2019江苏高考压轴题(中篇)专题03.07 数列中的代数推理问题~

江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集，集合则═ ．12{}345U＝，，，，134{}}35{A B＝，，，＝，，UA B⋂（）ð2．已知是虚数单位，若，则＝ ．i12i a i a R+∈（﹣)(）＝，a3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 ．5．已知函数，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝ ．22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ．7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f 2π（）的值为　　． 76π8．已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 2212x y C m ：-＝的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R）与函数g （x 实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则AB ＝的最小值是 ．|PA PB |+ 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝，∠ABC 的平分线交AC 23π于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ． 13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，，E n （n ∈N）为AC 上一列点，且满2BD DC = 足：，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则11414n n n n n E A E D E a B a +=+ （﹣）﹣5111a -+++…+＝ ． 211a -311a -11n a -14．已知函数，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x 2910(1)e ,023x x x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ；（2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知 12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),（1）求的值；22sin αβ（﹣）（2）求的值．cos α17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，2π假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）用a ，θ表示S 和T ；（2）设f （θ）＝，试求f （θ）的最大值P ； T S18.(本小题满分16分) 已知椭圆，短轴长为． 22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM ，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R（1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）；（Ⅱ）若集合A ＝2，4，8，…，2n ，求证：； (1)()2n n l A -=（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ l A （）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{ 2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长． D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．。

从近几年高考试卷中悟出江苏卷的命题特点和走势。

本篇重点介绍数列背景的压轴题。

一、试题命制情况分析：近几年高考，江苏对数列问题的考查情况如下：二、预测：江苏高考对于数列填空题除了18 年出现了新定义问题之外（窃以为本题作为高考压轴填空题并不十分妥当），其他基本都以考察等差数列和等比数列为主。

江苏高考解答题对数列的考查，近几年中除 2013 ， 2017 年为第 19 题，其余的年份都是第 20 题，扮演压轴题的角色，考生如能正确解答，说明数学思维能力非常强。

该题可以区分考生的数学水平的层次。

以等差等比数列的定义、通项、求和等基础知识为载体，综合考查集合、函数、方程、不等式等，突出考查代数推理、转化与化归、分类讨论及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，数学语言表达能力全部得到考查。

问题的形式有计算、证明、探索性问题、存在性问题，试题的面貌每年都很新颖，不泛新定义问题，考察学生的对定义的理解能力。

作为压轴题，数列题通常不仅考查等差数列和等比数列的通项公式求和等基础知识，还要考查代数推理论证、转化与化归、分类讨论等思想方法，以及综合运用数学知识探究和解决问题的能力，体现了数学的选拔功能，本题江苏省均分一般都非常低，以 2016 年为例，省均分为2.82 分，难度系数为 0.18。

今年高考数列题仍将作为压轴题，以等差数列和等比数列为载体，在考查通项公式和前项和公式等基础知识的基础上，仍将综合“集合，函数，方程，不等式”等知识块，进一步考查学生代数推理论证能力，可能为新定义问题，可能从高等数学中找原型改编成高考题，这对数学优秀生都是相当大的挑战，也是整个试卷的“制高点”。

三、必要的世界观与方法论：对于三角函数与解三角形问题，我们一定要把握以下重要的世界观和方法论。

这里我们着重讨论数列压轴解答题。

世界观：世界上一切事物都不是孤立存在的，而是和周围其他事物相互联系着的，整个世界就是一个普遍联系着的有机整体。

专题03.08--数列与函数的交汇性问题一、问题概述函数是高中数学的重要内容，贯穿于整个高中数学的各个章节，数列本质上就是一个离散型的函数，数列一章的知识点必须与函数密切相连，才能获得知识的升华，近年来高考数学常常出现两类数列与函数知识相结合的试题：一类问题是根据函数表达式定义的数列，研究该数列的性质（例1），另一类问题是通过研究函数的单调性等研究数列单调性（例2，例3）或其他问题 二、释疑拓展1．【常州市2018届高三第一学期期末调研.19题】已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n ∈N ．数列{}n b满足n b =(*)n ∈N ．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，tb （*,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．2．【江苏2018年高考.20题】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设10a =，11b =，2q =，若1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若110a b =>，*m ∈N，(q ∈，证明：存在d ∈R ，使得1n n a b b -≤对2n =，3，，1m 均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．3．【无锡市2014届高三第一学期期末调研.19题】在正数数列中，Sn 为的前n 项和，若点在函数的图象上，其中c 为正常数，且c ≠1．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；（3）若存在一个等差数列，对任意，都有成立，求的通项公式及c 的值．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南京、盐城、徐州2015届高三二模.20题】给定一个数列{a n }，在这个数列里，任取m (m ≥3，m ∈N *)项，并且不改变它们在数列{a n }中的先后次序，得到的数列称为数列{a n }的一个m 阶子数列．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋a (n ∈N*，a 为常数)，等差数列a 2，a 3，a 6是数列{a n }的一个3阶子数列． （1）求a 的值；（2）等差数列b 1，b 2，…，b m 是{a n }的一个m (m ≥3，m ∈N *) 阶子数列，且b 1＝1k (k 为常数，k ∈N*，k ≥2)，求证：m ≤k ＋1；（3）等比数列c 1，c 2，…，c m 是{a n }的一个m (m ≥3，m ∈N *) 阶子数列，求证：c 1＋c 2＋…＋c m ≤2－12m －1．2．【江苏省2015年高考.20题】设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由．3．【南京、盐城2018届高三一模.19题】设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2≥n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得r n a m n -≥.对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，211(1)(2)(1)2(1)n n n n n S nS n S n S n ++++-=+-+++， 即21(1)(22)(1)2(1)n n n n S n S n S n +++=+-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+．在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+． 综上，对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列． 又1a a =，则22n a n a =-+．方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n n S S n n +=++，又11S a a ==，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-． 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式， 故22n a n a =-+(*)n ∈N ，故对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列． （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<+≤． 考察函数1y x x=+(1)x >，因为2221110x y x x -'=-=>， 所以1y x x=+在(1,)+∞上递增．因此1422(2)n n e e a a <+++≤，从而n b =． 因为对任意的*n ∈N ，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n ∈N都有n c ∈，明显0q >． 若1q >，当1l o g qn +≥有111n n n c c q --=>合题意，舍去；若01q <<，当1log qn +≥111n n n c c q --=，不符合题意，舍去；故1q =．2、【解】20．【答案】（1）d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，证明见解析．【解析】（1）由条件知：()1n a n d =-，12n n b -=． 因为1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立， 即()1121n n d ---≤对1n =，2，3，4均成立， 即11≤，13d ≤≤，325d ≤≤，739d ≤≤，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由条件知：()11n a b n d =+-，11n n b b q -=． 若存在d ，使得1n n a b b -≤（2n =，3，，1m +）成立， 即()11111n b n d b q b -+--≤（2n =，3，，1m +），即当2n =，3，，1m +时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2n =，3，，1m +均成立． 因此，取0d =时，1n n a b b -≤对2n =，3，，1m +均成立．下面讨论数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值和数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值（2n =，3，，1m +）．①当2n m ≤≤时，()()()1112222111n n nn n n n n n q q q q q nq q nq n n n n n n -----+----+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而()120n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭单调递增，故数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值为2m q m -． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，()()ln 21ln 220x f x x =--<'， 所以()f x 单调递减，从而()()01f x f <=．当2n m ≤≤时，()111112111nn n q q n n f q n n n n --⎛⎫⎛⎫=≤-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，故数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．四、巩固训练1．【解】：（1）因为a 2，a 3，a 6成等差数列，所以a 2－a 3＝a 3－a 6． 又因为a 2＝12＋a ，a 3＝13＋a ， a 6＝16＋a，代入得12＋a －13＋a ＝13＋a －16＋a ，解得a ＝0． …………… 3分（2）设等差数列b 1，b 2，…，b m 的公差为d ． 因为b 1＝1k ，所以b 2≤1k ＋1，从而d ＝b 2－b 1≤1k ＋1－1k ＝－1k (k ＋1)． ……………… 6分 所以b m ＝b 1＋(m －1)d ≤1k －m －1k (k ＋1)．又因为b m ＞0，所以1k －m －1k (k ＋1)＞0．即m －1＜k ＋1． 所以m ＜k ＋2．又因为m ，k ∈N *，所以m ≤k ＋1． …………… 9分 （3）设c 1＝1t (t ∈N *)，等比数列c 1，c 2，…，c m 的公比为q ．因为c 2≤1t ＋1，所以q ＝c 2c 1≤tt ＋1．从而c n ＝c 1qn －1≤1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋1n －1（1≤n ≤m ，n ∈N *）． 所以c 1＋c 2＋…＋c m ≤1t ＋1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋11＋1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋12＋…＋1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋1m －1＝t ＋1t [1－⎝⎛⎭⎫t t ＋1m ]＝t ＋1t －⎝⎛⎭⎫t t ＋1m －1． ………… 13分设函数f (x )＝x －1xm －1，（m ≥3，m ∈N*）．当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝x －1x m －1为单调增函数．因为当t ∈N *，所以1＜t ＋1t ≤2． 所以f (t ＋1t )≤2－12m －1．即 c 1＋c 2＋…＋c m ≤2－12m －1． ……… 16分2、【解】（1）∵43212,2,2,2a a a a 皆不为0，且d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=∴d a a a a a a 2222222342312=== ∴43212,2,2,2a a a a 依次成等比数列，首项为12a ，公比为2d（2）假设存在a1，d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列则可得⎪⎩⎪⎨⎧==44226333142a a a a a a ，即()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+2113131141322d a d a d a d a a d a化简可得()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=032322121212113d d a a dd a a a d ，所以12a d = 所以得到0=d （与0≠d 矛盾），所以不存在3．【解】：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得r n m n -≥-12.，即12.--≥n m n r 对任意*n N ∈都成立， 则12.7--≥n m n ，所以127--≥n n m 对任意*n N ∈都成立.………………8分令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2≥T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立…………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分。

专题02.01--函数的有关性质一、问题概述此类问题主要考查函数的奇偶性、单调性、对称性、最值（值域）等方面的内容，题型有以下几种：（1）利用导数探究函数的单调性、极值、最值等性质（例题1）（2）判断函数的奇偶性、单调性，可以利用定义法和导数法处理（例题2） （3）利用函数的单调性求函数的值域、证明不等式等（例题3） 二、释疑拓展1．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研.19题】设函数2()(2ln )xf x x e k x x -=--（k 为实常数，e ＝2.71828 是自然对数的底数）. （1）当k ＝1时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()f x 在区间内（0，4）存在三个极值点，求k 的取值范围．2．【镇江市2014届高三第一学期期末调研.19题】已知实数R k ∈，且0≠k ，e 为自然对数的底数，函数1)(+⋅=x x e e k x f ，x x f x g -=)()(．（1）如果函数)(x g 在R 上为减函数，求k 的取值范围；（2）如果]4,0(∈k ，求证：方程0)(=x g 有且有一个根0x x =；且当0x x >时，有))((x f f x >成立；（3）定义：①对于闭区间],[t s ，称差值s t -为区间],[t s 的长度；②对于函数)(x g ，如果对任意D t s x x ⊆∈],[,21（D 为函数)(x g 的定义域），记)()(12x g x g h -=，h 的最大值称为函数)(x g 在区间],[t s 上的“身高”．问：如果]4,0(∈k ，函数)(x g 在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？3．【南京市2017届高三9月学情调研20题】 已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【常州市2018届高三第一学期期末调研.20题】 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数．（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．2．【苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（二）.18题】已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．3．【镇江市2016届高三第一学期期末调研.20题】 已知函数f (x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2a ＋1]e x . （1）求函数f(x )的单调区间；（2）设x >0，2a ∈[3，m ＋1]，f (x )≥b 2a－1e 1a 恒成立，求正数b 的范围．参考答案 二、释疑拓展 名师分析： （1）求导得()()()232e x x x f x x--'=（0x >）. 然后令0)(='x f ，显然x ＝2为其一解，但e x-x 2＝0是否有正解?解又是什么呢？当我们无法解出来时，往往可能无解，可以想到证明e x >x 2（因为e x 增长比x 2快，故为大于）要证明这个不等式，构造函数一次求导不太好处理时，可以尝试取对数的变形，即证明：x >2lnx ，构造函数，利用导数法不难证得，从而确定x ＝2为唯一极值点，进而求得最值． （2）函数有三个极值点，转化为0)(='x f 有三个解，x ＝2为一解，则方程02=-kx e x在（0,2）∪（2,4）内有两个交点，求导研究函数2xe y x=的单调性和图像，这里难点是要严格论证，取一个值)4()1(g eg >，结合单调性和图像就能确定k 的取值范围． 1、【解】（1）由函数()()()2e 2ln 0xf x x x x x=-->，可得()()()232e x x x f x x --'=. 因为当0x >时，2e xx >.理由如下：要使0x >时，2e x x >，只要2ln x x >，设()2ln x x x ϕ=-，22()1x x x xϕ-'=-=， 于是当20<<x 时，()0x ϕ'<；当2>x 时，()0x ϕ'>.即()2ln x x x ϕ=-在2x =处取得最小值(2)22ln 20ϕ=->，即0x >时，2ln x x >，所以2e 0x x ->，于是当20<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>.所以函数()x f 在()2,0上为减函数，()+∞,2上为增函数.…………6分所以()f x 在2x =处取得最小值 2e (2)22ln 24f =-+.……………7分（2） 因为()()()()22'3e 22e x x x k x kx xf x x x⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==， 当0k ≤时，2e 0xk x->，所以()x f 在()2,0上单调递减，()2,4上单调递增，不存在三个极值点，所以0>k又()()()()223e 22e x x x k x kx x f x x x⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'==， 令()2exg x x=，得()()23e 2x g x x ⋅-'=，易知()x g 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，在2=x 处取得极小值，得()2e 24g =，且()4e 416g =，于是可得k y =与()2e xg x x =在()4,0内有两个不同的交点的条件是 24e e ,416k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设k y =与()2e xg x x=在()4,0内有两个不同交点的横坐标分别为21,x x ，则有420<<<<x x ，下面列表分析导函数x f '及原函数()x f ：可知()x f 在()1,0x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增， 在()2,2x 上单调递减，在()4,2x 上单调递增， 所以()x f 在区间()4,0上存在三个极值点.即函数()x f 在()4,0内存在三个极值点的k 的取值范围是24e e ,416⎛⎫⎪⎝⎭.心得反思2、【解】∵x e e k x x f x g xx-+=-=1.)()(在R 上为减函数， 1、研究函数的性质时，要优先考虑定义域；2、能够熟练证明和应用一些含有指数、对数的不等式1+≥x e x，1ln -≤x x ，注意取对数方法的转化作用；3、由方程解的个数确定参数的范围，可以考虑分离变量转化为函数图像的交点问题，通常是转化为定曲线和动直线好处理一些；4、本题求k 的范围，体现了数形结合的思想，但由于高中阶段没有涉及极限，找一点证明)4()1(g eg >成为本题解题的关键所在，所以要平时多观察多思考；5、若第（1）问中，考虑设)0()(2>=x x e x x ϕ来比较2xe x与1的大小关系，则第（2）问可用第（1）问的结论，解答更简洁；6、另外平时练习中要体会总结一些求导的技巧，如：)]()([])(.[x f x f e x f e xx'+='，)()]()([])([2x f x f x f e x f e x x '-='，x x e x f x f e x f )()(])([-'='，xx f x x f 1)(]ln )([+'='+∴x ＞f （x ）．①解法一 又∵f （x ）＝1.+x xe e k ＝x ek)1(1+为增函数，由x ＞f （x ） ∴f （x ）＞f （f （x ））②解法二 再把f （x ）看作自变量，代入①中，可得f （x ）＞f （f （x ））② 由①②得f （x ）＞f （f （x ））成立【说明】本题来源于《选修1-1》课本和期中考试题改编，考查函数的性质、不等式应用、导数的应用、方程根的判断等；考查函数思想、方程思想、等价思想；考查阅读理解能力、认识字母符号能力、运算能力、分析能力、探究能力． 3．【解】：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1＋1x． 因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0．（2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝22(21)1ax a x x -++＝(21)(1)ax x x --，x ＞0当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0， 所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12． 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ． 因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)．令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ． 因为φ′(t )＝22(1)2t t -≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． 方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根． 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． 所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2．四、巩固训练1、【解】：（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，定义域为(0)+∞，． 312ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，得x = 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴当x ()f x 的极大值为2e，无极小值． （2）312ln ()()ax x f x x a +-'=+，由题意()0f x '≥对(0)x a ∈-，恒成立． ∵(0)x a ∈-，，∴3()0x a +<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0)x a ∈-，恒成立． ∴2ln a x x x -≤对(0)x a ∈-，恒成立．令()2ln g x x x x =-，(0)x a ∈-，， 则()2ln 1g x x '=+， ①若120ea -<-≤，即120ea ->≥-，则()2ln 10g x x '=+<对(0)x a ∈-，恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0)a -，上单调递减，则2()ln()()a a a a ---≤-，∴ln()a -0≤，∴1a -≤与12e a -≥-矛盾，舍去；②若12ea -->，即12ea -<-，令()2ln 10g x x '=+=，得12ex -=，当120e x -<<时，()2ln 10g x x '=+<，∴()2ln g x x x x =-单调递减，当12ex a -<<-时，()2ln 10g x x '=+>，∴()2ln g x x x x =-单调递增，∴当12ex -=时，1111122222min [()](e)2eln(e)e2eg x g -----==-=-，∴122e a --≤．综上，实数a 的取值范围是122e a --≤．（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln ()(1)x x xf x x x --'=-． 令()12ln h x x x x =--，(01)x ∈，，则()12(ln 1)2ln 1h x x x '=-+=--， 令()0h x '=，得12e x -=．①当12e1x -<≤时，()0h x '≤，∴()12ln h x x x x =--单调递减，12()(02e 1]h x -∈-，，∴312ln ()0(1)x x xf x x x --'=<-恒成立， ∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≤， ②当120ex -<≤时，()0h x '≥，∴()12ln h x x x x =--单调递增，其中1111()12ln()02222h =--⋅=，又222225(e )e 12e ln(e )10eh ----=--⋅=-<， ∴存在唯一201(e ,)2x -∈，使得0()0h x =，∴0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>，∴2ln ()(1)xf x x =-单调递增，当120ex x -<≤时，()0f x '<，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0)x ，单调递增，在0(1)x ，上单调递减， ∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值． ∵0000()12ln 0h x x x x =--=，∴0001ln 2x x x -=， ∴00220000ln 11()112(1)(1)2()22x f x x x x x ===----， 又01(0)2x ∈，，∴201112()(0)222x --∈-，，∴0201()2112()22f x x =<---． 2、【解】：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， ……………………………………………2分所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， ………4分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1，所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-． (6)分（2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b=图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………9分因为22(3ln 1)()x x m x -'=，令()0m x '=，得x所以当x ∈时，()(3e,)m x ∈+∞，……………………………14分当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <，即ab的取值范围为33e e ]（，．……16分 3、【解】：(1) f ′(x)＝(ax 2－x)e x ＝x(ax －1)e x .(1分)若a ＝0，则f′(x)＝－x e x ，令f′(x)>0，则x<0；令f′(x)<0，则x>0；若a<0，由f′(x)>0，得1a <x<0；由f′(x)<0，得1a >x 或0<x ；若a>0，由f′(x)<0，得0<x<1a ；由f′(x)>0，得x>1a或x<0；综上可得：当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分) 当a<0时，函数f(x)的增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，0，减区间是(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫－∞，1a ；(5分) 当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a (7分) (2) 因为2a ∈[3，m ＋1]，由(1)x ∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫1a . 因为f(x)≥b2a －1e 1a 恒成立， 所以f ⎝⎛⎭⎫1a ≥b 2a －1e 1a 恒成立，(8分) 所以e 1a (2a －1)≥b 2a －1e 1a 恒成立，即2a －1≥b 2a －1恒成立．(9分)由2a ∈[3，m ＋1]，令2a －1＝t ∈[2，m]，则t ≥b t ，所以ln b ≤ln tt ＝g(t)，(10分)由g′(t)＝1－ln tt 2，可知函数g(t)在(0，e )上递增；(e ，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)． 当2<m ≤4时，g(t)min ＝g(2)＝ln 22，从而ln b ≤ln 22，解得0<b ≤2；(13分)当m>4时，g(t)min＝g(m)＝ln mm，从而ln b≤ln mm，解得0<b≤m1m，(15分)故：当2<m≤4时，0<b≤2；当m>4时，0<b≤m 1m(16分)。

专题03.02--数列的递推关系及求数列的通项一、问题概述递推公式与通项公式是表示数列的两种形式，前者是动态公式，后者是静态公式．等差等比数列的定义就是动态的递推公式．由数列的递推公式求出通项公式是高考考查的热点也是重点难点，常用思路是 ①对递推公式变形，直接（换元）化为等差，等比数列及常数列（例2，例3）； ②类比推导等差、等比数列的方法，即累加、累乘等方法（例3），求出递推公式； 二、释疑拓展1．【苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研（一）.20题】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．2．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）.19题】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．3．【苏州市2017届高三第一学期期末调研.19题】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（一）.20题】已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 成立.求满足等式31=n n a T 的所有正整数n .2．【苏州市2015届高三第一学期期末调研.20题】已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.（1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .3．【南京市、盐城市2018届高三第二次调研.20题】对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值；（2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，求证：A ∩B ＝∅．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==． 又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． ……………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 2．【解】：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n n b b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒……8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．………9分 当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． ……11分 若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； ………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分3．【解】：(1) 由S n ＝2a n －2，得S n ＋1＝2a n ＋1－2. 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1＝2a n . 又由S 1＝2a 1－2，得a 1＝2a 1－2，a 1＝2，(2分)所以数列{a n }为等比数列，且首项为2，公比q ＝2， 所以a n ＝2n .(4分)(2) 由(1)知1a n ＝12n (n ∈N *)．由12n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n ＋1b n 2n ＋1(n ∈N *)， 得12n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n b n －12n －1＋1(n ≥2)． 故12n －12n －1＝(－1)n ＋1b n 2n ＋1， 即b n ＝(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ≥2)．(7分) 当n ＝1时，1a 1＝b 12＋1，b 1＝32.所以b n ＝⎩⎨⎧32，n ＝1，（－1）n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1，n ≥2，n ∈N *.(9分)(3) 因为c n ＝2n ＋λb n ，所以当n ≥3时，c n ＝2n ＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1λ，c n －1＝2n －1＋(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋1λ. 依据题意，有c n －c n －1＝2n －1＋(－1)n λ⎝⎛⎭⎫2＋32n ＞0， 即(－1)n λ＞－2n －132n＋2.(10分)① 当n 为大于或等于4的偶数时，有λ＞－2n －132n＋2恒成立，又2n －132n ＋2＝1322n －1＋12n －2随n 增大而增大， 则当且仅当n ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝12835， 故λ的取值范围是λ＞－12835；(12分)② 当n 为大于或等于3的奇数时，有λ＜2n －132n＋2恒成立，当且仅当n ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝3219， 故λ的取值范围是λ＜3219.(14分)又当n ＝2时，由c n －c n －1＝c 2－c 1＝⎝⎛⎭⎫22＋54λ－(2＋32λ)＞0，得λ＜8.(15分) 综上可知，所求λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12835，3219.(16分)四、巩固训练1.【解】：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ； ………………………………………………………4分 （2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即i k j 36233⋅⋅=+μλ， 所以1233=+--i k i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， ……………………………6分123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，； ……………………………8分（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， ……………………………10分 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ，从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n 当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；……………………………12分 下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ， )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n n n n n n n …14分当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ， 所以当3n ≥时，n n a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ； …………15分 综上可得，满足等式31=n n a T 的正整数n 的值为1和3. ………………………………16分 2．【解】：（1）设2n n b a λ=-，因为()21122221213n n n n n n a n b a b a a λλλλ+++++--==--()()222211621133n n n n a n n a a a λλλλ-++-+-==--． …………………………………2分若数列{}2n a λ-是等比数列，则必须有22113n n a q a λλ+-=-（常数），即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫⎪⎝⎭，即()103110q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩⇔1332q λ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， …………………5分 此时1213131102326b a a =-=+-=-≠， 所以存在实数32λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分（注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分）（2）由（1）得{}n b 是以16-为首项，13为公比的等比数列，故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+⎪⎝⎭，……10分 所以12121111692692333n n nn n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++L()211126129333nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L11133(1)2691213nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………12分 显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减， 又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2212231536232nn n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->．综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分 3．【解】（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3．………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②…………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ (6)分③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ ………………8分①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ．………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4，……………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝ ．……………16分第11 页共11 页。

专题03.05--数阵问题一、问题概述所谓数阵也称之为图表，是指某些数按照一定的规律排列成若干行和列，比较常见的是排列成等差数列（例3）或成等比数列，其重点是考查等差、等比数列的相关知识，有时，也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是寻找其中的规律．数阵问题较好的考查学生观察、分析、猜想和归纳总结的能力．利用数阵解决某些特殊数列的项数（例2）或求和问题（例1），关键是抓住题目中所给出的各行各列所构成的列数类型，再根据所给出的特殊项推出各行，各列的前几项，进而求出通项或各项的和，从而顺利地解决相关问题．二、释疑拓展1．【镇江市2010届高三第一学期期末调研.19题】已知函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(.（1）求该函数的解析式；（2）数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥，证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）另有一新数列{}n b ，若将数列{}n b 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1b2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b 9b 10b…………记表中的第一列数1247b b b b ，，，，...,构成的数列即为数列{}n a ，上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491b =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．2．【南京市2011届高三第一次模拟考试.19题】将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：123456789a a a a a a a aa已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．3．【苏州市2017届高三11月调研.20题】已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通市2008届高三第一次模拟考试.19题】已知“接龙等差”数列12101120213031,,,,,,,,,,,a a a a a a a a 构成如下：11a =， 1210,,,a a a 是公差为1的等差数列； 101120,,,a a a 是公差为d 的等差数列； 202130,,,a a a 是公差为2d 的等差数列；；101011021010,,,,n n n n a a a a +++是公差为n d 的等差数列（*n N ∈）；其中0d ≠． （1）若2080a =，求d ；（2）设10n n b a =．求n b ；（3）当1d >-时，证明对所有奇数n 总有5n b >．2．【南通市2009届高三第一次模拟考试.19题】下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij .1 4 7 10 13 …4 8 12 16 20 …7 12 17 22 27 …10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；（2）设 S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b . 试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列；（3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r (1150)r p <<<，使得1r pb b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由3．【南通市2014届高三第一学期一模.20题】已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】（1）由函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(得：2-=m ，函数的解析式为2)(2-=x x x f . ……………………..2分（2）由已知，当2n ≥时，()n n a f S =，即22-=n nn S S a .又12n n S a a a =+++，所以221-=--n nn n S S S S ，即1122--=⋅+n n n n S S S S ，……………..5分所以11112n n S S --=， ……………………..7分又111S a ==．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=， 即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n a S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ ……………………..9分 （3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81b 在表中第13行第三列， ……………………..11分 因此28113491b a q ==-． 又1321314a =-⨯，所以2q =． ……………………..13分 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k a q S k q k k k k --==-⋅=-≥-+-+．…..16分3．【解】（1）∵1112n n A A n n +-=+， ∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ， ∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =， ∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++，∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分 ∴min 14()3n R R ==， ∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤．．．．．．．．．．．10分 （3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}nb 的前n 项和(5)2n n n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+． 综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ．．．．．．．．．．．16分 四、巩固训练 1．【解】（1）由1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列得1010a =，101120,,,a a a 是公差为d 的等差数列得201010101080a a d d =+=+=，解得7d =．（2）由题意有201010a a d =+，2302010a a d =+，3403010a a d =+， (1)1010(1)10n n n a a d--=+累加得211010101010n n a a d d d -=++++2110101010n d d d -=++++所以2110101010n n b d d d -=++++10(1)(1)110(1)n d d dn d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩（3）设n 为奇数,当(0,)d ∈+∞时211010101010n n b d d d -=++++>当(1,0)d ∈-时, 10(1)1n n d b d-=-，由112d <-<及11nd ->有10(1)10512n n d b d -=>=-综上所述，当n 为奇数且1d >-时，恒有5n b >． 2．（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A 1j }(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A 1 j ＝1+(j －1)×3＝3 j －2，第二行数组成的数列{A 2j }(j ＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列， 所以A 2 j ＝4+(j －1)×4＝4 j ．……………………2分 所以A 2 j －A 1 j ＝4 j －(3 j －2)＝j ＋2，所以第j 列数组成的数列{ A ij }(i ＝1,2，…)是以3 j －2为首项，公差为 j ＋2的等差数列，所以A ij ＝3 j －2＋(i －1) ×(j ＋2) ＝ij ＋2i ＋2j －4＝(i ＋3) (j ＋2) 8．……………5分故A ij ＋8=(i ＋3) (j ＋2)是合数．所以当C ＝8时，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数……………6分（2）【证明】(反证法)假设存在k 、m ，1k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列，即21m k b b b =，………………………7分 ∵b n ＝A nn ＝(n+2)2－4∴2221[(2)8][(2)8]m k ⨯+-=+- 得8]8)2[()2(222=-+-+k m ，即8]8)2()2][(8)2()2[(22=++-+-+++k m k m ，……………10分 又∵1k m <<，且k 、m ∈N ，∴k ≥2、m ≥3，2(2)(2)8516813m k +++-≥+-=∴22880(2)(2)81(2)(2)813m k m k <+-++=≤<+++-，这与2(2)(2)8m k +-++∈Z 矛盾，所以不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k mb b b ，，成等比数列．…………12分（3）【解】假设存在满足条件的p r ，，那么222(44)1(44)r r p p +-=++-， 即2(5)(1)(5)(1)r r p p +-=+-. ………………… 14分 不妨令512(1)5r p r p +=-⎧⎨-=+⎩，， 得1319.r p =⎧⎨=⎩，所以存在1319r p ==，使得1r p b b b ，，成等差数列．…………………… 16分 （注：第（3）问中数组()r p ，不唯一，例如(85,121)也可以）3、【解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-．222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)2220n S +-=--+<．…………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．……………………… 16分。

【最新整理，下载后即可编辑】高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且•,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列满足,①求数列的通项公式;②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解:(I)设数列的公差为d,则由•,,得,计算得出或(舍去).;(Ⅱ)①,,,, 即,,,,累加得:,也符合上式.故,.②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则又,,,,即,化简得:当,即时,,(舍去);当,即时,,符合题意.存在正整数,,使得,,成等差数列.解析(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案.2.在数列中,已知,(1)求证:数列为等比数列;(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.解:(1)证明:,又,,,故,是以3为首项,公比为3的等比数列(2)由(1)知道,,若为数列中的最小项,则对有恒成立,即对恒成立当时,有;当时,有⇒;当时,恒成立,对恒成立.令,则对恒成立,在时为单调递增数列.,即综上,解析(1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列;(2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围,当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.3.在数列中,已知, , ,设为的前n项和.(1)求证:数列是等差数列;(2)求;(3)是否存在正整数p,q, ,使, , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.(1)证明:由,,得到,则又,,数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;(2)由(1)可以推知:,所以,,所以,①,②①-②,得,,,所以(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 则,即因为当时,,所以数列单调递减.又,所以且q至少为2,所以,①当时,,又,所以,等式不成立.②当时,,所以所以,所以,(数列单调递减,解唯一确定).综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.解析(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.4.已知n为正整数,数列满足, ,设数列满足(1)求证:数列为等比数列;(2)若数列是等差数列,求实数t的值;(3)若数列是等差数列,前n项和为,对任意的,均存在,使得成立,求满足条件的所有整数的值.(1)证明:数列满足,,•,•,数列为等比数列,其首项为,公比为2;(2)解:由(1)可得:•,,数列是等差数列,,,计算得出或12.时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列.时,,,不是关于n的一次函数, 因此数列不是等差数列.综上可得;(3)解:由(2)得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,化简可得,当,,,对任意的,符合题意; 当,,当时,,对任意的,不符合题意.综上可得,当,,对任意的,均存在,使得成立.解析(1)根据题意整理可得,•,再由等比数列的定义即可得证;(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.5.已知常数,数列满足,(1)若, ,①求的值;②求数列的前n项和;(2)若数列中存在三项, , 依次成等差数列,求的取值范围.解:(1)①,,,,②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,数列的前n项和,,显然当时,上式也成立,;(2),,即单调递增.(i)当时,有,于是,,若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,即,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.当时,有.此时于是当时,.从而若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾.故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.当时,有于是此时数列中存在三项,,依次成等差数列.综上可得:解析(1)①,可得,同理可得,②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出(2),可得,即单调递增.(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在.当时,有.此时.于是当时, .从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在.当时,有.于是.即可得出结论.6.已知两个无穷数列和的前n项和分别为, , , ,对任意的,都有(1)求数列的通项公式;(2)若为等差数列,对任意的,都有.证明: ;(3)若为等比数列, , ,求满足的n值.解:(1)由,得, 即,所以由,,可以知道所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.故的通项公式为,(2)证法一:设数列的公差为d,则,由(1)知,因为,所以,即恒成立,所以,即,又由,得,所以所以,得证.证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得,则,即,因为,所以所以,因为,所以存在,当时,恒成立.这与“对任意的,都有”矛盾!所以,得证.(3)由(1)知,.因为为等比数列,且,,所以是以1为首项,3为公比的等比数列.所以,则,因为,所以,所以而,所以,即当,2时,式成立;当时,设,则, 所以,故满足条件的n的值为1和2.解析(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证;方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证;(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.7.已知数列, 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列(1)设数列, 分别为等差、等比数列,若, , ,求;(2)设的首项为1,各项为正整数, ,若新数列是等差数列,求数列的前n项和;(3)设是不小于2的正整数), ,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,所以,,所以,,所以,因为,,,(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以因为是中的项,所以设,即当时,计算得出,不满足各项为正整数;当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以;当时,,此时,只需取,由,得,是奇数,是正偶数,m有正整数解,所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以综上所述,数列的前n项和,或(3)存在等差数列,只需首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,即成立.由,所以首项,公差的等差数列符合题意解析(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,,,可得,,利用通项公式即可得出.(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出.(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称数列为“趋稳数列”.(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计算:.解:(1)根据题意可得,即,两边平方可得,计算得出;(2)证明:由已知,设,因且,故对任意的,,都有,,,因,,,,,,,,,即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;(3)当时,当时,,同理,,因,,即,所以或所以或因为,且,所以,从而,所以,.解析(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;(3)由任意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.9.已知首项为1的正项数列{a n }满足+＜a n+1a n ，n∈N *.（1）若a 2=，a 3=x ，a 4=4，求x 的取值范围；（2）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若S n ＜S n+1＜2S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k （k≥3）成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k （k≥3）的公差. 解：（1）由题意，a n ＜a n+1＜2a n ，∴＜x ＜3,＜x ＜2x ， ∴x∈（2，3）. （2）∵a n ＜a n+1＜2a n ，且数列{a n }是公比为q 的等比数列，a 1=1， ∴q n-1＜q n ＜2q n-1，∴q n-1(q-)＞0，q n-1(q-2)＜0， ∴q∈（，1）.∵S n ＜S n +1＜2S n ，当q=1时，S 2=2S 1，不满足题意，当q≠1时，＜＜2•，∴①当q∈（，1）时， ，即，∴q∈（，1）.②当q∈（1，2）时，，即，无解，∴q∈（，1）.（3）设数列a 1，a 2，…，a k （k≥3）的公差为d. ∵a n ＜a n +1＜2a n ，且数列a 1，a 2，…，a n 成等差数列， ∴a 1=1， ∴[1+(n-1)d]＜1+nd ＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1，∴，∴d∈（-，1）. ∵a 1+a 2+…+a k =120， ∴S k =k 2+(a 1-)k=k 2+(1-)k=120，∴d=，∴∈（-，1）， ∴k∈（15，239），k∈N*， ∴k 的最小值为16，此时公差d=.解析【解题方法提示】分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得a n ＜a n+1＜2a n ，由此可得到关于a 2，a 3，a 4的大小关系，据此列式可解得x 的取值范围； 根据a n ＜a n+1＜2a n ，以及等比数列的通项公式可得q∈（，1），再结合S n ＜S n+1＜2S n 以及等比数列的前n 项和公式分类讨论可得q 的取值范围； 设公差为d ，根据a n ＜a n+1＜2a n ，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，1），然后根据等差数列的前n 项和公式结合题意可得d=，由此可解得k 的取值范围，进而得到k 的最小值和d 的值.。

专题03.01--等差、等比数列的判断一、问题概述此部分内容是高考的重点和热点，主要考查等差、等比数列的判断，判断的最终依据是等差、等比数列的定义：等差数列的定义有两种表达形式：①d a a n n =-+1对*N n ∈恒成立；②n n n n a a a a -=-+++112对*N n ∈恒成立（例1，例3）等比数列的定义有两种表达形式：①q a a nn =+1对*N n ∈恒成立（例1，例2）；②221.++=n n n a a a 对*N n ∈恒成立在解题的过程中值得注意的是：（1）判断一个数列是等差（等比）数列，还有通项公式法及其前n 项和公式法，但不作为证明方法；（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列，只需判断存在三项不成等差（等比）数列即可；（3）*),2(.112N n n a a a n n n ∈≥=+-是数列{an }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0二、释疑拓展1．【苏北四市2018届高三第一学期期末调研.19题】 已知数列满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.（1）求数列的通项公式n a ；（2）若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d . ①求p 的值及对应的数列．②记k S 为数列的前k 项和，问是否存在a ，使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在，求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．2．【扬州、泰州、南通2014届高三第三次调研.20题】 各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．3．【扬州、泰州、南通、扬州、淮安2017届高三第二次调研.20题】 设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通、扬州、泰州、淮安2016届高三第三次调研.19题】已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.2．【南通、泰州2018届高三第二次调研.20题】若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n >k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由； (2) 已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．3．【泰州市2015届高三第一学期期末调研.19题】数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈； （1）若数列{}n a 是等差数列，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若数列{}n b 、{}n c 都是等差数列，求证：数列{}n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列{}n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列{}n a 是否成等差数列？证明你的结论．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】（1）因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列又当n=1时,120a pa -=,解得,从而（2）①由(1)得,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+，即或，解得此时1123(2),3(2)k kk k a a a a -++=--=--，所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+，即，此时无解[3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+，即或，解得,此时,所以综上所述,, 192k k d a -=⋅或,②[1]当时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得,当3k ≥时, ,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数[2]当时,,则由30k S <,得，因为，所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时，存在5k =,使得即30k S <，所以此时满足题意的最大正整数13a = 2、【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以1152n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112nn b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k k c cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分 （Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc cm m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分） 3、【解】：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． （2）{}n a 不是等比数列．理由如下：假设{}n a 是等比数列，公比为q ， 当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=， 所以2(1)6r q q q ++=，（i ）当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+， 所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ）由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立． 故{}n a 不是等比数列． （3）当r =2时，易知3122a a a +=． 由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分 即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯-- =…… ()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121121n n a a a a a an n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式，所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分四、巩固训练1．【解】：（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===. （2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n nn a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列.（3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时，11n nn n b a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥,先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列,因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--, 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-,所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 2、【解】：（1）当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分) 当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1， 数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2， 数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1， 所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，① n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分) 设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ， 则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d] ＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ. 所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ， λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1， 以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)3、证明：（1）设数列{}n a 的公差为d ；∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-； ∴数列{}n b 是公差为d -的等差数列． ………………… 4分（法二：用通项公式直接代入硬算；n b 用n 的一次式表示，不作差要扣1分，要补证．） （2）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-， ∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+； ∵数列{}n b ，{}n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列{}n a 从第二项起为等差数列． ………………………………………………………… 10分（3）数列{}n a 成等差数列．（可用数学归纳法）第 11 页 共 11 页解法1：设数列{}n b 的公差为d '，∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-， ∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-+++⋅⋅⋅+=-；设211212222n n n n n T b b b b --=++⋅⋅⋅++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+⋅⋅⋅++， 两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++⋅⋅⋅++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---， ∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--；………………………………… 12分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-， ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=；∴1()n n a b d +'=--；∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列{}n a (2n ≥)是公差为d '-的等差数列， … 14分∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=；∴数列{}n a 是公差为d '-的等差数列． ………………………………………………………… 16分解法2：∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， 12分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列{}n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，14分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列{}n a 是等差数列．■………………………………………………………… 16分。

专题02.05--初等函数的基本问题一、问题概述此部分主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，主要题型有：（1）探究初等函数的奇偶性、单调性等性质，或用性质来求函数解析式，参数范围（值）等问题（例题1）；（2）由初等函数构成的复合函数的单调性、值域等问题，可以换元转化，利用函数的图像来求解，也可以直接求导讨论函数的单调性和极值、最值（例题2、例题3） 二、释疑拓展1．【江苏2018年高考.19题】记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意a >0，判断是否存在b >0，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．2．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三三模.20题】已知函数()ln (0)mf x x x m x=+>，()ln 2g x x =-．（1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间；（2）设函数()()()h x f x xg x =-0x >．若函数(())y h h x =， 求m 的值；（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．3．【盐城市2012届高三第二次模拟考试.20题】 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈．（1）若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； （2）若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； （3）求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南京市、盐城市2019届高三第一次模拟考试.19题】 设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈）2．【苏州市2014届高三第一学期期末调研.20题】已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．3．【江苏2016高考.19题】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． （1）设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．4．已知函数g （x ）=ax 2﹣2ax +1+b （a ≠0，b ＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设xx g x f )()(=． （1）求a ，b 的值；（2）不等式f （2x）﹣k 2x ≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k 的范围； （3）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xxk f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．参考答案二、释疑拓展 1．【解】：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0）， 得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 2．【解】（1）当1m =时，1()ln f x x x x =+，21'()ln 1f x x x=-++． 因为'()f x 在(0,)+∞上单调增，且'(1)0f =，所以当1x >时，'()0f x >；当01x <<时，'()0f x <． 所以函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞．（2）()2mh x x x =+2222'()2m x m h x x x -=-=，令'()0h x =得x =当0x <<'()0h x <，函数()h x在上单调减；当x >'()0h x >，函数()h x在)+∞上单调增．所以min [()]h x h ==．1)，即49m ≥时， 函数(())y h h x =的最小值1)1]h =+-=即1790m -=1=917（舍），所以1m =；………8分②当01)<<1449m <<时， 函数(())y h h x =的最小值1)h ==54=（舍）． 综上所述，m 的值为1． （3）由题意知，2ln OA m k x x =+，ln 2OB x k x-=． 考虑函数ln 2x y x -=，因为23ln '0x y x -=>在[1,e]上恒成立， 所以函数ln 2x y x -=在[1,e]上单调增，故1[2,]eOB k ∈--． 所以1[,e]2OA k ∈，即21ln e 2mx x+≤≤在[1,e]上恒成立，即222ln (e ln )2x x x m x x --≤≤在[1,e]上恒成立． 设22()ln 2x p x x x =-，则'()2ln 0p x x x =-≤在[1,e]上恒成立，所以()p x 在[1,e]上单调减，所以1(1)2m p =≥． 设2()(e ln )q x x x =-，则'()(2e 12ln )(2e 12ln e)0q x x x x =---->≥在[1,e]上恒成立， 所以()q x 在[1,e]上单调增，所以(1)e m q =≤．综上所述，m 的取值范围为1[,e]2．注意：20（3）解法较多，各种方法按照3个得分点，每个2分，对应给分。

等差等比数列中的代数推理问题题型解读以数列为载体的代数推理，充分体现了江苏高考特点，对学生思维能力要求很高，需要学生有很强的分析问题，解决问题的能力以及较高的数学素养，考查学生分析推理、论证的能力。

数列中的代数推理问题主要围绕对等差、等比数列的概念、通项公式、性质、前n 项和的公式展开，虽然还是研究等差等比两大数列，但由于与高等数学知识和方法相衔接，立意新颖，抽象度高，同时由于代数推理没有几何图形作为依托，因而更能检测抽象思维能力的层次。

1.知识准备1.等差等比数列的基本运算2.等差、等比数列的基本性质3.等差、等比数列的判断与证明2.真题再现1.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．变式：对于给定的正整数k ，如果各项均为正数的数列{}n a 满足：kn k n n n n n k n a a a a a a a 21-k 111k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-+--对任意正整数)(k n n >总成立，则称数列{}n a 是“)(k Q 数列”．（1）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，判断{}n a 是否为“)2(Q 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 既是“)2(Q 数列”，又是“)3(Q 数列”，证明：{}n a 是等比数列．2.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1+≤≤k k k c b c 成立，求m 的最大值．分析：本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．3.（2014江苏20）设数列{}n a 的前n 项和为n S 。

高考数学精品复习资料2019.5江苏省20xx 届高考数学压轴卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1.若集合{|1,}A x y x x R ，{|||1,}B x x x R ，则A B．2.若复数512im （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m．3.若原点(0,0)和点(1,1)在直线0x y a的异侧，则a 的取值范围是．4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为.5.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为．6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 . 7.若53sin 且是第二象限角，则tan()4.8.正四棱锥PABCD 的底面边长为23cm ，侧面积为283cm ，则它的体积为 .9.已知双曲线)0,0(12222ba by ax 的一条渐近线的方程为02y x ，则该双曲线的离心率为 .10.不等式组3,0,2xx y xy所表示的区域的面积为 .11. 已知ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2ABAC AO ，||||AB AO ，则CA CB 的值等于．结束开始n ←1 ，x ←1x ←xx+1y ←2y 1 输出x N（第5题）n > 5 Y n ←n 1。

2019年高考江苏卷数学试题解析1.已知集合A ={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A ∩B =_____.【答案】{1,6}.由题意利用交集的定义求解交集即可.【解析】由题知，{1,6}A B = .2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++ ，令20a -=得2a =.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.【解析】执行第一次，1,1422xS S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=；执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=；执行第三次，3,342x S S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442x S S x =+==≥成立，输出 5.S =4.函数y =【答案】[－1,7]由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7].5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【解析】由已知得222431b -=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【解析】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r的距离最小.由2411y x '=-=-，得2(2)x =舍，32y =即切点2,32)Q ，则切点Q 到直线22gR r4=，故答案为：4．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e,1)设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1e x x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e 12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则AB AC的值是_____.3由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC = 即3,AB = 故3AB AC =.【迁移】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2.410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【迁移】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当(0,2]x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【解析】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x=在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，1=，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎪⎢⎪⎣⎭，.【迁移】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）33c =；（2）255.(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin(2B π+的值.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2ac b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25 sin cos25B B⎛⎫+==⎪⎝⎭.【迁移】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【迁移】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,2E --.(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1)2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,2E --.【迁移】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321解：解法一：⊥，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（1）过A作AE BD（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．【解析】解法一：⊥，垂足为E.（1）过A作AE BD由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+，所以Q （4+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+（百米）.【迁移】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{－3,1,3}中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<≤=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.（1）由题意得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值；（2）由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x ↗极大值↘所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x =b 或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(－∞,－3)－3(－3,1)1(1,+∞)+0–0+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞+0–0+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x ↗极大值↘所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．【迁移】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k qk q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有ln lnln1 k kqk k≤≤-．设f（x）=ln(1)x xx>，则21ln()xf'xx-=．令()0f'x=，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+∞) ()f'x+0–f（x）↗极大值↘因为ln2ln8ln9ln32663=<=，所以maxln3()(3)3f k f==．取q=k=1，2，3，4，5时，ln lnk qk≤，即kk q≤，经检验知1k q k-≤也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【迁移】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==.(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【迁移】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.【答案】（2）2.(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【解析】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【迁移】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】1{|1}3x x x <->或.由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【迁移】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【答案】（1）5n =；（2）-32.(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4nnnn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n+=02233445555555C C C C C C =+++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++012233445555555C C C C C C =-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【迁移】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈ 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值，据此分类讨论①.b d =，②.0,1b d ==，③.0,2b d ==，④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【解析】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

专题02.09--三次函数的研究与拓展1．【苏北四市2016届高三第一学期期末调研.20题】已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值． （2）关于x 的不等式xe xf 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数． 2．【江苏2015高考.19题】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=． （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值．3．【徐州市、连云港市、宿迁市2015届高三第三次调研.20题】 已知函数错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。

为常数.（1）当错误！未找到引用源。

时，若函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上的最小值为错误！未找到引用源。

求错误！未找到引用源。

的值；（2）讨论函数错误！未找到引用源。

在区间错误！未找到引用源。

上单调性；（3）若曲线错误！未找到引用源。

上存在一点错误！未找到引用源。

使得曲线在点错误！未找到引用源。

处的切线与经过点错误！未找到引用源。

的另一条切线互相垂直，求错误！未找到引用源。

的取值范围.参考答案1．【解】（1）由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， ………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-. ………4分（2） 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立，…………………6分 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立， 因为2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， ……………………………8分记()21()23g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ……………………………10分 法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分 因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分 (3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--， 所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥， 所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥， 所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分2、【解】（1）()0232=+='ax x x f ，解得320a x x -==， ①当a =0时，()0≥'x f 所以f （x ）在R 上是增函数 ②当>a由表格可知，f （x ）的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32a ，，()∞+，0；减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-032，a ③当0<a 时由表格可知，f （x ）的增区间为()0，∞-，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，32a ；减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-320a ，综上，当a =0时，f （x ）在R 上是增函数当0>a 时，f （x ）的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32a ，，()∞+，0；减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-032，a 当0<a 时，f （x ）的增区间为()0，∞-，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，32a ；减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-320a ，（2）因为b =c -a ，所以()a c ax x x f -++=23()ax x x f 232+='由（1）可知，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∈，，23231a 时， f （x ）的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32a ，，()∞+，0；减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-032，a 所以f (x )的极大值为a c aa f -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-274323，极小值为()a c x f -= 因为函数)(x f 有三个不同的零点，所以满足⎪⎩⎪⎨⎧<->-+002743a c a c a 同理，当()3-∞-∈，a 时，满足⎪⎩⎪⎨⎧>-<-+002743a c a c a 综上可知，()02743<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c a c a 的解集为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-∞-，，，232313 所以()02743=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c a c a 有一个根为23=a 把23=a 带入()02743=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c a c a ，可解的1=c 所以c 的值为13．【解】（1）当a =-1时，f '(x )=x 2-2x -1，所以函数f (x )在上单调减， …………2分由f (1)= 13，即13-1-1+b =13，解得b =2． ………………………4分（2） f '(x )=x 2+2ax -1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x =-a ，因为△=4a 2+4>0，f '(x )=0有两个不等实根x 1,2=错误！未找到引用源。

专题02.08--含参函数的最值问题一、问题概述此类问题主要考查含参函数的单调性和最值（极值）的探究，主要题型有以下几种： （1）求含参函数在定区间的最值，需要对参数分类讨论，最后以分段函数的形式给出最值； （2）已知函数在定区间的最值（极值），求参数的值或范围（例题2）；（3）已知函数在动区间上的值域，求参数的值，需要根据函数的图像，对极值点与区间的位置关系讨论（例题3）；（4）含参函数与不等式，方程等知识结合，考查学生分析问题解决问题的能力（例题1） 二、释疑拓展1．【南通市、泰州市2018届高三第一次调研.19题】已知函数g(x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) （1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73．2．【南京市2017届高三第三次模拟考试.20题】已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －ex －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．3．【苏中三市、连云港、淮安2014届高三第二次模拟考试.19题】已知函数f（x）＝(x-a)2e x在x＝2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f(x)在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n 的值；若不存在，说明理由．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【扬州市2017届高三第一学期期末调研.20题】已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）2．【南通市2015届高三第一学期期末调研.19题】若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．已知函数3()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈ （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1(,)e e上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．3．【南京市2014届高三第三次模拟考试.19题】已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程； （2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．参考答案 二、释疑拓展1．【解】：（1）因为f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1. f (x )，f ′(x )随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．因为g′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知 g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a (－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a ≠－32.(6分)（2）因为F(x)＝f (x )－g(x )＝(x ＋a )e x －(x 3＋ax 2＋bx )，所以F ′(x )＝f ′(x )－g′(x )＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x－(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x－3x ＋a ＋3)．记h (x )＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x－3， 令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 3.h(x )，h ′(x )随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h (x )取得极小值，也是最小值， 此时h (ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a >a >0.令F′(x )＝0，解得x ＝－a －1.F(x )，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F (x )取得极小值，也是最小值，所以M (a )＝F (－a －1)＝(－a －1＋a )e －a －1－[(－a －1)3＋a (－a －1)2＋b (－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．令t ＝－a －1，则t<－1，记m (t )＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t <－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t >5， 所以m ′(t)>0，所以m(t)单调递增． 所以m (t)<－e －t－2<－13－2＝－73，所以M (a )<－732、【解】：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0， 又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． ………………………… 2分 （2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分 当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分 且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分 （3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx ．若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立， 所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ． 于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分 当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减， 即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减． 所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0． 这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分 3．【解】（1）f '(x )＝e x （x -a ）（x -a +2）， 由题意知f '（2）＝0，解得a ＝2或a ＝4． 当a ＝2时，f '(x )＝x (x -2)e x ，易知f （x ）在（0，2）上为单调减函数，在（2，+∞）上为单调增函数，符合题意； 当a ＝4时，f '(x )＝e x (x -2)(x -4)，易知f （x ）在（0，2），（4，+∞）上为单调增函数，在（2，4）上为减函数，不符合题意． 所以，满足条件的a ＝2．（2）因为f （x ）＝(x -2)2e x ≥0，所以m ≥0．①若m =0，则n ≥2，因为f （0）＝4＜e 4n ，所以（n -2）2e n ＝e 4n ．设g(x )＝)2()2(2≥-x e x x x，则g ′(x )＝0)2(4222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-x e x x xx所以g （x ）在[2，+∞）上为单调增函数．由于g （4）＝e 4，即方程（n -2）2e n ＝e 4n 有唯一解为n ＝4． ②若m ＞0，则2∉[m ，n ]，即n ＞m ＞2或0＜m ＜n ＜2．当n ＞m ＞2时，⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=ne e n nf me e m mf n m 4242)2()()2()(， 由①可知不存在满足条件的m ，n ．当0＜m ＜n ＜2时，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-me e n ne e m n m 4242)2()2(， 两式相除得m （m -2）2e m ＝n （n -2）2e n ． 设h （x ）＝x （x -2）2e x （0＜x ＜2），则h '（x ）＝（x 3-x 2-4x +4）e x ＝（x +2）（x -1）（x -2）e x ， 已知h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，2）单调递减， 由h （m ）＝h （n ），得0＜m ＜1，1＜n ＜2因为0＜m ＜1，所以m-2∈（-2，-1），则（m -2）2＜4 同理e m ＜e 1，故（m -2）2e m <4e 而1＜n ＜2，所以4e ＜e 4＜e 4n 此时（m -2）2e m ＜4e ＜e 4n ．矛盾综上所述，满足条件的m ，n 的值只有一组，且m ＝0，n ＝4． 四、巩固训练1．【解】：(1) ()x g x e '=，故(1)g e '=，所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex = ---------------------3分 （2）2()()xf x e x ax a =⋅++， 故'()(2)()xf x x x a e =++， 令'()0f x =，得x a =-或2x =-. ①当22a -≥-,即01a <≤时，()f x 在[2,]a a --上递减，在[,]a a -上递增， 所以{}max ()max (2),()f x f a f a =-, 由于22(2)(2)af a a a e--=+，2()(2)af a a a e =+，故()(2)f a f a >-，所以max ()()f x f a =; ---------------------5分 ②当22a -<-,即12a <<时，()f x 在[2,2]a --上递增，[2,]a --上递减，在[,]a a -上递增，所以{}max ()max (2),()f x f f a =-，由于2(2)(4)f a e --=-，2()(2)a f a a a e =+，故()(2)f a f >-，---------------------7分 所以max ()()f x f a =;综上得，2max ()()(2)a f x f a a a e ==+ ----------8分 （3）结论：当1k =时，函数()F x 无零点；当2k ≥时，函数()F x 有零点 ------------9分 理由如下：①当1k =时，实际上可以证明：22ln 20x ex e x -->．方法一：直接证明2()2ln 2xF x ex e x =--的最小值大于0，可以借助虚零点处理．212()(2)x F x x x e x +'=+-，显然可证212()(2)x F x x x e x+'=+-在()0,+∞上递增， 因为1112211212()2()20e e F e e e e e e e e e +⎡⎤⎛⎫'=+-=+-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，32154024F e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在011(,)2x e ∈，使得()00F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，()F x 递减；当0(,)x x ∈+∞时，()F x 递增， 所以()()00min 012(ln 1)2F x F x x x ==--+，其中011(,)2x e ∈，而()12(ln 1)2x x x ϕ=--+递减，所以()132(ln 2)025x ϕϕ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 所以()min 0F x >，所以命题得证。

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2017年江苏高考数学压轴题技巧虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免,因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现。

2017年江苏高考数学压轴题技巧1。

复杂的问题简单化,就是把一个复杂的问题,分解为一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，慢慢求解，高考（微博）是分步得分的,这种思考方式尤为重要，能算的先算，能证的先证，踏上要点就能得分，就算结论出不来,中间还是有不少分能拿。

2. 运动的问题静止化，对于动态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有始终相等的线段,始终全等的图形,始终相似的图形，所有的运算都基于它们,在找到变化线段之间的联系,用代数式慢慢求解。

3. 一般的问题特殊化，有些一般的结论,找不到一般解法，先看特殊情况，比如动点问题，看看运动到中点怎样，运动到垂直又怎样，变成等腰三角形又会怎样,先找出结论，再慢慢求解。

需要掌握的主要的数学思想：1. 方程与函数思想利用方程解决几何计算已经不能算难题了,建立变量间的函数关系，也是经常会碰到的，常见的建立函数关系的方法有比例线段，勾股定理，三角比，面积公式等2. 分类讨论思想这个大家碰的多了，就不多讲了，常见于动点问题,找等腰，找相似，找直角三角形之类的.3。

2019年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl, 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3π的交点，则ϕ的值是 ．【答案】6π6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80130]，上，其频率分布 直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】0⎛⎫⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是 ．【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()10，14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，sin α（1）求()sin απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==()sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴14EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且2BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b += ∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b = ∴椭圆方程为221x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C ， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc a b +=，化简得225c a =，∴c a =18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO=－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a,b)，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a=80，b=120. 所以150=.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM=d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0，d)到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d=10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA, CB 交于点F.因为tan ∠BCO=43.所以sin ∠FCO=45，cos ∠FCO=35. 因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan ∠FCO=6803.CF=850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB=sin ∠FCO==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF=AF cos ∠AFB==4003，从而BC=CF －BF=150. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD=r m ，OM=d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,53MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d=10时,68035dr -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则21t m -≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴1m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+ 设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增； 当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分. （1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)1n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”因此数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB=∠D.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B, C 是圆O 上的两点，所以OB=OC. 故∠OCB=∠B.又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值． 【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得14x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y 2)( 1+x 2+y)≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y 2≥0>，1+x 2+y≥0>， 所以(1+x+y 2)( 1+x 2+y)≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则 4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，记()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+成立．23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+=n ∈*N ).。