初中数学中将军饮马模型变式及教法探讨

将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC ， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5． 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A′，连接A′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP =.在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP =．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.模型2/角与定点1．已知，40MON °?，P 为MON Ð内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：OBAP(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB Ð等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°， ∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F ∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ONE2．如图，四边形中ABCD ，110BAD °?,90B D °??，在BC 、CD 上分别找 一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC++最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．xy (1，3)(3，1)OB 'BA 'AD C4．如图，20MON°?，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA =，4OB =，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB ++ 的最小值是多少？ONMAB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA '中，∴1OD =，3A D '= ∴413B D '=-=，23A B ''= ∴AQ PQ PB ++的最小值是23．模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.将A向右平移d个单位到A′，作A′关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，在l1、l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．解答：如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"ABl2l1A′NMABl2l1BAlM NA′A"BAld设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1， ∴点E 的坐标为(1，0). ∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25， ∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．112．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.AB l 2l 1。

将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具,最短距离是题眼）.所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称.而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。

一旦出现可以快速联想到将军饮马问题,然后利用轴对称解题.1。

将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题"原题:如图，一位将军,从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A，B，在L上求一点P,使得PA+PB值最小。

一般做法：作点 A(B）关于直线的对称点，连接 A'B，A'B 与直线交点即为所求点。

A'B即为最短距离。

理由:A'为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。

所以PA+PB=PA’+PB。

这样问题就化成了求 A'到 B 的最短距离，直接相连就可以了.例一:某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。

已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米,BB1=1千米,且A1B1=4千米.（1)如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短?最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短?此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线,一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A,在直线K 上找一点M,在直线L 上找一点P,使得AP+PB 值最小.模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P,在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短(题 眼）。

将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

初三复习专题 最短路径问题——将军饮马班级: 姓名：将军饮马问题=最短距离问题=轴对称问题一、基本模型（2条线段和最小）：1、如图，在定直线l 的同侧有两定点A,B,在直线l 上求作点P ，使PA+PB 最小。

二、模型变型（3条线段和最小） 2、如图，点P 是∠MON 内的一定点，分别在OM 、ON 上作点A 、B ，使△PAB 的周长最小。

【例1】如图，∠M O N =45°，P 是∠M O N 内一点，PO=10，A ,B 分别是O M 、O N 上的动点，则△ABP 周长的最小值为 。

【方法归纳：】1、作图的一般步骤是：①② ③ 2、计算最短线段长度的方法： 【例2】、已知抛物线2(1)4y x =--+交x 轴于A(-1,0)、B （3,0）两点，交y 轴于点D （0，3），又已知点E （2,3），点F （0，1）。

点G 为对称轴PQ 上一动点，试问在x 轴上是否存在一点H ，使D,G,H,F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由。

ON三、模型再变型（线段+点到线距离之和最小）3、如图，点P 是∠MON 内的一定点，在射线OM 、ON 上 分别找两个点A 、B ，使PA+AB 最小。

【例3】、如图2，菱形ABCD 中，AB=10，∠B=135°，E 是AB 上一动点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ．【变式】、已知直线1l 和2l 交于M 点，夹角为30°，点A 在1l 上且AM=10，P 是2l 上一动点，则P 点到A 点的距离与1l 的距离之和的最小值为 。

四、将军饮马+平移模型4、如图，已知有两个定点A 、B ，在定直线l 有两个动点P 、Q ，且PQ 长度不变，求作点P 、Q 使得AP+PQ+BQ 最小。

（A 、B 异侧） （A 、B 同侧）【例4】、如图，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A 处和B 处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

初中几何模型—将军饮马模型分析让我们先来了解“将军饮马”这个故事。

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军A从出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

下面我们来看看数学家是怎样解决的。

海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题。

根据公理：连接两点的所有线中，线段最短。

若A、B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求。

若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。

将军饮海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线，现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即12轴对称思想。

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

将军饮马的数学问题，考察的知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．模型1：直线与两定点模型作法结论lBA当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使P A＋PB最小．lPAB连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．P A＋PB的最小值为ABlAB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得P A＋PB最小．lPB'AB作点B关于直线l的对称点B'，P A＋PB的最小值为AB'。

《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。

２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀将军饮马 模型在初中数学中的迁移运用◉贵州省毕节市威宁县哈喇河中学㊀杨徐梦㊀㊀«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»指出:学生经历数学观察㊁数学思考㊁数学表达㊁概括归纳㊁迁移应用等学习过程,发展数学核心素养．数学的学习除了基本概念㊁原理㊁法则㊁性质等内容的掌握,更要会用所学知识解决数学问题．这就要培养学生的知识迁移应用能力． 将军饮马 模型在数学中的应用,就是利用两点之间,线段最短 这一简单的原理解决生活和学习中的许多数学问题．模型的迁移应用可以把复杂的问题简单化,抽象的问题具体化．通过建立联系,形成规律,从而准确地解决数学问题．１将军饮马 情境再现图１唐朝诗人李颀的诗«古从军行»开头两句说: 白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河． 诗中隐含着一个非常有趣的数学问题．这首诗中将军骑马观望烽火之后从山脚下的A 点(如图１)出发,骑马到河边饮马后再到B 点宿营,要怎样走才能使所走的总路程最短．２将军饮马 模型图２如图２,把宿营地和山脚出发点看作两个点A ,B ,把河流看作直线a ,即在直线a 同侧有两个定点A ,B ,在直线a 上找一点C ,使A C ＋B C 的值最小．如果点A ,B 在直线a 的异侧,利用公理 两点之间线段最短 就可以解决．下面利用两个模型进行探究学习．模型一: 异侧两定一动 模型．已知:定点A ,B 在定直线l 的两侧．要求:在直线l 上找一点P ,使P A ＋P B 的值最小．分析:连接A B ,交直线l 于点P ,点P 即为所求点．线段A B 的长度即为P A ＋P B 的最小值．理由: 两点之间线段最短 ,可以利用 三角形两边之和大于第三边 来证明．如图３,在直线l 上任取一点P ᶄ(点P ᶄ与点P 不重合),连接A P ᶄ,B P ᶄ．图３因为在әA B P ᶄ中,A P ᶄ＋B P ᶄ＞A B ,即A P ᶄ＋B P ᶄ＞A P ＋B P ,所以当P 为直线A B 与直线l 的交点时,P A ＋P B 的值最小．模型二: 同侧两定一动 模型．已知:定点A 和定点B 在定直线a 的同侧．要求:在直线a 上找一点P ,使P A ＋P B 的值最小(或әA B P 的周长最小)．图４分析:此问题的关键是要把同侧两定 转化成 异侧两定 ,这样就可以利用模型一来解决．而要实现等距离迁移,就不难想到利用对称来解决．所以可以作点B 关于直线a 的对称点B ᶄ,如图４,连接A B ᶄ,交直线a 于点P ,则点P 就是所要找的点．理由:因为P B ᶄ＝P B ,所以可得P A ＋P B ＝P A ＋P B ᶄ＝A B ᶄ．３将军饮马 模型的迁移应用３．１在方案设计题中的迁移应用例１㊀在河流C D 的同侧有两个村庄A ,B ,A 村庄到河流的距离A C ＝１０k m ,B 村庄到河流的距离B D ＝３０k m ,且CD ＝３０k m ．现在打算在河边建一个自来水厂,向A 和B 两个村庄供水,铺设水管的费用为３万元/k m ,要使铺设水管的费用最省,请你在河流C D 上选择水厂的位置M ,并求出铺设水管的总费用?分析:A ,B 两定点在直线C D 的同侧,M 是一个动点,所以此题属于 同侧两定一动 模型．图５解:如图５所示,作点B 关于直线C D 的对称点B ᶄ,连接A B ᶄ,交C D 于点M ,则AM ＋B M ＝AM ＋B ᶄM ＝A B ᶄ,此时水厂建在点M 时,费用最小．如图５,在R t әA B ᶄE 中,A E ＝A C ＋C E ＝１０＋３０＝４０,EB ᶄ＝３０．由勾股定理,得A B ᶄ＝３０２＋４０２＝５０．所以总费用为５０ˑ３＝１５０(万元)．９５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀３．２在代数类题中的迁移应用图６例２㊀如图６,P 为线段A B 上一动点,分别过点A ,B作A C ʅA B ,E B ʅA B ,连接P C ,P E ,已知A C ＝４,B E ＝２,A B ＝８,设B P ＝x ．(１)用含x 的代数式表示P C ＋P E 的长;(２)点P 满足什么条件时,P C ＋P E 的值最小?(３)根据(２)中的规律和结论,请构图求出代数式x ２＋１＋(４－x )２＋４的最小值．分析:(１)由B P ＝x ,知A P ＝８－x ,则可由勾股定理分别求得P C 与P E 的长度,进而表示出P C ＋P E 的长．(２)属于 同侧两定一动 模型,通过作对称,利用两点之间线段最短的原理就可以解决．作点E 关于A B 的对称点E ᶄ,连接C E ᶄ,交A B 于点P ,此时C ,P ,E 三点共线,P C ＋P E 的值最小．(３)根据(２)中的规律可知,首先画一条线B D ＝４,分别过B ,D 作B D 的垂线,使得A B ＝２,D E ＝１,连接A E ,交B D 于点C ,此时A ,C ,E 三点共线,A C ＋C E ＝A E 的值最小．解:(１)由B P ＝x ,得A P ＝８－x ．所以由勾股定理,可得P C ＝(８－x )２＋１６,P E ＝x ２＋４．故P C ＋P E ＝(８－x )２＋１６＋x ２＋４．(２)如图７,作E 关于A B 的对称点E ᶄ,连接C E ᶄ,交A B 于点P ,此时C ,P ,E 三点共线,P C ＋P E 的值最小．由对称可知P E ᶄ＝P E ,则P C ＋P E ＝P C ＋P E ᶄ＝C E ᶄ．在R tәC D E ᶄ中,C E ᶄ＝６２＋８２＝１０．所以P C ＋P E 的最小值是１０．图７㊀㊀图８(３)构造图８,设C D ＝x ,则C E ＝x ２＋１,A C ＝(４－x )２＋４,所以x ２＋１＋(４－x )２＋４的最小值即A C ＋C E 的最小值,也就是线段A E 的长度．在R t әA E F 中,由勾股定理,得A E ＝３２＋４２＝５．故代数式x ２＋１＋(４－x )２＋４的最小值是５．３．３在图形类题中的迁移应用例３㊀在әA B C 中,A C ＝B C ＝６,øA C B ＝９０ʎ,F 是B C 边的中点,D 是A B 边上一动点,求C D ＋D F的最小值．分析:两个定点C 和F 在线段A B 的同侧,动点是D ,符合 同侧两定一动 模型．通过作一个定点的对称点,转化成 异侧两定一动 模型．图９解:如图９,作点C 关于直线A B 的对称点C ᶄ,连接F C ᶄ,交A B于点D ,则线段F C ᶄ的长度就是C D ＋D F 的最小值．在R t әB F C ᶄ中,B F ＝３,B C ＝B C ᶄ＝６,根据勾股定理,可得F C ᶄ＝３２＋６２＝３５．所以C D ＋D F 的最小值为３５．３．４在函数类题中的迁移应用图１０例４㊀如图１０,抛物线y ＝１２x ２＋b x －２与x 轴交于M ,N 两点,与y 轴交于点A ,且M (－１,０)．(１)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标;(２)判断әAMN 的形状,并证明你的结论;(３)P (m ,０)是x 轴上的一个动点,当P A ＋P B的值最小时,求m 的值．分析:(１)(２)略．(３)从图中可以看出两个定点A 和B 在x 轴的同侧,动点P 在x 轴上,属于 同侧两定一动 模型．解:(１)顶点B 的坐标为(３２,－２５８)．(过程略)(２)әAMN 是直角三角形．(过程略)(３)作点A 关于x 轴的对称点A ᶄ,连接A ᶄB ,与x 轴交于点P ,此时P A ＋P B 最小,最小值就是A ᶄB 的长度．设直线A ᶄB 的解析式为y ＝k x ＋b ,将A ᶄ(０,２),B(３２,－２５８)代入,可得b ＝２,k ＝－４１１２．将点P (m ,０)代入y ＝４１１２x ＋２,得m ＝２４４１．对于 将军饮马 模型类问题,利用轴对称变换,通过化曲为直,把折线路径转化为两点间距离,根据两点之间,线段最短 求出线段之和或三角形周长最小值,可利用两边之和大于第三边作简单证明．此类问题的解题步骤为:(１)选择模型;(２)作对称;(３)定交点;(４)连路径．Z０６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

将军饮马专题一、问题引入“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

二、问题描述如图所示，将军要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走，能使得路程最短？三、问题转化将现实问题转化为数学模型。

如图所示，将军位于A处，要带马去河边P处喝水，之后返回军营B处，问：P点定在哪里，才能使得路程最短？四、问题简化如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？如何解决这个问题呢？五、基础模型讲解【问题描述】如图，在直线l上求一点P，使P A+PB值最小．【解决方法】连接AB，与l交点即为P.【数学原理】两点之间线段最短．六、问题分析原问题不同于基础模型，难点在于A点、B点在同侧，P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，那能否利用我们学过的知识，将折线段转化为直线段？转化为基础模型？再利用“两点之间，线段最短”得到答案。

七、问题解决作点A关于直线的对称点A，，连接PA，，则PA，=PA，所以PA+PB=PA，+PB当A，、P、B三点共线的时候，PA，+PB=A，B，此时为最小值（两点之间线段最短）同理也可以作点B关于直线的对称点B，。

八、思路概述作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段。

将军饮马问题可以抽离成具有：两个定点、一条定直线、一个动点的问题。

解决这类问题可以将两个定点中的一个（例如上图中的A或B）关于定直线对称，再将另一个定点与得到的对称点连接，与定直线的交点即为取得最小值的位置。

九、模型应用1、如图，A、B两个村子在河的同侧，A、B两村到河边CD的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km。

现要在河边CD上建一水厂向A，B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/km。

(1)请你在河边CD上作出水厂位置O，使铺设水管的费用最省；(2)求出铺设水管的总费用。

2019年第22期教育教学4SCIENCE FANS 近年来，随着社会经济的进步，我国的教育事业正在经历一场深刻的变革[1]。

在中考数学命题中，结合了几何图形、函数与动点，全面考察学生运用知识的能力，逻辑思维能力、思维发散能力等综合性大题越发受到命题者的青睐。

就笔者所在的成都市而言，自2008年至2018年，每年中考数学试卷压轴大题无一例外均是这一类型的题目。

在福建省[2]、浙江省[3]、湖北省[4]等多地的中考命题中，也将这一类型的题目作为考察学生综合运用知识，分析探索问题的重要手段。

而在诸多类型的动点问题中，将军饮马模型因其多变性而考频极高。

尽管将军饮马模型的思想可以巧妙地结合于函数图像和几何图形之中，产生多种变形情况，同时其特征明显，易于识别归纳，求解思路相通。

因此，学生只要能够掌握将军饮马模型的基础模型以及其主要的变形形式，便可轻松识别并解答该类题目。

1 基础模型将军饮马问题最早源于古罗马：将军每日需从军营A 出发，先到河水l处让马饮水，后去位于河对岸的军营B，那么将军在何处饮马才能使路程最短（图1①）？在此问题中，由于两点之间线段最短，则线段AB与直线l的交点'M 即为最佳的饮马位置（图1②）。

此时将军需要走过的路程即为A、B军营之间的距离。

图1 将军饮马基础模型一而若A、B军营的位置发生变化，由位于河水l两侧变为同侧时，问题则转变为在直线l的同一侧有定点A、B，在直线l上有动点M，求M运动到何处时，AM+BM有最小值（图2①）？图2 将军饮马基础模型二由于线段AB不再与直线l相交，无法直接使用两点间线段最短的知识解决问题，此时需要引导学生对比图1与图2的异同，设法将A、B位于河水同侧的未知情况转化为A、B位于河水异侧的已知情况进行求解。

而二者之间转化的方法即为对称：通过作A点关于直线l的对称点'A （图2②），由于'AM A M =，则可将AM+BM的值转化为'A M BM +的值。

将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；解题思路】找对称点，实现折转直、将军饮马问题常见模型1. 两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l 上找一个动点P ，使动点P 到两个定点A 与B 的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB ，与直线l 的交点Q，Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点Q 处，PA+PB 最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

证明：连接AB ，与直线l 的交点Q，P为直线l 上任意一点，在⊿PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB（当且仅当PQ 重合时取﹦）例 2：在定直线 l 上找一个动点 P ，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，作法：作定点 B 关于定直线 l 的对称点 C ，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点， 即当动点P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC.原理： 两点之间，线段最短 证明：连接AC ，与直线 l 的交点 Q ，P 为直线 l 上任意一点， 在⊿PAC 中，由三角形三边关系可知： AP+PC ≧ AC （当且仅当 PQ 重合时取﹦ ） 2. 两动一定型 例 3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C ，使得△ BAC 周作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A '，作点 A 关于 ON 的对称点 A ''，连接 A ' A '，'与 OM 交于点B ，与 ON 交于点C ，连接 AB ，AC ，△ ABC 即为所求．原理：两点之间，线段最短长最短．即 PA+PB 的和最小 .关键：找对称点例4：在∠ MON 的内部有点A 和点B，在OM 上找一点C ，在ON 上找一点D ，使得四边形ABCD 周长最短．作法：作点A 关于OM 的对称点A'，作点B 关于ON 的对称点B'，连接A' B，'与OM 交于点C，与ON 交于点D，连接AC，BD，AB ，四边形ABCD 即为所求．原理：两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例5：已知A 、B 是两个定点，点M 位于动点N左侧），使AM+MN+NB 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移在定直线l 上找两个动点M 与N，且MN 长度等于定长d（动的值最小.作法一：将点A 向右平移长度d 得到点A'，作A'关于直线l 的对称点A''，连接A''B，交直线l 于点N，将点N 向左平移长度d，得到点M 。

“将军饮马”模型问题转化
一、问题一：如图1，点P在直线上的什么位置时PA+PB最小？
由“两点之间，线段最短”。

易知当A、P、B三点共线时。

PA+PB最短。

图1
二、问题二：如图2，点P在直线l上的什么位置PA+PB最小呢？
图2
联想问题一，我们只要将PA或PB转移到直线的另一侧。

即使PA、PB分别位于直线的两侧。

则问题就转化为问题一的情况。

(如图3)利用对称性即可实现转化。

图3
问题二就是典型的“将军饮马”模型。

从以上两个问题，我们应从中体会到转化的数学思想。

“将军饮马”模型的特征：“两定一动一直线”。

“两定”是指两个定点A、B；”一动“是指一个动点P；”一直线“是指动点所在的直线l.
三、“将军饮马”的变式
1.变式一：“两动一定两直线”
图4
2.变式二：“两定两动两直线”
图5
四、问题解决：
解决问题的思想方法是转化思想。

设法将其转化为将军饮马的模型。

因此转化是关键。

下面就以上两个例题作如下分析：
1.例题1.如图6，
图6
2.例题2 (1)如图7，构造全等。

图7
图8
解答过程略。