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15.耐克函数【教师版】(正式版)

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高中特殊函数(取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)

高中特殊函数(取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)

专题1 对勾函数、双刀函数题型1对勾函数(因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。

)双刀函数对勾函数：一般式：y = ax + -(x^O)(a% b>0)Q性质：x①定义域：xe R,xW。

②奇偶性：奇函数；③单调区间：单调递增区间,、因+sj ,单调递减区间：双刀函数：一般式：y = ax + -(x^O)(a %〃异号),性质：x①定义域：xeR,xW。

;②奇偶性：奇函数；③单调区间：当〃>0、〃<0时，在(―s,O)(O, + s)单调递增；当〃<0、〃:>0时，在(―s,O)(O,+8)单调递减；1 .函数y = — 的图象大致是 ( )【解析】等价于分段函数：)，= <"r ,选。

jU>l)2 .已知函数/(x)=llgxl,若4 H 〃且/(") = /(〃)，则4+〃的取值范围是 【解析】v f(a) = f(b) ,舍去)或,必=1 , .,.4 + b = 4 + 1 >24.函数/(x)=— 的最大值为 ______________x + \ 【解析】/(X)= ―,分母最小值为2，则最大值为:6+不一5…、厂-4x + 55.已知x 2 —,则 /(x)=——■— ___________2 2x-4【解析】/(x) = -(x-2 + —),由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是12 x-249 .(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xQv 中，P 是曲线y = x +—(x>0)上的一个动点，则点P 到直 x线X+产0的距离的最小值是 o方法二：y =1 —二=一1 ,得切点卜反3夜)，贝!14面=4 厂 10 .(2020年新课标全国卷U10)设函数/(工)=/一］，则“X)()X人是奇函数，且在(0,+8)单调递增 8.是奇函数，且在(0,+8)单调递减【解析】选A4方法一：设P X,X + — X，则2x + -x>4°C 是偶函数，且在(0,+8)单调递增D 是偶函数，且在(0,+8)单调递减专题2 取整函数与小数函数、绝对值函数、狄克莱克函数、符号函弟题型1取整函数与小数函数。

基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)

基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)

基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。

【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。

（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。

对勾函数

对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。

中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。

名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。

也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。

奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。

单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。

7.耐克函数(教师版)

7.耐克函数(教师版)

解: 函数的定义域为 R, 令 x 2 + 4 = t (t ≥ 2) , 则 x 2 + 5 = t 2 + 1 , 代入得:
t2 +1 1 y= = t + (t ≥ 2) , t t
1 由耐克函数性质, y = t + 在 [2, +∞) 上单调递增, t
1
高三第一轮复习
耐克函数
当 t = 2 时, ymin =
y
y=x y= x + a x
(2) 奇偶性: 奇函数; (3) 单调性: 在 (−∞,0) 与 (0, +∞) 上分别单调递增; (4) 值域与最值: 值域为 R, 无最值.
O
−a
x
【基础训练】
1. 函数 y= x +
1 (−∞, −2] ∪ [2, +∞) 的值域是________________; x 1 [3, +∞) 2. 函数 y = x+ ( x > 1) 的值域是____________; x −1 5 x2 + 5 [ , +∞) 的值域是_____________; 3. 函数 y = 2 x2 + 4
x1 , x2 ∈ [−
2 2 , ] ⇒ 2 x1 x2 ∈ [−1,1) ⇒ 1 − 2 x1 x2 > 0 , 2 2 2 2 2 2 时, f max = ; 当x= , f min = − . 2 2 2 2
2
因此 f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 , 即原函数单调递减. (2)由(1), 当 x = −
若 c =1, 则 f = ( x)
= t c − 1 > 0 时则是耐克函数. 在 c − 1 > 0 时, 又要分最小值点

耐克函数

耐克函数

我的名字叫对勾函数，因为长得像“NIKE”，所以大家给我一个亲切的名字，“耐克”函数。

我的解析式是y=ax+b/x（a>0，b>0)，我的图像可不像一般的函数哦~它是这样的~（告诉你个秘密，它是无限接近与纵坐标的哦~）
大家看到我的图像应该有点想法的吧，没错，我是个奇函数哦~还有哦~我也是有单调性的！！！想知道怎么求吗？！你猜呀，猜对就告诉你。

好吧，不傲娇了，看到那两个钩子的最低点了不，一个是x=√b/a，另一个就是x=-√b/a。

令k=√(b/a），那么，增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

那大家现在应该知道怎么求最值问题了吧~ 对了哦~知道怎么求出来这两个点的横坐标的不？！用基本不等式啊！！！！！！
高一（二）江悦健7。

双勾函数

双勾函数
轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规
则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重
要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到
标准的双曲线方程。也就是说，对勾
2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果
常数a&gt;0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞）上是增函数．
⑴如果函数 y=x+（2^b)/x （x&gt;0）的值域为 [6,+∞），求b 的值；
⑵研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c &gt;0）在定义域内的单调性，并说明理由；
当x&lt;0,-x&gt;0
f(x)=-(-x-1/x)
&lt;=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1，有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
证明函数f(x)=ax+b/x,(a&gt;0,b&gt;0）在x&gt;0上的单调性
设x1，x2∈（0，+∝）且x1&gt;x2
∴f(x1）-f(x2）&lt;0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减
∴ 当x∈（√（b/a），+∞）时，x1x2&gt;b/a， 则ax1x2-b&gt;b-b=0
∴f(x1）-f(x2）&gt;0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。

基本不等式—最值—对勾函数-耐克函数(学案 附答案)

基本不等式—最值—对勾函数-耐克函数(学案 附答案)

基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。

【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。

（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。

初高中数学衔接课程教案14-耐克函数

初高中数学衔接课程教案14-耐克函数

（4）值域： (,2 ab) (2 ab,)
二、典型例题
例 1、如果函数 y kx2k
2
k 2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
解析：有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y 又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值 答案：由反比例函数的定义，得：
k 0） ⑵反比例函数的图像是双曲线，y （ k 为常数， 中自变量 x 0 ， 函数值 y 0 ，
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不 与坐标轴相交． ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ） ． ⑷反比例函数 y
k o ko
可求出 k ）
5．反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函 数y
k 中的两个变量必成反比例关系． x
7．反比例函数的应用 2、耐克函数 在高中数学学习中，我们常常会碰到形如 y ax
b (a 0, b 0) 的函数，我们称这样的函 x
数为“耐克函数”，它是一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜 明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问 题中有着广泛的应用． 我们都知道，(a b) 0 ， 展开就是 a 2 b 2 2ab 0 ， 有 a 2 b 2 2ab ， 当且仅当 a b
初高中数学衔接课程教案 14 耐克函数 一、知识点梳理 1、反比例函数 1. 定义：一般地，形如 y 以写成 y kx
1
k k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数． y 还可 x x

对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)

对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)

对勾函数的性质及应用一、概念：【题型1】函数()(0,0)af x x a k =+>≠【例1】函数1()f x x =+的值域为【例2】函数3()x f x x +=+的值域为【题型2】函数()(0)ax bx cf x ac ++=>。

【例3】函数1()x x f x ++=的值域为【题型3】函数2()(0,0)axf x a b =≠>。

【例4】函数2()1xf x x =+的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15222≥+=【例5】如2214xa x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是(1,2)x ∈4y x x =+1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx cf x a ++=≠.【例6】已知1x >-，求函数710()1x x f x x ++=+的最小值。

，1x >-，7101x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299()x x f x +-=的最大值。

，1x <，2991x x +--的最大【题型5】函数2()(0)x mf x a +=≠ 【例8】求函数21()2x f x x x -=++在区间(1,)+∞上的最大值。

【例9】求函数2223()x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。

【例10】求函数()f x =的最小值。

类型九：函数2()0)f x a>。

【例12】求函数2()f x=的最小值。

【解析】由题可知，函数22()f x===2t=，则1()()f xg t tt==+，显然在[)2,+∞上单调递增，故min15()(2)222g t g==+=，此时0x=，故函数2()f x=的最小值为52。

【例13】求函数()f x=的值域.。

“耐 克” 函数及其性质

“耐 克” 函数及其性质

克” 函数1()f x x x=+及其性质 “耐 对于函数()f x x =和1()f x x =来说，大家并不陌生，掌握的也不错。

但对于函数1()f x x x=+来说，看起来简单，掌握就不那么容易了,其图象形如“耐克”商标，由此得名“耐克”函数。

下面我们就研究其函数1()f x x x=+的一些性质（定义域，值域，图像，对称性，单调性，奇偶性） （1）定义域：()()x -,00,∈∞+∞（2）奇偶性:首先函数定义域关于原点对称，又11f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)-x x,故f(x)为奇函数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3） 图像如下：图像为双曲线，分两支；中心对称图形，以直线y x =和0x =为渐近线，在第一象限形状就是个“耐克”的形状。

（4）值域：1）当x>0时:10x >利用均值定11()2 2.f x x x x x =+≥⋅=当且1x x=即1x =时，等号成立； ()2f x ∴≥2）当0x <时: 10,0x x->->,利用均值定理: 11()()2 2.f x f x x x x x -=-=-+≥-⋅=-- 当且仅当1x x-=-即1x =-时，等号成立。

()2f x ∴≤- 综上知，函数()f x 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).（5）单调性：由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故只研究当x ﹥0时的单调性：1)定义法：任取()12,0,x x ∈+∞且12x x < 则令()()()()()212121212121212121211111()111A f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭210x x >>21210,0x x x x ∴->>只有211x x -正负不定，故只要限定12,x x 在某个范围内取值即可，因此有：01当121x x ≤<时，2110x x ->，此时0A >.02当1201x x <<<时，211x x <,此时0A <.由上可知，函数在 (0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.又由函数在对称区间上单调性相同知，f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.2)导数法：1()f x x x =+'21()1f x x∴=-则当()(),11,x ∈-∞-+∞时，'21()10f x x=-> 当()()1,00,1x ∈-时，'21()10f x x=-<,故函数在(-∞,-1)和[1,+∞)上单调递增.在(-∞,-1]和(0,1)上单调递减.同样可研究其他函数： 1.函数1()f x x x=-的性质：（1）定义域：()()x -,00,∈∞+∞（2）奇偶性:定义域关于原点对称,又()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭,故f(x)为奇函数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3）图像如下：图像亦为双曲线，以直线以直线y x =和0x =为渐近线。

nike函数

nike函数

y
y =x +
a
x
y=x
上是减函数； 在 0 , a 上是减函数； a , +∞ 上是增函数 a 时， y min = 2 a
2 a
( 在[
]
)
当x =
O
a
x
求下列函数的最小值 求下列函数的最小值
2 x ∈ (0,1] （2 ） y = x + x 2 y y x+
=
x
y=x 2 2
2 ( 2) ∵ y = x + x 在(0,1]上是减函数 ∴ 当x = 1时, ymin = 3
+2
y
y= x
x
x ∈ [1,+∞ ) ，
在 [1,+∞ ) 上是增函数， 上是增函数，
其图象如图所示， 其图象如图所示 ，
3 当 x = 1 时， gmin ( x ) = 2 7 f min ( x ) = 2
O 2 1 2
x
2 例 2. 判断 y = 2 x + x 并指出它的单调区间
1 的单调性， x ∈ [ ,3]的单调性， 2
2 x ∈ (0,1] （2 ） y = x + x
2 ( 2) ∵ x > 0, > 0 x 2 ∴x+ ≥ 2 2 x 2 x = ⇔ x = ± 2 ∉ (0,1] x ∴ ymin ≠ 2 2
a y = x + 的图象 x
2 研究 y = x + 的图象 x
y
l
y =x+
2 x
1.定义域是( −∞ ,0) ∪ (0,+∞ )
C( x , x + B ( x, x )

耐克函数

耐克函数

观察耐克函数
y x 1 x
对勾函数的图像与性质：
定义域：
值域：
奇偶性：奇函数，函数图像整，即
图像在一、三象限, 当时，（当且仅当取等号）， 即在x=时，取最小值 由奇函数性质知：当 x<0时，在x=时，取最大值单调性：增区间为 （），（）,减区间是（0，），（,0）
耐克函数
耐克NIKE这个名字，英文原意指希腊胜 利女神。在西方人的眼光里很是吉利，而 且易读易记，能叫得很响。
耐克商标，图案是个小钩子，象征着希腊 胜利女神翅膀的羽毛，代表着速度，同时 也代表着动感和轻柔。造型简洁有力，急 如闪电，一看就让人想到使用耐克体育用 品后所产生的速度和爆发力。
函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和 方法贯穿整个高中数学的全过程。
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数， 类似于反比例函数。
对勾函数由图像得名，又被称为“双勾函数”、 “勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”等。 因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐 克函数”或“耐克曲线”，是形如f(x)=ax+b/x （a,b ≠0）的函数。本节课我们结合图像，运用 数形结合的思想方法来研究简单的对勾函数的性 质。

耐克函数的图象及性质

耐克函数的图象及性质

研究耐克函数的极限行为，以及其在不同极限情况下的 表现。
深入研究耐克函数的数学性质，如可积性、对称性等， 以深入了解其内在规律。
THANKS
感谢观看
凸函数
当$n > 0$时，耐克函数为凸函数，即函数图像的任意两点连 线的上凸。
拐点
• 无拐点：由于耐克函数的单调性和凹凸性由参数$n$决定， 因此不存在拐点。
04
耐克函数的应用
在经济学中的应用
描述价格与需求量之间的 关系
耐克函数可以用来描述商品价格与需求量之 间的关系，当价格上涨时，需求量减少，表 现出一种负相关的关系。
由于耐克函数具有周期性，因 此其图象会无限重复。
耐克函数图象的特点
耐克函数的图象具有非线性性质， 即函数的输出值与输入值不成正
比关系。
耐克函数的图象具有奇偶对称性， 即对于任意实数x，都有f(-x)=-
f(x)。
耐克函数的图象在某些区间内是 单调递增或单调递减的，这取决
于sin(x)的相位和振幅。
03
耐克函数的性质
单调性
单调递增
当$x < 0$时，$y = nx$，其中$n > 0$，函数值随着$x$的增大而增大。
单调递减
当$x > 0$时，$y = nx$，其中$n < 0$，函数值随着$x$的增大而减小。
凹凸性
凹函数
当$n < 0$时，耐克函数为凹函数，即函数图像的任意两点连 线的下凸。
社会学
耐克函数可以用来描述社会现象 中变量之间的关系，例如人口数 量与经济发展水平之间的关系。
医学
耐克函数可以用来描述医学领域 中变量之间的关系，例如药物浓 度与疗效之间的关系。

耐克函数

耐克函数
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样： ，前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数（例：a，b，c的几何平均数是 ），总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
2、另外一种方法，用导数法也可以研究耐克函数的性质。这里不叙述。
耐克函数图像耐克官网耐克官方网站专卖店耐克折扣店nike函数耐克官方旗舰店耐克运动鞋耐克论坛耐克鞋耐克板鞋
耐克函数
耐克函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的耐克函数，是形如 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。耐克函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对号函数、（对）勾函数，也叫均值函数。
上述研究都是建立在 的基础上的，易知耐克函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。
知识点归纳概括
耐克函数 ；
当 时， ,有最大值
单调性：①函数 在区间 ；
②函数 在区间 。
当 时， 有最小值（这里为了研究方便，规定 ），也就是当 的时候，同时它是奇函数，就可以推导出 时的性质。
1、耐克函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道， ，展开就是 ，有 ，两边同时加上 ，整理得到 ，同时开根号，就得到了平均值定理的公式： 。
现在把 套用这个公式，得到 ，这里有个规定：当且仅当 时取到最小值，解出 ，对应的 。

“耐 克” 函数及其性质

“耐 克” 函数及其性质

x
x
x
f (x) 2 综上知，函数 f (x) 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
（5）单调性：由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故只研究当 x﹥0 时的单调性：
1
1)定义法：任取 x1, x2 0, 且 x1 x2 则令
A
f
(x2 )
f
x1
x2
1 x2
x1
20 当 0 x1 x2 1 时， x2 x1 1,此时 A 0 .
由上可知，函数在 (0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.又由函数在对称区间上单调性相同知，f(x) 在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
2)导数法： f (x) x 1 x
f
' ( x)
1
1 x2
2） 当
n为 奇 数 时 ， 当
x0时 ，
axn
0,
b xn
0，
则
利
用
均
值
不
等
式
，
3
f (x) axn b 2 axn b 2 ab 当且仅当 axn b 即 x 2n b 时等号成立，
xn
xn
xn
a
故 f (x) 2 ab 又当 n 为奇数时 f (x) 为奇函数，而奇函数在对称区间上的值域相反，所以当 x 0
则当
x
,
1
1,
时，
f
' ( x)
1
1 x2
0
当
x 1, 0 0,1 时，
f
' ( x)
1
1 x2
0 ,故函数在(-∞,-1)和[1,+∞)上

类耐克函数的性质

类耐克函数的性质

函数性质（1）一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)= -f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论（好像有些抽象了>，<）研究（y=x+a/x，a不为0）（ps：a=0时，即是y=x，x不为零的函数）当a<0时，y=x+a/x, 定义域为x不为0，是奇函数，关于原点对称，它是由一个正比例函数加上一个反比例函数构成的：y=y1+y2, y1=x,a当x>0时，这是一个递增函数；y2=a/x，a<0,当x>0时，图象在第二四象限的一条双曲线，也是递增的，两个递增函数相加，仍为增函数，b当x>0时，图象与x轴的交点：x+a/x=0, (x^2+a)/x=0, 所以分子x^2+a=0, x^2=-a, x=√（-a), 所以在x>0部分是一条递增的曲线，且过点（√（-a)，0），当x<0时，可以作关于原点的对称图形)1,0-(]0,1由此猜想：对于函数m m y x x =+，当m 为奇数时函数定义域D 为 ()(),00,x ∈-∝⋃+∝、值域Y ：(][),22,y ∈-∝-⋃+∝、 函数为奇函数，当(],1x ∈-∝-和[)1,+∝时单调递增；当[)1,0x ∈-和(]0,1时单调递减。

一次分式型“耐克”函数

一次分式型“耐克”函数

课题1：一次分式型函数、“耐克”函数 ● 教学目标：掌握一次分式型函数的定义、图像和性质，常见的分式型符合函数的性质和运算技巧； 掌握赖克函数的定义、图像和性质，常见与赖克函数相符合函数的性质和运算技巧；● 教学重点：图像和性质● 教学难点：性质的灵活运用● 教学过程一、一次分式型函数：1、定义：形如cx d b y x ax b a +⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭的函数，称为一次分式型函数； 2、图像：先分离常数：2d bc c a a y ba x a-=++，再由相应的反比例函数2''d bc a a y x -=平移而得到。

3（1c a ⎫≠⎬⎭（2,b a ⎛-∞- ⎝,b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（3）对称性：关于',b c O a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称； （4）渐近线：直线b x a =-，c y a=是曲线的两条渐近线； 4、典型例题：例1、已知函数()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++的值。

例2、已知函数()221x f x x =+，求()111(1)(2)(3)2010()()()232010f f f f f f f +++++++++L L 的值。

答案：120092。

二、“耐克”函数：1、两个重要不等式：重要不等式１：22,,2a b R a b ab ∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号）重要不等式2：,,a b R a b +∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号）图一：20d bc a a -> 图二：20d bc a a-<2、定义：形如()0b y ax x x =+≠的函数，称为“耐克”函数； 3、图像： ①当00a b >⎧⎨>⎩时，如图：① ②当00a b <⎧⎨<⎩时，如图：②③当00a b >⎧⎨<⎩时，如图：③ ④当00a b <⎧⎨>⎩时，如图：④4、性质：（1）定义域：{}0x x ≠； 值域：当00a b >⎧⎨>⎩，或00a b <⎧⎨<⎩时，值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ； 当00a b <⎧⎨>⎩，或00a b >⎧⎨<⎩时，值域为(),-∞+∞。

耐克函数的图象及性质PPT课件

耐克函数的图象及性质PPT课件

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2019/7/20
函数 f x x a 的图像及应用
x
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像.
y
2
1
01
x
2
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
0 11 42
x
区间 最大值是 最小值是

1 4
,
1 2

f 1 4
f 1 2
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
01
3
x
4
区间

11 44
,,312
最大值是 最小值是
f 1 4
ff 11 2
问题1. 画出函数
f (x) x 1 x
的图像
y
2 1 3
01
4
3
x
区间
最大值是
最小值是
142,,313
F t t 12 3 t 2 2t 4 t 4 2
t
t
ห้องสมุดไป่ตู้
t
令
gt


t

4 t
，则它的定义域为 1,
a 1 ，值域为4,5
y
y
y
5
5
5
4
4
4
1 a1
0
2
4
1
a 1 4
1
x
0
2
x
0
2
4 a 1
x
2 a 1 4
y

对勾函数的性质

对勾函数的性质

对勾函数的图象及其性质对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。

所谓的对勾函数，是形如())0(>+=a xa x x f 的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。

一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名对勾函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。

也被形象称为“耐克函数”问题1：已知函数()x x x f 1+=， （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的单调性和奇偶性； （3）求该函数的值域； （4） 画出该函数的图像。

问题2：由函数()x x x f 1+=的图像性质类比出函数())0(>+=a xa x x f 的性质。

1、定义域：{}0≠x x 2、值域： (][)+∞-∞-,22,a a ， 在正数部分仅当x=a 取最小值2a ，在负数部分仅当x=a -取最大值-2a3、奇偶性：奇函数，关于原点对称4、单调区间： (]a -∞-,单调递增 [a -,0)] 单调递减 (0, a ] 单调递减 [a ，+∞) 单调递增问题3：如果函数()xx x f b2+=在(]4,0上单调递减，在[)+∞,4上单调递增，求实数b 的值。

问题4：当()xa x x f +=中的条件变为0<a 时，单调性怎样？ 例1、求函数()x x x f 3+=在下列条件下的值域。

（1）()()+∞∞-,00, ； （2）()2,0； （3）(]2,3--； （4）(]2,1；例2 、函数())0(>+=a xa x x f 在区间[])0(,>m n m 取得最大值6，取得最小值2，那么此函数在区间[]m n --,上是否存在最值？请说明理由。

例3、求下列函数的值域。

（1）1)(2+=x x x f （2）x x x x f 23)(2++= （3）15)(-+=x x x f 练习：1、已知函数1)(+=x x x f ，求该函数的定义域、值域，判断单调性和奇偶性，并画出图像； 2、求函数33)(22+-=x x x f 的值域； 3、 求函数13)(+=x x f 在]5,2[上的最大值和最小值。

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函数 ay x x=+的图像与性质 教师版(正式版)【课前预习】一、知识梳理1.函数(0)ay x a x=+>的图像与性质函数(0)ay x a x=+>在区间(0,)+∞上的图像如右图所示.主要性质如下:(1)定义域: (,0)(0,)-∞⋃+∞; (2)奇偶性: 奇函数;(3)单调性:在区间，上单调递减,在区间),(,+∞-∞上单调递增; (4)值域: (,[2,)a -∞-+∞.2.函数(0)ay x a x =+<的图像与性质函数(0)ay x a x=+<在区间(0,)+∞上的图像如右图所示.主要性质如下:(1)定义域: (,0)(0,)-∞+∞; (2)奇偶性: 奇函数;单调性: 在区间(,0)-∞以及(0,)+∞上分别单调递增; (3)值域: (,)-∞+∞.二、基础练习 1.函数1y x x=+的值域是_____________________. 2.函数1(1)1y x x x =+>-的值域是_______________. 3.函数1(1)1y x x x =->-的值域是_______________. 4.函数2y x x =-([1,2))x ∈的值域是 . 5.函数2y x x=+([1,2))x ∈(,2][2,)-∞-⋃+∞[3,)+∞R [1,1)-6.函数2y =________________. 解: 函数的定义域为R, 令t =则[2,)t ∈+∞, 且2251x t +=+, 代入得:211(2)t y t t t t+==+≥,由耐克函数性质, 1y t t =+在[2,)+∞上单调递增,当2t =时, min 52y =, 因此值域为5[,)2+∞.7.设函数(0)c y x c x=+≠在[2,)+∞上单调递增, 则实数c 的取值范围是________________. 解: 若0c >, 则0x >时, 函数的的单调区间是)+∞, 24c ≤⇔≤;若0c <, 则cy x x=+在(0,)+∞上单调递增, 于是在[2,)+∞上单调递增, 符合题意, 综上所述, c 的取值范围是(,0)(0,4]-∞⋃.8.若关于x 的方程2210x ax -+=在[3,)+∞有解, 则实数a 的取值范围是 .【例题解析】例1.求下列函数的值域. (1)2225x y x x -=-+; 解: 函数的定义域为R;令2t x =-, 则R t ∈, 且2(2)525t ty y t t t t =⇒=++++, 当0t =时, 0y =, 即0是函数值;当0t ≠时, 152y t t=++, 当0t >时, 522,)t t ++∈+∞, 当0t <时, 52(,2]t t++∈-∞-,综上所述, 值域为. (2)2sin 1sin 1y x x =-+-.解: 定义域为π{|2π, Z}2x x k k ≠+∈,令sin 1t x =-, 则20t -≤<, 且2, [2,0)y t t t =+∈-, 由基本不等式: 22()y t t t t=+=---≤-等号成立t ⇔=函数的值域为(,-∞-. 例2.函数()2af x x x=-的定义域为(0,1]． (1)当1a =-时,求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 在定义域上是减函数,求实数a 的取值范围；5[,)2+∞(,0)(0,4]-∞⋃19[,)3a ∈+∞(3)当0a <时,求函数()f x 的最小值．解(1)1()2f x x x=+≥当且仅当2x =时等号成立. (2)当0a ≥时()f x 是增函数,因此0a <.2()22()a af x x x x x --=+=+在上是减函数,1≥,即2a ≤-.(3)1≤,20a -≤<,则当x =()f x取最小值1>,2a <-,则当1x =时()f x 取最小值2a -.例3.设函数()1g x =, 函数1(), (3,]3h x x a x =∈-+, 其中a 为常数, 且0a >. 令()f x 为函数()g x 和()h x 的积函数.(1)求函数()f x 的表达式, 并求出其定义域; (2)当14a =时, 求函数()f x 的值域; (3)是否存在自然数a , 使得函数()f x 的值域恰为11[,]32? 若存在, 试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合; 若不存在, 说明理由. (1)解: ()[0,]f x x a =∈. (2)解:令1t =,则11t ≤≤, 且2(1)x t =-,代入得21, 114(1)32t y y t t t t=⇒=≤≤-++-,当14a =时, 3[1,]2t ∈,由基本不等式, 422222t t+-≥⋅-=, 等号成立2t ⇔=, 由此42y t t =+-在3[1,]2上单调递减, 其值域为13[,3]6,因此函数1() [0,]4f x x =∈的值域为16[,]313. (3)解: 即42y t t =+-的值域为4[2,3], 11y t t t⇔=+≤≤的值域为[4,5],由4224y t t=+≥⋅=, 等号成立2t ⇔=,12≥; 最大值应在区间端点处取得,当1t =时, 5y =; 当4t =时, 5y =, 由函数在[2,)+∞上单调递增,可知14≤,解不等式组214≤≤得19a ≤≤,结合N a ∈, 得其组成集合为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.【巩固练习】1.函数113, [,2]4y x x x =+∈的值域是_______________.2.函数21, [3,4]x y x x-=∈的值域是______________. 3.已知函数11([,))2y x x a x =+∈的值域为[2,)b ，则实数a 的取值范围是 .2a >4.设函数1y ax x =+在区间(0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .14a ≤ 5.已知当(0,)x ∈+∞时，函数1y x x=+的图像总在直线y kx =的上方，则实数k 的取值范围是 .6.已知函数22()1xf x x =+, 试判断()f x 的单调区间, 并用定义加以证明. 解: 在[1,1]-上递增, 在(,1]-∞-和[1,)+∞上分别递减;证:任取12x x < 1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 因此121x x ≤<时, 12()()0f x f x ->;121x x <≤-时, 12()()0f x f x ->;1211x x -≤<≤时, 12()()0f x f x -< 证毕7.已知函数2()f x x ax b =++(a , b 为实常数), ()()f x g x x=, ()g x 在(0,2]上是减函数, 求b 的取值范围. 解: 即()()f x bg x x a x x==++在(0,2]上是减函数, 任取1202x x <<≤, 211212121212()()()()()()x x b x x b bf x f x x a x a x x x x ---=++-++=, 由12210, 0x x x x >->, 且12()()0f x f x ->, 得不等式12b x x >对于任意1202x x <<≤恒成立, 因为对于任意1202x x <<≤都有124x x <,所以当4b ≥时, 12b x x >对于任意1202x x <<≤恒成立. 8.求下列函数的值域. (1)221623y x x =++; 解: 函数的定义域为R,815[,]3413]21k ≤2222161622(3)633y x x x x =+=++-++66≥=,等号成立222(3)83x x ⇔+=⇔+= 上述方程无解,因此当2330x x +=⇔=时, min 163y =, 因此函数的值域为16[,)3+∞.(2)2512, [4,8]2x x y x x -+=∈-;解: 令2t x =-, 则26t ≤≤, 且2x t =+; 2(2)5(2)12t t y t +-++=, 26611t t y t t t-+⇒==+-≥,等号成立t ⇔=当2t =时, 4y =; 当6t =时, 6y =;因此函数的值域为1,6]. (3)121log log , (1,4]2x y x x =+∈;解: 令12log t x =, 则20t -≤<,1, 20y t t t=+-≤<,1()2y t t=---≤-, 等号成立1t ⇔=-,因此函数的值域为(,2]-∞-.(4)13, [2,0]1y x x x =-+∈-- 解: 由函数11y x =-与3y x =-+在[2,0]-递减, 当2x =-时, max 143y =; 当0x =时, min 2y =; 因此函数的值域为14[2,]3.9.对于区间D 上有定义的函数()f x 和()g x , 如果对于任意D x ∈, 都有()()1()10f xg x f x -≤, 那么称函数()f x 在区间D 上可被函数()g x 替代.(1)求证:函数()f x =在区间[4,16]上可被一次函数1()(6)5g x x =+替代;(2)试问函数2y x =在区间[1,2]上是否可被常数函数y c =替代? 说明理由.(1)证明:()()5()f xg x f x -===-,55≥,等号成立x ⇔=因此函数5y =-在[4,16]上单调递增,其值域为[0,5],因此()()15[0,]()10f xg x f x --∈, 即()()1()10f x g x f x -≤, 证毕. (2)解: 若存在常数c , 使得2221110x c c x x -=-≤在[1,2]上恒成立, 即21111010c x -≤-≤, 由221191010c x c x -≤⇔≤在[1,2]上恒成立185c ⇒≥, 由2211111010c x c x -≤-⇔≥在[1,2]上恒成立1110c ⇒≤, 综上所述, 不存在这样的c .10.某工厂统计资料显示, 已知产品的次品率p 与日产量x (N x ∈, 且0100x <≤)之间的关系如下表所示:已知生产一件正品盈利a 元, 生产一件次品亏损(0)3aa >元.(1)求该厂的日盈利额y 关于日产量x 的函数关系; (2)求最大盈利时, 该厂的日产量. (1)解: 由表可知1(0100, N)108p x x x=<≤∈-,4(1)(0100, N)33(108)a x y p x a px a x x x x ⎡⎤∴=-⋅-⋅=⋅-<≤∈⎢⎥-⎣⎦; (2)解: 令108t x =-, 则8108, N t t ≤<∈,4(108)11441256108109()[109212]3333t y a t a t a a t t -⎡⎤⎡⎤=⋅--=⋅-+≤⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,当号成立1296t x ⇔=⇔=,即当日生产量为96时, 利润最大.【提高练习】11.具有性质:1()()f f x x=-的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数：①1y x x =-. ②1y x x =+. ③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是( B ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．只有①12.给出一个不等式:2R)x ≥∈, 试问对于哪些正实数c , 不等式对于任意R x ∈恒成立?解:考察函数2y ==,令t =则t ≥设5(), f t t t t=+≥即求c 的取值范围,使()f t f ==在)+∞上恒成立,也即函数min ()f x f =, 由此可知, 5()f t t t =+在)+∞上单调递增,由耐克函数性质, 5()f t t t=+在)+∞5c ⇔≥.。