地位。

平面向量的概念和性质的掌握对于数学学科的深入学习至关重要。

向量的线性相关和线性无关是平面向量中一个非常重要的概念。

这一概念在线性代数中被广泛应用，也是对向量的应用进行必要分析的一种方法。

本文将围绕着向量的线性相关和线性无关的概念及其应用展开深入的讲解。

二、向量的概念在平面直角坐标系中，任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间可以定义一个向量AB，表示从点A到点B的有向线段。

向量AB的两个组成部分是长和方向。

通常使用加粗的小写字母表示向量，例如向量a。

向量的模是指向量的长度，用数学符号表示为|a|。

向量a的模可以通过向量的坐标表示式求出：|a| = √{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}三、向量的线性相关和线性无关向量的线性相关和线性无关是向量的基本概念之一。

通常我们用向量的坐标表示式，即表示为(a1, a2, …, an)来表示一个向量。

向量的线性相关和线性无关是判定向量组是否能够表示为某些向量的线性组合的重要方法。

1. 向量的线性相关设有n个向量a1, a2, …, an。

如果存在一组不全为0的数k1, k2, …, kn，使得k1a1 + k2a2 + … + knan = 0则称向量组a1, a2, …, an线性相关。

其中，0是与原向量同维度的零向量。

通俗地说，如果一个向量能够表示为其他向量的线性组合，那么它就是线性相关的。

2. 向量的线性无关相反，如果一个向量组中的任何向量都不能表示为其余向量的线性组合，那么我们称这个向量组是线性无关的。

也就是说，如果方程：k1a1 + k2a2 + … + knan = 0只有当k1 = k2 = … = kn = 0时才成立，则称向量组a1,a2, …, an线性无关。

向量的线性相关性与线性无关性教案一、引言向量是线性代数中的重要概念之一。

在线性代数中，我们常常需要讨论向量之间的线性相关性和线性无关性。

本教案将介绍向量的线性相关性和线性无关性的概念以及判断方法。

二、线性相关性的概念当存在不全为零的实数系数使得向量的线性组合等于零向量时，这些向量称为线性相关向量。

具体而言，对于向量组${(v_1.v_2.v_n)}$，如果存在不全为零的实数系数 $c_1.c_2.c_n$，使得 $c_1v_1 + c_2v_2 +。

+ c_nv_n = \mathbf{0}$，则向量组为线性相关的。

三、线性无关性的概念相反地，如果向量组 ${(v_1.v_2.v_n)}$ 中的任何向量都无法表示为其他向量的线性组合，则该向量组为线性无关的。

换句话说，对于向量组中的任意向量 $v_i$，如果不存在实数系数$c_1.c_2.c_n$，使得 $c_1v_1 + c_2v_2 +。

+ c_nv_n = v_i$ 成立，则向量组线性无关。

四、判断线性相关性和线性无关性的方法判断向量组的线性相关性和线性无关性有以下两种方法：1.利用线性方程组的解。

对于给定的向量组，构造线性方程组$AX = \mathbf{0}$，其中 $A$ 是由向量组中的向量构成的矩阵，$X$ 是未知系数列向量。

通过求解线性方程组，可以判断向量组的线性相关性。

2.利用行列式的值。

对于给定的向量组，将向量作为列向量构成矩阵 $A$，计算矩阵的行列式 $|A|$。

如果 $|A| \neq 0$，则向量组线性无关；如果 $|A| = 0$，则向量组线性相关。

五、总结通过本教案的研究，我们了解了向量的线性相关性和线性无关性的概念以及判断方法。

线性相关性意味着向量组中的向量存在线性关系，而线性无关性则表示向量组中的向量没有线性关系。

判断线性相关性和线性无关性可以通过解线性方程组或计算行列式的值来完成。

希望本教案能够帮助同学们更好地理解和应用向量的线性相关性和线性无关性。

高等代数课程的教学方法探讨高等代数是大学数学课程中的一门重要课程，它是数学专业学生必修的一门课程，也是其他专业学生选修的一门课程。

高等代数的教学方法对于学生的学习效果有着重要的影响。

本文将探讨高等代数课程的教学方法，以期提高学生的学习兴趣和学习效果。

一、培养学生的数学思维能力高等代数是一门抽象性较强的数学课程，学生在学习过程中往往会遇到一些抽象概念和推理证明。

因此，培养学生的数学思维能力是教学的重点之一。

教师可以通过引导学生进行思维训练，培养他们的逻辑思维和抽象思维能力。

例如，在讲解概念时，可以通过举例说明，引导学生从具体到抽象，从实际问题中抽象出数学模型。

在讲解证明时，可以引导学生进行推理分析，让他们自己发现证明的思路和方法。

通过培养学生的数学思维能力，可以提高他们解决问题的能力和创新思维。

二、注重理论与实践相结合高等代数是一门理论性较强的学科，但是理论知识的学习往往需要结合实际问题进行应用。

因此，在教学中注重理论与实践相结合是非常重要的。

教师可以通过引入实际问题，将抽象的理论知识与实际问题相联系，让学生在解决实际问题的过程中理解和应用理论知识。

例如，在讲解线性方程组的解法时，可以引入实际问题，如物理问题、经济问题等，让学生通过解决实际问题来理解线性方程组的解法。

通过理论与实践相结合的教学方法，可以提高学生对理论知识的理解和应用能力。

三、激发学生的学习兴趣高等代数是一门抽象性较强的学科，学生在学习过程中往往会感到枯燥和无聊。

因此，激发学生的学习兴趣是非常重要的。

教师可以通过多种方式来激发学生的学习兴趣。

例如，可以引入一些趣味性较强的例子和问题，让学生在解决问题的过程中感受到数学的魅力。

另外，可以通过组织数学竞赛和讲座等活动，让学生在竞争和交流中提高学习兴趣。

通过激发学生的学习兴趣，可以提高他们对高等代数的学习积极性和主动性。

四、灵活运用教学方法高等代数的教学方法不应固守一种模式，教师应根据学生的实际情况和学习特点，灵活运用教学方法。

高中数学备课教案向量的线性组合与线性相关性高中数学备课教案向量的线性组合与线性相关性一、引言向量是数学中的重要概念之一，它借助矢量的方向和大小来进行描述。

在高中数学的学习中，向量的线性组合与线性相关性是非常重要的内容。

本文将从理论和实践两个方面，探讨向量的线性组合与线性相关性的概念、性质、应用以及教学方法。

二、向量的线性组合1.定义向量的线性组合是指通过对若干个向量进行数乘和向量相加的运算得到的新向量。

设有n个向量A1，A2，......，An和n个实数k1，k2，......，kn，则n个向量的线性组合为：λ1A1 + λ2A2 + ...... + λnAn其中λ1，λ2，......，λn为实数。

2.性质（1）性质1：线性组合的交换律和结合律向量的线性组合满足交换律和结合律，即改变向量的顺序或改变组合的顺序不会改变线性组合的结果。

（2）性质2：零向量的线性组合对于任意向量A，有0A=0，即零向量的线性组合仍然是零向量。

（3）性质3：线性组合的唯一表示若n个向量A1，A2，......，An的线性组合等于零向量，则对应的系数λ1，λ2，......，λn全为零。

三、向量的线性相关性1.定义若存在不全为零的实数λ1，λ2，......，λn，使得λ1A1 + λ2A2 + ...... + λnAn = 0成立，则向量组A1，A2，......，An称为线性相关的；若只有当λ1 = λ2 = ...... = λn =0时才成立，则称向量组A1，A2，......，An 线性无关。

2.判定方法（1）通过向量的定义和线性相关性的定义，可以得出判定向量组线性相关的方法，即判定n个向量组成的矩阵的行列式是否等于零。

（2）线性相关性与线性组合的关系：向量组线性相关等价于存在不全为零的线性组合等于零向量。

四、向量的线性组合与线性相关性的应用1.向量的线性组合的几何意义向量的线性组合可用于描述平面或空间中的平移、旋转、缩放等运动变换。

第四章 向量组的线性相关性1．教学目的和要求：（1）理解n 维向量、向量的线性表示的概念.（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.（3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.（4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. （5）理解线性方程组解的性质.（6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。

掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.（7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. （8）会用初等行变换求解线性方程组.2．教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3．教学难点：（1）向量组的线性相关性中相关定理的证明. （2）求向量组的秩及最大线性无关组. （3）线性方程组的解的结构定理及其应用. 4．教学内容：§1 向量组及其线性组合 定义1 n 个有次序的数n αα,,1 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n个分量,第i 个数称为第i 个分量.定义2 对n 维向量β及m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 ,使得m m k k ααβ++=11 ， 称β为m αα,,1 的线性组合,或β可由m αα,,1 线性表示．例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1133β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 试判断4β可否由321,,βββ线性表示? 解 设3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--321111110311k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135, 求得一组解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 于是有3214120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．[注] 取另一组解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 时, 有3214032ββββ++=． 定理1 向量b 能由向量组A :m a a ,,1线性表示的充分必要条件是矩阵A =),,(1m a a 的秩等于矩阵的秩B =),,,(1b a a m .定义3 设有两个向量组A :m a a ,,1 及B :l b b ,,1 , 若B 组中每个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能互相线性表示, 则称这两个向量组等价. 定理 2 向量组B :l b b ,,1 能由向量组A :m a a ,,1 线性表示的充分必要条件是矩阵A =),,(1m a a 的秩等于矩阵的秩B)(A,=),,,,,1l 1m b b a (a 的秩, 即B)R(A,R(A)=推论 向量组A :m a a ,,1与向量组B :l b b ,,1 等价的充分必要条件是B)R(A,B R R(A)==)(, 其中A 和B 是向量组A 和B 所构成的矩阵.定理 3 设向量组B :l b b ,,1能由向量组A :m a a ,,1 线性表示, 则),,(),,1m 1l a a R b R(b ≤课后作业: 习题四 1，2，3，4，5§2 向量组的线性相关性 定义4 线性相关：对n 维向量组m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 不全为0, 使得0=++11m m k k αα则称向量组m αα,,1线性相关, 否则称为线性无关．线性无关：对n 维向量组m αα,,1 , 仅当数组m k k ,,1 全为0时, 才有0=++11m m k k αα则称向量组m αα,,1线性无关, 否则称为线性相关．[注] 对于单个向量α：若0=α, 则α线性相关；若0≠α, 则α线性无关． 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性．解 设0=+++44332211ββββk k k k , 比较两端的对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0001111311053114321k k k k即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4)<A R(, 所以0=Ax有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．例3 已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．证 设0=++332211βββk k k , 则有0k k k k k k 322131=+++++321)()()(ααα因为321,,ααα线性无关, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110011101321k k k 系数行列式 02110011101≠=, 该齐次方程组只有零解．故321,,βββ线性无关．例4 判断向量组)0,,0,0,1(1 =e , )0,,0,1,0(2 =e , …, )1,0,,0,0( =n e的线性相关性．解 设 0=+++2211n n e k e k e k , 则有 ⇒0=),,,(21n k k k 只有0,,0,021===n k k k故n e e e ,,,21 线性无关.定理4（1）向量组m ααα,,,21 )2(≥m 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示．证 必要性 已知m ααα,,,21 线性相关, 则存在m k k k ,,,21 不全为零,使得0=+++2211m m k k k ααα不妨设01≠k , 则有 mm k k k kααα)()(12121-++-= ．充分性 不妨设 m m k k ααα++= 221, 则有0=+++)(221m m k k 1ααα -因为m k k ,,,)1(2 -不全为零, 所以m ααα,,,21 线性相关．（2）若向量组m ααα,,,21 线性无关, βααα,,,,21m 线性相关，则β可由m ααα,,,21 线性表示, 且表示式唯一．证 因为βαα,,,1m 线性相关, 所以存在数组k k k m ,,,1 不全为零,使得0=+++11βααk k k m m若0=k , 则有 0=++11m m k k αα ⇒0,,01==m k k ．矛盾!故0≠k , 从而有 mm k k k kααβ)()(11-++-= ．下面证明表示式唯一： 若 m m k k ααβ++= 11, m m l l ααβ++= 11则有0)l k ()l k (m m m =-++-111αα 因为m ααα,,,21 线性无关, 所以0,,011=-=-m m l k l k ⇒m m l k l k ==,,11即β的表示式唯一．（3）r αα,,1 线性相关⇒)(,,,,,11r m m r r >+αααα 线性相关．证 因为r αα,,1 线性相关, 所以存在数组r k k ,,1 不全为零, 使得0=++11r r k k αα ⇒ 0=0++0+++1+11m r r r k k αααα数组0,,0,,,1 r k k 不全为零, 故m r r αααα,,,,,11 +线性相关．推论 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关． 定理5 设m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21 ==α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A ααα 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211(1) m ααα,,,21 线性相关m A (R)<⇔； (2)m ααα,,,21 线性无关m A (R)=⇔．证 设 0=+++2211m m k k k ααα比较等式两端向量的对应分量可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00021212221212111 m mn n nm m k k k a a a a a a a a a 即 0T=x A ．由定理可得：m ααα,,,21 线性相关0T=⇔x A 有非零解m A R(T<⇔)m A R(<⇔) 推论1 在定理5中, 当n m =时, 有 (1)n ααα,,,21 线性相关0det =⇔A ；(2) n ααα,,,21 线性无关0det ≠⇔A ．推论2 在定理5中, 当n m <时, 有(1)m ααα,,,21 线性相关A ⇔中所有的m 阶子式0=m D （m A (R)<）；(2) m ααα,,,21 线性无关A ⇔中至少有一个m 阶子式0≠m D (m A (R)=)．推论3 在定理5中, 当n m >时, 必有m ααα,,,21 线性相关．因为m n A R(<≤), 由定理5(1)即得．推论4 向量组1T ：m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21 ==α向量组2T ：mi a a a a a in r i ir i i i ,,2,1,),,,,,,(1,21 ==+β若1T 线性无关, 则2T 线性无关(即无关组添加分量仍无关).证⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯m rm A ααα 21⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r m m m r r a a a a a aa a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯m n m B βββ 21⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a 1,121,222111,11111T 线性无关m A R(=⇒)A 是B 的子矩阵m A R(B R(=≥⇒)) ⇒=⇒m B R()2T 线性无关定理6 划分[]n m nm A βββααα 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯, 则有(1) A 中某个A D r ⇒≠0中“r D 所在的”r 个行向量线性无关； A 中“r D 所在的”r 个列向量线性无关． (2) A 中所有A D r ⇒=0中任意的r 个行向量线性相关； A 中任意的r 个列向量线性相关．证 只证“行的情形”：(1) 设r D 位于A 的r i i ,,1 行, 作矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯r i i nr B αα 1, 则有ri i r B αα,,rank 1 ⇒=线性无关．(2) 任取A 中r 个行, 设为r i i ,,1 行, 作矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯r i i nr B αα 1,则有ri i r B R(αα,,)1 ⇒<线性相关．[注] 称m ααα,,,21 为A 的行向量组, n βββ,,,21 为A 的列向量组．§3 向量组的秩定义5 向量组的秩：设向量组为A , 若(1) 在A 中有r 个向量r ααα,,,21 线性无关；(2) 在A 中任意1+r 个向量线性相关（如果有1+r 个向量的话）．称r ααα,,,21 为向量组为A 的一个最大线性无关组, 称r 为向量组A 的秩, 记作：秩r A =)(．[注] (1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．(2) 秩r A =)(时, A 中任意r 个线性无关的向量都是A 的一个最大无关组．例如,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011α, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102α, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113α, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=224α 的秩为2． 21,αα线性无关21,αα⇒是一个最大无关组31,αα线性无关31,αα⇒是一个最大无关组 [注] 一个向量组的最大无关组一般不是唯一的.定理7 设1=)R(×≥r A n m , 则(1) A 的行向量组（列向量组）的秩为r ；(2) A 中某个A D r ⇒≠0中r D 所在的r 个行向量（列向量）是 A 的行向量组（列向量组）的最大无关组．证 只证“行的情形”： A r A (R)⇒=中某个0≠r D , 而A 中所有01=+r D 由定理6A ⇒中r D 所在的r 个行向量线性无关 A 中任意的1+r 个行向量线性相关由定义：A 的行向量组的秩为r , 且A 中r D 所在的r 个行向量是 A 的向量组的最大无关组．例5 向量组A ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2011β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0232β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1123β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5324β 求A 的一个最大无关组．解 构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=510231202231求得⇒=2)A R(秩2=)(A矩阵A 中位于1,2行1,2列的二阶子式0≠2=2031故21,ββ是A 的一个最大无关组．[注] A 为行向量组时, 可以按行构造矩阵． 定理8n m n m B A ⨯⨯,(1) 若B A 行→, 则“A 的k c c ,,1列”线性相关（线性无关）⇔“B 的k c c ,,1 列”线性相关（线性无关）；(2) 若B A 列→, 则“A 的k r r ,,1行”线性相关（线性无关）⇔“B 的k r r ,,1 行”线性相关（线性无关）．证 (1) 划分[]n n m A ααα 21=⨯, []n n m B βββ 21=⨯由B A 行→可得[][]kk c c c c ββαα11行→故方程组[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011k c c x x kαα与方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011k c c x x kββ同解．于是有kcc αα,,1线性相关⇔存在k x x ,,1 不全为0, 使得011=++k c k c x x αα ⇔存在kx x ,,1 不全为0, 使得011=++k c k c x x ββkc c ββ,,1⇔线性相关同理可证(2)．[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵B ,当阶梯形 矩阵B 的秩为r 时, B 的非零行中第一个非零元素所在的r 个列 向量是线性无关的．定义6 等价向量组：设向量组r T ααα,,,:211 , s T βββ,,,:212若),,2,1(r i i =α可由s βββ,,,21 线性表示, 称1T 可由2T 线性表示；若1T 与2T 可以互相线性表示, 称1T 与2T 等价． (1) 自反性：1T 与1T 等价(2) 对称性：1T 与2T 等价⇒2T 与1T 等价 (3) 传递性：1T 与2T 等价, 2T 与3T等价⇒1T 与3T 等价定理9 向量组与它的最大无关组等价．证 设向量组T 的秩为r , T 的一个最大无关组为r T ααα,,,:211 ． (1) 1T 中的向量都是T 中的向量⇒1T 可由T 线性表示； (2) 任意T ∈α, 当1T ∈α时, α可由1T 线性表示；当1T ∉α时, αααα,,,,21r 线性相关, 而r ααα,,,21 线性无关 则α可由1T 线性表示．故T 可由1T 线性表示． 因此, T 与1T 等价．推论 向量组的任意两个最大无关组等价．定理10 向量组r T ααα,,,:211 , 向量组s T βββ,,,:212 ．若1T 线性无关, 且1T 可由2T 线性表示, 则s r ≤． 证 不妨设i α与j β都是列向量, 考虑向量组s r T βββααα,,,,,,,:2121易见, 秩≥)(T 秩r T ≥)(1．构造矩阵[]s r A ββαα 11=因为1T 可由2T 线性表示, 所以[]s A ββ 100列→s A ≤⇒rank 于是可得 ≤r 秩s A R(T ≤=))(．推论1 若1T 可由2T 线性表示, 则 秩≤)(1T 秩)(2T ．证 设 秩r T =)(1, 且1T 的最大无关组为r αα,,1 ；秩s T =)(2, 且2T 的最大无关组为s ββ,,1, 则有1T 可由2T 线性表示⇒r αα,,1 可由2T 线性表示⇒r αα,,1 可由s ββ,,1 线性表示⇒ s r ≤ （定理10）推论2 设向量组1T 与2T 等价, 则 秩=)(1T 秩)(2T ．[注] 由“秩=)(1T 秩)(2T ”不能推出“1T 与2T 等价”！ 正确的结论是：⇒⎭⎬⎫=)()(2121T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价 ⇒⎭⎬⎫=)()(2112T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价例6 设l m A ⨯,n l B ⨯, 则 )A R()AB R(≤, )B R()AB R(≤．证 设()l m ij a A ⨯=,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=l b b B 1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==m c c C AB 1Δ, 则 ),,2,1(11m i b a b a c l il i i=++=即m c c ,,1可由l b b ,,1 线性表示, 故 )(R )R(B C ≤．根据上述结果可得)))))A R(A R(A B R(C R(C R(TT T T =≤==§4 线性方程组解的结构⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21齐次方程组 0=Ax非齐次方程组 b Ax = (0≠b )结论 (1) [][]d Cb A行→ , b Ax =与d Cx =同解．(2) 0=Ax 有非零解n A <⇔rank ．(3) b Ax =有解A A ~rank rank =⇔．(4) 设r R(R(==)~)A A , 则 n r=时, b Ax =有唯一解；n r <时, b Ax =有无穷多解． 定义7 (1) 0=Ax 的解空间: 解集合 {}n x Ax xS R ,0∈==S y x Ay Ax y x A S y x ∈+⇒=+=+∈∀0)(,, S x k Ax k x k A k S x ∈⇒==∈∀∈∀0)()(,R , 故S 构成向量空间, 称为0=Ax 的解空间．(2) 0=Ax 的基础解系不妨设0=Ax 的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===----=----=----=-++-++-++-++r n nr r r n rn r r r r r r n n r r r n n r r k x k x k x k b k b k b x k b k bk b x k b k b k b x 221122,11,222,211,22122,111,11 (R ,,,21∈∀-r n k k k )依次令 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100,,010,00121 r n k k k可求得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=++0011,1,11 r r r b b ξ, ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=++0102,2,12 r r r b b ξ, …, ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-1001 rn n r n b b ξ 因为 (1) r n -ξξξ,,,21 线性无关(2) S x ∈∀, r n r n k k k x --+++=ξξξ 2211所以r n -ξξξ,,,21 是解空间S 的一个基, 称为0=Ax 的基础解系．例7 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=201124310221A , 求0=Ax 的一个基础解系． 解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000022104201行A , 同解方程组为⎩⎨⎧+-=-=4324312242x x x x x x依次取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,0143x x , 可求得基础解系为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01221ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10242ξ (3) b Ax =解的结构① b A =1η, b A =2ηS A ∈-⇒=-⇒21210)(ηηηη②b A =1η, 0=ξA ξηξη+⇒=+⇒11)(b A 是b Ax =的解设0=Ax 的一个基础解系为 r n -ξξξ,,,21b Ax =的特解为*η, 一般解为η, 则有⇒∈-*S ηηr n r n k k k --*+++=-ξξξηη 2211 ⇒r n r n k k k --*++++=ξξξηη 2211 (R ∈∀i k ) 例8 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=201124310221A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=465b , 求b Ax =的通解． 解[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000001221034201420116243150221行b A 同解方程组为 ⎩⎨⎧+-=-+=432431221423x x x x x x0=Ax 基础解系：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01221ξ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10242ξ；b Ax =特解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=*0013ηb Ax =通解：2211ξξηηk k ++=*(R ,21∈∀k k )例9 设2=)3×3A R(, )0(≠=b b Ax 的3个解321,,ηηη满足⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+20221ηη, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+11331ηη, 求b Ax =的通解． 解 0=⇒2=)Ax A R(的基础解系中含有123=-个解向量 因为0)]()[(3121=+-+ηηηηA所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+-+=111)()(3121ηηηηξ 是0=Ax 的基础解系 又b A =+)](21[21ηη⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+=*101)(2121ηηη是bAx =的特解故b Ax =的通解为)R (∈∀+=*k k x ξη．例10 设)<(=)×n r r A R(n n , r n -ηηη,,,10 是)0(≠=b b Ax 的解, 证明：001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系⇔r n -ηηη,,,10 线性无关．证 (1)必要性 设数组r n k k k -,,,10 使得 01100=+++--r n r n k k k ηηη 左乘A , 利用b A i =η可得 0)(10=+++-b k k k r n因为0≠b , 所以 )(01010r n r n k k k k k k --++-=⇒=+++由此可得 0)()(0011=-++---ηηηηr n r n k k因为001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系, 所以线性无关, 从而有00,,001=⇒==-k k k r n故r n -ηηη,,,10 线性无关．(2)充分性 000)(ηηηη-⇒=-i i A 是0=Ax 的解向量设数组r n k k -,,1 使得 0)()(0011=-++---ηηηηr n r n k k则0)(1101=+++++----r n r n r n k k k k ηηη 因为r n -ηηη,,,10 线性无关, 所以只有0)(1=++--r n k k , 0,,01==-r n k k 故向量组001,,ηηηη---r n 线性无关．因此 001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系．§5 向量空间定义8 (1) 向量空间：设V 是具有某些共同性质的n 维向量的集合, 若 对任意的V ∈βα,, 有V ∈+βα； （加法封闭） 对任意的V ∈α, R ∈k , 有V k ∈α． （数乘封闭） 称集合V 为向量空间．例如}R ),,,,({R 21∈==i n n x x ξξξξ 是向量空间}R ),,,,0({20∈==i n x x V ξξξ 是向量空间 }),,,,1({21R x xV i n ∈==ξξξ 不是向量空间12)0,,0,0(),,,1(0V n ∉=⋅ ξξ, 即数乘运算不封闭．例11 给定n 维向量组)1(,,1≥m m αα , 验证}R ,{11∈++==i m m k k k V αααα是向量空间．称之为由向量组m αα,,1生成的向量空间, 记作),,(1m L αα证 设V ∈βα,, 则m m k k ααα++= 11, m m t t ααβ++= 11, 于是有V t k t k m m m ∈++++=+ααβα)()(111V k k k k k m m ∈++=ααα)()(11 R)(∈∀k由定义知, V 是向量空间．(2) 子空间：设1V 和2V 都是向量空间, 且21V V ⊂, 称1V 为2V 的子空间． 例如 前面例子中的0V 是n R 的子空间．(3) 向量空间的基与维数：设向量空间V , 若 ① V 中有r 个向量r αα,,1 线性无关； ② V ∈∀α可由r αα,,1 线性表示．称r αα,,1 为V 的一组基, 称r 为V 的维数, 记作r V =dim 或者rV ．[注] 零空间}0{没有基, 规定0=}0{dim． 由条件(2)可得：V 中任意1+r 个向量线性相关．（自证） 若r V =dim , 则V 中任意r 个线性无关的向量都可作为V 的基． 例12 设向量空间V 的基为r αα,,1 , 则),,(1r L V αα =． 证 V ∈∀αL k k r r ∈++=⇒ααα 11L V ⊂⇒ L ∈∀αV k k r r ∈++=⇒ααα 11V L ⊂⇒(4) 向量在基下的坐标：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 对于V ∈∀α,表示式r r x x ααα++= 11唯一, 称T),,(1r x x 为α在 基r αα,,1 下的坐标（列向量）．例13 设向量空间3V 的基为T )1,1,1,1(1=α, T)1,1,1,1(2-=α, T )1,1,1,1(3--=α求T)1,1,2,1(=α在该基下的坐标．解 设332211ααααx x x ++=, 比较等式两端的对应分量可得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1121111111111111321x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000211002101010011111111121111111 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21211321x x x [注] α是4维向量, α在3V 的基321,,ααα下的坐标为3维列向量．。