2019江苏高考压轴题(中篇)专题03.07 数列中的代数推理问题~

江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集，集合则═ ．12{}345U＝，，，，134{}}35{A B＝，，，＝，，UA B⋂（）ð2．已知是虚数单位，若，则＝ ．i12i a i a R+∈（﹣)(）＝，a3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 ．5．已知函数，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝ ．22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ．7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f 2π（）的值为　　． 76π8．已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 2212x y C m ：-＝的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R）与函数g （x 实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则AB ＝的最小值是 ．|PA PB |+ 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝，∠ABC 的平分线交AC 23π于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ． 13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，，E n （n ∈N）为AC 上一列点，且满2BD DC = 足：，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则11414n n n n n E A E D E a B a +=+ （﹣）﹣5111a -+++…+＝ ． 211a -311a -11n a -14．已知函数，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x 2910(1)e ,023x x x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ；（2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知 12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),（1）求的值；22sin αβ（﹣）（2）求的值．cos α17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，2π假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）用a ，θ表示S 和T ；（2）设f （θ）＝，试求f （θ）的最大值P ； T S18.(本小题满分16分) 已知椭圆，短轴长为． 22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM ，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R（1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）；（Ⅱ）若集合A ＝2，4，8，…，2n ，求证：； (1)()2n n l A -=（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ l A （）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{ 2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长． D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．。

从近几年高考试卷中悟出江苏卷的命题特点和走势。

本篇重点介绍数列背景的压轴题。

一、试题命制情况分析：近几年高考，江苏对数列问题的考查情况如下：二、预测：江苏高考对于数列填空题除了18 年出现了新定义问题之外（窃以为本题作为高考压轴填空题并不十分妥当），其他基本都以考察等差数列和等比数列为主。

江苏高考解答题对数列的考查，近几年中除 2013 ， 2017 年为第 19 题，其余的年份都是第 20 题，扮演压轴题的角色，考生如能正确解答，说明数学思维能力非常强。

该题可以区分考生的数学水平的层次。

以等差等比数列的定义、通项、求和等基础知识为载体，综合考查集合、函数、方程、不等式等，突出考查代数推理、转化与化归、分类讨论及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，数学语言表达能力全部得到考查。

问题的形式有计算、证明、探索性问题、存在性问题，试题的面貌每年都很新颖，不泛新定义问题，考察学生的对定义的理解能力。

作为压轴题，数列题通常不仅考查等差数列和等比数列的通项公式求和等基础知识，还要考查代数推理论证、转化与化归、分类讨论等思想方法，以及综合运用数学知识探究和解决问题的能力，体现了数学的选拔功能，本题江苏省均分一般都非常低，以 2016 年为例，省均分为2.82 分，难度系数为 0.18。

今年高考数列题仍将作为压轴题，以等差数列和等比数列为载体，在考查通项公式和前项和公式等基础知识的基础上，仍将综合“集合，函数，方程，不等式”等知识块，进一步考查学生代数推理论证能力，可能为新定义问题，可能从高等数学中找原型改编成高考题，这对数学优秀生都是相当大的挑战，也是整个试卷的“制高点”。

三、必要的世界观与方法论：对于三角函数与解三角形问题，我们一定要把握以下重要的世界观和方法论。

这里我们着重讨论数列压轴解答题。

世界观：世界上一切事物都不是孤立存在的，而是和周围其他事物相互联系着的，整个世界就是一个普遍联系着的有机整体。

专题03.08--数列与函数的交汇性问题一、问题概述函数是高中数学的重要内容，贯穿于整个高中数学的各个章节，数列本质上就是一个离散型的函数，数列一章的知识点必须与函数密切相连，才能获得知识的升华，近年来高考数学常常出现两类数列与函数知识相结合的试题：一类问题是根据函数表达式定义的数列，研究该数列的性质（例1），另一类问题是通过研究函数的单调性等研究数列单调性（例2，例3）或其他问题 二、释疑拓展1．【常州市2018届高三第一学期期末调研.19题】已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n ∈N ．数列{}n b满足n b =(*)n ∈N ．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，tb （*,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．2．【江苏2018年高考.20题】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设10a =，11b =，2q =，若1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若110a b =>，*m ∈N，(q ∈，证明：存在d ∈R ，使得1n n a b b -≤对2n =，3，，1m 均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．3．【无锡市2014届高三第一学期期末调研.19题】在正数数列中，Sn 为的前n 项和，若点在函数的图象上，其中c 为正常数，且c ≠1．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；（3）若存在一个等差数列，对任意，都有成立，求的通项公式及c 的值．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南京、盐城、徐州2015届高三二模.20题】给定一个数列{a n }，在这个数列里，任取m (m ≥3，m ∈N *)项，并且不改变它们在数列{a n }中的先后次序，得到的数列称为数列{a n }的一个m 阶子数列．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋a (n ∈N*，a 为常数)，等差数列a 2，a 3，a 6是数列{a n }的一个3阶子数列． （1）求a 的值；（2）等差数列b 1，b 2，…，b m 是{a n }的一个m (m ≥3，m ∈N *) 阶子数列，且b 1＝1k (k 为常数，k ∈N*，k ≥2)，求证：m ≤k ＋1；（3）等比数列c 1，c 2，…，c m 是{a n }的一个m (m ≥3，m ∈N *) 阶子数列，求证：c 1＋c 2＋…＋c m ≤2－12m －1．2．【江苏省2015年高考.20题】设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n k n k a a a a +++依次成等比数列，并说明理由．3．【南京、盐城2018届高三一模.19题】设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2≥n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得r n a m n -≥.对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，211(1)(2)(1)2(1)n n n n n S nS n S n S n ++++-=+-+++， 即21(1)(22)(1)2(1)n n n n S n S n S n +++=+-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+．在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+． 综上，对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列． 又1a a =，则22n a n a =-+．方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n n S S n n +=++，又11S a a ==，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-． 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式， 故22n a n a =-+(*)n ∈N ，故对任意*n ∈N ，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列． （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<+≤． 考察函数1y x x=+(1)x >，因为2221110x y x x -'=-=>， 所以1y x x=+在(1,)+∞上递增．因此1422(2)n n e e a a <+++≤，从而n b =． 因为对任意的*n ∈N ，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n ∈N都有n c ∈，明显0q >． 若1q >，当1l o g qn +≥有111n n n c c q --=>合题意，舍去；若01q <<，当1log qn +≥111n n n c c q --=，不符合题意，舍去；故1q =．2、【解】20．【答案】（1）d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，证明见解析．【解析】（1）由条件知：()1n a n d =-，12n n b -=． 因为1n n a b b -≤对1n =，2，3，4均成立， 即()1121n n d ---≤对1n =，2，3，4均成立， 即11≤，13d ≤≤，325d ≤≤，739d ≤≤，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由条件知：()11n a b n d =+-，11n n b b q -=． 若存在d ，使得1n n a b b -≤（2n =，3，，1m +）成立， 即()11111n b n d b q b -+--≤（2n =，3，，1m +），即当2n =，3，，1m +时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2n =，3，，1m +均成立． 因此，取0d =时，1n n a b b -≤对2n =，3，，1m +均成立．下面讨论数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值和数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值（2n =，3，，1m +）．①当2n m ≤≤时，()()()1112222111n n nn n n n n n q q q q q nq q nq n n n n n n -----+----+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而()120n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭单调递增，故数列121n q n -⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的最大值为2m q m -． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，()()ln 21ln 220x f x x =--<'， 所以()f x 单调递减，从而()()01f x f <=．当2n m ≤≤时，()111112111nn n q q n n f q n n n n --⎛⎫⎛⎫=≤-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，故数列11n q n -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最小值为mq m ． 因此，d 的取值范围为()112,m m b q b q m m ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．四、巩固训练1．【解】：（1）因为a 2，a 3，a 6成等差数列，所以a 2－a 3＝a 3－a 6． 又因为a 2＝12＋a ，a 3＝13＋a ， a 6＝16＋a，代入得12＋a －13＋a ＝13＋a －16＋a ，解得a ＝0． …………… 3分（2）设等差数列b 1，b 2，…，b m 的公差为d ． 因为b 1＝1k ，所以b 2≤1k ＋1，从而d ＝b 2－b 1≤1k ＋1－1k ＝－1k (k ＋1)． ……………… 6分 所以b m ＝b 1＋(m －1)d ≤1k －m －1k (k ＋1)．又因为b m ＞0，所以1k －m －1k (k ＋1)＞0．即m －1＜k ＋1． 所以m ＜k ＋2．又因为m ，k ∈N *，所以m ≤k ＋1． …………… 9分 （3）设c 1＝1t (t ∈N *)，等比数列c 1，c 2，…，c m 的公比为q ．因为c 2≤1t ＋1，所以q ＝c 2c 1≤tt ＋1．从而c n ＝c 1qn －1≤1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋1n －1（1≤n ≤m ，n ∈N *）． 所以c 1＋c 2＋…＋c m ≤1t ＋1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋11＋1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋12＋…＋1t ⎝⎛⎭⎫t t ＋1m －1＝t ＋1t [1－⎝⎛⎭⎫t t ＋1m ]＝t ＋1t －⎝⎛⎭⎫t t ＋1m －1． ………… 13分设函数f (x )＝x －1xm －1，（m ≥3，m ∈N*）．当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝x －1x m －1为单调增函数．因为当t ∈N *，所以1＜t ＋1t ≤2． 所以f (t ＋1t )≤2－12m －1．即 c 1＋c 2＋…＋c m ≤2－12m －1． ……… 16分2、【解】（1）∵43212,2,2,2a a a a 皆不为0，且d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=∴d a a a a a a 2222222342312=== ∴43212,2,2,2a a a a 依次成等比数列，首项为12a ，公比为2d（2）假设存在a1，d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列则可得⎪⎩⎪⎨⎧==44226333142a a a a a a ，即()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+2113131141322d a d a d a d a a d a化简可得()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=032322121212113d d a a dd a a a d ，所以12a d = 所以得到0=d （与0≠d 矛盾），所以不存在3．【解】：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得r n m n -≥-12.，即12.--≥n m n r 对任意*n N ∈都成立， 则12.7--≥n m n ，所以127--≥n n m 对任意*n N ∈都成立.………………8分令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2≥T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立…………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分。

专题02.01--函数的有关性质一、问题概述此类问题主要考查函数的奇偶性、单调性、对称性、最值（值域）等方面的内容，题型有以下几种：（1）利用导数探究函数的单调性、极值、最值等性质（例题1）（2）判断函数的奇偶性、单调性，可以利用定义法和导数法处理（例题2） （3）利用函数的单调性求函数的值域、证明不等式等（例题3） 二、释疑拓展1．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研.19题】设函数2()(2ln )xf x x e k x x -=--（k 为实常数，e ＝2.71828 是自然对数的底数）. （1）当k ＝1时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()f x 在区间内（0，4）存在三个极值点，求k 的取值范围．2．【镇江市2014届高三第一学期期末调研.19题】已知实数R k ∈，且0≠k ，e 为自然对数的底数，函数1)(+⋅=x x e e k x f ，x x f x g -=)()(．（1）如果函数)(x g 在R 上为减函数，求k 的取值范围；（2）如果]4,0(∈k ，求证：方程0)(=x g 有且有一个根0x x =；且当0x x >时，有))((x f f x >成立；（3）定义：①对于闭区间],[t s ，称差值s t -为区间],[t s 的长度；②对于函数)(x g ，如果对任意D t s x x ⊆∈],[,21（D 为函数)(x g 的定义域），记)()(12x g x g h -=，h 的最大值称为函数)(x g 在区间],[t s 上的“身高”．问：如果]4,0(∈k ，函数)(x g 在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？3．【南京市2017届高三9月学情调研20题】 已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【常州市2018届高三第一学期期末调研.20题】 已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数．（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．2．【苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（二）.18题】已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．3．【镇江市2016届高三第一学期期末调研.20题】 已知函数f (x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2a ＋1]e x . （1）求函数f(x )的单调区间；（2）设x >0，2a ∈[3，m ＋1]，f (x )≥b 2a－1e 1a 恒成立，求正数b 的范围．参考答案 二、释疑拓展 名师分析： （1）求导得()()()232e x x x f x x--'=（0x >）. 然后令0)(='x f ，显然x ＝2为其一解，但e x-x 2＝0是否有正解?解又是什么呢？当我们无法解出来时，往往可能无解，可以想到证明e x >x 2（因为e x 增长比x 2快，故为大于）要证明这个不等式，构造函数一次求导不太好处理时，可以尝试取对数的变形，即证明：x >2lnx ，构造函数，利用导数法不难证得，从而确定x ＝2为唯一极值点，进而求得最值． （2）函数有三个极值点，转化为0)(='x f 有三个解，x ＝2为一解，则方程02=-kx e x在（0,2）∪（2,4）内有两个交点，求导研究函数2xe y x=的单调性和图像，这里难点是要严格论证，取一个值)4()1(g eg >，结合单调性和图像就能确定k 的取值范围． 1、【解】（1）由函数()()()2e 2ln 0xf x x x x x=-->，可得()()()232e x x x f x x --'=. 因为当0x >时，2e xx >.理由如下：要使0x >时，2e x x >，只要2ln x x >，设()2ln x x x ϕ=-，22()1x x x xϕ-'=-=， 于是当20<<x 时，()0x ϕ'<；当2>x 时，()0x ϕ'>.即()2ln x x x ϕ=-在2x =处取得最小值(2)22ln 20ϕ=->，即0x >时，2ln x x >，所以2e 0x x ->，于是当20<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>.所以函数()x f 在()2,0上为减函数，()+∞,2上为增函数.…………6分所以()f x 在2x =处取得最小值 2e (2)22ln 24f =-+.……………7分（2） 因为()()()()22'3e 22e x x x k x kx xf x x x⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==， 当0k ≤时，2e 0xk x->，所以()x f 在()2,0上单调递减，()2,4上单调递增，不存在三个极值点，所以0>k又()()()()223e 22e x x x k x kx x f x x x⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'==， 令()2exg x x=，得()()23e 2x g x x ⋅-'=，易知()x g 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，在2=x 处取得极小值，得()2e 24g =，且()4e 416g =，于是可得k y =与()2e xg x x =在()4,0内有两个不同的交点的条件是 24e e ,416k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设k y =与()2e xg x x=在()4,0内有两个不同交点的横坐标分别为21,x x ，则有420<<<<x x ，下面列表分析导函数x f '及原函数()x f ：可知()x f 在()1,0x 上单调递减，在()2,1x 上单调递增， 在()2,2x 上单调递减，在()4,2x 上单调递增， 所以()x f 在区间()4,0上存在三个极值点.即函数()x f 在()4,0内存在三个极值点的k 的取值范围是24e e ,416⎛⎫⎪⎝⎭.心得反思2、【解】∵x e e k x x f x g xx-+=-=1.)()(在R 上为减函数， 1、研究函数的性质时，要优先考虑定义域；2、能够熟练证明和应用一些含有指数、对数的不等式1+≥x e x，1ln -≤x x ，注意取对数方法的转化作用；3、由方程解的个数确定参数的范围，可以考虑分离变量转化为函数图像的交点问题，通常是转化为定曲线和动直线好处理一些；4、本题求k 的范围，体现了数形结合的思想，但由于高中阶段没有涉及极限，找一点证明)4()1(g eg >成为本题解题的关键所在，所以要平时多观察多思考；5、若第（1）问中，考虑设)0()(2>=x x e x x ϕ来比较2xe x与1的大小关系，则第（2）问可用第（1）问的结论，解答更简洁；6、另外平时练习中要体会总结一些求导的技巧，如：)]()([])(.[x f x f e x f e xx'+='，)()]()([])([2x f x f x f e x f e x x '-='，x x e x f x f e x f )()(])([-'='，xx f x x f 1)(]ln )([+'='+∴x ＞f （x ）．①解法一 又∵f （x ）＝1.+x xe e k ＝x ek)1(1+为增函数，由x ＞f （x ） ∴f （x ）＞f （f （x ））②解法二 再把f （x ）看作自变量，代入①中，可得f （x ）＞f （f （x ））② 由①②得f （x ）＞f （f （x ））成立【说明】本题来源于《选修1-1》课本和期中考试题改编，考查函数的性质、不等式应用、导数的应用、方程根的判断等；考查函数思想、方程思想、等价思想；考查阅读理解能力、认识字母符号能力、运算能力、分析能力、探究能力． 3．【解】：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1＋1x． 因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0．（2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝22(21)1ax a x x -++＝(21)(1)ax x x --，x ＞0当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0， 所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12． 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ． 因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)．令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ． 因为φ′(t )＝22(1)2t t -≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． 方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根． 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． 所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2．四、巩固训练1、【解】：（1）当0a =时，2ln ()xf x x =，定义域为(0)+∞，． 312ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，得x = 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴当x ()f x 的极大值为2e，无极小值． （2）312ln ()()ax x f x x a +-'=+，由题意()0f x '≥对(0)x a ∈-，恒成立． ∵(0)x a ∈-，，∴3()0x a +<， ∴12ln 0ax x+-≤对(0)x a ∈-，恒成立． ∴2ln a x x x -≤对(0)x a ∈-，恒成立．令()2ln g x x x x =-，(0)x a ∈-，， 则()2ln 1g x x '=+， ①若120ea -<-≤，即120ea ->≥-，则()2ln 10g x x '=+<对(0)x a ∈-，恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0)a -，上单调递减，则2()ln()()a a a a ---≤-，∴ln()a -0≤，∴1a -≤与12e a -≥-矛盾，舍去；②若12ea -->，即12ea -<-，令()2ln 10g x x '=+=，得12ex -=，当120e x -<<时，()2ln 10g x x '=+<，∴()2ln g x x x x =-单调递减，当12ex a -<<-时，()2ln 10g x x '=+>，∴()2ln g x x x x =-单调递增，∴当12ex -=时，1111122222min [()](e)2eln(e)e2eg x g -----==-=-，∴122e a --≤．综上，实数a 的取值范围是122e a --≤．（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln ()(1)x x xf x x x --'=-． 令()12ln h x x x x =--，(01)x ∈，，则()12(ln 1)2ln 1h x x x '=-+=--， 令()0h x '=，得12e x -=．①当12e1x -<≤时，()0h x '≤，∴()12ln h x x x x =--单调递减，12()(02e 1]h x -∈-，，∴312ln ()0(1)x x xf x x x --'=<-恒成立， ∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≤， ②当120ex -<≤时，()0h x '≥，∴()12ln h x x x x =--单调递增，其中1111()12ln()02222h =--⋅=，又222225(e )e 12e ln(e )10eh ----=--⋅=-<， ∴存在唯一201(e ,)2x -∈，使得0()0h x =，∴0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>，∴2ln ()(1)xf x x =-单调递增，当120ex x -<≤时，()0f x '<，∴2ln ()(1)x f x x =-单调递减，且12()(e )f x f -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0)x ，单调递增，在0(1)x ，上单调递减， ∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值． ∵0000()12ln 0h x x x x =--=，∴0001ln 2x x x -=， ∴00220000ln 11()112(1)(1)2()22x f x x x x x ===----， 又01(0)2x ∈，，∴201112()(0)222x --∈-，，∴0201()2112()22f x x =<---． 2、【解】：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， ……………………………………………2分所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， ………4分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1，所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-． (6)分（2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b=图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………9分因为22(3ln 1)()x x m x -'=，令()0m x '=，得x所以当x ∈时，()(3e,)m x ∈+∞，……………………………14分当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <，即ab的取值范围为33e e ]（，．……16分 3、【解】：(1) f ′(x)＝(ax 2－x)e x ＝x(ax －1)e x .(1分)若a ＝0，则f′(x)＝－x e x ，令f′(x)>0，则x<0；令f′(x)<0，则x>0；若a<0，由f′(x)>0，得1a <x<0；由f′(x)<0，得1a >x 或0<x ；若a>0，由f′(x)<0，得0<x<1a ；由f′(x)>0，得x>1a或x<0；综上可得：当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分) 当a<0时，函数f(x)的增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，0，减区间是(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫－∞，1a ；(5分) 当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a (7分) (2) 因为2a ∈[3，m ＋1]，由(1)x ∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫1a . 因为f(x)≥b2a －1e 1a 恒成立， 所以f ⎝⎛⎭⎫1a ≥b 2a －1e 1a 恒成立，(8分) 所以e 1a (2a －1)≥b 2a －1e 1a 恒成立，即2a －1≥b 2a －1恒成立．(9分)由2a ∈[3，m ＋1]，令2a －1＝t ∈[2，m]，则t ≥b t ，所以ln b ≤ln tt ＝g(t)，(10分)由g′(t)＝1－ln tt 2，可知函数g(t)在(0，e )上递增；(e ，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)． 当2<m ≤4时，g(t)min ＝g(2)＝ln 22，从而ln b ≤ln 22，解得0<b ≤2；(13分)当m>4时，g(t)min＝g(m)＝ln mm，从而ln b≤ln mm，解得0<b≤m1m，(15分)故：当2<m≤4时，0<b≤2；当m>4时，0<b≤m 1m(16分)。

专题03.02--数列的递推关系及求数列的通项一、问题概述递推公式与通项公式是表示数列的两种形式，前者是动态公式，后者是静态公式．等差等比数列的定义就是动态的递推公式．由数列的递推公式求出通项公式是高考考查的热点也是重点难点，常用思路是 ①对递推公式变形，直接（换元）化为等差，等比数列及常数列（例2，例3）； ②类比推导等差、等比数列的方法，即累加、累乘等方法（例3），求出递推公式； 二、释疑拓展1．【苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研（一）.20题】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．2．【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）.19题】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．3．【苏州市2017届高三第一学期期末调研.19题】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（一）.20题】已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 成立.求满足等式31=n n a T 的所有正整数n .2．【苏州市2015届高三第一学期期末调研.20题】已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.（1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .3．【南京市、盐城市2018届高三第二次调研.20题】对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值；（2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，求证：A ∩B ＝∅．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==． 又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． ……………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 2．【解】：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n na a ++=+，即123n n b b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒……8分 （3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．………9分 当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． ……11分 若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； ………12分 若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分 若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分3．【解】：(1) 由S n ＝2a n －2，得S n ＋1＝2a n ＋1－2. 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ，所以a n ＋1＝2a n . 又由S 1＝2a 1－2，得a 1＝2a 1－2，a 1＝2，(2分)所以数列{a n }为等比数列，且首项为2，公比q ＝2， 所以a n ＝2n .(4分)(2) 由(1)知1a n ＝12n (n ∈N *)．由12n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n ＋1b n 2n ＋1(n ∈N *)， 得12n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n b n －12n －1＋1(n ≥2)． 故12n －12n －1＝(－1)n ＋1b n 2n ＋1， 即b n ＝(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ≥2)．(7分) 当n ＝1时，1a 1＝b 12＋1，b 1＝32.所以b n ＝⎩⎨⎧32，n ＝1，（－1）n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1，n ≥2，n ∈N *.(9分)(3) 因为c n ＝2n ＋λb n ，所以当n ≥3时，c n ＝2n ＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1λ，c n －1＝2n －1＋(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋1λ. 依据题意，有c n －c n －1＝2n －1＋(－1)n λ⎝⎛⎭⎫2＋32n ＞0， 即(－1)n λ＞－2n －132n＋2.(10分)① 当n 为大于或等于4的偶数时，有λ＞－2n －132n＋2恒成立，又2n －132n ＋2＝1322n －1＋12n －2随n 增大而增大， 则当且仅当n ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝12835， 故λ的取值范围是λ＞－12835；(12分)② 当n 为大于或等于3的奇数时，有λ＜2n －132n＋2恒成立，当且仅当n ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝3219， 故λ的取值范围是λ＜3219.(14分)又当n ＝2时，由c n －c n －1＝c 2－c 1＝⎝⎛⎭⎫22＋54λ－(2＋32λ)＞0，得λ＜8.(15分) 综上可知，所求λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12835，3219.(16分)四、巩固训练1.【解】：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ； ………………………………………………………4分 （2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即i k j 36233⋅⋅=+μλ， 所以1233=+--i k i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， ……………………………6分123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，； ……………………………8分（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， ……………………………10分 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ，从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n 当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；……………………………12分 下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ， )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n n n n n n n …14分当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ， 所以当3n ≥时，n n a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ； …………15分 综上可得，满足等式31=n n a T 的正整数n 的值为1和3. ………………………………16分 2．【解】：（1）设2n n b a λ=-，因为()21122221213n n n n n n a n b a b a a λλλλ+++++--==--()()222211621133n n n n a n n a a a λλλλ-++-+-==--． …………………………………2分若数列{}2n a λ-是等比数列，则必须有22113n n a q a λλ+-=-（常数），即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫⎪⎝⎭，即()103110q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩⇔1332q λ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， …………………5分 此时1213131102326b a a =-=+-=-≠， 所以存在实数32λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分（注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分）（2）由（1）得{}n b 是以16-为首项，13为公比的等比数列，故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+⎪⎝⎭，……10分 所以12121111692692333n n nn n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++L()211126129333nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L11133(1)2691213nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………12分 显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减， 又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2212231536232nn n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->．综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分 3．【解】（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3．………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②…………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ (6)分③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ ………………8分①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ．………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4，……………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝ ．……………16分第11 页共11 页。

专题03.05--数阵问题一、问题概述所谓数阵也称之为图表，是指某些数按照一定的规律排列成若干行和列，比较常见的是排列成等差数列（例3）或成等比数列，其重点是考查等差、等比数列的相关知识，有时，也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是寻找其中的规律．数阵问题较好的考查学生观察、分析、猜想和归纳总结的能力．利用数阵解决某些特殊数列的项数（例2）或求和问题（例1），关键是抓住题目中所给出的各行各列所构成的列数类型，再根据所给出的特殊项推出各行，各列的前几项，进而求出通项或各项的和，从而顺利地解决相关问题．二、释疑拓展1．【镇江市2010届高三第一学期期末调研.19题】已知函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(.（1）求该函数的解析式；（2）数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥，证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）另有一新数列{}n b ，若将数列{}n b 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1b2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b 9b 10b…………记表中的第一列数1247b b b b ，，，，...,构成的数列即为数列{}n a ，上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491b =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．2．【南京市2011届高三第一次模拟考试.19题】将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：123456789a a a a a a a aa已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n c ，其前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．3．【苏州市2017届高三11月调研.20题】已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n ∈N 满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足2120(*)n n n b b b n ++-+=∈N ，35b =，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a +≥，求实数a 的取值范围；（3）将数列{},{}n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ⋅⋅⋅，求这个新数列的前n 项和n S ．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通市2008届高三第一次模拟考试.19题】已知“接龙等差”数列12101120213031,,,,,,,,,,,a a a a a a a a 构成如下：11a =， 1210,,,a a a 是公差为1的等差数列； 101120,,,a a a 是公差为d 的等差数列； 202130,,,a a a 是公差为2d 的等差数列；；101011021010,,,,n n n n a a a a +++是公差为n d 的等差数列（*n N ∈）；其中0d ≠． （1）若2080a =，求d ；（2）设10n n b a =．求n b ；（3）当1d >-时，证明对所有奇数n 总有5n b >．2．【南通市2009届高三第一次模拟考试.19题】下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij .1 4 7 10 13 …4 8 12 16 20 …7 12 17 22 27 …10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数；（2）设 S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b . 试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列；（3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r (1150)r p <<<，使得1r pb b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由3．【南通市2014届高三第一学期一模.20题】已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】（1）由函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(得：2-=m ，函数的解析式为2)(2-=x x x f . ……………………..2分（2）由已知，当2n ≥时，()n n a f S =，即22-=n nn S S a .又12n n S a a a =+++，所以221-=--n nn n S S S S ，即1122--=⋅+n n n n S S S S ，……………..5分所以11112n n S S --=， ……………………..7分又111S a ==．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=， 即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n a S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ ……………………..9分 （3）设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81b 在表中第13行第三列， ……………………..11分 因此28113491b a q ==-． 又1321314a =-⨯，所以2q =． ……………………..13分 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k a q S k q k k k k --==-⋅=-≥-+-+．…..16分3．【解】（1）∵1112n n A A n n +-=+， ∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，∴1111(1)222n A A n n n =+-⨯=+，即*(1)()2n n n A n +=∈N ， ∴*11(1)(2)(1)1()22n n n n n n n a A A n n +++++=-=-=+∈N ，又11a =，∴*()n a n n =∈N ． ．．．．．．．．．．．．3分 ∵2120n n n b b b ++-+=，∴ 数列{}n b 是等差数列，设{}n b 的前n 项和为n B ，∵3799()632b b B +==且35b =， ∴79b =，∴{}n b 的公差为7395=17373b b --=--，*2()n b n n =+∈N ． ．．．．5分（2）由（1）知21122()22n n n n n b a n n c a b n n n n +=+=+=+-++，∴12n n T c c c =+++1111122(1)3242n n n =+-+-++-+11122(1)212n n n =++--++11232()12n n n =+-+++，∴11232()12n T n n n -=-+++． ．．．．．．．．．．．．．．．7分设1132()12n R n n =-+++，则11142()013(1)(3)n n R R n n n n +-=-=>++++， ∴数列{}n R 为递增数列， ．．．．．．．．．．．．．9分 ∴min 14()3n R R ==， ∵对任意正整数n ，都有2n T n a -≥恒成立，∴43a ≤．．．．．．．．．．．10分 （3）数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}nb 的前n 项和(5)2n n n B +=．①当*2()N n k k =∈时，2(1)(5)322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+；②当*41()N n k k =+∈时，2+12(21)(22)2(25)22n k k k k k k S A B +++=+=+2481k k =++，特别地，当1n =时，11S =也符合上式； ③当*41()N n k k =-∈时，2212(21)22(25)4422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+． 综上：22213, 2 4263, 43465, 414n n n n k n n S n k n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-⎨⎪⎪++=-⎪⎩，*k ∈N ．．．．．．．．．．．16分 四、巩固训练 1．【解】（1）由1210,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列得1010a =，101120,,,a a a 是公差为d 的等差数列得201010101080a a d d =+=+=，解得7d =．（2）由题意有201010a a d =+，2302010a a d =+，3403010a a d =+， (1)1010(1)10n n n a a d--=+累加得211010101010n n a a d d d -=++++2110101010n d d d -=++++所以2110101010n n b d d d -=++++10(1)(1)110(1)n d d dn d ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩（3）设n 为奇数,当(0,)d ∈+∞时211010101010n n b d d d -=++++>当(1,0)d ∈-时, 10(1)1n n d b d-=-，由112d <-<及11nd ->有10(1)10512n n d b d -=>=-综上所述，当n 为奇数且1d >-时，恒有5n b >． 2．（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A 1j }(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A 1 j ＝1+(j －1)×3＝3 j －2，第二行数组成的数列{A 2j }(j ＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列， 所以A 2 j ＝4+(j －1)×4＝4 j ．……………………2分 所以A 2 j －A 1 j ＝4 j －(3 j －2)＝j ＋2，所以第j 列数组成的数列{ A ij }(i ＝1,2，…)是以3 j －2为首项，公差为 j ＋2的等差数列，所以A ij ＝3 j －2＋(i －1) ×(j ＋2) ＝ij ＋2i ＋2j －4＝(i ＋3) (j ＋2) 8．……………5分故A ij ＋8=(i ＋3) (j ＋2)是合数．所以当C ＝8时，对任意正整数i 、j ，ij A C +总是合数……………6分（2）【证明】(反证法)假设存在k 、m ，1k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列，即21m k b b b =，………………………7分 ∵b n ＝A nn ＝(n+2)2－4∴2221[(2)8][(2)8]m k ⨯+-=+- 得8]8)2[()2(222=-+-+k m ，即8]8)2()2][(8)2()2[(22=++-+-+++k m k m ，……………10分 又∵1k m <<，且k 、m ∈N ，∴k ≥2、m ≥3，2(2)(2)8516813m k +++-≥+-=∴22880(2)(2)81(2)(2)813m k m k <+-++=≤<+++-，这与2(2)(2)8m k +-++∈Z 矛盾，所以不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k mb b b ，，成等比数列．…………12分（3）【解】假设存在满足条件的p r ，，那么222(44)1(44)r r p p +-=++-， 即2(5)(1)(5)(1)r r p p +-=+-. ………………… 14分 不妨令512(1)5r p r p +=-⎧⎨-=+⎩，， 得1319.r p =⎧⎨=⎩，所以存在1319r p ==，使得1r p b b b ，，成等差数列．…………………… 16分 （注：第（3）问中数组()r p ，不唯一，例如(85,121)也可以）3、【解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-．222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)2220n S +-=--+<．…………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．……………………… 16分。

【最新整理，下载后即可编辑】高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且•,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列满足,①求数列的通项公式;②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解:(I)设数列的公差为d,则由•,,得,计算得出或(舍去).;(Ⅱ)①,,,, 即,,,,累加得:,也符合上式.故,.②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则又,,,,即,化简得:当,即时,,(舍去);当,即时,,符合题意.存在正整数,,使得,,成等差数列.解析(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案.2.在数列中,已知,(1)求证:数列为等比数列;(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.解:(1)证明:,又,,,故,是以3为首项,公比为3的等比数列(2)由(1)知道,,若为数列中的最小项,则对有恒成立,即对恒成立当时,有;当时,有⇒;当时,恒成立,对恒成立.令,则对恒成立,在时为单调递增数列.,即综上,解析(1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列;(2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围,当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.3.在数列中,已知, , ,设为的前n项和.(1)求证:数列是等差数列;(2)求;(3)是否存在正整数p,q, ,使, , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.(1)证明:由,,得到,则又,,数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;(2)由(1)可以推知:,所以,,所以,①,②①-②,得,,,所以(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 则,即因为当时,,所以数列单调递减.又,所以且q至少为2,所以,①当时,,又,所以,等式不成立.②当时,,所以所以,所以,(数列单调递减,解唯一确定).综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.解析(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.4.已知n为正整数,数列满足, ,设数列满足(1)求证:数列为等比数列;(2)若数列是等差数列,求实数t的值;(3)若数列是等差数列,前n项和为,对任意的,均存在,使得成立,求满足条件的所有整数的值.(1)证明:数列满足,,•,•,数列为等比数列,其首项为,公比为2;(2)解:由(1)可得:•,,数列是等差数列,,,计算得出或12.时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列.时,,,不是关于n的一次函数, 因此数列不是等差数列.综上可得;(3)解:由(2)得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,化简可得,当,,,对任意的,符合题意; 当,,当时,,对任意的,不符合题意.综上可得,当,,对任意的,均存在,使得成立.解析(1)根据题意整理可得,•,再由等比数列的定义即可得证;(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.5.已知常数,数列满足,(1)若, ,①求的值;②求数列的前n项和;(2)若数列中存在三项, , 依次成等差数列,求的取值范围.解:(1)①,,,,②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,数列的前n项和,,显然当时,上式也成立,;(2),,即单调递增.(i)当时,有,于是,,若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,即,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.当时,有.此时于是当时,.从而若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾.故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.当时,有于是此时数列中存在三项,,依次成等差数列.综上可得:解析(1)①,可得,同理可得,②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出(2),可得,即单调递增.(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在.当时,有.此时.于是当时, .从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在.当时,有.于是.即可得出结论.6.已知两个无穷数列和的前n项和分别为, , , ,对任意的,都有(1)求数列的通项公式;(2)若为等差数列,对任意的,都有.证明: ;(3)若为等比数列, , ,求满足的n值.解:(1)由,得, 即,所以由,,可以知道所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.故的通项公式为,(2)证法一:设数列的公差为d,则,由(1)知,因为,所以,即恒成立,所以,即,又由,得,所以所以,得证.证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得,则,即,因为,所以所以,因为,所以存在,当时,恒成立.这与“对任意的,都有”矛盾!所以,得证.(3)由(1)知,.因为为等比数列,且,,所以是以1为首项,3为公比的等比数列.所以,则,因为,所以,所以而,所以,即当,2时,式成立;当时,设,则, 所以,故满足条件的n的值为1和2.解析(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证;方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证;(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.7.已知数列, 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列(1)设数列, 分别为等差、等比数列,若, , ,求;(2)设的首项为1,各项为正整数, ,若新数列是等差数列,求数列的前n项和;(3)设是不小于2的正整数), ,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,所以,,所以,,所以,因为,,,(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以因为是中的项,所以设,即当时,计算得出,不满足各项为正整数;当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以;当时,,此时,只需取,由,得,是奇数,是正偶数,m有正整数解,所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以综上所述,数列的前n项和,或(3)存在等差数列,只需首项,公差下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,即成立.由,所以首项,公差的等差数列符合题意解析(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,,,可得,,利用通项公式即可得出.(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出.(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称数列为“趋稳数列”.(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计算:.解:(1)根据题意可得,即,两边平方可得,计算得出;(2)证明:由已知,设,因且,故对任意的,,都有,,,因,,,,,,,,,即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;(3)当时,当时,,同理,,因,,即,所以或所以或因为,且,所以,从而,所以,.解析(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;(3)由任意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.9.已知首项为1的正项数列{a n }满足+＜a n+1a n ，n∈N *.（1）若a 2=，a 3=x ，a 4=4，求x 的取值范围；（2）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为数列{a n }前n 项的和，若S n ＜S n+1＜2S n ，n∈N *，求q 的取值范围；（3）若a 1，a 2，…，a k （k≥3）成等差数列，且a 1+a 2+…+a k =120，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列a 1，a 2，…，a k （k≥3）的公差. 解：（1）由题意，a n ＜a n+1＜2a n ，∴＜x ＜3,＜x ＜2x ， ∴x∈（2，3）. （2）∵a n ＜a n+1＜2a n ，且数列{a n }是公比为q 的等比数列，a 1=1， ∴q n-1＜q n ＜2q n-1，∴q n-1(q-)＞0，q n-1(q-2)＜0， ∴q∈（，1）.∵S n ＜S n +1＜2S n ，当q=1时，S 2=2S 1，不满足题意，当q≠1时，＜＜2•，∴①当q∈（，1）时， ，即，∴q∈（，1）.②当q∈（1，2）时，，即，无解，∴q∈（，1）.（3）设数列a 1，a 2，…，a k （k≥3）的公差为d. ∵a n ＜a n +1＜2a n ，且数列a 1，a 2，…，a n 成等差数列， ∴a 1=1， ∴[1+(n-1)d]＜1+nd ＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1，∴，∴d∈（-，1）. ∵a 1+a 2+…+a k =120， ∴S k =k 2+(a 1-)k=k 2+(1-)k=120，∴d=，∴∈（-，1）， ∴k∈（15，239），k∈N*， ∴k 的最小值为16，此时公差d=.解析【解题方法提示】分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得a n ＜a n+1＜2a n ，由此可得到关于a 2，a 3，a 4的大小关系，据此列式可解得x 的取值范围； 根据a n ＜a n+1＜2a n ，以及等比数列的通项公式可得q∈（，1），再结合S n ＜S n+1＜2S n 以及等比数列的前n 项和公式分类讨论可得q 的取值范围； 设公差为d ，根据a n ＜a n+1＜2a n ，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，1），然后根据等差数列的前n 项和公式结合题意可得d=，由此可解得k 的取值范围，进而得到k 的最小值和d 的值.。

专题03.01--等差、等比数列的判断一、问题概述此部分内容是高考的重点和热点，主要考查等差、等比数列的判断，判断的最终依据是等差、等比数列的定义：等差数列的定义有两种表达形式：①d a a n n =-+1对*N n ∈恒成立；②n n n n a a a a -=-+++112对*N n ∈恒成立（例1，例3）等比数列的定义有两种表达形式：①q a a nn =+1对*N n ∈恒成立（例1，例2）；②221.++=n n n a a a 对*N n ∈恒成立在解题的过程中值得注意的是：（1）判断一个数列是等差（等比）数列，还有通项公式法及其前n 项和公式法，但不作为证明方法；（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列，只需判断存在三项不成等差（等比）数列即可；（3）*),2(.112N n n a a a n n n ∈≥=+-是数列{an }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0二、释疑拓展1．【苏北四市2018届高三第一学期期末调研.19题】 已知数列满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.（1）求数列的通项公式n a ；（2）若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d . ①求p 的值及对应的数列．②记k S 为数列的前k 项和，问是否存在a ，使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在，求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．2．【扬州、泰州、南通2014届高三第三次调研.20题】 各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．3．【扬州、泰州、南通、扬州、淮安2017届高三第二次调研.20题】 设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通、扬州、泰州、淮安2016届高三第三次调研.19题】已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.2．【南通、泰州2018届高三第二次调研.20题】若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n >k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由； (2) 已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．3．【泰州市2015届高三第一学期期末调研.19题】数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈； （1）若数列{}n a 是等差数列，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若数列{}n b 、{}n c 都是等差数列，求证：数列{}n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列{}n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列{}n a 是否成等差数列？证明你的结论．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】（1）因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列又当n=1时,120a pa -=,解得,从而（2）①由(1)得,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+，即或，解得此时1123(2),3(2)k kk k a a a a -++=--=--，所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+，即，此时无解[3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+，即或，解得,此时,所以综上所述,, 192k k d a -=⋅或,②[1]当时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得,当3k ≥时, ,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数[2]当时,,则由30k S <,得，因为，所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时，存在5k =,使得即30k S <，所以此时满足题意的最大正整数13a = 2、【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以1152n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112nn b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k k c cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分 （Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc cm m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分） 3、【解】：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． （2）{}n a 不是等比数列．理由如下：假设{}n a 是等比数列，公比为q ， 当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=， 所以2(1)6r q q q ++=，（i ）当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+， 所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ）由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立． 故{}n a 不是等比数列． （3）当r =2时，易知3122a a a +=． 由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分 即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯-- =…… ()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121121n n a a a a a an n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式，所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分四、巩固训练1．【解】：（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===. （2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n nn a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列.（3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时，11n nn n b a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥,先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列,因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--, 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-,所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 2、【解】：（1）当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分) 当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1， 数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2， 数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1， 所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，① n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分) 设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ， 则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d] ＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ. 所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ， λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1， 以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)3、证明：（1）设数列{}n a 的公差为d ；∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-； ∴数列{}n b 是公差为d -的等差数列． ………………… 4分（法二：用通项公式直接代入硬算；n b 用n 的一次式表示，不作差要扣1分，要补证．） （2）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-， ∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+； ∵数列{}n b ，{}n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列{}n a 从第二项起为等差数列． ………………………………………………………… 10分（3）数列{}n a 成等差数列．（可用数学归纳法）第 11 页 共 11 页解法1：设数列{}n b 的公差为d '，∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-， ∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-+++⋅⋅⋅+=-；设211212222n n n n n T b b b b --=++⋅⋅⋅++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+⋅⋅⋅++， 两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++⋅⋅⋅++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---， ∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--；………………………………… 12分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-， ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=；∴1()n n a b d +'=--；∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列{}n a (2n ≥)是公差为d '-的等差数列， … 14分∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=；∴数列{}n a 是公差为d '-的等差数列． ………………………………………………………… 16分解法2：∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， 12分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列{}n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，14分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列{}n a 是等差数列．■………………………………………………………… 16分。

专题02.05--初等函数的基本问题一、问题概述此部分主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，主要题型有：（1）探究初等函数的奇偶性、单调性等性质，或用性质来求函数解析式，参数范围（值）等问题（例题1）；（2）由初等函数构成的复合函数的单调性、值域等问题，可以换元转化，利用函数的图像来求解，也可以直接求导讨论函数的单调性和极值、最值（例题2、例题3） 二、释疑拓展1．【江苏2018年高考.19题】记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意a >0，判断是否存在b >0，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．2．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三三模.20题】已知函数()ln (0)mf x x x m x=+>，()ln 2g x x =-．（1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间；（2）设函数()()()h x f x xg x =-0x >．若函数(())y h h x =， 求m 的值；（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．3．【盐城市2012届高三第二次模拟考试.20题】 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈．（1）若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； （2）若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； （3）求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南京市、盐城市2019届高三第一次模拟考试.19题】 设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈）2．【苏州市2014届高三第一学期期末调研.20题】已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．3．【江苏2016高考.19题】已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． （1）设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．4．已知函数g （x ）=ax 2﹣2ax +1+b （a ≠0，b ＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设xx g x f )()(=． （1）求a ，b 的值；（2）不等式f （2x）﹣k 2x ≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k 的范围； （3）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-xxk f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．参考答案二、释疑拓展 1．【解】：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）与g （x 0）且f ′（x 0）与g ′（x 0）， 得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）与g （x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 2．【解】（1）当1m =时，1()ln f x x x x =+，21'()ln 1f x x x=-++． 因为'()f x 在(0,)+∞上单调增，且'(1)0f =，所以当1x >时，'()0f x >；当01x <<时，'()0f x <． 所以函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞．（2）()2mh x x x =+2222'()2m x m h x x x -=-=，令'()0h x =得x =当0x <<'()0h x <，函数()h x在上单调减；当x >'()0h x >，函数()h x在)+∞上单调增．所以min [()]h x h ==．1)，即49m ≥时， 函数(())y h h x =的最小值1)1]h =+-=即1790m -=1=917（舍），所以1m =；………8分②当01)<<1449m <<时， 函数(())y h h x =的最小值1)h ==54=（舍）． 综上所述，m 的值为1． （3）由题意知，2ln OA m k x x =+，ln 2OB x k x-=． 考虑函数ln 2x y x -=，因为23ln '0x y x -=>在[1,e]上恒成立， 所以函数ln 2x y x -=在[1,e]上单调增，故1[2,]eOB k ∈--． 所以1[,e]2OA k ∈，即21ln e 2mx x+≤≤在[1,e]上恒成立，即222ln (e ln )2x x x m x x --≤≤在[1,e]上恒成立． 设22()ln 2x p x x x =-，则'()2ln 0p x x x =-≤在[1,e]上恒成立，所以()p x 在[1,e]上单调减，所以1(1)2m p =≥． 设2()(e ln )q x x x =-，则'()(2e 12ln )(2e 12ln e)0q x x x x =---->≥在[1,e]上恒成立， 所以()q x 在[1,e]上单调增，所以(1)e m q =≤．综上所述，m 的取值范围为1[,e]2．注意：20（3）解法较多，各种方法按照3个得分点，每个2分，对应给分。